Каталог заданий.
Объем составного многогранника
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 2 № 27044 
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Аналоги к заданию № 27044: 4893 4903 4895 4897 4899 4901 Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь
2
Тип 2 № 27117
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь
3
Тип 2 № 27187
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Аналоги к заданию № 27187: 25531 25539 25533 25535 25537 Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
4
Тип 2 № 27188
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Аналоги к заданию № 27188: 25551 25559 25553 25555 25557 Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
5
Тип 2 № 27189
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Аналоги к заданию № 27189: 25571 25579 25573 25575 25577 Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы
Решение
·
·
Курс Д. Д. Гущина
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
Поиск
Всего: 88 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 402.
Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
На сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB = BC = CD = DA = 4, SA = SB = SC = SD = 7.
а) Докажите, что многогранник SABCD — правильная четырёхугольная пирамида.
б) Найдите объём многогранника SABCD.
Источник: ЕГЭ по математике 27.06.2022. Резервная волна. Вариант 992, Задания 13 ЕГЭ–2022
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 6, BC = 5, AA1 = 4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1.
Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.
Объем тетраэдра равен 
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Всего: 88 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Поиск
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 104 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
На сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB = BC = CD = DA = 4, SA = SB = SC = SD = 7.
а) Докажите, что многогранник SABCD — правильная четырёхугольная пирамида.
б) Найдите объём многогранника SABCD.
Источник: ЕГЭ по математике 27.06.2022. Резервная волна. Вариант 992, Задания 13 ЕГЭ–2022
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 402.
Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 6, BC = 5, AA1 = 4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1.
Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.
Объем тетраэдра равен Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Всего: 104 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Многогранники
Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.
В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).
Объемы различных многогранников:
- Призма $V=S_{осн}·h$
- Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
- Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
- Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Первый способ.
- Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
- Найти объем параллелепипеда.
- Найти объем лишней части фигуры.
- Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.
Пример:
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.
Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:
$V=10·9·4=360$
2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:
Его длина равна $9-4=5$
Ширина равна $4$
Высота равна $7$
$V=7·4·5=140$
3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:
$V=360-140=220$
Ответ: $220$
- Второй способ
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
Пример:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
$P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28$
Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:
$S_1=6·6=36$
$S_2=2·4=8$
$S_осн=36+8=44$
Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника
$S_{полн.пов.}=28·12+2·44=336+88=424$
Ответ: $424$
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.
В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Задачи на рассмотрение подобия фигур.
При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.
При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
ЕГЭ Профиль №2. Площадь поверхности и объем составного многогранника
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №2. Площадь поверхности и объем составного многогранника
| Задача 1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 18. |
 |
| Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 76. |
 |
| Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 92. |
 |
| Задача 4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 110. |
 |
| Задача 5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 94. |
 |
| Задача 6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 132. |
 |
| Задача 7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 114. |
 |
| Задача 8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 48. |
 |
| Задача 9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 84. |
 |
| Задача 10. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 96. |
 |
| Задача 11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 124. |
 |
| Задача 12. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Ответ
ОТВЕТ: 14. |
 |
| Задача 13. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Ответ
ОТВЕТ: 30. |
 |
| Задача 14. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 162. |
 |
| Задача 15. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 156. |
 |
| Задача 16. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 152. |
 |
| Задача 17. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 8. |
 |
| Задача 18. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 56. |
 |
| Задача 19. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 7. |
 |
| Задача 20. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 40. |
 |
| Задача 21. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 34. |
 |
| Задача 22. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 36. |
 |
| Задача 23. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 90. |
 |
| Задача 24. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 18. |
 |
| Задача 25. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 24. |
 |
| Задача 26. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 45. |
 |
| Задача 27. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 78. |
 |
| Задача 28. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 104. |
 |
| Задача 29. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 87. |
 |
| Задача 30. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 114. |
 |
| Задача 31. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ответ
ОТВЕТ: 78. |
 |
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Источники: fipi, os.fipi.
Решение:
Найдём объём достроенного многогранника до параллелепипеда:
V1 = 3·2·3 = 18
Найдём объём кусочка многогранника параллелепипеда которым достроили:
V2 = 1·1·3 = 3
Найдём объём искомого многогранника:
V = V1 – V2 = 18 – 3 = 15
Ответ: 15.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 3
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника(все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Дайте объём в кубических сантиметрах.
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).
Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла B₂A₂C₂.
Найдите отношение квадратов длин отрезков AC и CB. Все двугранные углы многогранника прямые.
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C₃.
Найдите площадь поверхности многогранника (все двугранные углы прямые).
