Логарифмы вся теория для егэ профиль

Логарифмы

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2^x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2^x = 7.

По графику функции y = 2^x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.

Ясно, что этот корень — не целое число (так как 2² = 4, 2³ = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Этот корень обозначается log₂7 (читается: «логарифм семи по основанию два»). Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log₂7 = 2,807354922057604107…

Итак, наше число log₂7 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Иными словами,

Например:

  так как  ;

, так как  ;

  так как  ;

, так как  .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log₂(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.

Основные формулы

По определению, log_ab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:

log_aa^x=x.

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

loga(bc) = logab + logac.

(2)

Логарифм частного — это разность логарифмов:

.

(3)

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

(4)

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

(5)

Формулы (4) и (5) вместе дают:

.

(6)

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

.

(7)

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

.

(8)

В частности, если c = b, то log_bb = 1, и тогда:

.

(9)

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1)).

3. (применили формулу (4)).

4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. (применили формулу (3) разности логарифмов).

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию а, где $a>0$, $a≠1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.

Особенно можно выделить три формулы:

$log_{a}a=1;$

$log_{a}1=0;$

$log_{a}a^b=b.$

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $10$ и пишут $lg⁡b$ вместо $log_{10}b$.

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $е$, где $е$ – иррациональное число, приближенно равное $2.7$. При этом пишут $lnb$, вместо $log_{e}b$

Свойства логарифмов.

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a>0, a≠1, b>0, c>0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

$log{_а}b^m=mlog_{a}b;$

$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$

$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

$log_{a}(bc)=log_{a}b+log_{a}c$

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

$log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$, если $a$, $b$, $c$, $d>0$, $a≠1$, $b≠1.$

5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}c}$, где $а, b, c>0, a≠1$

6. Формула перехода к новому основанию

$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$

Факт 1.
(bullet) Логарифм по основанию (a) от (b) – это число (t), которое показывает, в какую степень нужно возвести (a), чтобы получить (b).
Ограничения: числа (a) и (b) такие, что (a>0, ane 1, b>0).
[Large{{color{blue}{log_a{b}=tquadLeftrightarrowquad
a^t=b }}}]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то (tin
mathbb{R}).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество [{Large{a^{log_ab}=b}}]
(bullet) Справедливы следующие формулы: [{large{begin{array}{|ll|l|}
hline qquad qquad qquad qquad {small{text{Формулы}}}
&& qquad qquad{small{text{Ограничения}}}\
&&\
hline textbf{(1)} log_a1=0&&a>0, ane 1\
&&\
textbf{(2)} log_aa=1 &&a>0, ane 1\
&&\
textbf{(3)} log_{a}{b^m}=mlog_a|b|&(m —
{small{text{четн.}}})&a>0, ane 1, bne 0\
&&\
textbf{(4)}log_{a}{b^m}=mlog_ab& (m —
{small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(5)} log_{a^n}{b}=frac 1nlog_{|a|}b&(n —
{small{text{четн.}}})&ane 0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(6)}log_{a^n}b=frac1nlog_ab&(n —
{small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(7)} log_a{bc}=log_a|b|+log_a|c|&&a>0, ane 1, bcne 0\
&&\
textbf{(8)}
log_a{dfrac bc}=log_a|b|-log_a|c|&&a>0, ane 1,bcne 0 \
&&\
textbf{(9)}
a^{log_ab}=b &&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(10)}c^{log_ab}=b^{log_ac}&&a>0, ane 1, b>0, c>0\
&&\
textbf{(11)} log_abcdot log_bc=log_ac && a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\
&&\
textbf{(11′}) log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}&&a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\
&&\
&&\
{small{text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \
textbf{(12)} log_abcdot log_ba=1 && a>0, ane 1, b>0, bne 1\
&&\
textbf{(12′}) log_ab=dfrac1{log_ba}&&a>0, ane 1, b>0, bne 1\
&&\ hline
end{array}}}]

Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!

Логарифм и его свойства

Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание степени, чтобы получилось некоторое число.

Ничего не понятно! Будем разбираться на простых примерах.

Пусть дано уравнение: 2^х = 4 (2 — основание степени, х — неизвестный показатель степени, 4 — некоторое число).

Это показательное уравнение. Интуитивно понятно, что неизвестная переменная х равна 2, т.к. 2² = 4.

Модернизируем уравнение: 2^х = 5.

Хм… И как?

х = 2 — мало, а х = 3 много, т.е. х — это какое-то дробное число, скорее всего, даже иррациональное. В любом случае, точно подобрать не получится, разве что на калькуляторе и с округлением.

И поэтому для таких вот случаев ленивые математики придумали определение логарифма. В общем, корнем этого уравнения будет являться х = log₂5 (читается: логарифм числа 5 по основанию 2).

Естественно, что у логарифма есть ограничения, числа a и b должны быть положительными и а не должно быть равно 1 (Если пораскинуть мозгами, станет понятно почему).

Пришло время красиво записать полное определение логарифма на математическом языке, с помощью которого ты сможешь решать простейшие показательные уравнения (наподобие тех, что были выше).

Мы рассмотрели самый приятный вид логарифма. Есть еще два вида, десятичный и натуральный.

В десятичном логарифме основание равно 10, а в натуральном — е (е ≈ 2,718…).

Такие логарифмы пишутся немного по-другому:

log₁₀b = lgb;

log_eb = lnb.

Основные свойства логарифмов.

Свойства работают в обе стороны, при этом a, b, c — положительные и основания логарифмов не равны 1.

Прототипы заданий из ЕГЭ по математике (ФИПИ). Базовый и профильный уровни.

Задание 1.

Найдите корень уравнения 

___________

Для решения этого уравнения используем определение логарифма. Продублирую его еще раз:

Наша задача основание логарифма 3 возвести в третью степень и приравнять выражению в скобках. Уравнение примет вид:

2х — 7 = 3³.

При этом важно не забыть, что (2х — 7) должно быть больше нуля. Это важно.

Решаем обычное линейное уравнение:

2х — 7 = 27;

2х = 34;

х = 17.

Надо убедится, что корень подходит области определения логарифма: 2 · 17 — 7 > 0. Неравенство верно.

Ответ: 17.

Задание 2.

Найдите корень уравнения

___________

Основания у логарифмов одинаковые, значит можно приравнять (5х — 23) и 17.

Снова получаем обычное линейное уравнение:

5х — 23 = 17;

5х = 40;

х = 8.

Удовлетворяет ли корень области определения логарифма? Да (5 · 8 — 23 > 0).

Ответ: 8.

Задание 3.

Найдите значение выражения

___________

Воспользуемся 8-м свойством: изменим основание первого логарифма на удобное нам. А еще представим 4 как 2 в квадрате.

Теперь преобразуем второй логарифм, используя свойство 4.

Одинаковые логарифмы сокращаются…

Ответ: 2.

Задание 4.

Найдите значение выражения

___________

Представим основание нижнего логарифма как 8² и по свойству 5 вынесем показатель степени вперед.

Логарифмы сокращаются, остается разделить 1 на ½.

Ответ: 2.

Задание 5.

Найдите значение выражения

___________

У логарифмов одинаковые основания, значит сработает свойство 2.

В какую степени надо возвести число 7, чтобы получилось 49? Правильно, 2.

Ответ: 2.

Задание 6.

Найдите значение выражения

___________

Для дроби используем свойство 7, только наоборот, а затем — свойство 2.

Ответ: 1.

Задание 7.

Найдите значение выражения

___________

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и сократим их.

Поменяем основание у первого логарифма, используя свойство 8.

Представим дробь 5/4 как 4/5 в минус первой степени.

По свойству 4 выносим -1 вперед.

Логарифмы равны и сокращаются.

Ответ: -4.

Свойства  и графики логарифмических функций

 

1.    
Область определения: D( y ): x ϵ (0; +∞).

2.    
Множество значений: E( y ): y ϵ (-∞;+∞).

3.    
Функция не является четной и не является нечетной.

4.    
Нули функции: при x = 1 логарифмическая функция y = log a x
приобретает значение, равное 0.

5.    
График пересекает ось O x в точке (1; 0).

6.    
Интервалы монотонности: При a > 1 функция возрастает на
интервале (0; +∞). При 0 < a < 1 функция убывает на интервале (0; +∞)

7.    
Интервалы выпуклости / вогнутости: При a > 1 график функции
выпуклый на интервале (0; +∞). При 0 < a < 1 график функции вогнутый на
интервале (0; +∞).

8.    
Из равенства логарифмов двух чисел по одному и тому же основанию
следует равенство самих чисел: log a x = log a y => x = y , a > 0, a ≠ 1.

Примеры решения логарифмических уравнений

Краткий алгоритм решения логарифмических
уравнений:

1. Привести логарифмы в разных частях уравнения к одному
основанию, исключая коэффициенты перед ними с помощью свойства логарифмов.

2. Исключить логарифмы, прибегая к правилу потенцирования.

3. Решить стандартное уравнение.

4. Проверить результат.

5.Записать ответ.

Несколько схем решений логарифмических
уравнений

Схема выполнения равносильных преобразований
логарифмических неравенств (потенцирование неравенств)

 

Обобщенный метод интервалов

Схема:

1. Привести неравенство к такому виду, где в
левой части находится функция f(x), а в правой 0.

2. Найти область определения функции f(x).

3. Найти нули функции f(x), то есть – решить
уравнение f(x) = 0 (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство)

4. Изобразить на числовой прямой область
определения и нули функции.

5. Определить знаки функции f(x) на полученных
интервалах.

6. Выбрать интервалы, где функция принимает
необходимые значения и записать ответ.

Запомни:
знаки расставляются только на области определения функции!

Метод рационализации

(метод
декомпозиции, метод замены множителей, метод замены функции, правило знаков)

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x)ü0 на более простое выражение G(x)ü0 равносильно неравенству F(x)ü0 в области определения выражения F(x).

Выделим некоторые выражения F и
соответствующие им рационализирующие выражения G, где f, g, h, p, q – выражения с переменной x (h>0; h≠1; f>0, g>0), a –
фиксированное число (a>0; a≠1)

 

Схема

1. Найти ОДЗ неравенства

2. Подобрать нужное
рационализирующее выражение

3. Решить неравенство, полученное в
п.2

4. Найти пересечение множеств п 2 и
п. 3

5.
Записать ответ

Интернет-ресурсы для подготовки к профильному
ЕГЭ по математике

1.       alexlarin.net
— каждую неделю публикуются качественные пробники.

2.       ege.sdamgia.ru
— лучший онлайн-тренажёр с решениями заданий.

3.       yandex.ru/tutor/
— Яндекс.Репетитор — тренировочные варианты онлайн.

4.       alleng.org/edu/math3.htm
— книги в pdf формате.

5.       berdov.com/ege/
— хорошие пробники, много нестандартных и сложных заданий.

6.       4ege.ru/video-matematika/50912…
— видеокурс с теорией и практикой.

7.       https://math100.ru/ege/ege-profil/-
задание ЕГЭ в pdf формате, с ответами.

8.       https://www.mathm.ru- задания разделены
по темам и уровням сложности

Шпаргалка для подготовки к ЕГЭ по математике

(профильный уровень) по теме:

Логарифмы.

Уравнения. Неравенства

10 июня 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Логарифмы для ЕГЭ с нуля

Решаем задачи на логарифмы от простых к сложным.

00:28 — Что такое логарифм
02:51 — Мини-практика
04:37 — Что такое lg
05:02 — Основное логарифмическое тождество
07:21 — Формула суммы логарифмов
08:43 — Формула разности логарифмов
09:30 — Еще одно свойство логарифмов
11:54 — Логарифмическое уравнение
13:21 — Опасный момент
14:46 — ОДЗ
16:51 — Реальные примеры из ЕГЭ

Автор: Марсель Нуртдинов.

Источник: vk.com/marsel_tutor