Метод рационализации в показательных неравенствах егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Неравенства, решаемые методом рационализации

(blacktriangleright) Метод рационализации для показательной функции.
Если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида (a^{f(x)}-a^{g(x)}) можно заменить на произведение двух скобок: ((a-1)(f(x)-g(x))).

Пример.
Неравенство ((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)leqslant0) равносильно
неравенству ((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^{-2})(5x^2-9x-2)leqslant 0),
которое в свою очередь по методу рационализации можно переписать в виде [(3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)leqslant0]

(blacktriangleright) Метод рационализации для логарифмической функции.
Так как у логарифмов уже появляются ограничения на ОДЗ, то данный метод работает только при выполнении условий ОДЗ для логарифмов! Следовательно, последовательность решения подобных неравенств такая:

1) находим ОДЗ неравенства;

2) решаем неравенство, как будто ОДЗ выполнено;

3) пересекаем полученный ответ с ОДЗ и получаем итоговый ответ.

Суть метода рационализации:
1) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида ((log_{a}f(x)-log_{a}g(x))) можно заменить на произведение двух скобок: ((a-1)(f(x)-g(x))) (при условии выполнения ОДЗ!).
2) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида (log_{a}f(x)) можно заменить на произведение двух скобок: ((a-1)(f(x)-1)) (при условии выполнения ОДЗ!).

Пример.
Неравенство ((3+x-2x^2)log_{x+2}{(3x+5)}geqslant 0) с помощью метода рационализации можно переписать в виде: [begin{cases}
(3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)geqslant 0\
x+2>0qquad qquad text{(ОДЗ)}\
x+2ne 1qquad qquad text{(ОДЗ)}\
3x+5>0 qquad qquad text{(ОДЗ)}end{cases}]

Задание
1

#1595

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{x + 1} (x — 1)geqslant 0
end{aligned}]

ОДЗ: [begin{cases}
x + 1 > 0\
x + 1neq 1\
x — 1 > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
x > 1,.]

По методу рационализации: на ОДЗ

[begin{aligned}
log_{x + 1} (x — 1)geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad (x + 1 — 1)cdot (x — 1 — 1)geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad xcdot (x — 2)geqslant 0,.
end{aligned}]

Так как на ОДЗ (x > 1 > 0), то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству [x — 2geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad x geqslant 2] C учётом ОДЗ в итоге: (xin[2; +infty).)

Ответ:

([2; +infty))

Задание
2

#1596

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{x^2} (x^2 + 1) > 0
end{aligned}]

ОДЗ: [begin{cases}
x^2 > 0\
x^2 neq 1\
x^2 + 1 > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
begin{cases}
x neq 0\
x neq pm 1,.
end{cases}]

По методу рационализации: на ОДЗ

[begin{aligned}
log_{x^2} (x^2 + 1) > 0qquadLeftrightarrowqquad (x^2 — 1)cdot (x^2 + 1 — 1) > 0qquadLeftrightarrowqquad (x^2 — 1)cdot x^2 > 0,.
end{aligned}]

Так как на ОДЗ (x^2 > 0), то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству [x^2 — 1 > 0qquadLeftrightarrowqquad x in(-infty; -1)cup(1; +infty),.] C учётом ОДЗ в итоге: (xin(-infty; -1)cup(1; +infty).)

Ответ:

((-infty; -1)cup(1; +infty))

Задание
3

#3144

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство [(x^2+3x-10)cdot log_{0,5}(x^2-1)cdot
log_{(x^2-1)}(x+2)leqslant 0]

Выпишем ОДЗ неравенства: [begin{cases}
x^2-1>0\
x^2-1ne 1\
x+2>0 end{cases} quadLeftrightarrowquad xin
(-2;-sqrt2)cup(-sqrt2;-1)cup(1;sqrt2)cup(sqrt2;+infty).] Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что по формуле (log_abcdot
log_bc=log_ac) неравенство можно переписать в виде: [(x^2+3x-10)cdot log_{0,5}(x+2)leqslant 0] По методу рационализации данное неравенство равносильно: [(x^2+3x-10)cdot (0,5-1)(x+2-1)leqslant 0 quadLeftrightarrowquad
(x+5)(x-2)(x+1)geqslant 0] Решим полученное неравенство методом интервалов и получим ответ: [xin [-5;-1]cup [2;+infty)] Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ [xin (-2;-sqrt2)cup(-sqrt2;-1)cup[2;+infty)]

Ответ:

((-2;-sqrt2)cup(-sqrt2;-1)cup[2;+infty))

Задание
4

#1623

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{(x — 2)} (x + 3) geqslant dfrac{1}{log_{x^{2}} (x — 2)}
end{aligned}]

ОДЗ: [begin{cases}
x — 2 > 0\
x — 2neq 1\
x + 3 > 0\
x^2 > 0\
x^{2} neq 1
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
begin{cases}
x > 2\
xneq 3
end{cases}]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&log_{(x — 2)} (x + 3) geqslant log_{(x — 2)}x^{2}qquadLeftrightarrowqquad log_{(x — 2)} (x + 3) — log_{(x — 2)}x^{2}geqslant 0qquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad log_{(x — 2)} dfrac{(x + 3)}{x^2}geqslant 0,.
end{aligned}]

По методу рационализации: на ОДЗ

[begin{aligned}
&log_{(x — 2)} dfrac{(x + 3)}{x^2}geqslant 0 quadLeftrightarrowquad (x — 2 — 1)left(dfrac{x + 3}{x^2} — 1right)geqslant 0quadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowquad (x — 3)cdotdfrac{x + 3 — x^2}{x^2}geqslant 0quadLeftrightarrowquad (x — 3)cdotdfrac{x^2 — x — 3}{x^2}leqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов на ОДЗ

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при [xinleft[dfrac{1+sqrt{13}}{2}; 3right).]

Ответ:

(left[0,5+0,5sqrt{13}; 3right))

Задание
5

#1598

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

[begin{aligned}
log_{(x + 1)} 2 geqslant dfrac{1}{log_{x} (x + 1)}
end{aligned}]

ОДЗ: [begin{cases}
x + 1 > 0\
x + 1neq 1\
x > 0\
xneq 1
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad
begin{cases}
x > 0\
xneq 1
end{cases}]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin{aligned}
&log_{(x + 1)} 2 geqslant log_{(x + 1)} xqquadLeftrightarrowqquad log_{(x + 1)} 2 — log_{(x + 1)} xgeqslant 0qquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad log_{(x + 1)} dfrac{2}{x}geqslant 0,.
end{aligned}]

По методу рационализации: на ОДЗ

[begin{aligned}
&log_{(x + 1)} dfrac{2}{x}geqslant 0 qquadLeftrightarrowqquad (x + 1 — 1)left(dfrac{2}{x} — 1right)geqslant 0qquadLeftrightarrowqquad xcdotdfrac{2 — x}{x}geqslant 0qquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad 2 — xgeqslant 0qquadLeftrightarrowqquad xleqslant 2
end{aligned}]

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при [xin(0; 1)cup(1; 2].]

Ответ:

((0; 1)cup(1; 2])

Задание
6

#1602

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство [log_{8-4x}(16x^2 — 8x + 1) leqslant 2.]

ОДЗ:

[begin{cases}
8 — 4x > 0\
8 — 4x neq 1\
16x^2 — 8x + 1 > 0
end{cases}
qquadLeftrightarrowqquad x in left(-infty; dfrac{1}{4}right) cup left(dfrac{1}{4}; dfrac{7}{4}right) cup left(dfrac{7}{4}; 2right).]

[log_{8-4x}(16x^2 — 8x + 1) — log_{8-4x}(8-4x)^2leqslant 0quadLeftrightarrowquad log_{8-4x}dfrac{16x^2 — 8x + 1}{(8 — 4x)^2}leqslant 0.] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

[begin{aligned}
&(8 — 4x — 1)left(dfrac{16x^2 — 8x + 1}{(8 — 4x)^2} — 1right)leqslant 0 qquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad (7 — 4x)cdotdfrac{16x^2 — 8x + 1 — (64 — 64x + 16x^2)}{(8 — 4x)^2}leqslant 0qquadLeftrightarrow\
&Leftrightarrowqquad dfrac{(7 — 4x)(56x — 63)}{(8 — 4x)^2}leqslant 0quadLeftrightarrowquaddfrac{(4x — 7)(8x — 9)}{(4x — 8)^2}geqslant 0
end{aligned}]

По методу интервалов:

откуда (x inleft(-infty; dfrac{9}{8}right]cupleft[dfrac{7}{4}; 2right)cup(2; +infty)).
Пересечем ответ с ОДЗ: (x inleft(-infty; dfrac{1}{4}right)cupleft(dfrac{1}{4}; dfrac{9}{8}right]cupleft(dfrac{7}{4}; 2right)).
Окончательный ответ [x inleft(-infty; dfrac{1}{4}right)cupleft(dfrac{1}{4}; dfrac{9}{8}right]cupleft(dfrac{7}{4}; 2right),.]

Ответ:

(left(-infty; dfrac{1}{4}right)cupleft(dfrac{1}{4}; dfrac{9}{8}right]cupleft(dfrac{7}{4}; 2right))

Задание
7

#2645

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство [{large{left(4^{x^2-x-6}-1right)cdot
log_{0,25}left(4^{x^2+2x+2}-3right)leqslant 0}}]

(Задача от подписчиков)

Найдем ОДЗ: [4^{x^2+2x+2}-3>0quadLeftrightarrowquad 4^{x^2+2x+2}>4^{log_43}quadLeftrightarrowquad
x^2+2x+1+1>log_43quadLeftrightarrowquad (x+1)^2>log_43-1.]

Заметим, что (log_43<log_44=1), следовательно, число (log_43-1<0). Т.к. квадрат любого выражения всегда неотрицателен, то неравенство ((x+1)^2>log_43-1) выполнено при всех (x).
Следовательно, ОДЗ: (xin mathbb{R}).

Перейдем к неравенству: [{large{left(4^{x^2-x-6}-4^0right)cdot
log_{0,25}left(4^{x^2+2x+2}-3right)leqslant 0}}] Преобразуем его по методу рационализации: [begin{aligned} &(4-1)(x^2-x-6-0)cdot
(0,25-1)left(4^{x^2+2x+2}-3-1right)leqslant 0
quadLeftrightarrow\[2ex] Leftrightarrowquad &3(x^2-x-6)cdot
(-0,75)left(4^{x^2+2x+2}-4^1right)leqslant
0quadLeftrightarrow\[2ex]
Leftrightarrowquad &(x^2-x-6)cdot (4-1)(x^2+2x+2-1)geqslant
0quadLeftrightarrow\[2ex]Leftrightarrowquad &(x+2)(x-3)cdot (x+1)^2geqslant
0end{aligned}] Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ: [xin (-infty;-2]cup{-1}cup[3;+infty).]

Ответ:

((-infty;-2]cup{-1}cup[3;+infty))

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства). В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения (x − 3)² = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения $x^{2}=-1$ и также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения и $2x-1=(x-2)^{2}$ не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.

Например, неравенства и $frac{x-1}{x-3}>0$ равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства $log_{2}x>log_{2}5$ и x> 5 также равносильны при x> 0 . Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства $log_{2}x-log_{2}5>0$ и x-5>0 имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение $log_{2}x-log_{2}5$ будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение $log_{2}x-log_{2}5$ , то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида $log_{a}f-log_{a}g$ , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое (f − g) (a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Сложный множитель	На что заменить
log_h f − log_h g	(h − 1) (f − g)
log_h f − 1	(h − 1) (f − h)
log_h f	(h − 1) (f − 1)
h^f − h^g	(h − 1) (f − g)
h^f − 1	(h − 1) · f
f^h − g^h	(f − g) · h
f, g — функции от x. h — функция или число.

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), – обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

1. $log_{2-x}(x+2)cdot log_{x+3}(3-x)leq 0$ .

ОДЗ неравенства: .

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель $log_{2-x}(x+2)$ заменим на (2 − x − 1)(x + 2 − 1). Множитель вида $log_{x+3}(3-x)$ заменим на (x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

(1 − x) (x + 1) (x + 2) (2 − x) ≤ 0.

Решим его методом интервалов:

Ответ: .

2. $frac{10^{x}}{2cdot log^{2}_{2}(x+1)^{2}cdot log_{3}(x+2)}leq frac{(15cdot 3^{x})^{x}}{9cdot log^{2}_{2}(x+1)^{2}cdot log_{3}(x+2)}.$

Начнем с ОДЗ.

$left{begin{matrix} xneq 0;\ x>-2;\ xneq -1. end{matrix}right.$

Заметим, что выражение $log^{2}_{2}(x+1)^{2}$ положительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:

$(15cdot 3^{x})^{x}=5^{x}cdot 3^{x}cdot 3^{x^{2}}=5^{x}cdot 3^{x^{2}+x}$
Поделим обе части неравенства на 5^x > 0:

$frac{2^{x}}{2log_{3}(x+2)}leq frac{3^{x^{2}+x}}{9log_{3}(x+2)}: : Leftrightarrow \ , , \ : : \ Leftrightarrow frac{2^{x-1}-3^{x^{2}+x-2}}{log_{3}(x+2)}leq 0: : Leftrightarrow \ , , \ : : \ Leftrightarrow frac{2^{x-1}-3^{(x-1)(x+2)}}{log_{3}(x+2)}leq 0.$ Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2^{x − 1} в виде степени с основанием 3.

$2^{x-1}=3^{log_{3}2^{x-1}}=3^{(x-1)log_{3}2}.$ Неравенство примет вид:

$frac{3^{(x-1)log_{3}2}-3^{(x-1)(x+2)}}{log_{3}(x+2)}leq 0.$ Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h^f −h^g можно заменить на (h − 1) (f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

$frac{(x-1)(x-(log_{3}2-2))}{x+1}geq 0.$ Оценим $log_{3}2-2$ . Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

$log_{3}1<log_{3}2<log_{3}3;$ $0<log_{3}2<1$ $-2<log_{3}2-2<-1$ Ответ:

3. $frac{10^{log_{2}x}}{2x^{2}(x+1)}leq frac{(15cdot 3^{log_{2}x})^{log_{2}x}}{9x^{2}(x+1)}$ .

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

$left{begin{matrix} x>0;\ x+1neq 0. end{matrix}right.$ Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x² тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще:

$frac{10^{log_{2}x}}{2}leq frac{15^{log_{2}x}cdot 3^{log^{2}_{2}x}}{9}$ Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log₂x = t:

$frac{2^{t}cdot 5^{t}}{2}leq frac{3^{t}cdot 5^{t}cdot 3^{t^{2}}}{9}$ Теперь обе части неравенства можно сократить на 5^t > 0:

$2^{t-1}leq 3^{t^{2}+t-2};$
$2^{t-1}-3^{(t+2)(t-1)}leq 0.$

Поскольку $2=3^{log_{3}2}$ , выражение 2^t−1 можно записать как 3^{(t−1)·log₃2}:

$3^{(t-1)cdot log_{3}2}leq 3^{(t+2)(t-1)};$ $(t-1)cdot log_{3}2leq (t-1)(t+2);$ $(t-1)cdot log_{3}2-(t-1)(t+2)leq 0.$ $(t-1)(log_{3}2-t-2)leq 0;$ $(t-1)(t-(log_{3}2-2))leq 0.$ Заметим, что log₃2 − 2 < 0.

Мы получили квадратичное неравенство относительно t. Решим его:

Итак, t ≥ 1 или t ≤ log₃2 − 2.

Вернемся к переменной x:

$: \ log_{2}xgeq 1\ xgeq 2;$ или $: \ log_{2}xleq log_{3}2-2;\ 0<xleq 2^{log_{3}2-2}.$

Ответ: $x in (0;2^{log_3 2-2}]cup[2;+infty).$

4. Еще одна задача из той же серии:

$frac{14^{log_{2}(4x)}}{7cdot log^{2}_{2}(32x)cdot log_{2}(0,25x)}geq frac{(4cdot 2^{log_{2}(4x)})^{log_{2}(4x)}}{4cdot log^{2}_{2}(32x)cdot log_{2}(0,25x)}.$ Запишем ОДЗ:

$left{begin{matrix} x>0;\ 32xneq 1;\ 0,25xneq 1. end{matrix}right.$

$xin left ( 0;frac{1}{32} right )cup left ( frac{1}{32};4 right )cup left (4;+infty right ) .$

Умножим обе части неравенства на $log^{2}_{2}32x>0$ . Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части:

$frac{7^{log_{2}(4x)}cdot 2^{log_{2}(4x)}}{7cdot log_{2}(0,25x)}geq frac{4^{log_{2}(4x)}cdot 2^{(log_{2}(4x))^{2}}}{4cdot log_{2}(0,25x)}$
Поделим обе части неравенства на $2^{log_{2}(4x)}>0.$

$frac{7^{log_{2}(4x)}}{7cdot log_{2}(0,25x)}geq frac{2^{(log_{2}(4x))^{2}+log_{2}(4x)}}{4cdot log_{2}(0,25x)};$

$frac{7^{log_{2}(4x)-1}-2^{left ((log_{2}(4x))^{2}+log_{2}(4x)-2 right )}}{ log_{2}(0,25x)} geq 0$
Хорошо бы сделать замену. Пусть log₂(4x) = t. Тогда:

$log_{2}x=t-2;$

$log_{2}(0,25x)=log_{2}left ( frac{1}{4} right )+log_{2}x=log_{2}x-2=t-4.$ Неравенство примет вид:

$frac{7^{t-1}-2^{t^{2}+t-2}}{t-4}geq 0.$
Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2: $7=2^{log_{2}7}.$

$frac{2^{(t-1)cdot log_{2}7}-2^{(t-1)(t+2)}}{t-4}geq 0.$ Применим метод рационализации:

$frac{(t-1)cdot log_{2}7-(t-1)(t+2)}{t-4}geq 0;$

$frac{(t-1) (log_{2}7-t-2)}{t-4}geq 0;$

Оценим $log_{2}7-2:$

4 < 7 < 8;

$log_{2}4<log_{2}7<log_{2}8;$

$2<log_{2}7<3$

$0<log_{2}7-2<1$

$tleq log_{2}7-2\ , \ log_{2}(4x)leq log_{2}7-2;\ , \ log_{2}(4x)leq log_{2}frac{7}{4};\ , \ 0<xleq frac{7}{16};$ или $1leq t<4;\ , \ 1leq log_{2}(4x)<4;\ , \ log_{2}2leq log_{2}(4x)<log_{2}16;\ , \ frac{1}{2}leq x<4;$

Ответ: $xin left ( 0;frac{1}{32} right )cup left ( frac{1}{32};frac{7}{16} right ]cup left [ frac{1}{2};4 right ).$

5. Еще одна задача-страшилка из того же сборника:

$frac{log_{2^{left ( left ( x-1 right )^{2}-1 right )}}left ( log_{(2x^{2}+10x+15)}(x^{2}+2x) right )}{log_{2^{left ( left ( x-1 right )^{2}-1 right )}}left ( x^{2}+10x+26 right )}geq 0.$ Начнем с ОДЗ. Условий будет много – все выражения под логарифмами должны быть положительны, все основания логарифмов положительны и не равны единице, и еще знаменатель не равен нулю

$left{begin{matrix} (x-1)^{2}-1neq 0;\ x(x+2)>0;\ xneq -5. end{matrix}right.$

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию:

$frac{log_{c}b}{log_{c}a}=log_{a}b;$

$log_{x^{2}+10x+26}left ( log_{2x^{2}+10x+15} left ( x^{2}+2x right )right )geq 0.$

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.

Напомним, что множитель log_h f можно заменить на (h-1)( f-1), а множитель (log_h f — 1) — на (h — 1)( f — h):

$(x^{2}+10x+25)(log_{2x^{2}+10x+15}(x^{2}+2x)-1)geq 0;$

Поскольку $(x+5)^{2}>0$ при x ∈ ОДЗ, а $2x^{2}+10x+14>0$ при всех x, получим:

С учетом ОДЗ:

Ответ: x ∈ (-5; -3].

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство: $displaystyle frac{{rm 2}cdot {{rm 3}}^{{rm 2x+1}}{rm -}{{rm 6}}^{{rm x}}{rm -}{{rm 4}}^{{rm x+1}}{rm -}{rm 9}}{{{rm 9}}^{{rm x}}{rm -}{rm 3}}le {rm 3.}$

$displaystyle frac{{rm 2}cdot {{rm 3}cdot {rm 3}}^{{rm 2x}}{rm -}{{rm 6}}^{{rm x}}{rm -}{rm 4}cdot {{rm 2}}^{{rm 2x}}{rm -}{rm 3}cdot {{rm 3}}^{{rm 2x}}{rm -}{rm 9+9}}{{{rm 3}}^{{rm 2x}}{rm -}{rm 3}}le {rm 0}.$

$displaystyle frac{{{rm 3}cdot {rm 3}}^{{rm 2x}}{rm -}{{rm 3}}^{{rm x}}cdot {{rm 2}}^{{rm x}}{rm -}{rm 4}cdot {{rm 2}}^{{rm 2x}}}{{{rm 3}}^{{rm 2x}}{rm -}{rm 3}}le {rm 0}.$

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на ${{rm 2}}^{{rm 2}{rm x}}{rm textgreater 0.}$

Получим:

$displaystyle newline frac{3 cdot left (frac{3}{2} right )^{2x}-left (frac{3}{2} right )^{x}-4}{3^{2x}-3}leq 0;$

$displaystyle newline , newline 3 cdot left (frac{3}{2} right )^{2x}-left (frac{3}{2} right )^{x}-4=0;$

$displaystyle newline , newline frac{3left ( left ( frac{3}{2} right )^x+1 right )left ( left ( frac{3}{2} right )^x-frac{4}{3} right )}{3^{2x}-3}leq 0.$

Разложим числитель на множители.

Сделаем замену:

$displaystyle newline left ( frac{3}{2} right )^x=t; , ,3t^2-t-4=0;$

$displaystyle newline , newline t=frac{1pm 7}{6}; , t_1=-1; , t_2=frac{4}{3};$

$displaystyle newline , newline 3t^2-t-4=3left ( t+1 right )left ( t-frac{4}{3} right ).$

Вернемся к неравенству:

$displaystyle frac{3left ( left ( frac{3}{2} right )^x+1 right )left ( left ( frac{3}{2} right )^x-frac{4}{3} right )}{3^{2x}-3}leq 0.$

Поскольку $displaystyle {left(frac{3}{2}right)}^x textgreater 0$ , поделим обе части неравенства на $displaystyle {left(frac{3}{2}right)}^x+1 textgreater 0.$

$displaystyle frac{{left(frac{3}{2}right)}^x-frac{4}{3}}{3^{2x}-3}le 0.$

Применяя метод рационализации, множитель вида h^f-h^g заменяем на

Получим: $displaystyle newline frac{left ( frac{3}{2} -1right )left ( x-log_{frac{3}{2}}frac{4}{3} right )}{left ( 3-1 right )left ( 2x-1 right )} leq 0;$

$displaystyle newline , newline frac{x-log_{frac{3}{2}}frac{4}{3}}{x-frac{1}{2}}leq 0.$

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить $displaystyle frac{1}{2}$ и ${{log}_{frac{3}{2}} frac{4}{3} }$ ?

Что больше? Давайте представим $displaystyle frac{1}{2}$ как логарифм с основанием $displaystyle frac{3}{2}:$

$displaystyle frac{1}{2}={{log}_{frac{3}{2}} {left(frac{3}{2}right)}^{frac{1}{2}} }={{log}_{frac{3}{2}} sqrt{frac{3}{2}} };$

$displaystyle frac{4}{3} vee sqrt{frac{3}{2}};$

$displaystyle frac{16}{9} vee frac{3}{2};$

Значит, $displaystyle {{log}_{frac{3}{2}} frac{4}{3} } textgreater frac{1}{2}.$

Ответ: $displaystyle xin left(frac{1}{2}; {{log}_{frac{3}{2}} frac{4}{3} }right].$

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Решите неравенство: $displaystyle {{log}_{3-x} frac{x+4}{{left(x-3right)}^2} }ge -2.$

$displaystyle {{log}_{3-x} frac{x+4}{{left(x-3right)}^2} }ge -2 textless = textgreater left{ begin{array}{c}3-x textgreater 0 \3-xne 1 \displaystyle frac{x+4}{{left(x-3right)}^2} textgreater 0 \displaystyle {{log}_{3-x} frac{x+4}{{left(x-3right)}^2} }+2ge 0 end{array}right. .$

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что ${left(a-bright)}^2={left(b-aright)}^2 .$

Используем также условия

$left{ begin{array}{c}x textless 3 \xne 2 \x+4 textgreater 0 \{log}_{3-x}left(x+4right)-{log}_{3-x}{left(3-xright)}^2+2ge 0 end{array}right. textless = textgreater left{ begin{array}{c}x textless 3 \xne 2 \x textgreater -4 \{log}_{3-x}left(x+4right)ge 0 end{array}right. .$

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, ${{log}_a {left(bleft(xright)right)}^2=2{{log}_a left|bleft(xright)right| } }.$

Поскольку $3-x textgreater 0, { log}_{3-x}{left(3-xright)}^2=2{{log}_{3-x} left|3-xright|= }2{{log}_{3-x} left(3-xright)=2. }$

Согласно методу замены множителя, выражение ${log}_{3-x}left(x+4right)$ заменим на

Получим систему:

$left{ begin{array}{c}xne 2 \-4 textless x textless 3 \left(2-xright)left(x+3right)ge 0 end{array}right. .$

Решить ее легко.

Ответ:

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Решите неравенство: $displaystyle {{lg}^2 frac{{left(x+2right)}^2left(x+5right)}{5} textless {lg}^2frac{x+5}{20} }.$

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов:

$displaystyle left ( lgfrac{left ( x+2 right )^2left ( x+5 right )}{5}-lgfrac{x+5}{20} right )left ( lgfrac{left ( x+2 right )^2left ( x+5 right )}{5}+lgfrac{x+5}{20} right ) textless 0.$

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

$left{ begin{array}{c}displaystyle lgfrac{{left(x+2right)}^2left(x+5right)cdot 20}{5cdot left(x+5right)}cdot {lg left(frac{{left(x+2right)}^2cdot {left(x+5right)}^2}{100}right) } textless 0 \displaystyle {left(x+2right)}^2left(x+5right) textgreater 0 \x+5 textgreater 0 end{array}right. .$

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение (x+2)^2 должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства — это все числа, кроме x= - 2.

Получим:

$left{ begin{array}{c}displaystyle lgleft ( 4cdotleft ( x+2 right )^2 right ) cdot lg left ( frac{left ( x+2 right )^2 cdot left ( x+5 right )^2}{100} right ) textless 0\x textgreater -5 \xne -2 end{array}right..$

По методу рационализации, каждый из множителей вида ${{log}_h f }$ заменяем на

$newline left{ begin{array}{c}displaystyle left(10-1right)cdot left(4{left(x+2right)}^2-1right)cdot left(10-1right)left(frac{{left(x+2right)}^2cdot {left(x+5right)}^2}{100}-1right) textless 0 \x textgreater -5 \xne -2 end{array}right.newline textless = textgreater left{ begin{array}{c}left(2x+4-1right)left(2x+4+1right)left(left(x+2right)left(x+5right)-10right)left(left(x+2right)left(x+5right)+10right) textless 0 \x textgreater -5 \xne -2 end{array}right.newlinetextless = textgreater left{ begin{array}{c}left(2x+3right)left(2x+5right)cdot xcdot left(x+7right)cdot left(x^2+7x+20right) textless 0 \x textgreater -5 \xne -2 end{array}right.newline textless = textgreater left{ begin{array}{c}left(2x+3right)left(2x+5right)cdot xcdot left(x+7right) textless 0 \x textgreater -5 \xne -2 end{array}right. .$

Просто равносильные преобразования. Выражение положительно всегда — так как в уравнении дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Ответ: $displaystyle xin left(-5;-frac{5}{2}right)cup left(-frac{3}{2};0right).$

Больше неравенств: Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению g, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство

Решение.

ОДЗ:

Преобразуем неравенство

Воспользуемся методом рационализации:

Нам нужно найти такие х, при которых левое выражение меньше правого. В записанном неравенстве, если основание больше единицы, первая скобка будет положительна, и если первое подлогарифмическое выражение будет меньше второго, то их разность будет меньше 0, т.е. вторая скобка будет меньше нуля и это как раз те решения, что нужны нам по условию. Если же основание будет меньше единицы, первая скобка будет отрицательна, что изменит общий знак неравенства. Так же мы действовали, когда писали равносильный переход в виде двух случаев для логарифмического неравенства.

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства:

Ответ:

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

Пример. Решите неравенство:

Решение.

ОДЗ:

Применим метод рационализации:

С учетом ОДЗ:

Ответ:

Метод рационализации для неравенств с модулем

При сравнении двух чисел по модулю нас не интересует знак числа, поэтому можем от знака избавиться при помощи чётной степени. избавит нас от знака. При дальнейшей работе с полученным неравенством выполнять возведение в квадрат не обязательно, лучше применить формулу разности квадратов.

Пример. Решите неравенство

Решение. Воспользуемся методом рационализации:

Решением неравенства является интервал (-3;1)

Ответ:

Пример. Решите неравенство

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

Решением неравенства является промежуток

Ответ:

Метод рационализации для иррациональных неравенств

Пример. Решите неравенство .

Решение.

ОДЗ (находим ОДЗ для меньшего из выражений, ОДЗ для большего выражения выполнится автоматически):

Воспользуемся методом рационализации:

С учетом ОДЗ получаем окончательное решение неравенства:

Ответ:

Метод рационализации для показательных неравенств

Для показательно-степенных неравенств действуют те же правила, что и для логарифма. При основании, большем 1, знак неравенства мы можем сохранить, при основании меньше единицы, знак неравенства должен измениться при переходе к степеням. Тогда мы можем записать это, как произведение двух скобок, в первой мы будем сравнивать основание с единицей, а во второй – значения показателей степеней.

Пример. Решите неравенство

ОДЗ:

Воспользуемся методом рационализации:

Видим, что решением является промежуток:

С учетом ОДЗ:

Ответ:

Сведем все рассмотренные равносильные преобразования в таблицу

Источник

Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$log_af vee log_ag$	$(a — 1)(f — g)vee 0 $

Пример. Решите неравенство $log_{x^2}(x+2) < 1$

Решение.

ОДЗ:

$ begin{cases} x + 2 > 0 \ x^2 > 0 \ x^2 neq 1 end{cases} leftrightarrow qquad begin{cases} x > -2 \ x neq 0 \ x neq pm 1 end{cases} $

Преобразуем неравенство

$log_{x^2} (x + 2) < 1 \ log_{x^2}(x + 2) < log_{x^2}x^2$

Воспользуемся методом рационализации:

$(x^2-1)(x+2-x^2) < 0$

$(x-1)(x+1)(-x^2+x+2)<0 \ (x-1)(x+1)(x^2-x-2)>0 \ (x-1)(x+1)(x+1)(x-2) > 0$

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x in (-2; -1) cup (-1; 0)cup(0;1)cup(2; +infty)$

Ответ: $x in (-2; -1) cup (-1; 0)cup(0;1)cup(2; +infty)$

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$(log_af — log_ag)cdot h vee 0$	$(f — g)cdot h vee 0 $
$(log_fa vee log_ga)$	$(f — 1)(g-1)(a -1)(g -f) vee 0 $
$(log_hf cdot log_pq) vee 0$	$(h — 1)(f-1)(p -1)(q -f) vee 0 $
$displaystylefrac{log_af — log_ag}{log_ap — log_aq} vee 0$	$displaystylefrac{f — g}{ p -q} vee 0$

Пример. Решите неравенство: $log_{12x^2-41x+35}(3-x)geqlog_{2x^2-5x+3}(3-x)$

Решение.

ОДЗ:

$ begin{cases} 12x^2-41x+35 > 0, \ 2x^2-5x+3 > 0, \ 12x^2-41x+35 neq 1, \ 2x^2-5x+3 neq 1, \ 3 — x > 0 end{cases} leftrightarrow qquad begin{cases} (x — displaystylefrac{5}{3})(x — frac{7}{4}) > 0, \ (x — 1)(x — displaystylefrac{3}{2}) > 0, \ 12x^2 — 41x + 35 neq 0, \ 2x^2 — 5x + 2 neq 0, \ -x > -3 end{cases} leftrightarrow qquad begin{cases} (x — displaystylefrac{5}{3})(x — frac{7}{4}) > 0, \ (x — 1)(x — displaystylefrac{3}{2}) > 0, \ (x — displaystylefrac{17}{12})(x — 2) neq 0, \ (x — 2)(x — displaystylefrac{1}{2}) neq 0, \ x < 3 end{cases} $

$x in (-infty; frac{1}{2}) cup (frac{1}{2}; 1)cup(frac{3}{2};frac{5}{3})cup(frac{7}{4}; 2)cup(2; 3)$

Применим метод рационализации:

$(12x^2 — 41x + 35 -1)(2x^2-5x+3-1)(3-x-1)(2x^2-5x+3-(12x^2-41x+35))geq 0\ (12x^2-41x+34)(2x^2-5x+2)(-x+2)(-10x^2+36x-32)geq 0\ (x — displaystylefrac{17}{12})(x-2)(x-2)(x — frac{1}{2})(-1)(x-2)(-10)(x-2)(x — frac{8}{5})geq 0 \ (x — displaystylefrac{17}{12})(x-2)^4(x — frac{1}{2})(x — frac{8}{5})geq 0$

С учетом ОДЗ: $x in (frac{1}{2}; 1) cup [frac{8}{5}; frac{5}{3})cup(frac{7}{4};2)cup(2; 3)$

Ответ: $x in (frac{1}{2}; 1) cup [frac{8}{5}; frac{5}{3})cup(frac{7}{4};2)cup(2; 3)$

Метод рационализации для неравенств с модулем

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$\|f\|-\|g\| vee 0$	$f^2-g^2 vee 0 $
Следствие
$(\|f\| — \|g\|)cdot h vee 0$	$ (f^2 — g^2)cdot h vee 0 $

Пример. Решите неравенство

$|x^2 — 1| — |2x -2| < 0$

Решение. Воспользуемся методом рационализации:

$|x^2-1|-|2x-2| < 0 \ (x^2-1)^2 — (2x — 2)^2 < 0 \ ((x^2-1)-(2x-2))((x^2-1)+(2x — 2)) < 0 \ (x^2 — 1 — 2x +2)(x^2 — 1 + 2x — 2) < 0 \ (x^2 — 2x +1)(x^2+2x-3)< 0 \ (x-1)^2(x — 1)(x + 3) < 0$

Решением неравенства является интервал (-3;1)

Ответ: $x in (-3; 1)$

Пример. Решите неравенство

$|x^2 — 13x + 35| > |35 — x^2|$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \ -13x(2x-13)(x — displaystylefrac{70}{13}) > 0, \ 2x(x — displaystylefrac{13}{2})(x — frac{70}{13}) < 0, \ x(x — displaystylefrac{13}{2})(x — frac{70}{13}) < 0, \ x(x — 6displaystylefrac{1}{2})(x — 5frac{5}{13}) < 0, \$

Решением неравенства является промежуток $(-infty;0) cup (5displaystylefrac{5}{13};6,5).$

Ответ: $x in(-infty;0) cup (5displaystylefrac{5}{13};6,5).$

Метод рационализации для иррациональных неравенств

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$sqrt{f} vee sqrt{g}$	$f vee g $
Следствие
$(sqrt{f} — sqrt{g})cdot h vee 0$	$ (f — g)cdot h vee 0 $

Пример. Решите неравенство $displaystylesqrt{x^2+5x} < sqrt{1 — x^2 +4x}$.

Решение.

ОДЗ (находим ОДЗ для меньшего из выражений, ОДЗ для большего выражения выполнится автоматически):

$x^2+5xgeq0, \ x(x+5)geq 0, \ x in (-infty; -5] cup [0; +infty).$

Воспользуемся методом рационализации:

$x^2 + 5x < 1 — x^2 + 4x, \ x^2 + 5x — 1 + x^2 -4x < 0, \ 2x^2 + x -1 < 0, \ (x+1)(x — 0,5)<0. \ x in (-1; 0,5).$

С учетом ОДЗ получаем окончательное решение неравенства: $x in [0; 0,5).$

Ответ: $x in [0; 0,5).$

Метод рационализации для показательных неравенств

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$a^f vee a^g$	$(a -1)(f-g) vee 0$
Следствие
$displaystylefrac{a^f — a^g}{a^p — a^q} vee 0$	$displaystylefrac{f -g}{p -q} vee 0$
$(a^f — a^g)cdot h vee 0$	$(f- g)cdot h vee 0$

Пример. Решите неравенство

$x^{x^2+3x-4} < x^{5-x}$

ОДЗ: $x > 0, x neq 1$

Воспользуемся методом рационализации:

$(x — 1)(x^2+3x -4-(5-x)) <0 \ (x-1)(x^2+3x-4-5+x) < 0 \ (x — 1)(x^2 + 4x — 9)< 0 \ (x — 1)(x — (-2-sqrt{13}))(x — (-2+sqrt{13})) < 0$

Видим, что решением является промежуток: $(-infty; -2 — sqrt{13})cup (1; -2 + sqrt{13})$

С учетом ОДЗ: $x in (1; -2 + sqrt{13})$

Ответ: $x in (1; -2 + sqrt{13})$

Сведем все рассмотренные равносильные преобразования в таблицу

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$log_af vee log_ag$	$(a — 1)(f — g)vee 0 $
$(log_af — log_ag)cdot h vee 0$	$(f — g)cdot h vee 0 $
$(log_fa vee log_ga)$	$(f — 1)(g-1)(a -1)(g -f) vee 0 $
$(log_hf cdot log_pq) vee 0$	$(h — 1)(f-1)(p -1)(q -f) vee 0 $
$displaystylefrac{log_af — log_ag}{log_ap — log_aq} vee 0$	$displaystylefrac{f — g}{ p -q} vee 0$
$\|f\|-\|g\| vee 0$	$f^2-g^2 vee 0 $
$(\|f\| — \|g\|)cdot h vee 0$	$ (f^2 — g^2)cdot h vee 0 $
$sqrt{f} vee sqrt{g}$	$f vee g $
$(sqrt{f} — sqrt{g})cdot h vee 0$	$ (f — g)cdot h vee 0 $
$a^f vee a^g$	$(a -1)(f-g) vee 0$
$displaystylefrac{a^f — a^g}{a^p — a^q} vee 0$	$displaystylefrac{f -g}{p -q} vee 0$
$(a^f — a^g)cdot h vee 0$	$(f- g)cdot h vee 0$

Источник

4 октября 2017

В закладки

Обсудить

Жалоба

Памятка по использованию метода рационализации при решении логарифмических неравенств, показательных неравенств, иррациональных неравенств и неравенств с модулем.

Рекомендована при подготовке к ЕГЭ при решении задачи №15 способом, отличным от традиционного.
Приводится схема традиционного способа для решения логарифмического неравенства и стандартные ошибки в использовании нового.

met-r.docx

Источник