Методика подготовки старшеклассников к егэ по математике

Методика подготовки к ЕГЭ по математике. Автор: Анна Георгиевна Малкова.

---

Внимание! Методика подготовки к ЕГЭ Анны Георгиевны Малковой защищена законом об авторских правах. Все материалы, находящиеся в данном файле, не подлежат воспроизведению в какой-либо форме или каким-либо образом без предварительного письменного разрешения ООО «ЕГЭ-Студия» и Анны Георгиевны Малковой. © 2017.

---

Методика подготовки к профильному ЕГЭ по математике Анны Малковой является результатом многолетнего опыта репетиторской и преподавательской работы. Анна Малкова преподает математику более 25 лет и за это время разработала целостную систему, включающую эффективные приемы объяснения той или иной темы школьной программы, пошаговое повышение мотивации учащихся и контроль достигнутых ими успехов.

Методика Анны Малковой рассчитана на обычного среднестатистического школьника и позволяет ему получить результат 90-100 баллов на ЕГЭ по математике профильного уровня за один учебный год подготовки.

Методика Анны Малковой предназначена для учителей, выпускающих 11 класс, преподавателей курсов подготовки к ЕГЭ и репетиторов, готовящих к ЕГЭ по математике.

Рассмотрим основные цели и задачи, стоящие перед репетитором-математиком (учителем, преподавателем), который готовит ученика к ЕГЭ или дополнительным вступительным экзаменам в вузы.

— Глобальная цель: пройти с учеником весь курс математики 10-11 класса. При необходимости – повторить отдельные темы или весь курс математики 5-9 класса.

Часто говорят, что репетитор «натаскивает» перед экзаменом, то есть сообщает, в каких задачах какие именно механические действия надо сделать, чтобы магическим образом получить ответ. Этот миф о репетиторах не имеет с реальностью ничего общего, и таким способом подготовить к экзамену невозможно.

Задача репетитора – не «натаскать перед экзаменом», а передать ученику полное и целостное понимание всего курса школьной математики. Не показать разрозненные приемы решения отдельных задач, а научить решать творчески и при этом математически грамотно любую экзаменационную задачу.

— При работе с учеником репетитору необходимо выявить пробелы, возникшие при изучении тех или иных тем в школе, и проработать эти темы наиболее тщательно.

К сожалению, старшеклассник, обучающийся в среднестатистической школе, практически всегда имеет такие пробелы и не скрывает, что некоторых тем в математике не понимает совсем.

Это связано с тем, что в разных школах преподавание математики ведется по различным программам, часто не состыкованным друг с другом. Смена учителя и тем более смена школы ведет к еще большей несогласованности пройденных тем.

— Одна из задач репетитора — дать навыки решения простых задач ЕГЭ быстро и без калькулятора.

Как показывает статистика, большая часть ошибок на ЕГЭ связана с арифметическими вычислениями. Именно из-за ошибок в вычислениях выпускник часто теряет драгоценные баллы и получает результат ниже, чем рассчитывал. Связано это с тем, что на уроках в школе и тем более при выполнении домашних заданий школьник привыкает пользоваться калькулятором, при этом часто забывая, как «в столбик» поделить одно число на другое.

— Следующая задача репетитора (преподавателя) — научить выпускника рассчитывать время на экзамене.

Профильный ЕГЭ по математике – фактически два экзамена в одном. Это и относительно простые 12 (в 2015 году — 14) задач части 1, или части В, которые можно считать выпускным экзаменом за курс средней школы, и 7 задач части 2 (которую еще недавно называли «Часть С»), которые по уровню сложности и требованиям к оформлению близки к традиционным задачам вступительных экзаменов в вузы. На все эти задачи дается 3 часа 55 минут. Это значит, что у ученика нет времени «изобретать» решение задачи на экзамене. Ему необходимо заранее знать все алгоритмы и нюансы решения каждой задачи, уметь доводить решение до результата, не бросая на полпути, уметь адекватно оценивать и проверять результат, а также следить за временем, зная, сколько минут можно потратить на решение тех или иных задач.

— Одна из важнейших задач репетитора (учителя, преподавателя курсов подготовки к ЕГЭ) — дать абитуриенту базу для дальнейшего освоения высшей математики и других связанных с математикой дисциплин при учебе в вузе.

Как правило, с поступлением абитуриента в вуз работа репетитора (учителя, преподавателя курсов подготовки к ЕГЭ) счастливо завершается, но на этом не заканчивается знакомство его ученика с математикой. Чем более качественной была подготовка к ЕГЭ, тем проще учащемуся, теперь уже студенту, будут даваться математический анализ, аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения, математическая статистика и другие изучаемые в вузе науки.

Методика Анны Малковой отвечает всем этим требованиям.

к оглавлению ▴

Основные принципы методики Анны Малковой:

— Любую тему школьной математики можно объяснить просто и понятно, сохраняя при этом необходимую математическую строгость изложения. Это особенно важно при изучении таких традиционно трудных для школьников понятий, как понятия алгебраических преобразований, арифметического квадратного корня, модуля числа, степени с действительным показателем, обратной функции и многих других.

— Изучение каждой темы начинается с основных понятий, определений, связи этих понятий с уже пройденными темами, иными словами – с нуля. Любой новый термин, который вводится в курсе, объясняется через уже известные ученику.

— Курс математики изучается как целостная система. При этом репетитор (преподаватель) знает, какое место займет данная тема в общей математической картине учащегося, когда она понадобится в будущем и как связана с темами, которые еще предстоит пройти.

— Каждая тема в авторском курсе Анны Малковой занимает свое определенное место, в соответствии с Авторской программой подготовки к ЕГЭ Анны Малковой. Перестановка тем, пропуск тем или разделов или добавление других тем являются отступлением от методики. Такой порядок тем обусловлен необходимостью построить систему знаний, прежде всего понятную для ученика, где каждый новый «уровень» логически опирается на предыдущие.

— Основа мотивации учащихся – небольшие ежедневные успехи в освоении математики и отсутствие «провалов», то есть непонятных или неподъемных тем. Программа Анны Малковой построена так, чтобы ученик, независимо от предыдущего уровня подготовки, видел результаты занятий с первых же пройденных тем. Тогда его мотивация становится выше, самооценка растет, и за счет этого недавний троечник, занимающийся по методике Анны Малковой, выходит на уровень 80-90 баллов ЕГЭ.

— Один из основных принципов методики Анны Малковой – понимание вместо зубрежки. Большинство математических понятий, которые в школе бессмысленно заучиваются, вводятся на понятном уровне, причем не изолированно, а как элементы системы, связанные и с пройденным ранее материалом, и с тем, который будет в дальнейшем.

— Освоение каждой темы предполагает решение 50-100 практических задач по данной теме. Часть из этих задач разбирается на занятиях, часть задается на дом или изучается самостоятельно по видеоматериалам и Годовому онлайн-курсу Анны Малковой.

— Методика подготовки к ЕГЭ Анны Малковой основана на традициях советской математической школы и прежде всего на системе обучения, принятой в МФТИ, и полностью адаптирована к задаче подготовки к ЕГЭ.

— Методика Анны Малковой рассчитана на учащихся общеобразовательной школы и отличается от обычной школьной программы прежде всего системностью и практичностью, при этом без ущерба для математической культуры и грамотности.

— Для качественного освоения методики Анны Малковой каждая тема сопровождается авторскими методическими материалами:

1) Книга «ЕГЭ по математике. Полный курс подготовки».
2) Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике (включает 9 мастер-классов по 8 часов + домашние задания).
3) Полный видеокурс для подготовки к ЕГЭ по математике (12 дисков на физических или электронных носителях).

к оглавлению ▴

Программа Полного курса подготовки к ЕГЭ по математике для учащихся групп «М-100».

Программа рассчитана на учащихся 11 класса, которые готовятся к ЕГЭ 1 год, с сентября по май, 4 часа в неделю на занятиях + самостоятельная подготовка. Начальный уровень – около 50-60 баллов. Начальный уровень определяется на входном тестировании. Результат по окончании курса: 80-100 баллов. Программа расписана по занятиям, из расчета: 2 занятия в неделю. Праздничные дни при этом являются учебными, каникулы с 30 декабря по 5 января.

к оглавлению ▴

Сентябрь.

Текстовые задачи на ЕГЭ по математике.

1. Задачи на проценты на ЕГЭ по математике.
2. Текстовые задачи на движение и работу.
3. Задачи на сплавы, смеси, растворы.
4. Задачи на движение протяженных тел, на среднюю скорость и движение по окружности.
5. Алгебраические задачи с физическим содержанием.
6. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.
7. Задачи с экономическим содержанием (подготовительные занятия).
8. Знакомство с нестандартными задачами на ЕГЭ по математике (С6).

Дополнительно: приемы быстрого счета без калькулятора. Приемы решения алгебраических уравнений и систем уравнений. Алгебраические преобразования.

Первый блок Полного курса подготовки к ЕГЭ традиционно посвящен алгебре. Курс начинается с тем «Задачи на проценты» и «Текстовые задачи». Это материал 5-8 класса, который чаще всего к 11 классу оказывается благополучно забытым.

Почему именно эти темы рекомендованы для старта в методике Анны Малковой?

Цели такой компоновки следующие:
— Повторить и улучшить основные математические навыки учащихся.
— Вспомнить (или заново освоить) навыки составления и решение уравнений. Построение математических моделей.
— Освоить навыки быстрого счета и проверки ответа. На ЕГЭ пользоваться калькулятором не разрешается, поэтому выпускнику надо уметь считать быстро без калькулятора.
— Повторить основные темы алгебры: арифметические действия, порядок действий, десятичные и обыкновенные дроби и действия с ними, решение квадратных и дробно-рациональных уравнений.

Темы «Текстовые задачи» и «Задачи на проценты» являются выгодными для репетитора и преподавателя. Их освоение сразу дает быстрые результаты. Здесь не требуется сложного математического аппарата. Достаточно нескольких простых правил, которые школьнику легко запомнить. Таким образом, уже с первых уроков работы по данным темам ученик получает заметный, измеримый результат. Даже если у него «никогда и ничего не получалось» или «ненавидел математику» — первый результат помогает учащемуся поверить в себя и повысить самооценку. При этом также растет авторитет преподавателя – поскольку объяснил то, что раньше было недоступным.

Задачи на сплавы, смеси, растворы – также выигрышная тема для преподавателя или репетитора. Из курса химии у старшеклассника эта тема чаще всего остается непонятной. Несколько простых приемов помогают освоить эту тему.

Задачи на движение протяженных тел, на среднюю скорость и движение по окружности – приятный бонус: решаются за счет знания нескольких «репетиторских секретов», которые трудно найти в учебниках. Такие «секреты» особенно любят и ценят школьники.

Теория вероятностей – тема, отсутствующая в большинстве школьных учебников и совсем недавно появившаяся в программе ЕГЭ по математике. Авторский курс Анны Малковой по теории вероятностей, свободно доступный в Интернете, на сегодняшний день наиболее популярный среди школьников и учителей по данной теме.

Задачи с физическим содержанием – тема, которую учащиеся 11 класса признают страшной. За исключением учащихся физмат школ, старшеклассники боятся «физики», часто не знают основных физических законов и от любых физических формул приходят в ужас. Конечно, включение задач с физическим содержанием в курс математики не может восполнить пробел в знаниях по физике, зато на примере этой темы можно отлично проиллюстрировать понятие функции как зависимости одной физической величины от другой по определенному закону. Часто такие задачи решаются с помощью графиков функций.

И наконец, на первом этапе репетитор (преподаватель) знакомит учащегося с отдельными и специально подобранными сложными задачами из части 2. Это задачи с экономическим содержанием, недавно появившиеся в ЕГЭ по математике, и нестандартные задачи (С6). Следует помнить, что это только первое знакомство, подготовительные занятия, которые тем не менее повышают самооценку ученика и помогают ему получить баллы за эти задачи на первом сентябрьском пробном ЕГЭ по математике.

к оглавлению ▴

Октябрь.

Геометрия и стереометрия на ЕГЭ по математике, часть 1.

1. Планиметрия, основные формулы. Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Вывод формулы площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.
2. Тригонометрия на ЕГЭ по математике. Определения синуса, косинуса, тангенса угла в прямоугольном треугольнике.
3. Внешний угол треугольника – как найти его синус, косинус и тангенс. Понятие смежных углов. Высота в прямоугольном треугольнике.
4. Определения медианы, биссектрисы, высоты. Простые геометрические построения. Сумма углов треугольника.
5. Краткий курс геометрии. Программа здесь.
6. Векторы на плоскости.
7. Стереометрия. Формулы объема и площади поверхности многогранников и тел вращения.
8. Все задачи по стереометрии из Первой части ЕГЭ по математике.

Планиметрия и тем более стереометрия – темы, по которым даже школьные хорошисты в начале курса подготовки к ЕГЭ показывают практически нулевые знания.

Геометрии и стереометрии в школьной программе по математике уделяется значительно меньше внимания, чем алгебре. Уроки геометрии и стереометрии учителя часто заменяют алгеброй, поскольку отдельного обязательного экзамена по геометрии в школе теперь нет.

Особенно катастрофически сказалось на изучении геометрии и стереометрии в школе то, что из школьной программы исчез такой предмет, как черчение, и только в первом-втором классе сохранилось рисование. При этом школьная программа по геометрии и стереометрии никак не скорректирована и не адаптирована к этим изменениям.

Изучение планиметрии в школьной математике в 7 классе начинается с аксиом и доказательства очевидных для ученика утверждений. Как правило, ученик уже на этом этапе перестает что-либо понимать. В 10 классе, опять с непонятных аксиом, начинается стереометрия.

Школьные учебники по геометрии и стереометрии авторов Погорелова и Атанасяна в целом лучше, чем учебники по алгебре. Однако они не рассчитаны на то мизерное количество часов, которое в школе отводится на изучение этих дисциплин. В них не всегда можно выделить главные, ключевые моменты, и сделать это может только высококвалифицированный учитель.

В авторском курсе Анны Малковой изучение геометрии начинается с темы «площади фигур». Формулы для площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции иллюстрируются простыми и наглядными примерами.

К сожалению, большая часть наших старшеклассников не понимает, что такое «длина отрезка» и как посчитать площадь квадрата. Методика Анны Малковой учитывает этот нулевой уровень владения навыками и помогает освоить геометрию начиная с самых основ.

Обязательным для изучения и запоминания является авторский комплект «шпаргалок», своего рода краткий конспект с рисунками, содержащий определения, формулы, основные свойства геометрических фигур.

Весь этот теоретический материал сразу же применяется на практике, при решении задач части 1 ЕГЭ.

На этом этапе вводятся также понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, основные формулы тригонометрии в прямоугольном треугольнике, формулы для тригонометрических функций смежных углов.

Подбор задач осуществлен строго по уровню сложности, для того чтобы результатом каждого занятия становился рост понимания и уверенности учащегося.

В этом же блоке, после изучения тригонометрии в прямоугольном треугольнике и основ геометрии, дается тема «Векторы на плоскости», традиционно сложная для школьников.

Аналогичным образом в методике Анны Малковой происходит изучение стереометрии.

Изучение стереометрии начинается со знакомства с основными типами многогранников и тел вращения, понятия объема и площади поверхности, формулы для вычисления объемов и площадей поверхности.

На этом этапе используются для наглядности объемные модели многогранников и тел вращения. То, что можно подержать в руках, повернуть и рассмотреть с разных сторон, оказывается для начинающего более понятным и применимым, чем оперирующие отвлеченными понятиями аксиомы.

В блоках «Геометрия, часть 2, задача С4» и «Стереометрия, часть 2, задача С2» эта тема получит дальнейшее развитие. Основное внимание в решении задач по геометрии и стереометрии части 2.

ЕГЭ по математике в методике Анны Малковой уделяется строгим математическим доказательствам и корректному решению и оформлению задач.

к оглавлению ▴

Октябрь — ноябрь.

Алгебра на ЕГЭ по математике, часть 1.

9. Корни и степени.
10. Понятие функции. Исследование графика функции. Понятия возрастания и убывания функции, нулей функции, промежутков знакопостоянства, точек максимума и минимума функции, четности и нечетности функции.
11. Квадратичная функция и квадратичные неравенства.
12. Дробно-рациональная функция и метод интервалов. Решение дробно-рациональных неравенств.
13. Модуль числа. Уравнения и неравенства с модулем.
14. Показательная функция. Показательные уравнения (часть 1 + задачи из классических сборников).
15. Логарифмы. Преобразования логарифмических выражений. Логарифмические уравнения (часть 1 + задачи из классических сборников).
16. Логарифмическая функция. Понятие обратной функции.
17. Задачи с физическим содержанием по пройденным темам.

Этот блок методики Анны Малковой посвящен понятию функции в математике – ключевому в курсе алгебры 10-11 класса.

В школьной программе тема «Функции» дана фрагментарно, начиная с линейной и квадратичной функций в 7 классе, причем семиклассники чаще всего воспринимают эту тему поверхностно, не понимая, зачем она нужна. Далее, при изучении других типов функций, в школе самому определению функции уже не уделяется достаточного внимания, поскольку формально его «прошли» в 7 классе. В итоге абитуриент, закончив общеобразовательную школу и став студентом, обычно не готов к изучению математического анализа и тоже заучивает его формально, чтобы только сдать сессию.

В методике Анны Малковой определение функции считается одним из важнейших во всей школьной программе. Оно дается несколькими способами, раскрывающими различные грани этого понятия. Показано практическое применение того или иного определения, а также их взаимосвязь.

После изучения показательных и логарифмических функций учащийся получает представление о 5 типах элементарных функций, с каждым из которых связаны определенные способы решения уравнений, о сложной и обратной функции, а также о построении (пока без производной) и преобразованиях графиков функций.

Темы этого блока методики Анны Малковой содержат максимальное, по сравнению с другими, количество строгих определений и математических формулировок, без знания которых ученик не может понять последующий материал. Это, например, определения модуля, арифметического квадратного корня, логарифма, точек максимума и минимума функции. К сожалению, большинство учителей и репетиторов либо пропускает эти определения, считая, что школьник «и так их знает», либо дает их в неточной формулировке.

Очевидно, что учитель (преподаватель, репетитор) обязан дать все эти формулировки, не пропуская и не модифицируя их, так же, как учитель русского языка должен передать ученику правила русского языка без собственных добавок и видоизменения.

Это определяет высокие требования к уровню математической культуры учителей и преподавателей, работающих по данной методике.

И закреплением темы являются задачи с физическим содержанием, теперь уже включающие в себя показательные, логарифмические и степенные зависимости одной величины от другой.

к оглавлению ▴

Тригонометрия на ЕГЭ по математике.

18. Определения синуса, косинуса, тангенса для произвольного угла.
19. Тригонометрический круг. Тригонометрические функции.
20. Формулы тригонометрии.
21. Тригонометрические преобразования. Простейшие тригонометрические уравнения.
22. Обратные тригонометрические функции и их графики.
23. Тригонометрические уравнения (часть 2).

Тема «Тригонометрия» базируется на знаниях, полученных в теме «Геометрия и стереометрия на ЕГЭ по математике. Часть 1» и начинается с повторения понятий тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. Для введения определений тригонометрических функций произвольного угла используется Тригонометрический круг – авторская разработка Анны Малковой. Конечно, тригонометрический круг не изобретен Анной Малковой, он существовал и раньше. Авторскими являются сам рисунок тригонометрического круга, порядок объяснения, иллюстрация с помощью тригонометрического круга основных закономерностей тригонометрии.

Особое внимание уделяется тому, что тригонометрический круг изображен в привычной школьнику декартовой системе координат, а также пониманию того, что уже известные тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике являются частным случаем тригонометрии для произвольного угла. С помощью тригонометрического круга объясняются понятия и правила, которые в школьной программе ученику часто приходится бессмысленно зубрить (или писать по ним шпаргалки). Эта удобная иллюстрация заменяет десяток таблиц.

Один из основных принципов методики Анны Малковой – минимум зубрежки, максимум понимания. В методике Анны Малковой такие понятия, как четность и нечетность тригонометрических функций, их периодичность, знаки тригонометрических функций в координатных четвертях не заучиваются бессмысленно, а объясняются с помощью тригонометрического круга.

По сравнению с другими методиками и особенно по сравнению с распространенными в интернете шпаргалками, в методике Анны Малковой дается минимальное количество (порядка 25 штук) формул тригонометрии, причем формулы разделены по смысловым блокам. Для тренировки в применении этих формул, кроме типичных заданий ЕГЭ на вычисление или преобразование тригонометрических выражений, даются также задачи из классических сборников – Сканави и других.

Особая тема – решение простейших тригонометрических уравнений и обратные тригонометрические функции. Здесь также применяется принцип методики Анны Малковой — минимум зубрежки, максимум понимания. В частности, формулы для решения простейших тригонометрических уравнений не заучиваются, как заклинания, а выводятся из простых соображений и определений. Тема «Обратные тригонометрические функции» является логическим продолжением темы «Обратная функция», пройденной в блоке 3 (Алгебра).

Завершение темы – решение тригонометрических уравнений. Здесь рекомендуется не ограничиваться только задачами ЕГЭ по тригонометрии и использовать также классические сборники для поступающих в вузы. Количество способов решения тригонометрических уравнений здесь больше, чем в программе общеобразовательной школы: кроме способов замены переменной, разложения на множители, сведения к квадратному уравнению и частных случаев введения дополнительного угла, дается также метод решения однородных уравнений, метод введения дополнительного угла в общем виде, метод оценки, универсальная тригонометрическая замена и другие методы. Все эти методы пригодятся учащемуся позже, при решении задач с параметрами (С5).

В последние годы в сборниках вариантов ЕГЭ по математике появились комбинированные задачи по тригонометрии, включающие в себя и показательные, и логарифмические, и тригонометрические компоненты. Это дает возможность повторить пройденные ранее темы «Показательные и логарифмические уравнения».

к оглавлению ▴

Декабрь.

Производная функции. Геометрический смысл производной.

24. Производная функции. Исследование функции с помощью производной.
25. Первообразная функции.

Тема «Производная функции» закономерно изучается после того, как учащемуся уже знакомы тригонометрические функции. Точнее, к этому моменту учащийся уже знаком со всеми пятью типами элементарных функций: степенными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими и обратными тригонометрическими, знает особенности их графиков, а также знаком с основными характеристиками поведения функции, такими, как возрастание и убывание функции, точка минимума и точка максимума, наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Также к этому моменту ученик владеет методом интервалов и знает, как находить промежутки закон постоянства дробно-рациональной функции.

В общеобразовательной школе понятие производной обычно вводится как «предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю». Естественно, обычный старшеклассник (а иногда и учитель) всего этого заклинания запомнить не может, смутно представляет себе, что такое приращение, вообще не понимает, что такое предел, а в итоге как-то укладывает в свою голову, что «производная – это штрих» и худо-бедно зазубривает таблицу производных.

В методике Анны Малковой понятие производной функции дается на основе геометрического смысла производной – как скорость изменения функции и как тангенс угла наклона, или угловой коэффициент касательной. Здесь также действует принцип «Понимание вместо зубрежки». Понятие предела функции при этом не вводится, поскольку эта непростая тема требует более высокого, чем у среднего старшеклассника, уровня математической подготовки.

Особое внимание уделяется связи поведения функции с поведением производной. Часто ученик не понимает, что это два разных объекта, и на этом построено множество задач-ловушек в вариантах ЕГЭ. Исследование поведения функции на отрезке, нахождение наибольших и наименьших значений функции – здесь везде есть свои нюансы, которые преподавателю, работающему по методике Анны Малковой, необходимо соблюдать в точности.

к оглавлению ▴

Стереометрия на ЕГЭ по математике.

26. Программа по стереометрии.
27. Классический метод решения задач по стереометрии.
28. Векторы в пространстве. Векторно-координатный метод.

Задача С2 (стереометрия) традиционно считается одной из самых сложных для учащихся 11 класса, и многие школьники за нее даже не берутся.

В методике Анны Малковой тема «Стереометрия, часть 2» начинается с подготовительной работы – изучения авторского краткого курса стереометрии, то есть основных определений, аксиом, теорем. Все разделы этого курса сопровождаются авторскими иллюстрациями, которые выдаются учащимся также в виде таблиц. Для наглядности дополнительно используются объемные модели многогранников и тел вращения.

Следующая подготовительная тема – методы построения сечений объемных тел и развитие пространственного мышления учащихся. При этом важно не просто нарисовать сечение, а описать его построение и положение вершин сечения относительно исходного объемного тела.

Для решения задач С2 в методике Анны Малковой даются два способа – классический и векторно-координатный.

В классическом способе особое внимание уделяется грамотному и математически корректному оформлению решения, строгому доказательству каждого утверждения, построению дополнительных чертежей и пошаговому сведению объемной, стереометрической задачи – к планиметрической.

Векторно-координатный способ дается в объеме школьной программы, без использования вузовских приемов аналитической геометрии, причем особое значение также имеет грамотное и математически корректное оформлению решения.

Учащиеся получают рекомендации по применению каждого из методов в тех или иных задачах.

к оглавлению ▴

Январь.

Неравенства на ЕГЭ по математике.

29. Неравенства на ЕГЭ по математике.
30. Показательные и логарифмические неравенства. (часть 2 ЕГЭ по математике).
31. Метод рационализации (замены множителя). Метод оценки.

Тема «Неравенства» (задача С3 на ЕГЭ по математике) отличается обманчивой легкостью и рекордным количеством ошибок среди абитуриентов, причем они даже не подозревают, где именно их делают. Именно здесь возникает больше всего ситуаций типа «Я все сделал правильно и получил 0 баллов».

Именно здесь проходит граница между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в престижный вуз». Задача С3 многим открывает дорогу в вузы с профильной математикой и может считаться критерием профессионализма репетитора или учителя.

Без С3 становится недоступной и более сложная С5 (задача с параметрами).

В методике Анны Малковой даются приемы решения неравенств различных типов: иррациональных неравенств, неравенств с модулем, логарифмических и показательных неравенств. Показывается правильное оформление решений, что особенно важно для тех, кто сдает ЕГЭ и ДВИ на высокие баллы.

Особое внимание уделяется разбору типичных ошибок и отработке навыков правильного решения и оформления.

к оглавлению ▴

Февраль.

Геометрия на ЕГЭ по математике. Задача С4.

32. Что такое математическое доказательство. Задачи на доказательство.
33. Задачи части 2 ЕГЭ, Геометрия.

К решению задачи С4 (Геометрия, часть 2) учащиеся, занимающиеся по методике Анны Малковой, уже подготовлены. Ведь уже пройдены темы «Геометрия на ЕГЭ по математике, часть 1» и «Стереометрия на ЕГЭ по математике».

Перед тем, как перейти непосредственно к экзаменационным задачам, необходим подготовительный период – решение задач на доказательство. Для этого разработан специальный материал «Доказательство полезных фактов», где задачи на доказательство расположены по возрастанию сложности. Каждая из таких задач является схемой для решения реальных экзаменационных. Особое внимание уделяется методам доказательства и решения, таким, как удвоение медианы, перестроение чертежа, задаче о трех точках, лежащих на одной прямой, применению равенства и подобия треугольниках в задачах.

Геометрия многим учащимся представляется сложнее алгебры, потому что здесь нет готовых алгоритмов решения (как в теме 1 – текстовых задачах). Зато намного большее значение имеет система ассоциаций и умение комбинировать различные приемы решения.

к оглавлению ▴

Задачи с экономическим содержанием на ЕГЭ по математике.

34. Задачи с экономическим содержанием на ЕГЭ по математике.
35. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
36. Формулы для решения задач с экономическим содержанием.

Задачи с экономическим содержанием появились в ЕГЭ по математике совсем недавно, и даже многие учителя не знают, как к ним подойти.

Однако задачи такого типа считаются традиционными на олимпиадах по экономике, а также на 1 курсе экономического факультета МГУ и других вузов. Методика Анны Малковой дает способы решения таких задач, а также готовые формулы и приемы. Методические материалы по этой теме, как и по другим, постоянно дорабатываются, чтобы находиться в соответствии с последними тенденциями ЕГЭ по математике.

к оглавлению ▴

Март.

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике.

37. Элементарные функции и их графики.
38. Преобразования графиков функций.
39. Множества точек на плоскости. «Базовые» схемы решения. Окружность, круг, полуокружность, ромбик, сумма модулей, полуплоскость, полоса, отрезок.
40. Тренировочные задачи с параметрами.
41. Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами.
42. Графический метод решения задач с параметрами.
43. Метод симметрии, параметр как переменная и другие методы.

Методика Анны Малковой позволяет за короткие сроки научить абитуриентов решать такую традиционно сложную задачу, как С5 (задача с параметрами). Эта задача – из тех, о которых не пишут в школьных учебниках.

Необходимая подготовительная работа в изучении данной темы – это типы элементарных функций и их графики (5 типов), преобразования графиков функций (сдвиги, растяжения-сжатия, инверсии по горизонтали и вертикали), построение графиков сложных функций. Весь этот материал в программе средней школы дается фрагментарно и факультативно, или же не дается совсем.

От привычных функций одной переменной и их графиков происходит плавный переход к неявным функциям, задающих множества точек на плоскости. Учащийся знакомится с такими базовыми схемами решения задач с параметрами, как окружность, круг, полуокружность, ромбик, сумма модулей, полуплоскость, полоса, отрезок, и с уравнениями, задающими эти объекты на плоскости.

Методика Анны Малковой включает около 15 различных методов решения задач с параметрами, и все они изучаются в течение курса. Это и метод оценки, и критерии единственности решения квадратного уравнения, и метод симметрии, и многие другие.

к оглавлению ▴

Апрель.

Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике (С6).

44. Делимость. Признаки делимости. Деление с остатком.
45. Метод «Оценка плюс пример».
46. Реальные нестандартные задачи на ЕГЭ по математике.

Задача С6, последняя в вариантах ЕГЭ по математике, считается самой необычной. В учебниках для 10-11 класса нет даже намеков на существование таких задач.

Долгое время и школьники, и учителя просто боялись таких задач и не приступали к ним. О методах их решения не говорилось ничего, кроме «как-нибудь попробуйте догадаться сами». При этом методы решения задачи С6 существуют и успешно могут быть освоены, о чем свидетельствуют высокие результаты учеников Анны Малковой и других преподавателей, занимающихся этими задачами. Теоретической основной решения задачи С6 являются признаки делимости, приемы записи для деления с остатком, знание об арифметической и геометрической прогрессиях, в том числе целочисленных, основная теорема алгебры (о каноническом разложении натурального числа на множители).

Среди методов одним из основных является «Оценка плюс пример». Сложность С6 еще и в том, что эта задача подразумевает умение выражать свои мысли точным математическим языком, требует определенной математической культуры. Методика Анны Малковой дает ученику возможность решить С6 и понять, что это не задача для избранных, а реальный источник баллов на ЕГЭ.

к оглавлению ▴

Май.

Повторение всех тем и решение вариантов ЕГЭ.

Методика Анны Малковой отличается от многих других еще и тем, что решение вариантов ЕГЭ происходит на заключительном этапе, как итоговая тренировка. На первых этапах подготовки, пока большая часть тем еще не освоена, решение вариантов ЕГЭ может привести лишь к разочарованию учащихся в своих способностях. Это часто и бывает, когда ученик начинает занятия самостоятельно «по интернету» или занимается с неопытным репетитором.

Пробные ЕГЭ для учащихся, занимающихся по методике Анны Малковой, проводятся 1 раз в месяц, причем задачи, не пройденные к данному моменту, не обязательны для решения. На заключительном этапе подготовки обязательны все задачи.

Заключительная часть подготовки к ЕГЭ по методике Анны Малковой нацелена на тренировку решения варианта ЕГЭ без ошибок и в точно отведенное время. Не следует приступать к решению нескольких задач одновременно, так как результат при этом чаще всего нулевой.

к оглавлению ▴

Рекомендуемый хронометраж для учащихся, претендующих на 90-100 баллов ЕГЭ:

1. 20-25 минут – решение, проверка и запись ответов задач части 1 (1-12).
2. 50-60 минут – решение и оформление на чистовике задач 13-15 (С1, С2 и С3).
3. Теперь, когда обязательная программа выполнена, рекомендуется из задач №16-19 выбрать наиболее простую и знакомую, решить ее, проверить и полностью оформить. После этого переходить к решению следующей из оставшихся по тому же принципу.

к оглавлению ▴

Дополнения к Авторской методике Анны Малковой:

1. Программа синхронизирована с Годовым курсом подготовки к ЕГЭ по математике.
2. Каждая тема завершается контрольной работой или зачетом.
3. Материалы и ресурсы для подготовки:
1) Мастер-классы Анны Малковой;
2) Видеокурсы Анны Малковой;
3) Материалы для подготовки бесплатно;
5) Полезные сайты:

www.ege-study.ru — сайт Образовательной компании «ЕГЭ-Студия». В разделе «Материалы ЕГЭ» — полный курс математики. Просто, понятно, без «воды». Вся теория и разбором задач ЕГЭ по математике.

www.reshuege.ru — дистанционная обучающая система для подготовки к ЕГЭ по математике «РЕШУ ЕГЭ». Автор — Дмитрий Гущин. Тысячи заданий ЕГЭ с решениями и ответами.

www.alexlarin.net — сайт Александра Ларина, на котором постоянно публикуются варианты пробных и реальных ЕГЭ. Тренировочные варианты ЕГЭ с разбором на форуме.

к оглавлению ▴

Приложение к методике: Обучающие комплекты видеокурсов Анны Малковой «Получи пятерку» и «Премиум».

Видеокурсы «Получи пятерку» и «Премиум» являются авторскими методическими разработками Анны Малковой. Задача автора видеокурсов — объяснить каждую тему так, чтобы ученик понял, запомнил и смог применять на практике полученные знания.

1. Ученик, который смотрит видеокурс, не может задать автору вопрос, как на уроке. Это означает, что видеокурс должен быть для него максимально понятным. Для этого применены следующие принципы:

1) Чтобы максимально приблизиться к атмосфере урока (или занятия с репетитором), Анна Малкова пользуется обычной белой маркерной доской. Принцип «Учитель в кадре» считается предпочтительным.
2) При этом условия задач, как правило, выводятся на экран на специальных текстовых «плашках».
3) Монтаж видео позволяет оставить «за кадром» моменты написания на доске объемных математических преобразований или наоборот, стирания решенной задачи с доски. Это придает видеокурсу необходимую динамичность.
4) В видеокурсах Анны Малковой используются также средства компьютерной графики и анимации. Например, в ряде видеокурсов появляются забавные мультипликационные персонажи.

2. Есть также ряд чисто методических принципов, по которым построены видеокурсы. Вот некоторые из них:

1) Каждая задача в видеокурсе подобрана так, чтобы лучше всего проиллюстрировать определенную тему, или теорему, или математический прием.
2) Принцип «Одна сложность – в одну единицу времени». Например, при объяснении новой и сложной темы дается задача с максимально простыми вычислениями, чтобы внимание ученика было сконцентрировано именно на новой теме.
3) Еще один принцип. Вводя новое понятие или новый термин, обязательно объясняется, что он значит. Иначе непонятное слово оказывается барьером в восприятии.
4) Для того чтобы усвоить новую тему, необходимо повторение, причем не однократно, а несколько раз.
5) Комплект видеокурсов Анны Малковой построен по определенному принципу – каждая тема является фундаментом для следующей. При этом постоянно отмечаются взаимосвязи между различными разделами математики.
6) Особое внимание уделяется вычислительным приемам. Поскольку на ЕГЭ недопустимо пользоваться калькулятором, в первом же видеокурсе дается ряд приемов быстрого счета без калькулятора. Этими приемами Анна Малкова пользуется в каждом видеокурсе, специально акцентируя на них внимание.
7) Одной из основных проблем старшеклассников является неумение оформить решение задачи части С (части 2) так, как это необходимо для получения высокого балла на ЕГЭ по математике. В видеокурсах даются не только методы решения задач, но и полное, как на экзамене, математически грамотное оформление решения.

Для подготовки видеокурсов использованы как задачи ЕГЭ прошлых лет, так и множеством «классических» задач из сборников для поступающих в вузы. Результатом является полный спектр приемов и «инструментов» для успешного решения любой задачи ЕГЭ по математике.

---

Внимание! Методика подготовки к ЕГЭ Анны Георгиевны Малковой защищена законом об авторских правах. Все материалы, находящиеся в данном файле, не подлежат воспроизведению в какой-либо форме или каким-либо образом без предварительного письменного разрешения ООО «ЕГЭ-Студия» и Анны Георгиевны Малковой. © 2017.

---

к оглавлению ▴

Авторское право.

ДОКЛАД

Эффективные приемы и методы подготовки учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математики.

В основу построения рекомендаций положены принципы развития математического образования, определение приоритетных и перспективных направлений, а также анализ наиболее типичных ошибок, допущенных в решении заданий базового и профильного экзамена.

Возрастание роли математики в современной жизни привело к тому, что для адаптации в современном обществе и активному участию в нем необходимо быть   математически   грамотным   человеком.   В   связи   со   стратегическими направлениями   социально — ­экономического   развития   России   до   2020   года: «Приоритетной   государственной   задачей   является   обеспечение   качественного базового уровня математических и  естественнонаучных знаний у всех выпускниковшколы, не только будущих ученых, но и будущих квалифицированных рабочих…»           Каждый школьник в процессе обучения должен иметь возможность получить полноценную подготовку к выпускным экзаменам.           Формула успеха хорошо сдать экзамен ЕГЭ и ОГЭ по математике: Высокая степень восприимчивости + мотивация + компетентный педагог.

Практика показывает, что прорешивание открытых вариантов ЕГЭ прошлых лет не даёт ожидаемого эффекта. Разобрав вариант в классе, учитель даёт аналогичный вариант для домашнего разбора. После удачного разбора в классе домашний вариант не представляет большого труда, и у обучающегося и учителя складывается ложное впечатление, что подготовка идет эффективно и цель достигнута. Многократное повторение этих манипуляций не улучшает ситуацию. Когда участник на ЕГЭ получает свой вариант, он обнаруживает, что этот вариант он с учителем не решал. Привычка повторять разобранные ранее варианты часто идет во вред обучению.

Правильным подходом является систематическое изучение материала, решение большого числа задач по каждой теме – от простых к сложным, изучение отдельных методов решения задач. Разумеется, варианты подготовительных сборников, открытые варианты можно и нужно использовать в качестве источника заданий, но их решение не должно становиться главной целью; они должны давать возможность иллюстрировать и отрабатывать те или иные методы. В любом случае, при проведении диагностических работ следует подбирать задачи, прямые аналоги которых в классе не разбирались. Только так учитель может составить верное представление об уровне знаний и умений своих учеников.

Компенсирующее обучение в старших классах.

Часто мы сталкиваемся с ситуацией, когда главенствующим методическим принципом оказывается принцип «прохождения программы», – то есть программа должна быть пройдена во что бы то ни стало, невзирая на то, что содержание этой программы может не отвечать реальным возможностям и подготовке обучающихся.

С введением нового ФГОС, реализацией Концепции развития математического образования, принятием федеральных примерных образовательных программ по математике принцип прохождения программы приобретает новый смысл – обучающийся должен участвовать в посильной интеллектуальной математической деятельности, дающей осязаемые плоды обучения.

Компенсирующая программа как вариант базовой программы для старших классов даёт возможность учителю сделать уроки математики для наименее подготовленных обучающихся осмысленными. При этом появляется реальная возможность  эффективно  подготовить   обучающихся  к решению 8 – 10 заданий профильного ЕГЭ.

Практико-ориентированная математика.

Важной частью ЕГЭ по математике и современных программ являются задачи на применение математических знаний в быту, в реальных жизненных ситуациях. Это задачи на проценты, оптимальный выбор из предложенных вариантов, чтение данных, представленных в виде диаграмм, графиков или таблиц, вычисление площадей или других геометрических величин по рисунку, задачи на вычисление по формулам и т.п.

Круг практико-ориентированных задач в ЕГЭ постоянно расширяется; дополнительно к ним следует отнести задачи вероятностно-статистического блока.

Сложилась практика, когда к практическим задачам учитель приступает только в последний год перед сдачей ЕГЭ. К этому времени обучающиеся успели прочно забыть, как вычислять проценты, как находить площади фигур с помощью палетки или на клетчатой бумаге – все эти задачи для них оказываются новыми.

На протяжении всего периода обучения математике не следует отрываться от простых практических задач; их следует включать в блоки повторения в начале и конце учебного года, в текущий, внутришкольный контроль. Задачи на вычисление сумм налогов, процентов по банковскому вкладу или кредиту, другие задачи финансового характера должны стать постоянным инструментом на уроках математики, поскольку эти задачи связывают наш предмет с окружающим миром и повседневной жизнью.

Практико-ориентированные задачи по финансовой грамотности, геометрического плана, чтение таблиц и графиков нужно включать в изучение математики в средней и старшей школе. При этом характер и трудность задач могут меняться со временем, более того, это необходимо для органического вплетения практических тем в изучение теоретических вопросов. Например, задачи на вклады и кредиты органично возникают при изучении прогрессий, показательной функции и производных. Вычисление площадей по клеточкам очень часто помогает при изучении совершенно абстрактной, казалось бы, темы «первообразная и интеграл». Чтение простых графиков помогает понять и грамотно на качественном уровне применять производную.

Отдельную важную роль в сближении школьной математики с задачами окружающего мира играют вопросы вероятностей и статистики.

Теория вероятности и статистика.

В Концепции развития математического образования ТВ и статистика названы в числе перспективных и важных направлений развития школьной математики. С 2012 года задачи по ТВ формально включаются в КИМ ОГЭ и ЕГЭ. При этом учителя понимают, что те задачи, которые сейчас есть в открытом банке заданий и те, что включены в экзамен, в большинстве случаев сводятся к перечислению равновозможных исходов.

Ясно, что роль ТВ и статистики в школьной математике будет расти. Одновременно будет расширяться круг тем, подлежащих контролю.

При обучении математике следует больше внимания уделять темам вероятности и статистики, постепенно нарабатывая опыт преподавания этих разделов, которые оказываются наиболее практически направленными. Изучение вероятности и статистики требуется вести в тесной привязке к темам алгебры и геометрии, поскольку систематический подход к вопросам ТВ требует от обучающихся знаний о свойствах геометрической прогрессии преобразованиях многочленов, корнях и степенях, площадях фигур.

Таким образом, правильно выстроенное преподавание вероятности не отнимает время, а, напротив, поддерживает изучение традиционных разделов школьной математики. В 2012 – 2014 году задачи по ТВ, появившись в экзамене, вызывали большие трудности, и выполнение этих заданий редко поднималось выше 50%. В настоящее время ситуация изменилась. На данный момент медиана выполнения задания 4 – около 90%.

Некоторые эффективные приёмы обучения математике.

Остановимся подробнее на некоторых приёмах обучения математике, доказавших свою эффективность.

1) При решении задач одним из эффективных приёмов является использование примеров и образцов. Скажем, ученик получает задачу и готовое решение, которое он должен разобрать самостоятельно. Решение может быть дополнено советами, комментариями трудных или «опасных» моментов, другими способами решения и т.п. Когнитивная нагрузка в данном случае получает управляющий импульс и осуществляется в заданном направлении. Важным условием является выход на стратегию, которую можно будет применить в дальнейшем при решении широкого круга задач. Следующим этапом может стать работа не с готовым решением, а с заданным алгоритмом решения, который ученик должен самостоятельно применить к данной ему задаче. После этого можно провести решение полностью самостоятельно. Покажем это (без потери общности) на простой задаче.

Условие. Каждый из двух друзей одновременно показывает на руке случайное количество пальцев от 1 до 5. С какой вероятностью в сумме получится число 8?

Решение. Общее число исходов равно: 25. Благоприятными событию «получится в сумме число 8» будут исходы: 3 + 5, 5 + 3, 4 + 4. Вероятность события равна: 3/25 = 0,12. Ответ: 0,12.

Комментарий. Следует различать две комбинации, когда один из друзей показывает 3 пальца, а другой – 5 пальцев. Ответ можно записать как обыкновенной дробью, так и десятичной.

Задание для самостоятельного решения. Каждый из двух друзей показывает на руке случайное количество пальцев от 1 до 5. С какой вероятностью в сумме получится число 7?

Описанный приём может использоваться применительно к отдельному заданию, однако из таких заданий – с решениями и комментариями – можно составить тематическую проверочную работу, которую можно использовать и в рамках подготовки к экзамену. Решения могут быть написаны учителем самостоятельно, могут быть взяты из публикуемых сборников для подготовки к ЕГЭ, а также из материалов журнала «Математика» или других источников.

2) Весьма эффективно использование при решении задач подсказок,  то есть некоторой дополнительной информации, которая дается ученику после (что важно!) того, как он начал работать над задачей. Чем определеннее подсказка,  тем больше  из нее можно  извлечь.  Фразы: «Хорошо подумай», «Внимательно прочти условие задачи», «Подумай о других способах решения» подсказками не являются, поскольку они никак не направляют ход мысли и не помогают найти решение.

Пример. Решите уравнение.

Подсказка. Можно применить формулу синуса суммы двух углов. Подсказкой может быть похожая задача, которая решалась недавно, указание на конкретный метод. Всегда полезно использовать результаты, методы уже решённых задач, а также опыт, приобретенный при решении. Это широко используется в школьном курсе геометрии, где многие важные геометрические факты, которыми целесообразно пользоваться при решении других задач, даны не в виде утверждений (теорем), а в виде задач. Кроме того, это возможность использования еще одного метода – аналогии.

При решении тригонометрических уравнений подсказкой может быть определённая формула, а при решении логарифмического уравнения – свойство логарифма. Полезно учить пользоваться подсказками, искать их самостоятельно, а также учить давать подсказки.

3) При обучении решению сложных или трудоёмких в плане вычислений и преобразований задач полезно использовать групповые формы работы, а в качестве приёма – мозговой штурм. Основные принципы мозгового штурма: на первом этапе – предложение как можно большего количества решений, без оценки их применимости, рациональности и проч., на втором – анализ и вывод о целесообразности предложенного, выбор наиболее удачных идей и предложений. Ценность приема – в стимулировании поисковой активности на первом этапе и критичности мышления на втором. Хорошо применим данный прием при поиске различных способов решения геометрических задач и тригонометрических уравнений.

4) При решении текстовых задач важным приёмом, необходимым для усвоения, является переформулирование условия, отношений, связывающих входящие в задачу величины. Ниже приводится пример такой задачи из варианта профильного экзамена.

«Задание 11. Заказ на изготовление 323 деталей первый рабочий выполняет на 2 ч быстрее, чем второй. Сколько деталей изготавливает первый рабочий, если известно, что он изготавливает на 2 детали больше второго?»

Данную задачу экзаменуемые решили существенно хуже, чем аналогичную задачу с более привычной и хорошо отработанной фабулой, связанной с движением двух велосипедистов.

Умение переформулировать условие важно и при решении нестандартных  задач,  то  есть  таких,  метод  решения  которых   ученику   не известен, не изучался и не отрабатывался на уроках.

Ещё более актуально это умение при решении практико- ориентированных задач, представляющих собой некоторую ситуацию из реальной жизни, которую необходимо преобразовать и описать на языке математики (то есть самостоятельно сформулировать задачу). В самом простом случае основа задачи будет следующая: за лестницей, которую прислонили к стене дома, надо распознать прямоугольный треугольник, гипотенузой которого и будет данная лестница.

5).В связи с введением обязательного ЕГЭ и ОГЭ по математике возникает необходимость научить учащихся решать быстро и качественно задачи базового уровня. При этом необыкновенно возрастает роль устных

 вычислений, так как   на   экзамене   не   разрешается   использовать   калькулятор   и   таблицы.   Можно научить   учащихся   выполнять простейшие (и   не   очень)   преобразования   устно. Конечно,  для   этого   потребуется   организовать   отработку   такого   навыка   до автоматизма,

 на каждом уроке необходимо отводить 5 — ­7 минут для проведения упражнений устных вычислений, предусмотренных программой каждого

класса. Устные упражнения активизируют мыслительную деятельность учащихся, требуют осознанного усвоения учебного материала; при их выполнении

 развивается память, речь, внимание, быстрота реакции.

Если в 5 — ­6 классах устный счет – это выполнение действий с числами:

 натуральные числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби, то в старших

 классах – это могут быть:

7 класс:   Формулы   сокращенного   умножения.   Решение   простейших   ЛУР.   Действия со степенью. График линейной

 функции.

8 класс:   Линейные неравенства и числовые промежутки. 

Решение простейших линейных неравенств. Решение КВУР с помощью

 теоремы Виета и частных случаев.  Решение КВУР   рациональными   способами.   Арифметический   квадратный   корень   и   его свойства. 9 класс: Решение неравенств 2 степени. Преобразование графиков функций.  Формулы приведения. Значения тригонометрических функций.

10 — 11 классах: Вычисление   производных.   Простейшие   тригонометрические   неравенства. Тригонометрические   формулы.   Простейшие   тригонометрические   уравнения. Функции,   обратные  тригонометрическим.   Преобразование   графиков   функций. Вычисление   первообразных.   Свойства   логарифмов.   Простейшие   показательные уравнения

 и неравенства. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства. Практика   показала,   что   систематическая   работа   с   устным   счетом способствует   значительному   повышению   продуктивности   вычислений   и преобразований.   Сокращается   время   на   выполнение   таких   операций,   что переводит   их   из   разряда   самостоятельной   задачи   в   разряд   вспомогательной   и становится инструментом (“таблицей

 умножения”) для решения более сложных задач.                         Учитель по математике, знающий, с чем придется столкнуться школьнику на экзамене,   кроме   фундамента   уделяет   большую   часть   времени   на   занятии отработке вопросов специфики ЕГЭ и ОГЭ.                Правильность оформления заданий,  тактика   и  стратегия   решения   в условиях  дефицита   выделенного   времени  на   экзамене,   а   также   банальная невнимательность. Эти и масса других особенностей составляют

 суть специфики.          Для эффективной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ нужна тренировка, тренировка и еще раз тренировка. Довести решение задач до автоматизма.

Развитие геометрических представлений

Процент выполнения экзаменующимися геометрических заданий традиционно ниже, чем процент выполнения заданий алгебраических. Одна из основных причин – недостатки в формировании пространственного мышления учащихся. Массово эта проблема проявилась с уходом из общего образования такого учебного предмета, как черчение, и вряд ли стоит ожидать его возвращения – профессия конструктора перестала быть столь массово востребованной с приходом компьютерных технологий.

Эта проблема легла на плечи учителей математики, однако решение её известно: непрерывное развитие геометрических представлений и геометрического воображения обучающихся с 1 по 11 класс; наглядная геометрия в 1–6 классах; больше внимания геометрическому моделированию и конструированию (из плоских и пространственных фигур), геометрическим чертежам, построениям, изображениям от руки и с помощью различных чертёжных инструментов, на нелинованной и клетчатой бумаге.

Это отнюдь не означает, что всю геометрию надо свести к наглядности и к работе руками. Определения и доказательства, логика и аксиоматика важны для современного человека и для изучения геометрии не менее, но надо понимать, что в развитии человека всему отводится свое время, а несформированное наглядно-образное мышление, которое должно быть основой и этапом на пути формирования логического мышления, просто мешает его формированию.

Если вернуться к этапу обучения в старшей школе, то целесообразно использовать любые приёмы и средства, которые способствовали бы визуализации предлагаемых обучающимся задач. Это не только построение чертежей по условию задачи (что непросто сделать при проблемах с пространственным воображением), это прежде всего различные предметные модели (полезно для каждой решаемой задачи иметь соответствующую ей модель-подсказку, чтобы использовать её для визуализации условия, поиска и проверки решения), компьютерные программы, позволяющие выполнять стереометрические чертежи.

Полезно выделить эту работу в отдельный тематический практикум, на котором обучающиеся тренировались бы в изображении и моделировании пространственных тел, построении чертежей по условию задачи (в различных ракурсах, выбирая наиболее удобный для поиска решения), можно также организовать данную работу в рамках проекта.

Mногие старшеклассники считают, что могут обойтись без знания планиметрии. Что, занимаясь только алгеброй, смогут сдать ЕГЭ на высокие баллы и поступить в выбранный вуз.

Работает ли эта стратегия?

Oтвет преподавателей-экспертов: нет, не работает. На ЕГЭ вам может встретиться сложное неравенство (задание 15) и тем более — сложная «экономическая» задача. Так было в 2018 году. И всё, баллов фатально не хватает! Тех самых баллов, которые можно было легко получить за планиметрическую задачу, не хватает для поступления!

Cтоит учесть, что задачи вариантов ЕГЭ по планиметрии и стереометрии бывают намного проще, чем по алгебре.

1) Cамое важное — правильная методика подготовки. Не нужно начинать с реальных задач ЕГЭ. Cначала — теория. Cвойства геометрических фигур. Oпределения и теоремы. Учить наизусть.

Лучшая тренировка на этом этапе — задания №3 и №6 из первой части ЕГЭ по математике

2) Задача 16 Профильного ЕГЭ по математике оценивается в 3 первичных балла и состоит из двух пунктов. Первый пункт — доказательство. Здесь нам помогут наши «домашние заготовки» — полезные факты, которые мы учимся доказывать задолго до экзамена. A на ЕГЭ остается только вспомнить и записать решение.

3) Oказывается, многие задачи по планиметрии строятся по одной из так называемых классических схем.

4) Есть такие теоремы, которые вроде и входят в школьную программу — а попробуй их найди в учебнике. Например, теорема о секущей и касательной или свойство биссектрисы.

5.) Любая задача из варианта ЕГЭ решается без сложных формул. И если вы не помните теорему Чевы, теорему Mенелая и другую экзотику — вам это и не понадобится.

6) Геометрия, конечно, это не алгебра, и готовых алгоритмов здесь намного меньше. Зато, когда вы отлично знаете все теоремы, формулы, свойства геометрических фигур — у вас в голове выстраивается цепочка ассоциаций. Например, в условии задачи дан радиус вписанной окружности. B каких формулах он встречается? — Правильно, в теореме синусов и в одной из формул для площади треугольника.

7) Если вы вдруг не можете решить пункт (а), но решили пункт (б), вы получите за него один балл. A это лучше, чем ничего. Но вообще пункт (а), как правило, бывает простым. Иногда вопрос в пункте (а) очень простой. И это не только для того, чтобы вы получили «утешительный» балл. Помните, что пункт (а) часто содержит подсказку, идею для решения пункта (б).

 Саморегуляция и обратная связь «ученик-учитель».

Известно, что эффективность обучения возрастает в случае самооценивания, поскольку ученик самостоятельно получает информацию о своих результатах, сам её анализирует, делает выводы о своем прогрессе, корректирует цели в случае необходимости. Но для этого необходимы критерии оценивания работы, которые должны быть у ученика не просто до начала выполнения конкретной работы, но желательно и в самом начале изучения темы. К сожалению, на практике более распространена ситуация, когда работа выдаётся ученику без критериев ее выполнения.

К саморегуляции относятся также вопросы, связанные с осознанностью знания и незнания. Объяснение учителя сродни лекционной форме предъявления новых знаний. В связи с этим подчеркнём важность обратной связи. Учитель должен получать сигналы от обучающихся: «Я понимаю, могу объяснить», «Я не уверен, правильно ли я понимаю», «Я не понимаю». Учитель может прервать своё объяснение вопросом к тем, кто  ещё не понял, предложением высказать свои сомнения тем, кто не уверен в понимании, предоставлением слова тем, кто всё понял.

Доказано, что обратная связь эффективна, если ученик получает сообщение о верно выполненных заданиях, а не только об ошибках, если он получает не просто маркеры, свидетельствующие о положительном результате, не просто похвалу за решённую задачу, а и некоторый содержательный комментарий. Этот комментарий может включать в себя такую оценку, как «рациональное решение», «интересная идея», «грамотная запись». Может быть отмечена актуальность проверки результата, удачное прохождение «ловушек» и «опасных» мест и т.п.

Обратная связь эффективна в случае, если она конкретна, то есть связана с известными ученику результатами и действиями, подлежащими усвоению. Важное значение имеет информированность ученика относительно того, чему он должен научиться, какие задания должен научиться решать, а какие может научиться решать для того, чтобы получить желаемое количество баллов на экзамене. Если ученик фиксирует и отслеживает сам, умеет ли он выполнять требуемое задание или нет, то минимизируется время на выполнение заданий, при этом работа становится более эффективной и рациональной. Отсюда необходимость в открытости предъявляемых требований к результатам обучения, а на этапе подготовки к экзамену – в ориентации на конечный запланированный результат.

И еще об одном факторе следует упомянуть – это повторяющееся тестирование. Уже имеющийся опыт российской школы и более продолжительный зарубежный опыт не позволяют говорить о нём, как об эффективном факторе. Положительные эффекты возникают только в тех случаях, когда учитель учитывает результаты тестирования для корректировки процесса обучения и приспосабливает методы обучения к возможностям конкретного ученика, учитывая его сильные и слабые стороны, или при условии содержательной обратной связи, с которой ученик может работать самостоятельно, то есть имеет возможность учиться на тестах.

Завершающие рекомендации.

Необходимо отметить, что создание ЕГЭ по математике базового уровня и появление акцента на использование математических знаний в реальных ситуациях были неверно истолкованы некоторыми учителями в качестве генеральной идеи обучения, что привело к поверхностному освоению обучающимися программы старшей школы. В частности, это зафиксировано и результатами экзамена: результаты выполнения заданий по темам курса старшей школы ниже результатов выполнения заданий из «реальной математики».

Для того чтобы успешно сдать ЕГЭ по математике, важно пройти всю программу целиком, а не только «то, что пригодится на экзамене», повысить свою культуру вычислений, то есть минимизировать использование калькуляторов, развивать умение читать графики, правильно использовать терминологию и учить формулы.

Для учащихся, которые могут успешно освоить курс математики средней (полной) школы на базовом уровне, образовательный акцент должен быть сделан на полное изучение традиционных курсов алгебры и начал анализа и геометрии на базовом уровне. Помимо заданий базового уровня в образовательном процессе должны использоваться задания повышенного уровня. Количество часов математики должно быть не менее 5 часов в неделю.

Для учащихся, которые могут успешно освоить курс математики полной (средней) школы на профильном (повышенном) уровне, образовательный акцент должен быть сделан на полное изучение традиционных курсов алгебры и начал анализа и геометрии на профильном уровне. Количество часов математики должно быть не менее 6–7 часов в неделю.

В первую очередь нужно выработать у обучающихся быстрое и правильное выполнение заданий части 1, используя, в том числе и банк заданий экзамена базового уровня. Умения, необходимые для выполнения заданий базового уровня, должны быть под постоянным контролем.

Задания с кратким ответом (повышенного уровня) части 2 должны находить отражение в содержании математического образования, и аналогичные задания должны включаться в систему текущего и рубежного контроля.

В записи решений к заданиям с развернутым ответом нужно особое внимание обращать на построение чертежей и рисунков, лаконичность  пояснений, доказательность рассуждений.

И в завершение необходимо отметить, что еще одним важным фактором является психологический климат в учебном коллективе: дружеские отношения среди одноклассников, спокойная рабочая атмосфера на уроке, методичная, прозрачная и последовательная подготовка к экзамену, доверительные отношения учителя с учениками, вера в достижение более высоких результатов и эмоциональная поддержка.

 На занятиях стараюсь создать атмосферу комфортности, 

взаимопонимания. На своих уроках я делаю   установку   на   то,   чтобы   любой   ребенок   должен   быть   понят   и   услышан учителем   и   соучеником:   учение   должно   проходить   в   «атмосфере непринужденности,   чтобы   дети   и   учитель   свободно   дышали   на   уроках».   От учителя   требуется   и   мастерство,   и   большое   терпение,   и   любовь к   учащимся. Доброжелательное отношение к ученикам снимает у них страх перед трудностями обучения: ребенок не должен бояться 

ошибиться, спросить учителя, если он что­ то прослушал   или   не   понял.   Психологическая   подготовка   учащихся, может заключается в следующем:

 отработка поведения в период подготовки к экзамену; обучение навыкам 

саморегуляции, самоконтроля, повышение уверенности в себе, в   своих   силах.   Методы   проведения   занятий   по   психологической   подготовке учащихся   разнообразны:   групповая   дискуссия,   игровые   методы,   медитативные техники,   Содержание   занятий   должно ориентироваться   на следующие   вопросы:   как   подготовиться   к   экзаменам, поведение   на   экзамене,   способы   снятия   нервно­психического   напряжения,   как противостоять стрессу. 

Литература:

Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2019 года по математике, подготовленные ФГБНУ «ФИПИ».

Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2020 года по математике, подготовленные ФГБНУ «ФИПИ».

Бабанский Ю.К. Активность и самостоятельность учащихся в обучении / М.Ю. Бабанский ­ М., Педагогика, 1989.

Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии / Беспалько В.П. – М., 1989.

Красновский Э.А. Активизация учебного познания / Красновский Э.А. // Советская педагогика. – 1989. ­ №5.

Эльконин Д. Б. Избранные педагогические труды. / Под ред. В.В. Давыдова, В.П. Зинченко.­М., 1989.

Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности в учебном процессе/ Щукина Г.И. ­ М., 1979.  

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К  ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ.

                                                   Котенкова Наталья Алексеевна, учитель

математики первой квалификационной категории

Проблемами современного этапа математической подготовки учащихся к выпускным и вступительным экзаменам в форме ЕГЭ являются и сложность самой математики как науки, и  психофизиологические основы формирования готовности старшеклассников к выпускным экзаменам по предмету, и интеграция содержания и методов преподавания алгебраического и геометрического материала с целью подготовки учащихся к ЕГЭ, и противоречие между осуществлением обязательного всеобщего среднего образования и реализацией принципа индивидуализации усвоения знаний, учебной деятельности при подготовке к экзаменам, а также осуществление соответствующей подготовки учителей математики к работе с учащимися в условиях обязательного ЕГЭ.

Важным аспектом работы  учителя по подготовке к ЕГЭ является формирование позитивного отношения к тестовому итоговому контролю, как к одной из форм оценки результатов обучения. Оценка эта дается не только ученику, но и учителю, школе, региону. Тесты в форме ЕГЭ являются наиболее сложными, поскольку представляют собой комбинацию тестов, ориентированных на критерий и норму. К сожалению, работать в полной мере с тестами и критериями школьники могут только в последней четверти одиннадцатого класса.

 Главное, на что я обратила внимание при работе в качестве эксперта ЕГЭ, это незнание выпускниками критериев оценивания решений. Каждому учителю, занимающемуся подготовкой к ЕГЭ, необходимо  перед экзаменом четко изучить критерии и ознакомить с ними учащихся.

Почти каждый пришедший на апелляцию считал, что только за рисунок в С2 можно получить 1 балл, только за ОДЗ в С3 можно получить 1 балл, только за ответ в С6 можно получить балл. (вставка)

В отличие от других предметов критерии по математике менялись ежегодно, но ведь нетрудно проследить при каких видах заданий какие критерии предъявляются, тем более в течение года на сайте МИОО предлагались различные варианты тренировочных тестов с опубликованными критериями.

В современной массовой школе возможно реализовать любые идеи. Все зависит от учителя. Желает ли сам учитель самосовершенствоваться, экспериментировать, изучать и принимать новые формы работы с классом. Приведу примеры из своей педагогической практики. В течении всего учебного года я провожу с учащимися 11классов  тренировочные работы ЕГЭ и составляю диагностику по качеству усвоения заданий  в виде диаграммы. Эту диагностику, используя  ИКТ, показываю детям в сравнении. Провожу подробный анализ.     По результатам этой диагностики определяю набор тем, хорошо усвоенных и, так сказать, провальных для всего класса и для каждого ученика в отдельности. Например, выясняется: учащиеся не выполнили В4,В12,В13. Выясняю причину — она простая: дети отвыкли читать большие тексты. Встает вопрос: «Что делать?». Я даю в начале урока в течение нескольких дней каждому  по одной единственной текстовой задаче из В, на оценку.
     Итоги любой письменной работы или экзамена всегда должны быть проанализированы. Кажется, потеряли на экзамене две «4» и две «3». Но каждый педагог за цифрами в строчках таблицы, конечно, видит детей. Я поименно изучаю детей, которые показали результат выше или ниже годовой оценки, которая им была выставлена. В чем причина, что одни дети смогли «выжать» на экзамене из себя все, чтобы улучшить результат! А другие решили не особенно стараться, ведь четверка за год уже гарантирует им четверку в аттестате. А может они не смогли собраться или вообще испытали стресс перед экзаменом. Что им помешало? Отвечая на вопросы, я привлекаю к общению и родителей. Это очень важно понять, т.к. впереди у детей более важный рубеж – ЕГЭ.  

При подготовке к итоговой аттестации особенно важно построить индивидуальные планы для каждого ребенка. С одними детьми мы уже штурмуем задания из второй части, т.к. первую часть они решают хорошо и стабильно. С другими детьми мы будем до самой финишной черты решать задания из первой части.

   По словам Ященко, условно можно поделить выпускников на «сильных» и «слабых», и для каждой группы требуется совершенно разная стратегия подготовки.

Для тех, кому не особенно хорошо давалась в школе математика, самый неправильный подход — в последний месяц перед экзаменом бессистемно решать «тренировочные» варианты. «Нужно заниматься более целевым образом и совершенствовать то, что хоть как-то получается. Лучше поднять процент выполнения понятной задачи с 70 до 90, чем какой-то другой с нуля до 20», — советует он. Сильным выпускникам подойдет совершенно противоположная стратегия: нужно, наоборот, ликвидировать существующие пробелы.

Мои рекомендации учителям:

1. Организацию подготовки к сдаче ЕГЭ по математике следует начать с выявления целевых групп учащихся (первая группа – учащиеся, которые ставят перед собой цель преодолеть порог минимального балла ЕГЭ, вторая – получить сертификат и поступить в вуз).

2. К экзамену можно готовить по пособиям, рекомендованным ФИПИ для подготовки к единому государственному экзамену.

3. Использовать для информирования учащихся об уровне сложности задач при подготовке к итоговой аттестации открытый банк заданий первой части ЕГЭ (сайт www.fipi.ru, www.mioo.ru).

4. Использовать для подготовки учащихся к выполнению заданий С5 и С6 сайт www.problems.ru.

5. При проведении тренировочных тестов рекомендовать учащимся задания Части1 выполнять письменно, используя для этого черновик. Решение должно быть записано аккуратно и с достаточной степенью подробности, для того, чтобы ученик не допускал досадных ошибок технического характера.

6. В процессе обучения вырабатывать у учащихся привычки самоконтроля и самопроверки.

7. Дать учащимся некоторые советы по использованию тренировочных тестов в процессе самостоятельной подготовки к экзамену:

   -выполняя тест, нужно сверять свои ответы с ответами, приведёнными в сборнике;

   -если в каком-то задании ответ неверен и ошибку найти не удаётся или же путь решения     вообще неясен, то следует обратиться за консультацией к учителю;

  -зафиксировать время, затраченное на работу, а также количество верных ответов (примерное выполнение заданий части 1 учащимися, изучавшим математику на базовом уровне составляет 170 минут, Части 2 – 70 минут; примерное  выполнение заданий Части 1 учащимися, изучавшим математику на профильном уровне составляет 65 минут, Части 2 – 175 минут).

8. При подготовке к экзамену проверить учащихся в ситуации, максимально приближённой к реальной ситуации экзамена.

9. При подготовке учащихся к выполнению второй части экзаменационной работы необходимо постоянно помнить о её дифференцированном характере. Подбирая задания для тренировки (например, в ходе итогового повторения), их следует соотносить с возможностями и потребностями каждого учащегося, а также с уровнем класса в целом.

10. Многие задачи, предлагаемые на экзамене допускают разные способы решения. Ученик вправе решать задачу любым из них. Соображения типа «можно решить рационально, более красиво» и пр. при оценивании не играют роли. Однако в ходе подготовки целесообразно показать учащимся такие решения, знакомить их с некоторыми общими приёмами решения тех или иных видов задач, что будет служить пополнению их «математического багажа» и в конечном итоге их математическому развитию.

11. Ставить в ходе обучения перед учащимися такие  проблемы, решение которых выходило бы за рамки стандартных алгоритмов и учить школьников справляться с ними.

12. Уделять должное внимание геометрической подготовке.