Найдите скалярное произведение векторов егэ

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с². Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или .

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами: .

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

к оглавлению ▴

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов. и

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов и получаем:

;

.

к оглавлению ▴

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

к оглавлению ▴

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

к оглавлению ▴

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

.

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

.

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

.

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе вуза.

---

к оглавлению ▴

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

ПОДРОБНЕЕ

---

Тема «Векторы на координатной плоскости» достаточно подробно рассматривается в рамках школьного курса учащихся старших классов. Однако практика показывает, что, сталкиваясь с нетипичным заданием, выпускники часто теряются и не могут быстро найти правильный ответ.

Чтобы задачи, в которых требуется построить векторы на координатной плоскости, не вызывали сложностей при написании профильного уровня ЕГЭ по математике, необходимо понять, как они решаются.

Вместе с образовательным порталом «Школково» подготовка к прохождению аттестационного испытания будет легкой и качественной! Сайт поможет учащимся выявить пробелы в знаниях и успешно справиться с аттестационным испытанием.

Чтобы разобраться в теме «Координаты вектора на координатной плоскости», рекомендуем вначале вспомнить весь базовый материал. Он представлен в разделе «Теоретическая справка». Учащиеся смогут освежить в памяти основные теоремы, свойства координат вектора, определение скалярного произведения векторов и другие понятия, которые помогут при решении заданий ЕГЭ.

Для того чтобы закрепить усвоенный материал, мы рекомендуем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач по теме «Векторы на координатной плоскости», а также по правилам сложения и вычитания векторов представлена в разделе «Каталог». Для качественной подготовки к ЕГЭ лучше всего переходить от простых упражнений к более сложным. В каждом задании на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ.

Практиковаться в выполнении задач выпускники из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.

Скалярное произведение в алгебре

Автор: Белова Виктория Васильевна,

учитель математики МБОУ СШ № 14

г. Нижневартовска

             Рассмотрим задачи школьного курса алгебры, при решении которых используется скалярное произведение векторов.

Определение и свойства скалярного произведения.

             Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними, т.е.

 где  – угол между векторами

           Так как

           

  и               

           Заметим, что равенство достигается в неравенстве (1), если векторы  коллинеарны; в неравенстве (2), если векторы  сонаправлены.

            Кроме того, напомним, что если известны координаты векторов в прямоугольной системе координат, то скалярное произведение векторов и длина вектора  находятся по формулам

и, следовательно, .                                     (3)

Аналогичные формулы справедливы и для трехмерного пространства

                                                                          (1,a)

                                                                                        (2,a)

.                    (3,a)

Применение векторов для решения уравнений

№1. Решите уравнение           .

Решение.  Введем векторы      Тогда

Вычислим длины векторов:  

Следовательно,  и        значит ,  .

Ответ: 

№2. Решите уравнение

Решение. Введем векторы  Тогда ,  Найдем  Тогда данное уравнение запишется в виде  а это выполняется тогда и только тогда, когда  коллинеарны, т.е. когда коэффициенты векторов пропорциональны, следовательно,

Ответ: 

№3. Решите уравнение 

Решение. Введем векторы

Тогда 

Пусть   значит  и Уравнение примет вид   что возможно лишь тогда, когда  – коллинеарны, тогда координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

где

Ответ: где .

№4. Решите уравнение 

Решение. Введем векторы  Тогда   

Но  т.е.  значит   коллинеарны, следовательно,     или

. . Из  первого уравнения нетрудно заметить, что  Подставим найденный корень во второе уравнение: т.е. , следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

№5. Решите уравнение     .

Решение.   Введем векторы  

  

 то есть  – коллинеарны, следовательно,

  Подбором нетрудно обнаружить, что один из корней равен  Разделив многочлен на выражение , получаем квадратный трехчлен  (  – посторонний корень. Тогда окончательно получаем:  .

Ответ: 

№6. Решите систему         

Решение.    Введем векторы  

 Рассмотрим два случая:

1. 
2. 

Ответ: 

№7. Решите систему 

Решение.    Введем векторы

 следовательно, вектора  коллинеарны. Тогда:    Решая это равенство, получаем:

Ответ: 

№8. Решите систему 

Решение.    Введем векторы

  

 и  следовательно, все векторы коллинеарны. Тогда:

Ответ: 

№9. Решите систему 

Решение.  Введем векторы

, следовательно,  – коллинеарны.   Тогда:

  Рассмотрим функцию

тогда (с точки зрения нашего уравнения)   (подставили вместо  в первое  и нашли их значения).

Ответ: 

ЛИТЕРАТУРА

1. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», №8, 2008 г., с.47-51.