Всего: 240 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Источник: Яндекс: Тренировочная работа ЕГЭ по математике. Вариант 1.
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 19.03.2019. Вариант 2
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Источник: ЕГЭ по математике 29.06.2021. Резервная волна. Центр. Вариант 402
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень.
Всего: 240 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
ЕГЭ Профиль №3. Треугольник общего вида
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №3. Треугольник общего вида
| Задача 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.
Ответ
ОТВЕТ: 24. |
| Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Ответ
ОТВЕТ: 1. |
| Задача 3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Ответ
ОТВЕТ: 6. |
| Задача 4. В треугольнике ABC угол A равен 40°, внешний угол при вершине B равен 102°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Ответ
ОТВЕТ: 62. |
| Задача 5. Углы треугольника относятся как . Найдите меньший из них.
Ответ
ОТВЕТ: 40. |
| Задача 6. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол В — тупой, CH — высота, угол BCH равен 22°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Ответ
ОТВЕТ: 38. |
| Задача 7. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 50°, угол CAD равен 28°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Ответ
ОТВЕТ: 74. |
| Задача 8. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
Ответ
ОТВЕТ: 52. |
| Задача 9. В треугольнике ABC угол A равен 72°, а углы B и C — острые. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
Ответ
ОТВЕТ: 108. |
| Задача 10. Два угла треугольника равны 58° и 72°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Ответ
ОТВЕТ: 130. |
| Задача 11. В треугольнике ABC угол C равен 58°, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. |
| Задача 12. В треугольнике ABC CH — высота, AD — биссектриса, O — точка пересечения CH и AD, угол BAD равен 26°. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах. |
| Задача 13. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах. |
| Задача 14. В треугольнике ABC угол A равен 44°, угол C равен 62°. На продолжении стороны AB отложен отрезок BD = BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 15. В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол C равен 85°, AD — биссектриса, E — такая точка на AB, что AE = AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 16. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 86°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что CE = CB. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 17. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах. |
| Задача 18. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах. |
| Задача 19. Площадь треугольника ABC равна 12. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED. |
Привет! Это первая статья посвящённая ЕГЭ по математике профильного уровня.
В ней речь пойдёт о задачах на площадь треугольника.
Вспомним основные формулы для площади треугольника.
Формулы для площади треугольника
Основная формула:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Запасная формула:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Формула Герона:
Решение задач
Приступим к тренировочным задачам задания №1 из ЕГЭ по математике профильного уровня на площадь треугольника.
Задача (Прямоугольный треугольник)
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 16 и 20.
Решение:
Здесь можно воспользоваться основной формулой для нахождения площади прямоугольного треугольника. Но важно знать, что любой катет — это и есть высота прямоугольного треугольника.
Таким образом, высота будет, к примеру, сторона AB. Тогда основанием будет сторона ВС.
Найдём сторону АВ по теореме Пифагора.
x2 + 162 = 202
x2 = 400 — 256 = 144
x = 12
Тогда площадь будет равна:
S = 0,5 * 12 * 16 = 6 * 16 = 96
Ответ: 96
Задача (Прямоугольный треугольник, закрепление)
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Решение:
Найдём гипотенузу по теореме Пифагора.
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 62 + 82 = 100
AC = 10
Мы в прошлой задаче выяснили, что площадь прямоугольного треугольника можно найти, как половину произведения его катетов. А с другой стороны, исходя из основной формулы, площадь равна половине произведения высоты ВН и основания (гипотенузы AC).
S = 0,5*AB*BC = 0,5*BH*AC
BH = AB*BC / AC = 6*8 / 10 = 4,8
Ответ: 4,8
Задача (Три треугольника, одна высота)
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 100. Найдите площадь треугольника BCD.
Решение:
Проведём в треугольнике ABC высоту BH. Оказывается, что ВН является высотой и для треугольника ABD, и для треугольника DBC, и для треугольника ABC.
Применим основную формулу для треугольника ABC и найдём высоту BH.
SABC = 0,5 * AC *BH
SABC = 0,5 * 10 * BH = 100
BH = 100 / (0,5*10) = 20
Теперь применим основную формулу, чтобы найти площадь треугольника BCD.
SDBC = 0,5 * DC * BH
SDBC = 0,5 * 7 * 20 = 70
Ответ: 70
Задача (Запасная формула)
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при основании равен 15°. Боковая сторона равна 10. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
Здесь удобно использовать запасную формулу. Мы знаем две боковые стороны треугольника. Остаётся найти синус угла между ними.
Мы знаем, что углы при основании равны в равнобедренном треугольнике. Поэтому
∠ABC + ∠ВАС + ∠BCA = 180°
∠ABC = 180° — ∠ВАС — ∠BCA
∠ABC = 180° — 15° — 15° = 150°
Синус угла 150° известен. Он равен sin(150°) = sin(30°) = 0,5. Тогда
S = 0,5 * AB*BC * sin(∠ABC)
S = 0,5 * 10*10 * 0,5 = 25
Ответ: 25
Задача (Треугольники в ромбе)
Найдите площадь ромба, если один из его углов равен 60°, а меньшая диагональ равна 10. В ответе запишите число, делённое на √3.
Решение:
Меньшая диагональ будет находится напротив угла 60°, т.к. второй угол у ромба будет 120°, и напротив этого угла будет находится большая диагональ.
Рассмотрим треугольник ВАС. Мы знаем, что у ромба все стороны равны, поэтому треугольник ВАС равносторонний. Ведь, ВА = АС ⇒ ∠ABC = ∠ACB. Тогда
∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°
x = ∠ABC = ∠ACB
x + x + 60° = 180°
2x = 120°
x = 60°
Значит, треугольник ВАС равносторонний. Следовательно, BA = AC = CB = 10.
Чтобы найти площадь ромба, можно разбить его на два одинаковых треугольника: BAC и BDC. Эти два треугольника равны по трём сторонам (BA = AC = CD = DB, BC — общая).
Площадь треугольника BAC легко найти по запасной формуле, ведь две стороны мы знаем, и синус угла между ними тоже известен.
SBAC = 0,5 * BA * AC * sin(60°)
SBAC = 0,5 * 10 * 10 * (√3/2)
SBAC = 25 * √3
Площадь ромба будет равна
SBACD = 2 * SBAC = 2 * 25 * √3 = 50 * √3
В ответе нужно указать число, делённое на √3.
Ответ: 50
Задача (Решаем задачу двумя способами)
На рисунке AB ⊥ BD, AB = 5, AD = 13 и CD = 6. Найдите площадь треугольника CAD.
Решение:
Первый способ (основная формула)
Нам известна высота треугольника CAD, AB=5. Нам известно основание, на которое она опущена, это CD=6. Применим основную формулу для площади треугольника.
SCAD = ½ * AB * CD
SCAD = ½ * 5 * 6 = 15
Второй способ (запасная формула)
В прямоугольном треугольнике ABD найдём синус ∠BDA.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin(∠BDA) = AB/AD = 5/13
Теперь воспользуемся запасной формулой для треугольника CAD.
SCAD = ½ * CD * DA * sin(∠BDA)
SCAD = ½ * 6 * 13 * (5/13) = 15
Ответ: 15
Задача (Формула Герона)
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 28, 26, 30.
Решение:
Решим по формуле Герона.
Найдём полупериметр.
p=(28+26+30)/2 = 42
Тогда
Ответ: 336
На этом всё! Сегодня мы повторили основные формулы для нахождения площади треугольника и порешали задачи на эту темы. Всем удачи!
Тренажер задания 3 профильного ЕГЭ по математике-2022 (с ответами). Здесь приведены прототипы задания 3 — задачи на площади треугольников, параллелограмма, ромба, трапеции и прямоугольника. Это задание на планиметрию. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.
Площадь треугольника
27617. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.
27623. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
27589. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30º. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.
27590. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150º. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.
27591. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30º.
27620. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30º. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.
27621. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150º. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 10.
27619. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.
27592. Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
27618. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.
27624. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Параллелограмм
27610. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
27611. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
27612. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
319056. Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма A’B’C’D’, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
319057. Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.
Ромб
27613. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30º.
27614. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
27615. Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.
27616. Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
Прямоугольник
27605. Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.
27582. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
Трапеция
27631. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.
27635. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
27637. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150º. Найдите площадь трапеции.
27632. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
27636. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
27633. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45º.
27634. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
27638. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.
317338. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.
319058. Площадь треугольника ABC равна 12. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABDE.
27640. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.
Задание 3 ЕГЭ по математике (профиль) часть 5
Тренажер задания 3 профильного ЕГЭ по математике-2022 (с ответами). Здесь приведены прототипы задания 3 — задачи на площади треугольников, параллелограмма, ромба, трапеции и прямоугольника. Это задание на планиметрию. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.
Площадь треугольника
27617. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.
27623. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
27589. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30º. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.
27590. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150º. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.
27591. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30º.
27620. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30º. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.
27621. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150º. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 10.
27619. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.
27592. Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
27618. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.
27624. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Параллелограмм
27610. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
27611. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
27612. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
319056. Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма A’B’C’D’, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
319057. Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.
Ромб
27613. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30º.
27614. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
27615. Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.
27616. Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
Прямоугольник
27605. Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.
27582. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
Трапеция
27631. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.
27635. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
27637. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150º. Найдите площадь трапеции.
27632. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
27636. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
27633. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45º.
27634. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
27638. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.
317338. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.
319058. Площадь треугольника ABC равна 12. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABDE.
27640. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.
Задачи егэ на площадь треугольника
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому
Площадь треугольника ABC равна 4, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.
Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему с коэффициентом подобия 
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда
У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Выразим площадь двумя способами:
Тогда, 
В треугольнике ABC угол A равен 
внешний угол при вершине B равен 
Найдите угол 
Ответ дайте в градусах.
Внешний угол треугольника равен сумме несмежных с ним углов этого треугольника. Поэтому
Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике
Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.
Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.
Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.
Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.
В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам
1. На клетчатой бумаге с размером клетки 
изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда
3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на
Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:
Осталось умножить найденное значение синуса на
4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:
, где и — диагонали.
Получим: 
5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции
Нахождение площадей многоугольников сложной формы
А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.
6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.
Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .
7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.
Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .
Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.
Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1
где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.
Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.
Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:
Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.
Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.
Выбирайте — какой способ вам больше нравится.
8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 
Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.
Площадь каждого из больших треугольников равна
Площадь каждого из маленьких треугольников равна
Тогда площадь четырехугольника
9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки
На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь вырезанного квадрата равна 4.
Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.
Площадь круга, длина окружности, площадь части круга
Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.
Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.
10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .
На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.
11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.
На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.
Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:
12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.
Задачи на координатной плоскости
13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).
Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда
14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты
На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.
источники:
http://ege.sdamgia.ru/test?theme=96
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-3-zadachi-na-kletchatoj-bumage-ili-koordinatnoj-ploskosti/
11 августа 2022
В закладки
Обсудить
Жалоба
Разбор основных прототипов задач на нахождение площадей фигур: треугольник, параллелограмм, трапеция, ромб.
planimetria_ploschad_figur.pdf
Автор: Марсель Нуртдинов.
Источник: vk.com/marsel_tutor
3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи на нахождение площади и периметра треугольника
(blacktriangleright) Площадь треугольника равна полупроизведению основания (a) и высоты (h), проведенной к этому основанию.
(blacktriangleright) Формула Герона для площади треугольника:
(large{S_{triangle}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}), где (p) – полупериметр.
(blacktriangleright) Если треугольники имеют равные высоты ((triangle) и (triangle_{1})), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
(blacktriangleright) Если треугольники имеют по равному углу ((triangle) и (triangle_{2})), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Задание
1
#263
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle C = 90^{circ}), (CM) – медиана, (AC = 4), (CM = 2,5). Найдите периметр треугольника (ABC).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда (AB = 2,5 cdot 2 = 5). По теореме Пифагора: (AB^2 = AC^2 + CB^2), откуда находим (CB = 3). Периметр треугольника (ABC) равен (3 + 4 + 5 = 12).
Ответ: 12
Задание
2
#264
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Точка (D) лежит на стороне (AC) треугольника (ABC). Периметр треугольника (ABD) равен (10), периметр треугольника (BDC) равен (7), (BD = 3). Найдите периметр треугольника (ABC).
Периметр треугольника (ABC) равен (AB + AC + BC).
Периметр треугольника (BDC) равен (BD + DC + BC = 7), а (BD = 3), тогда (DC + BC = 4),
периметр треугольника (ABD) равен (AB + BD + AD = 10), тогда (AB + AD = 7).
(AB + AC + BC = AB + AD + DC + BC = 4 + 7 = 11).
Ответ: 11
Задание
3
#265
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (BD) – высота, (AD = 1), (DC = 3), (angle DBC = 45^{circ}). Найдите площадь треугольника (ABC).
(angle BCD = 90^{circ} — angle DBC = 45^{circ} = angle DBC), тогда (BD = DC = 3). Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника (ABC) равна (0,5 cdot (3 + 1) cdot 3 = 6).
Ответ: 6
Задание
4
#266
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (AF) и (BD) – высоты, (AF = 4), (BD = 3), (AC = 6). Найдите (BC).
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то (0,5 cdot AC cdot BD = 0,5 cdot BC cdot AF), откуда (9 = 0,5 cdot BC cdot 4), значит, (BC = 4,5).
Ответ: 4,5
Задание
5
#2644
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Точки (P) и (Q) – середины сторон (AB) и (AC) треугольника (ABC) соответственно. Найдите периметр треугольника (ABC), если периметр треугольника (APQ) равен (21).
(Задача от подписчиков.)
Т.к. (PQ) – средняя линия (triangle ABC), то (2PQ=BC). Периметр (triangle ABC): [P_{ABC}=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2cdot P_{APQ}=2cdot 21=42.]
Ответ: 42
Задание
6
#1768
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (BD) – медиана. Площадь треугольника (ABD) равна (1). Найдите площадь треугольника (ABC).
Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника (BDC) равна площади треугольника (ABD) и равна (1). Тогда площадь треугольника (ABC), равная сумме площадей треугольников (ABD) и (BDC), равна 2.
Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:
площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника (ABD) равна (0,5 cdot AD cdot h), где (h) – высота, проведённая из (B) к стороне (AC). Площадь треугольника (BDC) равна (0,5 cdot
CD cdot h), но (CD = AD), тогда (0,5 cdot AD cdot h = 0,5 cdot
CD cdot h) и, значит, площади треугольников (ABD) и (BDC) равны.
Ответ: 2
Задание
7
#1769
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): точка (D) лежит на (AC), причём (dfrac{AD}{DC} = dfrac{2}{3}). Площадь треугольника (ABD) равна (7,5). Найдите площадь треугольника (BCD).
Построим высоту (BK) 
Площадь треугольника (ABD) может быть найдена по формуле: (S_{ABD} = 0,5cdot ADcdot BK).
Аналогично (S_{BCD} = 0,5cdot CDcdot BK), откуда можно сделать вывод:
(dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = dfrac{0,5cdot CDcdot BK}{0,5cdot ADcdot BK} = dfrac{CD}{AD} = dfrac{3}{2}), тогда (S_{BCD} = dfrac{3}{2}cdot S_{ABD} = dfrac{3}{2}cdot 7,5 = 11,25).
Ответ: 11,25
Задачи на нахождение площади и периметра равностороннего и равнобедренного треугольника каждый год включаются в программу ЕГЭ по математике. Понимать принцип их решения должны старшеклассники, которые планируют сдавать базовый и профильный уровень аттестационного испытания. Научившись правильно решать задачи на нахождение периметра треугольника в ЕГЭ, школьники смогут оперативно выполнять задания в несколько действий и рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по результатам сдачи единого госэкзамена.
Подготовка к аттестационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха
Зачастую во время занятий накануне сдачи единого государственного экзамена перед учащимися встает проблема поиска подходящего источника. Школьного учебника иногда просто не оказывается под рукой в нужный момент. А подобрать все необходимые формулы, к примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника оказывается вовсе не так легко даже в Интернете.
Чтобы успешно пройти выпускное аттестационное испытание, рекомендуем вам заниматься вместе с образовательным порталом «Школково». Наш ресурс предлагает учащимся и преподавателям выстроить процесс подготовки к единому госэкзамену по-новому. Занимаясь вместе с нами, старшеклассники смогут определить те разделы, которые вызывают у них наибольшие трудности, и улучшить собственные знания.
На сайте «Школково» собран весь базовый материал по теме «Вычисление длин и площадей треугольника», который позволит качественно подготовиться к единому государственному экзамену. Данная информация систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом их богатого опыта максимально просто и понятно.
Чтобы задачи ЕГЭ на вычисление площади правильного треугольника по трем сторонам не вызывали особых затруднений, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Множество подобных заданий представлено в разделе «Каталог». В каждом из них старшеклассники смогут увидеть подробный алгоритм решения и правильный ответ. Базу упражнений в соответствующем разделе мы регулярно обновляем и дополняем.
Выполнять задания на нахождение высоты треугольника или его площади учащиеся из МО и других регионов нашей страны могут в онлайн-режиме. В случае необходимости выполненное упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем задачу, к примеру, на вычисление периметра треугольника можно будет оперативно найти, чтобы обсудить принцип ее решения со школьным преподавателем или репетитором.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ