Можно ли на егэ использовать определители

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $Deltaneq 0$.
2. Для каждой переменной $x_i$($i=overline{1,n}$) необходимо составить определитель $Delta_{x_i}$, полученный из определителя $Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=frac{Delta_{x_{i}}}{Delta}$ ($i=overline{1,n}$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ $left{begin{aligned}
& 3x_1+2x_2=-11;
& -x_1+5x_2=15.
end{aligned}right.$ методом Крамера.

Решение

Матрица системы такова: $ A=left( begin{array} {cc} 3 & 2 -1 & 5 end{array} right)$. Определитель этой матрицы:

$$Delta=left| begin{array} {cc} 3 & 2 -1 & 5 end{array}right|=3cdot 5-2cdot(-1)=17.$$

Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $Delta_{x_1}$ и $Delta_{x_2}$. Определитель $Delta_{x_1}$ получаем из определителя $Delta=left| begin{array} {cc} 3 & 2 -1 & 5 end{array}right|$ заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $left(begin{array} {c} -11 15end{array}right)$:

$$
Delta_{x_1}=left|begin{array}{cc}-11&215&5end{array}right|=-55-30=-85.
$$

Аналогично, заменяя второй столбец в $Delta=left|begin{array}{cc}3&2-1&5end{array}right|$ столбцом свободных членов, получим:

$$
Delta_{x_2}=left|begin{array} {cc} 3 & -11 -1 & 15end{array}right|=45-11=34.
$$

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

$$x_1=frac{Delta_{x_1}}{Delta}=frac{-85}{17}=-5;;x_2=frac{Delta_{x_2}}{Delta}=frac{34}{17}=2.$$

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

$$left{begin{aligned}
& 3x_1+2x_2=3cdot(-5)+2cdot{2}=-11;
& -x_1+5x_2=-(-5)+5cdot{2}=15.
end{aligned}right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

Ответ: $x_1=-5$, $x_2=2$.

Пример №2

Решить СЛАУ $
left{begin{aligned}
& 2x_1+x_2-x_3=3;
& 3x_1+2x_2+2x_3=-7;
& x_1+x_3=-2.
end{aligned} right.$, используя метод Крамера.

Решение

Определитель системы:

$$Delta=left| begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1 3 & 2 & 2 1 & 0 & 1 end{array}right|=4+2+2-3=5.$$

Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_{x_1}$:

$$
Delta_{x_1}=left| begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1 -7 & 2 & 2 -2 & 0 & 1 end{array}right|=6-4-4+7=5.
$$

Заменяя второй столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_{x_2}$:

$$
Delta_{x_2}=left| begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1 3 & -7 & 2 1 & -2 & 1 end{array}right|=-14+6+6-7-9+8=-10.
$$

Заменяя третий столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_{x_3}$:

$$
Delta_{x_3}=left| begin{array} {ccc} 2 & 1 & 3 3 & 2 & -7 1 & 0 & -2 end{array}right|=-8-7-6+6=-15.
$$

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

$$
x_1=frac{Delta_{x_1}}{Delta}=frac{5}{5}=1;; x_2=frac{Delta_{x_2}}{Delta}=frac{-10}{5}=-2; ; x_3=frac{Delta_{x_3}}{Delta}=frac{-15}{5}=-3.
$$

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

$$left{begin{aligned}
& 2x_1+x_2-x_3=2cdot{1}+(-2)-(-3)=3;
& 3x_1+2x_2+2x_3=3cdot{1}+2cdot(-2)+2cdot(-3)=-7;
& x_1+x_3=1+(-3)=-2.
end{aligned} right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Ответ: $x_1=1$, $x_2=-2$, $x_3=-3$.

Пример №3

Решить СЛАУ $left{begin{aligned}
& 2x_1+3x_2-x_3=15;
& -9x_1-2x_2+5x_3=-7.
end{aligned}right.$ используя метод Крамера.

Решение

Матрица системы $ left( begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1 -9 & -2 & 5 end{array} right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

$$

left { begin{aligned}
& 2x_1+3x_2=x_3+15;
& -9x_1-2x_2=-5x_3-7.

end{aligned} right.

$$

Теперь матрица системы $ left( begin{array} {cc} 2 & 3 -9 & -2 end{array} right) $ стала квадратной, и определитель её $Delta=left| begin{array} {cc} 2 & 3 -9 & -2 end{array}right|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

$$
begin{aligned}
& Delta_{x_1}
=left| begin{array} {cc} x_3+15 & 3 -5x_3-7 & -2 end{array}right|
=-2x_3-30-left(-15x_3-21right)
=13x_3-9;

& Delta_{x_2}
=left| begin{array} {cc} 2 & x_3+15 -9 & -5x_3-7 end{array}right|
=-10x_3-14-left(-9x_3-135right)
=-x_3+121.
end{aligned}
$$

$$
x_1=frac{Delta_{x_1}}{Delta}=frac{13x_3-9}{23};;
x_2=frac{Delta_{x_2}}{Delta}=frac{-x_3+121}{23}.
$$

Ответ можно записать в таком виде: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{13x_3-9}{23};
& x_2=frac{-x_3+121}{23};
& x_3in R.
end{aligned}right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

Примечание

В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ
$left{begin{aligned}
& 2x_1-5x_2+10x_3=14;
& -4x_1+10x_2-7x_3=5.
end{aligned}right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $
left{begin{aligned}
&2x_1-5x_2=-10x_3+14;
&-4x_1+10x_2=7x_3+5.
end{aligned}right.$. Определитель данной системы $Delta=left| begin{array} {cc} 2 & -5 -4 & 10 end{array}right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $
left{begin{aligned}
&2x_1+10x_3=5x_2+14;
&-4x_1-7x_3=-10x_2+5.
end{aligned}right.$, определитель которой $Delta=left| begin{array} {cc} 2 & 10 -4 & -7 end{array}right|=-14+40=26$ не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3.

Пример №4

Решить СЛАУ

$$left{begin{aligned}
&x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;
&2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0;
&-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0.
end{aligned}right.$$

методом Крамера.

Решение

Матрица системы $left(begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3
2 & -6 & 1 & -4 & -2
-1 & 4 & 5 & -3 & 0
end{array}right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

$$
left{begin{aligned}
& x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;
& 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5;
& -x_1+4x_2+5x_3=3x_4.
end{aligned}right.$$

$$
begin{aligned}
& Delta
=left| begin{array} {ccc} 1 & -5 & -1 2 & -6 & 1-1 & 4 & 5 end{array}right|
=19;

& Delta_{x_1}
=left| begin{array} {ccc} 2x_4-3x_5 & -5 & -1 4x_4+2x_5 & -6 & 13x_4 & 4 & 5 end{array}right|
=-17x_4+144x_5;

& Delta_{x_2}
=left| begin{array} {ccc} 1 & 2x_4-3x_5 & -1 2 & 4x_4+2x_5 & 1-1 & 3x_4 & 5 end{array}right|
=-15x_4+41x_5;

& Delta_{x_3}
=left| begin{array} {ccc} 1 & -5 & 2x_4-3x_5 2 & -6 & 4x_4+2x_5-1 & 4 & 3x_4 end{array}right|
=20x_4-4x_5.
end{aligned}
$$

Ответ таков: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{-17x_4+144x_5}{19};
& x_2=frac{-15x_4+41x_5}{19};
& x_3=frac{20x_4-4x_5}{19};
& x_4in R; ; x_5in R.
end{aligned}right.$ Переменные $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные, переменные $x_4$, $x_5$ – свободные.

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

• Формулы Крамера
• Три случая при решении систем линейных уравнений
• Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
• Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения
• Продолжаем решать системы методом Крамера вместе
• Калькулятор — решение систем уравнений онлайн
• Программная реализация метода Крамера на C++

Формулы Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений,
сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю,
то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может.
Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений,
имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют
какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных
не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих
переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное.
На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов.
То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества
экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко
ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений,
переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых
систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что
система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Другое по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).^[1]

Описание метода[править | править код]

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме метод Крамера справедлив без предположения, что отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример[править | править код]

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

Определители:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

Пример:

Определители:

Вычислительная сложность[править | править код]

Метод Крамера требует вычисления определителей размерности . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка , что сложнее, чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью , сравнимой со сложностью метода Гаусса^[2].

Литература[править | править код]

• Мальцев И. А. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.

Примечания[править | править код]

См. также[править | править код]

• Метод Гаусса

Способ Крамера – это один из четких способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Точность его обоснована внедрением определителей матрицы системы, также некими ограничениями, накладываемыми в процессе подтверждения аксиомы. 

Системой линейных алгебраических уравнений с коэффициентами, принадлежащими, к примеру, огромному количеству R – реальных чисел, от неведомых x1, x2 ,…, xn именуют набор выражений вида

ai2 x1+ai2 x2 +… ain xn =bi при i=1, 2, … ,m, (1)

где aij, bi – действительные числа. Каждое из этих выражений именуется линейным уравнением, aij – коэффициентами при неведомых, bi – свободными коэффициентами уравнений.

Решением системы (1) именуют n-мерный вектор x° = (x1°, x2°,…, xn°), при подстановке которого в систему заместо неведомых x1, x2 ,…, xn любая из строк в системе становится верным равенством.

Система именуется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной, если ее огромное количество решений совпадает с пустым обилием.

Нужно держать в голове, что для того, чтоб отыскать решение систем линейных алгебраических уравнений, используя способ Крамера, матрицы систем должны быть квадратными, что на самом деле значит однообразное количество неведомых и уравнений в системе.

Итак, чтоб использовать способ Крамера, нужно как минимум знать, что такое матрица систем линейных алгебраических уравнений и как она выписывается. А во-2-х, осознавать, что именуют определителем матрицы и обладать способностями его вычисления.

Представим, что этими познаниями вы владеете. Замечательно! Тогда вам остается всего только уяснить формулы, определяющие способ Крамера. Для упрощения запоминания воспользуемся последующими обозначениями:

• Det – главный определитель матрицы системы;

• deti – это определитель матрицы, приобретенной из основной матрицы системы, если поменять i-й столбец матрицы на вектор-столбец, элементами которого являются правые части систем линейных алгебраических уравнений;

• n – количество неведомых и уравнений в системе.

Тогда правило Крамера вычисления i-й составляющие xi (i=1,..n) n-мерного вектора x можно записать в виде

xi = deti/ Det, (2).

При всем этом Det строго отличен от нуля.

Единственность решения системы при ее совместности обеспечивает условие неравенства нулю головного определителя системы. В неприятном случае, если сумма (xi), возведенных в квадрат, строго положительна, то СЛАУ с квадратной матрицей будет несовместной. Это может произойти, а именно, когда, по последней мере, один из deti отличен от нуля.

Пример 1. Решить трехмерную систему ЛАУ, используя формулы Крамера.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 – x2 + x3 =10.

Решение. Выпишем матрицу системы построчно, где Ai – это i -я строчка матрицы.
A1=(1 2 4), A2=(5 1 2), A3=(3 –1 1).
Столбец свободных коэффициентов b=(31 29 10).

Главный определитель Det системы равен
Det= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a32 a23 – a33 a21 a12 = 1 – 20 + 12 – 12 + 2 – 10 = –27.

Для вычисления det1 используем подстановку a11= b1, a21 = b2, a31 = b3. Тогда
det1= b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 – a13 a22 b3 – b1 a32 a23 – a33 b2 a12 =…= –81.

Аналогично, для вычисления det2 используем подстановку a12= b1, a22 = b2, a32 = b3 и, соответственно, для вычисления det3 – a13= b1, a23 = b2, a33 = b3.
Тогда сможете проверить, что det2 = –108, а det3 = – 135.
Согласно формулам Крамера находим x1 = -81/(-27) = 3, x2 = -108/(-27) = 4, x3 = -135/(-27) = 5.

Ответ: x°=(3,4,5).

Делая упор на условия применимости данного правила, способ Крамера решения систем линейных уравнений можно использовать опосредованно, к примеру, с целью изучить систему на вероятное число решений зависимо от величины некого параметра k.

Пример 2. Найти, при каких значениях параметра k неравенство |kx – y – 4|+|x + ky + 4|<=0 имеет ровно одно решение.

Решение.
Данное неравенство в силу определения модуля функции может быть выполнено, только если оба выражения сразу равны нулю. Потому эта задачка сводится к нахождению решения линейной системы алгебраических уравнений

kx – y = 4,
x + ky = –4.

Решение данной системы единственное, если ее главный определитель
Det = k^{2} + 1 отличен от нуля. Разумеется, что это условие производится для всех реальных значений параметра k.

Ответ: для всех реальных значений параметра k.

К задачкам данного вида также могут быть сведены многие практические задачки из области арифметики, физики либо химии.

1. No category

ВОЗМОЖНОСТИ МЕТОДА КРАМЕРА