Метод мажоранта на егэ

Решение нестандартных уравнений и неравенств с помощью метода мажорант

Метод мажорант применяется при решении нестандартных уравнений и неравенств, которые не получается решить с помощью стандартных приемов. При подготовке к ЕГЭ  по математике, если вы хотите научиться решать задания группы С, с этим методом необходимо познакомиться.

В этой статье я показываю решение задачи С3 и задачи С1, которые решаются с использованием этого метода.

Название метода мажорант происходит от французских слов majorer — объявлять большим и minorer — объявлять меньшим.

Метод мажорант основан на том, что множество значений некоторых функций ограничено. При использовании метода мажорант мы выявляем точки ограниченности функции, то есть в каких пределах изменяется данная функция,  а затем используем эту информацию для решения уравнения или неравенства.

Чтобы успешно пользоваться этим методом, нужно хорошо знать, какие функции имеют ограниченное множество значений.

Приведем примеры элементарных функций, которые имеют ограниченное множество значений:

1. или 

2. или 

3.

4.

5.

6.

7. 

8.  

9.  

10. 

Маркером того, что в данном уравнении нужно применить метод мажорант, является

a) наличие в уравнении функций, уравнения с которыми решаются принципиально разными способами. Например, если в одной части уравнения стоит многочлен, а в другой — тригонометрические функции.

б) или если очевидно, что стандартными методами уравнение не решить.

1. Решите уравнение: 

Очевидно, что мы не будем возводить двучлен в четвертую степень и трехчлен в десятую.

Заметим, что 4 и 10 — четные числа, следовательно,

при любом значении х

1. Упростим первый корень:

2. Не будем торопиться раскрывать модуль. Заметим, что оба слагаемых в левой части неравенства неотрицательны, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательна, то есть

При этих значениях  подмодульное выражение отрицательно, следовательно, раскрываем модуль с противоположным знаком:

В правой и левой частях неравенства стоит выражение . Вычтем его из обеих частей неравенства:

Так как квадратный корень — величина неотрицательная, следовательно, неравенство выполняется только если левая часть равна нулю.

3. Остается решить уравнение

а) Приведем второй логарифм к основанию 2:

б) Преобразуем первое слагаемое:

— мы раскрыли модуль с тем же знаком, так как  по ОДЗ исходного неравенства.

в) Теперь мы можем ввести замену переменной: .

Получим уравнение:

Отсюда  или

в) Вернемся к исходной переменной:

или

Отсюда  или

Легко проверить что только число  является решением исходного неравенства. Так как мы не находили ОДЗ, проверку сделать необходимо.

Ответ: 

3. a) Решите уравнение:  

б) Найдите все корни уравнения, на промежутке 

1.   Оценим, в каких пределах может принимать значения левая часть неравенства:

Так как все части неравенства положительны, прологарифмируем неравенство:

Итак, левая часть неравенства больше или равны единицы.

2. Оценим, в каких пределах может принимать значения правая часть  неравенства:

Получили, что  правая часть неравенства меньше или равна единицы.

Равенство возможно, только если обе части одновременно равны 1.

Найдем при каких значениях  выполняется равенство

Итак, левая часть уравнения равна 1 при

Найдем при каких значениях х правая часть равна 1.

если 

Итак, правая часть уравнения равна 1 при

Это решение должно совпадать с тем значением , при котором левая часть равна 1.

Выпишем значения  из промежутка :

При  

При  

При  

При   

При    — эта точка совпадет с первой точкой и цикл начнется снова.

Вспомним, что  левая часть уравнения равна 1 при 

Выпишем значения  из промежутка 

При  

При  

При  

При   — эта точка совпадает с первой точкой, и цикл начинается снова.

Мы видим, что при  обе части уравнения равны 1.

Итак, решение уравнения 

Ответим на вторую часть задания:

б) Найдите все корни уравнения на промежутке 

Отметим на тригонометрическом круге полученное решение — эта точка изображена фиолетовым цветом. Она отстоит от на

Мы начинаем движение по кругу из точки , и первое решение, которое нам встречается соответствует углу поворота на

Затем мы проходим по кругу точку 0, точку и следующее решение, которое принадлежит указанному промежутку

Ответ: а)

б) ,

4. Еще один пример, решение уравнения

посмотрите здесь

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

  

Слайд 1

М етод мажорант при решении задач с параметрами Николаева Ирина Николаевна

Слайд 2

Применим для задач в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку, являющуюся наибольшим значением для одной части и наименьшим для другой. Эту ситуацию хорошо иллюстрирует график. Как начинать решать такие задачи ? Привести уравнение или неравенство к виду Сделать оценку обеих частей. Пусть существует такое число М , из области определения такое что Решить систему уравнений: МЕТОД МАЖОРАНТ

Слайд 3

1 3

Слайд 4

Пример 1 . Решить уравнение При х = 0 второе уравнение обращается в тождество, значит х = 0 корень уравнения. Ответ: х = 0. Графическая иллюстрация

Слайд 5

1 5

Слайд 6

Ответ: нет корней. Пример 2 . Решите уравнение Графическая иллюстрация х = 0 не удовлетворяет второму уравнению, полученная система не имеет решений

Слайд 7

Применим для задач в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку, являющуюся наибольшим значением для одной части и наименьшим для другой. Эту ситуацию хорошо иллюстрирует график. Как начинать решать такие задачи ? Привести уравнение или неравенство к виду Сделать оценку обеих частей. Пусть существует такое число М , из области определения такое что Решить систему уравнений: МЕТОД МАЖОРАНТ

Слайд 8

1 8

Слайд 9

1 9 Задача 1. Найти все значения параметра а при которых уравнение имеет решение. Задача 2. Найти все значения параметра при каждом из которых существует хотя бы одно число x , удовлетворяющее уравнению .

Слайд 10

Выводы: 1 10 Внешним признаком использования метода оценок является наличие функций различной природы, что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов. Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть легко сделана, тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения (неравенства). Но решающим фактором успешного применения метода оценок остается знание свойств элементарных функций.

Слайд 11

Задача 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения. При всех значениях х выражение При всех значения х выражения Поэтому Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему: Ответ: при Решение. Перепишем уравнение в виде

Слайд 12

1 12 Пример. Решить уравнение:

10 мая 2014

В этом коротком видеоуроке мы рассмотрим сразу два ключевых приема, необходимых для решения задачи C5 из ЕГЭ по математике:

1. Метод мажорант — эффективный способ решения сложных и нестандартных уравнений и неравенств;
2. Метод симметричных корней — довольно стандартный инструмент, который, однако, позволяет решать даже сложные задачи буквально в несколько строчек.

Смотрите также:

1. Графическое решение сложных задач 18 с модулем
2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18?
3. Умножение и деление дробей
4. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
5. Как решать задачи про летающие камни?
6. B4: счетчики на электричество

Пример 3.  f(x)= ах² + bx + с, (m, n) – координаты вершины параболы.   n = f(m). Мажоранта
квадратичной функции  — ордината вершины. М = n.

М = (4ас–b²) / 4а.

Пример 4.  f(x)= |x|

По определению |x| ≥ 0

М= 0

Пример 5.  у =

М=0

Мажоранты
некоторых функции можно найти, используя следующие полезные  неравенства:

1.     
, при а > 0  и , при а < 0, причем равенство достигается,
только при  

2.     
 , , причем равенство достигается при a = b .

3.                               

В
более сложных случаях для того, чтобы определить мажоранту функции, нужно
провести исследование функции с помощью производной, чтобы найти ее наибольшее
или наименьшее значение на заданном промежутке.

Метод
мажорант

   
Основная идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих
теорем:

Теорема №1.

Пусть
f(x) и g(x) – некоторые
функции, определённые на множестве D. Пусть f(x)
ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена  на этом множестве тем же числом А, но снизу.

Тогда
уравнение f(x) = g(x)
равносильно системе:

Теорема №2.

Пусть
f(x) и g(x) – некоторые
функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x)
ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В
соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений:

Теорема №3.

Пусть
f(x) и g(x) – некоторые
неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x)
ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно.
Тогда уравнение f(x)= А равносильно системе уравнений (при
условии, что Аи В:

В
этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x)
и g(x), а также условие положительности А
и В.

Примеры решения уравнений и неравенств
методом мажорант

 

Пример 1. Решить
уравнение

Решение

    Проанализируем
сначала правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию, графиком
которой будет являться парабола, ветви параболы направлены вверх.

    Найдём
координаты вершины данной параболы. Координаты вершины (5;8).

Тогда
область значений этой квадратичной функции           , причём значение 8 она
принимает только один раз при х=5.

     В левой части
уравнения находится функция                 . Область значение её [-8,8]. Значит,
если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть только 
8.

 Данное уравнение
равносильно системе:

    Второе
уравнение  системы имеет единственный корень  5 , но при выполнении проверки
первого уравнения, получаем  неверное равенство                        , из
чего делаем вывод, что система, а значит, и исходное уравнение, не имеет
решений.

                                                                                         
             Ответ:  решений нет.

 Пример 2.  

Решить
уравнение х²+1 = 2^-Х²

^{Решение.}

1)     
Решим данный пример с помощью
теоремы.

                        

х²+1=1

1/2^Х²=1

Ответ:
х=0

Пример 3.

С3    
Решить неравенство:

Решение 1.

Преобразуем неравенство:

Найдем, при каких значениях х левая
часть неравенства имеет смысл:

    
  

Получаем: -3<x<-2 или -2<x<3.

Значит,  при
всех допустимых значениях х. Поэтому

           

Сделаем замену:  .
Получаем:

        
 
    

Таким образом, ,
откуда   

Корни уравнения: -6 и -1.
Условию -3<x<-2  или -2<x<3 удовлетворяет только
х = -1.

Ответ:{-1}.

Пример 4. Решить уравнение

Решение

Поскольку дискриминант
каждого квадратного трёхчлена, стоящего под знаком арифметического квадратного
корня, отрицателен, то при любых значениях переменной  Х они принимают только
положительные значения (коэффициент при  Х²  положителен)

        

Сумма
неотрицательного числа (х-2)²  и числа  1 не меньше 1, а сумма
неотрицательного числа и числа 5 не меньше 5.    Тогда

Причём знак равенства
можно будет ставить, только в случае, если Х=2, в остальных случаях сумма
дробей в левой части уравнения окажется меньше  числа 7/5, а нам этого не
нужно. Математики говорят, что дробь  7/5 является мажорантой для функции

f(x)=    

Ответ: 2.

Пример 5.

Решить уравнение  .

Решение

Значения первого
арифметического квадратного корня         больше или
равны 1, причём равно 1, только в случае, если верно равенство .             Аналогично, значения второго
арифметического квадратного корня не меньше 5 (больше или равны 5).

Следовательно,
согласно методу мажорант,  левая часть уравнения имеет минимум, равный 6, а
правая часть представляет собой постоянную функцию со значением 6.

Но чтобы
значения функций совпали, надо проверить, имеет ли решение система:

      х-2у+1=0,

      3х-у-2=0.   

  Единственное
решение этой системы (1;1)        

    Ответ: (1;1)

    На первый взгляд,
следующее неравенство,  сложно уже хотя бы тем, что оно с двумя переменными. Но
метод мажорант и здесь выручит.

Пример 6.

С3  
Решите систему неравенств:

Решение.

1.  Неравенство  запишем
в виде:  Относительно
новой переменной  неравенство
имеет вид:  откуда
получаем:   

Значит,   

1.  Второе неравенство системы определено
при   то
есть при x<-1 и  x>2.

При допустимых значениях переменной получаем:

 

    

С учетом области допустимых значений
переменной получаем решение второго неравенства системы:

1.  Сравним  и
 Так
как, ,
то .

Следовательно,

Решение системы неравенств:

Ответ:

Пример 7.

С5    
Найдите все значения а, при каждом из которых система:

 имеет единственное решение.

Решение.

Пусть система имеет решение (х;у). Если
,
то система имеет второе решение (-х;у). Значит, решение может быть
единственным, только при х=0.

Подставим х=0 в первое уравнение: у=а-2.
Пара (0;а-2) должна удовлетворять второму уравнению:

откуда а=0 или а=4.

Для каждого из двух найденных значений
параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное
решение.

Первый случай: а=0. Система принимает
вид:

Графиком функции  является
угол, который имеет с окружностью  три
общие точки (см. рисунок). Значит, при а=0 система имеет три решения.

Второй случай: а=4. Система принимает
вид:              

Из первого уравнения следует, что при , y>2,
а из второго уравнения при  получаем,
что |y|<2. Следовательно, при  система
решений не имеет. Значит, при а=4 есть только одно решение х=0, у=2.

Ответ: а=4.

Пример 8. Решить уравнение.

ОДЗ:
x>0,
y>0.

 

    Тогда , как суммы двух положительных взаимно обратных чисел. Значит  и , а их сумма равна 4, когда каждое из них одновременно равно 2, т.е.
уравнение равносильно системе двух уравнений:

 

Ответ: .

Пример
9. Решить уравнение

    Так как сумма 2-х
взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше
либо равна 4.

    Оценим правую
часть уравнения. Для этого рассмотрим функцию , график функции парабола, ветви параболы направлены вниз, вершина: x₀=2 y₀=16.

Значит y≤16, следовательно:

Следовательно, данное
уравнение равносильно системе:

      Ответ: х=2

Пример 10.

 
При каких значениях параметра а система имеет единственное
решение.

 х² + 2ах + 4а² -5а + 3 ≤
4sin y – 3 cos y,

0 ≤ y ≤ 2π

1) Рассмотрим
квадратичную функцию

f(х) = х² + 2ах + 4а²
-5а + 3, которая достигает своего наименьшего значения при х = — а

М = а² — 2а² + 4а²
-5а + 3= 3а² -5а + 3.

2) Чтобы оценить
правую часть неравенства, используем неравенство

4sin y – 3 cos y ≤ √ 4² + 3²  =5.

3) Для того, чтобы
исходная система имела единственное решение, надо чтобы 3а² -5а + 3=5.

3а²
— 5а — 2= 0,

а
= 1/3, а = 2.               Ответ: а = 1/3, а = 2.

Как мы видите, уравнения решаются довольно несложно, главное в подобных
задачах — увидеть наличие мажоранты.

Признаки присутствия мажоранты в задаче

·                    
Смешанное уравнение (или неравенство), т.е. в
задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или
квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов.

·                    
Сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа
и коэффициенты.

Для нахождения
мажоранты необходимы:

·                    
Здравый смысл и нестандартный взгляд на вещи;

·                    
Знание свойств функций;

·                    
Умение исследовать функции на максимум, минимум,
области значений и прочие характеристики;

·                    
Умение преобразовывать функции, так, чтобы было
проще вытащить мажоранту;

·                    
При применении данного метода используется
определение ограниченных функций.

Функция
f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое
число А, что для всех значений аргумента из области определения функции
выполняется неравенство .

Функция
f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое
число А, что для всех значений аргумента из области определения функции
выполняется неравенство .

Функция,
ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

·                    
Знать некоторые нестандартные неравенства.
      

Значит, для того чтобы найти мажоранту нужно выполнить
одно или несколько действий:

      а) найти  D(f) функции;

      б) найти  E(f) функции;

      в) исследовать функцию на экстремум;

     г) если функция определена на отрезке, найти наибольшее и
наименьшее       значения;

      д) применить известные опорные неравенства.

Аналитические способы решения задач с параметрами. Ограниченность. Метод оценок.

          Ещё один распространённый метод аналитического решения задач с параметрами — это метод оценок. Или по-другому — метод мажорант. Основывается он на таком важном свойстве многих функций, как ограниченность. Для начала пробежимся по самому понятию ограниченности.

Что такое ограниченность? Ограниченные функции.

           То что это слово происходит от слова «граница», вопросов, думаю, ни у кого не вызывает.) Многое в нашем окружении обладает ограниченностью: сутки ограничены 24 часами, проезжая часть дороги ограничена тротуаром или обочиной, секретная территория ограничена забором с колючей проволокой. А в математике бывают ограниченные функции.

        Что же такое ограниченная функция? Это функция, область значений которой ограничена каким-то числом (или двумя числами). Что такое область значений функции? Это те значения, которые может принимать функция в принципе. Обозначается она, как мы помним, E(y). 

        Например, для линейной функции y = kx+b областью значений будет вся числовая прямая: 

        E(y) = (-∞; +∞).

        Для параболы y = x² областью значений будет множество всех неотрицательных чисел:

        E(y) = [0; +∞).

 

        Для синуса или косинуса областью значений служит отрезок [-1; 1]. То есть, E(y) = [-1; 1].

        Для константы y = C область значений вообще состоит всего лишь из одной точки: E(y) = {C}.

        Одних только этих примеров уже достаточно, чтобы понять, что бывают функции, графики которых неограниченно простираются сверху вниз (или снизу вверх), либо которые ограничены только сверху (снизу), либо которые «зажаты» между какими-то двумя числами. А также константы.

        Так вот, функция f(x), определённая на множестве X, называется ограниченной сверху числом А, если  f(x)≤A  для любого .

        Например, сверху ограничена любая квадратичная функция y = ax²+bx+c с отрицательным коэффициентом «a» (то есть, с параболой ветвями вниз). Каким же именно числом? Значением в вершинке:

        Функция f(x), определённая на множестве X, называется ограниченной снизу числом А, если f(x)≥A для любого .

        Например, наши любимые парабола y = x² и модуль y = |x| ограничены снизу числом 0.

        А вот функция, ограниченная как сверху, так и снизу, называется просто ограниченная функция. Например, любой синус и любой косинус ограничены числами  Арктангенс ограничен числами ±π/2. Константа, ясен перец, ограничена сама собой же.)

        И так далее. Что такое ограниченность и какие у неё бывают разновидности, в общих чертах теперь, думаю, понятно. ) Мы не будем здесь углубляться в густые дебри теории множеств, заикаться про точную верхнюю и нижнюю грани (называемые красивыми словами «супремум» и «инфимум»), ибо для решения нестандартных задач (с параметрами и без) приведённой выше информации про ограниченность вполне достаточно.)

        А теперь составим небольшой список наиболее часто встречающихся ограниченных конструкций.

Квадратный трёхчлен

       Любой квадратный трёхчлен ограничен сверху (снизу) значением в вершине соответствующей параболы:

        

       В частности,  и .

Модуль

       Любой модуль всегда неотрицателен: |x| ≥ 0.

Синус и косинус

       Любой синус и любой косинус всегда лежит в отрезке от -1 до 1:

 и

       Полезные следствия:

Обратные тригонометрические функции

π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2          0 ≤ arccos x ≤ π

π/2 < arctg x < π/2          0 < arcctg x < π 

Полезные неравенства

           Что ещё очень часто применяется при решении задач с использованием метода оценок, так это некоторые весьма и весьма нетривиальные, но очень полезные неравенства. Сейчас мы их выпишем и разберём (в том числе и докажем).

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)

        Первое полезное неравенство, которое мы рассмотрим, — это неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел. Называется оно неравенством Коши и выглядит так:

        А по-русски это неравенство звучит так: «Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.»

        Здесь есть ограничение: оба числа должны быть неотрицательными. Иначе либо корень справа вообще потеряет смысл, либо неравенство будет неверно.

        Доказывается оно довольно просто. Для этого перенесём  влево и умножим обе части на 2:

        Из свойств корней мы знаем, что:

                                                      

                                                     .

        Если теперь вставить эти выражения в наше неравенство, то слева получится полный квадрат разности:

        Последнее неравенство возражений, думаю, не вызывает: квадрат любого выражения всегда неотрицателен. Тем самым, неравенство Коши доказано.

        Обратим внимание, что неравенство здесь нестрогое — больше, либо равно. А вот когда достигается это самое «равно»? Только в единственном случае — когда .

        Кстати говоря, неравенство Коши справедливо не только для двух, а для любого количества чисел. В более общей форме оно записывается вот так:

        Важное следствие из неравенства Коши:

Сумма двух взаимно обратных величин

        Следующее неравенство, на которое мы обратим внимание, — это сумма двух положительных взаимно обратных величин. При a > 0 справедливо вот такое неравенство:

        Доказывается оно довольно легко с использованием предыдущего неравенства Коши.)

        Положив в нём b=1/a, получим:

        Что и требовалось доказать.)

        Здесь неравенство снова нестрогое и превращается в равенство только при a = 1/a, то есть при a = 1.

Связь квадрата и модуля

        Третья группа полезных неравенств — связь квадрата какой-то величины с модулем этой самой величины:

 при

 при

        Тут доказательство довольно просто провести графически. Вспомните график параболы y = x² и график модуля y = |x|. И всё станет ясно.)

Оценка некоторых тригонометрических выражений

        А теперь рассмотрим одно полезное неравенство из тригонометрии. Очень полезное для метода мажорант! Основано оно на так называемом методе вспомогательного аргумента. Про этот метод будет отдельный урок в разделе по тригонометрии, а здесь — просто краткие сведения.)

        Итак, пусть у нас есть вот такое выражение с синусом и косинусом:

        Здесь a и b – просто какие-то числа, одновременно не равные нулю. Нам теперь надо оценить это выражение. Для этого проделываем вот такую манипуляцию: умножаем и тут же делим всю конструкцию на вот такой корень :

       

        Казалось бы, что это ещё за выкрутасы такие? Ничего, сейчас интересно будет. Теперь делим числитель почленно на этот самый корень:

        

        А теперь — самое интересное! Вводим вот такие обозначения:

        

        Правомерна ли такая замена? Проверим по основному тригонометрическому тождеству:

        

        Итак, основное тригонометрическое тождество выполнено, а это значит, что наши загадочные числа

         

и впрямь есть косинус и синус некоторого угла . Этот новый угол «фи» и называется тем самым вспомогательным углом. Кстати, можно точно определить, чему равен этот самый угол «фи». Для этого поделим друг на друга его синус и косинус. Как мы знаем, это будет тангенс:

        

        Итого: 

        

        Что ж, перепишем наше выражение с учётом доказанных фактов:

        

        А теперь — сворачиваем наше выражение по формуле синуса суммы двух углов. Вот так:

        .

        Любой синус, как нам известно, заключён в пределах [-1; 1], а это значит, что всё наше выражение  заключено вот в таких пределах:

        

        Это неравенство довольно часто применяется при оценке тригонометрических выражений. Полезно запомнить.)

Принцип оценки левой и правой части (или принцип разделяющего числа)

        И, наконец, последнее что мы рассмотрим — это вот такую типичную ситуацию. Пусть у нас имеется уравнение f(x) = g(x). Допустим, мы каким-то образом установили, что левая часть не больше какого-то числа А:

 

        Также мы установили, что правая часть не меньше этого же числа:

 

        Или всё наоборот — не суть важно. Важно другое — одна из функций ограничена сверху числом А, а вторая функция ограничена снизу этим же самым числом.) Когда возможно равенство левой и правой части? Да! Когда одновременно и левая, и правая части равны этому граничному числу А!

        То есть, наше исходное уравнение f(x) = g(x) будет равносильно вот такой системе: 

        Решается такая системка, как правило, уже без особого труда.

        Этот метод часто применяется в той ситуации, когда слева и справа стоят функции разной природы. Скажем, синус и многочлен. Или косинус и логарифм… Это намёк.) Попробуйте оценить левую и правую части! В 99% случаев помогает!

        Теперь кратко о задачах, которые будут рассматриваться в настоящем материале. Большинство из этих задач НЕ решаются стандартными способами — сведением к простейшим уравнениям или неравенствам, разложением на множители, возведением в квадрат и подобными преобразованиями. Однако, если попытаться оценить конструкции, входящие в задачу, как дорога к ответу становится простой, понятной и красивой, а задача из монстра становится белой и пушистой.) «Внешний вид» задач, где явно напрашивается метод оценок, примерно следующий:

        — наличие слева и справа «разнородных» функций (синуса и логарифма, косинуса и квадратного трёхчлена и т.п.);

        — присутствие ограниченных конструкций (синусов/косинусов, квадратных трёхчленов, модулей, суммы взаимно обратных величин и т.д.).

        Распознавать такие задачи после некоторой тренировки труда не составит. Если тренироваться, конечно.

Уравнения (неравенства) без параметра, решаемые методом оценок

        Что ж, хватит грузной теории, перейдём теперь к конкретным задачам и посмотрим на метод оценок в действии. Для начала рассмотрим задачи без параметра, но с одной или несколькими неизвестными, а уже потом будем рассматривать конкретные параметрические задачи из вариантов ЕГЭ.

        Начнём пока что с такого задания.

           Пример 1

        Решить уравнение:

        Если мы сейчас начнём решать это уравнение по стандартным шаблонам и напишем какую-нибудь ересь типа

         

        или

        ,

        то погрязнем в вычислениях и выкладках, что называется, всерьёз и надолго.

        Как же подступиться к этому уравнению? Путём недолгих размышлений, можно, конечно, догадаться, что число x = 0 является его корнем. А вдруг, кроме нуля, у него есть ещё корни? Так и будем гадать на кофейной гуще? Так как мы не гадалки, то попробуем применить обещанный метод мажорант или оценок.

        Внешний вид уравнения (слева косинус, справа — многочлен) намекает на оценку левой и правой частей. Вот и попробуем оценить левую и правую части нашего злого уравнения.

        Во-первых, про косинус мы знаем, что он всегда лежит в диапазоне от -1 до 1:

        

        А про квадрат мы также знаем, что он всегда неотрицателен:

            

        А, стало быть, если к квадрату прибавить 1, то вся правая часть будет не меньше единички:

        

        А теперь осмысливаем результат: левая часть не больше единицы, а правая часть — не меньше единицы. А это значит, что равенство обеих частей возможно только в единственном случае — когда обе части равны единице! И наше зверское уравнение превращается в эквивалентную систему:

        

        Нетрудно убедиться, что единственным решением этой системки является x = 0. И, следовательно, других корней, кроме нуля, это уравнение не имеет. Вот это строгое обоснование того факта, что других корней нет.

        Ответ: 0.

        Другой пример.)

        Пример 2

        Решить уравнение:

         

        Снова совершенно немыслимый набор функций: слева логарифм от какой-то белиберды с синусом, а справа — корень из квадратного трёхчлена.) Значит, стандартные приёмы (типа возведения в квадрат, ликвидации логарифмов) бесполезны. Значит, пример заточен под какой-то нестандартный ход. Какой? Слева и справа стоят функции совершенно разного рода — корень и логарифм. Такой внешний вид примера — своего рода сигнал к применению метода мажорант. Попробуем оценить обе части?

        Итак, берём сначала логарифм

        

        Что можно сказать про выражение |sin0,5πx|, которое сидит внутри логарифма? Смотрим нашу сводку неравенств и находим похожее:

        

        Но у нас аргумент синуса не просто икс, а ! Ну и что? Запоминаем: каким бы сложным аргумент синуса (косинуса) ни был, любой синус (косинус) всё равно будет от -1 до 1 (или по модулю от 0 до 1).

        Значит, для синуса можно записать:

         

        Если теперь это неравенство помножить на (-1), то получим:

        

        Следующим шагом прибавляем 17 ко всем трём частям:  

        

        И, наконец, последнее усилие — берём логарифм по основанию 2. Так как в основании логарифма стоит двойка (т.е. число, большее 1), то знаки нашего двойного неравенства от логарифмирования не поменяются:

        

        

        Вот так. Значит, вся конструкция слева заключена в отрезке [4; log₂17]. Иначе быть не может.

        Теперь берёмся за правую часть, с корнем .

        Квадратный трёхчлен следует оценивать, предварительно выделив полный квадрат. Вот так:

        

        Зачем мы привели трёхчлен именно к такому виду? А затем, что теперь стало всё видно: если от 16 отнять что-то в квадрате (неотрицательное!), то это выражение будет в любом случае не больше 16:

        

        Значит, если из этого выражения извлечь корень, то он точно будет не больше , т.е. 4. Итак,

         

        А нулём мы дополнительно ограничиваем просто в силу неотрицательности арифметического корня.)          

        А теперь — состыковываем результаты наших оценок левой и правой частей:

        

        

        Теперь уже видно, что нашим разделяющим числом (т.е. мажорантой) является четвёрка: левая часть не меньше 4, а правая — не больше 4. А значит, для того чтобы наше уравнение имело корни, левая и правая части одновременно должны быть равны 4. Таким образом, наше злое уравнение равносильно вот такой системе:

        

        А решение этой системы уже не представляет никаких трудностей. Из второго уравнения легко можно получить единственный корень x = 1:

         (возводим обе части в квадрат)

        

        

        

        

        Проверим первое уравнение при x = 1:

        

        

          

        

        Гуд.) Всё совпало!

        Итак, единственным корнем уравнения является x = 1.

        Ответ: 1.

        Идея ясна? Отлично! Тогда разбираем похожую задачку. Для тренировки.)

        Пример 3

        Решить уравнение:

        

        Ну, с корнем справа всё ясно. Его оцениваем с помощью выделения полного квадрата у подкоренного трёхчлена. Полная аналогия с предыдущим примером:

        

        .

        Тогда  и, следовательно, .

        Итак, правая часть не больше четвёрки.

        А вот левую часть на этот раз будем оценивать с помощью неравенства Коши. Зря, что ли, мы его выводили? Перепишем его ещё разочек, умножив обе части на 2:

.

        Если теперь положить в нём  и , то получим следующее:

        

        Итого , т.е. левая часть не меньше четвёрки.

        И снова нашим разделяющим числом оказалась четвёрка. То есть, всё наше уравнение равносильно системе:

        

        Единственным решением этой системы (а значит, и исходного уравнения) является x=1.

        Ответ: 1.

        Разберём теперь уравнение с двумя переменными. Казалось бы, всё гораздо сложнее, однако внешность обманчива. Если уметь грамотно проводить оценку.

        Пример 4

        Найти все пары чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению:

        

        Уравнение одно, а переменных две — икс и игрек. Как тут не испугаться… Однако, глаза боятся, а руки делают. Оцениваем квадратный трёхчлен справа. Это нам уже знакомо:

         

         Значит, 2(y-1)²+13 ≥ 13 , причём равенство достигается только при y = 1, т.е. когда обнуляется скобка (y-1)². Запомним этот важный факт.

        А что можно сказать про левую часть ? Пока — ничего определённого. Но! Если присмотреться, то можно увидеть, что данное выражение — это конструкция вида . Метод вспомогательного угла нам в помощь!

        Первым делом считаем выражение  

        

        Число 13 здесь всплыло неспроста. Ниже сами увидите. Итак, умножаем и делим наше выражение на 13:

        

        А теперь — вводим новый угол  вот с такими характеристиками:   cos φ = 12/13;     sin φ = 5/13.

        Определим теперь сам угол. Через тангенс.

        

        Значит, вся наша левая часть запишется вот так:

        

        Стало быть, .

        Без введения вспомогательного угла так красиво оценить левую часть вряд ли получилось бы. Именно поэтому метод введения вспомогательного угла надо знать. В подобных задачах только он и спасает положение. Намёк понятен?)

        Вот мы и вышли на разделяющее число. Тринадцать. Левая часть не больше тринадцати, а правая — не меньше тринадцати. Заменяем уравнение на равносильную систему:

        

        Вспоминаем все наши преобразования:

        

        Второе уравнение системы выполняется только при y = 1. А вот в первом уравнении, как и в обычном тригонометрическом, получается серия решений:

        

        

        Решаем это простенькое тригонометрическое уравнение с синусом и получаем:

        

        Вспомнив, что же такое это самое , окончательно получим:

        

        Получили бесконечную серию пар (x; y). 

        Ответ:  (π/2+arctg5/12+2πn; 1), n∊ Z

       Итак, с уравнениями потренировались, рассмотрим теперь и что-нибудь из неравенств. Для неравенств применение метода мажорант полностью совпадает с таковым для уравнений. Например, такое задание.

        Пример 5

        Решить неравенство:

        

        Внешний вид неравенства (слева логарифмы, справа — синусы) явно намекает на метод мажорант. Начнём с оценки левой части.

        

        По одному очень хорошему свойству логарифмов, можно перевернуть второй из них:

        

        Получили сумму двух взаимно обратных величин. Которая, как мы помним из нашей сводки, не меньше двойки. Вот и это неравенство нам тоже пригодилось! Вперёд! Оцениваем:

        

        Причём равенство достигается только при

        

        Оба этих числа входят в ОДЗ нашего выражения слева.

        Что же касается правой части, то в знаменателе нашей дроби сидит самый обычный квадратный трёхчлен. Только относительно синуса. Всё как обычно, выделяем полный квадрат и оцениваем:

           

        Раз знаменатель дроби не меньше единицы, то вся дробь не больше двойки:

        

        Причём равенство этой дроби двойке достигается только когда её знаменатель равен единице, т.е. (sin(x+y)-1)²+1 = 1 или sin(x+y) = 1.

        А теперь состыковываем результаты наших оценок. Для простоты как-нибудь обозначим наши функции:

        

        

        Мы получили, что: 

        ,  .

        При этом у нас есть вот такое нестрогое неравенство:

        

        Левая функция должна быть не больше правой. Но при этом левая функция находится выше двойки (либо равна), а правая — ниже двойки (либо равна). Как вы думаете, когда такое неравенство может выполняться? Ну, конечно! Только в одном единственном случае — когда обе части будут равны двойке! Иными словами, наше нестрогое неравенство может выполняется только в случае равенства. Бывает.)

        Итак, заменяем всё наше страшное неравенство уже привычной нам системой:

        

        Рассматриваем теперь два отдельных случая — х = π/3 и х = —π/3.

           Случай 1 (х = π/3)

           ​

          

        Получили первую пачку решений:

        

        Разбираем второй случай: 

            Случай 2 (х = —π/3)

       

        

        Вторая пачка решений:

        

        Вот и вся задача.

        Ответ:

        

        Как видите, когда разделяющее число (мажоранта) найдено, то дальнейшее решение труда в таких задачах, как правило, уже не составляет. Вопрос — а как искать такое число? К сожалению, универсального секретного заклинания на все случаи жизни здесь дать нельзя, но я надеюсь, что знание тех неравенств, что я привёл в самом начале урока, резко повысит ваши шансы на успех. Ну и плюс практика и опыт. Без них в сложных нестандартных задачах делать нечего. Увы.

        Что ж, перейдём теперь к задачам с параметрами. В том числе и из ЕГЭ.

Задачи с параметрами на ограниченность.

        Начнём пока с относительно несложной задачки с тригонометрией.

        Пример 6

        Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

        имеет хотя бы один корень.

        В принципе, решение этой задачи вполне возможно провести «в лоб». Сначала составить условие неотрицательности правой части (арифметический корень!), затем уже при этом ограничении возвести обе части в квадрат и получить тригонометрическое уравнение с косинусом, правая часть которого зависит от параметра. После чего ещё составить дополнительное требование, чтобы косинус был от -1 до 1 (иначе корней у уравнения не будет!). Короче, надо будет решать целую кучу неравенств — квадратных, двойных, с некрасивыми дискриминантами и корнями, потом пересекать множества их решений, сравнивать иррациональные числа… В общем, извиняюсь, геморрой конкретный. Сейчас я проведу её решение гораздо короче — методом мажорант. Кому интересен «лобовой» способ решения и кто большой трудоголик — попробуйте осилить. Без ошибок. И сравните результат. Итак, поехали!

        Прежде всего, оцениваем квадратный трёхчлен справа. Это мы уже давно умеем:

        

        Правая часть не превосходит тройки. Отлично! Берёмся теперь за корень. С ним тоже никаких проблем. Распутывать начинаем, разумеется, с косинуса:

        

        

        

        

       Итак, наш корень не меньше тройки. А трёхчлен — не больше. Прекрасно! Это значит, что всё наше уравнение может иметь корни только при условии равенства обеих частей этой самой тройке:

       Очевидно, первое уравнение нашей системы корни имеет. Находить нам их не надо. )                          

       Итак, единственное допустимое значение параметра — это a = 4. При прочих значениях «a» корней у уравнения не будет.

        Ответ: 4 

        Теперь рассмотрим систему.

        Пример 7

        Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждого из найденных значений a.

        Не пугаемся огромных степеней! На самом деле, это сделано как раз для того, чтобы запугать решающего. Не более.) Но мы же не будем поддаваться на такие глупые уловки, правда?

        Запоминаем такую простую вещь. Если в задаче тусуются синусы и косинусы в очень больших степенях, то в 99% случаев срабатывает самая обыкновенная оценка синуса и косинуса по модулю, и огромные степени в таких задачах сводятся к обычным квадратам и (очень часто!) основному тригонометрическому тождеству, после чего дальнейшее решение становится очень простым и понятным. Посмотрим, как это работает на примере нашей страшной, на первый взгляд, системы.

        Берём, например, левую часть первого уравнения:

        

       Мы знаем, что синус и косинус всегда заключены в отрезке [-1; 1]. Иными словами, это какие-то дробные числа, по модулю меньшие (либо равные) единице. А теперь подумаем: чем больше степень такого числа, тем меньше по модулю будет результат. Возьмём для конкретики, например, число 0,5. Тогда будет справедлива такая цепочка неравенств:

        То же самое будет и с любым синусом или косинусом. Это значит, что

        

        

        Знак нестрогого неравенства здесь поставлен из-за того, что, например, при обнулении аргумента , т.е. при x = 1 у нас достигается равенство:

        

        

        Теперь сложим почленно эти два неравенства:

          

        

        Это значит, что левая часть не больше единички.

        Та же самая оценка левой части будет справедлива и для остальных уравнений:

        ;

        .

        Таким образом, все левые части наших уравнений не больше единички.     

        Разбираемся теперь с правыми частями. Во-первых, квадратный трёхчлен. Тот, что с параметром. Он в каждом уравнении один и тот же. Выделим полный квадрат и оценим:

        

        А теперь анализируем всю конструкцию справа (например, у первого уравнения)

        

        Радикалы — в любом случае неотрицательные величины. А это значит, что вся правая часть — не меньше единички:

        

        Причём равенство достигается только при a = 2 и y = 2, z = 3.

        Ну вот. А теперь берём каждое уравнение и состыковываем все наши оценки:

        

        

        

        Из этих оценок теперь отлично видно, что вся наша страшная система будет иметь решение лишь при a = 2, и это решение (1; 2; 3). При прочих значениях параметра правая часть любого из уравнений будет строго больше левой, и решений система иметь не будет.

        Ответ: (1; 2; 3) при a = 2. При прочих a решений нет.

        И последняя задачка, которую мы рассмотрим в данном уроке, — это уже типичная задачка из ЕГЭ. Поэтому собираем волю в кулак, устраиваемся поудобнее, запасаемся попкорном терпением и читаем/смотрим.

        Пример 9

        Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

        Задачка эта требует достаточно кропотливого решения. Тем не менее его вполне можно провести, если чётко видеть цель.  Я не просто подробно оформлю решение этой задачи, но и объясню, как именно надо «видеть цель». Итак, начнём.)

        Во-первых, неплохо было бы растащить по разным частям логарифм и линейные конструкции с модулями. Пока они у нас намешаны в одну кучу. Действуем:

        

        Так, что дальше? Дальше можно упростить аргумент логарифма: там явно напрашивается выделение полного квадрата. Упрощаем:

        .

        Прекрасно! Значит, всё наше злое уравнение перепишется вот в таком виде:

        

        Всё. Дальнейшим упрощениям это уравнение уже не поддаётся. Теперь будем анализировать каждую функцию — слева и справа.

        Пусть левая функция с логарифмом у нас будет f(x), а правая — g(x):

        Функции разнородны. Причём обе непрерывны на всей числовой прямой. Разнородность подаёт нам знак, что нужно пробовать применять метод оценок. Начнём с логарифма — он проще.

        Что можно сказать про аргумент логарифма? Квадратичная функция 2(x-5a)²+15, которая сидит внутри логарифма, как и любая парабола ветвями вверх, убывает от  до точки  (вершины), а потом возрастает. Поэтому в этой точке аргумент логарифма достигает своего наименьшего значения. Стало быть, и сам логарифм по основанию 15 от этой функции в точке  также будет достигать своего наименьшего значения, так как функция y = log₁₅x монотонно возрастает. Итак, вся наша функция f(x) ограничена снизу числом f(5a):

        Итого, наш логарифм ограничен снизу числом 25.

        А вот со второй функцией

ситуация будет поинтереснее. Давайте для начала мысленно представим, как будет выглядеть график этой функции. Переменная икс везде стоит в первой степени, только внутри модулей. Стало быть, в результате раскрытия каждого модуля будет получаться какая-то линейная функция             y = kx+b. На каждом промежутке — своя. И поэтому график функции g(x) будет представлять собой ломаную линию, состоящую из кусочков прямых.

        Но здесь есть одна существенная проблема: нули подмодульных выражений  и  зависят от параметра. Который может быть каким угодно — положительным или отрицательным. И, в зависимости от знака параметра a, расположение точек  и  на числовой прямой будет различным. Поэтому исследование нашей функции g(x) надо разветвлять на два случая:  и      a < 0.

        Случай 1 (a ≥ 0)

        Начнём со случая . В этом случае точка  на числовой прямой находится левее точки . И теперь раскрытие модулей по промежуткам не составляет никаких затруднений.

             1.1) . Оба модуля раскрываются с минусом:

             Значит, на этом интервале наша функция g(x) – часть возрастающей прямой с угловым коэффициентом . Переходим к следующему промежутку.

             1.2) . Модули раскрываются с разными знаками:

      На этом интервале получили убывающую прямую с угловым коэффициентом . Идём дальше.

              1.3)  . Оба модуля раскрываются с плюсом:

              Здесь наша функция ещё сильнее убывает. Угловой коэффициент  .

              Итак, все три подслучая рассмотрены. A теперь — собираем воедино результаты наших исследований и рисуем схематичный график.

        Зачем мы нарисовали этот график? А затем, что из графика теперь хорошо видно, что наша функция g(x) в точке  достигает своего наибольшего значения. То есть, ограничена сверху числом g(5a).          

        Сосчитаем это число:

        Теперь вспоминаем — чего от нас хотят-то? А то так и про основной вопрос задачи невольно забываешь.) Нас просят решить уравнение f(x) = g(x).

        При этом про функции f и g мы знаем, что в одной и той же точке  они достигают своих экстремальных значений: f – наименьшего, а g – наибольшего. Стало быть, чтобы уравнение f(x) = g(x) имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы

       Да! В данной ситуации это требование является как необходимым, так и достаточным, потому что экстремальные значения принимаются функциями в одной точке, а не в разных. Смотрим на картинку, почему это так:

         

        Остаётся решить неравенство:

        

        

        

        

         

        

        А теперь главное — вспомнить, что здесь мы рассматриваем только .

        А значит, нам нужно одновременное выполнение этих двух требований:

        Нетрудно доказать, что число  положительно, а значит весь наш полученный отрезок целиком и полностью удовлетворяет условию .

        Итого, первый кусок окончательного ответа — это отрезок

        Случай 2 (a ≤ 0)

             Рассматриваем теперь отрицательные значения параметра: a < 0. 

В этом случае будет всё наоборот — точка  будет правее точки . Раскрываем модули, никуда не денешься (а я предупреждал, что решение достаточно трудоёмкое, хоть и не такое сложное :)).

2.1)

    Функция g(x) – часть возрастающей прямой с угловым коэффициентом .

2.2)

     Функция g(x) – часть возрастающей прямой с угловым коэффициентом .

             2.3)

       Функция g(x) – часть убывающей прямой с угловым коэффициентом .

       Снова рисуем картинку:

 

        И снова замечаем, что наша функция g(x) достигает своего наибольшего значения в той же самой точке . То есть, снова ограничена сверху числом g(5a). Считаем это число:

        Думаю, уже особо комментировать не нужно, что нам снова надо решить неравенство:

           Решаем:

        

        

        

        

        

       Получили одно единственное решение неравенства — минус пять. Бывает.) Естественно, требованию  минус пятёрка вполне себе удовлетворяет. Значит, ещё одним куском ответа является изолированная точка {-5}.

        Фуух! Ну что, поздравляю всех, кто дочитал и особенно — тех, кто разобрался! Осталось лишь обе части ответа сложить в кучу.

        Ответ:

            

        Всё, задача полностью решена.    

        Заключение:

        Если слева и справа стоят функции разной природы, то пробуем оценивать левую и правую части. Помогает в 99% случаев.

        Не боимся «страшного» вида задачи. В большинстве случаев, как ни парадоксально, чем страшнее и безнадёжнее выглядит задача, тем проще её свести к нескольким простейшим, которые уже решаются по стандартной технологии. Как? Оцениваем сначала внешний вид конструкции, выявляем её тип — сумма взаимно обратных величин, квадратный трёхчлен, синусы, модули и т.п. А потом — оцениваем саму конструкцию. Уже теми приёмами и методами, что приведены в этом материале.

        Также не боимся ситуации, когда число уравнений меньше числа неизвестных. Как правило, недостающее звено легко получить, используя те же самые разобранные нами оценки.

        Тренируемся и набиваем руку! Без серьёзного опыта здесь — никак. В продаже появилось несметное количество сборников задач ЕГЭ, методичек именно по задачам с параметрами с огромным количеством задач для тренировки. На моём сайте тоже обязательно будут разбираться различные задачи с параметрами из ЕГЭ и даже с мехмата. И обязательно будут задачи для самостоятельного решения. В особом разделе, который на пятёрку.

       А у меня на сегодня всё. Всем спасибо за внимание и до новых встреч!

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Муниципальное образование «Закаменский район»

Муниципальное учреждение «Закаменское районное управление образования»

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №5 г.Закаменск»

Районная научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Секция «Алгебра»

Метод мажорант

Выполнила: Злыгостева Виктория

Ученица 10 «б» класса

Руководитель: Дашеева С.С.

Г. Закаменск

2016год

Содержание:

Введение

1. Определение мажоранты функции

2. Метод мажорант

3. Примеры решения уравнений и неравенств методом мажорант

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Одной из важных задач математической науки является решение уравнений и неравенств. Изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения, поэтому я решила изучить один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. При решении нестандартных задач встречаются уравнения, содержащие разнородные функции. Задания подобного типа встречаются среди экзаменационных. В учебнике «Алгебра и начала анализа» А.Г.Мордковича есть несколько подобных заданий, но четкого определения и метода решения данных уравнений нет.

В разных источниках данный метод называется по-разному. Некоторые математики называют этот метод  по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max», задачи «встреча на краю». А.Г.Мордкович в учебнике «Алгебра и начала анализа» предлагает рассматривать данный метод как «довольно красивую разновидность функционально-графического метода». Но в большинстве источников он называется «метод мажорант» Это очень красивый метод, и ему непременно надо научиться всем.

Этим методом можно решать нестандартные уравнения, уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которого находятся функции, имеющие различную природу, уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений, задачи с параметрами. Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства. Применение метода оценок будет успешным, если знать, как находить экстремумы элементарных функций, область значений, исследовать функцию с помощью производной.

Цели:

1. Изучить определение мажоранты функции и исследовать, какие функции имеют мажоранту;

2. Изучить метод мажорант и его применение для решения нестандартных уравнений и неравенств;

3. Привести примеры уравнений и неравенств, которые могут быть решены методом мажорант.

Актуальность работы заключается в том, что данный метод позволяет успешно решать олимпиадные задачи, конкурсные задачи, уравнения повышенной сложности, например, уравнения части С ЕГЭ по математике.

Определение мажоранты функции.

Определение. Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р

Термин «мажоранта» происходит от французского слова «majorante», от «majorer» — объявлять большим.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции. Приведем примеры функций, мажоранты которых хорошо знаем.

Метод мажорант основан на том, что множество значений некоторых функций ограничено. При использовании метода мажорант мы выявляем точки ограниченности функции, то есть в каких пределах изменяется данная функция,  а затем используем эту информацию для решения уравнения или неравенства.

Чтобы успешно пользоваться этим методом, нужно хорошо знать, какие функции имеют ограниченное множество значений.

Приведем примеры элементарных функций, которые имеют ограниченное множество значений:   ,

 

Мажоранты некоторых функции можно найти, используя следующие полезные неравенства:

1. , при а 0 и , при а

2. , , причем равенство достигается при .

3.

Метод мажорант.

Основная идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих теорем:

Теорема №1.

Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу.

Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе:

Теорема №2.

Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений:

Теорема №3.

Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)= А равносильно системе уравнений

(при условии, что Аи В:

В этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x) и g(x), а также условие положительности А и В.

Рассмотрим примеры решения уравнений и неравенств методом мажорант.

Примеры решения уравнений и неравенств методом мажорант

Пример 1.  Решите уравнение:  

Решение:

Чтобы решить это уравнение мы не будем возводить двучлен в шестую степень и трехчлен в двенадцатую.

Заметим, что 6 и 12 – четные числа, следовательно,

при любом значении х

и  при любом значении х.

Равенство возможно, если одновременно   и 

Корень первого уравнения ,

корни второго уравнения  и  .  Число  является корнем обоих уравнений, его мы и запишем в ответ.

Ответ: 3

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение:

Преобразуем уравнение: .

Оценим значение выражения, стоящего в правой части уравнения:

, , .

Оценим значение выражения, стоящего в левой части уравнения:

.

Тогда , .

Таким образом, равенство возможно, если

Решим уравнение (1).

Проверим, что является решением уравнения (2):

Следовательно, является решением системы уравнений (1) и (2), а, значит, и решением данного уравнения.

Ответ:.

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение:

Оценим значение выражения, стоящего в левой части уравнения: .

Оценим значение выражения, стоящего в правой части уравнения:

.

, .

Таким образом, равенство возможно, если

Решим уравнение (2).

Проверим, что является решением уравнения (1):

Следовательно, является решением системы уравнений (1) и (2), а, значит, и решением данного уравнения.

Ответ: 3.

Пример 4.  Решить систему уравнений

Решение:

Оценим первое уравнение системы: tg² x + ctg² x ≥ 2 при 

 2cos² y ≤ 2. Следовательно, первое уравнение равносильно системе

Сама система примет вид:

Ответ:

Пример 5.

Решите уравнение:

Решение:

Оценим множители левой части уравнения:

перемножив почленно эти неравенства получим:

Тогда левая часть уравнения равна правой, лишь при условии:

одновременно.

Данное уравнение равносильно системе уравнений

Ответ:

Пример 6. Решить уравнение: =6

Решение:

Значения первого арифметического квадратного корня больше или равны 1, причём равно 1, только в случае, если верно равенство

=0. Аналогично, значения второго арифметического квадратного корня не меньше 5 (больше или равны 5).

Следовательно, согласно методу мажорант, левая часть уравнения имеет минимум, равный 6, а правая часть представляет собой постоянную функцию со значением 6.

Но чтобы значения функций совпали, надо проверить, имеет ли решение система:

Единственное решение этой системы (4;3)

Ответ: (4;3)

Заключение

В данном исследовании, во-первых, я узнала совершенно новый для себя способ решения уравнений-метод мажоранта, который встречается в ЕГЭ и мало изучается в школе. Во-вторых, научилась применять его непосредственно при решении уравнений и неравенств. Я изучила и проанализировала материал по данной теме, на конкретных примерах научилась применять метод мажоранта при решении уравнений и неравенств.

Список литературы:

1. Мордкович А. Г. «Алгебра и начала математического анализа 10-11», «Мнемозина», Москва 2012.

2. Куланин Е.Д., Норин В.П. «3000 конкурсных задач по математике», Москва: Aйрис-пресс, 2003.

3. Балаян Э.Н «1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике», Ростов-на-Дону: Феникс, 2008.

4. Корешкова Т. А., Мирошин В. В.,Шевелёва Н. В. Математика. Тренировочные задания. Москва: Эксмо, 2013.

5. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М., Шварцбурд С.И. «Алгебра и начала анализа 10-11», Москва: Просвещение, 2008.



Исследовательская работа «Применение метода мажорант при решении уравнений и неравенств»