Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
2
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
3
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу 
4
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.
5
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Пройти тестирование по этим заданиям
Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.
Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…
Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.
Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.
Орел и решка — два возможных исхода испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 
.
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.
Вероятность выпадения тройки равна 
(один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки — тоже .
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Вот другой пример. В пакете 
яблок, из них 
— красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 
, а зеленое — 
.
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 
.
БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ
Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.
Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.
В фирме такси в данный момент свободно 
машин: 
красных, 
желтых и 
зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Всего имеется машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 
, то есть 
.
В сборнике билетов по биологии всего билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 
, то есть 
.
Родительский комитет закупил 
пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 
с картинами известных художников и 
с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.
Задача решается аналогично.
Ответ: .
В чемпионате по гимнастике участвуют 
спортсменок: — из России, 
— из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.
Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 
(поскольку из Китая — 
спортсменок). Ответ: 
.
Ученика попросили назвать число от 
до 
. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна 
.
Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
— нечетные числа; 
— четные. Вероятность нечетного числа очков равна .
Ответ: 
.
Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.
Две монеты — уже четыре исхода:
| орел | орел |
| орел | решка |
| решка | орел |
| решка | решка |
Три монеты? Правильно, 
исходов, так как 
.
Вот они:
| орел | орел | орел |
| орел | орел | решка |
| орел | решка | орел |
| решка | орел | орел |
| орел | решка | решка |
| решка | орел | решка |
| решка | решка | орел |
| решка | решка | решка |
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
Ответ: 
.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 
возможных исходов, так как 
.
А теперь — благоприятные исходы:
Вероятность выпадения восьми очков равна 
.
Стрелок попадает в цель с вероятностью 
. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.
Если вероятность попадания равна — следовательно, вероятность промаха 
. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 
. А вероятность четырех попаданий подряд равна 
.
Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей
ПОДРОБНЕЕ
Вероятность: логика перебора.
В кармане у Пети было монеты по рублей и монеты по 
рублей. Петя не глядя переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?
Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора 
.
Однако есть более простое решение:
Кодируем монеты числами: , (это пятирублёвые), 
(это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:
Есть шесть фишек с номерами от до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами и не оказались вместе?
Давайте запишем, что у нас в первом кармане.
Для этого составим все возможные комбинации из набора 
. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 
и 
— это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:
…
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 
, а затем:
.
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:
.
Всего возможных исходов.
У нас есть условие — фишки с номерами и не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 
нам не подходит — она означает, что фишки и обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего благоприятных исходов.
Тогда искомая вероятность равна 
.
Ответ: .
Сумма событий, произведение событий и их комбинации
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть 
– вероятность того, что чайник прослужил больше года.
– вероятность того, что он сломается на второй год, 
– вероятность того, что он прослужит больше двух лет.
Очевидно, 
Тогда 
Ответ: 0,06.
События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.
Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.
В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.
Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.
Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна 
Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью 
На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна 
а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна 
то есть 0,03125.
События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.
В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.
Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.
(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?
Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку 
Для второго 
Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью 
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.
Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.
Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна 
. Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна 
.
Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.
Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.
Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: 
Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна 
Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.
Мы получили уравнение:
Решаем это уравнение и находим, что 
– вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).
Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:
Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.
Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.
Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна 
), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна 
). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна 
Ответ: 0,0545.
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 
Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна 
Это ответ.
Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.
Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».
Смотрите также: парадокс Монти Холла.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов
$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.
Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$
В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.
Решение:
Найдем количество желтых автомобилей:
$50-35=15$
Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$
Ответ:$0,3$
Противоположные события
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.
$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$
Независимые события
Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.
Решения:
Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.
Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.
События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Ответ: $0,018$
Несовместные события
Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
$Р = 0,3+0,18=0,48$
Ответ: $0,48$
Совместные события
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.
Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$
В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.
Решение:
Обозначим события, пусть:
$А$ = кофе закончится в первом автомате,
$В$ = кофе закончится во втором автомате.
Тогда,
$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,
$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.
События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Ответ: $0,88$
4. Введение в теорию вероятностей
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Сложные задачи по теории вероятности
Общая памятка по всем разделам теории вероятностей:
Задание
1
#3858
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы (4) очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает (3) очка, в случае ничьей — (1) очко, если проигрывает — (0) очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны (0,3).
Чтобы команда в двух играх набрала не менее (4) очков, ей нужно: либо 1) выиграть обе игры, либо 2) выиграть в одной из игр и сыграть вничью в другой игре.
Так как вероятности выиграть и проиграть одинакова и равна (0,3), то вероятность сыграть вничью равна (1-0,3-0,3=0,4).
Следовательно, вероятности в этих случаях равны соответственно:
1) (0,3cdot 0,3)
2) (0,3cdot 0,4+0,4cdot 0,3) (выиграть в первой игре и сыграть вничью во второй или сыграть вничью в первой и выиграть во второй).
Следовательно, вероятность того, что команда выйдет в следующий круг соревнований, равна [0,3cdot 0,3+0,3cdot 0,4+0,4cdot 0,3=0,33]
Ответ: 0,33
Задание
2
#2739
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Илья решает задачу по геометрии, в которой дан четырёхугольник (ABCD), причём (AB = 5), (BC = 6), (CD = 4), (AD = 10). В условии задачи сказано, что одна из вершин является центром некоторой окружности и Илья думает, какую вершину ему выбрать в качестве центра этой самой окружности.
Известно, что вероятность выбора каждой конкретной вершины пропорциональна сумме длин сторон четырёхугольника (ABCD), проходящих через эту вершину. Какова вероятность того, что Илья выберет вершину (B)?
Через вершину (A) проходят стороны (AB) и (AD), их сумма: (AB + AD = 15).
Через вершину (B) проходят стороны (AB) и (BC), их сумма: (AB + BC = 11).
Через вершину (C) проходят стороны (BC) и (CD), их сумма: (BC + CD = 10).
Через вершину (D) проходят стороны (CD) и (DA), их сумма: (CD + DA = 14).
Обозначим вероятность выбора вершины (A) через (P(A)) (для остальных вершин аналогично). Тогда по условию имеем: [P(A) = 15k,qquad P(B) = 11k,qquad P(C) = 10k,qquad P(D) = 14k,,] но (P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1), тогда (k = 0,02), откуда находим: (P(B) = 0,22).
Ответ: 0,22
Задание
3
#191
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Монетку подбросили 10 раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 9 орлов? Ответ округлите до тысячных.
Условие того, что выпало не менее 9 орлов эквивалентно тому, что выпало не более 1 решки, то есть либо ровно 1 решка, либо 0 решек.
Количество всевозможных различных исходов в серии из 10 испытаний равно (2^{10} = 1024).
Среди них есть 11 исходов, подходящих под условие: (Орёл; Орёл; …; Орёл), (Орёл; Орёл; …; Орёл; Решка), (Орёл; Орёл; …; Решка; Орёл), …, (Решка; Орёл; …; Орёл), следовательно, искомая вероятность равна [dfrac{11}{1024}.] После округления получим (0,011).
Ответ: 0,011
Задание
4
#190
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Монетку подбросили 3 раза. Какова вероятность того, что выпало не менее 3 орлов? Ответ округлите до тысячных.
Условие того, что выпало не менее 3 орлов эквивалентно тому, что выпали только орлы.
Количество всевозможных различных исходов в серии из 3 испытаний равно (2^3 = 
. Среди них есть ровно один исход, подходящий под условие: (Орёл; Орёл; Орёл). Таким образом, искомая вероятность равна [dfrac{1}{8} = 0,125.]
Ответ: 0,125
Задание
5
#189
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Монетку подбросили 2 раза. Какова вероятность того, что выпало не менее 1 орла? Ответ округлите до тысячных.
Всевозможных исходов в серии из 2 подбрасываний может быть (2^2 = 4): (Орёл; Орёл), (Орёл; Решка), (Решка; Орёл), (Решка; Решка).
Среди выписанных (всевозможных) исходов под условие задачи подходят первые 3, следовательно, искомая вероятность равна [dfrac{3}{4} = 0,75.]
Ответ: 0,75
Задание
6
#2658
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Игорь трижды подбрасывает правильную игральную кость. Какова вероятность того, что за эти три подбрасывания ровно один раз выпадет число, кратное трём, а сумма результатов подбрасываний не будет делиться на (3)? Ответ округлите до сотых.
Так как игральная кость правильная, то вероятность выпадения каждой грани равна (dfrac{1}{6}). Среди чисел на гранях есть два числа, дающих при делении на (3) остаток (0), два числа, дающих при делении на (3) остаток (1) и два числа, дающих при делении на (3) остаток (2).
Тогда вероятность за одно подбрасывание получить, например, число, дающее при делении на (3) остаток (1), равна (dfrac{1}{3}). С другими остатками аналогично.
Условие задачи можно переформулировать в следующем виде: какова вероятность за три подбрасывания получить результаты, остатки от деления на (3) которых будут содержать единственный (0) и два одинаковых числа?
Таким образом, нас устраивают исходы, остатки от деления на (3) которых будут иметь вид:
[begin{aligned}
&0,quad 1,quad 1\
&1,quad 0,quad 1\
&1,quad 1,quad 0\
&0,quad 2,quad 2\
&2,quad 0,quad 2\
&2,quad 2,quad 0,.
end{aligned}]
Вероятность любого из выписанных исходов равна [dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3},.] При этом различных исходов здесь шесть, следовательно, вероятность получения подходящего исхода равна [6cdot dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3}cdot dfrac{1}{3} = dfrac{2}{9},.] После округления получим ответ (0,22).
Ответ: 0,22
Задание
7
#2765
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Таня заметила, что в казино “Подкинем” используют неправильную игральную кость (т.е. не у всех граней вероятности выпадения одинаковы). При этом она установила, что вероятность выпадения чётного числа равна (0,6); вероятность выпадения числа, делящегося на (3), равна (0,3); вероятность того, что выпадет (1) или (5), равна (0,22). Найдите вероятность того, что на этой игральной кости выпадет число (3). Ответ округлите до сотых.
Вероятность выпадения числа (n) обозначим через (P({n})), вероятность выпадения одного из чисел (m) и (n) обозначим через (P({m; n})), а вероятность выпадения одного из чисел (m), (n) и (k) обозначим через (P({m; n; k})). Тогда [P({2; 4; 6}) = 0,6qquadLeftrightarrowqquad P({1; 3; 5}) = 1 — 0,6 = 0,4]
При этом (P({1; 5}) = 0,22), но ведь (P({1; 3; 5}) — P({1; 5}) = P({3})), следовательно, [P({3}) = 0,4 — 0,22 = 0,18,.]
Ответ: 0,18
Если выпускник готовится к сдаче ЕГЭ по математике профильного уровня, ему необходимо научиться решать задачи на применение теории вероятности повышенной сложности. Как показывает практика многих лет, такие задания являются обязательной частью программы аттестационного испытания. Поэтому если учащийся не до конца понимает принцип решения сложных задач на теорию вероятности, ему обязательно стоит вновь разобраться в данной теме.
Вместе с образовательным порталом «Школково» старшеклассники смогут качественно подготовиться к прохождению аттестационного испытания. Наш сайт позволит определить наиболее сложные темы и восполнить пробелы в знаниях. Опытные специалисты «Школково» подготовили весь необходимый материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли легко справиться с решением сложных задач ЕГЭ на теорию вероятности. Базовая информация по данной теме представлена в разделе «Теоретическая справка».
Чтобы попрактиковаться в выполнении сложных задач ЕГЭ по теории вероятности, школьники могут выполнить соответствующие упражнения. Простые и сложные задания, подобранные нашими специалистами, содержат подробные алгоритмы решения и правильные ответы. База заданий регулярно обновляется и дополняется.
Выполнять упражнения школьники из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. При необходимости задания по теории вероятности в ЕГЭ можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Теория вероятностей»
Открытый банк заданий по теме теория вероятностей. Задания B4 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: нахождение длины, площади, угла, координат
Задание №1060
Условие
На заводе керамической плитки 5% произведённых плиток имеют дефект. При контроле качества продукции обнаруживается лишь 40% дефектных плиток. Остальные плитки отправляются на продажу. Найдите вероятность того, что выбранная случайным образом при покупке плитка не будет иметь дефектов. Ответ округлите до сотых.
Показать решение
Решение
При контроле качества продукции выявляется 40% дефектных плиток, которые составляют 5% от произведённых плиток, и они не поступают в продажу. Значит, не поступает в продажу 0,4 · 5% = 2% от произведённых плиток. Остальная часть произведённых плиток — 100% − 2% = 98% поступает в продажу.
Не имеет дефектов 100% − 95% произведённых плиток. Вероятность того, что купленная плитка не имеет дефекта, равна 95% : 98% = frac{95}{98}approx 0,97
Ответ
0,97
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1059
Условие
Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.
Показать решение
Решение
Вероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85. Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85. Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A cap B, его вероятность равна P(A cap B) = P(A)cdot P(B) = 0,85cdot 0,85 = 0,7225.
Ответ
0,7225
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1058
Условие
Вероятность того, что новая стиральная машина в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе в течение года было продано 1200 стиральных машин, из которых 72 штуки было передано в гарантийную мастерскую. Определите, насколько отличается относительная частота наступления события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Показать решение
Решение
Частота события «стиральная машина в течение года поступит в гарантийный ремонт» равна frac{72}{1200} = 0,06. От вероятности она отличается на 0,065-0,06=0,005.
Ответ
0,005
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1057
Условие
Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.
Показать решение
Решение
Вероятность того, что ручка исправная, равна 1-0,05 = 0,95. Найдём вероятность события «обе ручки исправны». Обозначим через A и B события «первая ручка исправна» и «вторая ручка исправна». Получили P(A) = P(B) = 0,95. Событие «обе ручки исправны» — это пересечение событий Acap B, его вероятность равна P(Acap B) = P(A)cdot P(B) = 0,95cdot 0,95 = 0,9025.
Ответ
0,9025
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1056
Условие
На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти в обратном направлении жук не может, поэтому на каждой развилке он выбирает один из путей, в котором еще не был. С какой вероятностью жук придет к выходу Д, если выбор дальнейшего пути является случайным.
Показать решение
Решение
Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться жук (см. рис.).
Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток жук будет двигаться по выбранному нами направлению.
Чтобы жук достиг выхода Д, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной красной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная красная стрелка, равна frac12cdotfrac12cdotfrac12cdotfrac12= 0,5^4= 0,0625.
Ответ
0,0625
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1055
Условие
В секции 16 спортсменок, среди них две подруги — Оля и Маша. Спортсменок случайным образом распределяют по 4 равным группам. Найдите вероятность того, что Оля и Маша попадут в одну группу.
Показать решение
Решение
Сформируем группы по 16 : 4 = 4 (человека), последовательно помещая спортсменов на свободные места, при этом начнём с Оли и Маши. Сначала поместим Олю на случайно выбранное место из 16. Теперь помещаем на свободное место Машу (исходом этого эксперимента будем считать выбор места для неё). Всего имеется 15 свободных мест (одно уже заняла Оля), поэтому всего возможны 15 исходов. В одной группе с Олей останется 3 свободных места, поэтому событию «Оля и Маша в одной группе» благоприятствуют 3 исхода. Вероятность этого события равна frac{3}{15}=0,2.
Ответ
0,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1054
Условие
В группе туристов 50 человек. Их микроавтобусом в несколько приёмов завозят к отправной точке маршрута по 10 человек за рейс. Порядок перевозки туристов случаен. Найдите вероятность того, что турист П. отправится в первом рейсе микроавтобуса.
Показать решение
Решение
Пусть выбор места в микроавтобусе — исход, выбор места в первом микроавтобусе — благоприятный исход. Общее число исходов равно 50 (общее число мест), благоприятных исходов 10 (число мест на первом рейсе). По определению, вероятность равна frac{10}{50}=0,2.
Ответ
0,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1053
Условие
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна 7»?
Показать решение
Решение
Исходом будем считать пару чисел: очки при первом и втором броске. Тогда указанному событию благоприятствуют следующие исходы: 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1. Их количество равно 6.
Ответ
6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1052
Условие
В классе 25 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек, которые должны пойти на митинг. Найдите вероятность того, что обучающийся в этом классе ученик К., пойдёт на митинг.
Показать решение
Решение
Пусть по жребию пойдут на митинг три человека, которые выберут жребии с номерами «1», «2» и «3» из 25 возможных. Пусть исходом будет получение учеником К. определённого номера. Тогда общее число исходов равно 25, благоприятных исходов 3. По определению, вероятность равна frac{3}{25}=0,12.
Ответ
0,12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1051
Условие
Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.
Показать решение
Решение
Сначала найдём вероятность события «обе лампы перегорели в течение года», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первая лампа перегорела в течение года» и «вторая лампа перегорела в течение года». По условию P(A) = P(B) = 0,4. Событие «обе лампы перегорели в течение года» — это A cap B, его вероятность равна P(A cap B) = P(A) cdot P(B) = 0,4 cdot 0,4 = 0,16 (так как события A и B независимы).
Искомая вероятность равна 1 — P(A cap B) = 1 — 0,16 = 0,84.
Ответ
0,84
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
Еще одна статья по теории вероятностей. В ней собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, а также задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей. Эти задачи относятся к категории «трудные задачи», однако разобрав их с нами, они таковыми вам уже не покажутся.
Теоретическая часть
Если имеются события А и В, то
Эти формулы следуют применять, когда А и В – зависимые совместные события (более простые случаи рассмотрены в предыдущих статьях (часть1, часть 2, часть 3, часть 4).
Задачи о зависимых событиях
Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
1-й способ.
Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда 
.
Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 — 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) — P(A ∪ B)= 0,6 + 0,6 — 0,78 = 0,42
2-й способ
Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».
Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:
P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.
Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет 
«кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна 
= 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.
3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | |
| кофе остался |
По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.
В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался |
Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался | 0,18 |
Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.
| Второй автомат | |||
| кофе закончился | кофе остался | ||
| Первый автомат | кофе закончился | 0,22 | 0,18 |
| кофе остался | 0,18 | 0,42 |
Ответ: 0,42.
Задачи на проценты
Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение.
Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.
Отсюда
Ответ: 0,4
Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
Решение.
Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.
Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна 
≈ 0,93
Ответ: 0,93.
Разные задачи
Задача 5.4 На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.
Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).
Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17
2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)
Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17.
Ответ: 0,17.
Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение.
1-й способ
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.
Вероятность непоражения
после второго выстрела равна 0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего 0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого 0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого 0,0216 • 0,3 = 0,00648.
Следовательно, необходимо 5 выстрелов.
2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)
Вероятность непоражения после n выстрелов равна 
, так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.
По условию необходимо, чтобы
Ответ: 5.
Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.
Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку 0, 5, по литературе 0,6 и по математике 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение.
Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 – 0,6) • (1 –0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 – 0,04 = 0,96.
Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.
Ответ: 0,384.
Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение.
Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
|
хорошая |
1 |
|||
| отличная | 0 |
Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | ||
| отличная | 0 | 0,1 |
Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого равна 0,1 • 0,1 = 0,01.
Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | 0,82 | |
| отличная | 0 | 0,1 | 0,18 |
Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.
Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.
| 11 марта | 12 марта | 13 марта | 14 марта | |
| хорошая | 1 | 0,9 | 0,82 | |
| отличная | 0 | 0,1 | 0,18 | 0,244 |
Ответ: 0,244.
Подведем итог
Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.
Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.
Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.
Также рекомендую изучить «Задачи с параметром» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова