Метод координат на егэ стереометрическая задача

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

• Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
• Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Всего: 117    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 117    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

МБОУ «Раздорская СОШ им. А.П.Гужвина

Решение задач №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

Методические рекомендации

Серия «Школьник —
школьнику»

С.С.Уразалиева

Решение заданий
№14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

Методические
рекомендации.

   С помощью
данных методических рекомендаций можно научиться решать задачи на вычисление
углов и расстояний в стереометрии с помощью координатно-векторного метода. Для
учеников 10-11 классов самой главной проблемой является подготовка к ЕГЭ.
Причем не все ученики уверенно решают задания II части , а
некоторые и не берутся за их решение.         

   Координатно-векторный 
метод  основан  на введении   прямоугольной системы координат и создании
геометрически-алгебраической модели решения задач, тем самым упрощая 
громоздкие и достаточно сложные преобразования и выкладки.

   Достоинство
метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости
прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

   Выражаю
огромную благодарность своим ученикам 11 класса 2016 – 2017 учебного года:  Комаровой
Ангелине, Тарбаеву Наилю, Бекмурзаеву Тимуру, Утегеновой Аимгуль, Абылхатаевой
Карине, Кункашевой Арине, Юсуповой Аделине, Успанову Гелиму, которые
сыграли большую роль в создании данного методического сборника

Уважаемые ребята!

   Если у вас
имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с  чтением или построением
сложного стереометрического рисунка, если вам  никак не удается подобрать
необходимые дополнительные построения, мне кажется, что стоит заняться
изучением координатно-векторного метода. Особенно это актуально в условиях
экстренной помощи, когда до ЕГЭ остается всего лишь 2-3 месяца.

   Данный курс не
претендует на научность, а является небольшим   методическим пособием при
подготовке к ЕГЭ для выпускника, нацеленного на высокий балл при сдаче
экзамена. Курс является кратким, в нем рассмотрены лишь наиболее часто
встречающиеся типы заданий, как в сборниках, так и в контрольно-измерительных
материалах.

   Метод координат
— это довольно несложный способ, но в настоящих задачах №14 никаких координат и
векторов нет. Поэтому их придется вводить: указать начало отсчета, единичный
отрезок и направление осей x, y и z.

   Самое
замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого
значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут
правильными, то и ответ будет правильным.

   Успехов!

§1.
Основные понятия.

   Метод координат
—эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между
стереометрическими объектами в пространстве.  Данный метод заключается во
введении  декартовой системы координат, а затем – нахождение образующихся
векторов (их длин и углов между ними). Достоинство метода координат состоит в
том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному
представлению сложных пространственных конфигураций. Алгоритм применения метода
координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

—  Выбираем в
пространстве систему координат

—  Находим
координаты необходимых, по условию задачи, точек.

 —  Решаем задачу,
используя основные задачи метода координат.

 — Переходим от
аналитических соотношений к геометрическим.

    Для начала
разбора метода координат для стереометрических задач рассмотрим, что же
представляет собой прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве – совокупность точки
О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно
перпендикулярных прямых Ox, Oy иOz (называемых осями координат: Ox – ось
абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано
направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют
координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие
тройка чисел, называемых её координатами.

  
                             z

                                  
0                                     у   

                     
х

Для того чтобы
использовать метод координат, надо хорошо знать формулы:

1. Нахождение
расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

 , где

D=AB,
A(x₁;y₁;z₁), B(x₂;y₂;z₂)

2. Нахождение
координат середины отрезка

A(x₁;y₁;z₁),
B(x₂;y₂;z₂)  
      

3. Нахождение
косинуса угла между векторами

 , где

4. Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок ,
ограниченный точками А(х₁, у₁,z₁ ) и B(x₂,y₂,z₂ ), в отношении , определяется по формулам

5. Расстояние от точки до плоскости

   Для решения задач необходимо научиться находить координаты вершин
основных многогранников при помещении их в прямоугольную систему координат.

   Ниже представлены координаты вершин некоторых многогранников,
помещенных в систему координат.

Координаты
куба

Это
самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система
координат также вводится очень просто:

1.        
Начало координат —
в точке A;

2.        
Чаще всего ребро куба не указано,
поэтому принимаем его за единичный отрезок;

3.        
Ось x направляем
по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z —
по ребру AA₁.

Обратите
внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это
несколько непривычно, но на самом деле очень удобно и логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба
есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней
плоскости куба:

Точка	A	B	C	D
Координаты	(0; 0; 0)	(1; 0; 0)	(1; 1; 0)	(0; 1; 0)

И для верхней:

Точка	A1	B1	C1	D1
Координаты	(0; 0; 1)	(1; 0; 1)	(1; 1; 1)	(0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются от
соответствующих точек нижней только координатой z. Например,
B = (1; 0; 0), B₁ = (1; 0; 1).

Координаты 
правильной треугольной призмы

При правильном подходе достаточно
знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться
автоматически.

В задачах №14
встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы,
в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система
координат вводится почти так же, как и для куба.

Вводим
систему координат:

1.        
Начало координат —
в точке A;

2.        
Сторону призмы принимаем за единичный
отрезок, если иное не указано в условии задачи;

3.        
Ось x направляем
по ребру AB, z — по ребру AA₁, а ось y
расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью
основания ABC.

Получаем
следующие координаты точек:

Как
видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих
точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это
точки C и C₁. У них есть иррациональные координаты, и
для того чтобы довольно просто решить задание №14 эти иррациональные координаты
надо просто запомнить. Или можно вывести.

Координаты
 правильной шестиугольной призмы

Шестиугольная
призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это
происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его
ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF.
Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например,
треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь
введем систему координат. Начало координат — точку O — поместим
в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет
вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB
и DE. Получим такую картинку:

Нужно
обратить внимание на то, что  начало координат не совпадает с вершиной
многогранника. На самом деле, при решении настоящих задач выясняется, что
это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений. Осталось
добавить ось z. Проводим ее перпендикулярно плоскости OXY
и направляем вертикально вверх. Получим картинку:

Запишем
теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной
шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты
верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты
 правильной четырехугольной пирамиды

Итак,
правильная четырехугольная пирамида. Обозначим ее SABCD,
где S — вершина. Введем систему координат: начало
в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим
вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх,
перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется
высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь
найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все
просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы
возникают с точкой S. Поскольку SH — высота
к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь
координатой z. Длина отрезка SH — это и есть
координата z для точки S, поскольку
H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим,
что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам
(AS = CS = AB = CB = 1,
а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH.
Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е.
BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Ниже
представлено, как найти определитель третьего порядка по правилу Саррюса,
составить уравнение плоскости и найти вектор нормали.

§2
Практическая часть

Ниже представлены
задачи:

— на нахождение
угла между прямыми;

— угла между
прямой и плоскостью; 

— угла между плоскостями;

— расстояния от
точки до прямой;

— расстояния от
точки до плоскости.

Эти
задачи решили мои ученики 11 класса

Вариант 13. Задача
№14 по сборнику Ф.Ф.Лысенко

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁,
ребро которого равно 4, точка М является серединой отрезка BC₁.
Найдите расстояние между прямыми А₁В и АМ.

Задача №14 по
сборнику ФИПИ 2016

В правильной
шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁
E₁F₁
все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до прямой C₁F_.

Задача №14 по
сборнику ФИПИ 2017

Дана правильная четырёхугольная
призма ABCDA₁B₁C₁D₁.
Найдите расстояние от точки B₁ 
до плоскости AD₁
C ,
если АВ равно 5, АА₁равно 6.

Задача №14 ЕГЭ по
сборнику ФИПИ 2017

В правильной
шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁
E₁F₁
все рёбра равны 4.

а) Докажите, что
угол между прямыми АD₁
и DC₁
равен 90⁰.

б) Найдите угол
между плоскостями FAC₁
 и AA₁D.

Задача №14 ЕГЭ по
сборнику ФИПИ 2017

Вывод

Мы изучили метод координат на более
высоком уровне по сравнению со школьной программой по геометрии.  Познакомились
и научились применять новые формулы: на нахождение расстояния от точки до
плоскости, от точки до прямой, угла между прямыми, угла между прямой и
плоскостью, угла между плоскостями. Мы узнали, что для
составления уравнения плоскости можно использовать матрицу и определитель
третьего порядка, который можно посчитать правилом Саррюса.

Мы
пришли к выводу, что использование метода координат требует от ученика
внимательности, хороших вычислительных навыков. Мы убеждены в том, что   координатно-векторный метод в школьном
курсе геометрии необходимо изучать на глубоком уровне и увеличить количество
часов на изучение данной темы.

 Нами
подобраны задания из сборников ФИПИ 2016г и 2017г, которые мы самостоятельно решили
и которые помогут отработать полученные навыки, и тем самым более качественно
подготовиться к сдаче экзамена.

Мы
надеемся, что изложенная в работе информация поможет выпускникам решать задание
№14 и достичь более высоких результатов на ЕГЭ по математике

Список литературы

1.     ЕГЭ
2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень

2.   ru.wikipedia.org – Система
координат.

3.   Смирнова, И.М. C50         Геометрия.
Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие  / И.М. Смирнова,
В.А. Смирнов. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. –
158, [2]
с.
(Серия «ЕГЭ. 100 баллов»)

4.   Геометрия, 10 – 11
: Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 206 с.: ил.

5.   Корянов А.Г,
Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА
ЕГЭ 2013 (типовые задания С2) «Многогранники: виды задач
и методы их решения» www.alexlarin.narod.ru

6.   Корянов А.Г, «
Расстояния и углы в пространстве» МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010 (типовые задания С2) www.alexlarin.narod.ru

7.      В.В.
Леваков «Решение задач координатно-векторным методом»

Метод координат… Что же это такое и зачем он нужен? Можно ли без него обойтись при сдаче ЕГЭ? Можно, безусловно! Все стереометрические задачи второй части профильного ЕГЭ по математике решаются и без привязки фигур к системе координат. Но…  координатный метод может значительно упростить решение самых сложных вопросов, таких, как определение расстояний и углов между прямыми и плоскостями в пространстве, так как там все эти расчеты сводятся, практически, к одной формуле.

       Будем разбираться!

Вспомните, как вас знакомили с системой координат и объясняли, что положение каждой точки в системе координат можно определять координатами х и у.   Это точки M(x_m; y_m)   и N(x_n; y_n)

Как известно, прямую можно провести через две точки, и при том, только одну. Задача по определению уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки, координаты которых известны, решалась очень просто. В этом случае в уравнение прямой y=kx+b подставляли сначала координаты точки М, затем – точки N.

Получали систему двух линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов k и b, которые находили при решении  этой системы.

Но уравнение прямой на плоскости можно задать и по-другому:

Ax + By + C = 0,       (A² + B² ≠ 0)

И суть от этого не изменится, изменятся только коэффициенты. Условие в скобках означает, что А и В не могут быть равны нулю одновременно.

Стереометрия рассматривает фигуры в пространстве, где каждая точка описывается уже тремя координатами – (x, y, z).

Привязка фигур к  системе координат позволяет не только определять координаты точек, но и записать уравнение плоскости. Как известно, на трех точках можно построить плоскость, притом, только одну. Соответственно, можно и записать плоскость уравнением. Выглядит это уравнение следующим образом:

  Ax + By + Cz + D = 0

 Очень похоже на вторую запись уравнения прямой на плоскости. Значит, и коэффициенты  А, В, С и D мы будем находить также, как и коэффициенты для прямой на плоскости, по точкам.

Это действие сродни тому, что вы производили, определяя уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные координатами.

Прямую можно провести через две точки, и мы составляли два уравнения для двух точек.

Плоскость можно провести через три точки, значит, и уравнений будет три!

Но уравнений три, а неизвестных – четыре! Ну, и что! Мы же можем разделить все уравнения на D, при этом они не изменятся, будут равнозначны первоначальным! Так и будем поступать! Тогда   вместо D   будет единица, а все остальные коэффициенты будут делиться на D,  назовем их также, А, В, С. И это уже вполне решаемая система!

Здесь значения всех x, y и z известны, это координаты точек, принадлежащих данной плоскости.

Итак, точку описать можем, прямую описать можем, плоскость –  можем. Осталось вспомнить сами векторы и их координаты, они нам тоже пригодятся при решении задач.

Векторы и их координаты

          Вектор – это математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой.

Мы можем «привязать» вектор к системе координат, т.е. мы можем его определять в пространстве координатами его проекций на координатные плоскости.

Если даны две точки в пространстве А(x_a; y_a; z_a) и B(x_b; y_b; z_b), то дан и вектор

, где а_х, а_у и а_z – координаты вектора.  Осталось определить значения а_х, а_у и а_z. Определяем:

а_х = x_b – x_a

а_у = y_b – y_a

а_z = z_b  –  z_а

       Теперь, зная длины проекций вектора, мы можем легко найти длину вектора, которая, как видно из чертежа, есть не что иное, как диагональ параллелепипеда, сторонами которого являются координаты этого вектора. Его длина, модуль вектора, будет равна:

А что есть длина вектора, как не расстояние между двумя точками: началом и концом вектора? То есть выведенная формула определяет расстояние между двумя точками в декартовой системе координат.

Метод координат

Примеры решения задач →

Метод координат в решении задач С2

Во многих стереометрических задачах С2, связанных с нахождением расстояния между скрещивающимися прямыми, расстояния между прямой и плоскостью или угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями бывает сложно найти правильное геометрическое решение. Не раз отмечали и наши эксперты по проверке работ ЕГЭ, что применение метода координат дает больше положительных результатов.

Немного теоретических и практических навыков приобретают наши ученики в курсе стереометрии 11 класса, где мы учим их определять координаты точки в пространстве, рассматриваем координаты векторов, находим углы между векторами через скалярное произведение в координатах. Готовя наших учеников к ЕГЭ, мы понимаем, что, к сожалению, мало уроков отводится на изучение геометрии и материала наших учебников явно недостаточно. Благо, сейчас кроме справочников большие возможности нам предоставляет интернет, где очень много информации различного рода: от статей до видеоуроков.

Прежде всего, рассматривая задачи на применения метода координат, надо объяснить учащимся, что вводя систему координат для многогранников, направление осей можно выбирать произвольно. Очень удобно это в прямоугольном параллелепипеде или кубе, сложнее в призмах и пирамидах, основаниями которых служит не прямоугольник.

Задача 1

Найти угол между прямыми АВ1 и ВС1 в кубе АВСDА1В1С1D1.

Решение

Введем систему координат с центром в точке В.

В(0;0;0;), А(1;0;0), В1(0;0;1), С1(0;1;1)

Угол между прямыми АВ1 и ВС1 можно  рассмотреть как угол между направляющими векторами АВ1 и ВС1. Тогда cos α = |( АВ1,ВС1)| 

                                                                             |АВ1|·|ВС1|

                           АВ1{-1;0;1},  ВС1{0;1;1}  

cos α =       -1·0 + 0·1 + 1·1            =   1             

             √(-1)²+0²+1² ·√0²+1²+1²         2                 т. е.   α = 60°.                    

При решении задач методом координат на вычисление угла между прямой и плоскостью или угла между плоскостями необходимо составлять уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Уравнение плоскости имеет вид: , где , ,  и  – числовые коэффициенты.

Пусть  нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки ,  и  .

Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.

Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Преобразуем уравнение, разделив обе его части на число  . Получим:

Мы можем переписать  это уравнение в виде: 

Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то d=0.

Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек ,  и  в уравнение плоскости .

Получим систему уравнений:

Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.

Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла. Пусть наши плоскости   и  заданы уравнениями:

:  

:  

Косинус угла   между плоскостями находится по формуле, похожей на формулу косинуса угла между векторами:

В ответе мы записываем , так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Задача 2

В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ = 8 см. На ребре ВВ1 взята точка K так,  что ВК = 8 см. Найдите угол между плоскостью D1MK и плоскостью CC1D.

Сделаем чертеж. Введем систему координат с началом в точке А1. Составим уравнения плоскостей D1MK и CC1D.

D1MK: D1(0;12;0), M(0;0;21-8), K(12;0;8)

Подставим координаты точек в уравнение плоскости :

       

Отсюда: , ,

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на . Получим уравнение плоскости D1MK:  

(а1 = 5, b1 = 13, c = 12).

Аналогично составляем уравнение плоскости CC1D: С(12;12;21), С1(12;12;0), D(0;12;0).

12А + 12В + 21С + 1 = 0,            С = 0

12А + 12В + 1 = 0,                      А = 0

12В + 1 =0                                  В = — 1/12      

-1/12 у + 1 =0  или   у – 12 = 0   (а2 = 0, b2 = 1, с2 = 0)

соs φ  = _|5·0 + 13·1 + 12·0|_   =    _13_  =    1               φ = 45°.

           √52+132+122 · √02+12+02      13√2      √2

Уравнение плоскости можно составить с помощью матрицы, точнее вычисления ее определителя. Для этого необходимо познакомить учащихся с азами теории матриц.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

   Нам необходимо показать, как вычислять определитель матрицы второго порядка — число, получаемое  следующим образом: 

                   

и определитель матрицы третьего порядка: .

Уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и   получим из определителя

х – х1      у- у1      z – z1

х2 – х1     у2 — у1    z2 – z1     = 0 

х3 – х1     у3— у1     z3 – z1             где х, у, z – переменные величины.

Приравнивая к нулю значение определителя матрицы, и получается уравнение плоскости.

Задача 3

В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найти косинус угла между плоскостями АСВ1 и А1ВС1.

     Введем систему координат, например, с  

     началом в точке А. Тогда А(0;0;0), В(1;0;0),  

     А1(0;0;1), В1(1;0;1).

     Сложнее найти координаты точек С и С1.

     Т.к. угол в основании треугольника 60°, то  

     ось у не совпадает с АС.

     Рассмотрим отдельно треугольник АВС в  

х     координатной плоскости ху: АВ = 1, хс = ½,  

      ус = √3/2.

      Т.о. С(1/2, √3/2; 0), С1(1/2, √3/2; 1).

Составим уравнение плоскости АСВ1  и плоскости А1ВС1.

АСВ1:   А(0;0;0), В1(1;0;1), С(1/2, √3/2; 0)

x-0    у-0    z-0

1-0    0-0    1-0        = 0

½-0   √3/2-0   0-0

x·   0    1   — y· 1   1  + z· 1    0      = x·(0-√3/2)-y·(0-½) +z·(√3/2-0)

   √3/2 0         ½  0         ½  √3/2

-√3/2x +½y+√3/2 z = 0  , т.е. коэф. А=-√3/2, В=½, С=√3/2

Вектор нормали плоскости АСВ1    n1(-√3/2; ½; √3/2).

А1ВС1:   А1(0;0;1), В(1;0;0), С1(1/2, √3/2; 1)

x-0    у-0    z-1

1-0    0-0    0-1        = 0

½-0   √3/2-0   1-1

x·   0  -1    — y· 1  -1  +z· 1    0     =x·(0+√3/2)-y·(0+½) +z·(√3/2-0)

   √3/2  0         ½  0        ½  √3/2

√3/2x -½y+√3/2 z = 0  , т.е. коэф. А=√3/2, В=-½, С=√3/2

Вектор нормали плоскости А1СВ1    n2(√3/2; -½; √3/2)

Угол между плоскостями рассмотрим как угол между векторами- нормалями к каждой плоскости (т.е. векторами перпендикулярными плоскостям), которые имеют координаты, равные коэффициентам а, b, c  в уравнениях плоскостей.

α = (n1, n2)    и косинус между векторами-нормалями вычисляется через скалярное произведение векторов:

cos α = |( n1, n1)| 

            |n1|·|n1|

Основные этапы: ввести систему координат, составить через три точки уравнения плоскостей, их коэффициенты использовать для вычисления косинуса угла между плоскостями.

Много других различных задач можно решить методом координат: найти расстояние между прямой и плоскостью, расстояние между прямыми и т.д.