Найдите вероятность того что студент сдаст экзамен

Пример 1. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является браком, а 75 % небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

Решение. Пусть событие A={выбранное изделие небракованное}, событие B={небракованное изделие удовлетворяет требованиям первого сорта}, событие C={выбранное наудачу изделие первосортное}. Событие C предоставляет собой произведение событий A и B: C=AB. По условию , . Тогда по теореме умножения вероятностей (см. 2.1) искомая вероятность .

Пример 2. В первом ящике 2 белых и 10 красных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 красных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение. В данном случае речь идет о совмещении событий A и B, где событие A={появление белого шара из первого ящика}, событие B={появление белого шара из второго ящика}. При этом A и B – независимые события. Имеем , . По теореме умножения для независимых событий (см. (6)) находим .

Пример 3. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета?

Решение. Пусть событие ={выигрыш по -му билету}, =1, 2, 3, 4. События — совместные, но зависимые.

А) По формулам (8) и (4) вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух билетов

Б) по формулам (9) и (5) вероятность выигрыша хотя бы по одному из четырех билетов

Пример 4. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,75, при втором – 0,8, при третьем – 0,9. Определить вероятность того, что будет: а) три попадания; б) хотя бы одно попадание.

Решение. А) Пусть событие A состоит в том, что будет три попадания в цель. Событие A представляет собой произведение трех событий: , где — попадание в цель при -м выстреле, . События — независимые. По теореме умножения для независимых событий (см. (7)) .

Б) Пусть событие B состоит в том, что будет хотя бы одно попадание в цель при трех выстрелах (т. е. не менее одного попадания в цель). Событие — сложное событие. События — совместные, а потому использовать аксиому сложения для вычисления вероятности события B нельзя. Представим событие B в виде суммы несовместных событий (вариантов):

.

По теореме умножения для независимых событий можно найти вероятность каждого варианта и все эти вероятности сложить в соответствии с аксиомой сложения. Однако такой путь решения задачи слишком сложен. Целесообразнее от события B перейти к противоположному событию ={нет ни одного попадания в цель при трех выстрелах}. Учитывая, что событие , по теореме умножения для независимых событий (см. (7)), найдем , откуда .

На этом примере проиллюстрирован принцип целесообразности применения противоположных событий в теории вероятностей.

Пример 5. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4, третий -0,5. По условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.

Решение. Пусть событие ={принят корреспондентом -й вызов}, =1, 2, 3. События совместные и независимые. По условию ; ; . Событие B={корреспондент вообще услышит вызов}: . Найдем вероятность события B. Для этого от события B перейдем к противоположному событию {корреспондент не услышит вызов}: , воспользовавшись формулой (9), найдем:

Пример 6. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только 2-й экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

Решение. а) Обозначим события: = {студент сдаст -й экзамен}, 1,2,3; B = {студент сдаст только 2-й экзамен из трех}. Очевидно, что событие B представляет собой совместное наступление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены, т. е. . Учитывая, что события независимы, получим .

Б) Пусть событие C = {студент сдаст один экзамен из трех}. Очевидно, что событие C можно представить в виде суммы трех несовместных событий: .

По аксиоме сложения и теореме умножения для независимых событий .

В) Пусть событие E = {студент сдаст все три экзамена}, т. е. . Тогда по формуле (7) .

Г) Пусть событие F = {студент сдаст, по крайней мере, два экзамена} (т. е. хотя бы два экзамена или не менее двух экзаменов). Ясно, что событие F означает сдачу любых двух экзаменов из трех, либо всех трех экзаменов. Представим событие F в виде суммы несовместных событий: .

Тогда по аксиоме сложения и теореме умножения для независимых событий найдем .

Д) Пусть событие K – студент сдал хотя бы один экзамен (т. е. не менее одного экзамена). От прямого события K перейдем к противоположному событию и воспользуемся формулой (2.7). Тогда

Т. е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.

Введем обозначения:

событие E₁ – студент справится с первым экзаменом;

событие E₂ – студент справится со вторым экзаменом;

событие E₃ – студент справится с третьим экзаменом.

Мы знаем вероятности событий E₁, E₂ и E₃:

P(E₁) = 0,6;

P(E₂) = 0,7;

P(E₃) = 0,4.

Найдем вероятности противоположных событий.

P(Ē₁) = 1 – 0,6 = 0,4;

P(Ē₂) = 1 – 0,7 = 0,3;

P(Ē₃) = 1 – 0,4 = 0,6.

Вопрос 1.

Найдем вероятность того, что студент сдаст все три экзамена.

P(E₁) * P(E₂) * P(E₃) = 0,6 * 0,7 * 0,4 = 0,168.

Вопрос 2.

Допустим, студент сдаст лишь два экзамена.

Он может сдать первый и второй экзамен, но не сдать третий.

P(E₁) * P(E₂) * P(Ē₃) = 0,6 * 0,7 * 0,6 = 0,252.

Он может сдать первый и третий экзамен, но не сдать второй.

P(E₁) * P(Ē₂) * P(E₃) = 0,6 * 0,3 * 0,4 = 0,072.

Он может сдать второй и третий экзамен, но не сдать первый.

P(Ē₁) * P(E₂) * P(E₃) = 0,4 * 0,7 * 0,4 = 0,112.

Найдем вероятность того, что студент сдаст лишь два экзамена.

0,252 + 0,072 + 0,112 = 0,436.

Вопрос 3.

Допустим, студент сдаст лишь один экзамен.

Он может сдать первый экзамен, но не сдать второй и третий.

P(E₁) * P(Ē₂) * P(Ē₃) = 0,6 * 0,3 * 0,6 = 0,108.

Он может сдать второй экзамен, но не сдать первый и третий.

P(Ē₁) * P(E₂) * P(Ē₃) = 0,4 * 0,7 * 0,6 = 0,168.

Он может сдать третий экзамен, но не сдать первый и второй.

P(Ē₁) * P(Ē₂) * P(E₃) = 0,4 * 0,3 * 0,4 =0,048.

Найдем вероятность того, что студент сдаст лишь один экзамен.

0,108 + 0,168 + 0,048 = 0,324.

Ответ: 0,168; 0,436; 0,324.

Примеры
решений типовых задач 

и
задания для студентов1
ГЛАВА

— классификация
событий;

— классическое,
статистическое и геометрическое
определения вероятности;

— непосредственное
вычисление вероятностей;

— действия
над событиями;

— теоремы
сложения и умножения вероятностей;

— формула
Байеса.

Вероятность того, что студент
сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй
– 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность
того, что студентом будут сданы: 

а)
только 2-й экзамен; 

б)
только один экзамен; 

в)
три экзамена; 

г)
по крайней мере два экзамена; 

а)
Обозначим события: Ai – студент
сдаст i-й экзамен
(i =
1, 2, 3); 

 В –
студент сдаст только 2-й экзамен из
трех. 

Очевидно,
что В
= , т.е.
совместное осуществление трех событий,
состоящих в том, что студент сдаст 2-й
экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены.
Учитывая, что события A₁,
А₂,
А₃ независимы,
получим

б)
Пусть событие С –
студент сдаст один экзамен из трех.
Очевидно, событие С произойдет,
если студент сдаст только 1-й экзамен
из трех, или только 2-й, или только 3-й,
т.е.

в)
Пусть событие D –
студент сдаст все три экзамена,
т.е. D = 
A₁
A₂
A₃.
Тогда

г)
Пусть событие Е
– студент
сдаст по крайней мере два экзамена
(иначе: «хотя бы два» экзамена или «не
менее двух» экзаменов). Очевидно, что
событие Е означает
сдачу любых двух экзаменов из трех либо
всех трех экзаменов, т.е.

   и

д)
Пусть событие F – студент
сдал хотя бы один экзамен (иначе: «не
менее одного» экзамена). Очевидно,
событие F представляет
сумму событий С (включающего
три варианта) и Е (четыре
варианта), т.е. F =
А₁ +
А₂ +
А₃  =
С + Е (семь
вариантов). Однако проще найти вероятность
события F, если
перейти к противоположному событию,
включающему всего один вариант – F = ,
т.е. применить формулу (1.27).

Причиной
разрыва электрической цепи служит выход
из строя элемента К₁ или
одновременный выход из строя двух
элементов –К₂ и К₃. Элементы
могут выйти из строя независимо друг
от друга с вероятностями, равными
соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность
разрыва электрической цепи?

Обозначим
события: Ai — выход
из строя элемента Ki (
i — 1,
2, 3…);

 
B –
разрыв электрической цепи.

Очевидно,
по условию событие B произойдет,
если произой­дет либо
событие А₁, либо A₂A₃, т.е. B =
А₁ +
А₂А₃. Теперь,
по формуле (1.25)

(при
использовании теоремы умножения учли
независимость событий A₁, 
A₂  и
А₃).
Пример
1.3

Производительности трех станков,
обрабатывающих одинаковые детали,
относятся как 1:3:6. Из нерассортированной
партии обработанных деталей взяты
наудачу две. Какова вероятность того,
что: а) одна из них обработана на 3-м
станке; 

  б)
обе обработаны на одном станке?

а)
Обозначим события: Ai – деталь
обработана на i-м станке
(i =
1, 2, 3); 

 В –
одна из двух взятых деталей обработана
на 3-м станке.

По условию , , .

Очевидно,
что B=
A₁
A₃+
A₂
A₃+
A₃
A₁+
A₃
A₂ (при
этом надо учесть, что либо первая деталь
обработана на 3-м станке, либо вторая).
По теоремам сложения и умножения (для
независимых событий)

б)
Пусть событие С –
обе отобранные детали обработаны на
одном станке. Тогда

C=
A₁
A₁+
A₂
A₂+
A₃
A₃  и  P(C)
= 0,1*0,1 + 0,3*0,3 + 0,6*0,6 = 0,46.
Пример
1.4

Экзаменационный билет для
письменного экзамена состоит из 10
вопросов – по 2 вопроса из 20 по каждой
из пяти тем, представленных в билете.
По каждой теме студент
подготовил лишь половину всех вопросов.
Какова вероятность того, что студент
сдаст экзамен, если для этого необходимо
ответить хотя бы на один вопрос по каждой
из пяти тем в билете?

Обозначим
события: А₁,
А₂ – студент
подготовил 1-й, 2-й вопросы билета по
каждой теме;

Bi –
студент подготовил хотя бы один вопрос
билета из двух по i-й
теме (i =
1, 2, …, 5);

С –
студент сдал экзамен.

В силу условия С
= В₁В₂В₃В₄
B₅. Полагая
ответы студента по разным темам
независимыми, по теореме умножения
вероятностей (1.24)

Так
как вероятности Р(В
i) (i=1,2,…,
5) равны, то P(C) = (Р(В
i))⁵. Вероятность Р(В
i) можно
найти по формуле (1.27) (или
(1.25)):

Теперь P(C)
= 0,763⁵ =  0,259
Пример
1.5

а)  двигатель
начнет работать при третьем включении
зажигания;

а) Обозначим
события: А –
двигатель начнет работать при каждом
включении зажи­гания;

 В –
то же при третьем включении
зажигания.

Очевидно, что В= и Р(В)
=  =
0,4*0,4*0,6 =  0,096.

б)
Пусть событие С –
для запуска двигателя придется вклю­чать
зажигание не более трех раз. Очевидно,
событие С наступит,
если двигатель начнет работать при 1-м
включении, или при 2-м, или при 3-м включении,
т.е. С = А
+ АА + А АА. Следовательно,

Пусть вероятность
события A_i –
выигрыша по i-мy билету
равна р, т.е. P(
Ai) = р. Тогда
вероятность выигрыша хотя бы по одному
из п приобретенных
билетов, т.е. вероят­ность суммы
независимых событий A₁,
A₂,…,
A_i,…,
A_n определится
по формуле (1.29):

P(A₁+A₂+…+A_n)
= 1-(1-p)ⁿ

По
условию 1-(1-p)ⁿ ≥
R  ,
где R   =
0,999, откуда

(1 — p)ⁿ  ≤
1 – R

nlg(1
— p) ≤ lg(1
— R)

Учитывая,
что lg(1
— p)
– величина отрицательная,
получим

                                                                  (1.30)

т.е. n ≥
10 и необходимо купить не менее 10 лотерейных
билетов.

(Задачу можно решить, не
прибегая к логарифмированию, путем
подбора целого числа n,
при котором выполняется неравенство
(1 — p)ⁿ  ≤
1 – R , т.е. в данном случае ;
так, еще при n =
9  =,
а уже при n =
10 =,
т.е. n≥
10).
Пример 1.7

Обозначим
события: Ai – выпадение
6 очков при i-м бросании
игральной кости (i=1,2,…);

В
– выигрыш
игры игроком, бросающим игральную кость
первым.

Имеем P(A_i)
= ,  при
любом i.

Событие В можно
представить в виде суммы
вариантов:

По
формуле суммы геометрического ряда с
первым членом a =  и
знаменателем q = 

Вероятность  выигрыша
игры игроком, бросающим игральную кость
вторым, равна

Пусть
события: Ai, 
Bi –
попадание в цель соответственно 1-м 2-м
стрелком при i-м
выстреле (i=1,2);

С –
в мишени ровно 2 пробоины. 

•      у
каждого стрелка по одному попаданию с
первого раза;

•      у
1-го стрелка – попадание (при одном
выстреле), у 2-го стрелка промах и
попадание;

•      у
1-го стрелка – промах и попадание, у 2-го
стрелка – попадание (при одном
выстреле);

•      у
каждого стрелка – промах и попадание
после двух вы­стрелов.

Задания
1.1.     Слово
составлено из карточек, на каждой из
которых написана одна буква. Карточки
смешивают и вынимают без возврата по
одной. Найти вероятность того, что
карточки с буквами вынимаются в порядке
следования букв заданного слова:

1.2.     Пятитомное
собрание сочинений расположено на полке
в случайном порядке. Какова вероятность
того, что книги стоят слева направо в
порядке нумерации томов (от 1 до
5)?

1.3.     Среди
25 студентов, из которых 15 девушек,
разыгрываются четыре билета, причем
каждый может выиграть только один билет.
Какова вероятность того, что среди
обладателей билета окажутся:

1.4.     Из
20 сбербанков 10 расположены за чертой
города. Для обследования случайным
образом отобрано 5 сбербанков. Какова
вероятность того, что среди отобранных
окажется в черте города:

1.5.      Из
ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых
три пары мужской, а две пары женской
обуви, перекладывают наудачу 2 пары
обуви в другой ящик, содержащий одинаковое
количество пар женской и мужской обуви.
Какова вероятность того, что во втором
ящике после этого окажется одинаковое
количество пар мужской и женской
обуви?

1.6.      В
магазине имеются 30 телевизоров, причем
20 из них импортных. Найти вероятность
того, что среди 5 проданных в течение
дня телевизоров окажется не менее 3
импортных телевизоров, предполагая,
что вероятности покупки телевизоров
разных марок одинаковы.

1.7.      Наудачу
взятый телефонный номер состоит из 5
цифр. Какова вероятность того, что в нем
все цифры:

1.8.     Для
проведения соревнования 16 волейбольных
команд разбиты по жребию на две подгруппы
(по восемь команд в каждой). Найти
вероятность того, что две наиболее
сильные команды окажутся:

1.9.     Студент
знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет
считается сданным, если студент ответит
не менее чем на 3 из 4 поставленных в
билете вопросов. Взглянув на первый
вопрос билета, студент обнаружил, что
он его знает. Какова вероятность того,
что студент:

а) сдаст зачет;

1.10.  У
сборщика имеются 10 деталей, мало
отличающихся друг от друга, из них четыре
– первого, по две – второго, третьего
и четвертого видов. Какова вероятность
того, что среди шести взятых одновременно
деталей три окажутся первого вида, два
– второго и одна – третьего?

1.11.  Найти
вероятность того, что из 10 книг,
расположенных в случайном порядке, 3
определенные книги окажутся рядом.

1.12.  В
старинной игре в кости необходимо было
для выигрыша получить при бросании трех
игральных костей сумму очков, превосходящую
10. Найти вероятности:

1.13.  На
фирме работают 8 аудиторов, из которых
3 – высокой квалификации, и 5 программистов,
из которых 2 – высокой квалификации. В
командировку надо отправить группу из
3 аудиторов и 2 программистов. Какова
вероятность того, что в этой группе
окажется по крайней мере 1 аудитор
высокой квалификации и хотя бы 1
программист высокой квалификации, если
каждый специалист имеет равные возможности
поехать в командировку?

1.14.  Два
лица условились встретиться в определенном
месте между 18 и 19 ч и договорились, что
пришедший первым ждет другого в течение
15 мин., после чего уходит. Найти вероятность
их встречи, если приход каждого в течение
указанного часа может произойти в любое
время и моменты прихода
независимы.

1.15.  Какова
вероятность того, что наудачу брошенная
в круг точка окажется внутри вписанного
в него квадрата?

1.16.  При
приеме партии изделий подвергается
проверке половина изделий. Условие
приемки – наличие брака в выборке менее
2%. Вычислить вероятность того, что партия
из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет
принята.

1.17.  По
результатам проверки контрольных работ
оказалось, что в первой группе получили
положительную оценку 20 студентов из
30, а во второй – 15 из 25. Найти вероятность
того, что наудачу выбранная работа,
имеющая положительную оценку, написана
студентом первой группы.

1.18.  Экспедиция
издательства отправила газеты в три
почтовых отделения. Вероятность
своевременной доставки газет в первое
отделение равна 0,95, во второе отделение
– 0,9 и в третье – 0,8. Найти вероятность
следующих событий:

1.19.  Прибор,
работающий в течение времени t, состоит
из трех узлов, каждый из которых независимо
от других может за это время выйти из
строя. Неисправность хотя бы одного
узла выводит прибор из строя целиком.
Вероятность безотказной работы в течение
времени t первого
узла равна 0,9, второго – 0,95, третьего –
0,8. Найти вероятность того, что в течение
времени t прибор
выйдет из строя.

1.20.  Студент
разыскивает нужную ему формулу в трех
справочниках. Вероятность того, что
формула содержится в первом, втором и
третьем справочниках, равна соответственно
0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что
эта формула содержится не менее, чем в
двух справочниках.

1.21.  Произведено
три выстрела по цели из орудия. Вероятность
попадания при первом выстреле равна
0,75; при втором – 0,8; при третьем – 0,9.
Определить вероятность того, что
будет:

1.22.  Вероятность
своевременного выполнения студентом
контрольной работы по каждой из трех
дисциплин равна соответственно 0,6, 0,5 и
0,8. Найти вероятность своевременного
выполнения контрольной работы
студентом:

1.23.  Мастер
обслуживает 4 станка, работающих
независимо друг от друга. Вероятность
того, что первый станок в течение смены
потребует внимания рабочего, равна 0,3,
второй – 0,6, третий – 0,4 и четвертый –
0,25. Найти вероятность того, что в течение
смены хотя бы один станок не потребует
внимания мастера.

1.24.  Контролер
ОТК, проверив качество сшитых 20 пальто,
установил, что 16 из них первого сорта,
а остальные – второго. Найти вероятность
того, что среди взятых наудачу из этой
партии трех пальто одно будет второго
сорта.

1.25.  Среди
20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются
в общей чистке механизма. Какова
вероятность того, что среди взятых
одновременно наудачу 3 часов по крайней
мере двое нуждаются в общей чистке
механизма?

1.26.  Среди
15 лампочек 4 стандартные. Одновременно
берут наудачу 2 лампочки. Найти вероятность
того, что хотя бы одна из них
нестандартная.

1.27.  В
коробке смешаны электролампы одинакового
размера и формы: по 100 Вт – 7 штук, по 75
Вт – 13 штук. Вынуты наудачу 3 лампы.
Какова вероятность того, что:

1.28.  В
коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых
карандашей. Наудачу вынимают 3 карандаша.
Какова вероятность того, что они все:

б) одного цвета?

1.29.  Брак
в продукции завода вследствие
дефекта А составляет
4%, а вследствие дефекта В
– 3,5%.
Годная продукция завода составляет
95%. Найти вероятность того что:

а)
среди продукции, не обладающей
дефектом А, встретится
дефект В;

б)
среди забракованной по признаку А продукции
встретится дефект В.

1.30.  Пакеты
акций, имеющихся на рынке ценных бумаг,
могут дать доход владельцу с вероятностью
0,5 (для каждого пакета). Сколько пакетов
акций различных фирм нужно приобрести,
чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96875,
можно было ожидать доход хотя бы по
одному пакету акций?

1.31.  Сколько
раз нужно провести испытание, чтобы с
вероятностью, не меньшей Р, можно
было утверждать, что по крайней мере
один раз произойдет событие, вероятность
которого в каждом испытании равна P? Дать
ответ при P =
0,4 и Р =
0,8704.

1.32.  На
полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги
по теории вероятностей. Наудачу берутся
три книги. Какова вероятность, что среди
отобранных хотя бы одна книга по теории
вероятностей?

1.33.  На
связке 5 ключей. К замку подходит только
один ключ. Найти вероятность того, что
потребуется не более двух попыток
открыть замок, если опробованный ключ
в дальнейших испытаниях не
участвует.

1.34.  В
магазине продаются 10 телевизоров, 3 из
них имеют дефекты. Какова вероятность
того, что посетитель купит телевизор,
если для выбора телевизора без дефектов
понадобится не более трех
попыток?

1.35.  Радист
трижды вызывает корреспондента.
Вероятность того, что будет принят
первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий
– 0,4. События, состоящие в том, что данный
вызов будет услышан, независимы. Найти
вероятность того,
что корреспондент услышит вызов
радиста.

1.36.  Страховая
компания разделяет застрахованных по
классам риска: I класс
– малый риск, II класс
– средний, III класс
– большой риск. Среди этих клиентов 50%
– первого класса риска, 30% – второго и
20% – третьего. Вероятность необходимости
выплачивать страховое вознаграждение
для первого класса риска равна 0,01,
второго – 0,03, третьего – 0,08. Какова
вероятностьтого, что:

1.37.  В
данный район изделия поставляются тремя
фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции
первой фирмы стандартные изделия
составляют 90%, второй – 85%, третьей –
75%. Найти вероятность того, что:

1.38.  Два
стрелка сделали по одному выстрелу в
мишень. Вероятность попадания в мишень
для первого стрелка равна 0,6, а для
второго – 0,3. В мишени оказалась одна
пробоина. Найти вероятность того, что
она принадлежит первому стрелку.

1.39.  Вся
продукция цеха проверяется двумя
контролерами, причем первый контролер
проверяет 55% изделий, а второй – остальные.
Вероятность того, что первый контролер
пропустит нестандартное изделие, равна
0,01, второй – 0,02. Взятое наудачу изделие,
маркированное как стандартное, оказалось
нестандартным. Найти вероятность того,
что это изделие проверялось вторым
контролером.

1.40.  Вероятность
изготовления изделия с браком на данном
предприятии равна 0,04. Перед выпуском
изделие подвергается упрощенной
проверке, которая в случае бездефектного
изделия пропускает его с вероятностью
0,96, а в случае изделия с дефектом – с
вероятностью 0,05.
Определить:

1.41.  В
одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в
другой – 4 белых и 8 черных шаров. Из
первой урны случайным образом вынимают
3 шара и опускают во вторую урну. После
этого из второй урны также случайно
вынимают 4 шара. Найти вероятность того,
что все шары, вынутые из второй урны,
белые.

1.42.  Из п экзаменационных
билетов студент А подготовил
только т
(т<п). В
каком случае вероятность вытащить на
экзамене «хороший» для него билет выше:
когда он берет наудачу билет первым,
или вторым,…, или k-тым (к<п) по
счету среди сдающих экзамен?

1.43.  В
лифт семиэтажного дома на первом этаже
вошли три человека. Каждый из них с
одинаковой вероятностью выходит на
любом из этажей, начиная со второго.
Найти вероятность того, что все пассажиры
выйдут:

а) на
четвертом этаже;

в) на разных
этажах.

1.44.  Батарея,
состоящая из 3 орудий, ведет огонь по
группе, состоящей из 5 самолетов. Каждое
орудие выбирает себе цель случайно и
независимо от других. Найти вероятность
того, что все орудия будут стрелять:

1.45.  20
человек случайным порядком рассаживаются
за столом. Найти вероятность того, что
два фиксированных лица А
и Вокажутся
рядом, если:

1.46.  Имеется
коробка с девятью новыми теннисными
мячами. Для игры берут три мяча; после
игры их кладут обратно. При выборе мячей
игранные от неигранных не отличаются.
Какова вероятность того, что после трех
игр в коробке не останется неигранных
мячей?

1.47.  Завод
выпускает определенного типа изделия;
каждое изделие имеет дефект с вероятностью
0,7. После изготовления изделие осматривается
последовательно тремя контролерами,
каждый из которых обнаруживает дефект
с вероятностями 0,8; 0,85; 0,9 соответственно.
В случае обнаружения дефекта изделие
бракуется. Определить вероятность того,
что изделие:

1.48.  Из
полной колоды карт (52 карты) выбирают
шесть карт; одну из них смотрят; она
оказывается тузом, после чего ее смешивают
с остальными выбранными картами. Найти
вероятность того, что при втором
извлечении карты из этих шести мы снова
получим туз.

1.49.  В
урне два белых и три черных шара. Два
игрока поочередно вынимают из урны по
шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает
тот, кто раньше получит белый шар. Найти
вероятность того, что выиграет первый
игрок.

1.50.  Производятся
испытания прибора. При каждом испытании
прибор выходит из строя с вероятностью
0,8. После первого выхода из строя прибор
ремонтируется; после второго признается
негодным. Найти вероятность того, что
прибор окончательно выйдет из строя в
точности при четвертом испытании.

1.51.  Имеется
50 экзаменационных билетов, каждый из
которых содержит два вопроса. Экзаменующийся
знает ответ не на все 100 вопросов, а
только на 60. Определить вероятность
того, что экзамен будет сдан, если для
этого достаточно ответить на оба вопроса
из своего билета, или на один вопрос из
своего билета, или на один (по выбору
преподавателя) вопрос из дополнительного
билета.

1.52.  Прибор
состоит из двух узлов: работа каждого
узла безусловно необходима для работы
прибора в целом. Надежность (вероятность
безотказной работы в течение времени t)
первого узла равна 0,8, второго – 0,9.
Прибор испытывался в течение времени t, в
результате чего обнаружено, что он вышел
из строя (отказал). Найти вероятность
того, что отказал только первый узел, а
второй исправен.

1.53.  В
группе из 10 студентов, пришедших на
экзамен, 3 подготовлено отлично, 4 –
хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. В
экзаменационных билетах имеется 20
вопросов. Отлично подготовленный студент
может ответить на все 20 вопросов, хорошо
подготовленный – на 16, посредственно
– на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад
студент ответил на три произвольно
заданных вопроса. Найти вероятность
того, что студент подготовлен:

б) плохо.