Нестандартные задачи егэ математика профиль

Нестандартные задачи на числа и их свойства

Задача 18 Профильного ЕГЭ по математике – своеобразная и нестандартная.

Но и здесь есть свои правила, приемы и секреты. И здесь мы о них расскажем.
До 2022 года это была задача 19 Профильного ЕГЭ. Сейчас задач в варианте стало меньше.

Теории здесь немного. Это темы «Числовые множества», признаки делимости, арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия. Кажется, что ничего нового! Да, и еще метод «Оценка плюс пример».

Говорят, что задача 18 Профильного ЕГЭ – это «задача на смекалку». Но это не так. Как и в любой другой математической задаче, мы используем определенные методы и приемы.

Читайте о методах решения задачи 18 Профильного ЕГЭ:

Задача 18 на ЕГЭ по математике (Числа и их свойства). Подготовительные задачи

Метод «Оценка плюс пример»

Задача 18. Уравнения в целых числах

Задача 18. Работа с неравенствами

Секреты решения задачи 18 (Числа и их свойства)

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020! Вариант 27, задача 19

Примеры решения и оформления задач на числа и их свойства – здесь:

Смотрите, как применяются в задаче 18 формулы суммы арифметической прогрессии:

Задача 18 на ЕГЭ по математике 2016 года. Решение.

Задача 18 на ЕГЭ по математике 2017 года. Решение.

Бывают и совсем необычные задачи под номером 18 (19). Например, вот такая:

Новая задача 18 Профильного ЕГЭ по математике (числа и их свойства)

Задача 18 оценивается в 4 первичных балла ЕГЭ, и они пересчитываются в 8-9 тестовых.

Чтобы научиться решать эти нестандартные задачи – читайте наши материалы, записывайтесь на Онлайн-курс  и приходите на интенсивы ЕГЭ-Студии в Москве. Мы проводим их и для старшеклассников, и для учителей и репетиторов.

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Основы решения прикладных нестандартных задач при подготовке к ЕГЭ по математике учащиеся старших классов проходят в рамках школьного курса. Несмотря на это, подобные упражнения не всегда даются выпускникам легко. Чтобы задачи на нестандартное мышление не вызывали сложностей, непременно стоит разобраться с алгоритмом их решения.

Подготовиться к аттестационному испытанию легко и качественно вам поможет образовательный портал «Школково». Чтобы научиться решать математические задачи ЕГЭ с нестандартными ответами, рекомендуем вначале освежить в памяти весь базовый материал. Его вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Изучив теорию, учащиеся поймут, как решаются нестандартные задачи ЕГЭ и, попрактиковавшись, смогут выполнить эти задания.

Закрепить усвоенный материал вам помогут упражнения в разделе «Каталог». Подготовку можно начинать с выполнения простых задач из ЕГЭ с нестандартным решением и ответами. Затем рекомендуется переходить к более сложным. Для каждого задания на сайте наши специалисты прописали подробный алгоритм нахождения правильного ответа.

Оттачивать собственные навыки, например, в решении задач на перевод единиц измерения школьники могут в режиме онлайн, находясь в любом регионе нашей страны. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы в дальнейшем можно было к нему вернуться или обсудить с преподавателем.

Начала теории вероятностей

1. Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Решение. В среднем без дефектов выпускают 92 сумки из каждых 100, поэтому искомая вероятность равна 0,92.

Ответ: 0,92.

2.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

По условию из любых 100 + 8 = 108 сумок в среднем 100 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна

 Ответ: 0,93.

3. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение. Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):

…Д…Ш…Н…, …Д…Н…Ш…, …Ш…Н…Д…, …Ш…Д…Н…, …Н…Д…Ш…, …Н…Ш…Д…

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна

 Ответ: 0,33.

4. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение. Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна

Ответ: 0,498.

5. На борту самолёта 12 кресел расположены рядом с запасными выходами и 18 — за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение. В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30 : 300 = 0,1.

 Ответ: 0,1.

6. В классе 26 учащихся, среди них два друга  — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение. Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.

Ответ: 0,48.

7. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение. Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 

Ответ: 0,25.

8. За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

Решение. Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 4 человека, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 

9. За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между девочками будет сидеть один мальчик.

Решение. Рассмотрим сидящую за столом девочку. За столом есть два места через одно от нее, на каждое из которых претендует 200 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна 

Ответ: 0,01

 10. Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

Решение. По результатам первой жеребьёвки команда «Барселона» находится в одной из 8 групп. Вероятность того, что команда «Зенит» окажется в той же игровой группе равна одной восьмой.

Ответ: 0,125.

11. У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Решение. У Вити в копилке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Больше 70 рублей останется, если достать из копилки либо рублёвую, либо двухрублёвую монету. Таких монет 12 + 6 = 18. Искомая вероятность равна 18 : 25 = 0,72. Ответ: 0,72.

12. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение. Обозначим выпадение орла буквой О, а выпадение решки буквой Р. Возможных восемь исходов:

OOO,  OОР,   ОРО,   ОРР,   РОО,   РОР,  РРО,   РРР

Из них благоприятными являются OОР, ОРО и РОО. Поэтому искомая вероятность равна  то есть 0,375. (Этот подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки.)

Ответ: 0,375.

13. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

Ответ: 0,14.

14. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение. Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек. Тем самым, она равна

Ответ: 0,25

15. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение. На клавиатуре телефона 10 цифр, из них 5 четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что случайно будет нажата четная цифра, равна 5 : 10 = 0,5.

Ответ: 0,5.

16. Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

Решение. Натуральных чисел от 10 до 19 включительно десять, из них на три делятся три числа: 12, 15, 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3:10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

17. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Решение. Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна 2 : 5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

18. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение. Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,375.

19. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Решение. Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1».

Ответ: 4.

20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка).

Решение. Всего возможных исходов — четыре: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Благоприятным является один: орел-решка. Следовательно, искомая вероятность равна 1 : 4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Вероятности сложных событий

1. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события А, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:

Тогда

Ответ: 1,2

Приведем решение Ирины Шраго.

Вероятность того, что выпадет ровно 5 орлов, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 5 орлов, к общему количеству вариантов:  Вероятность того, что выпадет ровно 4 орла, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 4 орла, к общему количеству вариантов:  Тогда отношение этих вероятностей 

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 5 орлов, равно 

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 4 орла, равно 

Тогда

2. В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Решение. Сначала найдём вероятность того, что при двух бросках игральных костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет ни разу. Заметим, что вероятность выбросить комбинацию 5 и 6 очков складывается из двух несовместных событий: на первом кубике выпало 5 очков, а на втором кубике выпало 6 очков или на первом кубике выпало 6 очков, а на втором кубике выпало 5 очков. Тогда вероятность того, что при броске двух игральных костей выпадет комбинация 5 и 6 очков, равна

Вероятность противоположного события, состоящего в том, что при одном броске костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет, равна

Каждое бросание костей не зависит от предыдущего. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что при двух бросках игральных костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет ни разу, равна  Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что при двух бросаниях игральных костей комбинация 5 и 6 очков выпадет хотя бы один раз, равна

Округляя до сотых, получаем ответ.

Ответ: 0,11.

3. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Решение. Изобразим с помощью дерева возможные исходы. Зелёным цветом отмечены исходы, удовлетворяющие условию «Сумма очков превысила число 3 ровно за два броска». Красным цветом отмечены исходы, неудовлетворяющие этому.

Искомая вероятность равна

Округляя до сотых, получаем 0,42.

Ответ: 0,42.

4. Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Решение. Вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток, равна сумме вероятностей того, что сообщение будет передано с первой попытки, и того, что сообщение будет передано со второй попытки. Вероятность неудачной отправки равна 1 − 0,4 = 0,6. Тогда искомая вероятность равна

Ответ: 0,64.

5. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение. Пусть событие A — пациент болен, событие B — тест выявляет наличие заболевания. Тогда P(A) = x — вероятность того, что пациент болен. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев, значит, вероятность того, что пациент болен и тест подтверждает это, равна P(AB) = x · 0,86. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в 94% случаев, значит, вероятность того, что пациент не болен, а тест дал положительный результат, равна (1 − x) · (1 − 0,94). Тогда вероятность того, что тест окажется положительным, равна  Отсюда выразим x:

Тогда вероятность того, что тест оказался положительным у пациента, который действительно имеет заболевание, равна

Ответ: 0,43.

6. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

Решение. Вероятность попадания в мишень равна 0,2. Вероятность противоположного события — промаха — равна 1 − 0,2 = 0,8. Заметим, что вероятность попадания с n-го раза равна 1 − 0,8n. Таким образом, задача сводится к решению неравенства

При n = 2 получаем  При n = 3 получаем  При n = 4 получаем  При n = 5 получаем  Таким образом, ответ — 5.

Ответ: 5.

7. В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение. Изобразим с помощью дерева возможные исходы. Последовательность исходов, приводящая к событию «первый раз синий фломастер появится третьим по счету» выделена оранжевым цветом. Искомая вероятность равна

Ответ: 0,2.

8. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Решение. Сначала найдём вероятность попасть в мишень с первого или второго выстрела:  Соответственно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что стрелок не попадёт в мишень с двух выстрелов, равна 1 − 0,84 = 0,16.

Вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» равна 0,845. Для нахождения вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени» воспользуемся формулой Бернулли:

Теперь найдём искомое отношение вероятностей:

Ответ: 1,05.

9. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

Решение. Поскольку команда A победила в первых трёх играх, она является либо сильнейшей среди всех команд, либо второй по силе, либо третьей по силе. Рассмотрим три случая.

Первый случай — команда A — сильнейшая. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxxA, где x — некоторая команда. Тогда есть 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 1 = 120 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку команда A является сильнейшей, вероятность выигрыша в четвёртом раунде равна 1.

Второй случай — команда A является второй по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxAx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A может располагаться одна из двух ещё не проигравших ей команд, значит, есть 2 · 4 · 3 · 2 · 1 · 1 · 1 = 48 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, одна из которых слабее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0,5.

Третий случай — команда A является третьей по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxAxx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A могут располагаться две ещё не проигравшие ей команды, а слева — три проигравших ей команды, значит, есть 3 · 2 · 1 · 1 · 2 · 1 = 12 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, обе из которых сильнее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0.

Таким образом, поскольку известно, что некоторые три команды слабее команды A, всего имеется 120 + 48 + 12 = 180 способов расположить шесть команд по силе. Так как три вышеперечисленных случая — несовместные события, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна

Ответ: 0,8.

10. Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

Решение. Заметим, что поскольку в турнире участвуют 16 игроков, всего будет четыре тура, в каждом из которых будут играть 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Пусть событие A — Иван с Алексеем сыграли друг с другом в первом туре, событие B — они не сыграли друг с другом в первом туре, но выиграли свои игры в первом туре и встретились во втором, событие C — они не сыграли друг с другом в первом и втором туре, но выиграли свои игры в первом и втором туре и встретились в третьем, D — они не сыграли друг с другом в первом, втором и третьем туре, но выиграли свои игры в первом, втором и третьем туре и встретились в четвёртом.

Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в первом туре, равна  Вероятность события, при котором Иван с Алексеем не сыграли друг с другом в первом туре, но оба выиграли в первом туре и встретились во втором туре, равна

Аналогично, вероятность события C:

Осталось найти вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в четвёртом туре:

Теперь найдём искомую вероятность:

Ответ: 0,125.

____________________________________________________________________

7. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 

Ответ: 0,027.

8. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

Ответ: 0,65.

9. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час, наносекунду и т. д. — равна нулю. Тогда:

P(A + B + С) = P(A) + P(B) + P(С)= P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

Ответ: 0,08.

11. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17.

Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В = «в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,82 = 0,51 + P(В), откуда P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31.

Ответ: 0,31.

12. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна

Ответ: 0,02.

13. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

14. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Решение. 

Р(1) = 0,6.

Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.

Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.

Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. Ответ:5

16. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение. Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:

Ответ: 0,32.

17. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

Ответ: 0,392.

18. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

19. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. События схватить пристрелянный или непристрелянный револьвер образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно наступает), поэтому, по формуле полной вероятности, Джон промахнется с вероятностью 0,04 + 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

20. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение. Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Ответ: 0,019.

21. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение. Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно  и 

События быть больным или быть здоровым образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно наступает), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим: 

Ответ: 0,0545.

22. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате следующих событий: батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или батарейка исправна, но по ошибке забракована. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно  и 

События быть неисправной батарейкой или быть исправной образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно происходит), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим:

Ответ: 0,0296.

23. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Это решение можно записать коротко. Пусть x — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда  — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

Ответ: 0,75.

 25. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку

для вероятности поступления имеем:

Ответ: 0,408.

26. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Ответ: 0,38.

.

28. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение. Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок:  тарелок. Поскольку качественных из них  вероятность купить качественную тарелку равна

Округляя результат до сотых, получаем 0,98.

Ответ: 0,98.

29. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит нужный товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит нужный товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

30. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

31. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение. Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

32. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что первый раз стрелок промахнулся, а со второго выстрела поразил мишень. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B является произведением двух независимых событий, поэтому его вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ: 0,91.

33. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартер» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую игру.

Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Мотор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

34. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Решение. При двукратном бросании кубика 8 очков может получиться только в пяти случаях: 6 + 2, 5 + 3, 4 + 4, 3 + 5 и 2 + 6. При этом во второй раз только единожды выпало 3 очка. Значит, вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка при условии, что в сумме выпало 8 очков, равна одной пятой.

Ответ: 0,2.

35. При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 9 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков?

Решение. При двукратном бросании игральной кости 9 очков может получится только в четырёх случаях: 6 + 3, 5 + 4, 4 + 5 и 3 + 6. При этом 5 очков выпадало в двух из этих случаев. Значит, вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков равна

Ответ: 0,5.

36. Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

Решение. Условию, что при двукратном броске игральной кости три очка не выпали ни разу, соответствует 25 исходов (отмечены оранжевым цветом). Событию «сумма выпавших очков равна 8» соответствуют 3 из них (отмечены зелёным цветом). Значит, искомая вероятность равна

Ответ: 0,12.

37. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых.

Решение. Пусть событие A состоит в том, сумма всех выпавших в результате одного или нескольких бросаний очков равна 4. Построим дерево вариантов, приводящих к этому событию.

Найдем вероятность P(A):

Пусть событие B состоит в том, что был сделан один бросок. Тогда искомая вероятность P(B|A) события В при условии, что событие А наступило (вероятность того, что был сделан один бросок, при условии что выпало 4 очка) определяется по формуле условной вероятности  Вероятность произведения событий B и A, то есть события, в котором при первом бросании кости выпало 4 очка, равна  Тогда для искомой вероятности получаем:

Ответ просят округлить до сотых.

Ответ: 0,63.

Примечание.

Любознательный читатель наверняка обратит внимание на различие в способах решения этой задачи и задачи 508762. В задаче 508762 подсчитывалось общее количество вариантов, с помощью которых можно получить заданную сумму очков, а затем количество подходящих вариантов делилось на общее количество. В данной задаче общее количество вариантов равно 8: 4, 1 + 3, 3 + 1, 2 + 2, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1. Подходящий вариант только один. Однако эти варианты не являются равновероятными, поэтому нельзя делить количество подходящих вариантов на общее количество вариантов, а необходимо рассчитывать вероятности вариантов и использовать формулу, приведенную в решении данной задачи.

38. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.

Решение. Изобразим с помощью дерева возможные исходы. Зелёным цветом отмечены исходы, удовлетворяющие условию «сумма выпавших очков равна 3». Оранжевым цветом отмечены исходы, удовлетворяющие условию «сумма очков, выпавших ровно за два броска равна 3».

Тогда вероятность события «сделано два броска» при условии «в сумме выпало 3 очка» равна:

Ответ просят округлить до сотых.

Ответ: 0,24.

39. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 3 и 5 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,8.

40. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чисел, больших, чем 2, а числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 1 и 2 встречаются по три раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,9.

41. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 3 и 5 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,2.

42. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 1 и 2 встречаются по три раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,1.

43. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 4 и 6 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,8.

44. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 4 и 6 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,2.

45. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 5 и 6 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 5 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 5 и 6 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 5 и 6 встречаются по три раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 5 и 6 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,9.

46. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?

Решение. Заметим, что вероятность получения новой принцессы равна  а вероятность противоположного события — получение старой принцессы —  Вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить 2 шоколадных яйца, равна  Вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить 3 шоколадных яйца, равна  Таким образом, искомая вероятность — 0,16 + 0,032 = 0,192.

Ответ: 0,192.

47. Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.

Решение. Чтобы выйти к фонтану Артёму нужно пройти три развилки. На первой развилке нужно выбрать одну из четырёх дорожек, на второй — одну из двух, на третьей — одну из двух. Значит, вероятность выйти к фонтану равна 

Выйти к пруду Артём может двумя разными способами. Первый способ: на первой развилке нужно выбрать одну из четырёх дорожек, на второй — одну из двух. Вероятность этого способа равна  Второй способ: на первой развилке нужно выбрать одну из четырёх дорожек, на второй — две из четырёх. Вероятность этого способа тоже равна 

Значит, вероятность того, что Артём выйдет к пруду или фонтану, равна 

Ответ: 0,3125.

48. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

Решение. При трёхкратном бросании игральной кости 6 очков может получится только в десяти случаях: 1 + 2 + 3, 1 + 3 + 2, 2 + 1 + 3, 2 + 3 + 1, 3 + 1 + 2, 3 + 2 + 1, 2 + 2 + 2, 1 + 1 + 4, 1 + 4 + 1 и 4 + 1 + 1. При этом 3 очка выпадает в шести из этих случаев. Значит, вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка равна

Ответ: 0,6.

49. В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Решение. Женщин среди взрослого населения 100 % − 48 % = 52 %, среди них 52 % · 0,15 = 7,8% пенсионерок. Всего в городе 12,6 % пенсионеров, поэтому мужчин-пенсионеров 12,6 % − 7,8 % = 4,8 % от взрослого населения города. Поскольку всего среди взрослого населения города 48 % мужчин и среди них 4,8 % пенсионеров, пенсионером является каждый десятый:  Следовательно, вероятность того, что случайно выбранный мужчина окажется пенсионером равна 0,1.

Ответ: 0,1.

Приведём другое решение.

Пусть х  — доля мужчин-пенсионеров среди всех мужчин. Построим дерево вероятностей (см. рис.).

Пенсионеры составляют 0,126 взрослого населения города, откуда получаем:

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный мужчина окажется пенсионером, равна 0,1.

50. В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение. Заметим, что возможны два случая, когда выбраны один синий и один красный фломастер: сначала выбрали синий, потом красный; сначала выбрали красный, потом синий. Эти события несовместны, следовательно, искомая вероятность равна P(С; К) + P(К; С):

Ответ: 0,16.

Тема исследования:

« Нестандартные решения заданий «№ 12 » ЕГЭ профильного уровня по математике ».

2019 – 2020 учебный год.

Учитель: Агнаева Инна Руслановна

Оглавление.

1. Введение ……………………………………………………………..

2. Нахождение наименьшего и наибольшего значения функций, с помощью понятия производной…………………………………….

3. Натуральный логарифм в задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значений функций…………………………………….

4. Экспонента в задачах «№12»………………………………………..

5. Нахождение наибольшего или наименьшего значения функций, содержащих тригонометрические функции……………………….

6. Функция на отрезке……………

7. Заключение……………………………………………………………

8. Список литературы…………………………………………………..

Введение.

Дорогой выпускник!

Для будущего абитуриента знание математики дает шанс получения бюджетного места в вузе .Особенно это касается тех,кто собирается связать свою жизнь с технической специальностью,где базовых знаний будет недостаточно.Для профильного уровня требуется особо тщательная подготовка ЕГЭ по математике.Проходные баллы с каждым годом повышаются, так как считают, что это единственный способ улучшить качество знаний обучающихся. Для вас выпускников, это означает, что получить высокий балл на экзамене можно, если мы справимся с 90% работы. Но зачастую задачи первой части требуют длительных вычислений.

Возьмем к примеру задачи задания «№12» — нахождение наибольшего или наименьшего значения функции. Нередко в заданиях этого типа представлены функции, содержащие логарифмы, квадратный корень, показательную функцию, тригонометрические функции. Чтобы выполнить это задание, нужно знать производные этих функций , знать значение тригонометрических функций для некоторых углов, уметь работать с приближенными значениями. При этом на экзамене нельзя пользоваться калькулятором. Я ,предлагаю без производной , найти способ без без временных затрат выполнить поставленную задачу, используя свойства логарифмической, показательной, тригонометрической, квадратной функций. Конечно, точного математического доказательства примененного способа нет, но задания подобраны таким образом, что данный прием дает 100% результат. И на выполнение этого задания можно потратить около двух минут, а значительная часть выпускников даже не приступит к его решению, если выполнять его по «традиционной» схеме.

В работе рассмотрены все функции, к которым можно применить этот прием, так как в заданиях №12» ответом является либо целое число, либо конечная десятичная дробь.

В работе также показано решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции с помощью понятия производной.

Желаю вам успеха!

Нахождение наименьшего и наибольшего значения функций, с помощью понятия производной.

Задача 1.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

на отрезке [-2;0].

Решение: Решение задач» №12» осуществляется по следующему алгоритму:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки, т.е. решить уравнение

3. Выяснить какие критические точки принадлежат отрезку .

4. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат и на концах промежутка.

5. Из полученных значений найти наибольшее и наименьшее, они и будут соответствовать наибольшему и наименьшему значению функции.

1. ; ;

2. 

Ответ: ; .

Задача 2.

Найти наибольшее значение функции:

Решение:

; ;

так както;

Ответ: 11

Сделай сам:

1. Найти наименьшее значение функции

, на отрезке .

1. Найти наибольшее значение функции

на отрезке .

Натуральный логарифм в задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значений функций

Найти наибольшее значение функциина отрезке .

Решение: Все значения на своей области определения являются бесконечными десятичными дробями, кроме , поэтому . Поэтому исходная функция принимает наибольшее значение при .

Ответ:

Сделай сам:

1. Найти наибольшее значение функциина отрезке.

2. Найти наименьшее значение функциина отрезке.

3. Найти наибольшее значение функциина отрезке.

Экспонента в задачах «№12».

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, содержащих экспоненту.

Задача 6. Найти наименьшее значение функции на отрезке.

Решение: Так как все значения при любом , кроме , являются десятичными бесконечными дробями, а должны получить либо целое число, либо конечную десятичную дробь, то решение исходной задачи будет достигаться при х =7 или х=8.

Итак, ; y(8)=0

Ответ:

Задача 7.Найти наименьшее значение функции на отрезке.

Решение: – целое число при при.

Ответ: .

Сделай сам:

1. Найти наименьшее значение функции на отрезке.

2. Найти наибольшее значение функции [19;21]

Нахождение наибольшего или наименьшего значения функций, содержащих тригонометрические функции

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функций, содержащих тригонометрические функции.

Задача 9. Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

Решение: В задачах типа «№12» ЕГЭ в ответе получается либо целое число, либо конечная десятичная дробь, т.к. – бесконечные десятичные дроби, то от них нужно как-то «избавляться,» а это возможно, когда сумма слагаемых

Итак, наименьшее значение функции будет достигаться при

Ответ:

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции

на отрезке .

Решение:

Ответ: 6

Вывод: В задачах данного типа, достаточно прировнять сумму слагаемых с и с переменной к нулю, и найти значение . Подставляя найденное значение в исходную функцию, получим требуемый результат.

Сделай сам:

Найдите наибольшего значения функции на отрезке .

Функцияна отрезке

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции вида

на отрезке

Задача 13. Найдите наибольшее значение функциина отрезке

Решение: Так как , а при , то . Обозначим , тогда функция принимает наибольшее значение при , так как

или

Но , поэтому исходная функция принимает наибольшее значение при

Ответ: 9

Сделай сам:

1. Найдите наибольшее значение функциина отрезке

2. Найдите наименьшее значение функциина отрезке Заключение.

После разбора рассматриваемых в работе задач ,вам будет не сложно решить аналогичные задания на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции.

Еще раз хочу заострить ваше внимание на том, что многие задания «№12» на ЕГЭ подобраны так, что найденная таким образом переменная входит и в область определения функции, и в заданный промежуток, и в ней достигается экстремальное значение функции.

При любой другой форме проверки знаний учащихся, конечно, целесообразней воспользоваться понятием «производной» для решения задач данного типа , так как можно получить неверный результат.

Если написанная мной работа поможет вам на экзамене, буду очень рада.

В добрый путь, выпускник!

Используемая литература.

1. ЕГЭ «Подготовка к ЕГЭ -2013». Математика. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко; С.Ю. Кулабухова.

2. Диагностические работы от 18.12.12г. (Запад без производного).

3. Вариант alexlarin.net 2013/

4. Диагностические работы от 18.12.12г. (Запад без логарифмов).

5. Тренировочные работы от 24.01.13 г.

6. Варианты ЕГЭ от 7.06.12 г.

7. ЕГЭ. Математика с теорией вероятностей и статистикой под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко. Издательство «Экзамен», Москва 2013 г.

Задания высокого уровня сложности с развернутым ответом 19

Задания 19 (задания № С6) проверяют умение строить и исследовать простые математические модели. Выполнение этих заданий не требует знаний специальных разделов олимпиадной математики, однако по своему содержанию и уровню сложности эти задачи, безусловно, следует отнести к олимпиадным. Их невозможно систематизировать и выделить какие-либо общие приемы решения. Возможно, единственное, что их объединяет — практически все эти задачи в натуральных или целых числах.

Типовые задания 19.

1. (ЕГЭ 2010) Найдите все пары натуральных чисел и , таких, что и .

Решение

Преобразуем исходное равенство:

; ; ; ,

где , .

, .

Следовательно, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке . Так как , то равенство может выполняться только при условии . Отсюда следует, что, причем для каждого может найтись не более одного значения , удовлетворяющего уравнению в паре с этим значением .

В случае из уравнения получаем: , откуда следует , что невозможно.

В случае уравнению удовлетворяет значение : , и это значение единственное.

Ответ: ; .

1. Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение.

а) Среди десяти данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.

б) Среди десяти данных чисел шесть нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.

в) Среди десяти данных чисел шесть нечётных. Значит, хотя бы из двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4.

Наименьшее целое положительное число, которое делится на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (-4; 3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8); (10; -11); (-11;10).

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

1. Число равно произведению 10 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число ?

Решение

Докажем, что у любого числа , удовлетворяющего условию, заведомо есть 56 различных делителей. Действительно, пусть , . Тогда числа

попарно различны и являются делителями числа , а их количество равно . Значит, меньше, чем 56 делителей у числа быть не может.

Приведем пример числа, удовлетворяющего условию, у которого ровно 56 различных делителей: .

Ответ: 56.

1. На доске написано более 30, но менее 40 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -10.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше, положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Решение

Пусть среди написанных чисел положительных, — отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому .

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 5. По условию , поэтому, . Таким образом, написано 35 чисел.

б) Приведем равенство к виду . Так как , то получим, что . Следовательно, , т.е. отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) (оценка) Подставим в правую часть равенства :

, откуда . Так как , получаем: , , , . Таким образом, положительных чисел не более 15.

в) (пример) Приведем пример, когда положительных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз написано число5, 18 раз написано число -10 и два раза написан 0. Тогда . Указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 35; б) отрицательных; в) 15.

1. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 648, и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию.

Решение

а) Покажем, что пяти чисел, образующих геометрическую прогрессию, быть не может. Действительно, пусть пять таких чисел найдутся. Обозначим первый член прогрессии , а знаменатель . Тогда , т.е. 648 является пятой степенью. Противоречие.

б) Покажем, что четырех чисел, образующих геометрическую прогрессию, быть не может. Пусть среди натуральных чисел, дающих в произведении 648, есть четыре целых числа, образующих геометрическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии , а знаменатель прогрессии (и — взаимно простые числа, причем ). Тогда произведение этих четырех чисел будет являться делителем числа 648. Так как числа и взаимно простые, простые множители числа будут входить в состав произведения чисел в той степени, в которой они входят в число , то есть как минимум, в шестой степени. Однако , то есть простых множителей, входящих в шестой степени, в составе этого числа нет.

в) Пример пяти чисел, произведение которых равно 648 и среди которых есть три числа, образующих геометрическую прогрессию: 1, 3, 9, 6, 4.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

1. Набор состоит из тридцати одного натурального числа, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати шести чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно двенадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее двенадцати единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 27.

Решение

а) Да, может. Например, сумма любых двадцати шести чисел из набора, состоящего из пятерки, четверки, тройки, шестнадцати двоек и двенадцати единиц не больше, чем , и их среднее арифметическое меньше 2.

б) Нет, не может. Выпишем все числа слева направо в порядке убывания и рассмотрим первые 26 чисел, считая слева. Их сумма меньше 52. Пусть количество единиц среди них равно . Тогда ; , то есть среди выбранных 26 чисел всегда есть семь единиц. Каждое из оставшихся пяти чисел равно 1, и поэтому во всём наборе есть как минимум, двенадцать единиц.

в) Используя двенадцать единиц и числа 3, 4, 5 можно составить все суммы от 1 до 24.

Если среди оставшихся шестнадцати чисел есть число от 3 до 26, то его можно добавить и получить в сумме 27.

Если среди оставшихся шестнадцати чисел нет чисел от 3 до 26, то каждое из них равно 1, или равно 2, или больше 26. Так как сумма этих шестнадцати чисел не больше 51, то только одно из чисел может быть больше 26. Значит, в этом случае как минимум пятнадцать чисел равны 1 или 2. Используя их и двенадцать единиц, всегда можно получить сумму, равную 27.

Ответ: а) да; б) нет.

1. Совокупность A состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в A больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из A равно 210. Для любых двух чисел из A их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из A делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит A.

Решение.

Так как каждое из чисел, принадлежащих A, должно делить , то все числа из A состоят только из простых сомножителей 2, 3, 5, 7, входящих в эти числа в степени не выше первой. По условию, произведение всех чисел делится на . Следовательно, среди чисел, составляющих A, должно не менее семи четных чисел. Всем указанным условиям удовлетворяют следующие восемь чисел:

; ; ; ; ; ; ; .

Если число входит в A, то любой другой элемент A обязан делиться на , т.к. по условию любые два числа из A имеют общий делитель, отличный от . Значит в этом случае (по условию число элементов в A не менее восьми). Однако в этом случае произведение всех выписанных чисел равно является полным квадратом, что противоречит условию. Следовательно, число не входит в A. Числа ; ; ; ; ; ; могут входить в множество A, но оно не может состоять только из этих чисел. Его необходимо дополнить хотя бы одним нечетным числом. Пусть — одно из нечетных чисел, принадлежащих A. Так как наибольший общий делитель чисел и отличен от ,то должно делиться на (на оно не делится). Аналогично, должно делиться на и на 7. Значит, должно делиться на . Так как простые числа 3, 5, 7 входят в в степени, не выше первой, то

и других нечетных чисел в A быть не может.

Ответ: .

1. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Решение.

а) Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 10 или больше. Тогда девочек было 10 или меньше. Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше . Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, так как . Тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театр, ни кино, что противоречит условию. В пункте а) показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. Значит, наибольшее число мальчиков в группе – 9.

в) Предположим, что какой-то мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой – только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится. По условию, , , значит, , . Тогда , поэтому доля девочек в группе .

Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна .

Ответ: а)да; б) 9; в) .

1. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть, по крайней мере, два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в сумме получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение.

Обозначим суммы чисел в группах , , , , а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через . Можно считать, что

.

а) Чтобы число равнялось 0, необходимо чтобы каждая из разностей равнялась 0, то есть = ==. Сумма всех двенадцати чисел =. С другой стороны, она равна , но 78 не делится на 4, Значит, .

б) Чтобы число равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялась 0. Значит, , но в этом случае каждая из сумм

, не равны хотя бы одной из сумм , . Поэтому хотя бы три разности не равны 0 и число не меньше 3. Значит, .

в) Выразим число через , , ,:

Показано, что . Если , то = == или

= ==. В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна или , что неверно, т.к. 78 – четное число.

Можно привести следующий пример разбиения чисел на группы, при котором число : ; ; ; .

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

1. Найдите все натуральные числа, которые делятся на и имеют ровно 99 различных натуральных делителей (считая 1 и само это число).

Решение

Сначала докажем следующее утверждение.

Если разложение натурального числа на простые множители имеет вид , (где — различные простые числа, — натуральные числа, ), то — количество различных делителей числа (считая и само число ) находится по формуле: .

Доказательство

Пусть — некоторый делитель числа . Так как делится на , то в разложении числа на простые множители не может быть простых чисел, отличных от чисел , и при этом ни одно из чисел не может входить в разложение на множители числа в степени большей, чем оно входит в разложение числа . Следовательно, все делители числа — это числа вида , где для всех .

Чтобы подсчитать количество чисел указанного вида, заметим, что этих чисел ровно столько, сколько различных наборов целых чисел , где для всех . Подсчитаем количество этих наборов: число можно выбрать способами (т.к. ), число — способами (т.к. ) и т.д. Поэтому все чисел можно выбрать способами. Если , то набор состоит из чисел, т.к. . Формула доказана.

Теперь перейдем непосредственно к решению задачи.

Пусть — одно из искомых натуральных чисел. Так как делится на 30, а , то в разложении числа на простые множители обязательно присутствуют числа 2, 3, 5. Поэтому разложение числа на простые множители одного из двух видов: либо , где (если других простых делителей, кроме чисел 2, 3, 5 у числа нет); либо , где , — различные простые числа, отличные от чисел 2, 3, 5 и .

2) По условию, количество делителей числа равно 99. По формуле

или .

Последний случай невозможен. — произведение трех простых чисел. Каждое из четырех чисел , , , и каждое натуральное число , большее 1, либо само является простым, либо разлагается в произведение простых чисел. Таким образом, количество простых чисел не совпадает и .

3) Из равенства следует, что два из чисел , , равны 3, а одно – 11. Таким образом, возможны следующие три варианта:

а) ; ; ; б) ; ; ; с) ; ; .

Ответ: ; ; .

1. Найдите все такие пары натуральных чисел и , что если число возвести в квадрат и к полученному числу приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и ровно в три раза.

Решение.

Пусть количество цифр в десятичной записи числа равно , т.е. . Тогда при возведении числа в квадрат и приписывании к полученному числу справа десятичной записи числа , получим число, равное . Таким образом, получим уравнение . Отсюда ; . Этому неравенству удовлетворяют лишь два натуральных числа: и . Подставим эти значения в уравнение , получим ; и ; , где .

Ответ: ; и ; , .

1. Найдите все такие пары натуральных чисел и , что и выполняется равенство .

Решение.

Предположим, что числа и удовлетворяют условию задачи.

Поскольку , то , и, значит, .

Так как по условию , то , .

При этом так как , то и .

Таким образом, для числа получена следующая оценка: .

Из равенства выразим через : . Искомыми значениями являются те натуральные числа из промежутка , при которых число является натуральным. Подставляя в выражение все натуральные числа от 11 до 20, получаем все искомые значения и соответствующие им значения .

Ответ: ; ; ; ; .

1. Найдите все пары натуральных чисел и , что каждое из чисел и делится на число .

Решение

Если оба числа и делятся на число , то и их разность делится на . Покажем, что . Обозначим через наибольшее из чисел и , тогда .

Так как делится на и , то . Следовательно, и задача сводится к нахождению таких натуральных чисел , что делится на .

; ; ; .

Из этого равенства следует, что является делителем 1, поэтому единственно возможное значение — это .

_{Ответ: .}

1. Найдите все простые числа , для каждого из которых существует такое целое число , что дробь можно сократить на .

Решение. Воспользуемся алгоритмом Евклида.

Если целые числа и делятся на , то и их разность делится на .

Тогда число делится на .

Тогда число делится на .

Таким образом, искомое число — простой делитель числа 56, то есть 2 или 7.

Проверим, для каких из этих чисел существует число .

Если нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби четные числа, поэтому дробь можно сократить на 2.

Если кратно 7, то числитель и знаменатель данной дроби также кратно 7, поэтому дробь можно сократить на 7.

Ответ: 2; 7.

1. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Решение.

а) Задуманные числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 дают требуемый набор, записанный на доске.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе – это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе – это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел задуманного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть

22-1=21. Но этого числа в наборе нет, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 – наименьшее число в наборе – является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе – это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части , то есть 5. Кроме того, числа 9 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41-7-9-11=14. Для задуманных чисел 7, 7, 7, 9, 11 и 7, 9, 11, 14 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ; б) нет; в) 7, 7, 7, 9, 11 и 7, 9, 11, 14.

1. Дана арифметическая прогрессия, первый член которой равен 501, а разность равна 17. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученным числом поступили так же и действовали так до тех пор, пока не получилось однозначное число.

а) Найдите 14-е число получившейся последовательности однозначных чисел.

б) Найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.

в) Чему равна наибольшая возможная сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?

1. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор -3, -1, 2, 4, 6, 7, 9. Какие числа были задуманы?

Решение. Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число – наименьшее в число в наборе, т.е. -3. Наибольшее число в наборе 9 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 2 и 7 дают в сумме 9. Значит, были задуманы числа -3, 2, 9.

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

Решение. Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно нулей (нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль). Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечетное количество нулей.

Поскольку на доске выписано ровно 6 нулей, среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано пять или меньше ненулевых чисел. Среди них есть положительные и отрицательные. Нуль получается тогда и только тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Сколько может быть одинаковых среди всевозможных сумм задуманных чисел одного знака? Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа одного знака дают семь различных сумм, среди которых не более двух совпадают (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел); четыре различных задуманных числа одного знака дают пятнадцать различных сумм, среди которых не может быть трех одинаковых. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более четырех. Таким образом, если было задумано не более пяти различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более четырех нулей.

Если были задуманы числа -5; -2; -1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно шесть нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел – 6.

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Решение. Для задуманных чисел -3; 1; 2 и -2; -1; 3 на доске будет выписан один и тот же набор -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3. Нет, не всегда.

Ответ: а) -3; 2; 7; б) 6; в) нет.

1. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку – целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма – это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасывается наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ?

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ?

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Решение. Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через , а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе оценивания, через .

а) Заметим, что , , где и — некоторые натуральные числа. Значит, . Если , то , что невозможно. Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, не может равняться .

б) Например, для оценок 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равна .

в) Пусть — наименьшая, — наибольшая, а — сумма остальных пяти оценок. Тогда

.

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 разность. Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равна .

Ответ: а) нет; б) да; в) .

1. а) Можно ли представить число 2052 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли представить число 399 в виде суммы двух различных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Решение.

а) Например, числа 2043 и 9 имеют одинаковую сумму цифр и в сумме дают 2052.

б) Предположим, что число 399 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть одно из этих чисел состоит из сотен, десятков и единиц. Тогда другое число состоит из сотен, десятков и единиц. Суммы цифр этих чисел равны и соответственно. Они имеют разную чётность и не могут быть одинаковыми.

в) Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой фиксированной суммой цифр, равно сумме шести наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3, 4 и 5 имеем соответственно:

1+10+100+1000+10000+100000=111111,

2+11+20+101+110+200=444,

3+12+21+30+102+111=279,

4+13+22+31+40+103=213,

5+14+23+32+41+50=165.

Если сумма цифр равна 6 или больше, то обозначим ее через . Тогда наименьшее из таких чисел – как минимум . Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут как минимум через 9. Значит, их сумма не меньше, чем .

Получаем, что искомое число равно 165.

Ответ: а) да; б) нет; в) 165.

1. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причем и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в этой группе?

Решение. а) Пусть 14 юношей отправили по 4 письма и трое юношей отправили по 21 письму. Тогда суммарно они отправили 119 писем. Эти 119 писем можно распределить между 17 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.

б) Пусть юношей отправили по 4 письма и юношей отправили по 21 письму. Эти письма можно поровну распределить между девушками, если суммарное количество писем делится на количество девушек. В этом случае число также делится на . Если не делится на , то делится на , что противоречит условиям , . Значит, делится на . Наименьшее натуральное число, делящееся на , — это . Пример того, что девушек может быть ровно 17, приведен в предыдущем пункте.

в) Пусть юношей отправили по 4 письма и юношей отправили по 21 письму. Тогда суммарно они отправили писем, а число полученных девушками писем не меньше . Получаем ; .

При имеем ; , что противоречит условию .

Если , , то суммарное количество отправленных писем равно Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 40 девушек получили от 0 до 39 писем и ещё одна – 47. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек – это 41.

Ответ: а) да; б) 17; в) 41.

1. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 75 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 6 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 75 баллов, средний балл участников, сдавших тест, составил 85, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 60. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 89, а не сдавших тест – 61. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение.

а) Пусть было 3 участника, которые набрали 94, 74 и 2 балла. Средний балл участников, не сдавших тест, составлял баллов. После добавления баллов у участников оказалось 100, 80 и 8 баллов. Средний балл участников, не сдавших тест, составил 8 баллов.

б) В примере предыдущего пункта средний балл участников, сдавших тест, первоначально составлял 94 балла, а после добавления баллов составил баллов.

в) Пусть всего было участников теста, сдали тест участников, после добавления баллов сдали тест участников. Средний балл после добавления составил 81. Имеем два уравнения: и , откуда , то есть , и , то есть . Поэтому, целое число делится на 5 и на 7, то есть делится на 35. Таким образом, .

Покажем, что могло равняться 35. Пусть изначально 10 участников набрали по 55 баллов, 2 участника – 72 балла, 2 участника – 73 балла и 21 участник по 85 баллов. Тогда средний балл был равен 75, средний балл участников, сдавших тест, был равен 85, а средний балл участников, не сдавших тест, был равен 60. После добавления средний балл участников, сдавших тест, стал равен 89, средний балл участников, не сдавших тест, стал равен 61. Таким образом, все условия выполнены.

Ответ: а) да; б) да; в) 35.