Мфти письменный экзамен по дифференциальным уравнениям

Сказать «Спасибо»

17. Характер зависимости (непрерывность, дифференцируемость) решения задачи Коши для нормального уранения первого порядка отт параметров и начальных данных. Уравнение в вариациях.

18. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, не разрешённого относительно производной. Особые решения.

19. Автономные системы дифференциальных уравнений. Свойства фазовых тракеторий.

20. Классификация положений равновесия линейных автономных систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Характер поведения фазовых траекторий в окрестности положения рановесия в автономных нелинейных системах второго порядка.

21. Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Критерий первого интеграла. Применение первых интегралов для понижения порядка системы уравнений. Теорема о числе независимых первых интегралов.

22. Общее решение и постоновка задачи Коши для линейного однородного уранения в частных производных первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства)

23.Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных линейных систем уравнений.

26.Структура общего решения и метод вариации постоянных для неоднородной системы уравнений.

27.Теорема существования и единственности задачи Коши для нормального линейного уравнения n — ого порядка.

28.Структура общего решения и формула Лиувилля — Остроградского для линейного однородного уравнения n — ого порядка.

29. Структура общего решения и метод вариации постоянных для линейного неоднородного уравнения n — ого порядка.

30. Теорема Штурма и следствия из неё.

31. Продолжение решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности непродолжаемого решения задачи Коши для нормального уравнения первого порядка (без доказательства).

Стандартная версия | Мобильная версия
© 2010-2022 mipt1.ru Операция «Раздолбай»

Обнаружен AdBlock
Пожалуйста, отключите блокировку рекламы, хотя бы для сайта mipt1.ru. Вся реклама на сайте ненавязчива и не закрывает контент. Сайт располагается на платном хостинге и не окупается. Если же Вы не хотите видеть рекламу, то воспользуйтесь мобильной версией или получите аккаунт с отсутствием рекламы, пожертвовав сайту сумму от 50 рублей.

Закрыть всплывающее сообщение

Мфти письменный экзамен по дифференциальным уравнениям

Заметки четвертого семестра МФТИ (ФОПФ).

Latest commit

Git stats

Files

Failed to load latest commit information.

README.md

Заметки четвёртого семестра МФТИ (ФОПФ). В частности, содержит материалы по:

Если есть какие-то опечатки в современной оптике, то в надежде на их отсутствтие можно посмотреть здесь. Блокноты математики с задачами по механике доступны здесь.

About

Заметки четвертого семестра МФТИ (ФОПФ).

Resources

Stars

Watchers

Forks

Contributors 3

Languages

You can’t perform that action at this time.

You signed in with another tab or window. Reload to refresh your session. You signed out in another tab or window. Reload to refresh your session.

Дифференциальные уравнения: простейшие типы, линейные уравнения и системы, задачи Коши

около 5 часов в неделю

понадобится для освоения

2 зачётных единицы

для зачета в своем вузе

О курсе

Основными задачами данного МООК являются:

– формирование умений и навыков решения дифференциальных уравнения первого порядка разрешенных относительно производной основных типов, решения линейных дифференциальных уравнений старших порядков с постоянными коэффициентами, решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами;

– формирование общематематической культуры: умение логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;

– формирование умений и навыков применять полученные знания для описания процессов и явлений в различных областях знаний, самостоятельного анализа полученных результатов.

Формат

В состав курса входят видео-лекции на русском языке продолжительностью 5-25 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, упражнения для самостоятельного решения.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (задачи на понимание материала и задачи к модулю).

Информационные ресурсы

Основная литература

1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. –Изд. 6, стереот., М: URSS, 2019, 336 с.
2. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. – СПб: Ленанд, 2015, — 240 с.
3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, — Изд. 11, испр., обновл. – М.: URSS, 2016, — 512 с.
4. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М.: Лаборатория знаний, 2020, — 349 с.
5. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: URSS, 2017 – 448 c.
6. Умнов А. Е., Умнов Е. А. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – Москва: МФТИ, 2021 – 323 с.

Дополнительная литература

1. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. – Москва: Физматгиз, 1961
2. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – УрСС, 2003; — Москва: Физматлит, 2009
3. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. – Москва: Физматгиз, 1985
4. Купцов Л. П., Николаев В. С. Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие. – Москва: МФТИ, 2003
5. Ипатова В. М., Пыркова О. А., Седов В. Н. Дифференциальные уравнения. Методы решений. – Москва: МФТИ, 2007, 2012

Интернет-источники

Требования

Курс рассчитан на круг участников, ознакомленных со школьным курсом дисциплин:

• Алгебра
• Геометрия
• И вузовскими дисциплинами:
• Основы математического анализа
• Линейная алгебра

Программа курса

Курс состоит из 12 недель

Неделя 1. Основные понятия. Простейшие ДУ

01.01 Основные понятия. Простейшие типы ДУ

01.02 ОДУ 1-го порядка

01.03 ОДУ 1-го порядка. Геометрический смысл ОДУ. Метод Изоклин

Неделя 2. Простейшие ДУ: ОДУ 1 порядка, интегрируемые в конечном виде, ОДУ в дифференциалах. Задача Коши

02.01 ОДУ 1-го порядка, интегрируемые в конечном виде

02.02 ОДУ в дифференциалах (в симметричной форме).1 часть

02.03 ОДУ в дифференциалах (в симметричной форме). 2 часть

02.04 Задача Коши. Часть 1

02.05 Задача Коши. Часть 2

Неделя 3. Простейшие ДУ: линейные, приводимые к однородным ДУ или с разделяющимися переменными

03.01 ЛОДУ n-го порядка

03.02 ЛОДУ 1-го порядка

03.03 Метод вариации постоянного ЛОДУ 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати

03.04 ОДУ, приводимые к ОДУ с разделяющимися переменными. Геометические свойства интегральных кривых

03.05 ОДУ, приводимые к однородным ОДУ или ОДУ с разделяющимися переменными

03.06 Обобщенно однородные ОДУ

Неделя 4. Простейшие ДУ. Методы понижения порядка ДУ

04.01 В ОДУ не входит (явно) искомая функция

04.02 В ДУ не входит (явно) независимое переменное

04.03 ДУ однородные относительно искомой функции и ее производных

04.04 В ОДУ не входит (явно) искомая функция. ОДУ однородные в обобщенном смысле

04.05 Пример для ОДУ однородного в обобщённом смысле

Неделя 5. ОДУ, не разрешенные относительно производной

05.01 Геометрическая интерпретация

05.02 Методы решения

05.03 Частные случаи

05.04 Особые решения. Часть 1

05.05 Особые решения. Часть 2

05.06 Уравнения Лагранжа. Уравнение Клеро

Неделя 6. Линейные ОДУ n-го порядка

с постоянными коэффициентами

06.01 Общая теория. Часть 1

06.02 Общая теория. Часть 2

06.03 Алгоритм построения решения. Метод Лагранжа

06.04 Однородные ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Часть 1

06.05 Однородные ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Часть 2

06.06 Выделение вещественных решений

06.07 Неоднородные ЛОДУ с постоянными коэффициентами

06.08 Уравнение Эйлера

Неделя 7. Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Часть 1

07.01 Общая теория ЛСОДУ. Часть 1

07.02 Общая теория ЛСОДУ. Часть 2

07.03 Метод вариации постоянных для СЛОДУ. Метод исключений

Неделя 8. Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Часть 2

08.01 Случай простых корней характеристического уравнения

08.02 Случай кратных корней характеристического уравнения. Часть 1

08.03 Случай кратных корней характеристического уравнения. Часть 2

08.04 Неоднородные СЛОДУ с постоянными коэффициентами

08.05 Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Примеры

Неделя 9. Матричная экспонента

09.01 Понятие матричной экспоненты. Часть 1

09.02 Понятие матричной экспоненты. Часть 2

09.03 Матричная экспонента. Свойства. Часть 1

09.04 Матричная экспонента. Свойства. Часть 2

09.05 Решение СЛОДУ

Неделя 10. Операционный метод Лапласа

10.01 Операционный метод преобразования Лапласа

10.02 Операционный метод преобразования Лапласа. Свойства. Часть 1

10.03 Операционный метод преобразования Лапласа. Свойства. Часть 2

Неделя 11. Исследование задачи Коши

11.01 Исследование задачи Коши. Часть 1

11.02 Исследование задачи Коши. Часть 2

11.03 Исследование задачи Коши. Часть 3

11.04 Доказательство теоремы существования и единственности. Часть 1

11.05 Доказательство теоремы существования и единственности. Часть 2

11.06 Доказательство теоремы существования и единственности. Часть 3

Формируемые компетенции

Курс направлен на формирование общекультурных компетенций:

УК-1 — способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач

УК-2 – способностью определять круг задач в рамках поставленной цели и выбирать оптимальные способы их решения, исходя из действующих правовых норм, имеющихся ресурсов и ограничений

Курс направлен на формирование общепрофессиональных компетенций:

ОПК-1 — способностью применять фундаментальные знания, полученные в области физико-математических наук и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности

ОПК-2 — способностью использовать современные информационные технологии и программные средства при решении задач профессиональной деятельности, соблюдая требования информационной безопасности

ОПК-4 — способностью осуществлять сбор и обработку научно-технической и (или) технологической информации для решения фундаментальных и прикладных задач

Направления подготовки

Знания

В результате освоения курса обучающиеся должны знать:

– основные понятия общей теории дифференциальных уравнений первого порядка (решение и множество решений ДУ, начальные условия ДУ, задача Коши);

– базовые типы дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах) и методы их решения;

– основные понятия теории линейных дифференциальных уравнений старших порядков с постоянными коэффициентами (базис пространства решений или фундаментальная система решений, линейная независимость решений, общее и частное решение, характеристический многочлен, метод вариации постоянных) и методы их решения;

– различные формулировки теорем, гарантирующих существование и единственность решения задачи Коши;

– основные понятия теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и методы их решения.

Умения

В результате освоения курса обучающиеся должны уметь:

– решать дифференциальные уравнения и их системы различных типов;

– использовать знание основ дифференциальных уравнений для перевода информации с естественного языка на язык математики и обратно;

– применять теоретические знания по дифференциальным уравнениям в описании процессов и явлений в различных областях знания.

Навыки

В результате освоения курса обучающиеся должны владеть:

– навыками составления дифференциальных уравнений в задачах моделирования различных процессов.

около 5 часов в неделю

понадобится для освоения

2 зачётных единицы

для зачета в своем вузе

Пыркова Ольга Анатольевна

Кандидат физико-математических наук
Должность: Доцент кафедры высшей математики МФТИ

Дифференциальные уравнения