Метод координат в егэ по математике профиль

Всего: 117    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 117    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

• Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
• Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

«Использование метода координат в пространстве для решения задачи №13 Единого государственного экзамена»

Как всем известно, для учеников старших классов самой насущной проблемой является Единый государственный экзамен. Причём, тех учеников, которые с уверенностью могут сказать: «Я могу решить 13 или 16 задачу», всего единицы. Да и те, кто действительно могут решить их, об этом громко не заявляют.

Анализируя данную проблему, можно сказать, что большая часть выпускников ограничивается заданием 13 пункта а). А при решении пункта б) уже возникают проблемы.

Как вы знаете, в задании 13 чаще всего требуется найти:

1) угол между двумя скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями;

2) расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости.

В своей работе я предлагаю использовать один из универсальных приёмов решения геометрических задач – метод координат в пространстве. Мы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель моей работы: научиться применять знания для решения задач стереометрии.

Однако формальное применение координатно-векторного метода может значительно затруднить решение даже самой простой задачи. Поэтому я привожу несколько общих указаний, которые помогут сориентироваться и решить, можно ли в данной задаче использовать векторы и координаты.

Во-первых, естественно, нужно применять координатный или векторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;

Во-вторых, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки;

В-третьих, что для нас особенно важно, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний;

В-четвертых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи, можно попробовать применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.

2.1. Кратко из теории⁴

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная, сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем пользоваться для решения задач.

Прямоугольная (декартова) система координат – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy и Oz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.

Применение метода координат даёт нам множество возможностей для решения задач.

1. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

где d=AB, A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂)

2. Нахождение координаты середины С(x; y; z) отрезка АВ, A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂). , ,

3. Нахождение косинуса, а, следовательно, и самого угла, между двумя векторами, заданными своими координатами.

где .

4. Нахождение угла между плоскостями путем составления уравнения каждой плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и определения угла между нормалями к плоскостям. Нормаль n при этом имеет координаты .

5.Нахождение расстояния от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀)  до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно.

6. Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками (, , ) и (, , ), в отношении , определяется по формулам

, , .

2.2. Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

• Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
• 0˚<(a,α)<90˚.

При нахождении угла между прямыми используют:

формулу или в координатной форме

для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы и параллельны соотвественно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы или .

Пример 1.⁵ Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁ D₁ равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и B₁E.

х

у

z

B₁

A₁

C₁

D₁

B C

A E

F D

Решение.

Для начала сделаем чертёж и проанализируем задачу.

Прямые CF и B₁E являются скрещивающимися, поэтому, чтобы найти угол между ними геометрическим способом, было бы необходимо параллельно перенести одну из прямых так, чтобы обе прямые лежали на одной плоскости. При этом было бы довольно сложно определить, в каком соотношении они будут пересекаться, и решить эту задачу поэтапно-вычислительным методом.

Я предлагаю поместить параллелепипед в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке, и найти искомый угол как угол между векторами.

Выпишем координаты точек B₁, E, C, F в этой системе координат:

B₁ (0; 0; 4), E(1; 2; 0), C(0; 2; 0), F (2; 1; 0).

Тогда {2; -1; 0}, {1; 2; -4}. Найдём угол между этими векторами по формуле:

То есть искомый угол α=90˚.

Как видите, задачу, которую довольно-таки сложно решить геометрическим путём, можно быстро и красиво решить аналитически.

Ответ: 90˚.

Пример 2.² Точка О лежит на ребре DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁ D₁, точка Р является точкой пересечения диагоналей грани ABCD. DO : DD₁ = 1 : 5. Найдите косинус угла между прямой ОР и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины С.

Решение.

Поместим куб в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Условно обозначим грани куба за единицу. Если обозначить её какой-либо буквой, она всё равно сократится. Определим координаты точек Р, О, С и А₁:

О

Р

Р(0,5; 0,5; 0), О(1; 1; 0,5), С(0; 1; 0), А₁(1; 0; 1).

Отсюда .

Ответ: .

Пример 3.⁵ Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и и середину ребра DC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.

Решение.

Поместим пирамиду в декартову систему координат. Найдём координаты точек S, L, C и M: S(0;0;1), L(0;;0), C(0;0;0). Чтобы найти координаты точки М, воспользуемся геометрией: в равностороннем треугольнике все углы равны 60˚, а т.М, которая делит сторону АВ пополам, является не только медианой, но и биссектрисой, поэтому .

Для равностороннего треугольника , х(СМ)=СМ·соs60˚=, у(СМ)=СМ·соs30˚=, {}, SL{0;;-1}

Решая аналогично предыдущим примерам, находим, что .

Ответ: 45˚.

2.3. Нахождение угла между прямой и плоскостью

• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
• 0˚<(a,α)<90˚.

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить:

по формуле или в координатах , где

— вектор нормали к плоскости α,

— направляющий векор прямой l;

Пример 4.⁵ В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра АВ и АА₁ равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В₁С₁. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью АВ₁С.

Решение. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться уравнением плоскости, имеющим общий вид

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В₁(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b=,

c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

Длину вектора легко найти геометрически: . Но его координаты нам всё равно необходимы. Из простых вычислений находим, что .

Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

.

Ответ: 45˚

2.4. Нахождение угла между двумя плоскостями

• Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
• Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)
• Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].
• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:

как угол между нормалями по формуле или в координатной форме , где — вектор нормали плоскости А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0, — вектор нормали плоскости A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Пример 5.¹ В единичном кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ найдите угол между плоскостями АD₁ Е и D₁FC, где точки Е и F-середины ребер А₁В₁ и В₁С₁ соответственно.

Решение.

Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D₁(1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1).

1) Решая систему

, составляем уравнение плоскости (АD₁E): x+2y-z=0.

2) плоскость CFD₁:

отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.

, , откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

2.5. Нахождение расстояния между двумя точками.

Расстояние между точками А и В можно вычислить:

по формуле ,

где A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂);

по формуле .

Пример 6.⁶ В основании пирамиды SABCD лежит ромб со стороной 2 и острым углом в 60˚. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды и равно 4. Найдите расстояние от середины Н ребра SD и серединой М ребра ВС.

Решение. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.

Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD: S(0; 0; 4), D(0; 2; 0).

Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВ_х=AC_x=2·cos30˚=, AB_y=AC_у–2=2·cos60˚=1.

Отсюда В(; 1; 0), С(; 3;0). Тогда координаты точки М равняются:

.

Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами:

Ответ: .

Пример 7.¹ В единичном кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ точки Е и К – середины ребер АА₁ и СD соответственно, а точка М расположена на диагонали В₁D₁ так, что В₁М = 2МD₁. Найдите расстояние между точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML=2LK

Решение. Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0), В₁(0;0;1), D₁(1;1;1). Чтобы вычислить координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок B₁D₁ в отношении λ=2:1:

, , .

Аналогично находим координаты точки L:

.

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка:

, , .

Ответ: .

2.6. Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку , есть длина отрезка перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость .

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Расстояние от точки М до плоскости α

вычисляется по формуле , где М(х₀;у₀;z₀), плоскость α задана уравнением ax+by+cz+d=0;

Пример 8.² В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ проведена диагональ B₁D. В каком отношении, считая от вершины B₁, плоскость А₁BC₁ делит диагональ B₁D?

Решение. Составим уравнение плоскости А₁BC₁ и найдём расстояние от этой плоскости до каждой из точек B₁ и D. Пусть l – ребро куба.

В(0;0;0), А₁(l;0;l), С₁(0;l;l).

Решив систему определяем, что уравнение плоскости имеет вид: x+y–z=0 → а=1, b=1, c= –1. B₁(0;0;1), D(1;1;0).

Теперь найдём расстояние от каждой точки до плоскости по формуле

:

Ответ: 2:1.

Пример 9.⁵ Основание прямой призмы АВСА₁В₁С₁ – равнобедренный треугольник АВС, основание АС и высота ВD которого равны 4. Боковое ребро равно 2. Через середину К отрезка В₁С проведена плоскость, перпендикулярная к этому отрезку. Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости.

Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки К в этой системе координат: А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В₁(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К. То есть уравнение плоскости имеет вид –2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после упрощения, 2x–y+z-4=0.

Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости:

. Ответ: .

Заключение

Представляю вашему вниманию свою работу, которой я занималась в течение последних месяцев: я искала формулы, подбирала для каждого случая именно те задачи, геометрическое решение которых перегружено формулами, редко используемыми теоремами, сложными преобразованиями и вычислениями.

Конечно, эту работу нельзя считать авторитетным пособием по решению задания 13 ЕГЭ, так как в ней рассмотрено лишь небольшое количество задач, и ограниченное количество приёмов.

Конечно, я не настаиваю на том, что все задачи стереометрии надо решать методом координат, иногда это просто нецелесообразно. Но согласитесь, настолько простое и изящное решение не только освободит время для решения других заданий, но и будет высоко оцениваться проверяющим учителем.

Список использованной литературы

1. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010: Математика /авт.-сост . И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель , 2009. – (ФИПИ).

2. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие/ под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М., 2010.

3. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект -Центр, 2010.

4. Большая универсальная школьная энциклопедия/ гл. редактор М.Аксёнова – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2008.

5. www.fmclass.ru – образовательный портал «Физ/мат класс»

6. www.mathege.ru – открытый банк заданий.

7. www.problems.ru – каталог задач.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1.  В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и :

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

.

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

;

.

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

.

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

  

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Метод координат… Что же это такое и зачем он нужен? Можно ли без него обойтись при сдаче ЕГЭ? Можно, безусловно! Все стереометрические задачи второй части профильного ЕГЭ по математике решаются и без привязки фигур к системе координат. Но…  координатный метод может значительно упростить решение самых сложных вопросов, таких, как определение расстояний и углов между прямыми и плоскостями в пространстве, так как там все эти расчеты сводятся, практически, к одной формуле.

       Будем разбираться!

Вспомните, как вас знакомили с системой координат и объясняли, что положение каждой точки в системе координат можно определять координатами х и у.   Это точки M(x_m; y_m)   и N(x_n; y_n)

Как известно, прямую можно провести через две точки, и при том, только одну. Задача по определению уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки, координаты которых известны, решалась очень просто. В этом случае в уравнение прямой y=kx+b подставляли сначала координаты точки М, затем – точки N.

Получали систему двух линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов k и b, которые находили при решении  этой системы.

Но уравнение прямой на плоскости можно задать и по-другому:

Ax + By + C = 0,       (A² + B² ≠ 0)

И суть от этого не изменится, изменятся только коэффициенты. Условие в скобках означает, что А и В не могут быть равны нулю одновременно.

Стереометрия рассматривает фигуры в пространстве, где каждая точка описывается уже тремя координатами – (x, y, z).

Привязка фигур к  системе координат позволяет не только определять координаты точек, но и записать уравнение плоскости. Как известно, на трех точках можно построить плоскость, притом, только одну. Соответственно, можно и записать плоскость уравнением. Выглядит это уравнение следующим образом:

  Ax + By + Cz + D = 0

 Очень похоже на вторую запись уравнения прямой на плоскости. Значит, и коэффициенты  А, В, С и D мы будем находить также, как и коэффициенты для прямой на плоскости, по точкам.

Это действие сродни тому, что вы производили, определяя уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные координатами.

Прямую можно провести через две точки, и мы составляли два уравнения для двух точек.

Плоскость можно провести через три точки, значит, и уравнений будет три!

Но уравнений три, а неизвестных – четыре! Ну, и что! Мы же можем разделить все уравнения на D, при этом они не изменятся, будут равнозначны первоначальным! Так и будем поступать! Тогда   вместо D   будет единица, а все остальные коэффициенты будут делиться на D,  назовем их также, А, В, С. И это уже вполне решаемая система!

Здесь значения всех x, y и z известны, это координаты точек, принадлежащих данной плоскости.

Итак, точку описать можем, прямую описать можем, плоскость –  можем. Осталось вспомнить сами векторы и их координаты, они нам тоже пригодятся при решении задач.

Векторы и их координаты

          Вектор – это математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой.

Мы можем «привязать» вектор к системе координат, т.е. мы можем его определять в пространстве координатами его проекций на координатные плоскости.

Если даны две точки в пространстве А(x_a; y_a; z_a) и B(x_b; y_b; z_b), то дан и вектор

, где а_х, а_у и а_z – координаты вектора.  Осталось определить значения а_х, а_у и а_z. Определяем:

а_х = x_b – x_a

а_у = y_b – y_a

а_z = z_b  –  z_а

       Теперь, зная длины проекций вектора, мы можем легко найти длину вектора, которая, как видно из чертежа, есть не что иное, как диагональ параллелепипеда, сторонами которого являются координаты этого вектора. Его длина, модуль вектора, будет равна:

А что есть длина вектора, как не расстояние между двумя точками: началом и концом вектора? То есть выведенная формула определяет расстояние между двумя точками в декартовой системе координат.

Метод координат

Примеры решения задач →

Стереометрия

Метод координат

в задачах № 14 ЕГЭ

Координаты точки в декартовой системе координат

Координаты вектора

=

Координаты середины отрезка

Угол между прямыми

— направляющий вектор прямой а

— направляющий вектор прямой b

— угол между прямыми

Уравнение плоскости, проходящей

через три заданных точки

-нормальный

вектор плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

-нормальный

вектор плоскости

, где

Уравнение плоскости

, где

Если плоскость проходит через начало координат, то d=0

Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то

уравнение плоскости в отрезках

Угол между прямой и плоскостью

— направляющий вектор прямой

— нормальный вектор плоскости

Угол между плоскостями

Вектор нормали плоскости

Вектор нормали плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние между параллельными плоскостями

Задача 1

В единичном кубе найдите угол между прямыми AE и BF, где Е – середина ребра , а F – середина ребра

Решение (1 способ)

К — середина

По теореме косинусов для

Решение (2 способ)

Задача 2

В правильной треугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD и CE , где D и E — соответственно середины ребер и

Решение.

Координаты правильной треугольной призмы

Решение.

Задача 3 В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и

Решение.

Координаты правильной шестиугольной призмы

Решение.

Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF .

Решение.

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Решение.

Е — середина SB

F — середина SC

Задача 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты вектора нормали.

Решение.

Задача 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой DE, где Е — середина апофемы SF грани ASB и плоскостью ASC

Решение.

— вектор нормали плоскости

— направляющий вектор прямой

— вектор нормали плоскости

— направляющий вектор прямой DE

Задача 7 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD

Решение.

Решение.

Задача 8 В единичном кубе найдите угол между плоскостями и , где Е – середина ребра , а F – середина ребра

Решение.

Уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Уравнение плоскости

Вектор нормали плоскости

Задачи для самостоятельного решения

• В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием

ABCD точка М – середина ребра SA, точка К – середина ребра SC.

Найдите угол между плоскостями МВК и АВС, если АВ=4, SC=7.

2. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 2√2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и и середину ребра ВC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №2

Мастер-класс по теме 
«Применение координатно-векторного метода при решении стереометрических задач»

Подготовила

учитель математики МБОУ СОШ №2

Гергель Анна Анатольевна

11 ноября 2020

 Если ученик берется за решение стереометрической задачи, то в большинстве случаев действует поэтапно-вычислительным методом, используя определения, признаки и свойства различных фигур. Однако этот метод требует безупречного знания и понимания основных теорем, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве и не всегда оказывается эффективным.

Целью моего выступления является рассмотреть и проанализировать координатно-векторный метод решения стереометрических задач. Координатный метод позволяет избежать указанных трудностей. Основная нагрузка при решении задачи координатным методом приходится на вычислительную часть. Практика показывает, что учащиеся быстро осваивают метод координат, так как при его использовании необходимо придерживаться общего алгоритма:

– рационально расположить фигуру относительно системы координат;

– вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках;

– применить соответствующую формулу.

Координатным методом можно вычислять расстояния: между скрещивающимися прямыми, между точкой и плоскостью, между плоскостями. Следует отметить, что координатный метод в чистом виде применяется редко. На практике используют комбинированный, то есть координатно-векторный метод, который позволяет расширить спектр решаемых задач. Использование векторов позволяет находить углы между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями. Рассмотрим использование координатно-векторного метода для решения стереометрических задач, предлагаемых на ЕГЭ по математике профильного уровня. Для начала разберем наиболее удобные способы расположения системы координат относительно различных видов многогранников. 

1. Куб.

При таком расположении системы координат (рис. 4) вершины куба будут иметь следующие координаты: А(0;0;0), В(0;а;0), С(а;а;0), D(а;0;0), А1(0;0;а), В1(0;а;а), С1(а;а;а), D1(а;0;а).

Такое же расположение системы координат удобно использовать для прямоугольного параллелепипеда. Еще один вариант расположения кубаотносительно системы координат связан с размещением начала координат в точке пересечения диагоналей основания.

2. Правильная треугольная призма. Пусть в правильной треугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона основания равна а, а боковое ребро равно b. Разместим начало координат в точке А, ось абсцисс будет направлена вдоль ребра АС, ось ординат проходит через точку А перпендикулярно АС, ось Оz направлена вдоль бокового ребра АА1 (см. рис. 5).

Тогда вершины призмы будут иметь координаты: А(0;0;0), В(𝑎/2; 𝑎 √3/2;0), C(a;0;0), A1(0;0;b), B1(𝑎/2;𝑎√3/2;𝑏), C1(a;0;b).

Другой возможный вариант расположения правильной треугольной призмы относительно прямоугольной декартовой системы координат показан на рисунке 6.

3. Правильная шестиугольная призма.

Пусть в правильной шестиугольной призме АВСDЕFА1В1С1D1Е1F1 сторона основания равна а, а боковое ребро равно b. Разместим начало координат в точке А, ось абсцисс направим вдоль ребра АF, ось Оу – через точку А перпендикулярно АF, ось Оz – вдоль бокового ребра АА1 (смотри рисунок 7).

Тогда вершины призмы будут иметь координаты: А(0;0;0), В(−𝑎/2;𝑎√3/2;0),

C(0; a√3;0), D(а; a√3;0), Е(3а/2;𝑎√3/2;0), F(а;0;0), A1(0;0;b), B1(−𝑎/2;𝑎√3/2;𝑏),

C1(0; a√3;b), D1(а; a√3;b), Е1(3а/2;𝑎√3/2;𝑏), F1(а;0;b).

Другой вариант расположения правильной шестиугольной призмы относительно прямоугольной декартовой системы координат представлен на рисунке 8.

4. Правильная треугольная пирамида.

Пусть в правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна а, а высота равна h. Разместим начало координат в точке А, ось абсцисс

направим вдоль ребра АС, ось Оу – через точку А перпендикулярно АС, ось Оz– через точку А перпендикулярно плоскости АВС (смотри рисунок 9).

Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(𝑎/2;𝑎√3/2;0), C(а;0;0), М(𝑎/2;𝑎√3/6;ℎ).

Еще один вариант расположения правильной треугольной пирамиды относительно системы координат представлен на рисунке.

5. Правильная четырехугольная пирамида.

Пусть в правильной четырехугольной пирамиде МАВСD сторона основания равна а, а высота равна h.

Разместим начало координат в точке А, ось абсцисс направим вдоль ребра АD, ось Оу – вдоль ребра АВ, ось Оz – через точку А перпендикулярно плоскости АВС. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(0;а;0), С(а;а;0), D(а;0;0), М(𝑎/2;𝑎/2;ℎ).

6. Правильная шестиугольная пирамида. Пусть в правильной шестиугольной пирамиде МАВСDЕF сторона основания равна а, а высота равна h. Разместим начало координат в точке А, ось абсцисс направим вдоль ребра АС, ось Оу – через точку А перпендикулярно АС, ось Оz – проходит через точку А перпендикулярно плоскости АВС (смотри рисунок 12).

Тогда вершины пирамиды имеют координаты А(0;0;0), В(−𝑎/2;𝑎√3/2;0),

C(0; a√3;0), D(а; a√3;0), Е(3𝑎/2;𝑎√3/2;0), F(а;0;0), М(𝑎/2;𝑎√3/2;ℎ).

Еще один вариант расположения правильной шестиугольной пирамиды относительно прямоугольной декартовой системы координат показан на рисунке 13

Примеры решения задач

(Сборник Лысенко Ф. Ф., Кулабухова С. Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ 2021. Профильный уровень.)

1. Вариант 16 № 14.

ABCDA1B1C1D1  — правильная четырехугольная призма, на ребре СС1 отмечена точка Р такая, что СР:РС1  =3:5. Плоскость проходит через точки D  и Р и параллельна прямой АС. Эта плоскость пересекает ребро ВВ1 в точке F.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью  является ромбом.

б) Найдите длину ребра ВВ1, если АВ=6, а площадь сечения призмы плоскостью  равна 72.

а) Т. к. противоположные грани параллелепипеда параллельны, то по свойству параллельных плоскостей сечение является параллелограммом. Для доказательства перпендикулярности диагоналей воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Тогда D (6;0;0), К (0; 0; 3а), Р (6; 6; 3а), F (0; 6; z).  Значение z вычислим из равенства векторов DK и PF. DK{-6; 0; 3a},  PF {-6; 0 z-3a}. Z=6a.

 Вычислим скалярное произведение DF * KP. DF {-6; 6; 6a}, KP {6; 6; 0}.
DF * KP= -36+36+0=0, значит DF  KP, а значит параллелограмм DKFP – ромб.

б) Sp = .

 (по условию)

2 + а2 =8

, ВВ1 = 8а = 8

Ответ: 8

2. Вариант 33 №14

Диаметр АВ верхнего основания цилиндра перпендикулярен диаметру СD нижнего основания, при этом диаметр основания цилиндра в раз больше высоты цилиндра. Докажите, что тетраэдр АВСD – правильный.

Задачи для самостоятельного решения

1. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найти угол между прямой АD1 и плоскостью α, проходящей через точки А1, Е и М, где точка Е – середина ребра С1D1, а точка М лежит на ребре DD1, так, что D1М = 2DМ.

2. В правильной шестиугольной призме АВСDЕFА1В1С1D1Е1F1, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой АВ1 и плоскостью АСЕ1.

3. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСК, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой КЕ, где Е – середина апофемы МР грани АМВ, и плоскостью АМС.

Справочный материал

1. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором  

2. Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ

3. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

4. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

5. Сложение векторов:

Правило треугольника:

— отложить от какой-нибудь точки А вектор АВ, равный а (см. рис.);

— отложить от точки В вектор ВС, равный в;

— вектор АС , называется суммой векторов а и в .

Правило параллелограмма

— отложить векторы а   и в  от одной точки;

— построить на векторах а и в  параллелограмм;

— диагональ полученного параллелограмма будет суммой векторов 𝑎а  и в (см. рис.).

Правило многоугольника:

построение суммы трех и более векторов выполняют по правилу

многоугольника, состоящему в использовании правила треугольника нужное число раз.

6. Произведением ненулевого вектора а  на число к называется такой вектор в , длина которого равна |к|∙|в |, причем векторы а и в сонаправлены при k > 0 и противоположно направлены при k < 0.

7. На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом

8. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

9. Условие перпендикулярности векторов: два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

10. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

11. Координаты вектора. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

12. Длина вектора  вычисляется по формуле

13. Координаты середины отрезка.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, т.е. если С(х; у) – середина отрезка АВ, А(х1; у1) и В(х2; у2) – его концы, то х=(х1+х2)/2, у=(у1+у2)/2

14. Расстояние между двумя точками.

Если М1(х1; у1) и М2(х2; у2), то М1М2 =

15. Уравнение окружности радиуса r с центром в точке О(х0; у0) имеет вид (х – х0)2 + (у – у0)2 = r2.

16. Уравнение прямой ах + by + c = 0.

17. Направляющим вектором прямой l называют ненулевой вектор р(а;в) лежащий на данной прямой l

18. Расстояние от точки М(х0; у0) до прямой ах + by + c = 0 вычисляется по формуле

19. Угол между прямыми. Если 𝑎 (𝑥1;𝑦1;𝑧1) и 𝑏⃗ (𝑥2;𝑦2;𝑧2) – направляющие векторы прямых a и b, φ – угол между прямыми a и b, то

20. Ненулевой вектор п , перпендикулярный к плоскости α, называют нормальным вектором плоскости α.

21. Расстояние от точки до плоскости. Если М(х0, у0, z0) — данная точка,
aх + bу +сz +d = 0 – уравнение данной плоскости α, то

Литература

1. Атанасян, Л.С., Бутузов, В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2018

2. Александров А.Д. Геометрия. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2014.

3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2020.

4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их решения. – 102

5. Лысенко Ф. Ф., Кулабухова С. Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ 2021. Профильный уровень.

Муниципальное
бюджетное образовательное учреждение

средняя
общеобразовательная школа №50

Исследовательская работа на тему:

Выполнила:

Ученица
11 класса

Черепанова
Людмила

Руководитель:

Учитель
математики высшей

 квалификационной
категории  

Филиппова
Л.И.

г.Володарск

2012
год

Содержание

1.     Пояснительная записка………………………………………………3

2.     Что такое С2
………………………………………………………….5

3.     Краткий теоретический
справочник ………………………………..9

4.     Координаты вершин
многогранников ……………………………..11

5.     Основные необходимые формулы
и примеры заданий …………..14

    5.1. Расстояние между двумя точками
………………………………….14     

    5.2.  Уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки….15                                             

    5.3. Угол между прямой и
плоскостью.……………….………………..16

    5.4. Расстояние от точки до плоскости
…………………………………17

    5.5.  Угол между плоскостями…………………………………………..18

6.  Заключение
…………………………………………………………. 21

      7. Приложение ………………………………………………………….22

      8. Литература……………………………………………………………29

1. Пояснительная записка

   Я ученица 11 класса. Совсем скоро
мне предстоит сдача единого государственного экзамена по некоторым предметам,
одним из которых является математика.

   ЕГЭ по математике – достаточно
трудный экзамен, и для его успешной сдачи необходимо очень усиленно готовиться,
чем я и занимаюсь на протяжении уже большого срока. При подготовке в школе я
обращала внимание не только на то, что непонятно мне, но и на то, что непонятно
моим одноклассникам и делала соответствующие выводы. Особое внимание необходимо
уделять стереометрическим задачам, так как их решение вызывает много трудностей.
Дело в том, что в школе очень мало времени уделяется геометрии, а задания часто
требуют хорошо развитых навыков решения, самостоятельная же подготовка вряд ли
вызовет желание у учащегося.

   Я решила помочь себе и своим
одноклассникам в решении стереометрических задач при подготовке к ЕГЭ. Для
этого я рассмотрела различные методы решения заданий.   Одним из самых
доступных и воспринимаемых методов является векторно-координатный метод, очень
заинтересовавший меня. О нём я узнала на факультативных и элективных занятиях. Этот
метод позволяет сэкономить время на экзамене. При возможности он поможет
получить два дополнительных первичных балла, которые позже смогут оказать
огромную услугу при поступлении в ВУЗы.

   Подводя итог выше сказанному стоит
сказать, моя тема «Векторно -координатный метод при решении
стереометрических задач в рамках подготовки к ЕГЭ» актуальна в настоящий
момент.

Объект исследования: Задачи С2

Предмет исследования: Векторно-координатный метод

Методы исследования: Сбор информации, изучение
дополнительной литературы, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение

Цель: Научится использовать
векторно-координатный метод в решении второй части ЕГЭ по математике и
познакомить с ним других.

Задачи проекта: собрать, проанализировать,
обобщить и показать практическое применение векторно-координатного метода при
решении задач С2.

Новизна проекта: В школьном курсе приводится
чисто аналитическое представление о решении задач С2 и только незначительная
часть задач решается при помощи координат. Это связано лишь только с
недостатком времени на уроках. Метод координат необходимо изучать больше, так
как он экономит время на экзамене.

2. Что такое задание С2?

  Для начала определимся что же в
себя включает задание С2 и что необходимо уметь при его решении.

   К задачам типа С2 относятся
стереометрические задания, в которых нужно найти определенную величину.

Для
успешного решения задач типа С2 необходимо:

·        
Уметь
выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

·        
Решать
планиметрические задачи на нахождение геометрических
величин (длин, углов, площадей)

·        
Решать
простейшие стереометрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использовать при решении стереометрических задач
планиметрические факты и методы

·        
Определять
координаты точки; проводить операции над векторами,
вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами

·        
Повторить материал по темам:

o   
Пересекающиеся,
параллельные и скрещивающиеся прямые;
перпендикулярность прямых

o   
Параллельность
прямой и плоскости, признаки и свойства

o   
Параллельность
плоскостей, признаки и свойства

o   
Перпендикулярность
прямой и плоскости, признаки и свойства;
перпендикуляр и наклонная; теорема о трех перпендикулярах

o   
Перпендикулярность
плоскостей, признаки и свойства

o   
Параллельное
проектирование. Изображение пространственных фигур

o   
Призма,
ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность; прямая призма;
правильная призма

o   
Параллелепипед;
куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде

o   
Пирамида,
ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида;
правильная пирамида

o   
Сечения
куба, призмы, пирамиды

o   
Представление
о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр)

o   
Цилиндр.
Основание, высота, боковая поверхность, образующая,
развертка

o   
Конус.
Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка

o   
Шар и сфера,
их сечения

o   
Величина
угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги
окружности

o   
Угол
между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью

o   
Длина
отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

o   
Расстояние
от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние
между параллельными прямыми, параллельными плоскостями

o   
Площадь
треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

o   
Площадь
поверхности конуса, цилиндра, сферы

o   
Объем
куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

o   
Декартовы
координаты на плоскости и в пространстве

o   
Формула
расстояния между двумя точками; уравнение сферы

o   
Вектор,
модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и
умножение вектора на число

o   
Коллинеарные
векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

o   
Компланарные
векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам

o   
Координаты
вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Конечно же, рассматривая метод
координат, подробно стоит остановиться на последних шести пунктах, но и про
остальные ни в коем случае нельзя забывать.

3. Краткий теоретический
справочник

1.     Декартовы координаты на
плоскости и в пространстве

ДЕКАРТОВЫ координаты (декартова система координат) — система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно
перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям — прямоугольные
декартовы координаты. Названы по
имени Р. Декарта.

    На плоскости                           В
пространстве

2.     Формула расстояния между
двумя точками; уравнение сферы

Расстояние d между двумя точками  (, , ) и  (, , ) в пространстве определяется формулой

.

Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками (, , ) и (, , ), в отношении  , определяется по формулам

, , .

В частности, при имеет координаты середины данного отрезка:

, , .

Сфера радиуса R с центром в начале координат
представлена уравнением второй степени.

x² + y² + z² = R²

Сфера радиуса R , центр которой не совпадает с
началом координат, представлена другим уравнением второй степени.

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)²
= R²

      2. Координаты вектора; скалярное произведение
векторов; угол между векторами

   Координаты вектора, концами которого являются
точки А (x₁,y₁,z₁) и В(x₂,y₂,z₂), находятся так: АВ{ x₂ — x₁; y₂ — y₁; z₂— z₁}

Скалярным произведением двух
векторов a и b называется число,
обозначаемое  и
равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними: a•b=|a|•|b|•cos(a^b)
, где (a^b) обозначает меньший угол между направлениями
векторов a и b. Отметим, что всегда(0 ≤
a^b ≤ π).

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1.     a • b = b • a;

2.     (λa) • b= •(λb) = λ (a • b);

3.     a • (b+с) = a • b + a • с;

4.    
a • b = |
a | прa
b = |b| прb| a |;

5.     a • a = | a |²;

6.     a • b = 0, если a ┴ b.

   Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки,
называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг     своего
начала до положения сонаправленности с другим вектором.

4.  Координаты вершин многогранников

Главная трудность в решении заданий
С2 методом координат – это определить координаты вершин многогранника. Делать
это очень удобно, если вынести основание многогранника на отдельном рисунке на
плоскость XoY. Тогда хорошо видны все
точки, и их координаты найти достаточно просто.

Определить координаты вершин многогранников:

1.    
Единичный куб A…D1

Решение: координаты вершин А (0,0,0),
А1(0,0,1), В(1,0,0), В1(1,0,1),

D( 0 ,1 ,0),  D1( 0,1,1), С(1,1,0), С1(1,1,1).

2. Правильная треугольная
призма  A…C₁ ,

все ребра, которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А
(0,0,0),А ₁(0,0,1),В(1,0,0),В1(1,0,1),

С(0,5;,0), С₁(0,5;,1).

3. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра
которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А
(0,0,0),А ₁(0,0,1),В(1,0,0),В1(1,0,1),

С(1,5;,0),С₁(1,5;,1), D(1,(1, Е(0,, (0,,

F(-05,  0),        (-05, 1).

4.     Правильная треугольная
пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А (0,0,0), В(1,0,0), С(0,5;,0),
D(0,5,

5. Правильная четырехугольная пирамида  SABCD, все ребра которой равны 1.

Решение: Очевидно, что высотой пирамиды будет координата Z. Координаты
вершин: А (0,0,0),В(1,0,0),С(1,1,0), D(0,1,0S(0,5;0,5;).

6. Правильная шестиугольная
пирамида  SABCDEF, стороны основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2.

Решение: координаты вершин: А
(0,0,0),

В(1,0,0), С(1,5;,0), D(1,Е(0,, F(-05,  0),  S(0,5;).    

5.  Основные необходимые формулы

5.1 Расстояние между двумя
точками

   Расстояние между точками А(, ), В, )
равно =.  

Пример решения задачи на эту формулу:

Решение:

1).Координаты
вершин:  А(0,0,0),В(1,0,0), (0,1,1). Точка К лежит на В.  {-1;1;1}

Напомним правило:
Если отрезок, концами которого служат точки А(, ),В, ) разделен точкой С(х,у,) в отношении  λ, то координаты точки
С определяются по формулам

х =  ;     у= ;    z =.

Пусть АК
перпендикуляр к ВD₁ и АК – искомое расстояние. Точка К
делит  BD₁ в отношении  λ ,
тогда: Х=;  у=;   z=, значит К (;   ); ).  = {;   }

2).    =0; +   =0,  = ; λ= ; К(;;

3). ={;;, значит = =.

Ответ:

Остальные
задачи на нахождения расстояния между точками, а также задачи для
самостоятельного решения находятся в приложении.

5.2 Уравнение плоскости,
проходящей через три заданные точки

Уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки

(, ),(, ), (, ),  в координатной форме:

  =0;

Пример решения
задачи:

Решение:

1). Координаты:  точек В (1,0,0),   Е
(,,);    вектора (;;).

2).Координаты А(0,0,0),  D(0,1,0), S(;;), найдем уравнение плоскости
(АDS). =0;

  =0;                 =0.  Уравнение плоскости:

х-=0, координаты вектора
нормали =(—); ===; 

ответ:.

5.1 Угол между прямой и
плоскостью

 Если β – угол между плоскостями,
заданными уравнениями

 х+z+ =0 и   х+z+ =0, то

.

Пример решения задачи на эту формулу:

1).Введем прямоугольную систему
координат  и запишем координаты вершин: А(0,0,0), F(-0,5;;0), В(1,0,0) и С(1,5;;0)

2). Найдем координаты векторов: (-0,5;;0) и(0,5;;0)

3).Найдем косинус угла  между 
векторами    = =0,5; α=60.  Ответ:60.

5.4 Расстояние от точки до
плоскости

Если ρ- расстояние от точки (, ), до плоскости

  х + z + D =0, то

ρ=.

Пример решения задачи на эту
формулу:

1). А (0,0,0), А1(0,0,1), В(1,0,0), D( 0 ,1
,0)

 2). Координаты А1(0,0,1), В(1,0,0), D( 0 ,1 ,0), найдем уравнение плоскости (). =0;

  =0;                 =0. 

Уравнение плоскости:

х +=0 т.е  х+у + координаты вектора нормали

 =().

3).Найдем расстояние от точки  А до
плоскости)  ρ=.

Ответ:.

5.5 Угол между плоскостями

Пример решения задачи:

  В кубе ABCDA ₁ B ₁
C ₁ D ₁ точки E  и F  — середины ребер соответственно A ₁
B ₁ и A ₁ D ₁ . Найдите тангенс угла между
плоскостями AEF  и BDD ₁ .

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF  и BDD ₁
пересекаются где-то вне куба.  В  классическом  решении  пришлось  бы  строить 
линию  их  пересечения.  Но векторно-координатный метод значительно всё
упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости.
Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к
плоскостям AEF и BDD ₁ .

Сначала — нормаль к плоскости BDD ₁ . Конечно,
мы можем подставить координаты точек B, D и D ₁ в уравнение
плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А
можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость
BDD ₁ — это диагональное сечение куба. Вектор AC  перпендикулярен
этой плоскости. Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: n₁ = AC
(1; 1; 0).

Напишем уравнение плоскости AEF .

Берем уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 и по
очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек
A, E и F .

Упростим систему:

Пусть C = − 1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF :   2x +2y − z = 0.

Нормаль к плоскости AEF :   ~n(2; 2; − 1).

Найдем угол между плоскостями:

6. Заключение

Проанализировав теоретический материал, я пришла к
выводу, что векторно-координатный метод можно использовать при решении стереометрических
задач с целью упростить решение и сэкономить время. Я рассмотрела примеры
решения задач на нахождение углов и расстояний между прямыми, между прямыми и
плоскостями, между плоскостями. Это помогло мне добиться желаемого результата,
представленного в пояснительной записке.

В  классическом  решении  пришлось  бы  строить 
линии, которые являются расстояниями меду объектами, линии  пересечения
плоскостей, что бывает иногда непросто.  А векторно-координатный метод
значительно всё упрощает. Моим одноклассникам понравилась идея решать С2
векторно-координатным способом и многие из них изъявили желание поближе
познакомиться с ним, чего я, собственно, и добивалась.

7. Приложение

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K  середины ребер соответственно

A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Решение:

Строим чертеж:

   Длина ребра
куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем
единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK  скрещиваются. Найдем угол между
векторами AE и BK.

Для этого нужны их координаты.

и найдем косинус угла между векторами AE и BK:

Задание для самостоятельного решения:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K  середины ребер SB и SC соответственно. Найдите
косинус угла между прямыми AE и BK.

Ответ:

2. Основание
прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямо-

угольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между

плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через
середину ребра CD
перпендикулярно
прямой B1D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Решение:

Строим чертеж.
Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать параллелепипед.

Замечаем, что
длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота вроде не дана. Как же
ее найти?

Расстояние между
прямыми A1C1 и BD равно p3. Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них  диагональ
верхнего основания, другая диагональ нижнего.

Вспомним, что
расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1,

где O — точка пересечения диагоналей
нижнего основания, O1 — точка
пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3.

Плоскость AA1D1D — это задняя грань призмы на нашем
чертеже. Нормаль к ней  — это любой вектор, перпендикулярный задней грани,
например, вектор AB
(5; 0; 0) или,
еще проще, вектор n1(1; 0;
0).

Осталась еще плоскость,
проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D. Но позвольте, если
плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости!
Координаты точек B1 и D известны:

Координаты
вектора B1D — тоже:

Находим угол
между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус
угла, находим его тангенс по формуле

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус

угла между прямой
AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда,
рисуем чертеж и выбираем систему координат.

Нужно ли нам
уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно
обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит,
нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор AC (1; −1; 0).

Найдем угол между
прямой и плоскостью:

Решение: координаты вершин:

В(1,0,0), F(-05,  0),
  G(1;).   

Пусть FK перпендикуляр к BG—
искомое расстояние. Точка
К лежит на В G. (0;).
К – делит BGв отношении λ.

Если отрезок, концами которого служат точки А(, ),В, ) разделен точкой С(х,у,) в отношении  λ, то координаты точки С определяются по формулам

х =  ;     у= ;    z =.

Х=;
у=;  
z=,
значит К (;  
)

 =(;  
)

2).  =0;    λ=1
; К(1;;.

3). =(1,5;;,
значит = =.

Ответ:

8.
Литература

1.    
А. Г.
Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru

2.    
Корянов
А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

3.    
Атанасян
Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк.
– М.: Просвещение, 1993 – 207с.

4.    
Болтянский
В.Г., Яглом И.М. Преобразования. Векторы. – М.: Просвещение, 1964. – 303с.

5.    
Борзенко
Е.К., Корнева И.Г. Решение стереометрических задач: Методические рекомендации.
– Бийск: РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. – 60с.

6.    
Геометрия
10-11 кл.: учеб. для ест.-научного профиля. Под ред. Смирновой И.М.– М.:
Просвещение, 2003.

7.    
ЕГЭ-2011.
Математика : типовые экзаменационные варианты : 30 вариантов / под ред. А. Л.
Семенова, И. В. Ященко. — М. : Национальное образование, 2010. — 240 с. —
(ЕГЭ-2011. ФИПИ школе).

8.    
Единый
государственный экзамен: Математика: Cб. заданий. – М.: Просвещение, 2005. –
224с.

9.    
Задачи по
элементарной математике [Текст] / В.Б. Лидский, Л.В.

10.   Зив Б.Г. Задачи к урокам
геометрии, 7-11 классы. – СПб., 1998. – 624с.

11.  Погорелов А.В. Геометрия:
Учеб. для 7-11 кл. сред. шк., 4-е изд. – М.:Просвещение,1993.–383с.