Найти наименьшее значение функции решу егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Всего: 638 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4,5; 0].

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Всего: 638 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

СДАМ ГИА:

РЕШУ ЕГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

≡ Математика

Базовый уровень

Профильный уровень

Информатика

Русский язык

Английский язык

Немецкий язык

Французский язык

Испанский язык

Физика

Химия

Биология

География

Обществознание

Литература

История

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

10 марта

Как подготовиться к ЕГЭ и ОГЭ за 45 дней

6 марта

Изменения ВПР 2023

3 марта

Разместили утвержденное расписание ЕГЭ

27 января

Вариант экзамена блокадного Ленинграда

23 января

ДДОС-атака на Решу ЕГЭ. Шантаж.

6 января

Открываем новый сервис: «папки в избранном»

22 декабря

Открыли новый портал Решу Олимп. Для подготовки к перечневым олимпиадам!

4 ноября

Материалы для подготовки к итоговому сочинению 2022–2023

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

21 марта

Новый сервис: рисование

31 января

Внедрили тёмную тему!

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Каталог заданий.
Исследование частных

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 77467

Найдите точку максимума функции

Аналоги к заданию № 77467: 129843 129871 523993 524020 548510 548529 129845 129847 129849 129851 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания, 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 77468

Найдите точку минимума функции

Аналоги к заданию № 77468: 129873 129899 129901 129875 129877 129879 129881 129883 129885 129887 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 77469

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 77469: 129903 129931 129905 129907 129909 129911 129913 129915 129917 129919 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 77470

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 77470: 129933 129961 129935 129937 129939 129941 129943 129945 129947 129949 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 11 № 77471

Найдите точку максимума функции

Аналоги к заданию № 77471: 129965 129963 130011 129967 129969 129971 129973 129975 129977 129979 … Все

Решение

Курс Д. Д. Гущина

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Источник

1. Элементарные функции

2. Применение формул производной произведения и частного

2.1	Найдите точку минимума функции y=(3-x)cdot e^{3-x}.	Смотреть видеоразбор
2.2	Найдите точку максимума функции y=(x^2-10x+10)cdot e^{5-x}.	Смотреть видеоразбор
2.3	Найдите наименьшее значение функции y=(x-1)e^x на отрезке [-1;1].	Смотреть видеоразбор
2.4	Найдите наибольшее значение функции y=(10-x)sqrt{x+2} на отрезке [-1; 7].	Смотреть видеоразбор
2.5	Найдите наименьшее значение функции y=2xsqrt{x}-9x+11 на отрезке [2; 9].	Смотреть видеоразбор
2.6	Найдите наибольшее значение функции y=(x-2)^2(x-4)+5 на отрезке [1; 3].	Смотреть видеоразбор
2.7	Найдите точку максимума функции y=(x+5)e^{5-x}.	Смотреть видеоразбор
2.8	Найдите точку минимума функции y=(10-x)e^{10-x}.	Смотреть видеоразбор
2.9	Найдите наименьшее значение функции y=x^2+frac{25+x^2-x^3}{x} на отрезке [1; 10].	Смотреть видеоразбор

3. Применение формулы производной сложной функции

4. Тригонометрические функции

4.1	Найдите наибольшее значение функции y=8x-4tg;x-2pi+2 на отрезке [-frac{pi}{3}; frac{pi}{3}].	Смотреть видеоразбор
4.2	Найдите наименьшее значение функции y=4sin{x}+3cos{x} на отрезке [0; 7].	Смотреть видеоразбор
4.3	Найдите наибольшее значение функции y=2cos{x}-frac{18}{pi}x+4 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.4	Найдите наименьшее значение функции y=5sin{x}+frac{24}{pi}x+6 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.5	Найдите наибольшее значение функции y=3tg{x}-3x+5 на отрезке [-frac{pi}{4}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.6	Найдите наименьшее значение функции y=3cos{x}-frac{48}{pi}x+19 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.7	Найдите наименьшее значение функции f(x)=sin{x}+sqrt{1+sin^2{x}}.	Смотреть видеоразбор
4.8	Найдите наибольшее значение функции y=33x-30sin{x}+29 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.9	Найдите точку максимума функции y=(2x-3)cos{x}-2sin{x}+5, принадлежащую промежутку (0; frac{pi}{2}).	Смотреть видеоразбор
4.10	Найдите точку максимума функции y=(2x-1)cos{x}-2sin{x}+5, на промежутке (0; frac{pi}{2}).	Смотреть видеоразбор
4.11	Найдите наибольшее значение функции y=2sin{x}-frac{36}{pi}x+9 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.12	Найдите наибольшее значение функции y=7sqrt{2}cos{x}+7x-frac{7pi}{4}+4 на отрезке [0; frac{pi}{2}].	Смотреть видеоразбор
4.13	Найдите наибольшее значение функции y=12cos{x}+6sqrt{3}x-2sqrt{3}pi+6 на отрезке [0; frac{pi}{2}].	Смотреть видеоразбор
4.14	Найдите наибольшее значение функции y=12tg;x -12x+3pi-7 на отрезке [-frac{pi}{4}; frac{pi}{4}].	Смотреть видеоразбор
4.15	Найдите наименьшее значение функции y=6cos{x}+frac{24x}{pi}+5 на промежутке [-frac{2pi}{3}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.16	Найдите наименьшее значение функции y=3+frac{5pi}{4}-5x-5sqrt{2}cos{x} на отрезке [0; frac{pi}{2}].	Смотреть видеоразбор
4.17	Найдите наименьшее значение функции y=5cos{x}-6x+4 на отрезке [-frac{3pi}{2}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.18	Найдите наибольшее значение функции y=15x-3sin{x}+5 на отрезке [-frac{pi}{2}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.19	Найдите наименьшее значение функции y=9cos{x}+14x+7 на отрезке [0; frac{3pi}{2}].	Смотреть видеоразбор
4.20	Найдите наименьшее значение функции y=7sin{x}-8x+9 на отрезке [-frac{3pi}{2}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.21	Найдите наименьшее значение функции y=6cos{x}+frac{24}{pi}x+5 на отрезке [-frac{2pi}{3}; 0].	Смотреть видеоразбор
4.22	Найдите наибольшее значение функции y=10sin{x}-frac{36}{pi}x+7 на отрезке [-frac{5pi}{6}; 0].	Смотреть видеоразбор

5. Логарифмическая и показательная функции

5.1	Найдите наименьшее значение функции y=3x-ln(x+3)^3 на отрезке [-2,5; 0].	Смотреть видеоразбор
5.2	Найдите наименьшее значение функции y=9x-ln(9x)+3 на отрезке [frac{1}{18}; frac{5}{18}].	Смотреть видеоразбор
5.3	Найдите наибольшее значение функции y=2x^2-13x+9cdot ln{x}+8 на отрезке [frac{13}{14}; frac{15}{14}].	Смотреть видеоразбор
5.4	Найдите наименьшее значение функции y=5x-ln(x+5)^5 на отрезке [-4,5; 1].	Смотреть видеоразбор
5.5	Найдите наименьшее значение функции y=7x-ln(x-2)^7 на отрезке [-1,5; 0].	Смотреть видеоразбор
5.6	Найдите точку максимума функции y=ln(x+4)^2+2x+7.	Смотреть видеоразбор
5.7	Найдите наименьшее значение функции y=log_{sqrt{3}}(x-4sqrt{x-2}+5) на отрезке [5; 10].	Смотреть видеоразбор
5.8	Найдите наименьшее значение функции y=4^x-2^{x+4}+100.	Смотреть видеоразбор

6. Функции, в которых присутствует квадратичная в виде «вложенной»

6.1	Найдите наименьшее значение функции y=2^{x^2+100x+2503}	Смотреть видеоразбор
6.2	Найдите наибольшее значение функции y=5^{-3x^2+18x-24}.	Смотреть видеоразбор
6.3	Найдите точку максимума функции y=-sqrt{x^2-8x+17}.	Смотреть видеоразбор
6.4	Найдите наибольшее значение функции y=3^{-7-6x-x^2}.	Смотреть видеоразбор
6.5	Найдите наибольшее значение функции y=log_5(4-2x-x^2)+3.	Смотреть видеоразбор
6.6	Найдите точку максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2}.	Смотреть видеоразбор

7. Задачи на первообразную (не входят в ЕГЭ этого года)

7.1	Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=frac{3x+2}{5}, если F(4)=5. В ответе укажите значение F(1).	Смотреть видеоразбор
7.2	Наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=x^2−2x−3 на отрезке [0;6] равно −9. Найдите наибольшее значение первообразной на этом отрезке.	Смотреть видеоразбор
7.3	Наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=x^2-2x-3 на отрезке [0; 6] равно −9. Найдите наибольшее значение первообразной на этом отрезке.	Смотреть видеоразбор
7.4	Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=frac{3x+2}{5}, если F(4)=5. В ответе укажите значение F(1).	Смотреть видеоразбор
7.5	Один из двух нулей первообразной F(x) для функции f(x)=5x-1 равен -3. Найдите второй нуль.	Смотреть видеоразбор

Источник

Задача 1. Найдите точку максимума функции

Решение: + показать

Задача 2. Найдите точку минимума функции

Решение: + показать

Задача 3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: + показать

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции $y=2+9x-frac{x^3}{3}$ на отрезке

Решение: + показать

Задача 5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 7. Найдите точку максимума функции $y=6+12x-2x^{frac{3}{2}}.$

Решение: + показать

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции $y=-frac{2}{3}xsqrt x+3x+8$ на отрезке

Решение: + показать

Задача 9. Найдите точку минимума функции $y=-frac{x^2+25}{x}$ .

Решение: + показать

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции $y=frac{x^2+900}{x}$ на

Решение: + показать

Задача 11. Найдите точку максимума функции $y=frac{441}{x}+x+18.$

Решение: + показать

Задача 12. Найдите точку минимума функции $y=(3x^2-15x+15)e^{x-15}.$

Решение: + показать

Задача 13. Найдите точку максимума функции $y=(x+11)^2cdot e^{3-x}.$

Решение: + показать

Задача 14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение: + показать

Задача 15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение: + показать

Задача 16. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[frac{1}{12};frac{5}{12}].$

Решение: + показать

Задача 17. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[frac{3}{4};frac{5}{4}].$

Решение: + показать

Задача 18. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-11e^x-1$ на отрезке .

Решение: + показать

Задача 19. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[0;frac{pi}{2}].$

Решение: + показать

Задача 20. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[-frac{pi}{3};frac{pi}{3}].$

Решение: + показать

Задача 21. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[-frac{3pi}{2};0]$ .

Решение: + показать

Задача 22. Найдите наименьшее значение функции $y=4cosx+frac{15}{pi}x+9$ на отрезке $[-frac{2pi}{3};0].$

Решение: + показать

Задача 23. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $[0;frac{pi}{4}].$

Решение: + показать

Задача 24. Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку $(0;frac{pi}{2})$ .

Решение: + показать

* Замечание. Важно!

Не следует считать (могло сложиться такое мнение при разборе примеров выше), что наименьшее (наибольшее) значение функции на отрезке совпадает с минимумом (максимумом) на отрезке!

Например, на рисунке ниже наименьшее значение функции на отрезке достигается на конце отрезка , а именно, в точке .

То есть, вообще говоря, при нахождении наименьшего значения функции на отрезке следует выбрать наименьшую из величин:

1) $y(x_{min})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка

2) ,

При нахождении наибольшего значения функции на отрезке следует выбрать большую из величин:

1) $y(x_{max})$ (их может быть несколько) из рассматриваемого отрезка

2) ,

Но, если, например, на рассматриваемом отрезке функция имеет только один экстремум – минимум и мы ищем наименьшее значение, то отпадает необходимость находить значения функции на концах отрезка.

Аналогично в случае с нахождением наибольшего значения функции на отрезке, на котором содержится только один экстремум – максимум.

В случае же, когда на отрезке рассматриваемом функция не имеет экстремумов, то для нахождения наибольшего/наименьшего значений требуется лишь сравнить эти самые значения функции на концах отрезка и взять наибольшее/наименьшее из них.

Вы можете пройти тест “Исследование функции при помощи производной”

Источник

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 60.8%
Ответом к заданию 11 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

Найдите наименьшее значение функции $y=-2ln(x+3)^5+10x$ на отрезке $[-2{,}5 ;-1]$.

Решение

Областью определения функции является интервал $(-3; +∞)$, на котором она дифференцируема. Отрезок $[-2.5; -1]$ принадлежит области определения.

Отметим, что по свойству логарифмов $ln(x + 3)^5 = 5 ln(x + 3)$, поэтому заданная функция имеет вид $y = -10 ln(x + 3) + 10x$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций:

$y′ = {-10}/{x+3} + 10 = {-10 + 10x + 30}/{x + 3} = {10 x + 20}/{x + 3} = {10(x + 2)}/{x + 3}, y′ = {10(x + 2)}/{x + 3}$.

2. Заметим, что $y′ = 0$ при $x = -2$. Получаем единственную стационарную точку. $-2 ∈ [-2.5; -1]$.

3. Так как $x + 3 > 0$ в области определения, то $y′ < 0$ при $-2.5 < x < -2, y′ > 0$ при $-2 < x < -1$. Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -2$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$y(-2) = -10 ln(-2 + 3) + 10 · (-2) = -20$, так как $ln 1 = 0$.

Ответ: -20

Задача 2

Найдите наибольшее значение функции $y=ln(x+7)^3-3x$ на отрезке $[-6{,}5 ;-4]$.

Решение

Областью определения функции является промежуток $(-7;+∞ )$, на котором она дифференцируема

Отрезок $[-6{,}5 ;-4]$ принадлежит области определения

Отметим, что по свойству логарифмов в области определения функции выполняется равенство $ln(x+7)^3=3ln(x+7)$, поэтому заданная функция может быть представлена в виде $y=3ln(x+7)-3x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций: $y^′={3} / {x+7}-3={3-3x-21} / {x+7}={-3x-18} / {x+7}={-3(x+6)} / {x+7}$, $y^′={-3(x+6)} / {x+7}$

2. Заметим, что $y^′ =0$ при $x=-6$. Получаем единственную стационарную точку

3. Так как $x+7>0$ в области определения, то $y^′ >0$ при $x∈(-6,5;-6)$

$y^′ <0$ при $x∈(-6;-4)$. Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x=-6$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения

$y(-6)=3ln(-6+7)-3⋅ (-6)=18$, так как $ln 1=0$.

Ответ: 18

Задача 3

Найдите наибольшее значение функции $y=ln(4-2x)+2x-7$ на отрезке $[0;1{,}7]$.

Решение

Областью определения этой функции будет интервал $(-∞; 2)$, в каждой точке которого функция дифференцируема, причём отрезок $[0; 1.7]$ целиком лежит в области определения.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной сложной и логарифмической функций:

$y′ = {1}/{4 — 2x} · (4 — 2x)′ + (2x)′ — (7)’ = {-2}/{4-2x} + 2 = {2x — 3}/{x — 2}$.

$y′ = {2x — 3}/{x — 2}$.

2. Находим стационарные точки из условия $y′ = 0. {2x — 3}/{x — 2} = 0,$

$2x — 3 = 0,$

$x = {3}/{2}$.

Получили одну стационарную точку $x = {3}/{2}$, которая принадлежит промежутку $(0; 1.7)$.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $(2x — 3)(x — 2) = 2x^2 — 7x + 6$. Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, и корнями являются числа ${3}/{2}$ и $2$. Поэтому при $0 < x < {3}/{2}$ его знак «плюс», а при ${3}/{2} < x < 1.7$ знак «минус».

При переходе через точку $x = {3}/{2}$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x = {3}/{2}$ является точкой максимума и в ней достигается наибольшее значение (так как других точек экстремума нет).

4. $y({3}/{2}) = ln (4 — 2 · {3}/{2}) + 2 · {3}/{2} — 7 = ln 1 + 3 — 7 = -4$.

Ответ: -4

Задача 4

Найдите точку максимума функции $y=-8√ x+12ln(x-4)-11$.

Решение

Областью определения этой функции является интервал $(4; +∞)$, на котором функция дифференцируема. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций.

$y′ = {-8}/{2√x} + {12}/{x — 4} = {-8(x — 4) + 24√x}/{2√x(x — 4)} = {-4x + 16 + 12√x}/{√x(x — 4)}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -4x + 16 + 12√x = 0$.

Сделаем замену $√x = t$ $(t > 2)$. Получим уравнение $-4t^2 + 12t + 16 = 0; t^2 — 3t — 4 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения получаем:

$t_{1,2} = {3± √{9 + 16}}/{2} = {3±2}/{5}$,

$t_1 = -1, t_2 = 4$.

$t = -1$ не удовлетворяет условию $t > 2$.

Уравнение $√x = 4$ имеет решение $x = 16$. Получили единственную стационарную точку $x = 16$, принадлежащую промежутку $(4; +∞)$.

При $x > 4$ знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = -4x+16+12√x$. Для определения её знака на интервале $(4; +∞)$ достаточно найти её знак в двух точках, одна из которых меньше, чем $x = 16$, и другая, больше, чем $x = 16$.

$y_1 (9) = -4 · 9 + 16 + 12√9 = -36 + 16 + 36 > 0$, а $y_1 (25) = -4 · 25 + 16 + 12√25 = -100 + 16 + 60 < 0$.

3. Получаем, что производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через единственную экстремальную точку $x = 16$. Поэтому точка $x = 16$ будет точкой максимума.

Ответ: 16

Задача 5

Найдите точку максимума функции $y=2ln x-√ {x}-17$.

Решение

Областью определения этой функции является интервал $(0; +∞)$, в каждой точке которого она дифференцируема. Найдём стационарные точки в области определения и выберем ту из них, проходя через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производных степенной и логарифмической функций:

$y′ = {2}/{x} — {1}/{2√x} = {4 -√x}/{2x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 4 — √x = 0. √x = 4, x = 16$.

Получили одну стационарную точку.

3. Так как $x > 0$ и $√x > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = 4 — √x$. Она обращается в ноль в единственной точке $x = 16$.

Находим знак этой функции при $x < 16$ и $x > 16$. Для этого достаточно найти её значения хотя бы в одной точке каждого из указанных промежутков: $y_1 (1) = 4 — √1 = 3 > 0$, а $y_1 (25) = 4 — √{25} = -1 < 0$

Тем самым, производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 16$, которая и будет точкой максимума.

Ответ: 16

Задача 6

Найдите наибольшее значение функции $y=√ {-2log_{0{,}5} (5x+1)}$ на отрезке $[12{,}6;51]$.

Решение

Найдём без применения производной, какие значения принимает функция на отрезке $[12.6; 51]$ и выберем из них наибольшее.

1. Пусть $x$ – произвольное число из отрезка $[12.6; 51]$. Тогда $12.6 ≤ x ≤ 51$. Отсюда по свойствам неравенств получаем: $63 ≤ 5x ≤ 255, 64 ≤ 5x + 1 ≤ 256$.

2. Из предыдущего неравенства, по свойству логарифмов с основанием $0.5$, меньшим $1$, получаем $log_{0.5} 64 ≥ log_{0.5}(5x + 1) ≥ log_{0.5}256$. Но, $log_{0.5}64 = log_{{1}/{2}}64 = log_{{1}/{2}}2^6 = log_{{1}/{2}}(({1}/{2})^{-1})^6 = log_{{1}/{2}}({1}/{2})^{-6} = -6$.

Аналогично, $log_{0.5}256 = -8$. Поэтому $-8 ≤ log_{0.5}(5x + 1) ≤ -6, 6 ≤- log_{0.5}(5x + 1) ≤ 8, 12 ≤ -2 log_{0.5}(5x + 1) ≤ 16$.

Теперь, по свойству квадратного корня получаем, $√12 ≤ √{-2log_{0.5}(5x + 1)} ≤ √{16} = 4$.

Но $√{-2 log_{0.5}(5x + 1)} = y$, поэтому $√{12} ≤ y ≤ 4$.

3. Таким образом, функция определена на всём отрезке $[12.6; 51]$ наибольшим значением является $4$ и получается это значение при $x = 51$.

Ответ: 4

Задача 7

Найдите точку минимума функции $y=x^2-21x+6+55ln x$.

Решение

Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$y′ = 2x − 21 + {55}/{x}, y′ = {2x^2-21x+55}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2 -21x +55 = 0. x_{1,2} = {21 ± √{441 — 440}}/{4} = {21 ± 1}/{4}. x_1 = 5, x_2 = 5.5$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -21x+55$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=5$ и $x_2=5.5$.

Поэтому при $x < 5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $5 < x < 5.5$, и знак «плюс» при $x > 5.5$.

	(0;5)	5	(5; 5.5)	5.5	(5.5;+∞)
y′	+	0	—	0	+
y	↗		↘		↗

При переходе через точку $5.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Ответ: 5.5

Задача 8

Найдите точку максимума функции $y=x^2-11x-17+15ln x$.

Решение

$y′ = 2x − 11 + {15}/{x} = {2x^2-11x+15}/{x}, y′ = {2x^2-11x+15}/{x}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2- 11x +15 = 0. x_{1,2} = {11 ± √{121 — 120}}/{4} = {11 ± 1}/{4}. x_1 = 2.5, x_2 = 3$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -11x+15$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=2.5$ и $x_2=3$.

Поэтому при $x < 2.5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $2.5 < x < 3$, и знак «плюс» при $x > 3$.

	(0;2.5)	2.5	(2.5; 3)	3	(3;+∞)
y′	+	0	—	0	+
y	↗		↘		↗

При переходе через точку $2.5$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Ответ: 2.5

Задача 9

Найдите точку максимума функции $y=(5x^2-3x-3)e^{x+5}$.

Решение

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулой производной произведения двух функций, и производной степенной и показательной функции:

$y′ = (10x − 3)e^{x+5} + (5x^2 − 3x − 3)e^{x+5} = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6), y′ = e^{x+5}(5x^2 + 7x − 6)$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Так как $e^{x+5} > 0$, то $5x^2 + 7x − 6 = 0. x_{1,2} = {−7 ± √{49 + 120}}/{10} = {−7 ± 13}/{10}. x_1 = −2, x_2 = 0.6$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $5x^2 +7x-6$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=-2$ и $x_2=0.6$.

Поэтому при $x < −2$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $−2 < x < 0.6$, и знак «плюс» при $x > 0.6$.

	(-∞;-2)	-2	(-2; 0.6)	0.6	(0.6;+∞)
y′	+	0	—	0	+
y	↗		↘		↗

При переходе через точку $x_1 = −2$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Ответ: -2

Задача 10

Найдите наименьшее значение функции $y=-4x-4cos x+5$ на отрезке $[- {π} ;0]$.

Решение

Заметим, что заданная функция непрерывна на отрезке $[-π; 0]$ и дифференцируема на интервале $(-π; 0)$. Наименьшее её значение на отрезке $[-π; 0]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(-π; 0)$ и концах отрезка $[-π; 0]$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производных тригонометрических функций:

$y′ = -4 + 4 sin x = -4(1 — sin x), y′ = -4(1 — sin x)$.

2. Заметим, что $sin x < 0$ на интервале $(-π; 0)$. Поэтому $1 — sin x > 1$ и $-4(1 — sin x) < 0$. Следовательно, на нём $y′ < 0$ и функция $y=-4x — 4 cos x + 5$ убывает.

3. Наименьшее значение функции будет на правом конце промежутка, то есть в точке $x = 0$.

$y(0) = -4 · 0 — 4 cos 0 + 5 = -4 + 5 = 1$.

Ответ: 1

Задача 11

Найдите точку минимума функции $y=(12-5x)sin x-5cos x-10$, принадлежащую интервалу $({π} / {2};π)$.

Решение

Отметим, что функция дифференцируема на заданном интервале. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс». 1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной произведения функций и производной линейной и тригонометрических функций. $y^′=(12-5x)^′⋅ sin x+(sin x)^′⋅(12-5x)+5sin x$, $y^′=-5sin x+cos x(12-5x)+5sin x=-cos x(5x-12)$, $y^′=-cos x(5x-12)$. 2. Решаем уравнение $y^′=0$. Так как $cos x<0$ на заданном интервале, то $5x-12=0$, $x=2{,}4$. ${π} / {2≈} 1{,} 57$, а $π ≈ 3{,} 14$, поэтому $2{,}4∈ ({π} / {2};π)$. Получили одну стационарную точку на заданном интервале. 3. $cos x<0$ на заданном интервале, поэтому знак производной совпадает со знаком функции $y_1=5x-12$. Эта функция является возрастающей, поэтому она имеет знак «минус» до точки $x=2{,}4$ и знак «плюс» после неё. Тем самым, точка $x=2{,}4$ будет точкой минимума.

Ответ: 2.4

Задача 12

Найдите точку минимума функции $y={x-8} / {x^2+225}$.

Решение

1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:

$y′ = {(x-8)′·(x^2+225)-(x^2+225)′·(x-8)}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {x^2+225-2x·(x-8)}/{(x^2+225)^2}={x^2+225-2x^2+16x}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {-x^2+16x+225}/{(x^2+225)^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 16x+225 = 0, x^2-16x-225=0, x_{1,2} = 8±√{64+225}=8±√{289}=8±17, x_1=-9, x_2=25$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +16x+225$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-9$ и $25$.

Поэтому на промежутке $(-∞;-9)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-9; 25)$ она больше нуля и на промежутке $(25;+∞)$ меньше нуля.

	(-∞;-9)	-9	(-9; 25)	25	(25;+∞)
y′	—		+		—
y	↘	0	↗	0	↘

Тем самым производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -9$, которая и будет точкой минимума.

Ответ: -9

Задача 13

Найдите точку максимума функции $y={x-5} / {x^2+144}$.

Решение

$y′ = {(x-5)′·(x^2+144)-(x^2+144)′·(x-5)}/{(x^2+144)^2}$.

$y′ = {x^2+144-2x·(x-5)}/{(x^2+144)^2}={x^2+144-2x^2+10x}/{(x^2+144)^2}$.

$y′ = {-x^2+10x+144}/{(x^2+144)^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 10x+144 = 0, x^2-10x-144=0, x_{1,2} = 5±√{25+144}=5±√{169}=5±13, x_1=-8, x_2=18$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +10x+144$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-8$ и $18$.

Поэтому на промежутке $(-∞;-8)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-8; 18)$ она больше нуля и на промежутке $(18;+∞)$ меньше нуля.

	(-∞;-8)	-8	(-8; 18)	18	(18;+∞)
y′	—		+		—
y	↘	0	↗	0	↘

Тем самым производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 18$, которая и будет точкой максимума.

Ответ: 18

Задача 14

Найдите наименьшее значение функции $y={4x^2+256} / {x}$ на отрезке $[16;98]$.

Решение

Областью определения функции является множество $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема

Промежуток $[16;98]$ содержится в области определения функции

1. Находим $y^′$, представив заданную функцию в виде $y=4x+{256} / {x}$

По правилам дифференцирования и по формуле производной степенной функции получаем: $y^′=4-{256} / {x^2}={4x^2-256} / {x^2}={4(x^2-64)} / {x^2}$, $y^′={4(x^2-64)} / {x^2}$

2. Решаем уравнение $ y^′=0 $, $ x^2-64=0 $, $ x_1=-8 $, $ x_2=8 $

Получаем две стационарные точки на множестве $(-∞;0)∪ (0;+∞)$, но ни одна из них не попадает на промежуток $[16;98]$. Значит, на заданном отрезке стационарных точек нет

3. Так как $x^2>0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $ x^2-64 $. Поэтому $ y^′ >0 $ при $ x>8$, а функция $y={4x^2+256} / {x}$ на отрезке $[16;98]$ возрастает

Наименьшее значение она принимает в точке $x=16$

$y(16)=4⋅ 16+{256} / {16}=64+16=80$.

Ответ: 80

Задача 15

Найдите точку минимума функции $y={25x^2+25} / {x}$.

Решение

Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = 25x+{25}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = 25 — {25}/{x^2} = {25x^2 — 25}/{x^2} = {25(x^2 — 1)}/{x^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 — 1 = 0, x_1 = -1, x_2 = 1$. Получаем две стационарные точки.

3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2 -1$, корнями которого являются числа $-1$ и $1$. Поэтому $y′ > 0$ при $x < -1, y′ < 0$ при $-1 < x < 0, y′ < 0$ при $0 < x < 1$ и $y′ > 0$ при $x > 1$.

	(-∞;-1)	-1	(-1; 0)	0	(0; 1)	1	(0;+∞)
y′	+	0	—	Не сущ.	—	0	+
y	↗		↘		↘		↗

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Ответ: 1

Задача 16

Найдите наименьшее значение функции $y=x^5-5x^3-270x$ на отрезке $[0 ;5]$.

Решение

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y′ = 5x^4 — 15x^2 — 270$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Сделаем подстановку $x^2 = t (t ≥ 0)$, получим уравнение $5t^2 — 15t — 270 = 0$ или $t^2 — 3t — 54 = 0$.

$t_1 = -6, t_2 = 9$.

$t_1 = -6$ не удовлетворяет условию $t ≥ 0$. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня $x_1 = -3, x_2 = 3$. На промежуток (0; 5) попадает лишь одно число $x = 3$. Получаем единственную стационарную точку.

3. Найдем знак производной на двух промежутках (0; 3) и (3; 5), на которые точка $x = 3$ разбивает интервал (0; 5). Для этого найдем значения производной в точке $x = 1$ из первого интервала, и в точке $x = 4$ из другого интервала.

$y′(1) = 5·1^4 — 15·1^2 — 270 = 5 — 15 — 270 < 0$,

$y′(4) = 5·4^4 — 15·4^2 — 270 = 1280- 240 — 270 > 0$.

Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = 3$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$y(3) = 3^5 — 5·3^3 — 270·3 = 243-135-810 = -702$.

Ответ: -702

Задача 17

Найдите наибольшее значение функции $y=√ {240-8x-x^2}$ на отрезке $[-18;10]$.

Решение

Преобразуем подкоренное выражение: $240-8x-x^2 = -(x^2+8x-240) = -((x+4)^2-16-240) = 256-(x+4)^2$. Поэтому $y = √{256 — (x + 4)^2}$.

Так как $(x + 4)^2 ≥ 0$, то $y$ принимает наибольшее значение, если $(x + 4)^2 = 0$, то есть при $x = -4$. Точка $x = -4$ принадлежит заданному промежутку [-18; 10]. Это наибольшее значение равно $√{256} = 16$.

Ответ: 16

Задача 18

Найдите наименьшее значение функции $y=√ {x^2+2x+122}$ на отрезке $[-50;150]$.

Решение

Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D = 4 — 488$), значит трёхчлен корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена направлены вверх, абсцисса вершины равна $-1$, а ордината $121$. Поэтому $x^2+2x+122 > 0$ при любых x и исходная функция определена при любом значении x из промежутка [-50; 150].

При $-50 ≤ x ≤ -1$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ убывает, а значит убывает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.

При $-1 ≤ x ≤ 150$ функция $y = x^2 + 2x + 122$ возрастает, а значит возрастает и функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$.

Из сказанного следует, что в точке $x = -1$ функция $y = √{x^2 + 2x + 122}$ принимает наименьшее значение на указанном отрезке.

$y(-1) = √{121} = 11$.

Ответ: 11

Задача 19

Найдите точку максимума функции $y=√ {77+4x-x^2}$.

Решение

Дискриминант квадратного трёхчлена $-x^2+4x+77$, расположенного под знаком квадратного корня, больше нуля ($D = 16+308 = 324$), значит этот квадратный трёхчлен имеет два корня.

$x_{1,2} = {-2±√{4 + 77}}/{-1} = {-2±9}/{-1}, x_1 = -7, x_2 = 11$.

Ветви параболы, являющейся его графиком, направлены вниз, поэтому при $x∈[-7; 11]$ он принимает неотрицательные значения. Исходная функция определена и непрерывна на отрезке при любом значении $x ∈ [-7; 11]$, и дифференцируема на интервале (-7; 11).

Найдём стационарные точки на интервале (-7; 11) и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с плюса на минус.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y′ = {1}/{2√{77 + 4x — x^2}}·(77 + 4x — x^2)′ = {-2x + 4}/{2√{77 + 4x — x^2}} = {-(x — 2)}/{√{77 + 4x — x^2}}, y′ = {-(x — 2)}/{√{77 + 4x — x^2}}$,

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x — 2 = 0, x = 2$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√{77 + 4x — x^2} > 0$ на интервале (-7; 11), то знак производной совпадает со знаком выражения $-x +2$. Тогда $y′ > 0$ при $-x +2 > 0, x < 2; y′ < 0$ при $-x + 2 < 0, x> 2$.

Следовательно, при переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Ответ: 2

Задача 20

Найдите точку минимума функции $y=√ {x^2-12x+40}$.

Решение

Дискриминант квадратного трёхчлена, расположенного под знаком квадратного корня, меньше нуля ($D=144-160$), значит, уравнение $x^2-12x+40=0$ корней не имеет. Ветви параболы, являющейся графиком этого трёхчлена, направлены вверх, поэтому все его значения больше нуля. Функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y^′={1} / {2√ {x^2-12x+40}}⋅ (x^2-12x+40)^′={2x-12} / {2√ {x^2-12x+40}}=$
$={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$

$y^′={x-6} / {√ {x^2-12x+40}}$.

2. Решаем уравнение $y^′=0$, $x-6=0$, $x=6$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√ {x^2-12x+40}>0$, то знак производной совпадает со знаком выражения $x-6$. Тогда $y’>0$ при $x-6>0$, $x>6$; $y'<0$ при $x-6<0$, $x<6$.

Следовательно, при переходе через точку $x=6$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Ответ: 6

ЕГЭ Профиль №11. Степенные, иррациональные и дробные функции

ЕГЭ Профиль №11. Степенные, иррациональные и дробные функцииadmin2023-02-07T09:24:18+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Если функция (fleft( x right)) определена и непрерывна на промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет положительную производную (left( {f’left( x right) > 0} right)), то функция возрастает на X.

Если функция (fleft( x right)) определена и непрерывна на промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет отрицательную производную (left( {f’left( x right) < 0} right)), то функция убывает на X.

Говорят, что функция (y = fleft( x right)) имеет максимум (минимум) в точке (x = a), если у этой точки существует окрестность, в которой (fleft( x right) < fleft( a right)quad left( {fleft( x right) > fleft( a right)} right)) для (x ne a).

Точки максимума и минимума объединяются общим термином – точки экстремума.

Правило исследования функции (y = fleft( x right)) на экстремум:

1. найти область определения функции;

2. найти (f’left( x right));

3. найти точки, в которых выполняется равенство (f’left( x right) = 0);

4. найти точки, в которых (f’left( x right)) не существует;

5. отметить на координатной прямой все точки в которых производная равна 0 или не существует и область определения функции (y = fleft( x right)); получатся промежутки области определения функции, на каждом из которых производная функции (y = fleft( x right)) сохраняет постоянный знак;

6. определить знак (f’left( x right)) на каждом из промежутков;

7. если при переходе через точку производная (f’left( x right)) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума функции, а если с «-» на «+», то точкой минимума. На приведенном рисунке точка x₁ является точкой максимума, а x₂ точкой минимума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции (y = fleft( x right)) на отрезке :

1. найти (f’left( x right));

2. найти точки, в которых (f’left( x right) = 0) или (f’left( x right)) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;

3. вычислить значение функции (y = fleft( x right)) в точках, полученных в пункте 2, и на концах отрезка (в точках a и b) и далее выбрать из них наибольшее и наименьшее, которые будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции (y = fleft( x right)) на отрезке . Эти значения обозначаются ({y_{наим}},;{y_{наиб}}).

ЕГЭ Профиль №11. Степенные, иррациональные и дробные функции

Задача 1. Найдите точку максимума функции (y = {x^3} — 108x + 5)

Ответ

ОТВЕТ: — 6.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 108.)

Найдём нули производной: (3{x^2} — 108 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} = 36,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 6,,,,,,{x_2} = 6.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = — 6.)

Ответ: – 6.

Задача 2. Найдите точку минимума функции (y = {x^3} — 300x + 19)

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 300.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} — 300 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} = 100,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 10,,,,,,{x_2} = 10.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 10.)

Ответ: 10.

Задача 3. Найдите наименьшее значение функции (y = {x^3} — 3x + 23) на отрезке (left[ {0;,2} right])

Ответ

ОТВЕТ: 21.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 3.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} — 3 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 1,,,,,,{x_2} = 1.)

Значение ({x_1} = — 1 notin left[ {0;2} right].) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {0;2} right]), то есть в точках (x = 0,,,,,x = 2) или в точке (x = 1:)

(yleft( 0 right) = {0^3} — 3 cdot 0 + 23 = 23;)

(yleft( 2 right) = {2^3} — 3 cdot 2 + 23 = 25;)

(yleft( 1 right) = {1^3} — 3 cdot 1 + 23 = 21.)

Следовательно, наименьшее значение равно 21.

Ответ: 21.

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции (y = {x^3} — 3x + 4) на отрезке (left[ { — 2;,0} right])

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 3.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} — 3 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 1,,,,,,{x_2} = 1.)

Значение ({x_2} = 1 notin left[ { — 2;0} right].) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 2;0} right]), то есть в точках (x = — 2,,,,,x = 0) или в точке (x = — 1:)

(yleft( { — 2} right) = {left( { — 2} right)^3} — 3 cdot left( { — 2} right) + 4 = 2;)

(yleft( 0 right) = {0^3} — 3 cdot 0 + 4 = 4;)

(yleft( { — 1} right) = {left( { — 1} right)^3} — 3 cdot left( { — 1} right) + 4 = 6.)

Следовательно, наибольшее значение равно 6.

Ответ: 6.

Задача 5. Найдите точку максимума функции (y = {x^3} + 15{x^2} + 17)

Ответ

ОТВЕТ: — 10.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} + 30x.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} + 30x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,xleft( {3x + 30} right),,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 10,,,,,,{x_2} = 0.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = — 10.)

Ответ: – 10.

Задача 6. Найдите точку минимума функции (y = {x^3} — 3{x^2} + 2)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 6x.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} — 6x = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,xleft( {3x — 6} right) = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = 0,,,,,,{x_2} = 2.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 2.)

Ответ: 2.

Задача 7. Найдите наименьшее значение функции (y = {x^3} — 3{x^2} + 2) на отрезке (left[ {1;;4} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 2.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 6x.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} — 6x = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,{x_2} = 2.)

Значение ({x_1} = 0 notin left[ {1;4} right].) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;4} right]), то есть в точках (x = 1,,,,,x = 4) или в точке (x = 2:)

(yleft( 1 right) = {1^3} — 3 cdot {1^2} + 2 = 0;)

(yleft( 4 right) = {4^3} — 3 cdot {4^2} + 2 = 18;)

(yleft( 2 right) = {2^3} — 3 cdot {2^2} + 2 = — 2.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно – 2.

Ответ: – 2.

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции (y = {x^3} + 9{x^2} + 19) на отрезке (left[ { — 9;; — 3} right])

Ответ

ОТВЕТ: 127.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} + 18x.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} + 18x = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = — 6,,,,,,{x_2} = 0.)

Значение ({x_2} = 0 notin left[ { — 9; — 3} right].) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 9; — 3} right]), то есть в точках (x = — 9,,,,,x = — 3) или в точке (x = — 6:)

(yleft( { — 9} right) = {left( { — 9} right)^3} + 9 cdot {left( { — 9} right)^2} + 19 = 19;)

(yleft( { — 3} right) = {left( { — 3} right)^3} + 9 cdot {left( { — 3} right)^2} + 19 = 73;)

(yleft( { — 6} right) = {left( { — 6} right)^3} + 9 cdot {left( { — 6} right)^2} + 19 = 127.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно 127.

Ответ: 127.

Задача 9. Найдите точку максимума функции (y = {x^3} — 6{x^2} + 9x + 60)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 12x + 9.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} — 12x + 9 = 0left| {:3} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} — 4x + 3 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = 1,,,,,,{x_2} = 3.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 1.)

Ответ: 1.

Задача 10. Найдите точку минимума функции (y = {x^3} + 18{x^2} + 81x +

Ответ

ОТВЕТ: — 3.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} + 36x + 81.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} + 36x + 81 = 0left| {:3} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} + 12x + 27 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 3,,,,,,{x_2} = — 9.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = — 3.)

Ответ: –3.

Задача 11. Найдите наименьшее значение функции (y = {x^3} — 2{x^2} + x + 3) на отрезке (left[ {1;;4} right])

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 4x + 1.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} — 4x + 1 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = frac{1}{3},,,,,,{x_2} = 1.)

Значение ({x_1} = frac{1}{3} notin left[ {1;4} right].) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;4} right]), то есть в точках (x = 1,,,,,x = 4) :

(yleft( 1 right) = {1^3} — 2 cdot {1^2} + 1 + 3 = 3;)

(yleft( 4 right) = {4^3} — 2 cdot {4^2} + 4 + 3 = 39;)

Следовательно, наименьшее значение функции равно 3.

Ответ: 3.

Задача 12. Найдите наибольшее значение функции (y = {x^3} + 10{x^2} + 25x + 3) на отрезке (left[ { — 12;; — 3} right])

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} + 20x + 25.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} + 20x + 25 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = — 5,,,,,,{x_2} = — frac{5}{3}.)

Значение ({x_2} = — frac{5}{3} notin left[ { — 12; — 3} right].) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 12; — 3} right]), то есть в точках (x = — 12,,,,,x = — 3) или в точке (x = — 5:)

(yleft( { — 12} right) = {left( { — 12} right)^3} + 10 cdot {left( { — 12} right)^2} + 25 cdot left( { — 12} right) + 3 = — 585;)

(yleft( { — 3} right) = {left( { — 3} right)^3} + 10 cdot {left( { — 3} right)^2} + 25 cdot left( { — 3} right) + 3 = — 9;)

(yleft( { — 5} right) = {left( { — 5} right)^3} + 10 cdot {left( { — 5} right)^2} + 25 cdot left( { — 5} right) + 3 = 3.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно 3.

Ответ: 3.

Задача 13. Найдите точку максимума функции (y = {x^3} — 5{x^2} + 7x — 5)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 10x + 7.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} — 10x + 7 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = 1,,,,,,{x_2} = frac{7}{3}.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 1.)

Ответ: 1.

Задача 14. Найдите точку минимума функции (y = {x^3} + 5{x^2} + 7x — 5)

Ответ

ОТВЕТ: — 1.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} + 10x + 7.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} + 10x + 7 = 0,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 1,,,,,,{x_2} = — frac{7}{3}.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = — 1.)

Ответ: –1.

Задача 15. Найдите наименьшее значение функции (y = {x^3} — 19,5{x^2} + 90x + 22) на отрезке (left[ {8;;13} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 28.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 39x + 90.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} — 39x + 90 = 0left| {:3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{x^2} — 13x + 30 = 0} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 3,,,,,,{x_2} = 10.)

Значение ({x_1} = 3 notin left[ {8;13} right].) Определим знаки производной функции на отрезке (left[ {8;13} right]) и ее поведение:

Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке (left[ {8;13} right]) будет в точке (x = 10).

(yleft( {10} right) = {10^3} — 19,5 cdot {10^2} + 90 cdot 10 + 22 = — 28.)

Ответ: – 28.

Задача 16. Найдите наибольшее значение функции (y = {x^3} — {x^2} — 5x + 24) на отрезке (left[ { — 8;;3} right])

Ответ

ОТВЕТ: 27.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3{x^2} — 2x — 5.)

Найдём нули производной:

(3{x^2} — 2x — 5 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = — 1,,,,,,{x_2} = frac{5}{3}.)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ { — 8;3} right]) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке (left[ { — 8;3} right]) будет либо в точке (x = — 1), либо в точке (x = 3).

(yleft( { — 1} right) = {left( { — 1} right)^3} — {left( { — 1} right)^2} — 5 cdot left( { — 1} right) + 24 = 27;)

(yleft( 3 right) = {3^3} — {3^2} — 5 cdot 3 + 24 = 27.)

Ответ: 27.

Задача 17. Найдите точку максимума функции (y = 7 + 12x — {x^3})

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 12 — 3{x^2}.)

Найдём нули производной:

(12 — 3{x^2} = 0,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 2,,,,,,{x_2} = 2.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 2.)

Ответ: 2.

Задача 18. Найдите точку минимума функции (y = 7 + 12x — {x^3})

Ответ

ОТВЕТ: — 2.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 12 — 3{x^2}.)

Найдём нули производной:

(12 — 3{x^2} = 0,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 2,,,,,,{x_2} = 2.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = — 2.)

Ответ: –2.

Задача 19. Найдите наименьшее значение функции (y = 7 + 12x — {x^3}) на отрезке (left[ { — 2;;2} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 9.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 12 — 3{x^2}.)

Найдём нули производной:

(12 — 3{x^2} = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = — 2,,,,,,{x_2} = 2.)

Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 2;2} right]), то есть в точках (x = — 2,,,,,x = 2):

(yleft( { — 2} right) = 7 + 12 cdot left( { — 2} right) — {left( { — 2} right)^3} = — 9;)

(yleft( 2 right) = 7 + 12 cdot 2 — {2^3} = 23.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно – 9.

Ответ: – 9.

Задача 20. Найдите наибольшее значение функции (y = 7 + 12x — {x^3}) на отрезке (left[ { — 2;;2} right])

Ответ

ОТВЕТ: 23.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 12 — 3{x^2}.)

Найдём нули производной:

(12 — 3{x^2} = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = — 2,,,,,,{x_2} = 2.)

Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 2;2} right]), то есть в точках (x = — 2,,,,,x = 2):

(yleft( { — 2} right) = 7 + 12 cdot left( { — 2} right) — {left( { — 2} right)^3} = — 9;)

(yleft( 2 right) = 7 + 12 cdot 2 — {2^3} = 23.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно 23.

Ответ: 23.

Задача 21. Найдите точку максимума функции (y = — 19,5{x^2} — {x^3} + 99)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = — 39x — 3{x^2}.)

Найдём нули производной:

( — 39x — 3{x^2} = 0left| {:left( { — 3} right)} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} + 13x = 0,,,,,,, Leftrightarrow {x_1} = — 13,,,,,,{x_2} = 0.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 0.)

Ответ: 0.

Задача 22. Найдите точку минимума функции (y = 9{x^2} — {x^3})

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 18x — 3{x^2}.)

Найдём нули производной:

(18x — 3{x^2} = 0left| {:left( { — 3} right)} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} — 6x = 0,,,,,,, Leftrightarrow {x_1} = 0,,,,,,{x_2} = 6.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 0.)

Ответ: 0.

Задача 23. Найдите наименьшее значение функции (y = 9{x^2} — {x^3}) на отрезке (left[ { — 1;;5} right])

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 18x — 3{x^2}.)

Найдём нули производной:

(18x — 3{x^2} = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,{x_2} = 6.)

Значение ({x_2} = 6 notin left[ { — 1;5} right].) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 1;5} right]), то есть в точках (x = — 1,,,,,x = 5) или в точке (x = 0:)

(yleft( { — 1} right) = 9 cdot {left( { — 1} right)^2} — {left( { — 1} right)^3} = 10;)

(yleft( 5 right) = 9 cdot {5^2} — {5^3} = 100;)

(yleft( 0 right) = 0.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: 0.

Задача 24. Найдите наибольшее значение функции (y = 9{x^2} — {x^3}) на отрезке (left[ {2;;10} right])

Ответ

ОТВЕТ: 108.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 18x — 3{x^2}.)

Найдём нули производной:

(18x — 3{x^2} = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,{x_2} = 6.)

Значение ({x_1} = 0 notin left[ {2;10} right].) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {2;10} right]), то есть в точках (x = 2,,,,,x = 10) или в точке (x = 6:)

(yleft( 2 right) = 9 cdot {2^2} — {2^3} = 28;)

(yleft( {10} right) = 9 cdot {10^2} — {10^3} = — 100;)

(yleft( 6 right) = 9 cdot {6^2} — {6^3} = 108.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно 108.

Ответ: 108.

Задача 25. Найдите точку максимума функции (y = frac{{{x^3}}}{3} — 9x — 7)

Ответ

ОТВЕТ: — 3.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = {x^2} — 9.)

Найдём нули производной:

({x^2} — 9 = 0,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 3,,,,,,{x_2} = 3.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = — 3.)

Ответ: –3.

Задача 26. Найдите точку минимума функции (y = frac{{{x^3}}}{3} — 9x — 7)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = {x^2} — 9.)

Найдём нули производной:

({x^2} — 9 = 0,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 3,,,,,,{x_2} = 3.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 3.)

Ответ: 3.

Задача 27. Найдите наименьшее значение функции (y = frac{{{x^3}}}{3} — 9x — 7) на отрезке (left[ { — 3;;3} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 25.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = {x^2} — 9.)

Найдём нули производной:

({x^2} — 9 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = — 3,,,,,,{x_2} = 3.)

Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 3;3} right]), то есть в точках (x = — 3,,,,,x = 3).

(yleft( { — 3} right) = frac{{{{left( { — 3} right)}^3}}}{3} — 9 cdot left( { — 3} right) — 7 = 11;)

(yleft( 3 right) = frac{{{3^3}}}{3} — 9 cdot 3 — 7 = — 25.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно – 25.

Ответ: – 25.

Задача 28. Найдите наибольшее значение функции (y = frac{{{x^3}}}{3} — 9x — 7) на отрезке (left[ { — 3;;3} right])

Ответ

ОТВЕТ: 11.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = {x^2} — 9.)

Найдём нули производной:

({x^2} — 9 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = — 3,,,,,,{x_2} = 3.)

Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 3;3} right]), то есть в точках (x = — 3,,,,,x = 3):

(yleft( { — 3} right) = frac{{{{left( { — 3} right)}^3}}}{3} — 9 cdot left( { — 3} right) — 7 = 11;)

(yleft( 3 right) = frac{{{3^3}}}{3} — 9 cdot 3 — 7 = — 25.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно 11.

Ответ: 11.

Задача 29. Найдите точку максимума функции (y = 5 + 9x — frac{{{x^3}}}{3})

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 9 — {x^2}.)

Найдём нули производной:

(9 — {x^2} = 0,,,,,,,, Leftrightarrow {x_1} = — 3,,,,,,{x_2} = 3.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 3.)

Ответ: 3.

Задача 30. Найдите точку минимума функции (y = 5 + 9x — frac{{{x^3}}}{3})

Ответ

ОТВЕТ: — 3.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 9 — {x^2}.)

Найдём нули производной:

(9 — {x^2} = 0,,,,,,,, Leftrightarrow {x_1} = — 3,,,,,,{x_2} = 3.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = — 3.)

Ответ: –3.

Задача 31. Найдите наименьшее значение функции (y = 5 + 9x — frac{{{x^3}}}{3}) на отрезке (left[ { — 3;;3} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 13.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 9 — {x^2}.)

Найдём нули производной:

(9 — {x^2} = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = — 3,,,,,,{x_2} = 3.)

Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 3;3} right]), то есть в точках (x = — 3,,,,,x = 3):

(yleft( { — 3} right) = 5 + 9 cdot left( { — 3} right) — frac{{{{left( { — 3} right)}^3}}}{3} = — 13;)

(yleft( 3 right) = 5 + 9 cdot 3 — frac{{{3^3}}}{3} = 23.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно – 13.

Ответ: – 13.

Задача 32. Найдите наибольшее значение функции (y = 5 + 9x — frac{{{x^3}}}{3}) на отрезке (left[ { — 3;;3} right])

Ответ

ОТВЕТ: 23.

Решение

Область определения функции: (x in R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 9 — {x^2}.)

Найдём нули производной:

(9 — {x^2} = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = — 3,,,,,,{x_2} = 3.)

Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 3;3} right]), то есть в точках (x = — 3,,,,,x = 3):

(yleft( { — 3} right) = 5 + 9 cdot left( { — 3} right) — frac{{{{left( { — 3} right)}^3}}}{3} = — 13;)

(yleft( 3 right) = 5 + 9 cdot 3 — frac{{{3^3}}}{3} = 23.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно 23.

Ответ: 23.

Задача 33. Найдите точку минимума функции (y = {x^{frac{3}{2}}} — 21x + 5)

Ответ

ОТВЕТ: 196.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции: (y’ = frac{3}{2}{x^{frac{1}{2}}} — 21 = frac{3}{2}sqrt x — 21.)

Найдём нули производной:

(frac{3}{2}sqrt x — 21 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,frac{3}{2}sqrt x = 21,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,sqrt x = 14,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 196.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 196.)

Ответ: 196.

Задача 34. Найдите наименьшее значение функции (y = x{}^{frac{3}{2}} — 3x + 1) на отрезке (left[ {1;;9} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 3.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;,infty } right).)

Найдём производную заданной функции: (y’ = frac{3}{2} cdot {x^{frac{1}{2}}} — 3 = frac{3}{2}sqrt x — 3.)

Найдём нули производной:

(frac{3}{2}sqrt x — 3 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,sqrt x = 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,x = 4.)

Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;9} right]), то есть в точках (x = 1,,,,,x = 9) или (x = 4):

(yleft( 1 right) = {1^{frac{3}{2}}} — 3 cdot 1 + 1 = 1 — 3 + 1 = — 1;)

(yleft( 9 right) = {9^{frac{3}{2}}} — 3 cdot 9 + 1 = {left( {{3^2}} right)^{frac{3}{2}}} — 27 + 1 = {3^3} — 26 = 1;)

(yleft( 9 right) = {4^{frac{3}{2}}} — 3 cdot 4 + 1 = {left( {{2^2}} right)^{frac{3}{2}}} — 12 + 1 = {2^3} — 11 = — 3.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно – 3.

Ответ: – 3.

Задача 35. Найдите точку минимума функции (y = frac{4}{3}{x^{frac{3}{2}}} — 3x + 15)

Ответ

ОТВЕТ: 2,25.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции: (y’ = frac{4}{3} cdot frac{3}{2}{x^{frac{1}{2}}} — 3 = 2sqrt x — 3.)

Найдём нули производной:

(2sqrt x — 3 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,sqrt x = frac{3}{2},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = frac{9}{4}.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = frac{9}{4}.)

Ответ: 2,25.

Задача 36. Найдите наименьшее значение функции (y = frac{2}{3}{x^{frac{3}{2}}} — 3x + 1) на отрезке (left[ {1;;9} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 8.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;,infty } right).)

Найдём производную заданной функции: (y’ = frac{2}{3} cdot frac{3}{2} cdot {x^{frac{1}{2}}} — 3 = sqrt x — 3.)

Найдём нули производной:

(sqrt x — 3 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,sqrt x = 3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,x = 9.)

Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;9} right]), то есть в точках (x = 1,,,,,x = 9):

(yleft( 1 right) = frac{2}{3} cdot {1^{frac{3}{2}}} — 3 cdot 1 + 1 = frac{2}{3} — 3 + 1 = — frac{4}{3};)

(yleft( 9 right) = frac{2}{3} cdot {9^{frac{3}{2}}} — 3 cdot 9 + 1 = frac{2}{3} cdot {left( {{3^2}} right)^{frac{3}{2}}} — 27 + 1 = frac{2}{3} cdot {3^3} — 26 = — 8.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно – 8.

Ответ: – 8.

Задача 37. Найдите точку максимума функции (y = 7 + 6x — 2{x^{frac{3}{2}}})

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 6 — 2 cdot frac{3}{2} cdot {x^{frac{1}{2}}} = 6 — 3sqrt x .)

Найдём нули производной:

(6 — 3sqrt x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x = 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 4.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 4.)

Ответ: 4.

Задача 38. Найдите наибольшее значение функции (y = 3x — 2{x^{frac{3}{2}}}) на отрезке (left[ {0;;4} right])

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;,infty } right).)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 3 — 2 cdot frac{3}{2} cdot {x^{frac{1}{2}}} = 3 — 3sqrt x .)

Найдём нули производной:

(3 — 3sqrt x = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,sqrt x = 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 1.)

Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {0;4} right]), то есть в точках (x = 0,,,,,x = 4) или (x = 1):

(yleft( 0 right) = 3 cdot 0 — 2 cdot {0^{frac{3}{2}}} = 0;)

(yleft( 4 right) = 3 cdot 4 — 2 cdot {4^{frac{3}{2}}} = 12 — 2 cdot {left( {{2^2}} right)^{frac{3}{2}}} = 12 — 2 cdot {2^3} = — 4;)

(yleft( 1 right) = 3 cdot 1 — 2 cdot {1^{frac{3}{2}}} = 3 — 2 = 1.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно 1.

Ответ: 1.

Задача 39. Найдите точку максимума функции (y = — frac{2}{3}{x^{frac{3}{2}}} + 3x + 1)

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции: (y’ = — frac{2}{3} cdot frac{3}{2}{x^{frac{1}{2}}} + 3x = — sqrt x + 3.)

Найдём нули производной:

( — sqrt x + 3 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x = 3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 9.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 9.)

Ответ: 9.

Задача 40. Найдите наибольшее значение функции (y = — frac{2}{3}{x^{frac{3}{2}}} + 3x + 1) на отрезке (left[ {1;;9} right])

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции: (y’ = — ,frac{2}{3} cdot frac{3}{2} cdot {x^{frac{1}{2}}} + 3 = — sqrt x + 3.)

Найдём нули производной:

( — sqrt x + 3 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,sqrt x = 3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,x = 9.)

Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;9} right]), то есть в точках (x = 1) или (x = 9):

(yleft( 1 right) = — ,frac{2}{3} cdot {1^{frac{3}{2}}} + 3 cdot 1 + 1 = 4 — frac{2}{3} = frac{{10}}{3};)

(yleft( 9 right) = — ,frac{2}{3} cdot {9^{frac{3}{2}}} + 3 cdot 9 + 1 = — frac{2}{3} cdot {left( {{3^2}} right)^{frac{3}{2}}} + 28 = — frac{2}{3} cdot {3^3} + 28 = 10.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно 10.

Ответ: 10.

Задача 41. Найдите точку минимума функции (y = xsqrt x — 3x + 1)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Воспользуемся тем, что (xsqrt x = x cdot {x^{frac{1}{2}}} = {x^{1 + frac{1}{2}}} = {x^{frac{3}{2}}}.) Тогда: (y = {x^{frac{3}{2}}} — 3x + 1.)

Найдём производную функции: (y’ = frac{3}{2}{x^{frac{1}{2}}} — 3 = frac{3}{2}sqrt x — 3.)

Найдём нули производной:

(frac{3}{2}sqrt x — 3 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x = 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 4.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 4.)

Ответ: 4.

Задача 42. Найдите наименьшее значение функции (y = xsqrt x — 3x + 1) на отрезке (left[ {1;;9} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 3.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Воспользуемся тем, что (xsqrt x = {x^1} cdot {x^{frac{1}{2}}} = {x^{1 + frac{1}{2}}} = {x^{frac{3}{2}}}.) Тогда: (y = {x^{frac{3}{2}}} — 3x + 1.)

Найдём производную функции: (y’ = frac{3}{2}{x^{frac{1}{2}}} — 3 = frac{3}{2}sqrt x — 3.)

Найдём нули производной:

(frac{3}{2}sqrt x — 3 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x = 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 4.)

Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;9} right]), то есть в точках (x = 1,,,,,x = 9) или (x = 4):

(yleft( 1 right) = 1 cdot sqrt 1 — 3 cdot 1 + 1 = — 1;)

(yleft( 9 right) = 9 cdot sqrt 9 — 3 cdot 9 + 1 = 1;)

(yleft( 4 right) = 4 cdot sqrt 4 — 3 cdot 4 + 1 = — 3.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно – 3.

Ответ: – 3.

Задача 43. Найдите точку минимума функции (y = frac{1}{3}xsqrt x — 9x + 59)

Ответ

ОТВЕТ: 324.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Воспользуемся тем, что (xsqrt x = {x^1} cdot {x^{frac{1}{2}}} = {x^{1 + frac{1}{2}}} = {x^{frac{3}{2}}}.) Тогда: (y = frac{1}{3}{x^{frac{3}{2}}} — 9x + 59.)

Найдём производную функции: (y’ = frac{1}{3} cdot frac{3}{2}{x^{frac{1}{2}}} — 9 = frac{1}{2}sqrt x — 9.)

Найдём нули производной:

(frac{1}{2} sqrt x — 9 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x = 18,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 324.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 324.)

Ответ: 324.

Задача 44. Найдите наименьшее значение функции (y = frac{2}{3}xsqrt x — 3x + 1) на отрезке (left[ {1;;9} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 8.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Воспользуемся тем, что (xsqrt x = {x^1} cdot {x^{frac{1}{2}}} = {x^{1 + frac{1}{2}}} = {x^{frac{3}{2}}}.) Тогда: (y = frac{2}{3}{x^{frac{3}{2}}} — 3x + 1.)

Найдём производную функции: (y’ = frac{2}{3} cdot frac{3}{2}{x^{frac{1}{2}}} — 3 = sqrt x — 3.)

Найдём нули производной:

(sqrt x — 3 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x = 3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 9.)

Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;9} right]), то есть в точках (x = 1) или (x = 9):

(yleft( 1 right) = frac{2}{3} cdot 1 cdot sqrt 1 — 3 cdot 1 + 1 = frac{2}{3} — 2 = — frac{4}{3};)

(yleft( 9 right) = frac{2}{3} cdot 9 cdot sqrt 9 — 3 cdot 9 + 1 = 18 — 27 + 2 = — 8.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно – 8.

Ответ: – 8.

Задача 45. Найдите точку максимума функции (y = 7 + 6x — 2xsqrt x )

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Воспользуемся тем, что (xsqrt x = {x^1} cdot {x^{frac{1}{2}}} = {x^{1 + frac{1}{2}}} = {x^{frac{3}{2}}}.) Тогда: (y = 7 + 6x — 2 cdot {x^{frac{3}{2}}}.)

Найдём производную функции: (y’ = 6 — 2 cdot frac{3}{2} cdot {x^{frac{1}{2}}} = 6 — 3sqrt x .)

Найдём нули производной:

(6 — 3sqrt x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x = 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 4.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 4.)

Ответ: 4.

Задача 46. Найдите наибольшее значение функции (y = 5 + 6x — xsqrt x ) на отрезке (left[ {14;;23} right])

Ответ

ОТВЕТ: 37.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Воспользуемся тем, что (xsqrt x = {x^1} cdot {x^{frac{1}{2}}} = {x^{1 + frac{1}{2}}} = {x^{frac{3}{2}}}.) Тогда: (y = 5 + 6x — {x^{frac{3}{2}}}.)

Найдём производную функции: (y’ = 6 — frac{3}{2} cdot {x^{frac{1}{2}}} = 6 — frac{3}{2}sqrt x .)

Найдём нули производной:

(6 — frac{3}{2}sqrt x = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x = 4,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 16.)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ {14;23} right]) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке (left[ {14;23} right]) будет в точке (x = 16).

(yleft( {16} right) = 5 + 6 cdot 16 — 16 cdot sqrt {16} = 37.)

Ответ: 37.

Задача 47. Найдите точку максимума функции (y = — frac{2}{3}xsqrt x + 3x + 1)

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Воспользуемся тем, что (xsqrt x = {x^1} cdot {x^{frac{1}{2}}} = {x^{1 + frac{1}{2}}} = {x^{frac{3}{2}}}.) Тогда: (y = — frac{2}{3}{x^{frac{3}{2}}} + 3x + 1.)

Найдём производную функции: (y’ = — frac{2}{3} cdot frac{3}{2} cdot {x^{frac{1}{2}}} + 3 = — sqrt x + 3.)

Найдём нули производной:

( — sqrt x + 3 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x = 3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 9.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 9.)

Ответ: 9.

Задача 48. Найдите наибольшее значение функции (y = — frac{2}{3}xsqrt x + 3x + 1) на отрезке (left[ {1;;9} right])

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Область определения функции: (x in left[ {0;infty } right).)

Воспользуемся тем, что (xsqrt x = {x^1} cdot {x^{frac{1}{2}}} = {x^{1 + frac{1}{2}}} = {x^{frac{3}{2}}}.) Тогда: (y = — ,frac{2}{3}{x^{frac{3}{2}}} + 3x + 1.)

Найдём производную функции: (y’ = — ,frac{2}{3} cdot frac{3}{2} cdot {x^{frac{1}{2}}} + 3 = — sqrt x + 3.)

Найдём нули производной:

( — sqrt x + 3 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,sqrt x = 3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 9.)

Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;9} right]), то есть в точках (x = 1) или (x = 9):

(yleft( 1 right) = — frac{2}{3} cdot 1 cdot sqrt 1 + 3 cdot 1 + 1 = — frac{2}{3} + 4 = frac{{10}}{3};)

(yleft( 9 right) = — frac{2}{3} cdot 9 cdot sqrt 9 + 3 cdot 9 + 1 = — 18 + 27 + 1 = 10.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно 10.

Ответ: 10.

Задача 49. Найдите точку максимума функции (y = — frac{{{x^2} + 289}}{x})

Ответ

ОТВЕТ: 17.

Решение

Область определения функции: (x in ,,left( { — infty ;0} right) cup left( {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = — ,,frac{{{{left( {{x^2} + 289} right)}^prime } cdot x — left( {{x^2} + 289} right) cdot x’}}{{{x^2}}} = — ,frac{{2x cdot x — left( {{x^2} + 289} right)}}{{{x^2}}} = — ,frac{{2{x^2} — {x^2} — 289}}{{{x^2}}} = frac{{289 — {x^2}}}{{{x^2}}}.)

(289 — {x^2} = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 17,,,,,,,{x_2} = 17.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 17.)

Ответ: 17.

Задача 50. Найдите точку минимума функции (y = — frac{{{x^2} + 1}}{x})

Ответ

ОТВЕТ: — 1.

Решение

Область определения функции: (x in ,,left( { — infty ;0} right) cup left( {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = — ,,frac{{{{left( {{x^2} + 1} right)}^prime } cdot x — left( {{x^2} + 1} right) cdot x’}}{{{x^2}}} = — ,frac{{2x cdot x — left( {{x^2} + 1} right)}}{{{x^2}}} = — ,frac{{2{x^2} — {x^2} — 1}}{{{x^2}}} = frac{{1 — {x^2}}}{{{x^2}}}.)

Найдём нули производной:

(1 — {x^2} = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 1,,,,,,,{x_2} = 1.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = — 1.)

Ответ: –1.

Задача 51. Найдите наименьшее значение функции (y = frac{{{x^2} + 25}}{x}) на отрезке (left[ {1;;12} right])

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Область определения функции: (x in ,,left( { — infty ;0} right) cup left( {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = ,frac{{{{left( {{x^2} + 25} right)}^prime } cdot x — left( {{x^2} + 25} right) cdot x’}}{{{x^2}}} = frac{{2x cdot x — left( {{x^2} + 25} right)}}{{{x^2}}} = frac{{2{x^2} — {x^2} — 25}}{{{x^2}}} = frac{{{x^2} — 25}}{{{x^2}}}.)

Найдём нули производной:

({x^2} — 25 = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 5,,,,,,,{x_2} = 5.)

Значение ({x_1} = — 5 notin left[ {1;12} right].) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;12} right]), то есть в точках (x = 1,,,,,x = 12) или (x = 5):

(yleft( 1 right) = frac{{{1^2} + 25}}{1} = 26;)

(yleft( {12} right) = frac{{{{12}^2} + 25}}{{12}} = 12 + frac{{25}}{{12}} = 14frac{1}{{12}};)

(yleft( 5 right) = frac{{{5^2} + 25}}{5} = 10.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно 10.

Ответ: 10.

Задача 52. Найдите наибольшее значение функции (y = frac{{{x^2} + 144}}{x}) на отрезке (left[ { — 19;; — 1} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 24.

Решение

Область определения функции: (x in ,,left( { — infty ;0} right) cup left( {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = ,frac{{{{left( {{x^2} + 144} right)}^prime } cdot x — left( {{x^2} + 144} right) cdot x’}}{{{x^2}}} = frac{{2x cdot x — left( {{x^2} + 144} right)}}{{{x^2}}} = frac{{2{x^2} — {x^2} — 144}}{{{x^2}}} = frac{{{x^2} — 144}}{{{x^2}}}.)

Найдём нули производной:

({x^2} — 144 = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 12,,,,,,,{x_2} = 12.)

Значение (x = 12 notin left[ { — 19; — 1} right].) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 19; — 1} right]), то есть в точках (x = — 19,,,,,x = — 1) или (x = — 12):

(yleft( { — 19} right) = frac{{{{left( { — 19} right)}^2} + 144}}{{ — 19}} = — 19 — frac{{144}}{{19}} = — 19 — 7frac{{11}}{{19}} = — 26frac{{11}}{{19}};)

(yleft( { — 1} right) = frac{{{{left( { — 1} right)}^2} + 144}}{{ — 1}} = — 145;)

(yleft( { — 12} right) = frac{{{{left( { — 12} right)}^2} + 144}}{{ — 12}} = — 12 — 12 = — 24.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно – 24.

Ответ: – 24.

Задача 53. Найдите точку максимума функции (y = frac{{16}}{x} + x + 3)

Ответ

ОТВЕТ: — 4.

Решение

Область определения функции: (x in ,,left( { — infty ;0} right) cup left( {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = ,frac{{{{16}^prime } cdot x — 16 cdot x’}}{{{x^2}}} + x’ + 3′ = frac{{0 cdot x — 16}}{{{x^2}}} + 1 = — frac{{16}}{{{x^2}}} + 1)

Найдём нули производной:

(1 — frac{{16}}{{{x^2}}} = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x^2} = 16,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 4,,,,,,,{x_2} = 4.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = — 4.)

Ответ: –4.

Задача 54. Найдите точку минимума функции (y = frac{{25}}{x} + x + 12)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Область определения функции: (x in ,,left( { — infty ;0} right) cup left( {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = ,frac{{{{25}^prime } cdot x — 25 cdot x’}}{{{x^2}}} + x’ + 12′ = frac{{0 cdot x — 25}}{{{x^2}}} + 1 = — frac{{25}}{{{x^2}}} + 1)

Найдём нули производной:

(1 — frac{{25}}{{{x^2}}} = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x^2} — 25 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 5,,,,,,,{x_2} = 5.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 5.)

Ответ: 5.

Задача 55. Найдите наименьшее значение функции (y = x + frac{{36}}{x}) на отрезке (left[ {1;;9} right])

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Решение

Область определения функции: (x in ,,left( { — infty ;0} right) cup left( {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = x’ + frac{{36′ cdot x — 36 cdot x’}}{{{x^2}}} = 1 + frac{{0 cdot x — 36}}{{{x^2}}} = 1 — frac{{36}}{{{x^2}}}.)

Найдём нули производной:

(1 — frac{{36}}{{{x^2}}} = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x^2} — 36 = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{x_1} = — 6,,,,,,,{x_2} = 6.)

Значение ({x_1} = — 6 notin left[ {1;9} right].) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;9} right]), то есть в точках (x = 1,,,,,x = 9) или (x = 6):

(yleft( 1 right) = 1 + frac{{36}}{1} = 37;)

(yleft( 9 right) = 9 + frac{{36}}{9} = 13;)

(yleft( 6 right) = 6 + frac{{36}}{6} = 12.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно 12.

Ответ: 12.

Задача 56. Найдите наибольшее значение функции (y = 2x + frac{{72}}{x} + 9) на отрезке (left[ { — 18;; — 0,5} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 15.

Решение

Область определения функции: (x in ,,left( { — infty ;0} right) cup left( {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = {left( {2x} right)^prime } + frac{{72′ cdot x — 72 cdot x’}}{{{x^2}}} + {left( 9 right)^prime } = 2 + frac{{0 cdot x — 72}}{{{x^2}}} = 2 — frac{{72}}{{{x^2}}}.)

Найдём нули производной:

(2 — frac{{72}}{{{x^2}}} = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,2{x^2} — 72 = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{x_1} = — 6,,,,,,,{x_2} = 6.)

Значение ({x_2} = 6 notin left[ { — 18; — 0,5} right].) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 18; — 0,5} right]), то есть в точках (x = — 18,,,,,x = — 0,5) или (x = — 6):

(yleft( { — 18} right) = 2 cdot left( { — 18} right) + frac{{72}}{{ — 18}} + 9 = — 36 — 4 + 9 = — 31;)

(yleft( { — 0,5} right) = 2 cdot left( { — 0,5} right) + frac{{72}}{{ — 0,5}} + 9 = — 1 — 144 + 9 = — 136;)

(yleft( { — 6} right) = 2 cdot left( { — 6} right) + frac{{72}}{{ — 6}} + 9 = — 12 — 12 + 9 = — 15.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно – 15.

Ответ: – 15.

Задача 57. Найдите точку максимума функции (y = — frac{x}{{{x^2} + 289}})

Ответ

ОТВЕТ: — 17.

Решение

Область определения функции: (x in ,,R.)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = , — ,frac{{x’left( {{x^2} + 289} right) — x{{left( {{x^2} + 289} right)}^prime }}}{{{{left( {{x^2} + 289} right)}^2}}} = — ,frac{{{x^2} + 289 — 2{x^2}}}{{{{left( {{x^2} + 289} right)}^2}}} = frac{{{x^2} — 289}}{{{{left( {{x^2} + 289} right)}^2}}})

Найдём нули производной:

({x^2} — 289 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 17,,,,,,,{x_2} = 17.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = — 17.)

Ответ: –17.

Задача 58. Найдите точку минимума функции (y = — frac{x}{{x{}^2 + 1}})

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Область определения функции: (x in ,,R.)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = , — ,frac{{x’left( {{x^2} + 1} right) — x{{left( {{x^2} + 1} right)}^prime }}}{{{x^2}}} = — ,frac{{{x^2} + 1 — 2{x^2}}}{{{x^2}}} = frac{{{x^2} — 1}}{{{x^2}}})

Найдём нули производной:

({x^2} — 1 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 1,,,,,,,{x_2} = 1.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = 1.)

Ответ: 1.

Задача 59. Найдите точку максимума функции (y = {left( {x — 2} right)^2}left( {x — 4} right) + 5)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Область определения функции: (x in ,,R.)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = ,{left( {{{left( {x — 2} right)}^2}} right)^prime }left( {x — 4} right) + {left( {x — 2} right)^2}{left( {x — 4} right)^prime } + 5′ = 2left( {x — 2} right)left( {x — 4} right) + {left( {x — 2} right)^2} = )

( = left( {x — 2} right)left( {2left( {x — 4} right) + x — 2} right) = left( {x — 2} right)left( {2x — 8 + x — 2} right) = left( {x — 2} right)left( {3x — 10} right).)

Найдём нули производной:

(left( {x — 2} right)left( {3x — 10} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = 2,,,,,,,{x_2} = frac{{10}}{3}.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = 2.)

Ответ: 2.

Задача 60. Найдите точку минимума функции (y = {left( {x + 3} right)^2}left( {x + 5} right) — 1)

Ответ

ОТВЕТ: — 3.

Решение

Область определения функции: (x in ,,R.)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = ,{left( {{{left( {x + 3} right)}^2}} right)^prime }left( {x + 5} right) + {left( {x + 3} right)^2}{left( {x + 5} right)^prime } — 1′ = 2left( {x + 3} right)left( {x + 5} right) + {left( {x + 3} right)^2} = )

( = left( {x + 3} right)left( {2left( {x + 5} right) + x + 3} right) = left( {x + 3} right)left( {2x + 10 + x + 3} right) = left( {x + 3} right)left( {3x + 13} right).)

Найдём нули производной:

(left( {x + 3} right)left( {3x + 13} right) = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 3,,,,,,,{x_2} = — frac{{13}}{3}.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума (x = — 3.)

Ответ: – 3.

Задача 61. Найдите наименьшее значение функции (y = {left( {x + 3} right)^2}left( {x + 5} right) — 1) на отрезке (left[ { — 4;; — 1} right])

Ответ

ОТВЕТ: — 1.

Решение

Область определения функции: (x in ,,R.)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = {left( {{{left( {x + 3} right)}^2}} right)^prime }left( {x + 5} right) + {left( {x + 3} right)^2}{left( {x + 5} right)^prime } — 1′ = 2left( {x + 3} right)left( {x + 5} right) + {left( {x + 3} right)^2} = )

( = left( {x + 3} right)left( {2left( {x + 5} right) + x + 3} right) = left( {x + 3} right)left( {2x + 10 + x + 3} right) = left( {x + 3} right)left( {3x + 13} right).)

Найдём нули производной:

(left( {x + 3} right)left( {3x + 13} right) = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{x_1} = — 3,,,,,,,{x_2} = — frac{{13}}{3}.)

Значение ({x_2} = — frac{{13}}{3} notin left[ { — 4; — 1} right].) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка (left[ { — 4; — 1} right]), то есть в точках (x = — 4,,,,,x = — 1) или (x = — 3):

(yleft( { — 4} right) = {left( { — 4 + 3} right)^2} cdot left( { — 4 + 5} right) — 1 = 1 — 1 = 0;)

(yleft( { — 1} right) = {left( { — 1 + 3} right)^2} cdot left( { — 1 + 5} right) — 1 = 16 — 1 = 15;)

(yleft( { — 3} right) = {left( { — 3 + 3} right)^2} cdot left( { — 3 + 5} right) — 1 = 0 — 1 = — 1.)

Следовательно, наименьшее значение функции равно – 1.

Ответ: – 1.

Задача 62. Найдите наибольшее значение функции (y = {left( {x — 2} right)^2}left( {x — 4} right) + 5) на отрезке (left[ {1;;3} right])

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Область определения функции: (x in ,,R.)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = {left( {{{left( {x — 2} right)}^2}} right)^prime }left( {x — 4} right) + {left( {x — 2} right)^2}{left( {x — 4} right)^prime } + 5′ = 2left( {x — 2} right)left( {x — 4} right) + {left( {x — 2} right)^2} = )

( = left( {x — 2} right)left( {2left( {x — 4} right) + x — 2} right) = left( {x — 2} right)left( {2x — 8 + x — 2} right) = left( {x — 2} right)left( {3x — 10} right).)

Найдём нули производной:

(left( {x — 2} right)left( {3x — 10} right) = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{x_1} = 2,,,,,,,{x_2} = frac{{10}}{3}.)

Значение ({x_2} = frac{{10}}{3} notin left[ {1;3} right].) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка (left[ {1;3} right]), то есть в точках (x = 1,,,,,x = 3) или (x = 2):

(yleft( 1 right) = {left( {1 — 2} right)^2} cdot left( {1 — 4} right) + 5 = — 3 + 5 = 2;)

(yleft( 3 right) = {left( {3 — 2} right)^2} cdot left( {3 — 4} right) + 5 = — 1 + 5 = 4;)

(yleft( 2 right) = {left( {2 — 2} right)^2} cdot left( {2 — 4} right) + 5 = 0 + 5 = 5.)

Следовательно, наибольшее значение функции равно 5.

Ответ: 5.

Задача 63. Найдите наибольшее значение функции ({x^5} — 5{x^3} — 20x) на отрезке (left[ { — 6;;1} right])

Ответ

ОТВЕТ: 48.

Решение

Область определения функции: (x in ,,R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 5{x^4} — 15{x^2} — 20)

Найдём нули производной:

(5{x^4} — 15{x^2} — 20 = 0left| {:,5,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x^4} — 3{x^2} — 4 = 0} right..)

Пусть ({x^2} = t,,,,,t ge 0;,,,,,,,,,{t^2} — 3t — 4 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{t_1} = — 1,,,,,,,,{t_2} = 4.)

Значение ({t_1} = — 1) не удовлетворяет условию (t ge 0).

({x^2} = 4,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,{x_1} = — 2,,,,,,,{x_2} = 2.)

Значение ({x_2} = 2 notin left[ { — 6;1} right].) Определим знаки производной функции на отрезке (left[ { — 6;1} right]) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции отрезке (left[ { — 6;1} right]) будет в точке (x = — 2).

(yleft( { — 2} right) = {left( { — 2} right)^5} — 5 cdot {left( { — 2} right)^3} — 20 cdot left( { — 2} right) = — 32 + 40 + 40 = 48.)

Ответ: 48.

Задача 64. Найдите наибольшее значение функции (3{x^5} — 20{x^3} — 54) на отрезке (left[ { — 4;; — 1} right])

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Область определения функции: (x in ,,R.)

Найдём производную заданной функции: (y’ = 15{x^4} — 60{x^2})

Найдём нули производной:

(15{x^4} — 60{x^2} = 0left| {:,15,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x^4} — 4{x^2} = 0} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x^2}left( {{x^2} — 4} right) = 0,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 0,,,,,,,,{x_2} = — 2,,,,,,,,,{x_3} = 2.)

Значения ({x_1} = 0) и ({x_3} = 2) ( notin left[ { — 4; — 1} right].)

Определим знаки производной функции на отрезке (left[ { — 4; — 1} right]) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции отрезке (left[ { — 4; — 1} right]) будет в точке (x = — 2).

(yleft( { — 2} right) = 3 cdot {left( { — 2} right)^5} — 20 cdot {left( { — 2} right)^3} — 54 = — 96 + 160 — 54 = 10.)

Ответ: 10.

Источник

* Замечание. Важно!

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Задача 6

Решение

Задача 7

Решение

Задача 8

Решение

Задача 9

Решение

Задача 10

Решение

Задача 11

Решение

Задача 12

Решение

Задача 13

Решение

Задача 14

Решение

Задача 15

Решение

Задача 16

Решение

Задача 17

Решение

Задача 18

Решение

Задача 19

Решение

Задача 20

Решение

Рекомендуемые курсы подготовки

ЕГЭ Профиль №11. Степенные, иррациональные и дробные функции

ЕГЭ Профиль №11. Степенные, иррациональные и дробные функции