Каталог заданий.
Применение производной к исследованию функций
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
На рисунке изображен график производной функции 
определенной на интервале 
Найдите промежутки возрастания функции 
В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
2
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
3
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Источник: ЕГЭ по математике 29.06.2021. Резервная волна. Центр. Вариант 402
4
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье
5
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург
Пройти тестирование по этим заданиям
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 770 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Найдите, при каких неотрицательных значениях a функция 
на отрезке [−1; 1] имеет ровно одну точку минимума.
Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
Найдите точку максимума функции 
Найдите точку минимума функции 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке
Найдите точку минимума функции 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
На рисунке изображены график функции 
и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции g(x) = 6f(x) − 3x в точке x0.
Всего: 770 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 743 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции g(x) = 6f(x) − 3x в точке x0.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Всего: 743 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$
$f(x)= cos(5x)$
$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
$v(t) = x'(t)$
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
Решение:
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
$3t-3 = 12$
$3t = 15$
$t = 5$
Ответ: $5$
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
$k = tgα$
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
$f'(x_0) = k$
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f'(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение:
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Решение:
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.
В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.
Ответ: $2$
Задания по теме «Взаимосвязь функции и ее производной» являются обязательной частью ЕГЭ по математике. Как правило, эту тему учащиеся подробно изучают в 8-9 классе. Неудивительно, что при подготовке к сдаче единого государственного экзамена выпускники нуждаются в повторении основных формул из темы «Исследование функции с помощью производной». При этом такие задания включаются и в базовый, и в профильный уровень экзамена. Именно поэтому выполнять необходимые построения для того, чтобы быстро получить правильный ответ, должны уметь все старшеклассники. Понимая, что такое производная функция, чему может быть равно ее значение, и умея ее исследовать и производить правильные вычисления, учащиеся смогут рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по итогам написания ЕГЭ.
Базовые моменты, которые необходимо усвоить
Чтобы найти производную функции в точке и успешно справляться с задачами, в которых требуется краткое или подробное решение, важно учесть несколько основных нюансов. Учащимся стоит запомнить, что:
-
В интервалах возрастания производные заданных функций имеют положительные значения.
-
Если речь идет об интервалах убывания, знак меняется на отрицательный.
-
Производная в определенной точке равняется угловому коэффициенту касательной, которая проведена к графику функции в этой же точке.
-
Значение производной в точках экстремума соответствует нулю.
Как сделать процесс подготовки к аттестационному испытанию более легким и эффективным?
Занимаясь перед экзаменом, многие старшеклассники сталкиваются с проблемой поиска полезного источника информации. Учебника в нужный момент может просто не оказаться под рукой. А поиск нужных формул, примеров их применения и построения производной функции порой бывает достаточно трудоемким, даже в Интернете в онлайн-режиме.
Образовательный математический портал «Школково» предлагает придерживаться нового подхода к подготовке к единому государственному экзамену. Занимаясь на нашем сайте, старшеклассники смогут определить наиболее сложные для себя темы и ликвидировать пробелы в знаниях.
Чтобы задания по теме «Связь функции и производной» не вызывали затруднений, мы рекомендуем начать подготовку не с разбора примеров их решения и нахождения нужного значения на заданном промежутке, а с повторения базовой теоретической информации. Этот материал вы найдете в соответствующем разделе нашего сайта. Он изложен настолько понятно, что усвоить его смогут школьники с разным уровнем подготовки.
После повторения базовой информации мы предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Обширная база заданий представлена в разделе «Каталог», например, по решению задач на тему «Функция как производная своей первообразной.» Мы сгруппировали как простые, так и более сложные задачи по теме «Нахождение функции с помощью производной» и для каждой из них подробно прописали алгоритм решения, чтобы школьники смогли понять, как правильно вычислить ответ. База заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.
Практиковаться в выполнении упражнений к ЕГЭ на сайте «Школково» имеют возможность все выпускники вне зависимости от региона их проживания. Если необходимо, любое задание можно сохранить в разделе «Избранное». Так учащиеся смогут оперативно вернуться к нужной задаче, еще раз повторить алгоритм ее решения и обсудить его с преподавателем или репетитором.