Неравенства с параметром егэ профиль

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Напомню, что два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают. При решении неравенств нужно понимать, какие преобразования будут равносильными, и какие нет:

1. Перенос какого-либо члена неравенства из одной части в другую, при этом знак этого члена меняется на противоположный.
2. Умножение или деление всего неравенства (левой и правой частей) на одно и то же положительное число.
3. Умножение или деление всего неравенства на отрицательное число, при условии, что вы меняете знак неравенства.

Разберем несколько примеров простейших неравенств с параметром. Рассуждения здесь примерно такие же, что и при анализе уравнений. Как аналитически исследовать квадратные уравнения, можно познакомиться здесь.

Пример 1

Решить неравенство ((a-2)x>a^2-4) для любого значения параметра (a).

Решение:

Первый случай: Если (a=2), получим неравенство (0*x>0), которое не имеет решений.

Внимание! Важно помнить, что если вы делите неравенство на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Поэтому, нужно рассмотреть еще два случая.

Второй случай: Если (a > 2 ⇔ x > frac{a^2-4}{a-2} ⇔ x > a+2;)

Третий случай: Если (a < 2 ⇔ x < frac{a^2-4}{a-2} ⇔ x < a+2;)

Ответ:
При (a=2) решений нет;
при (a > 2) $$ x > a+2;$$ при (a < 2) $$x < a+2.$$

Пример 2

Решить неравенство (ax^2-4x-4>0) при всех значениях параметра (a).

Решение:

Первый случай: Если (a=0) , неравенство примет вид (-4x-4>0 ⇔ x<-1);

Второй случай: Если (a≠0), то неравенство будет квадратным.

Для того чтобы решить квадратное неравенство, посчитаем дискриминант:
$$ D=16+16a=16(1+a).$$

Тогда решением системы будет пересечение решений каждого из неравенств.

Ответ: (a∈(-∞; frac{1-2sqrt{58}}{7})∪(frac{1+2sqrt{58}}{7};+∞) )

Пример 3

Найти все значения параметра (a), при которых неравенство (1+log_2 (x^2+x+1) ≥ log_2 (ax^2+a)) имеет решение.

Решение:

Проведем равносильные преобразования, при ОДЗ:

$$ begin{cases} ax^2+a>0, \x^2+x+1>0. end{cases} $$
$$ begin{cases} a>0, \x∈R. end{cases} $$

Выполним преобразования, используя свойства логарифма:

$$ log_2 (2)+log_2 (x^2+x+1) ≥ log_2 (ax^2+a),$$
$$ log_2 (2x^2+2x+2)≥log_2 (ax^2+a),$$
$$ 2x^2+2x+2≥ax^2+a,$$
$$(2-a)x^2+2x-a+2≥0.$$

С учетом ОДЗ получаем систему:

$$ begin{cases} (2-a) x^2+2x-a+2≥0, \a>0. end{cases} $$

Первый случай: при (a=2).

Неравенство примет вид:

$$2x≥0,$$
$$x≥0.$$

Второй случай: при (a≠2).

Первое неравенство системы квадратное и оно не будет иметь решений при выполнении следующих условий:

$$ begin{cases} 2-a<0, \D<0; end{cases} $$
$$ begin{cases} a>2, \4-4(4+a^2-4a)<0; end{cases} $$
$$ begin{cases} a>2, \-4a^2+16a-12<0; end{cases} $$
$$ begin{cases} a>2, \-(a-1)(a-3)<0. end{cases} $$

Из последнего выражения следует, что (a>3).

Таким образом, получаем, что при (a≤3) исходное неравенство имеет решения. С учетом ОДЗ запишем ответ.

Ответ: (0;3].

Задание 17 Профильного ЕГЭ по математике — это уравнение, система уравнений или неравенство с параметром. Или несколькими параметрами.

Конечно, за один день научиться решать такие задачи невозможно. И все-таки мы немного расскажем о том, как научиться решать задачи с параметрами. С чего начать. И какие вообще есть методы решения задач с параметрами.

Начнем с хорошей новости. Задача 17 (с параметром) оценивается в целых 4 первичных балла ЕГЭ, которые отлично пересчитываются в тестовые.

Если вы полны решимости получить на ЕГЭ заветные 4 первичных балла за задачу 17 (с параметром), не стоит начинать с реальных экзаменационных задач. Ведь мы хотим получить результат, а не разочарование! Поэтому сначала необходимо повторить следующие темы:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

2. Преобразование графиков функций.

3. Построение графиков функций.

4. Базовые элементы для решения задач с параметрами. Да, мы будем рисовать не только привычные функции. Но еще и окружности, ромбики, полуплоскости и всевозможные их комбинации.

5. Что такое параметр. Простые задачи с параметрами.

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому.

Читайте статью, смотрите видеокурс. И помните, что графический метод — хороший, но не единственный.

Потому что, кроме него, есть и другие:

— Квадратные уравнения и неравенства с параметрами.

— Задачи с параметрами. Условия касания.

— Метод оценки в задачах с параметрами.

— Использование четности функций в задачах с параметрами.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 17.

И не думайте, что это все возможные методы решения задач с параметрами. Их намного больше! Мы дали ссылки на те, которые встречаются чаще всего в задачах ЕГЭ.

Несколько мудрых советов о том, как и зачем решать задачи с параметрами.

1. Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с заданием 17, нужно решить не менее 50 задач с параметрами.

2. Настанет момент, когда вы увидите, что задача с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов.

3. Два самых главных секрета решения задач с параметрами. Готовы узнать? Вот они:

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.

— Если задачу с параметром можно решить графически — решите графически.

4. Сколько бы вы ни занимались задачами с параметрами, каким бы отличником ни стали — всегда найдется задача, над которой вы задумаетесь. Вот такая, например:

Задача 1. При каких значениях a системы  и равносильны?

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или обе системы не имеют решений.

1) При — системы равносильны, так как обе не имеют решений.

2) При — второе уравнение имеет решение которое является решением первой системы.

3) При 

Система уравнений

Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом

Решениями системы:

являются две точки, в которых прямая пересекает окружность, заданную уравнением

А вот уравнение задает семейство параллельных прямых

Мы хотим, чтобы две системы были равносильны, то есть чтобы окружность, заданная уравнением , пересекала только одну из этого семейства прямых, а именно прямую , и не имела общих точек с другими прямыми из этого семейства.

Меняя параметр а, мы можем менять радиус окружности. Мы хотим, чтобы окружность радиуса не имела общих точек с прямыми, параллельными прямой , то есть лежала ниже прямой, проходящей через точку А на рисунке, и выше прямой, проходящей через точку В.

Когда же происходит касание в точках A и B?

В случае касания радиус окружности Мы легко находим это из прямоугольного треугольника СОА, где О — начало координат.

Значит, в случае касания , а если — касания не происходит.

Объединяя случаи, получим, что системы равносильны, если

Легко? Если справились — вот еще одна интересная задача:

Задача 2. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра , что система уравнений  имеет ровно три различных решения?

Вот решение этой задачи.

Лучше всего осваивать эту непростую тему на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Или на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве. Удачи, друзья!

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$f(x) =(a^{3}+(1-sqrt{2})a^{2}-(3+sqrt{2})a+3sqrt{2})*x^{2}+2(a^{2}-2)x+(a+sqrt{2})$$

     Получим , что $$f(x)>0$$. При этом график f(x)-парабола вида $$y=m x^{2}+nx+p$$, где $$m=(a^{3}+(1-sqrt{2})a^{2}-(3+sqrt{2})a+3sqrt{2})$$, $$n=2(a^{2}-2)$$, $$p=a+sqrt{2}$$

     При m<0 ветви параболы направлены вниз, но тогда f(x)>0 не выполнится для любого x>0. Следовательно, m>0. Решим данное неравенство: $$a^{3}+(1-sqrt{2})a^{2}-(3+sqrt{2})a+3sqrt{2}>0Leftrightarrow$$ $$a^{3}+a^{2}-3a-sqrt{2}a^{2}-sqrt{2}a+3sqrt{2}>0Leftrightarrow$$ $$a(a^{2}+a-3)-sqrt{2}(a+a-3)>0Leftrightarrow$$ $$(a-sqrt{2})(a^{2}+a-3)>0Leftrightarrow$$ $$(a-sqrt{2})(a-frac{-1+sqrt{13}}{2})(a-frac{-1-sqrt{13}}{2})$$

     Получим, что $$a in (frac{-1-sqrt{13}}{2}; frac{-1+sqrt{13}}{2})cup (sqrt{2} ;+infty )$$. Следует рассмотреть отдельно значения, когда $$m=0$$:

   1) При $$a=frac{-1-sqrt{13}}{2}$$ получим : $$2((frac{-1-sqrt{13}}{2})^{2}-2)x+frac{-1-sqrt{13}}{2}+sqrt{2}>0Leftrightarrow$$ $$2(frac{1+13+2sqrt{13}-8}{4})x>frac{1+sqrt{13}-2sqrt{2}}{2}Leftrightarrow$$ $$x>frac{1+sqrt{13}-2sqrt{2}}{6+2sqrt{13}}>0Rightarrow$$ не выполняется для любого x>0

   2) При $$a=frac{-1+sqrt{13}}{2}$$: $$2(frac{13+1-2sqrt{13}-8}{4})x+frac{sqrt{13}-1}{2}+sqrt{2}>0Leftrightarrow$$ $$frac{6-2sqrt{13}}{2}x> frac{1-sqrt{13}-2sqrt{2}}{2}Leftrightarrow$$ $$x<frac{1-sqrt{13}-2sqrt{2}}{6-2sqrt{13}}Rightarrow$$ не выполняется для любого x>0

   3) $$a=sqrt{2}$$: $$2((sqrt{2})^{2}-2)x+sqrt{2}+sqrt{2}>0Rightarrow$$ $$2sqrt{2}>0Rightarrow$$ $$a=sqrt{2}$$ является решением.

     При m>0 ветви направлены вверх и существует 3 возможных расположения параболы, при которых f(x)>0:

$$left[begin{matrix}left{begin{matrix}x_{0}>0\D<0end{matrix}right.\left{begin{matrix}x_{0}<0\f(0)>0end{matrix}right.\left{begin{matrix}x_{0}=0\f(0)=0end{matrix}right.end{matrix}right.$$ , где $$x_{0}$$ – абсцисса вершины параболы; D-дискриминант f(x); f(0)-значение функции в x=0.

    При этом $$x_{0}=-frac{n}{m}$$, а так как m>0 , то $$x_{0}>0Leftrightarrow$$ $$-n>0Leftrightarrow n<0$$. Получим :

$$left[begin{matrix}left{begin{matrix}n<0\D<0end{matrix}right.(1)\left{begin{matrix}n>0\f(0)>0end{matrix}right. (2)\left{begin{matrix}n=0\f(0)=0end{matrix}right. (3)end{matrix}right.$$. Рассмотрим системы по отдельности:

   (1): $$left{begin{matrix}2(a^{2}-2)<0\(2(a^{2}-2))^{2}-4(a-sqrt{2})(a^{2}+a-3)(a+sqrt{2})<0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}a^{2}-2<0\4(a^{2}-2)(a^{2}-2-a^{2}-a+3)<0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}a^{2}-2<0\(1-a)(a^{2}-2)<0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$a in (-sqrt{2};1)$$

   (2): $$left{begin{matrix}a^{2}-2>0\a+sqrt{2}>0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$a in (sqrt{2} +infty )$$

   (3): $$left{begin{matrix}a^{2}-2=0\a+sqrt{2}=0end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$a=-sqrt{2}$$

     Объединяем все полученные значения : $$a in [-sqrt{2}; 1)cup [sqrt{2} ;+infty)$$

ЕГЭ Профиль №18. Уравнения, неравенства и системы с параметрамиadmin2020-04-30T12:32:46+03:00