Мирэа матан 1 семестр экзамен

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает — и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе «Студизба»
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.

Идет загрузка списка

Идет загрузка списка

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

1. Форум МИРЭА

2. →
   Файлы
3. →
   Технические предметы (общие)
4. →
   Математический анализ

Случайные файлы

• 521
  Всего файлов
• 166
  Всего категорий
• 131
  Всего авторов
• 256 762
  Всего загрузок
• Оракул / Oracle
  Последний файл
• Just_Like
  Последний автор

• Файлы, загруженные сегодня

0 посетителей за последние 15 минут

0 пользователей, 0 гостей, 0 анонимных

Не получаются задачи? Решим быстро и недорого!

МИРЭА- РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический анализ
1 семестр
Учебное пособие
Для студентов очной формы обучения институтов РТС, ИТ, ФТИ
Москва
МИРЭА
2019

2
Составители: И.М. Аксененкова, О.А. Евсеева, Т.Р. Игонина,
Е.Ю. Кузнецова, О.А. Малыгина, Н.С.Чекалкин
Редактор Н.С.Чекалкин
Пособие содержит теоретический материал, практические задания и типовой расчет по математическому анализу (1 семестр) по разделам «Теория пределов», «Непрерывная функция»,
«Дифференциальное исчисление и его приложения». В пособии приведены типовые варианты контрольных работ и экзаменационных билетов по курсу.
Изложение теоретической части соответствует программе курса математического анализа (1 семестр), который читается преподавателями кафедры высшей математики 2 для студентов очной формы институтов РТС, ИТ, ФТИ.
Рецензенты: Т.Н.Бобылева,
А.В.Татаринцев

3
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1 семестр
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1.
Определение предела последовательности.
Подпоследовательность, частичный предел.
2.
Критерий Коши. Свойства сходящихся последовательностей.
Теорема о пределе промежуточной последовательности.
3.
Определение предела функции. Теорема о пределе промежуточной функции. Первый замечательный предел.
4.
Бесконечно малые функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.
5.
Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функций.
6.
Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей
0 0
, ∞
0
, 1
∞
7.
Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
8.
Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых.
Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.
9.
Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических действий, о непрерывности сложной функции.

4 10.
Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
11.
Точки разрыва и их классификация.
12.
Производная, ее геометрический и механический смысл.
13.
Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.
14.
Арифметические действия с производными.
15.
Таблица производных.
16.
Производные сложной и обратной функций.
17.
Дифференциал, его связь с производной, геометрический смысл, инвариантность.
18.
Теорема Ролля, ее геометрический смысл.
19.
Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.
20.
Правило Лопиталя.
21.
Многочлен Тейлора, формула Тейлора.
22.
Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и
Лагранжа.
23.
Локальный экстремум функции одного переменного.
Необходимое и достаточное условия экстремума.
24.
Геометрический смысл второй производной. Точки перегиба.
25.
Асимптоты графика функции. Существование наклонной асимптоты.
26.
Частные производные функции нескольких переменных.
Теорема о равенстве смешанных производных.
27.
Дифференцируемостъ функции нескольких переменных.
Дифференциал.

5 28.
Локальный экстремум функции нескольких переменных.
Необходимое условие экстремума.
Вопросы к экзамену (зачету) могут быть уточнены и дополнены лектором потока.
ВВЕДЕНИЕ
Данный материал излагается студентам на лекциях и практических занятиях. От студента требуется успешное усвоение материала по указанным темам, т. е. необходимо знать определения понятий, формулировки и доказательства основных теорем курса.
Студент также должен продемонстрировать умение решать типовые задачи данного курса.
В течение семестра по курсу математического анализа проводятся две контрольные работы и выполняется типовой расчет.
Контрольная работа №1 проводится примерно на 6-й неделе обучения, контрольная работа №2 проводится примерно на 11-й неделе, а сдача типового расчета — в конце семестра.
Контрольная работа №1
Тема. „Предел функции. Непрерывность и точки разрыва“.
Цель. Проверить усвоение основных приемов вычисления предела; проверить умения устанавливать непрерывность функции и определять характер точек разрыва.
Содержание. В контрольную работу входят задачи, идентичные задачам 1 – 8 данного пособия.63
Контрольная работа №2
Тема. „Производная. Правило Лопиталя и формула Тейлора“.
Цель.
Проверить усвоение основных приемов дифференцирования; проверить умение вычислять предел функции с помощью правила Лопиталя и формулы Тейлора.
Содержание. В контрольную работу №2 входят задачи, идентичные задачам 9 – 18.

6
Типовой расчет
Тема. „Исследование функции одной переменной и построение графиков. Функции нескольких переменных“.
Цель. Проверить умение исследовать функции, строить графики решать прикладные задачи.
Содержание. В типовой расчет входят задачи 19 – 26.
Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта.
Студент объясняет решения задач преподавателю, отвечает на вопросы. Типовой расчет также предъявляется в начале экзамена
(зачета).
По итогам обучения проводится экзамен (зачет).
Примерный вариант экзаменационного билета
1.
Определение предела функции. Основные теоремы о пределах (арифметические операции).
2.
Вычислить предел: а) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
√4𝑥
2
+16𝑥+9
(𝑥+5)
2
−𝑥
2
б) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
5+𝑥
3+𝑥
)
𝑥−4
3.
Вычислить производную: а)𝑦 = √1 + 𝑡𝑔5𝑥 б)𝑦 =
𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑙𝑛𝑥
4.
Написать уравнение касательной к кривой
{
𝑥 = 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝑡𝑠𝑖𝑛𝑡 в точке 𝑡 =
𝜋
4
5.
Вычислить 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑐𝑜𝑠(
𝜋
2
⋅𝑒
𝑥−1
)
𝑒
𝑠𝑖𝑛(1−𝑥)
−1
6.
Провести исследование и построить график функции:
𝑦 = (2𝑥 + 3)𝑒
−2(𝑥+1)

7
Рекомендуемая литература
Основная литература:
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. Ч. 1: Учебник для бакалавров / — Люберцы: Юрайт, 2016.
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. Ч. 2: Учебник для бакалавров / — Люберцы: Юрайт, 2016.
3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В.,
Заляпин В.И. Вся высшая математика: Интегральное исчисление, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, дифференциальная геометрия.Т.2. — URSS. — 2017.
Практические задания
Задача 1*. С помощью определения предела последовательности показать, что данная последовательность 𝑢
𝑛
, при 𝑛 → ∞ имеет своим пределом число А. Найти целое значение
𝑁, начиная с которого |𝑢
𝑛
− 𝐴| < 𝜀.
№
𝑢
𝑛
𝐴
𝜀
№
𝑢
𝑛
𝐴
𝜀
1 7𝑛 − 1
𝑛 + 1 7
10
−2 2
4𝑛
2
+ 1 3𝑛
2
+ 2 4
3 10
−2 3
9 − 𝑛
3 1 + 2𝑛
3
−
1 2
10
−2 4
(−
1 2
)
𝑛
0 10
−3 5 1 +
(−1)
𝑛
2𝑛 + 1 1
10
−2 6
4𝑛 − 3 2𝑛 + 1 2
10
−3 7
1 − 2𝑛
2 2 + 4𝑛
2
−
1 2
10
−2 8
2𝑛 + (−1)
𝑛
𝑛
2 10
−2 9
−
5𝑛
𝑛 + 1
−5 10
−2 10 1
𝑙𝑛(𝑛 + 1)
0 1
3

8 11
𝑛 + 1 1 − 2𝑛
−
1 2
10
−2 12 2𝑛 + 1 3𝑛 − 5 2
3 10
−2 13 1 − 2𝑛
2
𝑛
2
+ 3
−2 10
−2 14 3𝑛
2 2 − 𝑛
2
−3 10
−2 15
𝑛
3𝑛 − 1 1
3 10
−2 16 2𝑛
1 + 𝑛
2 0
10
−1 17 3𝑛
3
𝑛
3
− 2 3
10
−2 18 4 + 2𝑛
1 − 3𝑛
−
2 3
10
−2 19 5𝑛 + 15 6 + 𝑛
5 10
−2 20 3 − 𝑛
2 1 + 2𝑛
2
−
1 2
10
−2 21 7 − 𝑛
𝑛 + 3
−1 10
−2 22 3𝑛
2
+ 4 2 − 𝑛
2
−3 10
−2 23 −
5 + 4𝑛
3 3 + 2𝑛
3
−2 10
−2 24
(
1 3
)
𝑛
0 10
−3 25 3 −
(−1)
𝑛
𝑛 + 5 3
10
−2 26 9𝑛 + 7 2𝑛 − 3 9
2 10
−2 27 2 + 𝑛
2 4 + 2𝑛
2 1
2 10
−2 28
−5𝑛 + (−1)
𝑛
2𝑛 + 3
−
5 2
10
−2 29 2
𝑙𝑛(3𝑛 + 4)
0 1
4 30
(−
2 7
)
𝑛
0 10
−3
Задача 2. Вычислить пределы последовательностей.
1 3𝑛
2
− 7𝑛 + 1 2 − 5𝑛 − 6𝑛
2 2
(2 − 𝑛)
2
− (1 + 𝑛)
2
(3 + 𝑛)
2
− (4 − 𝑛)
2 3
3
𝑛 + 2
−
5 2𝑛 + 1

9 4
2𝑛
2
+ 5 4𝑛 + 1
−
𝑛
2
+ 4 2𝑛 + 3 5
(√𝑛
2
+ 1 + 𝑛)
2
√27𝑛
6
+ 1 3
6 10𝑛
3
− √𝑛
3
+ 2
√4𝑛
6
+ 3 − 𝑛
7
√𝑛
2 3
𝑠𝑖𝑛(𝑛
2
)
𝑛 + 1 8
3𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛!)
√𝑛
4
+ 5𝑛 − 9 3
9 3
𝑛
+ 1000 3
𝑛
+ 1 10
(−2)
𝑛
+ 3
𝑛
(−2)
𝑛+1
+ 3
𝑛+1 11 4
𝑛
+ 2 ⋅ 5
𝑛+1 3
𝑛
+ 3 ⋅ 5
𝑛−1
+ 𝑠𝑖𝑛𝑛
12
(
𝑛
2
+ 3
𝑛
2
)
8𝑛
13
(
1 − 𝑛
3 − 𝑛
)
2𝑛−1 14
(
𝑛
2
+ 1
𝑛
2
)
𝑛
15
√𝑛
2
+ 𝑛 − 𝑛
16
√𝑛
2
− 2𝑛 − 1 − √𝑛
2
− 7𝑛 + 3 17
√(1 + 𝑛)
2 3
− √(𝑛 − 1)
2 3

10 18
√𝑛
3
− 4𝑛
2 3
− 𝑛
19
𝑛
3 2
⁄
(√𝑛
3
+ 1 − √𝑛
3
− 2)
20
(𝑛 + 3)! + 4 ⋅ 𝑛!
(2𝑛 + 4)((𝑛 + 2)! + 7 ⋅ 𝑛!)
21
((2𝑛 + 1)! + (2𝑛 + 2)!)(7𝑛 + 5)
(2𝑛 + 3)!
22
(3𝑛 − 1)! + (3𝑛 + 1)!
(3𝑛)! ⋅ (𝑛 − 1)
23 1 + 2 + 3+. . . +𝑛
𝑛 − 𝑛
2
+ 3 24 2 + 4 + 6+. . . +2𝑛
1 + 3 + 5+. . . +(2𝑛 − 1)
25 1 +
1 2
+
1 4
+. . . +
1 2
𝑛
26 1
5
−
1 25
+
1 125
−. . . +(−1)
𝑛
1 5
𝑛
27
√2 3
⋅ √2 9
⋅ √2 27
⋅. . .⋅ √2 3𝑛
28
√𝑛
2
− 5𝑛 + 6 − √𝑛
2
− 2𝑛 + 9 29 1
1 ⋅ 2
+
1 2 ⋅ 3
+
1 3 ⋅ 4
+. . . +
1
𝑛 ⋅ (𝑛 + 1)
30 1
1 ⋅ 3
+
1 3 ⋅ 5
+
1 5 ⋅ 7
+. . . +
1
(2𝑛 − 1) ⋅ (2𝑛 + 1)

11
Задача 3. Используя логическую символику, сформулировать определение указанного предела. Дать геометрическую интерпретацию.
1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓 (𝑥) = ∞
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1−0
𝑓 (𝑥) = +∞
3
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = 4 4
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓 (𝑥) = −∞
5
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0−
𝑓 (𝑥) = −3 6
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓 (𝑥) = 0 7
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = ∞
8
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓 (𝑥) = −1 9
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2+0
𝑓 (𝑥) = −∞
10
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = +∞
11
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑓 (𝑥) = ∞
12
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓 (𝑥) = +∞
13
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3+0
𝑓 (𝑥) = −3 14
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = −∞
15
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓 (𝑥) = +∞
16
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓 (𝑥) = +∞
17
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑓 (𝑥) = −∞
18
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓 (𝑥) = ∞
19
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−4
𝑓 (𝑥) = −∞
20
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓 (𝑥) = −8 21
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = 0 22
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3−0
𝑓 (𝑥) = −∞
23
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓 (𝑥) = ∞
24
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = −∞
25
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑓 (𝑥) = 0 26
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓 (𝑥) = −5 27
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓 (𝑥) = −∞
28
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+0
𝑓 (𝑥) = +∞
29
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓 (𝑥) = 0 30
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−0
𝑓 (𝑥) = ∞
Задача 4. Используя различные приемы преобразования выражений, вычислить пределы.

12 1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(3𝑥 + 7)
3
(𝑥 − 2𝑥
2
)
2
(27𝑥
5
+ 4𝑥 + 1)(2 − 4𝑥)
2 2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(3𝑥 + 1)
3
− (3𝑥 − 1)
3
(𝑥 + 1)
2
+ (𝑥 − 1)
2 3
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
√5 + 16𝑥
2
√16𝑥
2
+ √𝑥 + √𝑥
4 4
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑥 √𝑥
6
+ √35𝑥
10
+ 1 5
(𝑥 + √𝑥
4
) √𝑥
3
− 1 3
5
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
5𝑥
2
+ 4𝑥 − 1
√27𝑥
6
+ 1 3
− 1 6
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
√𝑥 + 5𝑥
√𝑥
3
+ 1 3
+ 𝑠𝑖𝑛𝑥
7
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
√𝑥
3
+ 7 3
+ √𝑥
2
+ 2𝑥
3 17𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠7𝑥
8
𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
5
𝑥
+ 6
𝑥
5
𝑥
− 6
𝑥
9
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
𝑥
2
+ 5𝑥 + 6
𝑥
2
+ 4𝑥 + 3 10
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥
3
− 3𝑥 + 2
𝑥
4
− 4𝑥 + 3 11
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥
3
− 3𝑥 − 2
(𝑥
2
− 𝑥 − 2)
2 12
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥
2
− 7𝑥 + 6
𝑥
4
− 1 13
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥
4
− 1 2𝑥
4
− 𝑥
2
− 1

13 14
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√5𝑥 − 2 − √8
𝑥
2
− 4 15
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
√1 + 𝑥
2
− √1 − 𝑥
2 3𝑥
2
− 𝑥
4 16
𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑥√𝑥 − 8
√𝑥 − 2 17
𝑙𝑖𝑚
𝑥→16
√𝑥
4
− 2
√𝑥 − 4 18
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
√9𝑥
3
− 3
√3 + 𝑥 − √2𝑥
19
𝑙𝑖𝑚
𝑥→8
√9 + 2𝑥 − 5
√𝑥
2 3
− 4 20
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
√25 + 𝑥
3
− √29 − 𝑥
3
𝑥 − √2𝑥
21
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
√𝑥
2 3
− 2 √𝑥
3
+ 1
(𝑥 − 1)
2 22
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
2𝑥 − 1 5𝑥 + 7
−
1 + 2𝑥
2 2 + 5𝑥
2
)
23
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
1 2 − 𝑥
−
12 8 − 𝑥
3
)
24
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
3𝑥
2 2𝑥 + 1
−
(2𝑥 − 1)(3𝑥
2
+ 𝑥 + 2)
4𝑥
2
− 1
)
25
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(𝑥 + √1 − 𝑥
3 3
)
26
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(𝑥 − √4 − 𝑥
3 3
)

14 27
𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
(√𝑥
2
− 5𝑥 + 6 − 𝑥)
28
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑥 (√𝑥
2
+ 1 − 𝑥))
29
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(√𝑥
4
+ 8𝑥
2
+ 3 − √𝑥
4
+ 𝑥
2
)
30
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
( √𝑥
3
− 2𝑥
2
+ 3 3
− 𝑥)
Задача 5. Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.
1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛
2 3𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 1
𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
3
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑡𝑔𝑥)
10
− 1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛5𝑥
4
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 2)
𝑥
3
− 8 5
𝑙𝑖𝑚
𝑥→5
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 − 5)
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥
2
− 25)
6
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(𝑥 − 2)𝑐𝑡𝑔
𝑥 − 2 5
7
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋 2
⁄
(𝑥 −
𝜋
2
) 𝑡𝑔𝑥
8
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)𝑡𝑔
𝑥 − 3 2
9
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋 4
⁄
𝑐𝑜𝑠2𝑥
4𝑥 − 𝜋
10
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑠𝑖𝑛3𝜋𝑥
𝑠𝑖𝑛8𝜋𝑥
11
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋
𝑡𝑔5𝑥
𝑠𝑖𝑛3𝑥
12
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑠𝑖𝑛6𝜋𝑥
𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥

15 13
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑡𝑔2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑥
3 14
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
2 15
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋 3
⁄
1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛 (𝑥 −
𝜋
3
)
16
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0 2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥
− 1 3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
− 1 17
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒
2𝑥
− 𝑒
−2𝑥
𝑙𝑛(1 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥)
18 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒
4𝑥
2
− 𝑒
𝑥
2
𝑙𝑛(1 + 3𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2
𝑥)
19
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0 4
4𝑥
2
− 4
𝑥
2
𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)
20
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥 (𝑥 + 1)
⁄
)
𝑙𝑛(1 − 2 𝑥 (3 + 𝑥
2
)
⁄
)
21 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
√1 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2
𝑥
4
− 1
𝑠𝑖𝑛
2 3𝑥
22
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑙𝑛(5 − 2𝑥) − 𝑙𝑛5
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛3𝑥
23
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑙𝑛(3 − 𝑥) − 𝑙𝑛2
𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 1)
24
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1 2
3−𝑥
− 4
√2 − 𝑥
3
− 1 25
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2 7
𝑥−1
− 7 5
3−𝑥
− 5 26
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑒
𝑥−1
− 1
√𝑥 − 1 27
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑠𝑖𝑛(1 𝑥
⁄ )
𝑡𝑔(𝜋 𝑥
⁄ )
28
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
√1 + 6 𝑥
2
⁄
3
− 1
𝑐𝑜𝑠(3 𝑥
⁄ ) − 1 29 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(1 𝑥
⁄ ))
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3𝑥𝑡𝑔
2
(1 𝑥
⁄ )
30
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(2
−𝑥
+ 1)(2 1 𝑥
⁄
− 1)
(3
−𝑥
+ 2)(3 1 𝑥
⁄
− 1)
Задача 6. Вычислить пределы, используя, где это возможно, второй замечательный предел, предварительно обосновав возможность его применения.

16 1a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(
2𝑥 − 2 3𝑥 + 4
)
𝑥
1b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(
2𝑥 − 2 3𝑥 + 4
)
𝑥
1c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
2𝑥 − 2 2𝑥 + 3
)
𝑥
2a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
𝑥
2
− 2
𝑥
2
+ 3
)
3 (𝑥+1)
⁄
2b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
𝑥
2
− 2
𝑥
2
+ 3
)
𝑥+1 2c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
𝑥 − 2
𝑥
2
+ 3
)
3𝑥 (𝑥+1)
⁄
3a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(6 −
5
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
)
𝑥
2 3b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(6 −
5
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
)
1 𝑥
2
⁄
3c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(6 −
11 2𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
)
1 𝑥
2
⁄
4a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2𝑥
2
)
1 𝑥
2
⁄
4b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑥
2
)
1 𝑥
2
⁄
4c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2𝑥
2
)
1 (𝑥
2
+1)
⁄

17 5a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑥
2
)
1 𝑥
2
⁄
5b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑥 + 𝑥
2
)
1 (1+𝑥)
⁄
5c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥
2
)
−1 𝑥
2
⁄
6a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(𝑐𝑜𝑠
𝜋𝑥
3
)
1 (𝑥
2
+1)
⁄
6b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(𝑐𝑜𝑠
𝜋𝑥
3
)
1 𝑥
2
⁄
6c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(𝑠𝑖𝑛
𝜋𝑥
3
)
2 (𝑥
2
+2)
⁄
7a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
3 + 5𝑥
3 + 2𝑥
)
1 𝑠𝑖𝑛
⁄
𝑥
7b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
3 + 5𝑥
3 + 2𝑥
)
−𝑥
2 7c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
3 + 5𝑥
2 3 + 2𝑥
2
)
−1 𝑥
2
⁄
8a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
1 + 2
𝑥
1 + 3
𝑥
)
1 𝑥
⁄
8b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
1 + 2
𝑥
1 + 3
𝑥
)
(2𝑥+3) (2𝑥+1)
⁄
8c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
1 + 2
𝑥
1 + 3
𝑥
)
1 𝑥
2
⁄

18 9a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑥
)
−1 𝑥
2
⁄
9b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
)
−1 𝑥
2
⁄
9c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
)
(2𝑥+3) (𝑥+1)
⁄
10a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(2 − 2
−𝑥
2
)
−𝑥
2 10b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(2 − 2
−𝑥
2
)
1 𝑥
2
⁄
10c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(2 − 2
−𝑥
2
)
1 (𝑥−1)
2
⁄
11a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(2 − 𝑐𝑜𝑠
1
𝑥
)
𝑥
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
11b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(2 − 𝑐𝑜𝑠
1
𝑥
)
𝑥
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
11c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)
1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2
⁄
𝑥
12a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
4 − 𝑥
2
)
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2
(1 (𝑥−2)
⁄
)
12b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
4 − 𝑥
2
)
1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
⁄
(𝑥−2)
12c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
5 − 𝑥
2
)
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2
(𝑥−2)

19 13a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→8
(
𝑥 − 7
𝑥 + 1
)
−1 ( √𝑥
3
−2)
2
⁄
13b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→8
(
2𝑥 − 7
𝑥 + 1
)
1 ( √𝑥
3
−2)
⁄
13c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→8
(𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 8))
𝑠𝑖𝑛(𝑥−8) (𝑥−8)
⁄
14a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(𝑡𝑔 (
𝜋
6
− 𝑥))
1 𝑥
2
⁄
14b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(𝑡𝑔 (
𝜋
4
− 𝑥))
(𝑒
𝑥
−1) 𝑥
2
⁄
14c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(𝑡𝑔𝑥)
(2𝑥+3) (−2𝑥+3)
⁄
15a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋 2
⁄
(𝑡𝑔
𝑥
3
)
1 𝑐𝑜𝑠
2
⁄
𝑥
15b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋 2
⁄
(𝑡𝑔
𝑥
2
)
1 𝑐𝑜𝑠
⁄
𝑥
15c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋 2
⁄
(𝑡𝑔𝑥)
𝜋 (2𝑥)
⁄
16a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
)
1 𝑥
⁄
16b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
)
−1 𝑥
2
⁄
16c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
)
1 𝑥
2
⁄

20 17a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(
2𝑥 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
2𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
)
3𝑥
17b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
2𝑥 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
2𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
)
2𝑥+2 17c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
2 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
)
−3 (𝑥−2)
2
⁄
18a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑡𝑔
2
𝑥)
1 𝑙𝑛
⁄
𝑐𝑜𝑠2𝑥
18b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(1 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2
𝑥)
−𝑙𝑛
2
𝑥
18c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2
𝑥)
𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠2𝑥
19a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(4 − 4
𝑥
)
(3𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝑥
⁄
19b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(2 − 2
𝑥
)
3𝑥 𝑠𝑖𝑛
2
⁄
𝑥
19c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
(2 − 2
𝑥
)
(3𝑥
2
+𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝑥
⁄
20a
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝜋
(3 − 3
𝑠𝑖𝑛
2
𝑥
)
5 (𝑡𝑔5𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥)
⁄
20b
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(3 − 3
𝑠𝑖𝑛𝑥
)
3𝑥
2
𝑡𝑔
2
⁄
𝑥
20c
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(3 − 3
𝑠𝑖𝑛
2
𝜋𝑥
)
−1 (𝑥−1)
2
⁄