Методичка по теории вероятности для егэ

Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже 1/6.

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете 25 яблок, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25, а зеленое — 17/25.

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8/25+17/25=1.
 

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

1. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.

2. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25, то есть 0,92.

3. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: 0,6.

4. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 — из России, 7 — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая — 5 спортсменок). Ответ: 0,25.

5. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 dotsc 100.

Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.

6. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

1, 3, 5 — нечетные числа; 2,4,6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.

Ответ: 0,5.

7. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

орел орел
орел решка
решка орел
решка решка

Три монеты? Правильно, 8. исходов, так как 2 cdot 2 cdot 2 = 2^3=8.

Вот они:

орел орел орел
орел орел решка
орел решка орел
решка орел орел
орел решка решка
решка орел решка
решка решка орел
решка решка решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: 3/8.

8. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6^2=36.

А теперь — благоприятные исходы:

2 6

3 5

4 4

5 3

6 2

Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 approx 0,14.

9. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9 cdot 0,9=0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна 0,9 cdot 0,9 cdot 0,9 cdot 0,9 = 0,6561.

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Вероятность: логика перебора.

10. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя не глядя переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами 1, а десятирублевые цифрами 2 — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора 1 1 2 2 2 2.

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора 1 2 3 4 5 6. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

123, 124, 125, 126…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134, а затем:

135, 136, 145, 146, 156.

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1. Продолжаем:

234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Всего 20 возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки 1 и 2 обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего 12 благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна 12/20.

Ответ: 0,6.

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

11. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть p – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

p_1 – вероятность того, что он сломается на второй год, p_2 – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно, p= p_1+p_2.

Тогда p_1=p-p_2=0,93-0,87=0,06.

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

12. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна frac{1}{2}. Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{4}). На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна frac{1}{2}, а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна frac{1}{32}, то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

13. (А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку 1 - 0,2 = 0,8. Для второго 1 - 0,25 = 0,75. Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью 0,8cdot0,75cdot0,8cdot0,75cdot 0,8 =0,36cdot0,8=0,288.

14. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна x. Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна 1-x.

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: 0,4 x.

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна 0,2 (1-x).

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

0,4 x + 0,2 (1-x) = 0,35.

Решаем это уравнение и находим, что x = 0,75 – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

15. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна 0,05cdot0,9 ), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна 0,95cdot0,01 ). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна 0,05cdot0,9+0,95cdot0,01=0,0545.

Ответ: 0,0545.

16. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 0,6 cdot 0,8.

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна
1 - 0,5 cdot 0,3.
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна 0,6 cdot 0,8 cdot (1 - 0,5 cdot 0,3) = 0,408. Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».

Смотрите также: парадокс Монти Холла.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Методические рекомендации для    учащихся  11 классов

Решение задач по теории вероятности
(по материалам открытого банка
задач ЕГЭ по математике)

Справочный материал

Классическое определение вероятности

Опр.
Вероятностью
события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех
равновозможных исходов:

                                              
 Р(А)= 
где n — общее число равновозможных
исходов, m — число исходов, благоприятствующих событию A.

Пример.
На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и
18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для
пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того,
что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное
место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение

А
— пассажиру В. достанется удобное место.

m
= 12 + 18 = 30 — мест удобны пассажиру В.

n
= 300 – всего мест

Ответ:
р =  0,1.                                


Противоположные события

Событие,
противоположное событию A, обозначают Ā.

Пример.
А — промах при стрельбе, Ā — попадание при стрельбе. А и Ā – противоположные
события.                                                   

                           
Р(А) + Р(Ā) = 1;       Р(Ā) = 1 — Р(А)

Пример.
Вероятность того, что в случайный момент
времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C , равна 0,87.
Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека
температура тела окажется 36,8°C или выше. 

Решение

А — ниже 36,8°C,

Ā
– равна 36,8°C или выше.

Р(Ā) =
1 — Р(А)=1-0,87=0,13

Ответ:
р =  0,13.                                

Действия над событиями

Опр.
События  А и В называются  несовместными, если
их одновременное появление невозможно.

Пример.
А — выпадение «решки» при бросании монеты, В – выпадение
«орла». А и В – несовместны.

Опр.
События А и В называются совместными, если они
могут произойти при одном исходе испытаний.

Пример.
А – ученик получил 5 по одному предмету,

В
– ученик получил 4 по другому предмету. А и В – совместные.

Опр.
Событие А  называется независимым от события В ,
если вероятность события А  не зависит от того, произошло событие  В или нет.

Опр.
Событие А  называется зависимым от события В ,
если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие  В
или нет.

Пример1.

 Опыт
состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:

 
– появление герба на первой монете,

 
– появление герба на второй монете.

В
данном случае вероятность события   не зависит от того, произошло событие   или
нет; событие   независимо от события.

Пример1.

 В
урне два белых шара и один черный. Два лица вынимают из урны по одному шару;
рассматриваются события:

 
– появление белого шара у 1-го лица,

 
– появление белого шара у 2-го лица.

Опр.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что
имело место другое событие В, называется условной вероятностью
события   и обозначается  Р (В|А) 

Опр.
Суммой нескольких событий называется событие,
состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания (А или В ).

Если
события несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить А
или В, тогда + заменяется словом «или».

Если
события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или
событие В, или оба события вместе.

Пример
1. Пусть А — идет дождь,  В — идет снег.

События
А и В совместны, тогда  (А + В) — либо дождь, либо снег, либо дождь со
снегом, т. е. осадки;

Пример
2.  А — пошли на дискотеку;  В — пошли в
библиотеку.

А
и В  несовместны, тогда А + В — пошли либо на дискотеку, либо в
библиотеку, т. е. вышли из дома.

Опр.
Произведением нескольких событий называется
событие, состоящее в наступление обоих событий в результате испытания (А и В).

Пример
1. Пусть имеются следующие события:

               
А – «из колоды карт вынута дама»,

               
В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти».

Значит,
А∙В означает «вынута дама пик».

Пример
2.  Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события:

               
А – « число выпавших очков < 5»,

               
В – «число выпавших очков > 2»,

               
С – «число выпавших очков четное».

Тогда
А∙В∙С – «выпало 4 очка».

Теоремы сложения и умножения вероятностей вероятностей

Сложение
вероятностей зависит от того, являются события совместными или несовместными.

Т.1.
Вероятность появления одного из двух несовместных
событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

  
                                         P(A + B) =P(A)
+ P(B)  

Пример. Круговая
мишень состоит из трех зон: I, II и III. Вероятность попадания в
первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти
вероятность промаха.

 

Решение

Событие
А – стрелок попал в зону I,

событие
В – стрелок попал в зону II,

событие
С – стрелок попал в зону III.

Стрелок
попадёт или в зону I или в зону II,
или в зону III, т. е. события А, В, С
не совместны.

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0,15+0,23+0,17=0,65
– вероятность попадания.

Тогда
вероятность промаха  р=1-0,65=0,35.

Ответ:
р=0,35

Т.2.
Если события A и B независимы, то
вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей  событий A
и B:
                                      P(AB) = P(A) ∙ P(B)

Пример.
В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них
может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата.
Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение 

Здесь
удобно сначала найти вероятность события «оба автомата неисправны»,
противоположного событию из условия задачи. Пусть

Событие
А — 1-ый автомат неисправен,

событие
В — 1-ый автомат неисправен.

По
условию  Р(А) =  Р(В) = 0,05.

Событие
«оба автомата неисправны» − это АВ.

По
формуле умножения вероятностей, его вероятность  равна  

Р(АВ)
= Р(А) ∙ Р(В) = 0,05∙0,05 = 0,0025. Значит,                     

Ответ:
р = 0,9975.

Т.3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного
появления.                                                                                                                 P(A + B) =P(A) + P(B)  – P(AB)

Пример.
Два стрелка сделали по одному выстрелу в
мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6.
Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

 Решение                         

Событие
А – 1-ый стрелок попал в мишень,

событие
В – 2-ой стрелок попал в мишень.

Хотя
бы один из стрелков попадёт в мишень, т.е. или 1-ый, или 2-ой, или оба вместе,

т.
е. события А и В совместны.

  
P(A+B)=P(A)+P(B)=0,8+0,6-0,8*0,6=0,92

Ответ:
р=0,92

Т.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий
равна вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в
предположении, что первое событие уже наступило

                            
 Р(АВ)= Р(А)∙РА(В)    или   Р(АВ)= Р(А)∙Р(В|А) 

где
РА(В) или Р(В|А) – условная вероятность события В при условии, что А
наступило. 

Пример1. В
урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем
второй.

Событие В –
появление белого шара при первом вынимании.

Событие А –
появление белого шара при втором вынимании.

Решение 

Очевидно,
что вероятность события А, если событие В произошло,
будет 

.
Вероятность события А при условии, что событие В 
не произошло, будет                  .

Пример2. У
сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик,
а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков –
конусный, а второй – эллиптический.

Решение

Вероятность
того, что первый валик окажется конусным (событие А):

Вероятность
того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В ), вычисленная в
предположении, что первый валик – конусный, то есть условная вероятность:

По
теореме умножения вероятностей, искомая вероятность:

Ответ: р
= 0,2333.

Дерево вероятностей

Если
в задаче описывается последовательность случайных опытов, и следующий опыт
зависит от исхода предыдущего, для разделения возможных сценариев развития
событий часто используют схему «дерево вероятностей»

Пример1. У
сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик,
а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков –
конусный, а второй – эллиптический.

Ответ: р
= 0,2333.

Пример2.
В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и
10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию
выйдет трамвай маршрута №1?

Решение

Пусть А —
событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1,  В —
маршрута №2.

Рассмотрим
все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): АА,
АВ, ВА, ВВ. Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым
выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события
совместны, то:

;

;

отсюда
искомая вероятность


Можно составить дерево вероятности и получить такой же результат.

Ответ:
р = 0,6

Пример3. В
волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода,
установившись утром, держится потом весь день. Известно, что с вероятностью 0,9
погода завтра будет такой же, как и сегодня. 9 мая погода в Волшебной стране
отличная. Найдите вероятность того, что 12 мая в Волшебной стране будет
отличная погода.

Р=0,9∙0,9∙0,9
+ 0,9∙0,1∙0,1+0,1∙0,1∙0,9 +0,1∙0,9∙0,1=0,756

Ответ:
р = 0,756

Задания
для самостоятельного решения

Классическое
опре­де­ле­ние вероятности

1.       На эк­за­мен вы­не­се­но 60 во­про­сов, Ан­дрей не вы­учил 3
из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос.

2.        В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но
20 машин: 10 чер­ных, 2 жел­тых и 8 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из
машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность
того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси.

3.       На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с
виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность
того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

4.       В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те бро­са­ют две иг­раль­ные
кости. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 8 очков. Ре­зуль­тат
округ­ли­те до сотых.

5.       В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют
два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно один раз.

6.       В
чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 20 спортс­ме­нок: 8 из Рос­сии, 7
из США, осталь­ные — из Китая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки,
опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка,
вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Китая.

7.       В
сред­нем из 1000 са­до­вых на­со­сов, по­сту­пив­ших в про­да­жу, 5 под­те­ка­ют.
Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный для кон­тро­ля
насос не под­те­ка­ет.

8.       Фаб­ри­ка
вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 100 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся во­семь
сумок со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная
сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

9.       В
со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 4 спортс­ме­на из Фин­лян­дии,
7 спортс­ме­нов из Дании, 9 спортс­ме­нов из Шве­ции и 5 — из Нор­ве­гии. По­ря­док,
в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность
того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Шве­ции.

10.   На­уч­ная
кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 75 до­кла­дов —
пер­вые три дня по 17 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между
чет­вер­тым и пятым днями. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой.
Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным
на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

11.   Перед
на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют
на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те
участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 участ­ни­ков из Рос­сии,
в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре
Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии?

12.   В
чем­пи­о­на­те мира участ­ву­ют 16 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить
на че­ты­ре груп­пы по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку
лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4,
4, 4. Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность
того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе?

13.   На кла­ви­а­ту­ре
те­ле­фо­на 10 цифр, от 0 до 9. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но на­жа­тая
цифра будет чётной?

14.   Ка­ко­ва
ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 10 до
19 де­лит­ся на три?

15.   В груп­пе
ту­ри­стов 5 че­ло­век. С по­мо­щью жре­бия они вы­би­ра­ют двух че­ло­век, ко­то­рые
долж­ны идти в село за про­дук­та­ми. Ту­рист А. хотел бы схо­дить в ма­га­зин,
но он под­чи­ня­ет­ся жре­бию. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что А. пойдёт в ма­га­зин?

16.   Перед
на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить,
какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Физик» иг­ра­ет три матча с
раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Физик»
вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

17.   Иг­раль­ный
кубик бро­са­ют два­жды. Сколь­ко эле­мен­тар­ных ис­хо­дов опыта бла­го­при­ят­ству­ют
со­бы­тию «А = сумма очков равна 5»?

18.   На
рок-фе­сти­ва­ле вы­сту­па­ют груп­пы — по одной от каж­дой из за­яв­лен­ных
стран. По­ря­док вы­ступ­ле­ния опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность
того, что груп­па из Дании будет вы­сту­пать после груп­пы из Шве­ции и после
груп­пы из Нор­ве­гии? Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Теоремы о ве­ро­ят­но­стях событий

  1. Две фаб­ри­ки вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вые стек­ла
    для ав­то­мо­биль­ных фар. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 45% этих сте­кол,
    вто­рая — 55%. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 3% бра­ко­ван­ных сте­кол,
    а вто­рая — 1%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное
    в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным.
  2. Если гросс­мей­стер А. иг­ра­ет бе­лы­ми, то он
    вы­иг­ры­ва­ет у гросс­мей­сте­ра Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,52. Если А. иг­ра­ет
    чер­ны­ми, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Гросс­мей­сте­ры
    А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, при­чем во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет
    фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.
  3. На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ни­ку
    достаётся один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность
    того, что это во­прос на тему «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,2. Ве­ро­ят­ность
    того, что это во­прос на тему «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,15. Во­про­сов,
    ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те
    ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос
    по одной из этих двух тем.
  4. В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та
    про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся
    кофе, равна 0,3. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах,
    равна 0,12. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся
    в обоих ав­то­ма­тах.
  5. Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням.
    Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те
    ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни,
    а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.
  6. В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та.
    Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с ве­ро­ят­но­стью 0,05 не­за­ви­си­мо
    от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один
    ав­то­мат ис­пра­вен.
  7. По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми.
    Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те
    ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.
  8. Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский
    чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,97. Ве­ро­ят­ность того, что он
    про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того,
    что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.
  9. Аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет ку­ри­ные яйца в двух до­маш­них
    хо­зяй­ствах. 40% яиц из пер­во­го хо­зяй­ства — яйца выс­шей ка­те­го­рии,
    а из вто­ро­го хо­зяй­ства — 20% яиц выс­шей ка­те­го­рии. Всего выс­шую
    ка­те­го­рию по­лу­ча­ет 35% яиц. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что яйцо,
    куп­лен­ное у этой аг­ро­фир­мы, ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства.
  10. Ков­бой Джон по­па­да­ет в муху на стене с ве­ро­ят­но­стью
    0,9, если стре­ля­ет из при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра. Если Джон стре­ля­ет
    из не ­при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра, то он по­па­да­ет в муху с ве­ро­ят­но­стью
    0,2. На столе лежит 10 ре­воль­ве­ров, из них толь­ко 4 при­стре­лян­ные.
    Ков­бой Джон видит на стене муху, на­уда­чу хва­та­ет пер­вый по­пав­ший­ся
    ре­воль­вер и стре­ля­ет в муху. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Джон
    про­махнётся.
  11. В кармане у Пети было 4 монеты
    по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3
    монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые
    монеты лежат в одном кармане.
  12. Чтобы
    по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «Лингвистика», аби­ту­ри­ент
    должен на­брать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каж­до­му из трёх
    предметов — математика, рус­ский язык и ино­стран­ный язык. Чтобы по­сту­пить
    на спе­ци­аль­ность «Коммерция», нужно на­брать не менее 70 бал­лов по каж­до­му
    из трёх предметов — математика, рус­ский язык и обществознание.

Вероятность
того, что аби­ту­ри­ент З. по­лу­чит не менее 70 бал­лов по математике, равна
0,6, по рус­ско­му языку — 0,8, по ино­стран­но­му языку — 0,7 и по
обществознанию — 0,5.

Найдите
ве­ро­ят­ность того, что З. смо­жет поступить хотя бы на одну из двух упо­мя­ну­тых
специальностей.

  1. В Волшебной
    стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода,
    установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с
    вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3
    июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6
    июля в Волшебной стране будет отличная погода.
  2. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт
    в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на
    каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз.
    Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой
    вероятностью паук придёт к выходу     D.

Ответы к задачам по теме

«Классическое опре­де­ле­ние
вероятности»:

  1. 0,95.
  2. 0,4.
  3. 0,25.
  4. 0,14.
  5. 0,5.
  6. 0,25.
  7. 0,995.
  8. 0,93.
  9. 0,36.
  10. 0,16.
  11. 0,36.
  12. 0,25.
  13. 0,5.
  14. 0,3.
  15. 0,4.
  16. 0,375.
  17. 4.
  18. 0,33.

Ответы к задачам по теме

 «Теоремы о ве­ро­ят­но­стях событий»:

  1. 0,019.
  2. 0,156.
  3. 0,35.
  4. 0,52.
  5. 0,02.
  6. 0,9975.
  7. 0,91.
  8. 0,08.
  9. 0,75.
  10. 0,52.
  11.  0,4
  12. 0,408.
  13.  0,392.
  14. 0,0625.
Источник

Сборник задач по теории вероятностей

(с решениями)

Разработка предназначена для   учащихся  9–11  классов для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.

УМК любой

Цель: показать решение типовых задач по данной теме, закрепить умение учащихся решать данные задачи, подготовить учеников к сдаче ОГЭ и ЕГЭ

Методические рекомендации по использованию ресурса:                    Работу можно применить:

  • при проведении урока по систематизации и закреплении знаний учащихся
  • при проведении консультаций.

Источники информации:                                                       Открытый банк ЕГЭ ФИПИ  http://fipi.ru/                                                       

Теория вероятностей

Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов: Р (А) =  
где n — общее число равновозможных исходов, m — число исходов, благоприятствующих событию A.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий и  
   Объединение несовместных событий
Два события A и B называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A, так и событию B.
Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий  A и B:               P(A U B) =P(A) + P(B)                          

Пересечение независимых событий
Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Событие C называют пересечением событий A и B                     (пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба события A и B.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей  событий A и B:
 P(A∩B) = P(A) • P(B)

Формула сложения вероятностей совместных событий:

                           P(A U B) =P(A) + P(B)  – P(A∩B)

1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.
 Решение.  При выборе телевизора наугад возможны 1000 исходов, событию A «выбранный телевизор — бракованный» благоприятны 5 исходов. По определению вероятности                       P(A) = 5÷1000 = 0,005. Ответ: 0,005.

2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?                                                                       Решение. Общее число исходов равно числу шаров: 9 + 6 + 5 = 20. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 6. Искомая вероятность равна 6÷20 = 0,3.  Ответ: 0,3.

 3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

Решение. Вероятность события равна отношению количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприятными случаями являются 3 случая, когда игру начинает Петя, Игорь или Антон, а количество всех случаев 6. Поэтому искомое отношение равно 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m  = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек) по определению вероятности         Р= 4: 16 = 0,25. Ответ:0,25

5.  В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Решение. Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 9:20 = 0,45. Ответ: 0,45.

 6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку? 

Решение. На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных, всего их 1005. Вероятность купить исправную лампочку будет равна доле исправных лампочек на каждые 1005 лампочек, то есть  1000:1005=0,995.Ответ: 0,995.

7. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт  в магазин? 6 : 8=0,75.

8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?

Решение. Каждая команда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не   попадает в группу равна 1-0,25=0,75. Ответ:0,75

9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы.                                                                                               Решение. Всего 26 мест. Пусть Коля займет случайное место в любой группе. Останется 25 мест, из них в другой группе 13. Исходом считаем выбор места для Толи. Благоприятных исходов 13. Р=13/25 = 0,52. Ответ:0,52                                                                     

10. В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.                                                                    Решение. Если Сергею первому досталось некоторое место, то Олегу остаётся 15 мест. Из них 3 — в той же группе, где Сергей. Искомая вероятность равна 3/15. Ответ:0,2                                                                                                     

11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.                                                                                                        Решение. Пусть один из друзей  находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг  окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3.          Ответ: 0,3

12. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России? 6:15=0,4. Ответ:0,4.                                                                       

13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России?   2: 25=0,08. Ответ: 0,08.

14. В классе 26 учащихся, среди них два друга —   Сергей и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе. Ответ  12 : 25 = 0,48.

15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу. Ответ 6 : 20 = 0,3.

16. В классе 21 учащийся, среди них две подруги — Аня и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.             Ответ: 2: 20 = 0,1.                                                     

17. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.                                                      Ответ. 6 : 12= 0,5 ( 6 делений между 12 и 7, всего 12 делений)

18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов. 3:12 = 0,25

 При решении задач с монетами число всех возможных исходов можно посчитать по формуле  п=2ª, где α –количество бросков

19.   В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.

Решение. Всего возможны четыре исхода: решка-решка, решка-орёл, орёл-решка, орёл-орёл. Орёл выпадает ровно один раз в двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз равна  2:4=0,5.  Ответ: 0,5.

20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу. Ответ: 1:4=0,25

21. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.  Решение. 1:8=0,125  Ответ. 0,125                                                                                    

22. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.                                                                           Решение. Составим список возможных вариантов. Бросают 2 раза может выпасть О — Орел, Р — Решка:
ОО, ОР, РО, РР. Всего 4 исхода из них только один случай удовлетворяет условию.   Вероятность (P) = 1 / 4 = 0.25.   Ответ: 0.25

23. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.                                                                            Решение. Всего исходов   = 16, благоприятных  1 ( ОООО).  1:16 = 0,0625. Ответ: 0,0625                                                                                     

При решении задач с кубиками число всех возможных исходов можно посчитать по формуле  п=6ª, где α –количество бросков 

24. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков.                                                                                                          Решение. При бросании кубика равновозможных  шесть различных исходов. Событию «выпадет нечётное число очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 3 или 5 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет нечётное число очков равна 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

25.  Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3.

Решение. При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет не больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна  3:6=0,5 Ответ: 0,5.                                                                  

26. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

Решение. При бросании кубика 6²= 36 различных исходов. Событию «выпадет больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков , благоприятных исходов 9 (4,4; 4,5; 4,6; 5,4; 5,5; 5,6;  6,4; 6,5; 6,6.)                       Ответ: 9: 36 = 0,25.

27. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.                                      Решение. При бросании кубика 6³= 216  различных исходов, благоприятных  14.  14 : 216 = 0,07.  Ответ: 0,07.     

28.   Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

Решение. Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каждое пятое их них, то есть таких чисел 900:5=180. Вероятность того, что Коля выбрал трехзначное число, делящееся на 5, определяется отношением количества трехзначных чисел, делящихся на 5, ко всему количеству трехзначных чисел: 180:900=0,2.  Ответ: 0,2.

29.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?

Решение. Всего было подготовлено 50 билетов. Среди них 9 были однозначными. Таким образом, вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер равна 9:50=0,18. Ответ: 0,18.

30. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?

Решение. Всего в мешке жетонов — 50. Среди них 45 имеют двузначный номер. Таким образом, вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число равна  45 : 50 = 0,9.  Ответ: 0.9. 

31. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на 3?                                           3 : 10 = 0,3.  Ответ: 0,3.

Противоположные события.

32.  Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение. Вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна 1 − 0,19 = 0,81.  Ответ: 0,81.

  33. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C     равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше.  Ответ. 1-0,87=0,13                                    

34. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. Ответ: 0,035.

Несовместные и независимые события.                                                 35. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.                                          Решение. Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P=0,6+ 0,1 = 0,7.  Ответ: 0,7.

36. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение. Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:  P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Ответ: 0,07.

                                                                                                                       37. Вероятность того, что на тесте по химии учащийся П. верно решит больше 8 задач, равна 0,48. Вероятность того, что П. верно решит больше 7 задач, равна 0,54. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 8 задач. Решение. Вероятность решить несколько задач складывается из суммы вероятностей решить каждую из этих задач. Больше 8:  решить 9-ю, 10-ю … Больше 7:  решить 8-ю, 9-ю, 10-ю …Вероятность решить 8-ю = 0,54-0,48=0,06.  Ответ:0.06

38. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?    Ответ: 4 : 10 = 0,4.

 39. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна 0,8•0,8•0,8•0,2•0,2=0,02048.  Ответ:0.02048.

40. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.   Ответ: 0,91.

41. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение. Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.   Ответ: 0,8836.

42.   Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.   Ответ: 0,156.

43.   В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна                       (0,3)³ = 0,027.    Ответ: 0,027.

   44. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и  В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и  В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).

 Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.Ответ: 0,38.

45. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

 46.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года». События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:  P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B)

 откуда, используя данные из условия, получаем     0,97 = P(A) + 0,89.Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.   Ответ: 0,08.

 

 47. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;  P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

 P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.   Ответ: 0,392.

48. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. 

Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975.

 49. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим событиеА = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52. Ответ: 0,9975.

50. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение. Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.  Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.                       Ответ: 0,019.

51. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ. 0,52

 

 52. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику: 0,6·0,8·0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию: 0,6·0,8·0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на «Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6·0,8·0,7·0,5 = 0,168. Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию» — события совместные, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Тем самым, поступить на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408.  Ответ: 0,408.

53. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет- магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.                                                                                          Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.  Ответ: 0,02.

54.Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.   Ответ: 0,125.

  

55. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение.  Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: Р(А)=0,9•0.05=0,045;                                         Р(В)= 0,01•0,95=0,0095  ,Р(А+В)=Р(А)(В)=0,045+0,0095=0,0545.

 Ответ:0,0545.

  56. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,02•0,99+0,98•0,01=0,0198+0,0098=0,0296 Ответ: 0,0296.

 57. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:  P (A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.   Ответ: 0,91.

58.Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.

Решение. Рассмотрим все возможные исходы жеребьёвки.

 · КомандаА в матче в обоих матчах первой владеет мячом.

 · КомандаА в матче в обоих матчах не владеет мячом первой.

 · КомандаА в матче с командой В владеет мячом первой, а в матче с командой С — второй.

 · КомандаА в матче с командой С владеет мячом первой, а в матче с командой В — второй.

Из четырех исходов один является благоприятным, вероятность его наступления равна 1:4=0,25. Ответ: 0,25.

59. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение. Вероятность промаха равна 1 − 0,5 = 0,5. Вероятность того, что стрелок первые три раза попал в мишени равна 0,53 = 0,125. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала три раза попадает в мишени, а четвёртый раз промахивается равна 0,125 · 0,5 = 0,0625.     Ответ: 0,0625.

60. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Байкал» играет по очереди с командами

«Амур», «Енисей», «Иртыш». Найти вероятность того, что команда «Байкал» будет первой  владеть мячом только в игре с «Амуром».

Решение. Монету бросают 3 раза.

Для команды «Байкал» возможные исходы в трех бросках {О О О},{Р О О}, {О Р О}, {О О Р},                  {Р Р О},{Р О Р}, {О Р Р},{Р Р Р}. Всего исходов 8, благоприятныx1(выпадение орла в первой игре)  {О Р Р, 1:8=0,125.Ответ 0,125.

61.У Пети в кармане лежат  шесть монет: четыре монеты по рублю и две монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность  того, что теперь две двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

 Решение. Пронумеруем монеты: рублевые – 1, 2, 3, 4;  двухрублевые – 5, 6. {123} {124} {125} {126} {134} {135} {136} {145} {146} {156} {234} {235} {236} {245} {246} {256} {345} {346} {356} {456} 

 n = 20     – число всех исходов .Взять три монеты можно так: (числа в порядке возрастания,чтобы не пропустить комбинацию)  m = 8  – число благоприятных  исходов

(комбинации, в которых монеты 5 и 6 (двухрублевые) не взяты или взяты обе. 8:20=0,4

Источник

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.

Решение:

Найдем количество желтых автомобилей:

$50-35=15$

Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$

Ответ:$0,3$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.

Решения:

Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.

Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.

События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

$Р=0,15·0,12=0,018$

Ответ: $0,018$

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

$Р = 0,3+0,18=0,48$

Ответ: $0,48$

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.

Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$

В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.

Решение:

Обозначим события, пусть:

$А$ = кофе закончится в первом автомате,

$В$ = кофе закончится во втором автомате.

Тогда,

$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,

$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.

События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$

Ответ: $0,88$

Источник

Настоящая статья посвящена подготовке к
решению пятой задачи, одной из наиболее
нетривиальных задач первой части единого
государственного экзамена. Проблема “насколько
глубоко” изучать теорию вероятностей во многих
учебных заведениях на данный момент остается
открытой. В пособии использованы задачи “от
составителей” из “открытого банка заданий”, а
также задачи из диагностических и тренировочных
работ МИОО.

Приложения 1 и 2 содержат подборку задач из
“открытого банка заданий”, а также ответы к ним.
Все задания разбиты на две группы: те, которые
целесообразно разобрать вместе с учащимися в
классе, и те, которые будут заданы на дом.

Приложения 3 и 4 содержат самостоятельные
работы, которые целесообразно провести после
детальной проработки задач из приложений 1 и 2, а
также после выполнения учащимися домашнего
задания по соответствующим разделам. Следующее
занятие начинается с ответов на вопросы учащихся
по предыдущему домашнему заданию, с разбора
задач, вызвавших наибольшие затруднения при
решении. После чего учащимся предлагается
написать работу по пройденному материалу.

Самостоятельные работы рассчитаны как на
учащихся общеобразовательных учреждений, так на
учащихся физико-математического профиля. За
каждую из проведенных работ выставляется оценка,
что послужит достаточной мотивацией для
наиболее полной и качественной домашней
проработки пройденного накануне материала.

Самостоятельные работы составлены в четырех
вариантах эквивалентной сложности, которые
удобно использовать для промежуточного контроля
знаний учащихся, отработки практических навыков
решения задач по теме “Элементы теории
вероятностей”. Кроме того, если у учащихся после
написания самостоятельной работы останутся
“белые пятна” по данной теме, то имеет смысл еще
раз разобрать не полностью усвоенный материал,
после чего предложить написать работу еще раз,
поменяв вариант.

Практика показывает, что учащиеся лучше
усваивают пройденный материал при использовании
данного комплекта работ.

Данное пособие также может быть использовано
для организации повторения при подготовке
учащихся старших классов к успешной сдаче
единого государственного экзамена по
математике.

Литература


  1. http://reshuege.ru – Образовательный портал для
    подготовки к экзаменам “Решу ЕГЭ. Математика”.
  2. Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В10. Элементы
    теории вероятностей.
  3. Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С., Захаров
    П.И. Подготовка к ЕГЭ по математике. Новая
    демонстрационная версия 2014.- Москва:
    “Издательство МЦНМО”, 2014.
  4. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В.
    Теория вероятностей и статистика. – М.: МЦНМО: ОАО
    “Московские учебники”, 2008.
  5. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И. В.
    Теория вероятностей и статистика: методическое
    пособие для учителя. – М.: МЦНМО: МИОО, 2008.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Источник

Теория вероятностней ЕГЭ по математике

07.01.2020

Полная подборка теории и заданий для подготовки к заданиями ЕГЭ, связанным с теорией вероятности. Конечно же, этот тип заданий встречается именно в профильной математике.

Этот тип заданий встречается в ЕГЭ по математике за всего года и времена :) Поэтому материал актуален (задание может лишь менять порядковый номер, но суть одна).

  • Сборник заданий с ответами по теории вероятностей

Документы

  • Сборник теории от А до Я про задания ЕГЭ по теории вероятности PDF
  • Супер-мега ШПАРГАЛКА по теории вероятности именно для ЕГЭ (Школа Пифагора, картинка)

Все основы теории вероятностей видеоурок

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

Источник

27 октября 2017

В закладки

Обсудить

Жалоба

Решение задач по теории вероятности

Методическое пособие для учащихся 11 классов (по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике).

→ tv-b.pdf
→ Практика по теме

Источник

Like this post? Please share to your friends:
  • Методичка добрая дорога детства вопросы экзамена по пдд скачать
  • Методичка для экспертов по оцениванию работ егэ по профильной математике
  • Методичка для экспертов егэ по истории
  • Методичка для егэ по русскому языку
  • Методичка для 23 задания егэ по обществознанию