Найдите наименьшее значение функции егэ профиль - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Всего: 638 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4,5; 0].

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Всего: 638 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

1. Элементарные функции

2. Применение формул производной произведения и частного

2.1	Найдите точку минимума функции y=(3-x)cdot e^{3-x}.	Смотреть видеоразбор
2.2	Найдите точку максимума функции y=(x^2-10x+10)cdot e^{5-x}.	Смотреть видеоразбор
2.3	Найдите наименьшее значение функции y=(x-1)e^x на отрезке [-1;1].	Смотреть видеоразбор
2.4	Найдите наибольшее значение функции y=(10-x)sqrt{x+2} на отрезке [-1; 7].	Смотреть видеоразбор
2.5	Найдите наименьшее значение функции y=2xsqrt{x}-9x+11 на отрезке [2; 9].	Смотреть видеоразбор
2.6	Найдите наибольшее значение функции y=(x-2)^2(x-4)+5 на отрезке [1; 3].	Смотреть видеоразбор
2.7	Найдите точку максимума функции y=(x+5)e^{5-x}.	Смотреть видеоразбор
2.8	Найдите точку минимума функции y=(10-x)e^{10-x}.	Смотреть видеоразбор
2.9	Найдите наименьшее значение функции y=x^2+frac{25+x^2-x^3}{x} на отрезке [1; 10].	Смотреть видеоразбор

3. Применение формулы производной сложной функции

4. Тригонометрические функции

4.1	Найдите наибольшее значение функции y=8x-4tg;x-2pi+2 на отрезке [-frac{pi}{3}; frac{pi}{3}].	Смотреть видеоразбор
4.2	Найдите наименьшее значение функции y=4sin{x}+3cos{x} на отрезке [0; 7].	Смотреть видеоразбор
4.3	Найдите наибольшее значение функции y=2cos{x}-frac{18}{pi}x+4 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.4	Найдите наименьшее значение функции y=5sin{x}+frac{24}{pi}x+6 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.5	Найдите наибольшее значение функции y=3tg{x}-3x+5 на отрезке [-frac{pi}{4}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.6	Найдите наименьшее значение функции y=3cos{x}-frac{48}{pi}x+19 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.7	Найдите наименьшее значение функции f(x)=sin{x}+sqrt{1+sin^2{x}}.	Смотреть видеоразбор
4.8	Найдите наибольшее значение функции y=33x-30sin{x}+29 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.9	Найдите точку максимума функции y=(2x-3)cos{x}-2sin{x}+5, принадлежащую промежутку (0; frac{pi}{2}).	Смотреть видеоразбор
4.10	Найдите точку максимума функции y=(2x-1)cos{x}-2sin{x}+5, на промежутке (0; frac{pi}{2}).	Смотреть видеоразбор
4.11	Найдите наибольшее значение функции y=2sin{x}-frac{36}{pi}x+9 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.12	Найдите наибольшее значение функции y=7sqrt{2}cos{x}+7x-frac{7pi}{4}+4 на отрезке [0; frac{pi}{2}].	Смотреть видеоразбор
4.13	Найдите наибольшее значение функции y=12cos{x}+6sqrt{3}x-2sqrt{3}pi+6 на отрезке [0; frac{pi}{2}].	Смотреть видеоразбор
4.14	Найдите наибольшее значение функции y=12tg;x -12x+3pi-7 на отрезке [-frac{pi}{4}; frac{pi}{4}].	Смотреть видеоразбор
4.15	Найдите наименьшее значение функции y=6cos{x}+frac{24x}{pi}+5 на промежутке [-frac{2pi}{3}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.16	Найдите наименьшее значение функции y=3+frac{5pi}{4}-5x-5sqrt{2}cos{x} на отрезке [0; frac{pi}{2}].	Смотреть видеоразбор
4.17	Найдите наименьшее значение функции y=5cos{x}-6x+4 на отрезке [-frac{3pi}{2}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.18	Найдите наибольшее значение функции y=15x-3sin{x}+5 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.19	Найдите наименьшее значение функции y=9cos{x}+14x+7 на отрезке [0; frac{3pi}{2}].	Смотреть видеоразбор
4.20	Найдите наименьшее значение функции y=7sin{x}-8x+9 на отрезке [-frac{3pi}{2}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.21	Найдите наименьшее значение функции y=6cos{x}+frac{24}{pi}x+5 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.22	Найдите наибольшее значение функции y=10sin{x}-frac{36}{pi}x+7 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0].	Смотреть видеоразбор

5. Логарифмическая и показательная функции

5.1	Найдите наименьшее значение функции y=3x-ln(x+3)^3 на отрезке [-2,5; 0].	Смотреть видеоразбор
5.2	Найдите наименьшее значение функции y=9x-ln(9x)+3 на отрезке [frac{1}{18}; frac{5}{18}].	Смотреть видеоразбор
5.3	Найдите наибольшее значение функции y=2x^2-13x+9cdot ln{x}+8 на отрезке [frac{13}{14}; frac{15}{14}].	Смотреть видеоразбор
5.4	Найдите наименьшее значение функции y=5x-ln(x+5)^5 на отрезке [-4,5; 1].	Смотреть видеоразбор
5.5	Найдите наименьшее значение функции y=7x-ln(x-2)^7 на отрезке [-1,5; 0].	Смотреть видеоразбор
5.6	Найдите точку максимума функции y=ln(x+4)^2+2x+7.	Смотреть видеоразбор
5.7	Найдите наименьшее значение функции y=log_{sqrt{3}}(x-4sqrt{x-2}+5) на отрезке [5; 10].	Смотреть видеоразбор
5.8	Найдите наименьшее значение функции y=4^x-2^{x+4}+100.	Смотреть видеоразбор

6. Функции, в которых присутствует квадратичная в виде «вложенной»

6.1	Найдите наименьшее значение функции y=2^{x^2+100x+2503}	Смотреть видеоразбор
6.2	Найдите наибольшее значение функции y=5^{-3x^2+18x-24}.	Смотреть видеоразбор
6.3	Найдите точку максимума функции y=-sqrt{x^2-8x+17}.	Смотреть видеоразбор
6.4	Найдите наибольшее значение функции y=3^{-7-6x-x^2}.	Смотреть видеоразбор
6.5	Найдите наибольшее значение функции y=log_5(4-2x-x^2)+3.	Смотреть видеоразбор
6.6	Найдите точку максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2}.	Смотреть видеоразбор

7. Задачи на первообразную (не входят в ЕГЭ этого года)

7.1	Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=frac{3x+2}{5}, если F(4)=5. В ответе укажите значение F(1).	Смотреть видеоразбор
7.2	Наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=x^2−2x−3 на отрезке [0;6] равно −9. Найдите наибольшее значение первообразной на этом отрезке.	Смотреть видеоразбор
7.3	Наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=x^2-2x-3 на отрезке [0; 6] равно −9. Найдите наибольшее значение первообразной на этом отрезке.	Смотреть видеоразбор
7.4	Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=frac{3x+2}{5}, если F(4)=5. В ответе укажите значение F(1).	Смотреть видеоразбор
7.5	Один из двух нулей первообразной F(x) для функции f(x)=5x-1 равен -3. Найдите второй нуль.	Смотреть видеоразбор

Источник

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную этой функции. Представим, что

$$sqrt[3]{(x+5)^{2}}=(x+5)^{frac{2}{3}}$$

$$ sqrt[3]{(x+5)^{5}}=(x+5)^{frac{5}{3}}$$

Тогда $$f_{‘}(x)=frac{2}{3}*(x+5)^{-frac{1}{3}}-frac{5}{3}*(x+5)^{frac{2}{3}}=0$$

$$0=frac{1}{3}*(2(x+5)^{-frac{1}{3}}-5*(x+5)^{frac{2}{3}})$$

$$0=2(x+5)^{-frac{1}{3}}-5*(x+5)^{frac{2}{3}}$$ Вынесем $$(x+5)^{-frac{1}{3}}$$ за скобки:

$$(x+5)^{-frac{1}{3}}(2-5*(x+5))=0$$

Получаем, что x = -4.6 и x = -5.

Если начертить координатную прямую и расставить на ней знаки производной, то увидим, что на промежутках (-∞;-5] и [-4.6;+∞) производная отрицательна, а на промежутке [-5;-4.6] — положительна. Значит x = -5 точка минимума

Источник

Решение заданий ЕГЭ по теме: «Наибольшее и наименьшее значения функции» Задание 11 ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня.

→ скачать презентацию

Для выполнения задания 11 необходимо уметь выполнять действия с функциями

Примеры заданий:

Задание №1. Найдите точку минимума функции y=x³-9x²+12.

Задание №2. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 =𝑥³/4− 27𝑥 + 11 на отрезке −[8; 0].

Задание № 3. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = (𝑥 + 9)² ⋅ (𝑥 − 5) − 5 на отрезке [−19; −5] .

Основные понятия

Точка минимума — такая точка x₀, если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)>f(x₀)

Минимум функции — значение функции в точке минимума x₀

Точка максимума — такая точка x₀ , если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)<f(x₀)

Максимум функции — значение функции в точке максимума x₀

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Экстремумы могут существовать только в критических точках. Однако, не все критические точки являются экстремумами.

Теорема (достаточный признак существования экстремума функции).

Критическая точка x₀ является точкой экстремума функции f(x), если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с «плюса» на «минус», то точкой максимума, а если с «минуса» на «плюс», то точкой минимума.

Связанные страницы:

Источник