Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.
Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.
И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.
Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения
Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета
Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!
1. Найдите значение выражения
Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.
Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.
Ответ: 100.
2. Найдите значение выражения
Ответ: 20.
Корни и степени. Иррациональные выражения
Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.
Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
.
3. Вычислите .
Применили одну из формул сокращенного умножения.
Ответ: 8.
4. Вычислите:
Упростим множители:
Ответ: 8.
Действия со степенями
Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.
5. Найдите значение выражения: при
Применили формулу частного степеней
Ответ: 256.
6. Вычислите
Ответ: 2.
7. Вычислите , если .
Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение Сначала упростим выражение.
Ответ: 4,5.
8. Вычислите
Применили формулу для произведения степеней:
Ответ: 12.
9. Вычислите
Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.
Ответ: 3.
Логарифмические выражения
Темы для повторения:
Логарифмы
Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .
.
При этом > 0, > 0,
Основные логарифмические формулы:
Основное логарифмическое тождество:
Логарифм произведения равен сумме логарифмов:
Логарифм частного равен разности логарифмов:
Формула для логарифма степени:
Формула перехода к новому основанию:
10. Вычислите: .
Снова формула перехода к другому основанию.
, поэтому
11. Найдите , если .
12. Найдите значение выражения .
13. Найдите значение выражения .
.
14. Найдите значение выражения .
Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения
Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.
15. Вычислите:
16. Найдите , если и .
Т.к. , то
17. Найдите , если и
Т.к. , то
18. Найдите значение выражения:
Применили формулу приведения.
19. Упростите выражение:
Применили формулу приведения.
20. Найдите , если .
21. Вычислите , если
Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?
Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти .
Другие типы заданий
Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.
22. Найдите значение выражения
при .
Запомним:
.
Если , то и .
При этом и .
При получаем: .
Ответ: 2.
23. Найдите значение выражения
при .
При получим:
Ответ: 12.
24. Найдите , если , при .
Что такое ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число . Например, ;
Тогда:
Заметим, что .
Значит, при
.
25. Найдите , если , при .
— функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
.
Тогда при
, и значение выражения равно 1.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Итак, давайте разберем, задание №9 в ЕГЭ по математике профильного уровня. Все эти задания требуют – найдите значение выражения. То есть, наша задача вычислить – найти значение выражения и записать в ответ число.
Задания ЕГЭ профильного уровня по математике
Какие бывают задания с требованием найти значение выражения. Эти задания бывают разными и относящимися к разным темам. Например, выражения в задании 9 ЕГЭ по математике профильного уровня бывают:
- степенные
- логарифмические
- тригонометрические
- числовые
- иррациональные (с корнями)
- с переменными заданными величинами
Давайте рассмотрим общий принцип и необходимые теоретические сведения для решения каждого типа выражения.
Степенные выражения
Для того, чтобы найти значение выражения со степенями, вам понадобятся формулы для вычисления степеней. Приведем самые распространенные из них, на которые обычно дается задание нахождения значения выражения со степенями. Вы должны четко понимать, что если число находится в какой то степени, то оно не свободное, оно в отношении степени. И нельзя сократить два числа в дроби, если у них одно основание и разные показатели степени. Или если разные основания и разные показатели степени.
Например, вот здесь мы никак не можем получить . Потому что мы не имеем право делить 6 на 2, пока 6 находится в степени. И 2 находится в степени. Степень вообще всегда первое действие. То есть среди действий +, – , : , и степень, мы сначала будем возводить в степень. Именно это свойство степени проверяется, например, в этом задании:
Найдите значение выражения . Мы не можем сократить 3 и 9, потому что они находятся в отношении степени. И нам нужно сначала возвести в степень. Только потом мы можем разделить числитель на знаменатель.
Итак, найдем значение этого выражения: .
Здесь мы использовали свойство степени при делении степеней с одинаковыми основаниями. Приведем все необходимые для решения данных заданий свойства степеней:
Давайте рассмотрим еще несколько заданий.
Найдите значение выражения
Задание 1.
Найдите значение выражения .
Очевидно, что перед нами формула сокращенного умножения в развернутом виде: . Применяя эту формулу к нашему выражению, увидим, что , а . Получим: .
Ответ: -10.
Задание 2.
Найдите значение выражения .
При возведении произведения в степень, в нее возводится каждый множитель, то есть получим: .
Ответ: 7,5.
Ничего сложного, если вы знаете формулы сокращенного умножения и свойства степеней.
А для того, чтобы найти значение выражения, в котором есть логарифмы, нужно знать свойства логарифмов.
Задание 3.
Найдите значение выражения .
Здесь для нахождения значения выражения мы будем использовать следующие свойства логарифмов:
переход к новому основанию .
сложение логарифмов с одинаковыми основаниями: .
Итак, получим:
Ответ: 1.
Задание 4.
Найдите значение выражения .
Помните: при возведении в степень произведения, в нее возводится каждый множитель:
Преобразуем выражение в числителе дроби:
Разложим 6 на множители 2 и 3, получим:
Далее используем свойства степеней:
.
Сокращая числитель и знаменатель на , получим: .
Ответ: 9.
Задание 5
Найдите значение выражения: .
Решим данное выражение, учитывая, что , а . Получим: . При возведении степени в степень, показатели степени перемножаются, имеем: .
Ответ: 27.
Задание 6
Найдите значение выражения .
Для того чтобы найти значение этого выражения надо применить следующее свойство логарифмов: .
Получим: .
Ответ: 2.
Задание 7
Найдите значение выражения .
Действуем также, как и в предыдущем задании, используя свойство разности логарифмов:
.
Ответ: 2.
Задание 8
Найдите , если .
Для того, чтобы найти значение данного выражения нам понадобятся две тригонометрические формулы:
- Основное тригонометрическое тождество: .
- Косинус двойного аргумента: .
Итак, по формуле (2) распишем наше выражение в следующем виде: . Однако, нам известен только косинус, для того чтобы из синуса сделать косинус, используем основное тригонометрическое тождество: .
Тогда наше выражение примет вид:
.
Подставляем значение косинуса, получим:
.
Ответ: -0,56.
Задание 9
Найдите значение выражения .
Решим. Вынесем за скобки. Получим: .
В скобках видим формулу косинуса двойного аргумента: . Применяя ее, имеем:
Мы знаем, что . Но мы не знаем, чему равен , давайте рассуждать в это 3 и еще .
То есть, . Применяя формулы или правило приведения, получим: . Подставляя это значение в наше выражение , вычислим:
Ответ: -3.
1. Алгебраические выражения
2. Выражения с корнями
2.1 | Найдите значение выражения sqrt{9-4sqrt{5}}-sqrt{5} | Смотреть видеоразбор |
2.2 | Найдите значение выражения frac{(2sqrt{7})^2}{14} | Смотреть видеоразбор |
2.3 | Найдите значение выражения (sqrt{13}-sqrt{7})(sqrt{13}+sqrt{7}) | Смотреть видеоразбор |
2.4 | Найдите значение выражения frac{sqrt{2,8} cdot sqrt{4,2}}{sqrt{0,24}} | Смотреть видеоразбор |
2.5 | Найдите значение выражения (sqrt{3frac{6}{7}}-sqrt{1frac{5}{7}}):sqrt{frac{3}{28}} | Смотреть видеоразбор |
2.6 | Найдите значение выражения frac{(sqrt{13}+sqrt{7})^2}{10+sqrt{91}} | Смотреть видеоразбор |
3. Логарифмические выражения
4. Выражения со степенями
4.1 | Найдите значение выражения 5^{0,36} cdot 25^{0,32} | Смотреть видеоразбор |
4.2 | Найдите значение выражения frac{3^{6,5}}{9^{2,25}} | Смотреть видеоразбор |
4.3 | Найдите значение выражения 7^{frac{4}{9}} cdot 49^{frac{5}{18}} | Смотреть видеоразбор |
4.4 | Найдите значение выражения frac{2^{3,5} cdot 3^{5,5}}{6^4,5} | Смотреть видеоразбор |
4.5 | Найдите значение выражения 35^{-4,7} cdot 7^{5,7} : 5^{-3,7} | Смотреть видеоразбор |
4.6 | Найдите значение выражения frac{sqrt[9]{7} cdot sqrt[18]{7}}{sqrt[6]{7}} | Смотреть видеоразбор |
4.7 | Найдите значение выражения frac{sqrt[5]{10} cdot sqrt[5]{16}}{sqrt[5]{5}} | Смотреть видеоразбор |
4.8 | Найдите значение выражения (frac{2^{frac{1}{3}} cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}})^2 | Смотреть видеоразбор |
4.9 | Найдите значение выражения frac{(2^{frac{3}{5}} cdot 2^{frac{2}{3}})^{15}}{10^9} | Смотреть видеоразбор |
4.10 | Найдите значение выражения 0,8^{frac{1}{7}} cdot 5^{frac{2}{7}} cdot 20^{frac{6}{7}} | Смотреть видеоразбор |
4.11 | Найдите значение выражения 5 cdot sqrt[3]{9} cdot sqrt[6]{9} | Смотреть видеоразбор |
4.12 | Найдите значение выражения frac{sqrt[28]{3} cdot 3 cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}} | Смотреть видеоразбор |
4.13 | Найдите значение выражения frac{sqrt[15]{5} cdot 5 cdot sqrt[10]{5}}{sqrt[6]{5}} | Смотреть видеоразбор |
4.14 | Найдите значение выражения 0,75^{frac{1}{8}} cdot 4^{frac{1}{4}} cdot 12^{frac{7}{8}} | Смотреть видеоразбор |
4.15 | Найдите значение выражения 7^{sqrt{5}-1} cdot 7^{2+sqrt{5}} : 7^{2sqrt{5}-1} | Смотреть видеоразбор |
4.16 | Найдите значение выражения frac{1}{2^{log_{sin{frac{pi}{3}}}sqrt{2}}} | Смотреть видеоразбор |
5. Тригонометрические выражения
5.1 | Найдите значение выражения sqrt{18}-sqrt{72}sin^2{frac{13pi}{8}} | Смотреть видеоразбор |
5.2 | Найдите значение выражения sqrt{128} cdot cos^2{frac{11pi}{8}} — sqrt{32} | Смотреть видеоразбор |
5.3 | Найдите sin{alpha}, если cos{alpha} = 0,6 и pi lt alpha lt 2pi. | Смотреть видеоразбор |
5.4 | Найдите значение выражения frac{4sin{17^{circ}}cos{17^{circ}}}{cos{56^{circ}}} | Смотреть видеоразбор |
5.5 | Найдите значение выражения sin{10^{circ}} cdot sin{50^{circ}} cdot sin{70^{circ}} | Смотреть видеоразбор |
5.6 | Найдите значение выражения 5sqrt{3}-10sqrt{2}cos(-frac{pi}{12}) | Смотреть видеоразбор |
5.7 | Найдите значение выражения sqrt{50}-sqrt{200}cos^2{frac{5pi}{8}} | Смотреть видеоразбор |
6. Нестандартные задачи (не входят в ЕГЭ)
6.1 | Найдите значение выражения sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}} | Смотреть видеоразбор |
6.2 | Докажите равенство cos{36^{circ}} — cos{72^{circ}} = frac{1}{2} | Смотреть видеоразбор |
6.3 | Найдите sin 10 + |sin 10| | Смотреть видеоразбор |
6.4 | Вычислите 4^{sqrt{log_4{5}}} — 5^{sqrt{log_5{4}}} | Смотреть видеоразбор |
6.5 | Вычислите frac{2sin{10^{circ}}+sin{50^{circ}}}{2sin{80^{circ}}-sqrt{3}sin{50^{circ}}} | Смотреть видеоразбор |
Рубрика Задание 9, Решаем ЕГЭ по математике Комментарии (0)
Задание.
Найдите значение выражения
Решение:
Представим число 20 в виде произведения 4·5, тогда степень произведения равна произведению степеней:
20-3,9 = (5·4)-3,9 = 5-3,9·4-3,9
Тогда исходное выражение можно переписать в виде:
Используя свойства степеней, получим:
5-3,9·52,9·4-3,9·44,9 = 5-1·41 = 4/5 = 0,8
Ответ: 0,8
Понравилось? Нажмите
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Преобразования выражений»
Открытый банк заданий по теме преобразования выражений. Задания B9 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема
Задание №927
Условие
Найдите значение выражения (1-log_315)(1-log_515).
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
(1-log_315)(1-log_515)= (1-log_3(3cdot5))(1-log_5(3cdot5)))= (1-(log_33+log_35))(1-(log_53+log_55))= (1-(1+log_35))(1-(log_53+1))= -log_35cdot(-log_53)= log_35cdotfrac{1}{log_35}= 1.
Ответ
1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №926
Условие
Найдите -4cos2alpha, если cosalpha=-0,6.
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
-4cos2alpha= -4cdot(2cos^2alpha-1)= -4cdot(2cdot(-0,6)^2-1)= -4cdot(-0,28)= 1,12.
Ответ
1,12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №925
Условие
Найдите значение выражения (16a^2-25)cdotleft ( frac{1}{4a-5}-frac{1}{4a+5} right )+a-13 при a=143.
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
(16a^2-25)cdotfrac{4a+5-(4a-5)}{(4a-5)(4a+5)}+a-13= (16a^2-25)cdotfrac{4a+5-4a+5}{(4a-5)(4a+5)}+a-13= frac{(4a)^2-5^2}{1}cdotfrac{10}{(4a-5)(4a+5)}+a-13= frac{(4a-5)(4a+5)cdot10}{(4a-5)(4a+5)}+a-13= 10+a-13= a-3= 143-3= 140.
Ответ
140
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №924
Условие
Найдите 2cosleft ( frac{7pi}{2}+alpha right ), если cosalpha=0,6 и alphainleft ( frac{7pi}{2}; 4pi right ).
Показать решение
Решение
Если alphainleft ( frac{7pi}{2}; 4pi right ), то sinalpha<0.
sinalpha= -sqrt{1-cos^2alpha}= -sqrt{1-(0.6)^2}= -sqrt{0,64}= -0,8.
2cosleft (frac{7pi}{2}+alpha right)= 2sinalpha= 2cdot(-0,8)= -1,6.
Ответ
-1,6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №923
Условие
Найдите значение выражения ((4x+5y)^2-16x^2-25y^2):5xy.
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
((4x+5y)^2-16x^2-25y^2):5xy= (16x^2+40xy+25y^2-16x^2-25y^2):5xy= 40xy:5xy= 8.
Ответ
8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №922
Условие
Найдите значение выражения 4log_3(log_5 125).
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
4log_3(log_5 5^3)=4log_3 3=4cdot1=4.
Ответ
4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №921
Условие
Найдите значение выражения 19a^{10}a^{14}:(5a^{12})^2.
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
19a^{10}a^{14}:(5a^{12})^2= 19a^{10+14}:(5^2a^{12cdot2})= frac{19a^{24}}{25a^{24}}= 0,76.
Ответ
0,76
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №920
Условие
Найдите значение выражения frac{sqrt[3]{3}cdotsqrt[6]{3}}{sqrt3}.
Показать решение
Решение
По свойству корней выполняются равенства: sqrt[3]{3}=sqrt[6]{3^2}; sqrt[6]{3^2}=sqrt3.
Поэтому frac{sqrt[3]{3}cdotsqrt[6]{3}}{sqrt3}= frac{sqrt[6]{3^2}cdotsqrt[6]{3}}{sqrt3}= frac{sqrt[6]{3^3}}{sqrt3}= frac{sqrt3}{sqrt3}= 1.
Ответ
1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №919
Условие
Найдите значение выражения 3^{0,74}cdot9^{0,13}.
Показать решение
Решение
Выполним преобразования:
3^{0,74}cdot(3^2)^{0,13}= 3^{0,74}cdot3^{0,26}= 3^{0,74+0,26}= 3^1= 3
Ответ
3
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №918
Условие
Найдите значение выражения sqrt{65^2-16^2}.
Показать решение
Решение
Используем формулу сокращенного умножения.
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
Получим:
sqrt{65^2-16^2}=sqrt{(65+16)(65-16)}=sqrt{49cdot81}=7cdot9=63.
Ответ
63
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928