Логарифмы егэ профиль с решениями

Skip to content

ЕГЭ Профиль №13. Логарифмические уравнения

ЕГЭ Профиль №13. Логарифмические уравненияadmin2018-08-29T21:30:04+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы
Источник

Задание 903

Найдите значение выражения $$log^{3}_{sqrt{3}}{{frac{1}{3}}^3}$$

Ответ: -216

Скрыть

Рассмотрим сам логарифм: $$ log_{sqrt{3}}{{frac{1}{3}}^3}=log_{3^{1/2}}{3^{-3}}=frac{1}{frac{1}{2}}*left(-3right)log_33=-6 $$ Так как он был в третьей степени, то возведем -6 в нее и получим -216

Задание 939

Известно, что $$log_a b *log_b c = -5$$ . Найдите значение выражения $$log_c a$$

Ответ: -0.2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$log_a b *log_b c = frac{1}{log_b a}*log_b c=frac{log_b c}{log_b a}=log_a c=-5$$ $$log_c a=frac{1}{log_a c}=frac{1}{-5}=-0.2$$

Задание 2494

Найдите значение выражения: $$6^{2+log_{6}8}$$

Ответ: 288

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$6^{2+log_{6}8}=$$ $$=36cdot 6^{log_{6}8}=36cdot 8=288$$

Задание 2825

Найдите значение выражения: $$frac{log_{9}10}{log_{9}11}+log_{11}0,1$$

Ответ: 0

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$frac{log_{9}10}{log_{9}11}+log_{11}0,1=$$ $$=log_{11}10+log_{11}0,1=log_{11}(10cdot 0,1)=log_{11}1=0$$

Задание 3030

Найдите значение выражения $$64^{log_{8}sqrt{3}}$$

Ответ: 3

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$64^{log_{8}sqrt{3}}=8^{2log_{8}sqrt{3}}=8^{log_{8}3}=3$$

Задание 3114

Найдите значение выражения $$lg(lgsqrt[10]{10})$$

Ответ: -1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$lg(lgsqrt[10]{10})=lgfrac{1}{10}cdotlg 10=lgfrac{1}{10}=-1$$

Задание 3285

Найдите значение выражения $$log_5 312,5 — log_5 2,5$$

Ответ: 3

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$log_5 312,5 — log_5 2,5 = log_5 frac{312,5}{2,5}= log_5 125 = 3$$

Задание 3372

Найдите значение выражения: $$(log_{0,5}sqrt{8sqrt[3]{2}})^{-1}$$

Ответ: -0,6

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


Скрыть

$$(log_{0,5}sqrt{8sqrt[3]{2}})^{-1}=$$ $$=(log_{0,5}(2^{3}cdot2^{frac{1}{3}})^{frac{1}{2}})^{-1}=$$ $$=(-1cdotlog_{2}2^{frac{5}{3}})^{-1}=(-frac{5}{3})^{-1}=-frac{3}{5}=-0,6$$

Задание 4236

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния $$(log_{2}16)cdot(log_{6}36)$$

Ответ: 8

Задание 4237

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  $$7cdot5^{log_{5}4}$$

Ответ: 28

Задание 4238

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния $$36^{log_{6}5}$$

Ответ: 25

Задание 4239

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния $$log_{0,25}2$$

Ответ: -0,5

Задание 4240

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  $$log_{4}8$$

Ответ: 1,5

Задание 4241

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния $$log_{5}60-log_{5}12$$

Ответ: 1

Задание 4242

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния $$log_{5}0,2+log_{0,5}4$$

Ответ: -3

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Логарифмические уравнения»

Открытый банк заданий по теме логарифмические уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов

Задание №887

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения 5^{log_{25}(10x-8)}=8.

Показать решение

Решение

Найдем ОДЗ: 10x-8>0.

5^{log_{25}(10x-8)}=5^{log_58},

log_{25}(10x-8)=log_58,

log_{5^2}(10x-8)=log_58,

frac12log_5(10x-8)=log_58,

log_5(10x-8)=2log_58,

log_5(10x-8)=log_58^2,

10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.

10x=72,

x=7,2.

Ответ

7,2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №885

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения log_3(28+4x)=log_3(18-x).

Показать решение

Решение

28+4x=18-x,

5x=-10,

x=-2.

Сделаем проверку.

log_3(28+4cdot(-2))=log_3(18-(-2)),

log_3 20=log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.

Ответ

-2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №288

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения log_{x-7}81=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать решение

Решение

Согласно определению логарифма x-7>0 и x-7neq1, тогда x>7 и xneq8.

Так как 2=log_{x-7}(x-7)^2 при x>7 и xneq8, то получаем уравнение log_{x-7}81=log_{x-7}(x-7)^2.

Поэтому (x-7)^2=81,

x-7=pm9,

x_1=16,

x_2=-2.

x_2=-2 решением не является, так как x>7.

Ответ

16

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №287

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения log_3(12-x)=4.

Показать решение

Решение

Так как 4=log_33^4=log_381, то log_3(12-x)=log_381,

12-x=81,

x=-69.

Ответ

-69

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №286

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения log_6(5x+27)=log_6(3+x)+1.

Показать решение

Решение

log_6(5x+27)=log_6(3+x)+log_66,

log_6(5x+27)=log_6(6cdot(3+x)),

log_6(5x+27)=log_6(18+6x),

5x+27=18+6x,

x=9.

Проверка:

log_6(5cdot9+27)=log_6(3+9)+1,

log_672=log_612+1,

log_672=log_672.

x=9 — корень уравнения.

Ответ

9

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №284

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения log_{14}(x-3)=log_{14}(8x-31).

Показать решение

Решение

x-3=8x-31,

7x=28,

x=4.

Проверкой убеждаемся, что x=4 действительно является корнем исходного уравнения.

Ответ

4

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №34

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: log_42^{2x+5}=4.

Показать решение

Решение

Воспользуемся формулой: 

log_{a}b=x Leftrightarrow a^x=b

Значит:

log_{4}2^{2x+5}=log_{4}256

2^{2x+5}=256

2^{2x+5}=2^8

2x+5=8

2x=3

x=frac{3}{2}=1,5

Ответ

1,5

Задание №33

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: log_4(2-x)=log_{16}25.

Показать решение

Решение

Воспользуемся формулой: 

log_{a^k}x=frac{1}{k}log_{a}x, kneq 0

Получим:

log_{4}(2-x)=log_{4^2}25

log_{4}(2-x)=frac{1}{2}log_{4}25

2log_{4}(2-x)=log_{4}25

log_{4}(2-x)^2=log_{4}25

(2-x)^2=25

|2-x|=5

2-x=5

x=-3

Ответ

-3

Задание №26

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: log_7(9-x)=3log_73.

Показать решение

Решение

Выполним преобразования:

log_7(9-x)=log_73^3

Раскроем знак логарифма:

9-x=3^3

9-x=27

-x=27-9

x=-18

Ответ

-18

Задание №25

Тип задания: 5
Тема:
Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: log_2(7-x)=5.

Показать решение

Решение

Раскроем знак логарифма по формуле

log_ab=c Leftrightarrow b=a^c

и выполним преобразования:

7-x=2^5

7-x=32

-x=32-7

x=-25

Ответ

-25

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

14 января 2018

В закладки

Обсудить

Жалоба

Логарифмы в заданиях ЕГЭ

Большая часть заданий, включенных в ЕГЭ, представляет собой задания на вычисление значений числовых логарифмических выражений.

При подготовке следует обратить внимание на формулу перехода к новому основанию логарифма и следствия из нее. Задачи на использование этих формул в школьных учебниках практически не встречаются.

Материал для проведения самостоятельных работ. 15 вариантов по 28 заданий. Ответы прилагаются.

log-sm.docx

Источник

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

log _{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b.

При этом b> 0,;a> 0,;aneq 1.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

b> 0,;a> 0,;aneq 1.

Основное логарифмическое тождество:

a^{log _{a}b}=b,

log _{a}a^{c}=c.

Основные формулы для логарифмов:

log _{a}left ( bc right )=log _{a}b+log _{a}c (Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

log _{a}left ( frac{b}{c}right )=log _{a}b-log _{a}c (Логарифм частного равен разности логарифмов)
log _{a}b^{m}=mlog_{a}b (Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

log _{a}b=frac{log _{c}b}{log _{c}a}

log _{a}b=frac{1}{log _{b}a} .

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение: log _{5}left ( 15+x right )=log _{5}3

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем: 15+x=3

x=-12.

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение log _{a}b определено при b> 0,;a> 0,;aneq 1.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение: log _{2}left ( 4-x right )=7

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде log _{2}2^{7}. Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение: log _{5}left ( 5-x right )=2cdot log _{5}3

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

log _{5}left ( 5-x right )=log _{5}left ( 3^{2} right );

log _{5}left ( 5-x right )=log _{5}9;

5-x=9;

x=-4

4. Решите уравнение: log _{5}left ( 4+x right )=2

Область допустимых значений: 4+x> 0. Значит, x> -4.

Представим 2 в правой части уравнения как log _{5}25 — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

log _{5}left ( 4+x right )=log _{5}25

Функция y=log _{5}x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом x> -4.

4+x=25

x=21.

Ответ: 21.

5. Решите уравнение: log _{8}left ( x^{2}+x right )=log _{8}left ( x^{2}-4 right )

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

log _{8}left ( x^{2}+x right )=log _{8}left ( x^{2}-4 right )Leftrightarrow left{begin{matrix} x^{2}+x> 0\ x^{2}-4> 0\ x^{2}+x=x^{2}-4 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x^{2}+x> 0\ x^{2}-4> 0\ x=-4 end{matrix}right.Leftrightarrow x=-4
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: 2^{log _{4}left ( 4x+5 right )}=9.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

log _{4}b=frac{log _{2}b}{log _{2}4}=frac{log _{2}b}{2}

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

2^{log _{4}left ( 4x+5 right )}=9Leftrightarrow left{begin{matrix} 2^frac{{log _{2}left ( 4x+5 right )}}{2}=9\ 4x+5> 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} left (2^{log _{2}left ( 4x+5 right )} right )^{frac{1}{2}}=9\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} left ( 4x+5 right )^{frac{1}{2}}=9\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} sqrt{4x+5}=9\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} 4x+5=81\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x=19\ x> -1frac{1}{4} end{matrix}right.

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: log _{x}x^{2}=log _{x}left ( 12-x right ).

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
left{begin{matrix} 12-x> 0\ x> 0\ xneq 1 end{matrix}right.

Теперь можно «убрать» логарифмы.

x^{2}=12-x

x^{2}+x-12=0

x_{1}=3;;x_{2}=-4 — посторонний корень, поскольку должно выполняться условие x> 0.

Ответ: x=3

8. Решите уравнение 6log _{8}^{2}x-5log _{8}x+1=0.

ОДЗ уравнения: x> 0

Сделаем замену log _{8}x=t. Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

6t^{2}-5t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} t=frac{1}{2}\ t=frac{1}{3} end{array} right.

Вернемся к переменной х:

left[ begin{array}{ccc} log _{8}x=frac{1}{2}\ log _{8}x=frac{1}{3} end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} x=8^{frac{1}{2}}\ x=8^{frac{1}{3}} end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} x=sqrt{8}\ x=2 end{array} right.

9.Решите уравнение:
1+log _{3}left ( x^{4}+25 right )=log _{sqrt{3}}sqrt{30x^{2}+12}

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине x^{4} прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

log _{3}3left ( x^{4}+25 right )=frac{1}{2}cdot 2cdot log _{3}left (30x^{2}+12 right )

left (30x^{2}+12 right )

«Отбрасываем» логарифмы.

3left ( x^{4}+25 right) = 30x^{2}+12

3 x^{4} - 30x^{2}+63=0

x^{4} - 10x^{2}+21=0

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения x^{2} и x^{4}. Сделаем замену x^{2}=t,;tgeq 0

t^{2}-10t+21=0

left[ begin{array}{ccc} t_{1}=3\ t_{2}=7 end{array} right.

Вернемся к переменной х. Получим:

x_{1}=sqrt{3},;x_{2}=-sqrt{3},;x_{3}=sqrt{7},;x_{4}=-sqrt{7} . Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: sqrt{3},;-sqrt{3},;sqrt{7},;-sqrt{7}.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Логарифмические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Блок 1. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для простых неравенств

Блок 2. Логарифмические неравенства. Равносильные преобразования (схемы) для более сложных неравенств

Блок 3. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации)

Блок 4. Логарифмические неравенства. Метод замены множителей (метод рационализации) и замена переменных

Блок 5. Логарифмические неравенства. Закрепление метода замены множителей (метода рационализации) и метода замены переменных

Блок 6. Логарифмические неравенства. Использование свойств логарифмической функции

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Логарифмы егэ профиль 2022
  • Логарифмы егэ профиль 1 часть
  • Логарифмы егэ первая часть
  • Логарифмы егэ вторая часть
  • Логарифмы вся теория для егэ профиль