Метод оценки в тригонометрических уравнениях егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Всегда прекрасен самолет под
облаками,
И корабли прекрасны все до одного,
Но трудно самолет обнять руками,
И трудно пароход обнять руками,
А пони так легко обнять руками,
И так прекрасно нам обнять его!

(Слова детской песенки)

Однажды известного физика А.Эйнштейна
спросили: “Как делаются открытия?” Эйнштейн
ответил: “А так: все знают, что вот этого делать
нельзя. И вдруг появляется человек, который не
знает, что этого нельзя. Он и делает открытие”.
Конечно, это была лишь шутка. Дело не в том, чтобы
не знать. Знать надо! А ещё надо сомневаться, не
брать на веру всё, чему учили деды, копать глубже,
смотреть лучше. И сегодня я предлагаю вам отойти
от традиционных решений, попробовать взглянуть
на задания с необычной стороны.

1. Решим уравнение

cos · cos = 1.

Наверное, можно применить формулы двойного и
тройного угла, но мы попробуем оценить выражения,
входящие в уравнение. Поскольку cos t не больше 1, то
при умножении можно получить 1 только в одном из
случаев:

Вторая система не имеет решений, а решениями
первой системы, а значит и первоначального
уравнения, являются = 2 m, где m є z.

2. Решим уравнение

cos · cos = 1.

Не забудем, что решениями могут являться
значения х не меньше 4, поскольку выражение (х
– 4) находится под знаком арифметического
квадратного корня. Из тех же соображений, что и
при решении примера 1, получим, что при умножении
можно получить 1 только в одном из случаев:

Решая отдельно эти системы, получим, что
решением первой системы является число 4, а у
второй системы решений нет.

Таким образом, х = 4 – решение
первоначального уравнения.

3. Решим уравнение:

3cos х – 4sin х =.

Легко показать, что выражение, стоящее в левой
части уравнения

-5 3 cos х
– 4 sin х
5,

а выражение, стоящее в правой части уравнения

= = 6.

Таким образом, данное уравнение решений не
имеет.

4. Решим уравнение:

sin – sin · cos = 1, 5.

Используя метод вспомогательного угла, оценим
выражение, стоящее в левой части уравнения.
Получим, что

sin х – sin
· cos х =
·(sin · sin х
– cos · cos х)
=

= – · cos,

где = ± arccos .

При этом,

0 sin²
15x 1,

1 2,

1 и

— · cos .

Таким образом, левая часть , а правая равна 1,5. А это невозможно.
Значит, уравнение решений не имеет.

5. Решим уравнение

sin – sin = cos· cos х + 2 cos – 6.

Запишем уравнение в виде sin – 2 cos = cos ·
cos + sin – 6. А теперь оценим,
используя метод вспомогательного угла,
выражения, стоящие в левой и правой частях
уравнения.

1) sin – 2 cos = ·

= — cos = – 4 cos и -4 – 4 cos 4.

2) cos · cos х
+ sin х – 6 =
· ( cos · cos x + sin · sin x) – 6 =

= cos – 6,

где = ± arccos .

При этом,

0 cos² 24x 1,

3 3 + cos² 24x 4,

2,

– 2 cos 2,

– 8 cos – 6 – 4.

Таким образом, левая часть – 4, а правая часть
– 4. Их равенство возможно только при выполнении
условия:

Решая эту систему, получим, что х = + 2m, где m Z.

6. Для каждого а решить уравнение 4 cos х · sin a +2
sin х · cos a – 3 cos a =.

4 cos х · sin a + (2 sin х – 3) ·cos a =.

Оценим выражение, стоящее в левой части
уравнения:

4 cos х · sin a + (2 sin х – 3) ·cos a = · (sin · sin а +

+ cos · cos а) = cos =

=cos = cos ,

где = ± arccos .

При этом, – 12 sin²
– 12 sin + 25 = -12 ·
( sin² + sin – ) =

= – 12 · = – 12
· =

= – 12 · + 28 28, а 0 .

Таким образом, cos
= при

Поскольку,
= ±arccos + 2?k =

= ±arccos + 2k = ± arccos + 2k=

= ± arccos + 2k == ± arccos + 2k,

Я надеюсь, вам понравился такой способ решения
уравнений и неравенств, ведь он действительно
похож на маленького пони, которого так легко
обнять (то есть применить метод оценки частей
уравнений и неравенств), но для этого его надо
понять и полюбить.

Источник

Решение уравнений методом оценки

Решение уравнений методом оценки основано на сравнении области значений функций, стоящих в левой и правой части уравнения.

Если в уравнении

то равенство возможно тогда и только тогда, когда и f(x) и g(x) одновременно равны a:

При этом, если максимальное значение функции, стоящей в одной части уравнения, равно минимальному значению функции, стоящему в другой части уравнения, и эти значения достигаются для обеих функций при x=x0, то xo — корень уравнения.

Графически это можно проиллюстрировать так:

Если максимальное значение функции, стоящей в одной части уравнения, равно минимальному значению функции, стоящему в другой части уравнения, но эти значения достигаются при разных x0, то уравнение не имеет корней:

Получив систему уравнений

достаточно решить одно из уравнений (которое проще), а затем проверить, являются ли найденные корни корнями другого уравнения.

Чаще всего при решении уравнений методом оценки правой и левой части используют следующие соображения:

причём равенство достигается при

4) Квадратичная функция в вершине параболы (x0; y0)

при a>0 принимает своё наименьшее значение:

при отрицательном коэффициенте a при x² — наибольшее значение:

где n — натуральное число.

Примеры решения уравнений методом оценки левой и правой части.

— квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение принимает в вершине

С другой стороны

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений

Корень второго уравнения:

x=2. Проверяем, является ли 2 корнем первого уравнения:

— верно. Следовательно, x=2 — единственный корень.

Так как x⁴≥0, то 25+ x⁴≥25, а значит,

С другой стороны,

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений

Решаем первое уравнение

Проверяем, является ли x=0 корнем второго уравнения:

— верно. Значит, x=0 — корень данного уравнения.

Так как сумма взаимно-обратных положительных чисел не меньше двух,

Так как сумма положительных взаимно-обратных чисел равна 2, если эти числа равны между собой, то

Проверяем, являются ли эти корни корнями второго уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень x= -1.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Представьте в виде произведения:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

Ответ: .

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Решить уравнение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Решить уравнение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Решите уравнение

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

Вернемся к исходной переменной:

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.

Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения.

То есть будем рассматривать левую часть уравнения как выражение вида:

, где .

Мы знаем, что , поэтому

Поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение более сложного уравнения методом оценки.

Запишем уравнение в виде

Преобразуем левую часть:

Так как , то

и .

Так как и , то

Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

, .

Решая эту систему, получим, что, .

Ответ: , .

Рассмотрим еще один прием, который применяется при решении тригонометрических уравнений.

Домножение левой и правой части на тригонометрическую функцию

Рассмотрим решение уравнения:

Домножим обе части уравнения на :

Заметим, что домножая обе части уравнения на выражение с переменной, мы можем получить новые корни. Проверим те значения переменной, при которой :

не являются решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

Теперь перенесем правую часть в левую и преобразуем по формуле преобразования разности синусов в произведение:

, .

Учитывая, что , получим: .

Ответ: .

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Ответ:

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

Ответ:

Представим левую и правую части уравнения в виде произведения. Затем перенесём всё в левую часть и разложим на множители

Ответ:

Метод оценки в тригонометрических уравнениях

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

источники:

http://resh.edu.ru/subject/lesson/6320/conspect/

http://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

Основная литература:

Дополнительная литература:

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сейчас выполните несколько заданий.

Задание 1.

Представьте в виде произведения:

Решение:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

Ответ: .

Задание 2.

Вычислите:

Решение:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

Ответ: 0,25

Задание 3.

Проверьте равенство:

Решение:

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Теорема

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Пример 1.

Решить уравнение:

Решение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

Ответ: .

2. Замена переменной

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Пример3.

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

Вернемся к исходной переменной:

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Рассмотрим пример.

Пример 4.

Решить уравнение: .

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Пример 5.

Решите уравнение:

Решение:

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Решите уравнение:

Решение:

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

Решите уравнение:

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения.

То есть будем рассматривать левую часть уравнения как выражение вида:

, где .

Получим, что

Мы знаем, что , поэтому

Поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение более сложного уравнения методом оценки.

Решите уравнение

Запишем уравнение в виде

Преобразуем левую часть:

Так как , то

и .

Так как и , то

Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

, .

Решая эту систему, получим, что, .

Ответ: , .

Рассмотрим еще один прием, который применяется при решении тригонометрических уравнений.

Домножение левой и правой части на тригонометрическую функцию

Рассмотрим решение уравнения:

Решение:

Домножим обе части уравнения на :

не являются решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

, .

Учитывая, что , получим: .

Ответ: .

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1.

A=1

подсказка

B=2

замена

C=6

Период

Ответ:

Пример 2.

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

Ответ:

a=1 ВАРИАНТ

b=7 МНОЖИТЕЛЬ

c=7 СЛАГАЕМОЕ

Ответ:

Источник

Аналитические способы решения задач с параметрами. Ограниченность. Метод оценок.

Ещё один распространённый метод аналитического решения задач с параметрами — это метод оценок. Или по-другому — метод мажорант. Основывается он на таком важном свойстве многих функций, как ограниченность. Для начала пробежимся по самому понятию ограниченности.

Что такое ограниченность? Ограниченные функции.

То что это слово происходит от слова «граница», вопросов, думаю, ни у кого не вызывает.) Многое в нашем окружении обладает ограниченностью: сутки ограничены 24 часами, проезжая часть дороги ограничена тротуаром или обочиной, секретная территория ограничена забором с колючей проволокой. А в математике бывают ограниченные функции.

Что же такое ограниченная функция? Это функция, область значений которой ограничена каким-то числом (или двумя числами). Что такое область значений функции? Это те значения, которые может принимать функция в принципе. Обозначается она, как мы помним, E(y).

Например, для линейной функции y = kx+b областью значений будет вся числовая прямая:

E(y) = (-∞; +∞).

Для параболы y = x² областью значений будет множество всех неотрицательных чисел:

E(y) = [0; +∞).

Для синуса или косинуса областью значений служит отрезок [-1; 1]. То есть, E(y) = [-1; 1].

Для константы y = C область значений вообще состоит всего лишь из одной точки: E(y) = {C}.

Одних только этих примеров уже достаточно, чтобы понять, что бывают функции, графики которых неограниченно простираются сверху вниз (или снизу вверх), либо которые ограничены только сверху (снизу), либо которые «зажаты» между какими-то двумя числами. А также константы.

Так вот, функция f(x), определённая на множестве X, называется ограниченной сверху числом А, если f(x)≤A для любого .

Например, сверху ограничена любая квадратичная функция y = ax²+bx+c с отрицательным коэффициентом «a» (то есть, с параболой ветвями вниз). Каким же именно числом? Значением в вершинке:

Функция f(x), определённая на множестве X, называется ограниченной снизу числом А, если f(x)≥A для любого .

Например, наши любимые парабола y = x² и модуль y = |x| ограничены снизу числом 0.

А вот функция, ограниченная как сверху, так и снизу, называется просто ограниченная функция. Например, любой синус и любой косинус ограничены числами Арктангенс ограничен числами ±π/2. Константа, ясен перец, ограничена сама собой же.)

И так далее. Что такое ограниченность и какие у неё бывают разновидности, в общих чертах теперь, думаю, понятно. ) Мы не будем здесь углубляться в густые дебри теории множеств, заикаться про точную верхнюю и нижнюю грани (называемые красивыми словами «супремум» и «инфимум»), ибо для решения нестандартных задач (с параметрами и без) приведённой выше информации про ограниченность вполне достаточно.)

А теперь составим небольшой список наиболее часто встречающихся ограниченных конструкций.

Квадратный трёхчлен

Любой квадратный трёхчлен ограничен сверху (снизу) значением в вершине соответствующей параболы:

В частности, и .

Модуль

Любой модуль всегда неотрицателен: |x| ≥ 0.

Синус и косинус

Любой синус и любой косинус всегда лежит в отрезке от -1 до 1:

Полезные следствия:

Обратные тригонометрические функции

π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2 0 ≤ arccos x ≤ π

π/2 < arctg x < π/2 0 < arcctg x < π

Полезные неравенства

Что ещё очень часто применяется при решении задач с использованием метода оценок, так это некоторые весьма и весьма нетривиальные, но очень полезные неравенства. Сейчас мы их выпишем и разберём (в том числе и докажем).

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)

Первое полезное неравенство, которое мы рассмотрим, — это неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел. Называется оно неравенством Коши и выглядит так:

А по-русски это неравенство звучит так: «Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.»

Здесь есть ограничение: оба числа должны быть неотрицательными. Иначе либо корень справа вообще потеряет смысл, либо неравенство будет неверно.

Доказывается оно довольно просто. Для этого перенесём влево и умножим обе части на 2:

Из свойств корней мы знаем, что:

Если теперь вставить эти выражения в наше неравенство, то слева получится полный квадрат разности:

Последнее неравенство возражений, думаю, не вызывает: квадрат любого выражения всегда неотрицателен. Тем самым, неравенство Коши доказано.

Обратим внимание, что неравенство здесь нестрогое — больше, либо равно. А вот когда достигается это самое «равно»? Только в единственном случае — когда .

Кстати говоря, неравенство Коши справедливо не только для двух, а для любого количества чисел. В более общей форме оно записывается вот так:

Важное следствие из неравенства Коши:

Сумма двух взаимно обратных величин

Следующее неравенство, на которое мы обратим внимание, — это сумма двух положительных взаимно обратных величин. При a > 0 справедливо вот такое неравенство:

Доказывается оно довольно легко с использованием предыдущего неравенства Коши.)

Положив в нём b=1/a, получим:

Что и требовалось доказать.)

Здесь неравенство снова нестрогое и превращается в равенство только при a = 1/a, то есть при a = 1.

Связь квадрата и модуля

Третья группа полезных неравенств — связь квадрата какой-то величины с модулем этой самой величины:

при

Тут доказательство довольно просто провести графически. Вспомните график параболы y = x² и график модуля y = |x|. И всё станет ясно.)

Оценка некоторых тригонометрических выражений

А теперь рассмотрим одно полезное неравенство из тригонометрии. Очень полезное для метода мажорант! Основано оно на так называемом методе вспомогательного аргумента. Про этот метод будет отдельный урок в разделе по тригонометрии, а здесь — просто краткие сведения.)

Итак, пусть у нас есть вот такое выражение с синусом и косинусом:

Здесь a и b – просто какие-то числа, одновременно не равные нулю. Нам теперь надо оценить это выражение. Для этого проделываем вот такую манипуляцию: умножаем и тут же делим всю конструкцию на вот такой корень :

Казалось бы, что это ещё за выкрутасы такие? Ничего, сейчас интересно будет. Теперь делим числитель почленно на этот самый корень:

А теперь — самое интересное! Вводим вот такие обозначения:

Правомерна ли такая замена? Проверим по основному тригонометрическому тождеству:

Итак, основное тригонометрическое тождество выполнено, а это значит, что наши загадочные числа

и впрямь есть косинус и синус некоторого угла . Этот новый угол «фи» и называется тем самым вспомогательным углом. Кстати, можно точно определить, чему равен этот самый угол «фи». Для этого поделим друг на друга его синус и косинус. Как мы знаем, это будет тангенс:

Итого:

Что ж, перепишем наше выражение с учётом доказанных фактов:

А теперь — сворачиваем наше выражение по формуле синуса суммы двух углов. Вот так:

Любой синус, как нам известно, заключён в пределах [-1; 1], а это значит, что всё наше выражение заключено вот в таких пределах:

Это неравенство довольно часто применяется при оценке тригонометрических выражений. Полезно запомнить.)

Принцип оценки левой и правой части (или принцип разделяющего числа)

И, наконец, последнее что мы рассмотрим — это вот такую типичную ситуацию. Пусть у нас имеется уравнение f(x) = g(x). Допустим, мы каким-то образом установили, что левая часть не больше какого-то числа А:

Также мы установили, что правая часть не меньше этого же числа:

Или всё наоборот — не суть важно. Важно другое — одна из функций ограничена сверху числом А, а вторая функция ограничена снизу этим же самым числом.) Когда возможно равенство левой и правой части? Да! Когда одновременно и левая, и правая части равны этому граничному числу А!

То есть, наше исходное уравнение f(x) = g(x) будет равносильно вот такой системе:

Решается такая системка, как правило, уже без особого труда.

Этот метод часто применяется в той ситуации, когда слева и справа стоят функции разной природы. Скажем, синус и многочлен. Или косинус и логарифм… Это намёк.) Попробуйте оценить левую и правую части! В 99% случаев помогает!

Теперь кратко о задачах, которые будут рассматриваться в настоящем материале. Большинство из этих задач НЕ решаются стандартными способами — сведением к простейшим уравнениям или неравенствам, разложением на множители, возведением в квадрат и подобными преобразованиями. Однако, если попытаться оценить конструкции, входящие в задачу, как дорога к ответу становится простой, понятной и красивой, а задача из монстра становится белой и пушистой.) «Внешний вид» задач, где явно напрашивается метод оценок, примерно следующий:

— наличие слева и справа «разнородных» функций (синуса и логарифма, косинуса и квадратного трёхчлена и т.п.);

— присутствие ограниченных конструкций (синусов/косинусов, квадратных трёхчленов, модулей, суммы взаимно обратных величин и т.д.).

Распознавать такие задачи после некоторой тренировки труда не составит. Если тренироваться, конечно.

Уравнения (неравенства) без параметра, решаемые методом оценок

Что ж, хватит грузной теории, перейдём теперь к конкретным задачам и посмотрим на метод оценок в действии. Для начала рассмотрим задачи без параметра, но с одной или несколькими неизвестными, а уже потом будем рассматривать конкретные параметрические задачи из вариантов ЕГЭ.

Начнём пока что с такого задания.

Пример 1

Решить уравнение:

Если мы сейчас начнём решать это уравнение по стандартным шаблонам и напишем какую-нибудь ересь типа

или

то погрязнем в вычислениях и выкладках, что называется, всерьёз и надолго.

Как же подступиться к этому уравнению? Путём недолгих размышлений, можно, конечно, догадаться, что число x = 0 является его корнем. А вдруг, кроме нуля, у него есть ещё корни? Так и будем гадать на кофейной гуще? Так как мы не гадалки, то попробуем применить обещанный метод мажорант или оценок.

Внешний вид уравнения (слева косинус, справа — многочлен) намекает на оценку левой и правой частей. Вот и попробуем оценить левую и правую части нашего злого уравнения.

Во-первых, про косинус мы знаем, что он всегда лежит в диапазоне от -1 до 1:

А про квадрат мы также знаем, что он всегда неотрицателен:

А, стало быть, если к квадрату прибавить 1, то вся правая часть будет не меньше единички:

А теперь осмысливаем результат: левая часть не больше единицы, а правая часть — не меньше единицы. А это значит, что равенство обеих частей возможно только в единственном случае — когда обе части равны единице! И наше зверское уравнение превращается в эквивалентную систему:

Нетрудно убедиться, что единственным решением этой системки является x = 0. И, следовательно, других корней, кроме нуля, это уравнение не имеет. Вот это строгое обоснование того факта, что других корней нет.

Ответ: 0.

Другой пример.)

Пример 2

Решить уравнение:

Снова совершенно немыслимый набор функций: слева логарифм от какой-то белиберды с синусом, а справа — корень из квадратного трёхчлена.) Значит, стандартные приёмы (типа возведения в квадрат, ликвидации логарифмов) бесполезны. Значит, пример заточен под какой-то нестандартный ход. Какой? Слева и справа стоят функции совершенно разного рода — корень и логарифм. Такой внешний вид примера — своего рода сигнал к применению метода мажорант. Попробуем оценить обе части?

Итак, берём сначала логарифм

Что можно сказать про выражение |sin0,5πx|, которое сидит внутри логарифма? Смотрим нашу сводку неравенств и находим похожее:

Но у нас аргумент синуса не просто икс, а ! Ну и что? Запоминаем: каким бы сложным аргумент синуса (косинуса) ни был, любой синус (косинус) всё равно будет от -1 до 1 (или по модулю от 0 до 1).

Значит, для синуса можно записать:

Если теперь это неравенство помножить на (-1), то получим:

Следующим шагом прибавляем 17 ко всем трём частям:

И, наконец, последнее усилие — берём логарифм по основанию 2. Так как в основании логарифма стоит двойка (т.е. число, большее 1), то знаки нашего двойного неравенства от логарифмирования не поменяются:

Вот так. Значит, вся конструкция слева заключена в отрезке [4; log₂17]. Иначе быть не может.

Теперь берёмся за правую часть, с корнем .

Квадратный трёхчлен следует оценивать, предварительно выделив полный квадрат. Вот так:

Зачем мы привели трёхчлен именно к такому виду? А затем, что теперь стало всё видно: если от 16 отнять что-то в квадрате (неотрицательное!), то это выражение будет в любом случае не больше 16:

Значит, если из этого выражения извлечь корень, то он точно будет не больше , т.е. 4. Итак,

А нулём мы дополнительно ограничиваем просто в силу неотрицательности арифметического корня.)

А теперь — состыковываем результаты наших оценок левой и правой частей:

Теперь уже видно, что нашим разделяющим числом (т.е. мажорантой) является четвёрка: левая часть не меньше 4, а правая — не больше 4. А значит, для того чтобы наше уравнение имело корни, левая и правая части одновременно должны быть равны 4. Таким образом, наше злое уравнение равносильно вот такой системе:

А решение этой системы уже не представляет никаких трудностей. Из второго уравнения легко можно получить единственный корень x = 1:

(возводим обе части в квадрат)

Проверим первое уравнение при x = 1:

Гуд.) Всё совпало!

Итак, единственным корнем уравнения является x = 1.

Ответ: 1.

Идея ясна? Отлично! Тогда разбираем похожую задачку. Для тренировки.)

Пример 3

Решить уравнение:

Ну, с корнем справа всё ясно. Его оцениваем с помощью выделения полного квадрата у подкоренного трёхчлена. Полная аналогия с предыдущим примером:

Тогда и, следовательно, .

Итак, правая часть не больше четвёрки.

А вот левую часть на этот раз будем оценивать с помощью неравенства Коши. Зря, что ли, мы его выводили? Перепишем его ещё разочек, умножив обе части на 2:

Если теперь положить в нём и , то получим следующее:

Итого , т.е. левая часть не меньше четвёрки.

И снова нашим разделяющим числом оказалась четвёрка. То есть, всё наше уравнение равносильно системе:

Единственным решением этой системы (а значит, и исходного уравнения) является x=1.

Ответ: 1.

Разберём теперь уравнение с двумя переменными. Казалось бы, всё гораздо сложнее, однако внешность обманчива. Если уметь грамотно проводить оценку.

Пример 4

Найти все пары чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению:

Уравнение одно, а переменных две — икс и игрек. Как тут не испугаться… Однако, глаза боятся, а руки делают. Оцениваем квадратный трёхчлен справа. Это нам уже знакомо:

Значит, 2(y-1)²+13 ≥ 13 , причём равенство достигается только при y = 1, т.е. когда обнуляется скобка (y-1)². Запомним этот важный факт.

А что можно сказать про левую часть ? Пока — ничего определённого. Но! Если присмотреться, то можно увидеть, что данное выражение — это конструкция вида . Метод вспомогательного угла нам в помощь!

Первым делом считаем выражение

Число 13 здесь всплыло неспроста. Ниже сами увидите. Итак, умножаем и делим наше выражение на 13:

А теперь — вводим новый угол вот с такими характеристиками: cos φ = 12/13; sin φ = 5/13.

Определим теперь сам угол. Через тангенс.

Значит, вся наша левая часть запишется вот так:

Стало быть, .

Без введения вспомогательного угла так красиво оценить левую часть вряд ли получилось бы. Именно поэтому метод введения вспомогательного угла надо знать. В подобных задачах только он и спасает положение. Намёк понятен?)

Вот мы и вышли на разделяющее число. Тринадцать. Левая часть не больше тринадцати, а правая — не меньше тринадцати. Заменяем уравнение на равносильную систему:

Вспоминаем все наши преобразования:

Второе уравнение системы выполняется только при y = 1. А вот в первом уравнении, как и в обычном тригонометрическом, получается серия решений:

Решаем это простенькое тригонометрическое уравнение с синусом и получаем:

Вспомнив, что же такое это самое , окончательно получим:

Получили бесконечную серию пар (x; y).

Ответ: (π/2+arctg5/12+2πn; 1), n∊ Z

Итак, с уравнениями потренировались, рассмотрим теперь и что-нибудь из неравенств. Для неравенств применение метода мажорант полностью совпадает с таковым для уравнений. Например, такое задание.

Пример 5

Решить неравенство:

Внешний вид неравенства (слева логарифмы, справа — синусы) явно намекает на метод мажорант. Начнём с оценки левой части.

По одному очень хорошему свойству логарифмов, можно перевернуть второй из них:

Получили сумму двух взаимно обратных величин. Которая, как мы помним из нашей сводки, не меньше двойки. Вот и это неравенство нам тоже пригодилось! Вперёд! Оцениваем:

Причём равенство достигается только при

Оба этих числа входят в ОДЗ нашего выражения слева.

Что же касается правой части, то в знаменателе нашей дроби сидит самый обычный квадратный трёхчлен. Только относительно синуса. Всё как обычно, выделяем полный квадрат и оцениваем:

Раз знаменатель дроби не меньше единицы, то вся дробь не больше двойки:

Причём равенство этой дроби двойке достигается только когда её знаменатель равен единице, т.е. (sin(x+y)-1)²+1 = 1 или sin(x+y) = 1.

А теперь состыковываем результаты наших оценок. Для простоты как-нибудь обозначим наши функции:

Мы получили, что:

, .

При этом у нас есть вот такое нестрогое неравенство:

Левая функция должна быть не больше правой. Но при этом левая функция находится выше двойки (либо равна), а правая — ниже двойки (либо равна). Как вы думаете, когда такое неравенство может выполняться? Ну, конечно! Только в одном единственном случае — когда обе части будут равны двойке! Иными словами, наше нестрогое неравенство может выполняется только в случае равенства. Бывает.)

Итак, заменяем всё наше страшное неравенство уже привычной нам системой:

Рассматриваем теперь два отдельных случая — х = π/3 и х = —π/3.

Случай 1 (х = π/3)

Получили первую пачку решений:

Разбираем второй случай:

Случай 2 (х = —π/3)

Вторая пачка решений:

Вот и вся задача.

Ответ:

Как видите, когда разделяющее число (мажоранта) найдено, то дальнейшее решение труда в таких задачах, как правило, уже не составляет. Вопрос — а как искать такое число? К сожалению, универсального секретного заклинания на все случаи жизни здесь дать нельзя, но я надеюсь, что знание тех неравенств, что я привёл в самом начале урока, резко повысит ваши шансы на успех. Ну и плюс практика и опыт. Без них в сложных нестандартных задачах делать нечего. Увы.

Что ж, перейдём теперь к задачам с параметрами. В том числе и из ЕГЭ.

Задачи с параметрами на ограниченность.

Начнём пока с относительно несложной задачки с тригонометрией.

Пример 6

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

В принципе, решение этой задачи вполне возможно провести «в лоб». Сначала составить условие неотрицательности правой части (арифметический корень!), затем уже при этом ограничении возвести обе части в квадрат и получить тригонометрическое уравнение с косинусом, правая часть которого зависит от параметра. После чего ещё составить дополнительное требование, чтобы косинус был от -1 до 1 (иначе корней у уравнения не будет!). Короче, надо будет решать целую кучу неравенств — квадратных, двойных, с некрасивыми дискриминантами и корнями, потом пересекать множества их решений, сравнивать иррациональные числа… В общем, извиняюсь, геморрой конкретный. Сейчас я проведу её решение гораздо короче — методом мажорант. Кому интересен «лобовой» способ решения и кто большой трудоголик — попробуйте осилить. Без ошибок. И сравните результат. Итак, поехали!

Прежде всего, оцениваем квадратный трёхчлен справа. Это мы уже давно умеем:

Правая часть не превосходит тройки. Отлично! Берёмся теперь за корень. С ним тоже никаких проблем. Распутывать начинаем, разумеется, с косинуса:

Итак, наш корень не меньше тройки. А трёхчлен — не больше. Прекрасно! Это значит, что всё наше уравнение может иметь корни только при условии равенства обеих частей этой самой тройке:

Очевидно, первое уравнение нашей системы корни имеет. Находить нам их не надо. )

Итак, единственное допустимое значение параметра — это a = 4. При прочих значениях «a» корней у уравнения не будет.

Ответ: 4

Теперь рассмотрим систему.

Пример 7

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждого из найденных значений a.

Не пугаемся огромных степеней! На самом деле, это сделано как раз для того, чтобы запугать решающего. Не более.) Но мы же не будем поддаваться на такие глупые уловки, правда?

Запоминаем такую простую вещь. Если в задаче тусуются синусы и косинусы в очень больших степенях, то в 99% случаев срабатывает самая обыкновенная оценка синуса и косинуса по модулю, и огромные степени в таких задачах сводятся к обычным квадратам и (очень часто!) основному тригонометрическому тождеству, после чего дальнейшее решение становится очень простым и понятным. Посмотрим, как это работает на примере нашей страшной, на первый взгляд, системы.

Берём, например, левую часть первого уравнения:

Мы знаем, что синус и косинус всегда заключены в отрезке [-1; 1]. Иными словами, это какие-то дробные числа, по модулю меньшие (либо равные) единице. А теперь подумаем: чем больше степень такого числа, тем меньше по модулю будет результат. Возьмём для конкретики, например, число 0,5. Тогда будет справедлива такая цепочка неравенств:

То же самое будет и с любым синусом или косинусом. Это значит, что

Знак нестрогого неравенства здесь поставлен из-за того, что, например, при обнулении аргумента , т.е. при x = 1 у нас достигается равенство:

Теперь сложим почленно эти два неравенства:

Это значит, что левая часть не больше единички.

Та же самая оценка левой части будет справедлива и для остальных уравнений:

;

Таким образом, все левые части наших уравнений не больше единички.

Разбираемся теперь с правыми частями. Во-первых, квадратный трёхчлен. Тот, что с параметром. Он в каждом уравнении один и тот же. Выделим полный квадрат и оценим:

А теперь анализируем всю конструкцию справа (например, у первого уравнения)

Радикалы — в любом случае неотрицательные величины. А это значит, что вся правая часть — не меньше единички:

Причём равенство достигается только при a = 2 и y = 2, z = 3.

Ну вот. А теперь берём каждое уравнение и состыковываем все наши оценки:

Из этих оценок теперь отлично видно, что вся наша страшная система будет иметь решение лишь при a = 2, и это решение (1; 2; 3). При прочих значениях параметра правая часть любого из уравнений будет строго больше левой, и решений система иметь не будет.

Ответ: (1; 2; 3) при a = 2. При прочих a решений нет.

И последняя задачка, которую мы рассмотрим в данном уроке, — это уже типичная задачка из ЕГЭ. Поэтому собираем волю в кулак, устраиваемся поудобнее, запасаемся ~~попкорном~~ терпением и читаем/смотрим.

Пример 9

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Задачка эта требует достаточно кропотливого решения. Тем не менее его вполне можно провести, если чётко видеть цель. Я не просто подробно оформлю решение этой задачи, но и объясню, как именно надо «видеть цель». Итак, начнём.)

Во-первых, неплохо было бы растащить по разным частям логарифм и линейные конструкции с модулями. Пока они у нас намешаны в одну кучу. Действуем:

Так, что дальше? Дальше можно упростить аргумент логарифма: там явно напрашивается выделение полного квадрата. Упрощаем:

Прекрасно! Значит, всё наше злое уравнение перепишется вот в таком виде:

Всё. Дальнейшим упрощениям это уравнение уже не поддаётся. Теперь будем анализировать каждую функцию — слева и справа.

Пусть левая функция с логарифмом у нас будет f(x), а правая — g(x):

Функции разнородны. Причём обе непрерывны на всей числовой прямой. Разнородность подаёт нам знак, что нужно пробовать применять метод оценок. Начнём с логарифма — он проще.

Что можно сказать про аргумент логарифма? Квадратичная функция 2(x-5a)²+15, которая сидит внутри логарифма, как и любая парабола ветвями вверх, убывает от до точки (вершины), а потом возрастает. Поэтому в этой точке аргумент логарифма достигает своего наименьшего значения. Стало быть, и сам логарифм по основанию 15 от этой функции в точке также будет достигать своего наименьшего значения, так как функция y = log₁₅x монотонно возрастает. Итак, вся наша функция f(x) ограничена снизу числом f(5a):

Итого, наш логарифм ограничен снизу числом 25.

А вот со второй функцией

ситуация будет поинтереснее. Давайте для начала мысленно представим, как будет выглядеть график этой функции. Переменная икс везде стоит в первой степени, только внутри модулей. Стало быть, в результате раскрытия каждого модуля будет получаться какая-то линейная функция y = kx+b. На каждом промежутке — своя. И поэтому график функции g(x) будет представлять собой ломаную линию, состоящую из кусочков прямых.

Но здесь есть одна существенная проблема: нули подмодульных выражений и зависят от параметра. Который может быть каким угодно — положительным или отрицательным. И, в зависимости от знака параметра a, расположение точек и на числовой прямой будет различным. Поэтому исследование нашей функции g(x) надо разветвлять на два случая: и a < 0.

Случай 1 (a ≥ 0)

Начнём со случая . В этом случае точка на числовой прямой находится левее точки . И теперь раскрытие модулей по промежуткам не составляет никаких затруднений.

1.1) . Оба модуля раскрываются с минусом:

Значит, на этом интервале наша функция g(x) – часть возрастающей прямой с угловым коэффициентом . Переходим к следующему промежутку.

1.2) . Модули раскрываются с разными знаками:

На этом интервале получили убывающую прямую с угловым коэффициентом . Идём дальше.

1.3) . Оба модуля раскрываются с плюсом:

Здесь наша функция ещё сильнее убывает. Угловой коэффициент .

Итак, все три подслучая рассмотрены. A теперь — собираем воедино результаты наших исследований и рисуем схематичный график.

Зачем мы нарисовали этот график? А затем, что из графика теперь хорошо видно, что наша функция g(x) в точке достигает своего наибольшего значения. То есть, ограничена сверху числом g(5a).

Сосчитаем это число:

Теперь вспоминаем — чего от нас хотят-то? А то так и про основной вопрос задачи невольно забываешь.) Нас просят решить уравнение f(x) = g(x).

При этом про функции f и g мы знаем, что в одной и той же точке они достигают своих экстремальных значений: f – наименьшего, а g – наибольшего. Стало быть, чтобы уравнение f(x) = g(x) имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы

Да! В данной ситуации это требование является как необходимым, так и достаточным, потому что экстремальные значения принимаются функциями в одной точке, а не в разных. Смотрим на картинку, почему это так:

Остаётся решить неравенство:

А теперь главное — вспомнить, что здесь мы рассматриваем только .

А значит, нам нужно одновременное выполнение этих двух требований:

Нетрудно доказать, что число положительно, а значит весь наш полученный отрезок целиком и полностью удовлетворяет условию .

Итого, первый кусок окончательного ответа — это отрезок

Случай 2 (a ≤ 0)

Рассматриваем теперь отрицательные значения параметра: a < 0.

В этом случае будет всё наоборот — точка будет правее точки . Раскрываем модули, никуда не денешься (а я предупреждал, что решение достаточно трудоёмкое, хоть и не такое сложное :)).

2.1)

Функция g(x) – часть возрастающей прямой с угловым коэффициентом .

2.2)

Функция g(x) – часть возрастающей прямой с угловым коэффициентом .

2.3)

Функция g(x) – часть убывающей прямой с угловым коэффициентом .

Снова рисуем картинку:

И снова замечаем, что наша функция g(x) достигает своего наибольшего значения в той же самой точке . То есть, снова ограничена сверху числом g(5a). Считаем это число:

Думаю, уже особо комментировать не нужно, что нам снова надо решить неравенство:

Решаем:

Получили одно единственное решение неравенства — минус пять. Бывает.) Естественно, требованию минус пятёрка вполне себе удовлетворяет. Значит, ещё одним куском ответа является изолированная точка {-5}.

Фуух! Ну что, поздравляю всех, кто дочитал и особенно — тех, кто разобрался! Осталось лишь обе части ответа сложить в кучу.

Ответ:

Всё, задача полностью решена.

Заключение:

Если слева и справа стоят функции разной природы, то пробуем оценивать левую и правую части. Помогает в 99% случаев.

Не боимся «страшного» вида задачи. В большинстве случаев, как ни парадоксально, чем страшнее и безнадёжнее выглядит задача, тем проще её свести к нескольким простейшим, которые уже решаются по стандартной технологии. Как? Оцениваем сначала внешний вид конструкции, выявляем её тип — сумма взаимно обратных величин, квадратный трёхчлен, синусы, модули и т.п. А потом — оцениваем саму конструкцию. Уже теми приёмами и методами, что приведены в этом материале.

Также не боимся ситуации, когда число уравнений меньше числа неизвестных. Как правило, недостающее звено легко получить, используя те же самые разобранные нами оценки.

Тренируемся и набиваем руку! Без серьёзного опыта здесь — никак. В продаже появилось несметное количество сборников задач ЕГЭ, методичек именно по задачам с параметрами с огромным количеством задач для тренировки. На моём сайте тоже обязательно будут разбираться различные задачи с параметрами из ЕГЭ и даже с мехмата. И обязательно будут задачи для самостоятельного решения. В особом разделе, который на пятёрку.

А у меня на сегодня всё. Всем спасибо за внимание и до новых встреч!

Источник