Найти абсциссу вершины параболы егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

СДАМ ГИА:

РЕШУ ЕГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

≡ Математика

Базовый уровень

Профильный уровень

Информатика

Русский язык

Английский язык

Немецкий язык

Французский язык

Испанский язык

Физика

Химия

Биология

География

Обществознание

Литература

История

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

10 марта

Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней

6 марта

Изменения ВПР 2023

3 марта

Разместили утвержденное расписание ЕГЭ

27 января

Вариант экзамена блокадного Ленинграда

23 января

ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.

6 января

Открываем новый сервис: «папки в избранном»

22 декабря

Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!

4 ноября

Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

21 марта

Новый сервис: рисование

31 января

Внедрили тёмную тему!

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 10 № 564656

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите абсциссу вершины параболы.

Спрятать решение

Решение.

Из рисунка видно, что следовательно, Решая эту систему, находим b=8. Абсцисса вершины параболы

Ответ: 4.

Аналоги к заданию № 564654: 564655 564656 564657 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график

Спрятать решение

Прототип задания

Сообщить об ошибке · Помощь

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Источник

Как найти абсциссу вершины параболы егэ

Ускоренная подготовка к ЕГЭ с репетиторами Учи. Дома. Записывайтесь на бесплатное занятие!

—>

Задание 9 № 564656

На рисунке изображён график функции вида где числа A, B и C — целые. Найдите абсциссу вершины параболы.

Из рисунка видно, что следовательно, Решая эту систему, находим Абсцисса вершины параболы

Задание 9 № 564656

—>

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c целые.

Ege. sdamgia. ru

23.10.2019 19:16:13

2019-10-23 19:16:13

Источники:

Https://ege. sdamgia. ru/problem? id=564656

01Математика — Профиль — Парабола — Теория » /> » /> .keyword { color: red; } Как найти абсциссу вершины параболы егэ

Поверните устройство

Теория: 03 Парабола

По рисунку можно найти абсциссу точки (displaystyle B) Сделаем это.

Заметим, что графиком функции является парабола, а точка (displaystyle B ) с абсциссой (displaystyle color) – её вершина.

Абсцисса вершины параболы

Абсцисса (displaystyle x_0) вершины параболы (displaystyle y=colorax^2+colorbx+colorc) находится по формуле:

Заметим, что графиком функции является парабола, а точка displaystyle B с абсциссой displaystyle color её вершина.

M.01math. com

01.03.2019 20:41:58

2019-03-01 20:41:58

Источники:

Https://m.01math. com/maths/theory? subcategory_id=1429&task_id=45046

Найдите абсциссу вершины параболы: y — 2x^2 2x 3 » /> » /> .keyword { color: red; } Как найти абсциссу вершины параболы егэ

Найдите абсциссу вершины параболы: y — 2x^2 2x 3

Найдите абсциссу вершины параболы: y= — 2x^2+2x+3

Следовательно, значения коэффициентов в нашем примере: а = -2, b = 2, с = 3.

Координата x (абцисса) вершины параболы находится по формуле: x = ( — b) / (2 * а).

Подставим коэффициенты в формулу:

X = ( -2) / (2 * ( -2)) = ( -2) / ( -4) = 2/4 = 1/2 = 0,5.

Ответ: абцисса вершины параболы х (0,5).

Написать правильный и достоверный ответ; Отвечать подробно и ясно, чтобы ответ принес наибольшую пользу; Писать грамотно, поскольку ответы без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок лучше воспринимаются.

Списывать или копировать что-либо. Высоко ценятся ваши личные, уникальные ответы; Писать не по сути. «Я не знаю». «Думай сам». «Это же так просто» — подобные выражения не приносят пользы; Писать ответ ПРОПИСНЫМИ БУКВАМИ; Материться. Это невежливо и неэтично по отношению к другим пользователям.

Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.

Следовательно, значения коэффициентов в нашем примере а -2, b 2, с 3.

Vashurok. ru

18.01.2018 15:44:53

2018-01-18 15:44:53

Источники:

Https://vashurok. ru/questions/naydite-abstsissu-vershini-paraboli-y-2x-2-2x-3

Источник

Решение
Видеорешение

Обозначим отмеченную на графике функции (displaystyle f(x)=ax^2-8x+9{,}7) точку как (displaystyle B{small.})

По рисунку можно найти абсциссу точки (displaystyle B{small.}) Сделаем это.

Заметим, что графиком функции является парабола, а точка (displaystyle B ) с абсциссой (displaystyle color{magenta}{x_0=2}) – её вершина.

Воспользуемся правилом:

Правило

Абсцисса вершины параболы

Абсцисса (displaystyle x_0) вершины параболы (displaystyle y=color{red}ax^2+color{blue}bx+color{green}c) находится по формуле:

(displaystyle x_0=frac{-color{blue}b}{2color{red}a}{small.})

У нас

(displaystyle y=color{red}ax^2+(color{blue}{-8})x+color{green}{9{,}7}) и (displaystyle color{magenta}{x_0=2}{small .})

Тогда:

(displaystyle color{magenta}2=frac{-(color{blue}{-8})}{2color{red}a}{small.})

Найдём (displaystyle a) из полученного уравнения.

(displaystyle 4a=8{small,})

(displaystyle a=2{small.})

Ответ:(displaystyle a=2{small.})

Источник

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №10 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 10 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №10 ЕГЭ.

Что такое функция

Чтение графика функции

Четные и нечетные функции

Периодическая функция

Обратная функция

5 типов элементарных функций и их графики

Преобразование графиков функций

Построение графиков функций

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 10 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 10 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

Необходимая теория

1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение , при котором

Решение:

Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

$left{ begin{array}{c}3k+b=4 \-k+b=-3 end{array}right..$

Вычтем из первого уравнения второе:

$left{ begin{array}{c}4k=7 \-k+b=-3 end{array};right. left{ begin{array}{c}k=frac{7}{4} \b=-frac{5}{4} end{array}right. .$

Уравнение прямой имеет вид:

$displaystyle y=frac{7}{4}x-frac{5}{4}.$

Найдем, при каком значение функции равно -13,5.

$displaystyle frac{7}{4}x-frac{5}{4}=-13,5;$

7x=-49;

x=-7.

Ответ: -7.

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Запишем формулы функций.

Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция y=-x+1.

Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции y=kx+b.

$left{ begin{array}{c}-k+b=-1 \-2k+b=4 end{array}right. .$

Вычтем из первого уравнения второе.

k=-5; тогда b=-6.

Прямая задается формулой:

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

$left{ begin{array}{c}y=-x+1 \y=-5x-6 end{array} ;right. begin{array}{c}-x+1=-5x-6 ; \x=-frac{7}{4}=-1,75. end{array}$

Ответ: -1,75.

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой y=x+1, так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен $displaystyle frac{3}{2}=1,5.$

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: b=7, эта прямая задается формулой

Для точки пересечения прямых:

x=-12.

Ответ: -12.

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

Решение:

На рисунке — квадратичная парабола $y={left(x-aright)}^2,$ полученная из графика функции y=x^2 сдвигом на 1 вправо, то есть a=1.

Получим: $fleft(xright)={left(x-1right)}^2=x^2-2x+1;$

b=-2.

Ответ: -2.

5. На рисунке изображен график функции $y={left(x-cright)}^2$ . Найдите с.

Решение:

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при x^2 положительный. График сдвинут относительно графика функции y=x^2 на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид $y={left(x-1right)}^2$ .

Значит, с = 1.

Ответ: 1

6. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

$left{ begin{array}{c}2+b+c=1 \2cdot 4-2b+c=-2 end{array}right. .$

$left{ begin{array}{c}b+c=-1 \-2b+c=-10 end{array};right.$ отсюда b=3, c=-4.

Формула функции имеет вид:

Ответ: 31.

7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому c=-3.

График функции g(x) проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

$left{ begin{array}{c}a-b-3=-3 \4a+2b-3=3 end{array};right.$ отсюда a=b=1;

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

x=-2 (это абсцисса точки A) или x=6 (это абсцисса точки B).

Ответ: 6.

Степенные функции. Необходимая теория

8. На рисунке изображены графики функций $displaystyle fleft(xright)=frac{k}{x}$ и , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

График функции $displaystyle y=frac{k}{x}$ проходит через точку (2; 1); значит, $displaystyle frac{k}{2}=1;$

$displaystyle k=2, ; fleft(xright)=frac{2}{x}.$

График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), a=5 — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда b=-9.

Для точек A и B имеем:

$displaystyle frac{2}{x}=5x-9;$

Отсюда x=2 (абсцисса точки A) или x=-0,2 (абсцисса точки B).

Ответ: -0,2.

9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).

Решение:

Функция задана формулой:

Ее график проходит через точку (4; 5); значит, k=2,5;

Тогда

Ответ: 6,5.

10. На рисунке изображен график функции . Найдите .

Решение:

График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: , а = — 1. Тогда = 5.

Ответ: 5.

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции $fleft(xright)=a^{x+b}.$ Найдите

Решение:

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции $fleft(xright)=a^{x+b},$ получим:

$left{ begin{array}{c}a^{-3+b}=1 \a^{1+b}=4 end{array}.right.$

Поделим второе уравнение на первое:

$a^{1+b+3-b}=4; ; a^4=4;; a=sqrt{2}.$

Подставим во второе уравнение:

$displaystyle {sqrt{2}}^{1+b}=4;; 2^{frac{1+b}{2}}=2^2;; 1+b=4;; b=3.$

$displaystyle fleft(xright)={left(sqrt{2}right)}^{x+3};; fleft(-7right)={left(sqrt{2}right)}^{-7+3}={left(sqrt{2}right)}^{-4}=frac{1}{4}=0,25.$

Ответ: 0,25.

12. На рисунке изображен график функции . Найдите

Решение:

График функции проходит через точку Это значит, что

a=2, формула функции имеет вид: .

Ответ: 2.

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции $fleft(xright)={{log}_a left(x+bright)}.$ Найдите

Решение:

График функции $y={{log}_a left(x+bright) }$ проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

$left{ begin{array}{c}{{log}_a left(-3+bright)=1 } \{{log}_a left(-1+bright) }=2 end{array}.right.$

Отсюда: $left{ begin{array}{c}b-3=a \b-1=a^2 end{array}.right.$

Вычтем из второго уравнения первое:

a=2 или a=-1 — не подходит, так как (как основание логарифма).

Тогда $fleft(xright)={{log}_2 left(x+5right) };$

$fleft(11right)={{log}_2 16=4.}$

Ответ: 4.

14. На рисунке изображен график функции $fleft(xright)=a{{log}_5 x }-c$ .

Найдите f(0,2).

Решение:

График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

$left{ begin{array}{c}a{{log}_5 1 }-c=-2 \a{{log}_5 5 }-c=3 end{array};right.$

$left{ begin{array}{c}-c=-2 \a-c=3 end{array};right.$

$left{ begin{array}{c}c=2 \a=5 end{array}.right.$

Формула функции: $fleft(xright)=5{{log}_5 x }-2.$

Найдем $displaystyle fleft(0,2right)=fleft(frac{1}{5}right)$ :

$displaystyle 5cdot {{log}_5 frac{1}{5} }-2=-5-2=-7.$

Ответ: -7.

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, b=1,5. Амплитуда a=2 (наибольшее отклонение от среднего значения).

Это график функции Он получен из графика функции растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на 1,5 .

Ответ: b=1,5.

16. На рисунке изображён график функции

Найдите .

Решение:

На рисунке — график функции Так как b=-1,5.

График функции проходит через точку A $displaystyle (frac{pi}{4}; ; frac{1}{2}).$ Подставим и координаты точки А в формулу функции.

$displaystyle a tg frac{pi}{4}-1,5=frac{1}{2}.$

Так как $displaystyle tg frac{pi}{4}=1,$ получим: a = 2.

Ответ: 2.

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

Решение:

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:

Ответ: 5.

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 10 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 10 ЕГЭ по математике. Графики функций» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

— Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

— Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

— Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

— Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.
Парабола пересекает ось y в точке (c).
(b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) — абсциссы (икса) вершины параболы:

(x_в=-frac{b}{2a})
(b=-x_вcdot 2a)

Пример (ЕГЭ):

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1); (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:
Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

(begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})
Решаем систему.
Пример:

(begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})

Вычтем из второго уравнения первое:

(0=9a-b)
(b=9a)

Подставим (9a) вместо (b):

(begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
(begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

(2=-2a)
(a=-1)

Найдем (b):

(b=-9)

Подставим в первое уравнение (a):

(5=20+c)
(c=-15).

Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).

Пример (ЕГЭ):

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})

Сложим 2 уравнения:

(2=2a)
(a=1)

Подставим во второе уравнение:

(-2=1+b)
(b=-3)

Получается:

(g(x)=x^2-3x+4)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ: (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).
– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
— График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.
График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).
Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).
Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).
Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).
(f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?

Источник

06
Янв 2022

Категория: Справочные материалыТесты по темам

Тест “Параболы”

Елена Репина
2022-01-06
2022-01-06

Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Добавить комментарий

Материалы для подготовки к ЕГЭ
Рубрики
- 01 Геометрия (13)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина
ЕгэТренер – О. Себедаш
Математика?Легко!
Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
- Тест «Гиперболы»
- Тест. Графики функций. Комбинированные задачи
- 10. Графики функций. Комбинированные задачи
- Тест. Тригонометрические функции
- 10. Тригонометрическая функция
- Тест. Кусочно-линейная функция
- 10. Кусочно-линейная функция
Архивы Архивы

Источник

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a — старший коэффициент

b — второй коэффициент

с — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции y=x^2 имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции y=x^2 , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1 , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x^2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y=-x^2 имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции y=-x^2 симметричен графику функции y=x^2 относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если D<0 ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если D=0 ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

3. Если D>0 ,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:

$x_1={-b+sqrt{D}}/{2a}$ , $x_2={-b-sqrt{D}}/{2a}$

Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

$x_0=-{b/{2a}}$

$y_0=-{D/{4a}}=y(x_0)$

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как a=2>0 ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

$x_1={-3+7}/4=1$ , $x_1={-3-7}/4=-2,5$

3. Координаты вершины параболы:

$x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75$

$y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125$

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

$x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75$

$y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125$

Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2. Уравнение квадратичной функции имеет вид — в этом уравнении x_0;y_0 — координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции a=1 , и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

сначала построить график функции ,
затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции a=1 , и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3. Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы: $x_0={x_1+x_2}/2={2-1}/2=1/2$

$y_0=y(-1)=({1/2}-2)({1/2}+1)=-9/4=-2,25$

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции от значения коэффициента ,
— сдвига графика функции вдоль оси от значения ,

— сдвига графика функции вдоль оси от значения
— направления ветвей параболы от знака коэффициента
— координат вершины параболы от значений и :

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник