Найдите значение производной функции егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_₀.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции f(x) в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке x_0 .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке x_0 функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке x_0 образует тупой угол alpha с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла varphi , смежного с углом alpha .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку $alpha + varphi = 180^{circ}$ , имеем:

$tg alpha = tg(180^{circ} -varphi ) = - tg varphi = -0, 25.$

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой y=kx+b в точке x_0 .

При x= x_0 значения выражений и kx+b равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

$left{ begin{array}{c}fleft(xright)=kx+b \f^{$

$left{ begin{array}{c}x^3+{7x}^2+7x-6=-4x-11 \{3x}^2+14x+7=-4 end{array}right..$

Из второго уравнения находим x = -1 или $x=-frac{11}{3}.$ Первому уравнению удовлетворяет только x = -1 .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени t=3 получим:

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция f (x) возрастает.

Если , то функция f (x) убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
		0		0

5. На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Производная функции f { в точках максимума и минимума функции f(x). Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график y = f — производной функции f(x) , определённой на интервале (-6; 5) . В какой точке отрезка [-1; 3] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке [-1;3] производная функции f(x) положительна.

Значит, функция f(x) возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение f(x). Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции y= f(x) , определённой на интервале (-3; 8) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 1.

Прямая y=1 параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке [-6; 9] такая точка всего одна! Это x=7.

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке x = -2. В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, x= -2 является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция F(x) , для которой f(x) является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку [-4; 4] , в которых производная функции F(x) равна нулю. Это точки максимума и минимума функции F(x). На отрезке [-4; 4] таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

В задании (7) ЕГЭ по профильной математике нужно применить знания о производной и первообразной функции для её исследования. За это задание можно получить (1) балл.

Пример:

на рисунке изображены график функции (y=)

f(x)

и касательная к нему в точке с абсциссой

. Найди значение производной функции

f(x)

в точке

к1.png

Рис. (1). График функции и касательная к нему

Алгоритм выполнения задания

Изучи текст задачи. Если дан рисунок, обрати внимание, что на нём изображено: график функции или график производной функции. От этого зависит, что ты можешь узнать по графику.
Определи по рисунку нужные значения. Сопоставь их с поведением самой функции или её производной, первообразной этой функции.
Выполни вычисления.
Внеси полученное число в ответ.

Как решить задание из примера?

На рисунке изображён график функции и касательная к нему. Найди две точки касательной, находящиеся в узлах клеток.
Построй прямоугольный треугольник с гипотенузой, лежащей на касательной, причём обязательно вершины треугольника должны находиться в узлах клеток (рис. (2)).

Рис. (2). Касательная к графику функции с дополнительными построениями
Значение производной функции

f(x)

в точке

x0

равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке и тангенсу угла наклона касательной к оси (x):

f′(x0)=k=tgα

.

Угол наклона касательной к оси (x) равен соответственному углу в построенном прямоугольном треугольнике. Найдём его тангенс как отношение противолежащего катета к прилежащему:

f′(x0)=tgα=28=0,25

.
Запишем ответ (непосредственно в самом задании — без точки в конце).

Ответ: (0,25).

Обрати внимание!

В заданиях «Как на ЕГЭ» ответы записывай в виде целого числа или десятичной дроби без пробелов и точки в конце.

Если получилась обыкновенная дробь и её нельзя перевести в конечную десятичную дробь — ищи ошибку в решении!

Что можно найти, если дан график функции?

1. Промежутки возрастания и убывания функции. Знак производной на определённом интервале.

2. Точки максимума и минимума функции, их количество. Количество точек, в которых производная равна нулю.

3. Количество касательных, параллельных данной прямой.

4. Значение производной в точке, если даны две точки, через которые проходит касательная.

Что можно найти, если дан график производной функции?

1. Определить интервалы возрастания/убывания самой функции.

2. Точки минимума и максимума функции. Их количество.

3. Определить точки из заданного промежутка, в которых функция имеет максимальное (минимальное) значение.

Источники:

Рис. 1. График функции и касательная к нему. © ЯКласс.

Рис. 2. Касательная к графику функции с дополнительными построениями. © ЯКласс.

Источник