Найти площадь многоугольника егэ

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень.

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам 

1. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: 

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

 , где и — диагонали.

Получим: 

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача.  Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга 

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости 

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

В задании B5 требуется всегда одно и то же: найти площадь фигуры, которая задана точками на координатной плоскости или на клетчатой бумаге. В зависимости от фигуры, все задачи B5 делятся на два типа:

1. Площади многоугольников;
2. Площади окружностей.

Независимо от типа, надо помнить важнейшее правило, вытекающее из свойств площади: если фигуру разрезать на несколько частей, то сумма площадей этих частей равна площади всей фигуры.

Глава 1.

Площадь на координатной сетке

§ 1.

Площади многоугольников на координатной сетке

§ 2.

Задача B5: вычисление площади методом обводки

§ 3.

Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)

§ 4.

Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (средний)

§ 5.

Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)

§ 6.

Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)

§ 7.

Метод узлов в задаче B5

§ 8.

Задача B5: метод узлов

§ 9.

Опасные ошибки в задачах на площади

Глава 2.

Площадь без координатной сетки

§ 1.

Задача B5: площадь фигуры без клеток

§ 2.

Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат

Глава 3.

Площади кругов и секторов

§ 1.

Площадь круга

§ 2.

Задача B5: площадь сектора

§ 3.

Задача B5: площадь закрашенного сектора

§ 4.

Задача B5: площадь кольца

§ 5.

Нестандартная задача B5 на площадь круга

§ 6.

Семинар: ЕГЭ по математике, задачи B3 на площади

Вычисление площадей многоугольников на клетчатой бумаге с применением различных способов

(пригодится на ОГЭ и ЕГЭ)

Рекомендации

Для решения таких заданий, надо знать формулы

вычисления площадей треугольника, прямоугольника,

трапеции, параллелограмма, квадрата!!!!!

Встречаются задачи, где используются свойства

площадей. Фигуру надо разбить на части, площади

которых можно найти по знакомым формулам. Или

наоборот, фигуру надо достроить. Получится большая

фигура, площадь которой мы сможем найти.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см на 1 см

изображены различные фигуры. Надо найти

площадь. Ответ записать в квадратных сантиметрах

(наименования в ответ не писать)

катет

Найти площадь фигуры

Помощь

b

a

S = a b

1

6

2

катет

a, b – катеты прямоугольного треугольника

5

1см

1

5

х

3

х

1

0

высота

Помощь

Найти площадь фигуры

h

a

5

S = a h a

1

2

основание

7

a — основание

h a — высота

1см

1

,

7

5

х

3

х

1

0

основание

Найти площадь фигуры

Помощь

h

a

5

8

S = a h a

1

высота

2

a — основание

h a — высота

1см

2

0

х

3

х

1

0

высота

Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области треугольника.

Найти площадь фигуры

Помощь

5

h

a

основание

6

S = a h a

1

1см

2

a — основание

h a — высота

1

5

х

3

х

1

0

Формула Пика

6

Если вершины многоугольника находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат), то его площадь можно вычислить по формуле Пика:

S = В + Г/2 − 1

Вычислить площадь фигуры

В — есть количество

целочисленных точек

внутри многоугольника

В = 7

Г – количество

целочисленных точек

на границе многоугольника

Г = 8

S = В + Г/2 − 1

Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Итак, S = 7 + 8/2 − 1 = 10

6

Вычислить площадь параллелограмма

2

1

4

Первый способ:

1. S = 7·4 = 28

2. S 1 = S 3 , S 2 = S 4

3. 2S 2 = 5·1 = 5

4. 2S 1 = 3·2 = 6

5. S = 28 – 11 = 17

3

1

3

4

2

5

7

Ответ: 17

6

Вычислить площадь параллелограмма

Второй способ:

Внутренние В = 16

Граничные Г = 4

Формула Пика

S = В + Г/2 − 1

Площадь параллелограмма S = 16 + 4/2 – 1 = 17

Ответ: 17

Пользоваться формулой Пика я советую очень осторожно, потому что сбиться со  счета в подсчете граничных точек довольно легко, поэтому лучше её использовать в качестве инструмента проверки . 

6

основание

Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области треугольника.

Найти площадь фигуры

Помощь

3

h

высота

a

8

S = a h a

1

1см

2

a — основание

h a — высота

1

2

х

3

х

1

0

Считаем количество точек

Найти площадь фигуры

В = 10

S = В + Г/2 − 1

●

Г = 6

●

●

S = 10 + 6/2 – 1 = 12

●

●

●

1см

1

2

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Помощь

Площадь многих фигур можно найти, разбивая их на части или, наоборот, достраивая до более крупных, но удобных для вычисления площадей фигур.

2

3

S 1

S 2

3

5

Достроим этот треугольник до квадрата

S — ?

2

S 3

Тогда площадь треугольника можно найти так:

5

S = S кв – S 1 – S 2 – S 3

1см

1

,

0

5

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считаем количество точек

В = 9

S = В + Г/2 − 1

Г = 5

S = 9 + 5/2 – 1 = 10,5

S — ?

1см

1

,

0

5

х

3

х

1

0

основание

высота

Найти площадь фигуры

Очевидно, что данный треугольник равнобедренный.

Помощь

1

S = a h a

2

h

6

a

a — основание

h a — высота

6

Найдем основание по теореме Пифагора

1см

Найдем высоту по теореме Пифагора

1

2

х

3

х

1

0

Другое решение

Достроим фигуру до квадрата

Найти площадь фигуры

Найдём площади всех фигур:

1) квадрат со стороной 6,

2) два прямоугольных треугольника с катетами 1 и 5,

3) квадрат со стороной 1.

S 2

S 3

S 1

S — ?

6

S 4

S = S кв – S 1 – S 2 – S 3 – S 4

6

1см

1

2

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

1см

1

2

х

3

х

1

0

высота

Найти площадь фигуры

Эту фигуру удобно достроить до большего треугольника.

основание

1см

1

2

х

3

х

1

0

Вычислить площадь фигуры

Внутренние В = 10

Граничные Г = 6

Площадь фигуры

S = 10 + 6/2 – 1 = 12

1 см

Формула Пика

S = В + Г/2 − 1

1

2

х

3

х

1

0

19

высота

Найти площадь фигуры

Площадь трапеции найти очень просто, если знаешь формулу.

a

Помощь

4

основание

h

3

b

S = (a+b ) h

1

основание

9

2

a, b – основания трапеции

h – высота

1см

1

,

9

5

х

3

х

1

0

высота

a

Найти площадь фигуры

Помощь

9

основание

h

b

6

S = (a+b ) h

1

2

a, b – основания трапеции

h – высота

основание

1

1см

3

0

х

3

х

1

0

основание

основание

a

Найти площадь фигуры

Помощь

h

высота

b

8

S = (a+b ) h

2

1

7

2

a, b – основания трапеции

h – высота

1см

3

6

х

3

х

1

0

высота

a

Найти площадь фигуры

Помощь

6

основание

h

b

5

S = (a+b ) h

1

2

a, b – основания трапеции

h – высота

основание

4

1см

2

5

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

1см

2

5

х

3

х

1

0

высота

a

Найти площадь фигуры

Помощь

9

основание

h

b

5

S = (a+b ) h

1

2

a, b – основания трапеции

h – высота

основание

4

1см

3

,

2

5

х

3

х

1

0

основание

основание

a

Найти площадь фигуры

Помощь

h

b

S = (a+b ) h

1

4

2

высота

a, b – основания трапеции

h – высота

7

2

1см

2

1

х

3

х

1

0

26

Выполним дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых мы сможем вычислить.

a

Помощь

h

Найти площадь фигуры

b

S = (a+b ) h

1

3

S 1

2

7

a, b – основания трапеции

h – высота

S 2

1

S 3

1

Если на экзамене ты разволновался и забыл формулу для вычисления площади трапеции…

Ты получишь тот же ответ, но ты должен понимать, что потратишь больше времени!

1см

Этот способ не самый простой

2

1

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

1см

2

1

х

3

х

1

0

28

Многие задачи можно решить разными способами.

высота

высота

Найти площадь фигуры

Выполним дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых мы сможем вычислить.

S 1

основание

S 2

1см

Второй ученик решал другим способом

3

,

1

5

х

3

х

1

0

Второй ученик знает только, как вычислить площадь прямоугольного треугольника!

S 2

S 1

S — ?

Помощь

S = a b

1

b

2

S 3

S 4

a

Ужасно длинный способ!

Ищу другой!!!

a, b – катеты прямоугольного треугольника

1см

3

,

1

5

х

3

х

1

0

Ученик, который знает больше формул, решит задачу быстрее

Найти площадь фигуры

d 1

Помощь

d 2

S = d 1 d 2

1

2

d 1 , d 2 – взаимно перпендикулярные диагонали четырехугольника

1см

3

,

1

5

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

1см

3

,

1

5

х

3

х

1

0

Первым решит задачу тот, кто знает формулу для вычисления площади параллелограмма.

высота

Найти площадь фигуры

Помощь

h

7

a

S = a h a

основание

4

1см

a – основание параллелограмма

h a – высота, проведенная к основанию

2

8

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

1см

2

8

х

3

х

1

0

Некоторые фигуры необходимо разбить на части или наоборот достроить…

Найти площадь фигуры

7

S 1

S — ?

7

S 2

S 4

S 3

S 5

1см

3

3

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

S — ?

1см

3

3

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Если известно, что данная фигура прямоугольник, то найдем его длину и ширину по теореме Пифагора.

6

a

6

S — ?

b

1см

3

6

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Можно найти площадь каждого треугольника, а затем сложить результаты…

1см

Найти площадь фигуры

9

Можно достроить до большого квадрата.

S 1

9

S — ?

Подумай, как найти площадь прямоугольника теперь…

S 3

1см

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

S — ?

1см

3

6

х

3

х

1

0

ЕГЭ Профиль №2. Площадь поверхности и объем составного многогранникаadmin2022-08-28T09:31:58+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №2. Площадь поверхности и объем составного многогранника

Задача 1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 18.
Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 76.
Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 92.
Задача 4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 110.
Задача 5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 94.
Задача 6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 132.
Задача 7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 114.
Задача 8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 48.
Задача 9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 84.
Задача 10. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 96.
Задача 11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 124.
Задача 12. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ ОТВЕТ: 14.
Задача 13. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов. Ответ ОТВЕТ: 30.
Задача 14. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 162.
Задача 15. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 156.
Задача 16. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 152.

Задача 17. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ ОТВЕТ: 8.
Задача 18. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 56.
Задача 19. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 7.
Задача 20. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 40.
Задача 21. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 34.
Задача 22. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 36.
Задача 23. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 90.
Задача 24. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 18.
Задача 25. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 24.
Задача 26. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 45.
Задача 27. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 78.
Задача 28. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 104.
Задача 29. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 87.
Задача 30. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 114.
Задача 31. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ ОТВЕТ: 78.