Методичка по математике 11 класс егэ

СБОРНИК ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАНИЙ

К ЭКЗАМЕНАМ ПО МАТЕМАТИКЕ В ФОРМАТЕ ЕГЭ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ СПО И НПО

Преобразование степенных и дробно-иррациональных выражений.

1. Степени и корни 

 Степень с целым показателем 

 (n раз, ),

Свойства:

  Корень n-й степени 

  — арифметический корень n-й степени из числа  

Свойства:

В частности,  — арифметический квадратный корень: 

Степень с дробным (рациональным) показателем 

Свойства степени с действительным показателем 

ВЫЧИСЛИТЕ:

;    ;    ;  ;  ;   ;   ;   ;   ;

;    ;   ;  ;  

            ;  ;  ;  

1. Логарифмы. Логарифмические уравнения

ВЫЧИСЛИТЬ:

; ;  ;     ;    ;     ;

1. Показательные неравенства

Неравенство вида

в зависимости от основания эквивалентно следующему:

              при a>1      f(x)>g(x);

 при 0.

Неравенство вида

эквивалентно следующему неравенству:

 при a>1      f(x);

 при 0g(x).

Чтобы пользоваться свойством монотонности показательной функции следует путем надлежащих преобразований добиться одинаковых оснований в левой и правой частях неравенства

РЕШИТЬ НЕРАВЕНСТВА

0,42х+1≥0,16;   5(x2 — 2*x — 1) = 25;    ;    ;  ;  ;

1. Тригонометрические уравнения

 sin x = a

Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. (Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1)n arcsin a + πn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z.
2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3. sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.

 cos x = a

Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. (Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет корней)
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + πn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ Z.
2. cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z.
3. cos x = -1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z.

tg x = a

Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a.

Корни уравнения выражаются формулой x = arctg a + πn, n ∈ Z.

 ctg x = a

Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a.

Корни уравнения выражаются формулой x = arcctg a + πn, n ∈ Z.

   ;        ;  ;      

1. Производная функции. Исследование функции.

        Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. 

Следствие. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

Достаточные признаки монотонности функции.

• Еслиf ‘( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.
• Если f ‘( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

 Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум).

Необходимое условие экстремума. Если x0 — точка экстремума функции f ( x ) и производная f’ существует в этой точке, то f’ ( x0 ) = 0.

Эта теорема — необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке.
Достаточные условия экстремума.

• Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума.
• Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Найдите наибольшее значение функции y = e2x – 6ex + 3 на отрезке [1; 2]

Найдите наименьшее значение функции 

Найдите точку максимума функции 

Найдите точку минимума функции 

Найдите точку минимума функции 

1. Чтение графиков

 При ответе на вопрос необходимо: использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках.

На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций газодобывающей компании в первые две недели ноября. 2 ноября бизнесмен приобрел 10 акций этой компании. Шесть из них он продал 7 ноября, а 13 ноября — остальные 4. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций (все операции проводились в момент открытия биржи)?

Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат – сила тока в Амперах. Сколько Ампер составляет сила тока в цепи при сопротивлении 2,5 Ом?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

1. Реальная математика (Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни)

1. В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30 фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?
2. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб. 

В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего: 

1) И. купит все три товара сразу. 

2) И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат. 

      3) И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат. 

4)В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае. ? 

   3.     В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВт·ч электроэнергии в   месяц, а в ночное время — 185 кВт·ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВт·ч. Год назад А. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,40 руб. за кВт·ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВт·ч.  В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях. 

4.       Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 24 секунды, а Миша загружает файл размером 38 Мб за 32 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки?

             8. Теория вероятности.  (Классическое определение теории вероятности)

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.P(A) = m/n, где m — число благоприятствующих событию A исходов, n –  число всех элементарных равновозможных исходов. Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша. 

1. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. 
2. На соревнования по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Швейцарии, 6 из Великобритании и 2 из Чехии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает девятым, будет из Чехии. 
3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится две сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. 
4. Конкурс исполнителей длится 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день запланировано 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.    
5. В среднем из 150 аккумуляторов, поступивших в продажу, 9 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным. 

2 октября 2016

В закладки

Обсудить

Жалоба

Конспекты и методички по математике

Методические пособия по подготовке к олимпиадам от МФТИ.

Задачи с параметром на единственность, количество решений и нахождение множества решений 1.pdf

Иррациональные уравнения и неравенства 2.pdf

Использование производной, интеграла и свойств функций при доказательстве некоторых неравенств 3.pdf

Использование теорем Менелая и Чевы при решении геометрических задач 4.pdf

Метод итераций 5.pdf

Неравенство Коши-Буняковского 6.pdf

Вычисление сумм 7.pdf

Показательные логарифмические уравнения и неравенства 8.pdf

Пять лучших пособий для подготовки к ЕГЭ по математике. Профильный уровень

Овчинникова Ольна Николаевна – учитель математики

МОБУ «СОШ с. Ивано-Кувалат»

Два года подряд у меня были выпускные классы. Многие учащиеся выбирали профильный экзамен по математике и успешно его сдавали. Один из моих учеников набрал 82 балла. Хочу рассказать коллегам о тех учебных материалах, которые я использовала для подготовки к экзамену.

Первое учебное пособие.

ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, А.В. Забелин и др. Под ред. И.В. Ященко. – М.: Экзамен, 2017. – 703 с. (Серия «ЕГЭ. Банк заданий»)

Данное издание может быть скачано по ссылке http://alleng.org/d/math/math1948.htm

Есть черно-белые графики, схемы, диаграммы.

Переплет мягкий, бумага газетная.

Это пособие представляет собой сборник из четырех тысяч задач ЕГЭ по математике. Задачи разбиты на прототипы. В сборнике содержатся прототипы заданий 1-12 профильного уровня и прототипы заданий 1-20 базового уровня. Это очень удобно для отработки навыков решения конкретного задания.

Все задания сборника соответствуют реальным заданиям ЕГЭ. Также эти задачи подходят для закрепления новых тем, изученных на уроке. Задания базового уровня можно давать для решения учащимся средних классов, задания профильного уровня подходят для решения старшеклассниками.

Сборник содержит абсолютно все прототипы задач базового уровня, и все прототипы задач первой части профильного уровня. Можно, конечно, было бы добавить и прототипы задач второй части профильного уровня. Тогда это пособие было бы полностью универсальным.

Ответы на задания даны краткие, не содержащие указаний к решению. Ученик может проверить себя сам, правильно ли он решил задачу. Если задача решена неправильно, то за консультацией нужно обращаться к учителю.

Задачи сборника удобно систематизированы. Вначале идут задачи с практическим содержанием (прототипы задач 1, 2, 4 и 10 профильного уровня). Затем задачи по алгебре (прототипы задач 5, 9 и 11 профильного уровня). Следующий блок составляют задачи по алгебре и началам анализа (прототипы заданий 7 и 12 профильного уровня). Завершают главу 1 задачи по геометрии (прототипы заданий 3, 6 и 8 профильного уровня).

Вторая глава сборника содержит прототипы всех 20 заданий базового ЕГЭ по математике.

В сборник не включены справочные материалы.

Стоимость этого пособия 255 рублей.

Выводы.

Сборник «ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни» можно использовать как для самостоятельной подготовки учащихся, так и для работы в классе и подготовки с репетитором.

Позволяет на большом количестве задач отработать навыки их решения. У некоторых детей количество решенных задач переходит в качество. То есть им нужно решить где-то 7-10 задач, чтобы навык их решения прочно закрепился. Кто-то может быть скажет, что это натаскивание на ЕГЭ. Я с этим не соглашусь. Это отработка алгоритма решения типового задания. Нам даны задания, и мы должны научить учащихся решать эти задания.

Задачи из сборника полностью соответствуют реальным заданиям ЕГЭ.

Родители по ответам, помещенным в конце сборника, могут проверить правильность решенных задач.

Второе учебное пособие.

Я сдам ЕГЭ! Математика. Модульный курс. Практика и диагностика. Профильный уровень / И.В. Ященко, С.А. Шестаков. – М.: Просвещение, 2017. – 304 с.

Данное учебное пособие может быть скачано по ссылке

http://alleng.org/d/math/math2075.htm

Есть черно-белые графики, схемы, диаграммы.

Переплет мягкий, печать офсетная, бумага типографская.

Пособие представляет собой сборник задач, сгруппированных по модулям «Базовые навыки», «Алгебра», «Функции», «Геометрия». В учебное пособие входят домашние (зачетные) работы и диагностические работы в формате ЕГЭ.

Задания пособия соответствуют реальным заданиям ЕГЭ.

Многие задания из модулей «Базовые навыки», «Алгебра», «Геометрия» можно использовать после изучения новых тем для закрепления материала на уроках в 7-9 классах. Задачи модуля «Функции» предназначены для старшеклассников.

Хотя авторы адресуют это пособие для подготовки к профильному экзамену, многие задачи подходят и для подготовки к ЕГЭ базового уровня. То есть это пособие можно назвать универсальным.

Минусом этого методического пособия считаю то, что здесь нет ответов к задачам. А это значит, что ученик не может самостоятельно проверить свое решение. То есть пособие подходит только для совместной работы с учителем или репетитором. Так как в пособии содержится большое количество задач, то в тандеме учитель-ученик или репетитор-ученик оно будет очень полезно.

Пособие не содержит справочных материалов.

Примерная стоимость данного методического пособия – 300 рублей.

Выводы.

Учебное пособие «Я сдам ЕГЭ! Математика. Модульный курс. Практика и диагностика. Профильный уровень» можно использовать для работы в классе и подготовки с репетитором.

Если родители не имеют соответствующую математическую подготовку, то проверить, как справляется с подготовкой к ЕГЭ их ребенок по данному пособию не получится, так как в нем нет ответов к заданиям. Для проверки нужно приобрести другое методическое пособие, которое называется «Я сдам ЕГЭ! Математика. Методика подготовки. Ключи и ответы. Профильный уровень»

Плюсом пособия является то, что оно содержит большое количество задач и это позволяет отработать навыки их решения.

Задачи из сборника полностью соответствуют реальным заданиям ЕГЭ.

Третье учебное пособие.

Я сдам ЕГЭ! Математика. Модульный курс. Методика подготовки. Ключи и ответы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций: профил. уровень / И.В. Ященко, С.А. Шестаков. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Учебное пособие может быть скачано по ссылке

http://alleng.org/d/math/math2126.htm

Кроме задач, в данном пособии изложена теория, необходимая для решения задач второй части ЕГЭ по математике профильного уровня. Теория изложена языком понятным школьнику, ее применение показано на конкретных примерах.

Есть черно-белые графики, схемы, диаграммы.

Переплет мягкий, печать офсетная, бумага типографская.

Задачи пособия полностью соответствуют реальным заданиям ЕГЭ.

Материал излагается в виде уроков, каждый урок посвящен какой-либо теме. Для учителя приведено примерное поурочное планирование.

Также пособие подходит учащимся с высоким уровнем знаний по математике для самостоятельной подготовки к профильному экзамену. Очень хорошо изложен теоретический материал для решения второй части ЕГЭ. Такие темы как «Метод интервалов», «Метод знакотождественных множителей», «Метод введения новой переменной» расширяют и углубляют школьный курс математики. Теория подкреплена образцами решения заданий. Этот материал нужен для решения задания 15.

В пособии даны ответы не только к заданиям, размещенным в нем, но и к заданиям из предыдущего пособия. Таким образом, пособия «Методика подготовки. Ключи и ответы» и «Практикум и диагностика» желательно использовать в комплексе.

Примерная стоимость пособия – 250 рублей.

Выводы.

Пособие «Я сдам ЕГЭ! Математика. Модульный курс. Методика подготовки. Ключи и ответы» может быть использовано сильными учащимися для самостоятельной подготовки к ЕГЭ профильного уровня, также оно может быть использовано учителем для работы в классе (содержит поурочное планирование). Может также использоваться для подготовки с репетитором.

Родители могут использовать это пособие для проверки готовности своего ребенка к сдаче профильного ЕГЭ по математике.

Пособие соответствует всем последним требованиям ЕГЭ.

Четвертое учебное пособие.

ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Задачи с параметром / Ю.В.Садовничий. – М.: УЧПЕДГИЗ, 2018. – 126 с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов»)

Учебное пособие может быть скачано по ссылке

http://alleng.org/d/math/math2321.htm

Материал пособия доступен для школьника с высоким уровнем математической подготовки.

Пособие содержит черно-белые рисунки.

Переплет мягкий, бумага газетная.

Задача с параметром (задание 18 ЕГЭ профильного уровня), наряду с задачей 19, считается наиболее сложной в варианте. В книге задачи с параметром систематизированы по методам их решения. Каждый параграф (их в пособии посвящен определенному методу решения. В начале параграфа идет основная теоретическая часть (теоремы, определения, формулы). Затем применение теории демонстрируется на подробно разобранных примерах. И завершают параграф задачи для самостоятельного решения.

К задачам для самостоятельного решения даны краткие ответы.

Книга стоит 85 рублей.

Выводы.

Данное пособие может быть использовано учеником для самостоятельной подготовки к ЕГЭ профильного уровня (предполагается, что если ученик выбрал профильный уровень ЕГЭ, то он имеет высокий уровень математической подготовки). Также пособие может быть использовано для работы в классе и подготовке с репетитором.

Так как в конце пособия даны ответы к заданиям, то родители могут проверить умения своего ребенка решать задачи 18.

Пособие соответствует всем последним требованиям ЕГЭ.

Пятое учебное пособие.

ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2017. – 272 с. (ЕГЭ. ФИПИ – школе).

Учебное пособие может быть скачано по ссылке

https://nashol.com/2017021493105/ege-matematika-profilnii-uroven-tipovie-ekzamenacionnie-varianti-36-variantov-yaschenko-i-v-2017.html

Пособие представляет собой сборник, включающий 36 типовых экзаменационных вариантов, которые полностью соответствуют реальным заданиям ЕГЭ профильного уровня.

В пособии имеются черно-белые рисунки, графики, диаграммы.

Пособие не содержит справочных материалов.

Переплет мягкий. Печать офсетная. Бумага типографская.

В сборнике дано подробное решение заданий 13-19 второй части для семи вариантов. Ко всем остальным вариантам есть ответы.

Отдельные задания пособия после изучения соответствующих тем в 7-11 классах можно использовать для закрепления материала.

Примерная стоимость пособия – 230 рублей.

Выводы.

Пособие «ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов» может быть использовано учащимися для самостоятельной подготовки к экзамену, а также дает возможность родителям объективно оценить уровень подготовки ребенка к государственной итоговой аттестации по ответам, помещенным в конце пособия.

Учителя могут использовать это пособие для организации контроля результатов освоения школьниками образовательных программ среднего общего образования и интенсивной подготовки обучающихся к ЕГЭ.

Также пособие подходит для подготовки с репетитором.

Пособие соответствует всем последним требования ЕГЭ.