Логарифмы с нуля до егэ

Логарифмы

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2^x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2^x = 7.

По графику функции y = 2^x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.

Ясно, что этот корень — не целое число (так как 2² = 4, 2³ = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Этот корень обозначается log₂7 (читается: «логарифм семи по основанию два»). Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log₂7 = 2,807354922057604107…

Итак, наше число log₂7 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Иными словами,

Например:

  так как  ;

, так как  ;

  так как  ;

, так как  .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log₂(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.

Основные формулы

По определению, log_ab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:

log_aa^x=x.

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

loga(bc) = logab + logac.

(2)

Логарифм частного — это разность логарифмов:

.

(3)

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

(4)

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

(5)

Формулы (4) и (5) вместе дают:

.

(6)

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

.

(7)

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

.

(8)

В частности, если c = b, то log_bb = 1, и тогда:

.

(9)

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1)).

3. (применили формулу (4)).

4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. (применили формулу (3) разности логарифмов).

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

10 июня 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Логарифмы для ЕГЭ с нуля

Решаем задачи на логарифмы от простых к сложным.

00:28 — Что такое логарифм
02:51 — Мини-практика
04:37 — Что такое lg
05:02 — Основное логарифмическое тождество
07:21 — Формула суммы логарифмов
08:43 — Формула разности логарифмов
09:30 — Еще одно свойство логарифмов
11:54 — Логарифмическое уравнение
13:21 — Опасный момент
14:46 — ОДЗ
16:51 — Реальные примеры из ЕГЭ

Автор: Марсель Нуртдинов.

Источник: vk.com/marsel_tutor

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 ((log_{2}(32))) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

$$ log_{2}(32)=5;$$

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

$$log_{2}(4)=2;$$
$$log_{2}(8)=3;$$
$$log_{2}(16)=4;$$
$$log_{2}(64)=6;$$
$$log_{2}(128)=7.$$

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа (b) по основанию положительно числа (a) называется степень (c), в которую нужно возвести число (a), чтобы получить (b)

$$log_{a}(b)=c;$$
$$a^{c}=b.$$

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм — это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

$$log_{2}(5)=???$$

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

$$log_{2}(5)=2,32192809…$$

Или логарифм шести по основанию 4:

$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм (log_{4}(6)). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:

$$ log_{4}(4) lt log_{4}(6) lt log_{4}(16);$$
$$ 1 lt log_{4}(6) lt 2. $$

Значит (log_{4}(6)) принадлежите промежутку от 1 до 2:

$$ log_{4}(6) in (1;2). $$

Как посчитать логарифм

Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма (log_{a}(b)) существует только при положительных значениях основания (a) и аргумента (b). И кроме этого на основание накладывается условие, что оно не должно быть равно (1).

$$ log_{a}(b) quad существует,;при quad a gt 0; ;b gt 0 ;a neq 1.$$

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть (0). А основание не равно (1), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь (1) в любой степени это будет (1).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

$$log_{3}(frac{1}{3})=-1;$$

Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)

$$3^{-1}=frac{1}{3};$$

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

• Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
• Разобраться в какую степень (x) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
• (x) и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм (9) по основанию (3): (log_{3}(9))

• Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
  $$ 3=3^1, qquad 9=3^2;$$
• Теперь надо разобраться в какую степень (x) нужно возвести (3^1), чтобы получить (3^2)
  $$ (3^1)^x=3^2, $$
  $$ 3^{1*x}=3^2, $$
  $$ 1*x=2,$$
  $$ x=2.$$
• Вот мы и решили:
  $$log_{3}(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм (frac{1}{125}) по основанию (5): (log_{5}(frac{1}{125}))

• Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
  $$ 5=5^1, qquad frac{1}{125}=frac{1}{5^3}=5^{-3};$$
• В какую степень (x) надо возвести (5^1), чтобы получить (5^{-3}):
  $$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
  $$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
  $$1*x=-3,$$
  $$x=-3.$$
• Получили ответ:
  $$ log_{5}(frac{1}{125})=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм (4) по основанию (64): (log_{64}(4))

• Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
  $$ 64=2^6, qquad 4=2^2;$$
• В какую степень (x) надо возвести (2^6), чтобы получить (2^{2}):
  $$ (2^6)^x=2^{2}, $$
  $$ 2^{6*x}=2^{2},$$
  $$6*x=2,$$
  $$x=frac{2}{6}=frac{1}{3}.$$
• Получили ответ:
  $$ log_{64}(4)=frac{1}{3}.$$

Пример 4. Вычислить логарифм (1) по основанию (8): (log_{8}(1))

• Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
  $$ 8=2^3 qquad 1=2^0;$$
• В какую степень (x) надо возвести (2^3), чтобы получить (2^{0}):
  $$ (2^3)^x=2^{0}, $$
  $$ 2^{3*x}=2^{0},$$
  $$3*x=0,$$
  $$x=frac{0}{3}=0.$$
• Получили ответ:
  $$ log_{8}(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм (15) по основанию (5): (log_{5}(15))

• Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
  $$ 5=5^1 qquad 15= ???;$$
  (15) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
  $$ log_{5}(15).$$

Внимание!

Как понять, что некоторое число (a) не будет являться степенью другого числа (b). Это довольно просто – нужно разложить (a) на простые множители.

$$16=2*2*2*2=2^4,$$

(16) разложили, как произведение четырех двоек, значит (16) будет степенью двойки.

$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$

Разложив (48) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя (2) и (3), значит (48) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается — (lg(a)).

Пример 6

$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$
$$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$
$$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию (e). Обозначение — (ln(x)). Что такое (e)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, (2,718281828459…). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием (e) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Пример 7

$$ log_{e}(e^2)=ln(e^2)=2;$$
$$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$
$$ log_{e}(e^5)=ln(e^5)=5.$$

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

$$1. ; log_{a}(1)=0;$$
$$2. ; log_{a}(a)=1;$$
$$3. ; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$4. ; log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$5. ; log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$6. ; log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
$$ 7. ; log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0; ; c gt 0; ; c neq 1; $$
$$ 8. ; log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$ 9. ; a^{ log_{a}(b)}=b.$$

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой (3). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$
$$ log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=log_{3}(27)=3;$$

Пример 9. Воспользоваться формулой (4). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

$$ log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$ log_{7}(98)-log_{7}(2)=log_{7}(frac{98}{2})=log_{7}(49)=2;$$

Пример 10. Формула (5,6). Свойства степени.

$$log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

$$log_{a^m}(b^n)=frac{n}{m}* log_{a}(b);$$

И если (m=n), то:

$$log_{a^m}(b^m)=frac{m}{m}* log_{a}(b);=log_{a}(b)$$
$$log_{4}(9)=log_{2^2}(3^2)=log_{2}(3);$$

Пример 11. Формулы (7,8). Переход к другому основанию.

$$ log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0;c gt 0;c neq 1; $$
$$ log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$log_{4}(5)=frac{1}{log_{5}(4)};$$
$$log_{4}(5)=frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$

Начнем с простого. Как решить уравнение (displaystyle {{2}^{x}}=8)?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число (2) чтобы получить (8)?

Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! 

Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ((displaystyle {{2}^{3}}=8)) и значит решением уравнения будет число три ((x=3)).

Следующий вопрос. Как решить уравнение (displaystyle {{2}^{x}}=5)?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число (2), чтобы получить число (5)?

Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много.

Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное.

Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм:

(displaystyle x={{log }_{2}}5).

В общем виде он записывается так: 

То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. 

Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь (2,321928ldots ) и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать? 

В нашем случае решение уравнения можно записать как (2,321928ldots ) или как (displaystyle {{log }_{2}}5).

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное. Словами это произносится как: 

Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти.

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Выражение (displaystyle {{2}^{3}}=8) можно также записать в виде (displaystyle {{log }_{2}}8=3). Читается так:

«Логарифм восьми по основанию два равен трем» 

или 

«Логарифм по основанию два от восьми равен трем»

Теперь более общая запись:

Читается так:

«Логарифм по основанию (a) от (b) равен (c)»,

и означает:

«Чтобы получить число (b), нужно число (a) возвести в степень (c)»:

Иными словами, (displaystyle {{log }_{a}}b) – это степень, в которую нужно возвести (a), чтобы получить (b).

8 примеров вычисления логарифмов

Пример 1 

Чему равен (displaystyle {{log }_{2}}4)?

(displaystyle {{log }_{2}}4=2), так как число (2) нужно возвести во вторую степень, чтобы получить (4).

Пример 2

Чему равен (displaystyle {{log }_{2}}frac{1}{8})?

Заметим, что (displaystyle 8={{2}^{3}}), тогда (displaystyle frac{1}{8}=frac{1}{{{2}^{3}}}={{2}^{-3}}), то есть (2) нужно возвести в степень (-3), чтобы получить (displaystyle frac{1}{8}).

Значит  (displaystyle {{log }_{2}}frac{1}{8}=-3)

Пример 3

А чему равен (displaystyle {{log }_{2}}0,25)?

Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить (0,25) как (2) в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: (displaystyle 0,25=frac{1}{4}=frac{1}{{{2}^{2}}}={{2}^{-2}}).

Значит, (displaystyle {{log }_{2}}0,25=-2).

Пример 4

Чему равен (displaystyle {{log }_{7}}1)?

В какую степень надо возвести (7), чтобы получить (1)? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно (1) (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»).

Значит, (displaystyle {{log }_{7}}1=0). Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен (0).

Пример 5

(displaystyle {{log }_{4}}2). В этом случае аргумент (2) равен корню основания: (displaystyle 2=sqrt{4}).

Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): (displaystyle 2=sqrt{4}={{4}^{frac{1}{2}}}text{ }Rightarrow text{ }{{log }_{4}}2=frac{1}{2}).

Когда нужная степень не подбирается

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например, (displaystyle {{log }_{2}}5=2,321928…).

Видим, что это число расположено между (displaystyle 2) и (displaystyle 3), и это понятно: ведь это значит, чтобы получить (5), нужно (2) возводить в степень больше (2), но меньше (3).

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления.

Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме.

 В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм.

Например, ответ вполне может выглядеть так:

(displaystyle {{log }_{3}}10), или даже так: (displaystyle frac{2+{{log }_{3}}7}{5}).

Получается, что теперь мы можем мгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

(displaystyle {{3}^{x}}=8)? Легко: (displaystyle x={{log }_{3}}8).

(displaystyle {{17}^{x}}=0,387)? (displaystyle x={{log }_{17}}0,387)

(displaystyle {{0,56}^{x}}=23,7)? (displaystyle x={{log }_{0,56}}23,7). 

И так далее.

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить (displaystyle x={{log }_{3}}81), высший балл за задачу не поставят.

То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. 

Потренируйся на следующих простых примерах:

Начнем с простого: допустим, что ( a=1). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили ( 1), всегда получается ( 1).

Более того, ( displaystyle {{log }_{1}}b) не существует ни для какого ( displaystyle bne 1).

Но при этом ( displaystyle {{log }_{1}}1) может равняться чему угодно (по той же причине – ( 1) в любой степени равно ( 1)).

Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае ( a=0): ( 0) в любой положительной степени – это ( 0), а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ( displaystyle {{a}^{-c}}=frac{1}{{{a}^{c}}})).

При ( a<0) мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: ( displaystyle {{a}^{frac{m}{n}}}=sqrt[n]{{{a}^{m}}}).

Например, ( displaystyle {{log }_{4}}2=frac{1}{2}) (то есть ( displaystyle {{4}^{frac{1}{2}}}=sqrt{4}=2)), а вот ( displaystyle {{log }_{-4}}2) не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.

Значит, аргумент должен быть положительным.

Например, ( displaystyle {{log }_{2}}left( -4 right)) не существует, так как ( 2) ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому ( displaystyle {{log }_{2}}0) тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. 

Приведу пример:

Решим уравнение ( displaystyle {{log }_{x}}left( x+2 right)=2).

Вспомним определение: логарифм ( displaystyle {{log }_{x}}left( x+2 right)) – это степень, в которую надо возвести основание ( x), чтобы получить аргумент ( displaystyle left( x+2 right)).

И по условию, эта степень равна ( 2): ( displaystyle {{x}^{2}}=x+2).

Получаем обычное квадратное уравнение: ( displaystyle {{x}^{2}}-x-2=0).

Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна ( 1), а произведение ( -2). Легко подобрать, это числа ( 2) и ( -1).

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.

Почему?

Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

( displaystyle x=2text{: }{{log }_{2}}left( 2+2 right)={{log }_{2}}4=2) – верно.

( displaystyle x=-1text{: }{{log }_{-1}}left( -1+2 right)=2) – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень ( x=-1) – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)

Найдите корень уравнения ( displaystyle {{log }_{x+1}}left( 2x+5 right)=2). Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

( displaystyle {{log }_{x+1}}left( 2x+5 right)=2).

Свойство 3 – разность логарифмов

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:( displaystyle lo{{g}_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}).

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть ( displaystyle {{log }_{a}}b=x), тогда ( displaystyle {{a}^{x}}=b).

Пусть ( displaystyle {{log }_{a}}c=y), тогда ( displaystyle {{a}^{y}}=c).

Имеем:

( displaystyle {{log }_{a}}left( frac{b}{c} right)={{log }_{a}}left( frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c), ч.т.д.

( displaystyle {{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( frac{b}{c}cdot c right)-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}+{{log }_{a}}c-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}), ч.т.д.

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

( displaystyle {{log }_{5}}250-{{log }_{5}}2={{log }_{5}}frac{250}{2}={{log }_{5}}125={{log }_{5}}{{5}^{3}}=3).

Пример посложнее: ( displaystyle log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3).

Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению ( displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}) – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

( displaystyle log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}=left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right)).

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

( displaystyle log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3=).

( displaystyle=left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3=).

( displaystyle={{log }_{2}}frac{2sqrt{3}}{sqrt{3}}cdot {{log }_{2}}left( 2sqrt{3}cdot sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3=).

( displaystyle={{log }_{2}}2cdot {{log }_{2}}left( 2cdot 3 right)-{{log }_{2}}3=1cdot left( 1+{{log }_{2}}3 right)-{{log }_{2}}3=1.).

Упрости сам:

• ( displaystyle {{log }_{3}}4-{{log }_{3}}12)
• ( displaystyle {{log }_{0,3}}3-{{log }_{0,3}}10)
• ( displaystyle {{log }_{1,75}}28+{{log }_{1,75}}2-{{log }_{1,75}}32)
• ( displaystyle lg sqrt{0,05}-lg sqrt{5})
• ( displaystyle {{lg }^{2}}2sqrt{5}-{{lg }^{2}}5sqrt{2}-frac{3}{2}lg sqrt{frac{2}{5}})

Ответы:

                                       
Эпиграф к уроку:   «Только упорство, труд, настойчивость в любом деле

приносят  свои  результаты»

Тема:
«Логарифмы. Готовимся к ЕГЭ»

Тип урока: урок
закрепления материала.

Форма проведения
урока: урок-погружение.

Цели
урока:

·       
повторить определение логарифма числа,
основное логарифмическое тождество;

·       
закрепить основные свойства логарифмов;

·       
усилить практическую направленность данной
темы для качественной подготовки к ЕГЭ;

·       
способствовать прочному усвоению
материала;

·       
способствовать развитию у учащихся навыков
самоконтроля.

Оборудование:

1.     Компьютер,
проектор, экран.

2.     Логарифмический
тренажер на слайдах.

3.     Индивидуальные
карточки  с заданиями, раздаточный материал.

4.     Презентация
учителя «Логарифмы. Готовимся к ЕГЭ».

5.     Тесты
на сайте РешуЕГЭ.ru «Логарифмические
уравнения» и «Логарифмические выражения»

Ход
урока.

1.    
Организационный момент и постановка цели
урока.

Вступительное
слово учителя:  (слайд
1)

1)    Добрый
день,  ребята.  Добрый день,  уважаемые коллеги! Мы рады приветствовать вас в
нашей школе, на нашем уроке. Сегодня у нас очередной урок по подготовке к ЕГЭ
по теме «Логарифмы». Ваша задача дети – показать свои знания, умения и навыки
по данной теме.

Начать урок я хочу
словами: «Только упорство, труд, настойчивость в любом деле приносят  свои 
результаты». 

2)    Психологическая
установка на работу.

Сядьте
удобно, закройте глаза. Повторяйте про себя за мной:

• Я
  в школе на уроке.
• Сейчас
  я начну учиться.
• Я
  радуюсь этому.
• Память
  моя крепка.
• Я
  готов к работе.
• Я
  работаю!!!

Мы
с вами знакомы с логарифмами. Я предлагаю заполнить Вам диагностику по решению
заданий с логарифмами «Где Я?»

(результаты
внести в таблицу диаграммы и просмотреть результаты диагностики на начало урока) 
(Слайд  2,3 ).

      Каждый из
вас определил уровень усвоения темы «Логарифмы» на начало урока.  Результаты мы
видим на диаграмме.  Можно ли за урок подняться выше, мы посмотрим по окончанию
урока.

          
Вам уже известно, с логарифмами мы можем встретится в
4 блоках части B (B5 – логарифмическое уравнение, B9 — преобразования и вычисления,  В10 – прикладные задачи, B14 — приложения производной,
где в качестве исследуемой может встретится логарифмическая функция) и двух
блоках части C (№13,
№15).

      Преобразование и вычисление выражений, содержащих логарифмы,
логарифмические уравнения, неравенства часто вызывают затруднения. Перед нами
стоит задача:  повторить определение логарифма, основное логарифмическое
тождество, свойства логарифмов, которые значительно упрощают нахождение
значений выражений, содержащих логарифмы, с помощью которых мы будем решать
логарифмические уравнения и неравенства.

II. Повторение (Слайды
4-8   )

1. Задание классу (устно):
Учитель. Перед вами слайд с понятиями и свойствами логарифмической
функции, вам необходимо найти ошибки и исправить. Составьте верное
соответствие, и запишите ряд чисел

351742968

2. Логарифмический
тренажер (на
слайдах).

1.     Вычислите 
следующие логарифмы:

2.     Вычислите:

          
;                              ;                                
;                                    .

3.      Вычислите:

                

 

4.     При каких
значениях x
существует                       и                    ?

5.     Почему
не имеют смысла выражения                   и                     ?

Групповая
работа

1.
Сильная группа работает над заданиями С1 (10 мин)

2.
Слабая группа работает над заданиями теста РешуЕГЭ.ru
(20-25 мин)

3.
Средняя группа выполняет а) задания на слайде; б) задания с ключом.

 А) (по задачам открытого
банка ЕГЭ). Найдите значения выражений

               
;                          ;                       ;                      
;                                     .

А)
На доске записаны решения четырёх примеров, но только одно из них верное.
Найдите какое, в остальных исправьте ошибки.

1)

2)

3)

4)

·       
Б) Задание с ключом.

      Этот прием, пришедший к нам из
программирования, состоит в следующем: я буду произносить некоторые утверждения
и, если вы согласны со мной, то в тетради ставите «1», если нет – «0». В
результате у вас должно получиться число.

1.     Если lg x
= lg y, то x = y.

2.    

3.    

4.     Если , то   х = у.

5.     Если 3² 
= 9, то  

6.     Область
определения функции       промежуток (0; 3,5).

7.     lg7 <
3lg2.

8.     Если  , то   x > c   при   0
< a < 1.

9.     Выражение 
 справедливо для любого
х.                                              

  Ключ: 101000100.

—
А, сейчас ребята, предлагаю Вам выступить в роли экспертов. У каждого на столе
лист с решенным заданием С. Три ученика решали одинаковое  задание, оцените по
предложенным критериям решения учеников. С работой 1 первого ученика работает 1
парта, второго- 2 парта, третьего- 3 парта.

    
Оцениваем и комментируем у доски.  Приглашаются по одному ученику от каждой
группы для выступления, ученики с места добавляют свои замечания. Выступающий у
доски исправляет ошибки на слайдах в интерактивном режиме, предлагает свою
версию решения данного задания.

III.
Групповая работа (работа в парах) средняя группа. Эта
группа работает по карточкам. Затем у доски представляет свое решение,
комментируя его.

Карточка
№1.

lg(1
– x²) = lg 2x     О.Д.З. (0;1)    метод потенцирования. Ответ: х =

Карточка
№2                                          

 Найдите
корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

log₄
(x²
– 7x
+ 49) = log₂
(2x
– 7)

Решение:  
ОДЗ : х >3,5

Преобразим левую
часть уравнения, воспользовавшись формулой  log_ab =  получим

log₂
(x² – 7x + 49) = log₂ (2x – 7)²,

x²
– 7x + 49 = 4x² – 28x + 49,

3x²
– 21x
= 0,

3x
(x
– 7) = 0

x
= 0 или  x = 7

 так
как ОДЗ     x> 3,5   , то  х=0 не
является корнем.

Ответ:
7

Карточка
№ 3

                                                            

Дополнительные
задания

(просмотреть
различные способы решения с помощью документ-камеры)

4.     Самостоятельная
дифференцированная работа  на сайте  «Решу егэ» задачи В5 и В9  (1 ряд)

5.     Проверить
результаты «Решу ЕГЭ» на сайте.

6.     Рефлексия.

Попрошу
взять листочек с диагностикой «Где Я?» и на другом 
рисунке отметить свой уровень усвоения данной темы на окончание нашего занятия.

Я
думаю,  что вы теперь отлично справитесь с Логарифмами на экзамене.

7.    
Итог урока: 
диаграмма по рефлексии, план  ликвидации пробелов по данной теме на основе рефлексии.

8.    
Домашнее задание:
массив задач на Логарифмы  с mathege.ru 
по уровню усвоения данной темы.

9.     Заключительное
слово учителя

У
великого геометра древности Фалеса спросили:

-Что
есть больше всего?.

-Пространство,-
ответил Фалес

Что
мудрее всего?

-Время.

-Что
приятнее всего?

-Достичь
желаемого

Через
несколько месяцев желания многих из вас сбудутся. Я желаю вам удачи в
достижении этих желаний, но не забывайте о том , что желания ваши исполнятся не
по волшебству. Вам надо ещё немного потрудиться, бросить все свои силы на
подготовку к экзаменам.

Спасибо
за сотрудничество.