Найти скорость течения реки егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на движение по водеadmin2022-10-21T17:39:06+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №9. Задачи на движение по воде

Задача 1. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Пусть x км/ч – скорость течения, тогда скорость лодки против течения (11 — x) км/ч, а по течению (11 + x) км/ч. v (км/ч) t (ч) S (км) Против течения (11 — x) (frac{{112}}{{11 — x}}) 112 По течению (11 + x) (frac{{112}}{{11 + x}}) 112 Так как, на обратный путь по течению лодка затратила на 6 часов меньше, то: (frac{{112}}{{11 — x}} — frac{{112}}{{11 + x}} = 6,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{112left( {11 + x} right) — 112left( {11 — x} right)}}{{left( {11 — x} right)left( {11 + x} right)}} = 6,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{112x + 112x}}{{121 — {x^2}}} = 6,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,224x = 6left( {121 — {x^2}} right),,left| {,:} right.2,,,, Leftrightarrow ,,,,3{x^2} + 112x — 363 = 0;)   (D = {112^2} + 12 cdot 363 = 16900;,,,,sqrt D  = 130;)   ({x_1} = frac{{ — 112 + 130}}{6} = 3;,,,,{x_2} = frac{{ — 112 — 130}}{6} =  — frac{{121}}{3}.) Так как (x > 0), то скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ: 3.

Задача 2. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч Пусть x км/ч – скорость лодки в неподвижной воде, тогда скорость против течения (x — 1) км/ч, а по течению (x + 1) км/ч. v (км/ч) t (ч) S (км) Против течения (x — 1) (frac{{255}}{{x — 1}}) 255 По течению (x + 1) (frac{{255}}{{x + 1}}) 255 Так как на обратный путь по течению реки лодка затратила на 2 часа меньше, то: (frac{{255}}{{x — 1}} — frac{{255}}{{x + 1}} = 2,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{255left( {x + 1} right) — 255left( {x — 1} right)}}{{left( {x — 1} right)left( {x + 1} right)}} = 2,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{510}}{{{x^2} — 1}} = 2,,,, Leftrightarrow ) (2left( {{x^2} — 1} right) = 510,,left| {,:} right.,2,,,, Leftrightarrow ,,,,{x^2} = 256,,,, Leftrightarrow ,,,,{x_1} = 16;,,,{x_2} =  — 16,,.) Так как (x > 0), то скорость лодки в неподвижной воде равна 16 км/ч. Ответ: 16.

Задача 3. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч. Пусть x км/ч – скорость лодки в неподвижной воде, тогда скорость против течения (x — 1) км/ч, а по течению (x + 1) км/ч. v (км/ч) t (ч) S (км) Против течения (x — 1) (frac{{30}}{{x — 1}}) 30 По течению (x + 1) (frac{{30}}{{x + 1}}) 30 Так как лодка вышла из пункта А в 10:00, а вернулась в 18:00, то на весь путь со стоянкой она затратила 8 часов. Следовательно, время в пути равно: (8 — 2,5 = 5,5) часов. (frac{{30}}{{x — 1}} + frac{{30}}{{x + 1}} = frac{{11}}{2},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{30left( {x + 1} right) + 30left( {x — 1} right)}}{{left( {x — 1} right)left( {x + 1} right)}} = frac{{11}}{2},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,frac{{60x}}{{{x^2} — 1}} = frac{{11}}{2},,,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,,11{x^2} — 11 = 120x,,,,, Leftrightarrow ,,,,,11{x^2} — 120x — 11 = 0;) (D = {120^2} + 4 cdot 11 cdot 11 = {2^2} cdot {60^2} + {2^2} cdot {11^2} = 4 cdot left( {3600 + 121} right) = 4 cdot 3721;,,,,sqrt D  = 2 cdot 61 = 122;)({x_1} = frac{{120 + 122}}{{22}} = frac{{242}}{{22}} = 11;,,,,{x_2} = frac{{120 — 122}}{{22}} =  — frac{1}{{11}}.) Так как (x > 0), то скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ: 11.

Задача 4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. Пусть x км/ч – скорость течения реки, тогда скорость теплохода против течения (15 — x) км/ч, а скорость по течению (15 + x) км/ч. v (км/ч) t (ч) S (км) По течению (15 + x) (frac{{200}}{{15 + x}}) 200 Против течения (15 — x) (frac{{200}}{{15 — x}}) 200 На весь путь теплоход затратил  40–10=30  часов. (frac{{200}}{{15 + x}} + frac{{200}}{{15 — x}} = 30,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{200left( {15 — x} right) + 200left( {15 + x} right)}}{{left( {15 + x} right)left( {15 — x} right)}} = 30,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{6000}}{{225 — {x^2}}} = 30,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,6000 = 30left( {225 — {x^2}} right),,left| , right.:30,,,, Leftrightarrow ,,,,200 = 225 — {x^2},,,, Leftrightarrow ,,,{x^2} = 25;,,,,{x_1} = 5;,,,,{x_2} =  — 5.) Так как (x > 0), то скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ: 5.

Задача 5. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч. Пусть x км/ч – скорость первого теплохода, тогда (x + 1) км/ч  скорость второго. v (км/ч) t (ч) S (км) Первый теплоход (x) (frac{{420}}{x}) 420 Второй теплоход (x + 1) (frac{{420}}{{x + 1}}) 420 Первый теплоход находился в пути на 1 час больше чем второй. Следовательно: (frac{{420}}{x} — frac{{420}}{{x + 1}} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{420left( {x + 1} right) — 420x}}{{xleft( {x + 1} right)}} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{420}}{{xleft( {x + 1} right)}} = 1,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} + x = 420,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,{x^2} + x — 420 = 0;,,,,,,D = 1 + 4 cdot 420 = 1681;,,,,,,sqrt D  = 41;) ({x_1} = frac{{ — 1 + 41}}{2} = 20;,,,,,{x_2} = frac{{ — 1 — 41}}{2} =  — 21.) Так как (x > 0), то скорость первого теплохода равна 20 км/ч. Ответ: 20.

Задача 6. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч. Пусть x км/ч – скорость течения реки, тогда скорость баржи против течения(7 — x) км/ч, скорость по течению (7 + x) км/ч. v (км/ч) t (ч) S (км) Против течения (7 — x) (frac{{15}}{{7 — x}}) 15 По течению (7 + x) (frac{{15}}{{7 + x}}) 15 Так как баржа вышла из пункта А в 10:00, а вернулась назад в 16:00, то на весь путь со стоянкой она затратила 6 часов. Следовательно, время в пути равно: (6 — 1frac{1}{3} = 4frac{2}{3} = frac{{14}}{3}) часа. (frac{{15}}{{7 — x}} + frac{{15}}{{7 + x}} = frac{{14}}{3},,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{15left( {7 + x} right) + 15left( {7 — x} right)}}{{left( {7 — x} right)left( {7 + x} right)}} = frac{{14}}{3},,,,, Leftrightarrow frac{{210}}{{49 — {x^2}}} = frac{{14}}{3},,,,, Leftrightarrow ,,,,,) ( Leftrightarrow ,,,,3 cdot 210 = 14 cdot left( {49 — {x^2}} right),,left| {,:,14,,,, Leftrightarrow ,,,,3 cdot 15 = 49 — {x^2},,,, Leftrightarrow ,,,,{x^2} = 4,,,, Leftrightarrow ,,,,{x_1} = 2;,,,,{x_2} =  — 2.} right.) Так как (x > 0), то скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ: 2.

Задача 7. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч. Пусть x км/ч – скорость баржи из А в В, тогда ее скорость из В в А равна(x + 3) км/ч. v (км/ч) t (ч) S (км) (A, to ,B) (x) (frac{{390}}{x}) 390 (B, to ,A) (x + 3) (frac{{390}}{{x + 3}}) 390 Так как на обратном пути баржа сделала остановку на 9 часов и в результате затратила столько же времени, то: (frac{{390}}{x} — frac{{390}}{{x + 3}} = 9,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{390left( {x + 3} right) — 390x}}{{xleft( {x + 3} right)}} = 9,,,,, Leftrightarrow frac{{390 cdot 3}}{{xleft( {x + 3} right)}} = 9,,,,, Leftrightarrow ,,,,,) ( Leftrightarrow ,,,,9xleft( {x + 3} right) = 390 cdot 3,,left| {,:,} right.9,,,,, Leftrightarrow ,,,,{x^2} + 3x — 130 = 0,,,,,,,D = 9 + 4 cdot 130 = 529;,) ({x_1} = frac{{ — 3 + 23}}{2} = 10;,,,,,{x_2} = frac{{ — 3 — 23}}{2} =  — 13.) Так как (x > 0), то скорость баржи из А в В равна 10 км/ч. Ответ: 10.

Задача 8. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс? Пусть путь теплохода в одну сторону равен x км. Скорость теплохода по течению 25+3=28 км/ч, а скорость против течения 25–3=22 км/ч. v (км/ч) t (ч) S (км) По течению 28 (frac{x}{{28}}) x Против течения 22 (frac{x}{{22}}) x Время составляет 30 часов, из которых 5 часов – стоянка. (frac{x}{{28}} + frac{x}{{22}} = 30 — 5,,,,, Leftrightarrow ,,,,,frac{{11x + 14x}}{{28 cdot 11}} = 25,,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{25x}}{{28 cdot 11}} = 25,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,25x = 25 cdot 28 cdot 11,,left| {,:,,25,,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 308.} right.) Таким образом, весь путь теплохода составляет (2 cdot x = 2 cdot 308 = 616) км. Ответ: 616.

Задача 9. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Пусть x км/ч – скорость яхты в неподвижной воде, тогда ее скорость по течению (x + 2) км/ч, а против течения (x — 2) км/ч. v (км/ч) t (ч) S (км) По течению (x + 2) (frac{{120}}{{x + 2}}) 120 Против течения (x — 2) (frac{{120}}{{x — 2}}) 120 Скорость плота равна скорости течения, то есть 2 км/ч. Следовательно, чтобы проплыть 24 км плот затратил (frac{{24}}{2} = 12) часов. Так как яхта оправилась через 1 час после плота, то она была в пути 12–1=11 часов. (frac{{120}}{{x + 2}} + frac{{120}}{{x — 2}} = 11,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{120left( {x — 2} right) + 120left( {x + 2} right)}}{{left( {x + 2} right)left( {x — 2} right)}} = 11,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{{240x}}{{{x^2} — 4}} = 11,,,, Leftrightarrow ) ( Leftrightarrow ,,,,11left( {{x^2} — 4} right) = 240x,,,, Leftrightarrow ,,,,11{x^2} — 240x — 44 = 0;) (D = {240^2} + 4 cdot 11 cdot 44 = {4^2} cdot {60^2} + {4^2} cdot {11^2} = {4^2} cdot left( {3600 + 121} right) = {4^2} cdot 3721;,,,,sqrt D  = 4 cdot 61 = 244;)({x_1} = frac{{240 + 244}}{{22}} = frac{{484}}{{22}} = 22;,,,,{x_2} = frac{{240 — 244}}{{22}} =  — frac{2}{{11}}.) Так как (x > 0), то скорость яхты в неподвижной воде равна 22 км/ч. Ответ: 22.

Задача 10. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? Чтобы перейти из первого положения во второе, второй сухогруз должен пройти больше первого на 400+120+80+600=1200 м = 1,2 км. Пусть первый сухогруз за 12 минут ((frac{1}{5}) часа) пройдет x км, тогда второй пройдет (x + 1,2) км, а скорости сухогрузов соответственно равны V1 и V2. Тогда: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {frac{1}{5}{V_1} = x;} \   {frac{1}{5}{V_2} = x + 1,2.} end{array}} right.) Вычтем из второго уравнения первое: (frac{1}{5}{V_2} — frac{1}{5}{V_1} = 1,2,,left| {, cdot 5,,,, Leftrightarrow ,,,,{V_2} — {V_1} = 6.} right.) Следовательно, скорости сухогрузов отличаются на 6 км/ч. Ответ: 6.

Задача 11. Весной катер идёт против течения реки в (1frac{2}{3}) раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в (1frac{1}{2}) раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч). Пусть x км/ч – скорость течения реки весной, тогда скорость течения летом (x — 1) км/ч, а (y) км/ч – скорость катера. ВЕСНА ЛЕТО По течению (y + x) (y + x — 1) Против течения (y — x) (y — left( {x — 1} right)) Весной скорость катера по течению в (1frac{2}{3}) раза больше чем против течения, то есть (frac{{y + x}}{{y — x}} = frac{5}{3}), а летом в (1frac{1}{2}) раза больше, то есть (frac{{y + x — 1}}{{y — x + 1}} = frac{3}{2}). Таким образом, получаем систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {frac{{y + x}}{{y — x}} = frac{5}{3}} \   {frac{{y + x — 1}}{{y — x + 1}} = frac{3}{2}} end{array},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {5left( {y — x} right) = 3left( {y + x} right)} \   {3left( {y — x + 1} right) = 2left( {y + x — 1} right)} end{array}} right.} right.,,,,, Leftrightarrow ,) ( Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}  {y = 4x} \   {y — 5x + 5 = 0} end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,4x — 5x + 5 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,x = 5.) Следовательно, скорость течения весной равна 5 км/ч. Ответ: 5.

Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Смотри видео «Текстовые задачи на ЕГЭ по математике».

Почему текстовые задачи относятся к простым?

Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.

Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

1. на больше ;
2. в пять раз больше ;
3. на меньше, чем ;
4. меньше в раза;
5. на меньше, чем ;
6. частное от деления на в полтора раза больше ;
7. квадрат суммы и равен ;
8. составляет процентов от ;
9. больше на процентов.

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте!

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах и . Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на больше ». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы

Итак, правильные ответы:

1. 
   больше, чем . Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
2. 
   больше, чем , в пять раз. Значит, если умножить на , получим .
3. 
   меньше, чем . Разница между ними равна . Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
4. 
5. 
   меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
6. 
7. 
   На всякий случай повторим терминологию:
   Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
   Разность — результат вычитания.
   Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
   Частное — результат деления чисел.
8. 
   Мы помним, что .
9. 
   Если принять за , то на процентов больше, то есть .

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

1. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время .
2. В качестве переменной удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

---

. Из пункта в пункт , расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на километров больше, значит, его скорость равна .

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по км. Можно внести скорость — она равна и для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: . Для велосипедиста получим , для автомобилиста .
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:

велосипедист
автомобилист

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что на четыре больше, чем , то есть

Решаем уравнение.

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на , вторую — на .

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение…), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.

А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю?» или «Как раскрывать скобки?» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

Разделим обе части нашего уравнения на . В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

Умножим обе части уравнения на . Получим:

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида . Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле , затем корни по формуле

В нашем уравнении , , .

Найдем дискриминант и корни:

, .

Ясно, что не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: .

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

---

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города в город , расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найдите скорость велосипедиста на пути из в . Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из в равна . Тогда его скорость на обратном пути равна . Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — километров. Осталось записать время. Поскольку , на путь из в велосипедист затратит время , а на обратный путь время .

туда
обратно

На обратном пути велосипедист сделал остановку на часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из в . Это значит, что на обратном пути он крутил педали на часа меньше.

Значит, на три меньше, чем . Получается уравнение:

Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

Разделим обе части уравнения на

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Умножим обе части уравнения на , раскроем скобки и соберем все в левой части.

Находим дискриминант. Он равен .

Найдем корни уравнения:

. Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: .

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

---

3. Моторная лодка прошла против течения реки км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна , а скорость, с которой она движется против течения .

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению , при движении против течения , причем на два часа больше, чем .

по течению
против течения

Условие « на два часа больше, чем «» можно записать в виде:

Составляем уравнение:

и решаем его:

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю:

Раскрываем скобки:

Делим обе части на , чтобы упростить уравнение:

Умножаем обе части уравнения на

Вообще-то это уравнение имеет два корня: и (оба этих числа при возведении в квадрат дают ). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: .

---

4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна км/ч, стоянка длится часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна , скорость его движения против течения равна . Расстояния — и туда, и обратно — равны км.

Теперь графа «время».

Поскольку , время движения теплохода по течению равно , которое теплоход затратил на движение против течения, равно .

по течению
против течения

В пункт отправления теплоход вернулся через часов после отплытия из него. Стоянка длилась часов, следовательно, часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит,

Прежде всего разделим обе части уравнения на . Оно станет проще!

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на , получаем квадратное уравнение . Поскольку скорость течения положительна, получаем: .

Ответ: .

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную километров в час — задача решена неверно.

---

5. Баржа в вышла из пункта в пункт , расположенный в км от . Пробыв в пункте час минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в . Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.

Пусть скорость течения равна . Тогда по течению баржа плывет со скоростью , а против течения со скоростью .

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из вычесть , а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что час минут придется перевести в часы: час минут часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно часа.

по течению
против течения

Возникает вопрос — какой из пунктов, или , расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем!
Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма , равная .

Итак,

Решим это уравнение. Число в правой части представим в виде неправильной дроби: .

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на и умножим на , оно станет значительно проще:

Поскольку скорость течения положительна, .

Ответ: 2.

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Печать страницы