Мфти вступительные экзамены примеры

Пример вступительного испытания по математике

№1. Решите уравнение

.

№2. Решите систему уравнений

№3. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (1; 3), касающейся графика функции и пересекающей в двух различных точках график функции .

№4. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон этих квадратов.

№5. Решите неравенство

.

№6. В две бочки были налиты растворы соли, причём в первую бочку было налито 16 кг, а во вторую – 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в k раз в первом бочке и в m раз во второй. О числах k и m известно, что km = k+m+3. Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.

№7. Вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC расположена на диаметре окружности, параллельном хорде AB. Найдите площадь треугольника ABC, если , а радиус окружности равен 10.

№8. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых неравенство

выполняется для всех значений x.

Источник

Документы ЗФТШ Задания прошлых лет

Категория: Документы

Добавил: Сущенко А. А.

  • 13 апреля 2022 г.
  • 3 файла
  • 0 комментариев
  • 60495 просмотров

  • Вступительные 2019-20г

    • 13.04.22
    • 575 kB
    • 4276 просмотров
    • 4080 скачано
    • Изменено 13.04.22

  • Вступительные 2020-21г

    • 13.04.22
    • 555 kB
    • 2614 просмотров
    • 3297 скачано
    • Изменено 13.04.22

  • Вступительные 2021-22г

    • 13.04.22
    • 454 kB
    • 11644 просмотра
    • 9113 скачано
    • Изменено 13.04.22

Источник

В данной статье разобран пример вступительного экзамена по математике в МФТИ (бакалавриат). Если вас интересует разбор вступительного экзамена по физике, вы можете найти его на этой странице. Все решения выполнены профессиональным репетитором по математике и физике, осуществляющим подготовку абитуриентов к вступительным экзаменам в МФТИ (ФизТех).

Разбор вступительного экзамена по математике в МФТИ

1. Решите уравнение:

    [ 4sin x+sqrt{3}sin 2x=2cos 2xsin x. ]

Используем формулу «синус двойного угла»:

    [ 4sin x+2sqrt{3}sin xcos x=2cos 2xsin x. ]

Переносим слагаемые, находящиеся справа от знака равенства, в левую сторону, меняя при этом их знак на противоположный, и выносим sin x за скобки:

    [ sin x(4+2sqrt{3}cos x-2cos 2x)=0. ]

Преобразуем теперь выражение, стоящее в скобках, используя формулу «косинус двойного угла»:

    [ sin x(4+2sqrt{3}cos x-2(2cos^2x-1))=0 ]

    [ sin x(6+2sqrt{3}cos x-4cos^2x)=0. ]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть возможны два случая:

1) sin x = 0Leftrightarrow x = pi n,, nin Z.

2) 6+2sqrt{3}cos x-4cos^2x=0.

Умножим обе части последнего уравнения на -1 и введём замену t=cos x:

    [ 4t^2-2sqrt{3}t-6=0Leftrightarrowleft[ begin{array}{l} t_1 = -frac{sqrt{3}}{2} \ t_2=sqrt{3}. end{array} ]

Примечание. Последнее уравнение является квадратным и решается по стандартному алгоритму с помощью дискриминанта.

Возвращаемся к исходной переменной. Получаем, что либо cos x = sqrt{3} (это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как sqrt{3}>1), либо cos x = -frac{sqrt{3}}{2}. Из последнего уравнения получаем x = pmfrac{5pi}{6}+2pi n,, nin Z.

Ответ: x=pi n,,x=pmfrac{5pi}{6}+2pi n,, nin Z.

2. Решите систему уравнений:

    [ begin{cases} x^3+y^3=19 \ (xy+8)(x+y)=2. end{cases} ]

Преобразуем выражение с суммой кубов:

    [ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2). ]

В скобках заменим член -xy на разность 2xy-3xy. От этого равенство не нарушится. В результате получим:

    [ (x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy) = ]

    [ =(x+y)((x+y)^2-3xy). ]

Итак, исходную систему можно представить в следующем виде:

    [ begin{cases} (x+y)((x+y)^2-3xy)=19 \ (xy+8)(x+y)=2. end{cases} ]

Теперь используем замену: a=x+y и b = xy. Тогда система принимает вид:

    [ begin{cases} a(a^2-3b)=19 \ a(b+8)=2 end{cases}Leftrightarrow begin{cases} a^3-3ab = 19 \ 3ab+24a=6. end{cases} ]

Теперь складываем почленно оба уравнения и приходим к следующему уравнению:

    [ a^3+24a-25=0. ]

Корень этого уравнения угадывается автоматически: a=1. Других корней не будет, так как справа стоит возрастающая функция, поскольку она является суммой возрастающих функций, поэтому нулевое значение она может принимать только при каком-то одном значении a.

Итак, a=1, значит b = -6. Возвращаясь к исходным переменным, получаем следующую систему:

    [ begin{cases} x+y = 1 \ xy=-6. end{cases} ]

В результате приходим к окончательному ответу: (-2;3) и (3;-2).

В общем виде уравнение прямой может быть записано следующим образом: y=kx+b. Известно, что эта прямая проходит через точку (1;3), то есть имеет место равенство:

(1)   begin{equation*} 3=k+b. end{equation*}

Кроме того, прямая касается графика функции y=8sqrt{x}-7. Значит уравнение

    [ 8sqrt{x}-7 = kx+b ]

должно иметь ровно один корень. Введём замену t=sqrt{x}geqslant 0. Тогда последнее условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного уравнения

(2)   begin{equation*} kt^2-8t+7+b =0 end{equation*}

равен нулю, и корень t при этом неотрицателен. То есть получаем:

    [ D=64-4k(7+b) = 0Leftrightarrow 16-7k-kb=0. ]

Таким образом с учётом уравнения (1) приходим к следующей системе:

    [ begin{cases} k+b = 3 \ 16-7k-kb=0. end{cases} ]

Решая эту систему методом подстановки, получаем следующие результаты: (k=2 и b=1) или (k=8 и b=-5). При k=2 и b=1 уравнение (2) имеет один неотрицательный корень x=2. При k=8 и b=-5 уравнение (2) имеет один неотрицательный корень x=frac{1}{2}.

То есть из двух прямых y=2x+1 и y=8x-5 нужно выбрать такую, которая пересекает график функции y=x^2+4x-1 в двух различных точках.

  • Решаем сперва уравнение:

    [ 2x+1 = x^2+4x-1Leftrightarrow -x^2-2x+2=0. ]

Дискриминант последнего уравнения положителен. Значит, оно имеет два различных корня. Этот случай нам подходит.

  • Решаем теперь уравнение:

    [ 8x-5 = x^2+4x-1Leftrightarrow -x^2+4x-4 = 0. ]

Дискриминант этого уравнения равен нулю. Значит, решение в этом случае будет одно. Этот случай нам не подходит.

Ответ: y=2x+1.

Примечание. Для наглядности изобразим ситуацию на графике, хотя делать это необязательно, поскольку в задании этого не требуют:

Парабола, прямая и график квадратного корня на едином координатном поле

4. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон этих квадратов.

Квадраты, вписанные в сегменты круга, из геометрической задачи вступительного экзамена по математике в МФТИ

Пусть радиус окружности равен R. Рассмотрим прямоугольные треугольники OMR и ODP. С учётом введённых на рисунке обозначений распишем теорему Пифагора для этих треугольников:

    [ begin{cases} x^2 = R^2-(2x+15)^2 \ y^2 = R^2 - (2y-15)^2. end{cases} ]

Вычтем почленно второе уравнение из первого:

    [ y^2-x^2 = (2x+15)^2-(2y-15)^2. ]

Преобразуем полученное выражение, используя формулу «разность квадратов»:

    [ (y-x)(y+x) = 4(x-y+15)(x+y). ]

Поделим обе части этого уравнения на x+yne 0 и обозначит разность y-x за t. В результате приходим к следующему уравнению:

    [ t = 4(15-t)Leftrightarrow t=12. ]

Искомая разность сторон квадратов в наших обозначениях будет равна 2t=24.

Ответ: 24.

5. Решите неравенство

    [ log_4left(5-3^xright)cdotlog_2left(frac{5-3^x}{8}right)geqslant -1. ]

Введём замену: t=5-3^x>0. Тогда неравенство принимает вид:

    [ log_{2^2} tcdotlog_2left(frac{t}{8}right)geqslant -1. ]

Теперь, используя стандартные свойства логарифмов, представим логарифмическое выражение слева от знака неравенства следующим образом:

    [ frac{1}{2}log_2 tleft(log_2 t - 3right)geqslant -1. ]

Введём ещё одну замену: z=log_2 t. Тогда после умножения обеих частей неравенства на положительное число 2 неравенство принимает вид:

    [ z^2-3z+2geqslant 0Leftrightarrow left[ begin{array}{l} zleqslant 1\ zgeqslant 2. end{array} ]

Последовательно возвращаемся к исходной переменной x:

    [ left[ begin{array}{l} log_2 tleqslant 1\ log_2 tgeqslant 2. end{array}Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 0< tleqslant 2\ tgeqslant 4. end{array}Leftrightarrow ]

    [ left[ begin{array}{l} 0< 5-3^xleqslant 2\ 5-3^xgeqslant 4. end{array}Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 3leqslant 3^x < 5\ 3^xleqslant 1. end{array} ]

Окончательно получаем следующий ответ: xin(-mathcal{1};0]cup[1;log_3 5).

Пусть в первую бочку долили x кг воды, а во вторую — y кг. Пусть в первой бочке находится a кг, а во второй b кг соли.

Тогда изначально в первой бочке процентное содержание соли составляло:

    [ frac{a}{16}times 100%, ]

а после доливания воды оно стало равно:

    [ frac{a}{x+16}times 100%. ]

Аналогично, во второй бочке изначально процентное содержание соли составляло:

    [ frac{b}{25}times 100%, ]

а после доливания воды оно стало равно:

    [ frac{b}{y+25}times 100%. ]

Тогда справедливы равенства:

(3)   begin{equation*} frac{a}{16}:frac{a}{x+16}=frac{x+16}{16}=1+frac{x}{16} = k end{equation*}

(4)   begin{equation*} frac{b}{25}:frac{b}{y+25}=frac{y+25}{25} = 1+frac{y}{25} = m. end{equation*}

Из уравнения (3) выражаем x=16(k-1), из уравнения (4) выражаем y=25(m-1), а из уравнения km = k+m+3 выражаем k=frac{m+3}{m-1}. Мы ищем минимальное значение суммы x+y. Проще всего найти его, используя неравенство Коши:

    [ x+ygeqslant 2sqrt{xy} = 2sqrt{16(k-1)cdot 25(m-1)} = ]

    [ =40sqrt{left(frac{m+3}{m-1}-1right)(m-1)}= ]

    [ = 40sqrt{m+3-m+1} = 80. ]

Итак, наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе равно 80 кг.

Этот случай реализуется при 16(k-1) = 25(m-1), когда неравенство Коши преобразуется в равенство. То есть при k = dfrac{25}{16}m-dfrac{9}{16}. Подставляя это в выражение km = k+m+3, получаем после преобразований, что m = dfrac{13}{5}. Отрицательный корень мы в расчёт не берём.

Ответ: 80 кг.

7. Вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC расположена на диаметре окружности, параллельном хорде AB. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠BAC = 75°, а радиус окружности равен 10.

Рисунок к задаче с треугольником из вступительного экзамена по математике в ФизТех

Выполним следующие дополнительные построения:

  • проведём высоту OD к хорде AB. Тогда D — середина AB, так как OD — высота и медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника AOB;
  • проведём отрезок CD. Он является медианой прямоугольного треугольника ACB, проведённой из вершины прямого угла. Значит, CD = AD = BD.

Переходим к решению:

  • сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, ∠CBA = 15°;
  • так как CD = BD, то треугольник CDB — равнобедренный и ∠CBD = ∠DCB = 15°;
  • ∠CBD = ∠BCO = 15°, поскольку они являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей. Значит, ∠DСO = 30°;
  • значит, в прямоугольном треугольнике COD против угла в 30° лежит катет OD, который равен половине гипотенузы CD. Пусть DO = x, а CD = AD = DB = 2x;
  • из теоремы Пифагора для треугольника ODB получаем, что x^2+4x^2 = 100, то есть x = 2sqrt{5};
  • тогда искомая площадь треугольника ABC равна половине произведения его высоты, проведённой к стороне AB, которая по длине равна x, на основание AB, которое по длине равно 4x. То есть искомая площадь равна S = 2x^2 = 40.

Ответ: 40.

8. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых неравенство

    [ 2a-4+a(3-sin^2x)^2+cos^2x<0 ]

выполняется для всех значений x.

Преобразуем данное неравенство, раскрыв в нём скобки и использовав основное тригонометрическое тождество. В результате после всех преобразований получаем следующее неравенство:

    [ asin^4 x-(6a+1)sin^2x+11a-3<0. ]

Ведём замену sin^2 x = t, причём 0leqslant tleqslant 1. Тогда получим следующее неравенство:

    [ asin^4 x-(6a+1)sin^2x+11a-3<0. ]

Задача свелась к тому, чтобы найти все значения параметра a, при котором последнее неравенство выполняется при всех tin[0;1].

Для решения этой задачи представим последнее неравенство в виде:

    [ a(t^2-6t+11) <t+3. ]

Легко видеть, что t^2-6t+11>0 при любых значениях t, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен, и ветви соответствующей параболы направлены вверх. Поэтому мы можем разделить обе части последнего неравенства на положительное выражение t^2-6t+11, при этом знак неравенства не поменяется:

(5)   begin{equation*} a <frac{t+3}{t^2-6t+11}. end{equation*}

Исследуем функцию y=dfrac{t+3}{t^2-6t+11} на возрастание. Для этого определим при каких значениях t её производная положительна:

    [ y'=-frac{t^2+6t-29}{(t^2-6t+11)^2}>0Leftrightarrow ]

    [ Leftrightarrow -3-sqrt{38}<x<-3+sqrt{38}. ]

Так как -3-sqrt{38}<0, а -3+sqrt{38}>1, то на промежутке tin [0;1] данная функция возрастает. Поэтому неравенство (5) будет выполняться при любом tin [0;1] при условии, что a<y(0), то есть a<dfrac{3}{11}.

Ответ: ainleft(-mathcal{1};dfrac{3}{11}right).

Подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ

Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ, обращайтесь к опытному профессиональному репетитору в Москве Сергею Валерьевичу. Возможны как очные, так и удаленный занятия через интернет с использованием интерактивной доски. Как показывает практика, в условиях ограниченности во времени именно занятия с репетитором обеспечивают наиболее эффективную подготовку к вступительным экзаменам. Подробную информацию о занятиях с репетитором вы можете найти на этой странице. Успехов вам в подготовке к экзаменам!

Источник
  • — МЕНЮ —
  • ЯГУБОВ.РФ
  • ЕГЭ (ПРОФИЛЬ)
  • ЕГЭ (БАЗА)
  • ОГЭ (ГИА)
  • ГЕНЕРАТОР
  • ОЛИМПИАДЫ
  • ЭКЗАМЕНЫ [МФТИ…]
  • ЛИТ-РА
  • ДВИ (МГУ)
  • От Ягубова Р. Б.
  • ЗАДАНИЯ
  • ТЕМАТИКА
  • РАСПИСАНИЕ
  • ЗАНЯТИЯ
  • ПРОГУЛЫ
  • ПЛАТЕЖИ
  • ФОРМУЛЫ
  • ТЕТРАДЬ
  • ЗАГАДКИ
  • СОБЫТИЯ
  • ИНВЕСТИЦИИ
  • ГРУППА «ВК»
  • МЫ В «YOUTUBE»
  • ЯНДЕКС.КАРТЫ
  • ПОИСК
  • ОТЗЫВЫ
  • — ВХОД —
Источник

Варианты вступительных экзаменов в МФТИ 2008 г. по математике

Вариант 1

  1. Решите неравенство  sqrt{frac{1}{x^2+2x-3}}geqfrac{1}{4-x}.
  2. Решите уравнение frac{4cos^2 2x cos 4x+3cos 2x+cos 6x}{cos 3x}=0.
  3. Найдите действительные решения системы уравнений left{begin{array}{l l} 2y^2=x^4+x,\y=frac{2x}{y}-5x^2end{array}right.
  4. Параллелограмм ABCD имеет площадь 4. Окружность с центром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрезков AB, BC и прямой CD в точках M, N и K соответственно. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма ABCD, если CK:BM=3:1.
  5. Найти все пары действительных чисел (x;y), удовлетворяющие неравенству log_{displaystyle3^x+displaystyle2^{-x}}(3-cos 4x+sinfrac{3y}{2})leqlog_{displaystyle|cosfrac{y}{3}|+displaystyle|sinfrac{y}{3}|}(|sin 3xcos 2y|).
  6. На основании ABCD четырехугольной пирамиды SABCD расположена точка O. Сфера с центром в точке О касается прямых SA, SB, SC, SD в точках A, B, K, L соответственно. Известно, что AB = KL = 2sqrt{5}, AL  = 2, BK = 6, а отрезок SO составляет с плоскостью ABCD угол arccosfrac{2}{3}. Найти длины отрезков AK, OS и SD.

Вариант 5

  1. Решите неравенство log_{displaystylefrac{2-x}{1-x}}(4-x)leq 2.
  2. Решите уравнение displaystylefrac{sin^3 xcos 3x+cos^3 xsin 3x}{|sin 2x|}=frac{3}{4}.
  3. Решите систему уравнений left{begin{array}{l l} x+displaystylesqrt{frac{x}{x+y}}=frac{42}{x+y},\xy-x=16end{array}right.
  4. В треугольнике ABC медиана BM равна 2, угол ABM равен arctan frac{2}{3},  угол CBM равен arctanfrac{1}{5}. Найти стороны AB, BC и биссектрису BE треугольника ABC.
  5. Решите систему уравнений left{begin{array}{l l} x+y^4-2y^2=ln x,\2arctan x+arcsin y=0end{array}right.
  6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Сфера omega радиуса frac{15}{14} с центром O касается ребер AS, BS, AD, BC пирамиды SABCD соответственно в точках K, L, M, N, пересекает ребро AB в точках P и Q и касается грани CDS. Известно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает ее в точке H,  AB:PQ = 4:sqrt{7}, AS:LS=3:2. Найти угол SAB, угол SBH, высоту пирамиды и ее объем.

Ответы:

Вариант 1

  1. x<-3, 1<xleqfrac{19}{10},x>4
  2. frac{pi}{4}+frac{pi k}{2},kin Z
  3. (-3^{2/3}/7^{1/3};-3^{1/3}/7^{2/3}),(1/7^{1/3};2/7^{2/3})
  4. R=sqrt[4]{3},AB=2/sqrt[4]{3},AD=4/sqrt[4]{3}
  5. x=frac{pi}{2}+pi k, y=pi+12pi s или y=5pi+12pi s, kin Z,sin Z
  6. AK=4sqrt{2},OS=7,SD=35^{3/2}/27

Вариант 5

  1. 0leq x<1,2<x<frac{5+sqrt{5}}{2}
  2. frac{pi}{6}+frac{pi k}{2},k in Z
  3. (4;5),(-(1+sqrt{133})/2; (41-8sqrt{133})/33)
  4. AB=4/sqrt{13}, BC=8sqrt{2}/sqrt{13},BE=8sqrt{20+2sqrt{2}}/(7sqrt{13})
  5. (1;-1)
  6. arccos(4/9), arccos(5/9), h=2, V=64/21
Источник

вступительные экзамены в МФТИ

Задачи вступительных экзаменов по физике и математике в МФТИ в 1986-1988 годах

Экзамены — Экзамены по Физике

Задачи вступительных экзаменов по физике и математике в МФТИ в 1986-1988 годах

Задачи предлагались абитуриентам на письменных экзаменах по математике и физике.
Все задачи снабжены ответами.

Скачать и читать Задачи вступительных экзаменов по физике и математике в МФТИ в 1986-1988 годах

Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ — Физика, математика — Ответы, решения — 2008

Экзамены — Экзамены по Физике

Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ — Физика, математика — Ответы, решения — 2008

      Очередная подборка экзаменационных билетов в Московский физико-технический институт. Все задачи снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые — основными указаниями к решению.

Скачать и читать Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ — Физика, математика — Ответы, решения — 2008

Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (2007) и олимпиады «Физтех-2007» — Методические разработки по физике и математике — Волкова И.А.

Экзамены — Экзамены по Физике

Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (2007) и олимпиады «Физтех-2007» — Методические разработки по физике и математике — Волкова И.А.

       Приведены задачи, предлагавшиеся на олимпиаде «Физтех-2007» и вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт(государственный университет) в 2007 году. Все задачи снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые — основными указаниями к решению. На выполнение каждой работы давалось 4,5 часа.

Скачать и читать Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (2007) и олимпиады «Физтех-2007» — Методические разработки по физике и математике — Волкова И.А.

Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ — Физика, математика — Ответы, решения — 2006

Экзамены — Экзамены по Физике

Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ — Физика, математика — Ответы, решения — 2006

Предлагаем очередную подборку экзаменационных билетов по физике и математике с ответами и решениями для абитуриентов МФТИ и других технических ВУЗов, а также для преподавателей школ с углубленным изучением физики и математики.

Скачать и читать Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ — Физика, математика — Ответы, решения — 2006

Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ — Физика, математика — Ответы и решения — 2005

Экзамены — Экзамены по Физике

Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ — Физика, математика — Ответы и решения — 2005

Вашему вниманию предлагаются экзаменационные билеты с ответами и решениями по физике и математике.

Скачать и читать Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ — Физика, математика — Ответы и решения — 2005

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Мфти вступительные экзамены информатика
  • Мфти вступительные экзамены бакалавриат
  • Мфти варианты письменных экзаменов
  • Муравьиная кислота егэ
  • Муравьи сочинение егэ между двумя стеклянными