Mathus ru материалы по математике егэ

Материалы по математике: подготовка к олимпиадам и ЕГЭ

Содержание страницы:

Подготовка к олимпиадам: старшие школьники (8–11 классы)

Подготовка к математическим олимпиадам ведётся по специальным листкам. Листок — это небольшой задачник, посвящённый определённой теме. Помимо задач он может содержать и необходимую теорию.

Отличительная особенность данных листков — их нацеленность на подготовку к олимпиадам. Это в первую очередь Всеросс, ММО и Турнир городов, а также олимпиады «Ломоносов», «Покори Воробьёвы горы!», «Физтех», ОММО и «Высшая проба».

Листки содержат задачи самых последних олимпиад, постоянно пополняются новыми задачами и поэтому являются своеобразной следящей системой, автоматически настраивающейся на текущую олимпиадную ситуацию.

Кроме того, в листках много задач вступительных экзаменов в МГУ и МФТИ разных лет. Это не удивительно — ведь олимпиады «Покори Воробьёвы горы!», «Ломоносов» и «Физтех» являются прямыми наследницами прежних вступительных экзаменов.

Для подготовки учеников 7–8 классов к олимпиаде Эйлера и Московской математической олимпиаде написано пособие Олимпиадная математика. Задачник восьмиклассника.

Целые числа

  • Десятичная запись
  • Сумма цифр числа
  • Чётность
  • Делимость. Общие свойства
  • Признаки делимости
  • Простые числа
  • Основная теорема арифметики
  • НОД и НОК
  • Формулы сокращённого умножения
  • Остатки и сравнения
  • Китайская теорема об остатках
  • Делимость. Разное
  • Произведения и факториалы
  • Уравнения в целых числах
  • Неравенства в целых числах
  • Задачи с целыми числами
  • Number Theory. IMO

Алгебра и анализ

  • Рациональные и иррациональные числа
  • Целая и дробная части
  • Числовые неравенства
  • Алгебраические преобразования
  • Системы линейных уравнений
  • Квадратный трёхчлен
  • Многочлены
  • Среднее арифметическое и среднее геометрическое
  • Доказательство неравенств
  • Доказательство неравенств (new)
  • Неравенства на олимпиаде «Туймаада»
  • Функциональные вычисления
  • Функциональные уравнения и неравенства
  • Последовательности
  • Рекуррентные соотношения
  • Суммирование
  • Текстовые задачи
  • Уравнения и неравенства на ММО и Всероссе
  • Исследование функций
  • Интеграл. Геометрия

Алгебраические уравнения и неравенства

  • Квадратные уравнения
  • Уравнения высших порядков
  • Замена переменной
  • Системы алгебраических уравнений
  • Уравнения с модулем
  • Неравенства с модулем
  • Иррациональные уравнения и системы
  • Иррациональные неравенства
  • Комбинированные уравнения и неравенства. 1
  • Функции в уравнениях и неравенствах. 1
  • Минимаксные задачи. 1
  • Плоские множества

Тригонометрия

  • Тригонометрические преобразования и вычисления
  • Исследование тригонометрических функций
  • Обратные тригонометрические функции
  • Преобразования тригонометрических уравнений
  • Тригонометрические уравнения с модулем
  • Тригонометрические уравнения с радикалами
  • Системы тригонометрических уравнений
  • Минимаксные задачи в тригонометрии
  • Тригонометрические неравенства

Логарифмы

  • Логарифмические преобразования и вычисления
  • Показательные уравнения
  • Показательные неравенства
  • Логарифмические уравнения
  • Логарифмические неравенства
  • Комбинированные уравнения и неравенства. 2
  • Функции в уравнениях и неравенствах. 2
  • Минимаксные задачи. 2

Задачи с параметрами

  • Необходимые и достаточные условия
  • Что такое параметр?
  • Параметры. Линейные уравнения и неравенства
  • Параметры и квадратный трёхчлен. 1
  • Параметры и квадратный трёхчлен. 2
  • Параметры и квадратный трёхчлен. 3
  • Параметры. Рациональные уравнения и неравенства
  • Параметры. Уравнения высших порядков
  • Параметр как переменная
  • Область значений функции
  • Условный экстремум
  • Параметры и тригонометрия
  • Минимаксные задачи с параметрами
  • Параметры. Необходимые условия
  • Симметрия в задачах с параметрами
  • Параметры. Свойства функций
  • Параметры. Графики

Разное

  • Примеры и конструкции
  • Ребусы
  • Да или нет?
  • Доказательство от противного
  • Разбиения на пары и группы
  • Упорядочение
  • Принцип крайнего
  • Оценка плюс пример
  • Инварианты
  • Полуинварианты
  • Числовые таблицы
  • Взвешивания
  • Графы
  • Игры и стратегии
  • Турниры
  • Процессы и операции
  • Сборная солянка
  • Всеросс. Избранное

Планиметрия

  • Равенство треугольников
  • Сумма углов треугольника
  • Медианы, высоты, биссектрисы
  • Средняя линия треугольника
  • Прямоугольный треугольник
  • Параллелограмм
  • Трапеция
  • Конкуррентность
  • Неравенство треугольника
  • Вписанные и описанные окружности
  • Касающиеся окружности
  • Ортоцентр
  • Треугольник с углом 60°
  • Треугольник с углом 120°
  • Теорема Карно
  • Четыре точки на окружности
  • Лемма о трезубце
  • Окружность девяти точек и прямая Эйлера
  • Ориентированные углы
  • Прямая Симсона
  • Изогональное сопряжение
  • Педальный треугольник
  • Точка Микеля
  • Радикальная ось
  • Инверсия
  • Симедиана
  • Окружность Аполлония
  • Задача №255
  • Векторы в планиметрии
  • Формула расстояния между точками

Стереометрия

  • Векторы в стереометрии (вводное пособие)
  • Прямые и плоскости
  • Сечения
  • Развёртки
  • Трёхгранные и многогранные углы
  • Пирамида
  • Достраивание тетраэдра
  • Призма
  • Параллелепипед
  • Куб
  • Многогранники
  • Сфера и шар
  • Вписанная сфера
  • Описанная сфера
  • Тела вращения
  • Комбинации фигур
  • Объём и площадь поверхности
  • Преобразования пространства
  • Векторы
  • Геометрические задачи на экстремум
  • Неравенства в геометрии
  • Проектирование или векторы?
  • Большее в меньшем

Геометрия. Олимпиады

  • Геометрия на Всероссийской олимпиаде. 8 класс
  • Геометрия на Всероссийской олимпиаде. 9 класс
  • Геометрия на Всероссийской олимпиаде. 10 класс
  • Геометрия на Всероссийской олимпиаде. 11 класс
  • Геометрия на ММО. 8 класс
  • Геометрия на ММО. 9 класс
  • Геометрия на ММО. 10 класс
  • Геометрия на ММО. 11 класс
  • Планиметрия на олимпиаде ПВГ
  • Стереометрия на олимпиаде ПВГ
  • Планиметрия на олимпиаде «Ломоносов»
  • Стереометрия на олимпиаде «Ломоносов»
  • Планиметрия на олимпиаде «Физтех»
  • Стереометрия на олимпиаде «Физтех»
  • Планиметрия на ОММО
  • Стереометрия на ОММО
  • Geometry. IMO

Комбинаторика и вероятность

  • Перебор вариантов
  • Цепочки и множества
  • Правила суммы и произведения
  • Размещения, перестановки и сочетания
  • Вероятность
  • Формула включений и исключений
  • Подсчёт двумя способами
  • Принцип Дирихле
  • Рекуррентные соотношения в комбинаторике
  • Формула Эйлера и плоские графы
  • Биекции
  • Теорема Шпернера

Теория графов

  • Деревья
  • Перечисление графов
  • Планарные графы
  • Эйлеровы графы
  • Экстремальные характеристики графов
  • Теорема Турана
  • Графы пересечений
  • Теория Рамсея

Комбинаторная геометрия

  • Системы точек и отрезков
  • Разрезания
  • Замощения плитками
  • Раскраски
  • Шахматная раскраска
  • Геометрия на клетчатой бумаге
  • Целочисленные решётки

Логика

  • Логические задачи
  • Рыцари и лжецы. Рассуждения
  • Рыцари и лжецы. Уравнения

Подготовка к олимпиадам: младшие школьники (5–7 классы)

Две основные олимпиады для младших школьников — это Математический праздник и Турнир Архимеда. Наряду с ними готовимся к олимпиадам «Ломоносов», «Покори Воробьёвы горы!», «Высшая проба», «Курчатов», а также к школьному и муниципальному этапам Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Группировка листков по темам во многом следует тематическому каталогу problems.ru (как наиболее удачному с моей точки зрения). Листки содержат:

  • все задачи Матпраздника с момента его появления (то есть с 1990 года);
  • все задачи Городской устной математической олимпиады для 6–7 классов с момента её появления (с 2002 года);
  • все задачи Турнира Архимеда с 2011 года;
  • задачи последних олимпиад «Покори Воробьёвы горы!», «Ломоносов», «Высшая проба» «Курчатов» и «Физтех», а также школьных и муниципальных этапов Всероссийской олимпиады школьников.

На базе этих листков создано пособие Олимпиадная математика. Задачник 6–7.

Начало

  • Примеры и конструкции
  • Да или нет?

Арифметика

  • Десятичная система счисления
  • Арифметические действия
  • Ребусы
  • Чётность
  • Делимость
  • Признаки делимости
  • Простые числа
  • Основная теорема арифметики
  • НОД и НОК
  • Деление с остатком
  • Последняя цифра
  • Дроби

Текстовые задачи

  • Движение
  • Работа
  • Стоимость
  • Части и отношения
  • Проценты
  • Смеси и концентрации
  • Неравенства
  • Метод Прокруста
  • Разные арифметические задачи

Алгоритмы

  • Алгоритмы и операции
  • Взвешивания
  • Переливания
  • Таблицы

Алгебра

  • Уравнения в целых числах
  • Вычисление сумм
  • Алгебраические преобразования

Комбинаторика

  • Перебор вариантов
  • Правило произведения
  • Сочетания
  • Принцип Дирихле
  • Комбинаторика-7

Графы

  • Степень вершины
  • Связные графы
  • Обход графов
  • Ориентированные графы

Играем!

  • Игры и стратегии
  • Турниры
  • Шахматные доски и фигуры

Рассуждения

  • Разбиения на пары и группы
  • Доказательство от противного
  • Логика
  • Перебор случаев
  • Оценка плюс пример
  • Обратный ход
  • Принцип крайнего

Наглядная геометрия

  • Наглядная геометрия на плоскости
  • Наглядная геометрия в пространстве

Комбинаторная геометрия

  • Разрезания
  • Раскраски
  • Замощения плитками
  • Целочисленные решётки
  • Геометрия на клетчатой бумаге
  • Шахматная раскраска

Планиметрия

  • Отрезки и углы
  • Углы треугольника
  • Равносторонний треугольник
  • Равнобедренный треугольник
  • Прямоугольники и квадраты
  • Построения
  • Геометрия-7. Разное

Варианты математических олимпиад

Здесь содержатся варианты олимпиад по математике, используемые в повседневной работе. Ведь наилучший способ подготовиться к олимпиаде — это постоянно решать варианты последних лет.

Двузначное число в каждой ссылке означает год проведения финала олимпиады.

Всероссийская олимпиада школьников по математике

ШЭ МЭ РЭ ЗЭ
5 класс 23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		15,
14 		— —
6 класс 23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		15,
14 		— —
7 класс 23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		— —
8 класс 23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		— —
9 класс 23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		22,
21,
19,
18
17,
16,
15,
14
10 класс 23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		22,
21,
19,
18
17,
16,
15,
14,
13
11 класс 23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		23,
22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14 		22,
21,
19,
18
17,
16,
15,
14

Примечания.

  • Муниципальный этап для 5 и 6 классов начиная с 2015/16 года не проводится.
  • Региональный и заключительный этапы для 5–8 классов не предусмотрены. Вместо них проводится олимпиада им. Леонарда Эйлера (для восьмиклассников).
  • Заключительный этап 2020 года не проводился из-за ковида.

Олимпиада им. Леонарда Эйлера

Олимпиада им. Леонарда Эйлера («Всеросс в младшей лиге») проводится с 2008/09 года.

Регион 22,
21,
20,
19,
18,
17,
16
15,
14,
13,
12,
11,
10,
09
Финал 22,
21,
20,
19,
18,
17,
16
15,
14,
13,
12,
11,
10,
09

Математический праздник

6 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17,
16,
15,
14,
13,
12
11,
10,
09,
08,
07,
06,
05,
04,
03,
02,
01
00,
99,
98,
97,
96,
95,
94,
93,
92,
91,
90
7 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17,
16,
15,
14,
13,
12
11,
10,
09,
08,
07,
06,
05,
04,
03,
02,
01
00,
99,
98,
97,
96,
95,
94,
93,
92,
91,
90

Московская математическая олимпиада

8 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17,
16
15,
14,
13,
12,
11,
10,
09
9 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17,
16
15,
14,
13,
12,
11,
10,
09
10 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17,
16
15,
14,
13,
12,
11,
10,
09
11 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17,
16
15,
14,
13,
12,
11,
10,
09

Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

5–6 классы 22,
21,
20a,
20b,
19
18.1a,
18.1b,
18.2a,
18.2b,
18.3a,
18.3b
17.1a,
17.1b,
17.2a,
17.2b,
17.3a,
17.3b
16.1a,
16.1b,
16.2a,
16.2b,
16.3a,
16.3b
7 класс 22,
21,
20a,
20b,
19
18.1a,
18.1b,
18.2a,
18.2b,
18.3a,
18.3b
17.1a,
17.1b,
17.2a,
17.2b,
17.3a
16.1a,
16.1b,
16.2a,
16.2b,
16.3a,
16.3b

15,
14,
13,
12
8 класс 22,
21,
20a,
20b,
19
18.1a,
18.1b,
18.2a,
18.2b,
18.3a,
18.3b
17.1a,
17.1b,
17.2a,
17.2b,
17.3a
16.1a,
16.1b,
16.2a,
16.2b,
16.3a,
16.3b

15,
14,
13,
12
9 класс 22,
21,
20a,
20b,
19
18.1a,
18.1b,
18.2a,
18.2b,
18.3a,
18.3b
17.1a,
17.1b,
17.2a,
17.2b,
17.3a
16.1a,
16.1b,
16.2a,
16.2b,
16.3a,
16.3b

15,
14,
13,
12
10–11 классы 22.10,
22.11,
21,
20.10,
20.11
19.1,
19.2,
19.3,
19.4,
19.5,
19.6
18.1,
18.2,
18.3,
18.4,
18.5,
18.6
17.1,
17.2,
17.3,
17.4,
17.5
16.1,
16.2,
16.3,
16.4,
16.5,
16.6
15.1,
15.2,
15.3,
15.4,
15.5,
15.6
14.1,
14.2,
14.3,
14.4,
14.5,
14.6,
14.7
13.1,
13.2,
13.3,
13.4,
13.5,
13.7
12.1,
12.2,
12.3,
12.4,
12.5,
12.6,
12.7
11.1,
11.2,
11.3,
11.4
10.1,
10.2,
10.3,
10.4,
10.5

Олимпиада «Ломоносов»

5–6 классы 22
21,
20,
19,
18,
17,
16
7 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17
16,
15,
14,
13,
12,
11
8 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17
16,
15,
14,
13,
12,
11
9 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17
16,
15,
14,
13,
12,
11
10–11 классы 22.10,
22.11,
21.1,
21.2
20.10,
20.11,
19,
18,
17
16,
15,
14,
13,
12,
11
10,
09,
08,
07,
06,
05

Олимпиада «Физтех»

Онлайн Финал
5 класс 18,
17,
16 		—
6 класс 18,
17,
16 		—
7 класс 18,
17
16,
15,
14 		—
8 класс 18,
17,
16
15,
14,
13 		—
9 класс 18,
17,
16,
15
14,
13,
12,
11 		22.1,
22.2; 
21
20.1,
20.2; 
19.1,
19.2
18.1,
18.2; 
17.1,
17.2
16.1,
16.2,
16.3
10 класс 18,
17,
16,
15
14,
13,
12,
11 		22.1,
22.2; 
21
20.1,
20.2; 
19.1,
19.2
18.1,
18.2; 
17.1,
17.2
16.1,
16.2,
16.3
15.1,
15.2,
15.3
11 класс 18,
17,
16,
15
14,
13,
12,
11 		22.1,
22.2; 
21
20.1,
20.2; 
19.1,
19.2
18.1,
18.2; 
17.1,
17.2
16.1,
16.2,
16.3
15.1,
15.2,
15.3
14.1,
14.2; 
13.1,
13.2
12.1,
12.2; 
11.1,
11.2
10.1,
10.2; 
09.1,
09.2; 
08,
07
Экзамен
1994 — 2008		 08.1,
08.2,
08.3,
08.4
07.1,
07.2,
07.3,
07.4
06.1,
06.2,
06.3,
06.4
05.1,
05.2,
05.3
04.1,
04.2,
04.3
03.1,
03.2,
03.3
02.1,
02.2,
02.3
01.1,
01.2,
01.3 		00.1,
00.2
99.1,
99.2
98.1,
98.2
97.1,
97.2,
97.3
96.1,
96.2,
96.3
95.1,
95.2,
95.3
94.1,
94.2,
94.3

Примечания.

  • Очный финал для 5–8 классов пока не проводится.
  • В 2016/17 и 2017/18 годах на онлайн-этапе для 5 и 6 классов давалось задание 7 класса.
  • Очный финал для 10 класса впервые прошёл в 2015 году, а для 9 класса — в 2016 году.

Олимпиада «Высшая проба»

7 класс 22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14
8 класс 22,
21,
20,
19,
18
17,
16,
15,
14,
13
9 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17
16,
15,
14,
13,
12,
11
10 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17
16,
15,
14,
13,
12,
11
11 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17
16,
15,
14,
13,
12,
11

Олимпиада «Курчатов»

6 класс 22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15
7 класс 22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14
8 класс 22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14
9 класс 22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14
10 класс 22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14
11 класс 22,
21,
20,
19
18,
17,
16,
15,
14

ОММО — Объединённая межвузовская математическая олимпиада

9–10 классы 16,
15
11 класс 22,
21,
20,
19,
18,
17,
16
15,
14,
13,
12,
11,
10,
09

Письменный экзамен мехмата МГУ и ДВИ МГУ

Мехмат 10,
09,
08,
07,
06,
05
04-03,
04-07; 
03-03,
03-05,
03-07
02-03,
02-05,
02-07; 
01-03,
01-05,
01-07
00-03,
00-05,
00-07; 
99-03,
99-05,
99-07
98-03,
98-05,
98-07; 
97-03,
97-05,
97-07
96-03,
96-05,
96-07; 
95-03,
95-05,
95-07
94-05,
94-07,
93-05,
93-07
ДВИ 18,
17,
16,
15,
14,
13,
12,
11

Турнир Архимеда

Московская городская устная математическая олимпиада для 6–7 классов

6 класс 22,
21,
19,
18,
17,
16,
15,
14,
13
12,
11,
10,
09,
08,
06,
05,
04,
03,
02
7 класс 22,
21,
19,
18,
17,
16,
15,
14,
13
12,
11,
10,
09,
08,
06,
05,
04,
03,
02

Турнир городов

ОБ ОС ВБ ВС
8–9 классы 17,
16,
15 		17,
16,
15 		17,
16,
15 		17,
16,
15
10–11 классы 17,
16,
15 		17,
16,
15 		17,
16,
15 		17,
16,
15

Всесоюзная олимпиада школьников по математике

Международная олимпиада «Туймаада» по математике

Задачи ЕГЭ по математике

В данном разделе приведены задачи ЕГЭ по математике (профильный уровень, сложная часть), а также диагностических и тренировочных работ МИОО начиная с 2009 года. Последнее пособие («Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике») содержит авторские решения.

  • Тригонометрические уравнения на ЕГЭ по математике
  • Стереометрия на ЕГЭ по математике
  • Алгебраические уравнения и неравенства на ЕГЭ по математике
  • Показательные уравнения и неравенства на ЕГЭ по математике
  • Логарифмические уравнения и неравенства на ЕГЭ по математике
  • Планиметрия на ЕГЭ по математике
  • Экономические задачи на ЕГЭ по математике
  • Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике
  • Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике

Базовый курс математики

Общий курс математики предназначен для школьников 8–11 классов. Чтение статей не требует предварительных знаний, так что изучение каждой темы можно начинать с нуля. Статьи, однако, рассчитаны на школьника, заинтересованного в глубоком изучении математики; с каждой статьёй нужно работать — вникать в идеи и самостоятельно воспроизводить выкладки.

Планиметрия

  • Длины и отношения отрезков
  • Углы
  • Признаки равенства треугольников
  • Геометрическое место точек
  • Параллельность. Сумма углов треугольника
  • Окружность
  • Параллелограмм
  • Средняя линия треугольника
  • Трапеция
  • Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках
  • Теорема Пифагора
  • Площадь. 1
  • Подобие треугольников
  • Вписанный четырёхугольник

Тригонометрия

  • Углы в тригонометрии
  • Тригонометрическая окружность
  • Тригонометрические функции. Синус и косинус
  • Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс
  • Тригонометрический круг
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Формулы сложения
  • Формулы приведения
  • Формулы двойного и половинного угла
  • Суммы и произведения тригонометрических функций
  • Тригонометрические формулы (резюме)
  • Введение в аркфункции
  • Уравнения с аркфункциями
  • Простейшие тригонометрические уравнения
  • Тригонометрические уравнения. 1
  • Задача С1 на ЕГЭ по математике
  • Тригонометрические уравнения. 2

Алгебра

  • Степени и корни
  • Арифметическая прогрессия
  • Геометрическая прогрессия
  • Логарифм

Уравнения и неравенства

  • Метод интервалов → Задачи
  • Показательные уравнения и неравенства → Задачи
  • Логарифмические уравнения и неравенства → Задачи
  • Метод рационализации → Задачи
  • Задача С3 на ЕГЭ по математике

Стереометрия

  • Пирамида
  • Призма
  • Взаимное расположение прямых в пространстве
  • Угол между скрещивающимися прямыми → Задачи
  • Взаимное расположение прямой и плоскости
  • Теорема о трёх перпендикулярах
  • Угол между прямой и плоскостью → Задачи
  • Взаимное расположение плоскостей
  • Угол между плоскостями → Задачи
  • Расстояние от точки до прямой → Задачи
  • Расстояние от точки до плоскости → Задачи
  • Расстояние между скрещивающимися прямыми → Задачи
  • Метод объёмов
  • Задачи на сечения многогранников
  • Многогранники в задаче №16 (пособие)

Исследование функций

  • Что такое функция?
  • Чтение графика функции
  • Производная (пособие)
  • Геометрический смысл производной

Разное

Любознательным:

  • Выпускной экзамен по математике в Финляндии, весна 2020
  • Задача про викторину на ЕГЭ по математике
Источник

Методические материалы по математике для ЕГЭ. Теория. Игорь Яковлев. ЕГЭ по математике.

07.10.2012

Методические материалы для подготовки к ЕГЭ по математике. Теория.

Автор: Игорь Яковлев http://mathus.ru

СКАЧАТЬ:

https://down.ctege.info/ege/obshee/matem/matem2013teoriya-yakovlev.zip

 Обзор содержания:

Алгебра и анализ
Метод интервалов
Уравнения и неравенства с модулем
Что такое функция?
Чтение графика функции
Степени и корни
Производная
Геометрический смысл производной
Тригонометрия
Тригонометрический круг
Тригонометрические формулы
Простейшие тригонометрические уравнения. 1
Простейшие тригонометрические уравнения. 2
Тригонометрические уравнения
Планиметрия
О первичных понятиях, или Зачем аксиомы в геометрии?
Стереометрия
Пирамида
Призма
Взаимное расположение прямых в пространстве

Источник
 On-line ресурсы 

 Полезные сайты:

1. Федеральный институт педагогических измерений (www.fipi.ru)

Официальная информация о ЕГЭ и ОГЭ: сроки экзаменов, демоверсии, открытые банки заданий по всем предметам, критерии оценки работ, подготовка экспертов.

Все важные изменения, связанные с экзаменами, отражаются на этом ресурсе.

Мы внимательно следим за рекомендациями экспертов.

РЕШУ.png
2. РЕШУ ОГЭ и ЕГЭ (sdamgia.ru)

Данный сайт, разработанный Дмитрием Гущиным, известен каждому выпускнику. Им активно пользуются учителя и учащиеся.
На сайте вы найдете каталоги прототипов экзаменационных заданий с решениями и удобную систему тестов-тренажеров для подготовки к экзаменам.
Если вы еще не в группе VK, то обязательно добавляйтесь.

Решу ЕГЭ.png
Яковлев.png
3. Сайт Игоря Яковлева (mathus.ru)

Игорь Яковлев специализируется на подготовке школьников к олимпиадам по математике и физике. На его сайте выложены полезные авторские разработки (базовый курс школьной математики, задачники для подготовки к ЕГЭ и материалы для подготовки к олимпиадам).

4. Сайт Александра Ларина (alexlarin.net)

Да данном сайте представлена большая база тренировочных вариантов ОГЭ и ЕГЭ по математике, которые активно используются в образовательном процессе. На форуме можно посмотреть разные решения и предложить своё.

.
.
.
Данный раздел будет пополняться различными интересными и полезными ресурсами.

Источник

6 октября 2012

В закладки

Обсудить

Жалоба

6 сборников с задачами ЕГЭ по математике С1-С6.

Задания выбраны из различных пробных и реальных экзаменационных вариантов.
Ответы прилагаются.

Скачать задачник C1: c1.pdf
Скачать задачник C2: c2.pdf
Скачать задачник C3: c3.pdf
Скачать задачник C4: c4.pdf
Скачать задачник C5: c5.pdf
Скачать задачник C6: c6.pdf

Игорь Вячеславович Яковлев,
mathus.ru.

Другие сборники к части C:
С1 | C2 | C3 | C4 | C5 | C6

Источник

Подготовка к олимпиадам, ДВИ и ЕГЭ по математике и физике

Цель данного сайта — содействовать физико-математическому развитию школьников. Автор и разработчик сайта — Игорь Вячеславович Яковлев, преподаватель математики и физики.

Моя специализация — подготовка школьников к олимпиадам по математике и физике (и, как следствие, углублённая подготовка старшеклассников к ЕГЭ и ДВИ МГУ).

В данный момент занятия идут дистанционно.

Кого обучаю

Готовиться к олимпиадам приходят:

  • матшкольники, желающие совершенствовать навыки решения задач современных олимпиад;
  • ребята, собирающиеся поступать в хорошую физматшколу;
  • старшеклассники — абитуриенты МФТИ, Высшей школы экономики и МГУ.

Цели и специфика подготовки могут меняться от класса к классу. Более подробная информация по классам: 6 класс, 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс, 11 класс.

Зачем обучаю

Олимпиадные дипломы дают серьёзные преимущества при поступлении в вуз:

  • 100 баллов по предмету в зачёт ЕГЭ;
  • 100 баллов в МГУ за ДВИ (дополнительное вступительное испытание);
  • самая мощная льгота БВИ («без вступительных испытаний») — зачисление «первым эшелоном» до зачисления по конкурсу всех остальных.

Олимпиадников сейчас много, и старшеклассники отлично понимают, что без олимпиад — с одними только баллами ЕГЭ за душой — можно запросто остаться за бортом вуза своей мечты.

Цель моей работы с учеником — диплом победителя или призёра на ключевых олимпиадах:

Олимпиадная подготовка с огромным запасом обеспечивает подготовку к ЕГЭ. Когда в конце марта (по окончании олимпиадного сезона) мы с одиннадцатиклассниками переключаемся на ЕГЭ, выясняется, что делать там уже особо нечего — после многомесячной олимпиадной практики задачи ЕГЭ перестают восприниматься всерьёз. Олимпиадники не напрягаясь набирают на ЕГЭ свои 75+ баллов, необходимые для подтверждения льгот (и нередко получают около сотни, хотя это им в принципе уже и не нужно).

Когда обучаю

Дни занятий: понедельник, вторник, среда, четверг и суббота.

Одно занятие длится два астрономических часа (120 минут). В каждый из указанных выше дней я провожу два занятия.

Время занятий всегда одно и то же: с 17 до 19 часов — первое занятие, с 19 до 21 — второе. Время московское.

Период занятий в 2021/22 учебном году — с 06.09.21 по 25.12.21 и с 10.01.22 по 28.05.22. Возможен перерыв (дней десять) на майские праздники. Осенних и весенних каникул нет.

Как обучаю

На занятии я работаю одновременно с несколькими учениками, но при этом с каждым из них — индивидуально. Каждого ученика я веду в его собственном темпе, по персональному графику и независимо от остальных учеников.

Все занятия имеют вид «сеанса одновременной игры»: каждый ученик занимается строго своим делом и никак не связан с другими учениками. При дистанционных занятиях ученик вообще не видит и не слышит других учеников: функционирует только наш с ним персональный канал связи. Работа с группой как с единым целым отсутствует, и поэтому для ученика не существует понятий «отстал от группы» или «пропустил тему».

Наиболее важные оргвопросы обсуждаются на странице Занятия.

На олимпиаде или ЕГЭ моё участие заканчивается: там ученик действует исключительно своим умом (я не оказываю никаких видов «онлайн-помощи» и «поддержки»). Разумеется, никаких гарантий получения олимпиадного диплома или нужного количества баллов на ЕГЭ я также не даю.

Методические материалы

Эффективность занятий в виде «сеансов одновременной игры» обеспечивается моими методическими материалами, которые выложены на страницах Математика и Физика бесплатно для всех желающих.

Все ученики работают по этим материалам. Опыт показывает, что нужды в других пособиях не возникает.

Сколько стоит

Стоимость одного двухчасового (120 минут) занятия в 2021/22 учебном году составляет 3250 рублей. Более подробная информация насчёт оплаты находится в разделе Стоимость и оплата.

Юридическое

Я — индивидуальный предприниматель (ОГРНИП, ИНН). Оплата занятий производится безналично на мой расчётный счёт ИП в Сбербанке.

Новости и объявления

20.02.22 . Турнир Архимеда — два диплома.

20.02.22 . Региональный этап ВсОШ по физике — четыре победителя и пять призёров.

20.02.22 . Региональный этап олимпиады Максвелла — победитель.

24.08.21 . Итог поступления 11-классников: 12 человек — МФТИ, 7 — ВШЭ, 9 — МГУ, двое — МИФИ, двое — МГТУ.

05.08.21 . Попытка рассмотреть в общем виде задачу про викторину на ЕГЭ по математике.

24.07.21 . Написано небольшое пособие Векторы в стереометрии. Этот материал необходим на входе в 11 класс и будет использоваться на занятиях уже в сентябре.

13.07.21 . ЕГЭ по физике: 100, 99, 99, 99, 97, 97, 97, 93, 93, 93, 91, 91, 89, 87, 87, 86, 85, 80, 74, 70, 64.

13.07.21 . ЕГЭ по математике: 100, 100, 100, 99, 99, 98, 96, 96, 96, 94, 92, 90, 88, 88, 88, 86, 84, 84, 82.

03.06.21 . Олимпиада «Курчатов» по физике — шесть призёров.

03.06.21 . Олимпиада «Курчатов» по математике — победитель и два призёра.

26.05.21 . Олимпиада «Росатом» по физике — два победителя и 11 призёров.

26.05.21 . Олимпиада «Росатом» по математике — четыре призёра.

24.05.21 . Городская устная олимпиада по геометрии — три диплома и ПГ.

16.05.21 . Олимпиада Верченко по математике и криптографии — призёр.

16.05.21 . Турнир Ломоносова по математике — призёр.

13.05.21 . Московская математическая олимпиада — пять дипломов и четыре ПГ.

30.04.21 . Заключительный этап олимпиады Максвелла — призёр.

21.04.21 . Олимпиада «Ломоносов» по математике — победитель и пять призёров.

18.04.21 . Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» по физике — призёр.

17.04.21 . Олимпиада «Физтех»: 31 диплом. Математика — 3 победителя и 13 призёров, физика — 5 победителей и 10 призёров.

14.04.21 . Олимпиада ЮМШ — призёр.

13.04.21 . Олимпиада «Ломоносов» по физике — четыре победителя и два призёра.

12.04.21 . Олимпиада СПбГУ по физике — победитель и два призёра.

10.04.21 . Интернет-олимпиада школьников по физике — победитель и призёр.

09.04.21 . Всесибирская олимпиада по физике — победитель и три призёра.

09.04.21 . Всесибирская олимпиада по математике — призёр.

26.03.21 . Всеросс по экономике — призёр.

15.03.21 . Городская устная олимпиада по математике для 6–7 классов — диплом III степени.

06.03.21 . Региональный этап ВсОШ по математике — шесть призёров.

27.02.21 . Региональный этап олимпиады Эйлера — победитель и три призёра.

16.02.21 . Региональный этап ВсОШ по физике — восемь призёров.

15.02.21 . Региональный этап олимпиады Максвелла — победитель и семь призёров.

02.11.20 . Льготы олимпиадникам 2020/21: МФТИ, ВШЭ, МГУ.

04.09.20 . Итог поступления 11-классников: 17 человек — МФТИ, трое — ВШЭ, пятеро — МГУ, один — КФУ.

06.08.20 . ЕГЭ по физике: 100, 99, 99, 99, 97, 97, 97, 95, 95, 95, 95, 93, 93, 93, 93, 93, 93, 91, 91, 89, 87, 76.

06.08.20 . ЕГЭ по математике: 100, 100, 100, 98, 98, 98, 96, 94, 94, 94, 92, 92, 90, 88, 88, 86, 86, 84.

12.06.20 . Олимпиада «Курчатов» по физике — 11 призёров.

12.06.20 . Олимпиада «Курчатов» по математике — три призёра.

12.06.20 . Финальный устный тур Турнира городов — призёр.

11.06.20 . Турнир Ломоносова по физике — победитель и призёр.

09.06.20 . Олимпиада «Ломоносов» по математике — три победителя и два призёра.

09.06.20 . Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» по математике — победитель и два призёра.

06.06.20 . Олимпиада «Росатом» по физике — три победителя и 16 призёров.

06.06.20 . Олимпиада «Росатом» по математике — два призёра.

03.06.20 . Олимпиада «Ломоносов» по физике — три победителя и восемь призёров.

26.05.20 . Олимпиада «Нанотехнологии — прорыв в будущее!» — победитель.

22.05.20 . Олимпиада «Физтех»: 42 диплома! Математика — 4 победителя и 8 призёров, физика — 16 победителей и 14 призёров.

16.05.20 . Интернет-олимпиада школьников по физике — победитель.

17.04.20 . Всесибирская олимпиада по математике — три призёра.

03.04.20 . Олимпиада «Высшая проба» по физике — два призёра.

03.04.20 . Олимпиада «Высшая проба» по математике — три призёра.

02.04.20 . Всесибирская олимпиада по физике — победитель и три призёра.

24.03.20 . Олимпиада СПбГУ по математике: победитель.

22.03.20 . Московская математическая олимпиада — пять дипломов и пять ПГ.

05.03.20 . Олимпиада КФУ по физике: призёр (дистанционная подготовка).

27.02.20 . Региональный этап ВсОШ по математике — 5 призёров.

11.02.20 . Региональный этап ВсОШ по физике — 14 призёров.

11.02.20 . Региональный этап олимпиады Максвелла — победитель и четыре призёра.

09.01.20 . Осенний тур Турнира городов — три победителя и 13 премий.

30.12.19 . Олимпиада ЮМШ — два призёра.

25.12.19 . Олимпиада по математике НИУ ВШЭ для девочек — серебро.

01.10.19 . Иранская олимпиада по геометрии — призёр.

08.08.19 . Итог поступления 11-классников: десять человек — МФТИ, четверо — ВШЭ, двое — МГУ, один — SFU (Канада). Из этих 17 человек 11 имели БВИ.

18.06.19 . ЕГЭ по физике: 98, 96, 96, 96, 96, 96, 94, 94, 92, 92, 90, 88, 84.

11.06.19 . ЕГЭ по математике: 100, 100, 100, 99, 99, 98, 98, 98, 96, 96, 94, 94, 92, 92, 86.

16.05.19 . Олимпиада «Курчатов» по физике — два призёра.

25.04.19 . Олимпиада Максвелла — призёр финала.

18.04.19 . Олимпиада «Физтех»: 23 ученика получили 28 дипломов! Математика — 4 победителя и 6 призёров, физика — 8 победителей и 10 призёров.

16.04.19 . Городская устная олимпиада по геометрии — призёр.

10.04.19 . Всеросс по физике — четыре призёра!

10.04.19 . Олимпиада «Ломоносов» по математике — два призёра.

08.04.19 . Московская математическая олимпиада — два диплома и десять ПГ.

05.04.19 . Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» по физике — победитель и три призёра.

05.04.19 . Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» по математике — два призёра.

04.04.19 . Всесибирская олимпиада по математике — призёр.

04.04.19 . Олимпиада «Высшая проба» по физике — три призёра.

04.04.19 . Олимпиада «Высшая проба» по математике — победитель и призёр.

01.04.19 . Олимпиада «Росатом» по физике — два победителя и 12 призёров.

01.04.19 . Олимпиада «Росатом» по математике — победитель и призёр.

01.04.19 . Олимпиада «Ломоносов» по физике — четыре победителя и два призёра.

29.03.19 . Олимпиада Эйлера — призёр финала.

28.03.19 . Интернет-олимпиада школьников по физике — победитель.

28.03.19 . Всеросс по экономике — призёр финала.

25.03.19 . Финальный устный тур Турнира городов — два призёра.

26.02.19 . Всеросс по физике — четыре финалиста.

25.02.19 . Олимпиады Эйлера и Максвелла — два финалиста.

16.02.19 . Региональный этап олимпиады Максвелла — пять призёров.

Методические материалы по математике для ЕГЭ. Теория. Игорь Яковлев. ЕГЭ по математике.

Методические материалы для подготовки к ЕГЭ по математике. Теория.

Алгебра и анализ
Метод интервалов
Уравнения и неравенства с модулем
Что такое функция?
Чтение графика функции
Степени и корни
Производная
Геометрический смысл производной
Тригонометрия
Тригонометрический круг
Тригонометрические формулы
Простейшие тригонометрические уравнения. 1
Простейшие тригонометрические уравнения. 2
Тригонометрические уравнения
Планиметрия
О первичных понятиях, или Зачем аксиомы в геометрии?
Стереометрия
Пирамида
Призма
Взаимное расположение прямых в пространстве

ЕГЭ_С1_Тригонометрические уравнения. И. В. Яковлев

Название И. В. Яковлев
Анкор ЕГЭ С1 Тригонометрические уравнения.pdf
Дата 05.11.2017
Размер 186.29 Kb.
Формат файла
Имя файла EGE_S1_Trigonometricheskie_uravnenia.pdf
оригинальный pdf просмотр
Тип Статья
#28009
Каталог dilechka_akhmedova
С этим файлом связано 14 файл(ов). Среди них: EGE-2014_Obschestvoznanie_Trenirov_rabota_1_v.pdf, EGE_2013_Matematika_Zadacha_S1_Shestakov_S_A.pdf, Zadachnik_c1.pdf, SPISOK_LS_EKZ_2017.pdf, EGE-2014_Obschestvoznanie_Sam_poln_izd_tipov.pdf, B7-2014.pdf, egeC1.pdf, B5-2014.pdf, VOPROSY_EKZAMEN_PROFILAKTIKA_2017.pdf, test_1.xls и ещё 4 файл(а).
Показать все связанные файлы

Однородные уравнения
Рассмотрим уравнение:
sin
2
x + 2 sin x cos x − 3 cos
2
x = 0.
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене a
2
+ 2ab − 3b
2
степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).
Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на cos
2

x. Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?
Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.
Предположим, что cos x = 0. Тогда в силу уравнения и sin x = 0, что противоречит основ- ному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cos x = 0, и мы можем поделить обе его части на cos
2
x.
В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тан- генса:
tg
2
x + 2 tg x − 3 = 0,
и дальнейший ход решения трудностей не представляет.
1. Рассмотрим уравнение
10 sin
2
x + 5 sin x cos x + cos
2
x = 3.
Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение 3(sin
2
x + cos
2
x):
10 sin
2
x + 5 sin x cos x + cos
2
x = 3(sin
2
x + cos
2
x),
7 sin
2
x + 5 sin x cos x − 2 cos
2
x = 0,
и дело сделано.
2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:
3 cos x + 2 sin x = 1.
Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!
3 cos
2
x
2
− sin
2
x
2
+ 4 sin x
2
cos x
2
= cos
2
x
2
+ sin
2
x
2
,
4 sin
2
x
2
− 4 sin x
2
cos x
2
− 2 cos
2
x
2
= 0,
2 tg
2
x
2
− 2 tg x
2
− 1 = 0,
tg x
2
=
1 ±
√
3 2
,
откуда x = 2 arctg
1 ±
√
3 2
+ 2πn, n ∈ Z.
(3)
Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.
4

источники:

http://ctege.info/knigi-po-matematike-dlya-podgotovki-k-ege/metodicheskie-materialyi-po-matematike-dlya-ege-teoriya-igor-yakovlev-ege-po-matematike.html

http://biologo.ru/i-v-yakovlev-v2/index.html

Источник

Интервью с Игорем Яковлевым – преподавателем математики и физики, автором книг «Физика. Полный курс подготовки к ЕГЭ», «Комбинаторика для олимпиаднико», профессионалом, ежегодно выпускающим десятки призеров олимпиад.
— Игорь, скажи, пожалуйста, сколько у тебя в этом году призеров и победителей олимпиад?

— Я специально не считал. На олимпиаде «Физтех» было более 20 человек, которые получили дипломы. Из них примерно от 1/3 до 1/2 – стали победителями.

— У меня есть некоторая статистика, которую я взяла с твоего сайта. Олимпиада «Курчатов» по физике – 2 призера; олимпиада «Максвелл» — призер финала; олимпиада «Физтех» — 23 ученика и 28 дипломов: математика – 4 победителя, 6 призеров: физика – 8 победителей, 10 призеров; МОШ по физике – 2 победителя. Смотрю только на победителей, потому что призеров очень много. «Покори Воробьевы горы» (ПВГ) по физике – 1 победитель; «Высшая проба» по математике – 1 победитель; «Росатом» по физике – 2 победителя, по математике – 1 победитель; «Ломоносов» по физике – 4 победителя; интернет-олимпиада школьников по физике – победитель. В общем, очень длинный список.

— Да. Но не всегда это разные люди.

— То есть один человек может взять сразу несколько дипломов?

— Конечно! В основном так и бывает.

— Скажи, что это дает? Что нужно, чтобы поступить в ВУЗ без экзаменов по олимпиаде? Нужно быть победителем или призером? И какой именно олимпиады?

— Во-первых, надо посмотреть, в каком ВУЗе какие олимпиады дают льготы. В разных ВУЗах разный перечень. Давайте для определенности возьмем Московский физико-технический институт (МФТИ). Там работает определенный набор олимпиад: олимпиада «Физтех», как по математике, так и по физике; «Росатом», «Покори Воробьевы горы», «Ломоносов», «Курчатов» и другие. Чтобы поступить без экзаменов, точнее говоря, воспользоваться самой мощной льготой, которая называется БВИ, – нужно стать победителем, например, олимпиады «Физтех» по математике или по физике, победителем олимпиады «Покори Воробьевы горы» по математике или по физике, олимпиады «Ломоносов» по математике и так далее. Надо стать победителем определенной олимпиады. После этого вы приходите с дипломом 1 степени в приемную комиссию, вас поздравляют с поступлением и первым приказом, вне очереди, зачисляют в ВУЗ. Потом начинается вторая стадия поступления – конкурсный набор. Люди конкурируют своими баллами ЕГЭ. Но это уже во вторую очередь. В первую очередь – победители олимпиад, которые получили льготу БВИ.

— Сколько у тебя таких ребят, которые поступили без экзаменов? Есть ли у тебя такая статистика?

— Я не проводил такие подсчеты. За последний год — десятка 2-3. Примерно цифры такого порядка.

— Здорово! Приятна такая блаженная беспечность, потому что у меня тоже самое – я не помню, сколько у меня человек набрали выше 90 баллов по математике в этом году. Я помню, что у меня есть ребята, которые набрали 100 баллов, 99 баллов. Это я помню точно. Максимальный результат на онлайн-курсе – 96 баллов, а 100 баллов – на курсе «М-100». Помню, что много тех, кто сдал выше 90 баллов, их действительно десятки. А тем более – кто выше 80 баллов.

— Да. Просто на определенном этапе перестаешь считать. Я считал, когда было 44 диплома, и гордо писал об этом.

— Да, когда-то мы точно помнили эти цифры.

— А потом я просто махнул рукой. Не в этом же…

— Счастье!

-Да!

Анна: Хорошо, а почему именно олимпиады? Если школьник сильный, он может и то, и другое. В чем преимущество олимпиад перед ЕГЭ, если оно есть?

Игорь: Да, преимущество есть, и не одно. Продолжим процесс на примере МФТИ. Первым приказом, который обычно выходит 29 июля, зачислили БВИ-шников. Кстати, их много. В зависимости от специальности, они могут занимать процентов 30-40 мест на факультете. На оставшиеся места начинается конкурсный набор. Что это такое? Три предмета, например, математика, физика и русский язык, – по 100 баллов, плюс 10 баллов так называемых индивидуальных достижений в МФТИ. Общая сумма – 310 баллов. Но если ты поступаешь только по ЕГЭ, ты сдал математику на 100 баллов, физику на 100 баллов, русский язык на 100 баллов, — с этой конкурсной суммой можно вполне поступить куда угодно. Если еще доберешь 10 баллов достижения — поступишь абсолютно точно. Но, предположим, ты сдал все предметы и набрал по 90 баллов на каждом предмете. Общая сумма – 270 баллов. На Физтех с этой суммой не поступить, потому что проходной балл, в зависимости от специальности, – от 280 до 300+, такое тоже бывает.

— Это какие-то особенные факультеты Физтеха?

— В которых проходной балл 300?

— Да.

— Например, проходной балл на Факультет Общей и Прикладной Физики последние годы составляет, по-моему, ровно 300 баллов. Очень популярный нынче факультет ФИФТ со специальностью ФПМИ, прикладная математика и информатика. Там проходной был, по-моему, 302 балла.

— Интересно!

— Если ты хочешь поступать в такие места по ЕГЭ, тогда нужно все предметы сдать на 100 баллов. Эта задача трудно выполнимая даже для хорошего школьника.

— Это трудно выполнимая задача даже потому, что на ЕГЭ не все зависит от школьника. Бывают просто странные ситуации, когда ребята пришли писать ЕГЭ, а им говорят: «Ребята, вы пишете не в этой школе, а совсем в другой! И вам нужно поехать сначала на одном автобусе, потом — на другом». Время дополнительно дадут, но настрой уже испорчен.

— Правильно. Потом ты пришел в аудиторию и столкнулся с другими проблемами: тебе неудобно сидеть, перед тобой шушукаются дежурные, за окном +30 градусов июньской жары, тебя посадили на солнцепек, потом приехал компрессор долбить асфальт. Это все реальные ситуации.

— Да, я тоже с этим встречаюсь. Ребята жалуются, что на ЕГЭ закрывают наглухо окна. Может быть, боятся, что в окно кто-нибудь залетит? : -)

— Да. Поэтому есть тысяча причин, по которым ЕГЭ может пойти не так. А это единственный твой шанс. И если что-то пошло не так, и ты получил не 100 баллов, на которые ты обоснованно рассчитывал, а баллов на 10 меньше, – все, твоя судьба пошла совсем по другому пути. Поэтому целиком ставить все на ЕГЭ – дело весьма опасное.

— Потому что ЕГЭ сдают один раз в год.

— Да! Возвращаемся к конкурсному набору в МФТИ. Кто же эти люди, которые приходят с баллами 280, 290, а то и 300? Это ребята, которые получили дипломы олимпиад. Они не БВИ-шники. Они не получили дипломов первой степени тех олимпиад, которые дают БВИ. Они получили диплом второй или третьей степени, и этот диплом позволяет им получить 100 баллов в зачет соответствующего предмета. То есть ты приходишь на Физтех с дипломом, например, третьей степени олимпиады «Физтех» по математике – ты имеешь 100 баллов в зачет ЕГЭ по математике. Если ты пришел на Физтех с дипломом третьей степени олимпиады «Росатом» по физике, то ты получаешь 100 баллов в зачет ЕГЭ по физике. 200 баллов у тебя уже есть. Остается русский.

— А по русскому легко получить 100 баллов, и мы это делаем. У нас каждый год есть 100-балльники по русскому. Это проще, чем по математике.

— Наверное. Тут я судить не могу, но говорят, что да. Конечно, готовиться к ЕГЭ по русскому языку надо обязательно. Его нужно писать очень хорошо, потому что, если у тебя 200 баллов по математике и физике есть, а ты получил 70 баллов на русском, – ты выпадаешь из конкурсного состязания абитуриентов Физтех. Вот эти люди, которые поступают по конкурсу в МФТИ.

Анна: Игорь, ты мне сказал, что мой сын поступил в МФТИ именно по олимпиадам. А я совсем это не принимала во внимание. Просто знала, что у него 100 баллов по информатике, и еще были олимпиады.

Игорь: Да, я помню, что, кроме 100 баллов на ЕГЭ по информатике, он получил диплом второй степени и на математике, и на физике. У него было по 100 баллов при конкурсном поступлении. В этом и преимущество.

Важно еще то, что олимпиад много. Если не получилось на олимпиаде «Физтех» – получится на олимпиаде «Росатом», не получилось на олимпиаде «Росатом» — получится на олимпиаде «Покори Воробьевы горы» или «Ломоносов». У всех этих олимпиад разные стили. Они проходят в разное время. Можно себя попробовать везде. Может случиться так, что, например, стиль олимпиады «Покори Воробьевы горы» тебе ближе, чем стиль олимпиады «Физтех»; или тебе просто повезло с задачами. В прошлом году у меня был победитель «ПВГ». Честно говоря, я от него совсем не ожидал победы на «ПВГ», потому что она объективно менее приятная и более каверзная, сложная и менее предсказуемая, чем олимпиада «Физтех». Он у меня отлично решал все во время подготовки к «Физтеху». Я от него обосновано ждал победы на олимпиаде «Физтех». Но у него не получилось. По-моему, там у него был диплом третьей степени по физике. А на «ПВГ» он взял диплом первой степени. И этот диплом первой степени, который получен на олимпиаде МГУ, действует и в МФТИ.

Многие современные родители этого не понимают. Все привыкли, что, если хочешь поступить на Физтех, то идешь сдавать вступительный экзамен на Физтех.

— И только.

— Да, готовишься только к этому экзамену. И если ты получил 5 на Физтехе, а потом вдруг передумал и решил пойти на физфак МГУ, то никто эту пятерку там засчитывать не будет. Придется сдавать то же самое, но только уже физфаковский экзамен.

— А олимпиады дают некую универсальность?

— Да, олимпиады универсальны. Они работают везде. Если ВУЗы — Физтех или МГУ — принимают олимпиаду «Ломоносов» по математике, то с ней можно идти в любой из этих ВУЗов и получить льготу в любом месте.

— Игорь, ты так увлекательно рассказываешь про олимпиады, что я слушаю тебя и вспоминаю время, когда мы работали вместе (мы же основатели компании «ЕГЭ-Студия»). Но настал момент, когда мы разделились. Игорь Вячеславович занялся олимпиадами, а я — подготовкой к ЕГЭ. А сейчас я думаю: «Олимпиада – это же так классно!» И может быть мне сейчас с моими ребятами, одиннадцатиклассниками, бросить все и сказать: «Ребята, бегом на олимпиаду!» Можно или нет? Или в 11 классе уже поздно?

— Мой субъективный опыт показывает, что поздно начинать это дело в 11 классе. У меня были ученики, с которыми я начинал в 11 классе, и они добивались результата. Но это были крутые матшкольники, у которых уже был натренирован мозг. Они несколько лет в своих матшколах усиленно решали многочисленные задачи. У них были знания, просто их надо было направить в определенное русло, что я и сделал.

— Наверное, им было все равно, что сдавать?

— Нет, я не думаю, что все равно. Просто они занимались немного другими вещами. Их надо было немного переориентировать и потренировать именно в олимпиадных задачах типа «Физтех» или «Ломоносов». Но если школьник не имеет серьезного опыта решения большого количества трудных задач, а в 11 классе он вдруг решил, что хочет поступать, например, на Физтех и готовиться к олимпиаде, — тут его ждет много сложностей. Начнем с того, что заключительный этап олимпиад проходит в феврале-марте. Времени для подготовки немного – полгода.

— И уже метаться поздно. Нужно определиться – ЕГЭ или олимпиада.

— Да, к олимпиаде нужно проработать огромный материал, что сделать за полгода довольно трудно. Это первое. Во-вторых, давайте не будем забывать, что на заключительный этап олимпиады надо еще попасть, пройдя отборочный этап. А отборочные этапы олимпиад проходят осенью.

— А осень уже прошла, и то, что мы сейчас рассказываем, — это, скорее всего, для тех, кто еще в 9-10 классах, а не в 11.

— Да. Я это говорю к тому, что, например, на олимпиаде «Физтех» пройти отборочный этап не представляет особых сложностей. Отборочный этап длится несколько месяцев, и он не один, их много, и у всех более или менее типовые задачи. Все они уже есть в интернете. Это все легко проходится. А, например, на олимпиаде «Ломоносов» по математике так не пройдет. В этом году был всего лишь один отборочный этап, когда в конкретно определенный день абсолютно все школьники писали отборочный тур. Человек входит в личный кабинет, нажимает кнопку «Начать олимпиаду», и время пошло. У него есть 3 часа и 10 задач. То есть если ты в сентябре решил, что тебе хочется готовиться к олимпиадам, то в октябре ты «Ломоносова» не пройдешь. Проходной балл на «Ломоносов» составил 80 баллов из 100. Надо решить 8 задач из 10. Для того, чтобы это сделать, нужно обладать достаточно серьезной подготовкой, которой за месяц не достичь.

— Я знаю, что в 11 классе многие ребята именно весной начинают беспокойно метаться и ездить на все олимпиады подряд. И не только по математике, но и по другим предметам. А поскольку олимпиады чаще всего проходят в выходные, — выходные вылетают из подготовки к ЕГЭ. Время потрачено – результата нет. Стоит ли ездить в феврале-марте на все олимпиады подряд, чтобы просто поучаствовать?

— Просто для участия – не стоит. Смысла нет. Понятно, что, если человек каким-то образом прошел на заключительный этап, например, «Физтеха», решил с чьей-то помощью все выложенные в интернет задачи, – приедет он на олимпиаду, решит полторы задачи и все. Но для олимпиадного движения, наоборот, очень хорошо, когда приезжает много слабых школьников.

— А для школьника это хорошо?

— В целом все пишут хуже, организаторы могут снизить проходной балл, и больше хороших школьников получат дипломы.

— То есть слабый школьник едет на олимпиаду и от этого выигрывает сильный?

— Да. Если слабые школьники хотят поработать на общество и послужить неким социальным лифтом для сильных школьников, то, пожалуйста, пусть едут. Но с субъективной точки зрения в этом нет никакого смысла.

— Это просто трата времени, которое можно было бы направить на подготовку к ЕГЭ.

— Да. Это просто потеря времени, сил.

— Да и самооценка может упасть.

Игорь: Готовиться, например, к олимпиаде «Физтех» по математике – очень полезное дело с точки зрения подготовки к ЕГЭ, потому что тематика задач этой олимпиады почти полностью перекрывает тематику задач ЕГЭ, при этом существенно превосходя их по сложности.

Анна:Очень интересно. То есть это новые, незнакомые задачи, новые идеи, потому что важно еще и увидеть идею сложной задачи – на чем она построена. Поскольку ЕГЭ я занимаюсь давно, причем сложными задачами ЕГЭ, я знаю, что, например, в той же 19-й или в задаче с параметрами есть определенные идеи, комбинируя которые, можно делать десятки задач. Я сама этим занимаюсь, сама придумываю задачи для репетиционных ЕГЭ. Благодаря олимпиаде, мы расширяем круг инструментов, которыми мы пользуемся и пользуемся более уверенно.

— Не только параметры. Тут и тригонометрия «Физтеха». Если человек в состоянии ее решать, то он элементарно решит задачу № 13 в ЕГЭ. Если человек в состоянии хотя бы частично продвигаться в стереометрии «Физтеха», для него будет легкой задача № 14.

— Задачи 13 и 14 ЕГЭ — это просто задачи, которые решаются по шаблонам.

— Если человек решает логарифмические уравнения и неравенства «Физтеха», то для него соответствующие задачи ЕГЭ не представят никакой сложности. Он быстро решит и сэкономит время. Если человек решает планиметрию «Физтеха», «Ломоносова» или «ПВГ», если он накопил опыт решения этих задач, — конечно, он решит 16-ю задачу ЕГЭ. Параметры «Физтеха» тоже превосходят по сложности параметры ЕГЭ и дают мощную подготовку, и никаких сложностей с соответствующей задачей в ЕГЭ не представляет.

— В олимпиадах не затрагиваются экономическая задача с расчетами и процентами.

— Но она тоже достаточно шаблонная.

— Человеку, который получил немаленький опыт решения задач «Физтех» или «Ломоносов», никакой сложности не представляют даже проценты. Потренируется один-два дня, порешает задачи на вычисления банковских процентов и без каких-либо проблем сделает это на ЕГЭ. У меня многие олимпиадники 11 класса просто уходят по окончанию олимпиадного сезона в конце марта. Они уже готовы писать ЕГЭ и напишут близко к 100 баллам.

Анна: Есть мнение о том, что на ЕГЭ нужно очень тщательно оформлять задачи, а на олимпиадах- не надо. Что на ЕГЭ придираются практически к каждой запятой. Если, например, ты напишешь «ОДЗ», — за эти буквы, которые во многих школах считаются запрещенными, снимают все баллы. На самом деле это не так. Я писала в ФИПИ, задавала этот вопрос, и ФИПИ отрицают эти запреты. Но все равно все считают, что на ЕГЭ придираются к оформлению, а на олимпиаде – нет, там важно правильное решение. Так это или нет?

— На разных олимпиадах по-разному. Я бы не стал так говорить. Если мы сейчас имеем ввиду олимпиады по математике, то математика есть математике. Конечно, в первую очередь там будут оценены идеи продвижения, но культура оформления должна быть обязательно.

— Я хочу сказать, что оформление – это не бантик или аксессуар, без которого можно обойтись. Это то, из чего состоит задача. И другой человек должен понять мое решение – какая идея мне пришла в голову, что я сейчас делаю. Это и есть оформление, и без него не обойтись.

— Конечно! И олимпиады тоже проверяют люди. Проверяющему приятно видеть и читать хорошо структурированное решение, у него будет подниматься настроение, он оценит полным баллом твою задачу. Это же субъективный фактор.

— Есть еще одна интересная легенда о том, что к ЕГЭ надо готовиться и на ЕГЭ можно «натаскать», а олимпиады – это совсем другое. На олимпиаду нужно прийти и ждать, когда снизойдёт загадочная смекалка, которая тебе и поможет.

— Против этого я категорично возражаю.

— Не снизойдет?

— На одной смекалке не уедешь. Во-первых, надо просто много знать, как и на ЕГЭ. Если ты чего-то не знаешь, ты задачу не решишь. На олимпиадах объем знаний должен быть больше, чем на ЕГЭ. На ЕГЭ мы заранее знаем, что, например, сложного тригонометрического уравнения или сложной стереометрии не будет.

— Не скажи. Там есть, что придумать.

— Я имею в виду, что в рамках 14 задачи существуют определенные ограничения по сложности. По крайней мере мы знаем, какая задача под каким номером стоит и что содержит. На олимпиадах не совсем так. Там мы заранее не знаем, что будет: простая тригонометрия или сложная. Будет ли стереометрия проще или она будет сложнее. Будет ли параметр сложнее или проще.

— Меняется уровень сложности в каждой задаче.

— В последнее время привыкли, что, например, на олимпиаде «Физтех» логарифмическое уравнение или неравенство – это первая или вторая задача, — не очень сложная, относительно всего остального. В прошлом году эту задачу сделали пятой, и она была сложная, многие с ней не справились, хотя ничего выходящего за рамки общеизвестного метода рационализации там не было. Тем не менее, приходится подниматься на максимум сложности, потому что заранее не знаешь, что будет по этой теме.

— Хорошо. Готовиться надо. А как готовиться? Сборники, сайты? Расскажи о твоем сайте. Что у тебя там есть? Как он называется?

— Сайте называется MathUs.ru. Там собрано довольно большое количество конкретных олимпиадных задач, которые предлагались как в последние годы, так и раньше.

— То есть у тебя там и олимпиада «Физтех», и «Ломоносов».

— Да, и не только.

Анна: Я знаю, что сайт Игоря Яковлева MathUs.ru лидирует во всевозможных списках для подготовки к ЕГЭ. Очень рекомендую. Там есть внушительный список вариантов олимпиад и очень хорошие сборники для подготовки к ЕГЭ (именно вторая часть, задачи с 13 по 19), также есть общий курс физики и общий курс математики.

Игорь: Самое главное, что я пытался делать, — это не просто публиковать варианты, а структурировать задачи этих вариантов по темам. Допустим, есть листок «Система алгебраических уравнений», и туда собраны задачи олимпиад «Физтех», «ОММО» и прочих. Глядя на такой листок, можно понять, что в последние годы предлагалось именно по данной теме.

— Игорь, у тебя десятки призеров олимпиад. А как ты это делаешь? Я заходила к тебе, когда ты еще работал на Маяковской, и увидела комнату, в которой стояли несколько столов, за каждым столом сидел очень умный мальчик или умная девочка, а ты переходил от одного стола к другому. Все это происходило в тишине.

— Так все происходит до сих пор.

— А потом эти умные мальчики и девочки идут на олимпиаду, берут все дипломы и поступают без экзаменов. Как это?

— Иногда действительно кто-то спрашивает, можно ли прийти и посмотреть, как проходят занятия. Приходите, но ничего интересного вы не увидите, потому что – аудитория, «гробовая» тишина, сидят люди, я хожу между ними, к каждому подсаживаюсь и что-то тихо обсуждаю. Вот это все, что можно наблюдать внешне.

Анна: У меня на занятиях нет «гробовой» тишины. А вы там вообще разговариваете? Или знания сами попадают в голову?

Игорь: Я не общаюсь с ними, как с единым целым, потому что каждый работает над чем-то своим. У меня в аудитории перемешаны ребята с 7 по 11 класс. Семиклассник занимается физикой, одиннадцатиклассник – математикой. Каждый занимается своим делом. Просто я персонально веду все эти отдельно взятые учебные процессы в больших количествах и направляю в нужное русло.

— Когда-то я говорила, что это невозможно, а теперь беру свои слова назад. Я вижу твои результаты. Для меня это фантастика. Но оно работает!

— Сразу скажу, что я не волшебник, который взмахивает волшебной палочкой, и ребенок тут же становится победителем.

— Использование артефактов – это вообще не круто. Намного круче получить результат без палочек и без произнесения заклинания вслух : -)

— Разумеется, школьник должен быть мотивирован, работоспособен; должен понимать, зачем ему это надо. Если он просто приходит без какого-либо представления, зачем ему это нужно, не работает в должном объеме…

— То время пребывания таких школьников в твоей аудитории исчисляется несколькими минутами.

— Конечно, в итоге мы расстаемся. Потому что – зачем?

— Потому что, если кто-то ищет стандартные решения и хочет, чтобы все было абсолютно предсказуемо на экзамене, — то ему на ЕГЭ.

— В каком-то смысле это так.

— Скажи, пожалуйста, Игорь, а куда вообще можно поступать умному, талантливому ученику, у которого хорошо с математикой или физикой? Правда, с физикой хорошо не у всех. У большинства школьников физика настолько слабая в школе, что ребята даже боятся сдавать ЕГЭ по физике, очень легкий ЕГЭ. Многие идут в Высшую школу экономики. А там огромный конкурс и очень маленькие шансы попасть на бюджет. Скорее всего – это платное отделение. У нас в ЕГЭ-Студии есть светлые головы, которые поступают в ВШЭ на бюджет, но их не так много. А куда вообще податься талантливому, умному старшекласснику?

— По опыту моих выпускников – это, в первую очередь, ВШЭ. Большинство моих ребят идут на Физтех (Московский физико-технический институт). Ну и МГУ: мехмат, физфак, ВМК. В основном вот эти направления.

— Не обязательно экономические?

— У меня есть отдельно взятые экономисты. Но я не готов давать советы по поводу экономических направлений, потому что не очень знаю, что там сейчас происходит. Но в Вышке считается круто попасть на совместный бакалавриат с РЭШ (Российской экономической школой). Но тут я не очень компетентен.

Анна: Когда-то мы оба поступили на Физтех. Ты – в 1985 г., а я – в 1986-м. Игорь Яковлев учился на Факультете Общей и Прикладной Физики, я училась на Факультете Радиотехники и Кибернетики. Закончили физтех соответственно в 1991 и 1992 годах. Физтех для нас стал родным. А есть ли будущее у технических специальностей сейчас? У выпускников Физтеха, Бауманского, МИФИ? Что ребят ждет после ВУЗа? Мы заканчивали Физтех не в самое типичное время – это были 90-е годы. Мы были очень самостоятельными, и мы знали, как ориентироваться, как заработать. А как сейчас?

Игорь: О будущем вообще сложно говорить. Тем более мы живем в быстроменяющуюся эпоху. Будущее, конечно, есть. Если говорить о Физтехе, то и 30 лет назад, и сейчас, – Физтех учит решать проблемы.

— О да! Здесь мало кто с нами сравнится, без ложной скромности.

— Выпускники Физтеха, нарешавшись сложных проблем…

— Самая сложная проблема – когда ничего не делала весь семестр, точнее – делала, но совершенно другое – путешествовала, занималась в спелеоклубе, — и вдруг сессия. И самая большая проблема в том, что сессию надо сдать.

— Самое главное – не просто люди решали проблемы, но еще и вырабатывается понимание, что нет нерешаемых проблем. Все можно решить.

— Это точно. Нет проблем – есть задачи.

— Да. Поэтому, если человек формируется таким образом, плюс не забудем о том, что Физтех – это огромная компания людей, взаимодействующих друг с другом, после институтской жизни тоже продолжают как-то взаимодействовать, помогать друг другу. Оказываются, например, бизнес-партнерами. Это огромное сообщество. Конечно, нельзя сказать о том, что ты сейчас на 1-м курсе изучаешь механику в курсе общей физики, то эта механика тебе потом где-то потребуется. Конечно, такого нет. Получив, например, физтеховское образование, потом можно ориентироваться где угодно и стать успешным человеком в каких угодно областях. И это показывает опыт многих поколений – нашего, предыдущего, последующих.

— Я часто встречаю физтехов предыдущих поколений и дружу с ними.

— Все они вполне успешные люди, состоявшиеся в совершенно разных областях. Кто-то – в физике или математике, кто-то – в IT-программировании, кто-то – в бизнесе, вообще никак не связанным с физикой и математикой. Все дороги открыты, когда есть понимание, что любая проблема решается.

— Это главное, что мы там получили.

— В Вышке сейчас создана примерно похожая атмосфера, судя по тому, что мне рассказывают. Про Вышку я знаю меньше. Физтех для меня — родной институт. Я там много с кем общаюсь. С ребятами из Вышки тоже общаюсь, и то, что мне рассказывают, очень напоминает Физтех. Эти два ВУЗа лидируют сейчас в смысле популярности у толковых ребят. Это очень хорошо видно по тому, что эти толковые ребята пишут в разных пабликах, например. Я за этим слежу, читаю соцсети. Есть разные паблики, связанные с олимпиадами, где идет нужная мне информация. Да и просто смотрю, что пишет народ. Весь этот народ однозначно пойдет на Физтех или Вышку, в первую очередь. Во вторую очередь – это МГУ, Бауманка.

— Пусть на нас не обижаются те, кто поступают в МГУ, Бауманский, МИФИ и другие ВУЗы.

— А что на нас обижаться? Это объективная реальность. Когда-то МГУ был несомненным лидером рейтинга среди абитуриентов на ряду с Физтехом. Но в данный момент это не так.

— Это у нас особый физтеховский патриотизм. Я полностью с тобой согласна.

— Все, что я сегодня говорю, уважаемые слушатели, — это мое исключительно субъективное мнение. Это не то, что я транслирую какие-то истины свыше. Это все то, что вижу я, и то, что складывается у меня по итогам общения со своими учениками, выпускниками, по тому, что я читаю в самых разных пабликах, сообществах. Но сейчас ситуация именно такая.

— Большое спасибо, Игорь. А можешь ли ты показать зрителям нашего канала какую-нибудь красивую олимпиадную задачу, но не такую, чтобы все испугались, а такую, чтобы кто-то что-то понял?

— Да, конечно! У меня есть одна задача.

Сегодня мы говорили о том, что олимпиаднику нужно много знать и иметь большой опыт решения олимпиадных задач. Я хотел бы показать одну небольшую задачу, которая иллюстрирует и то и другое. Для начала простой вопрос – тригонометрия, формулы тройного угла.

cos { 3x=4cos ^{ 3 }{ x } - } 3cos { x }
sin { 3x } =3sin { x } -4sin ^{ 3 }{ x }

Многие ли школьники знают эти формулы наизусть? Опыт показывает, что нет. Далеко не все вообще знают об этих формулах. Меньшая часть знает о их существовании, но не помнит их. Считают, что и ни к чему запоминать, если их можно вывести.

На олимпиаде «Покори Воробьевы горы» в 2016 году была такая задача:

Даны две кривые.

Первая кривая имеет вид

{ left( 3x-4{ x }^{ 3 } right) }^{ 13 }=1-{ left( 4{ y }^{ 3 }-3y right) }^{ 18 }

Вторая кривая задана уравнением

{ x }^{ 2 }=1-{ y }^{ 2 }

Вопрос: какого количество общих точек этих кривых на координатной плоскости?

Если не знать формулы, которые я привел выше, если они не впечатаны в память золотыми буквами, — то эту задачу не решить.

Начнем со второй кривой. Это ни что иное как

{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1 – уравнение единичной окружности.

Напрашивается замена x=sin { alpha } , y=cos { alpha } . Если х и у такому уравнению удовлетворяют, то понятно, что х – это синус какого-то угла, а у – косинус того же самого угла.

Но почему эта замена напрашивается? Потому что мы видим, что вот это { left( 3x-4{ x }^{ 3 } right) }^{ 13 } и вот это { left( 4{ y }^{ 3 }-3y right) }^{ 18 } — это формулы синуса и косинуса тройных углов. Зная эти формулы, мы видим их наоборот. Сделав такую замену, мы получаем

{ left( 3sin { alpha } -4sin ^{ 3 }{ alpha } right) }^{ 13 }=1-{ left( 4cos ^{ 3 }{ alpha } -3cos { alpha } right) }^{ 18 }

Это переписанное уравнение первой кривой. В результате мы наблюдаем формулу { left( sin { 3alpha } right) }^{ 13 }=1-{ left( cos { 3alpha } right) }^{ 18 }

После чего получаем sin ^{ 13 }{ 3alpha } +cos ^{ 18 }{ 3alpha } =1

Это первая стадия задачи. Чтобы это все сделать, нужно знать наизусть формулы синуса тройного угла.

Теперь начинается вторая стадия. Что делать с этим sin ^{ 13 }{ 3alpha } +cos ^{ 18 }{ 3alpha } =1 ?

Здесь многие вполне приличные ребята встают в тупик, если нет соответствующего опыта решения задач определенного класса. Неопытный школьник моментально пугается больших степеней. Что с этим делать?! Опытный школьник понимает, что если такие степени стоят, то не в них дело. Раз присутствуют такие степени, то ясно, что никакими регулярными методами такое уравнение не решается. Значит, работают какие-то нестандартные соображения. Значит, надо поискать что-то в стороне. Вспомнить, что ты делал в разных задачах по разным поводам, – и нужная идея находится. Эта идея называется по-разному – метод оценок, метод мажорант, минимаксные задачи.

Давайте заметим, что синус в 13-й степени не превосходит соответствующего синус квадрата, косинус в 18-й степени не превосходит соответствующего косинус квадрата, а сумма квадратов равна 1

+begin{cases} sin ^{ 13 }{ 3alpha } le sin ^{ 2 }{ 3alpha } \ cos ^{ 18 }{ 3alpha } le cos ^{ 2 }{ 3alpha } end{cases}

Сложим эти два неравенства и получим, что

sin ^{ 13 }{ 3alpha } +cos ^{ 18 }{ 3alpha } le sin ^{ 2 }{ 3alpha } +cos ^{ 2 }{ 3alpha } =1

То есть вот эта сумма sin ^{ 13 }{ 3alpha } +cos ^{ 18 }{ 3alpha } =1 не превосходит единицу, и равна единице тогда, когда вот здесь

+begin{cases} sin ^{ 13 }{ 3alpha } le sin ^{ 2 }{ 3alpha } \ cos ^{ 18 }{ 3alpha } le cos ^{ 2 }{ 3alpha } end{cases}

— достигаются равенства.

Дальше начинается техническая часть, которую мы рассматривать не будем. Там уже нет ничего интересного. Там скучная реализация, которую тоже надо довести до конца.
Вот олимпиадная задача с заключительного этапа «ПВГ» иллюстрирует необходимость большого количества конкретных знаний, чтобы увидеть переход, и определенный опыт решения в данном случае задач на метод оценок.

Анна: Ну вот, друзья, красивая олимпиадная задача. Теперь ничего не стоит закончить ее решение. Вы можете закончить и написать решение в комментариях. Также пишите, какие еще интервью вы хотели бы увидеть на нашем канале ЕГЭ-Студии. Интервью с Владимиром Владимировичем пока не обещаю, а вот интервью с Александром Александровичем (Лариным) — вполне можно.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Интервью с Игорем Яковлевым +bonus: разбор олимпиадной задачи по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Mathege 2023 егэ математика профильный
  • Mathege 2022 егэ математика профиль
  • Math100 математика профиль егэ тренировочные варианты
  • Math100 егэ математика профильный 2023
  • Math100 егэ математика профильный 2022