Номер 15 егэ математика профильный уровень как решать


Неравенства


В задании №15 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить неравенство. Чаще всего неравенство связано с логарифмами или степенными выражениями. Для успешного выполнения необходимо хорошо оперировать данными выражениями.


Разбор типовых вариантов заданий №15 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

[su_note note_color=”#defae6″]

Решите неравенство:

[/su_note]

Алгоритм решения:
  1. Вводим подстановку.
  2. Записываем выражение неравенства в ином виде.
  3. Решаем неравенство.
  4. Возвращаемся к подстановке.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Вводим замену  t = 3x . Тогда исходное неравенство примет вид:

2. Преобразуем его:

3. Отсюда получаем решение t ≤ 3; 5 < t < 9.

4. Возвратимся к переменной х.

При t ≤ 3 получим: 3x ≤ 3 , следовательно x ≤ 1

При 5 < t < 9 получим: 5 < 3x < 9, следовательно log35 < x < 2.

5. Решение исходного неравенства:  x ≤ 1 и log35 < x < 2.

Ответ: (-∞;1] (log35;2)


Второй вариант задания (из Ященко, №1)

[su_note note_color=”#defae6″]

Решите неравенство http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_15.files/image001.gif .

[/su_note]

Алгоритм решения задания:
  1. Вводим замену.
  2. Записываем неравенство в новом виде.
  3. Решаем неравенство.
  4. Возвращаемся к переменной х.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Вводим замену t = 3x.

2. Тогда неравенство примет вид:

3. Решаем его:

Отсюда t < 0; t = 2; t> 3.

4. Возвращаемся к переменной х.

При t < 0 получаем:

,

откуда 0 < x < 1.

При t = 2 получаем:

,

откуда x = 9.

При t > 3 получаем:

,

откуда x > 27.

5. Решения исходного неравенства:

.

Ответ: .


Третий вариант (Ященко, № 5)

[su_note note_color=”#defae6″]

Решите неравенство http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image001.gif

[/su_note]

Алгоритм решения:
  1. Находим ОДЗ выражения в неравенстве.
  2. Преобразуем неравенство к иному виду.
  3. Вводим замену и решаем новое неравенство.
  4. Возвращаемся к переменной х.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Запишем ОДЗ: .

log2х-5≠0, log2х≠5, х≠32

2. Преобразуем неравенство:

или

Получаем новое неравенство:

.

Вводим замену , тогда неравенство принимает новый вид. И его легко решить:

Размещаем полученные решения на числовую ось:

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image009.jpg

Возвращаемся к переменной х. Рассмотрим два случая:



http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image012.jpg

Ответ:

Даниил Романович | Просмотров: 8.5k

Основные схемы решения задач №15 по Ященко
36 вариантов.

Вариант 1

Решение

S-сумма долга, п=8 (срок),
S/n-уменьшение
долга,
R1
-% первый,
R2-процент второй

Год

Долг

Остаток

Платеж

0/25

S

1/26

R1*S

R1*S

2/27

*R1

*R1 —

3/28

*R1

*R1-

4/29

*R1

*R1-

5/30

*R2

*R2-

6/31

*R2

*R2-

7/32

*R2

*R2-

8/33

*R2

0

*R2 -0

После заполнения таблицы строим математическую
модель

R1*S
+*R1
+*R1+*R1+*R2+*R2+*R2+*R2
-0 = 1125

Очевидно, здесь спрятана арифметическая
прогрессия, теперь все запишем для простаты вычислений, выполним сложение по цветам

Получаем

R1**(8+7+6+5)+R2**(4+3+2+1)-*(7+6+5+4+3+2+1)=1125

То что выделено это прогрессия,
воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии

Получаем следующий результат

R1**26+ R2**10-*28=1125  умножим обе
части на 8

R1*S*26+R2*S*10-S*28=9000

S(1,2*26+1,18*10-28)=9000

15*S=9000

S=9000/15

S=600 тыс. рублей

Вариант 2 (аналогичная задача, выполните
самостоятельно, для закрепления навыка решения задачи)

Вариант 3

Для решения таких задач необходимо
составить две таблицы для вклада А и вклада Б

год

сумма

Сумма +%

1

S

1.2*S

2

1.2*S

1.2*1.2*S

3

1.2*1.12*S

1.2*1.2*1.2*S

Это и есть итоговое уравнение для вклада А
(выделено цветом)

Год

Сумма

Сумма +%

1

S

1.12*S

2

1.12*S

1.12*1.12*S

3

1.12*1.12*S

1.12*1.12*S*()

Это есть итоговое уравнение для вклада Б

Возвращаемся к условию задачи: при каком
условии Б менее выгоден, чем А

 Б
<
A

1.12*1.12*S*(<  1.2*1.2*1.2*S

Решаем это уравнение

1,2544* S*()  < 1.728*S
сокращаем на
S

1,2544* ()  < 1.728

()  <1.728/1.2544

()  <1.377551 умножаем
на 100

100 + n<137.7551
вычитаем 100

n<37.7551

ближайшее целое число меньшее 37.7551 –
это 37

следовательно ответ 37.

Вариант 4(аналогичен варианту 3 выполните
самостоятельно по предложенной схеме).

Вариант 5

Для решения данной задачи потребуется таже
таблица, что и в варианте 1(2)

S=300, срок п=6, поэтому
осуществляем деление на 6,
R2
((на самом деле находим
n
неизвестная величина),
R2
– это сумма (1+
n/100)), R1=1.2

Год

Долг

Остаток

Платеж

0/25

S

1/26

R1*S

R1*S

2/27

*R1

*R1 —

3/28

*R1

*R1-

4/29

*R2

*R1-

5/30

*R2

*R2-

6/31

*R2

0

*R2-

Цветом отмечаю разделение процентов по
годам, чтобы не было путаницы

R1*S — +*R1 — +*R1-+*R1-+*R2-+*R2-=498

Опять можно заметить арифметическую
прогрессию и выполнить все действия аналогично первой задаче

R1**(6+5+4)+ R2**(3+2+1)- *(5+4+3+2+1)=498

2.5*R1+R2*1-2.5=498/300

2.5*1.2+R2-2.5=1.66

R2=1.66-0.5

R2=1.16

R2==1.16 умножим обе части
на 100

n=16 %

ответ 16

Вариант 6 решается аналогично, выполните самостоятельно.

Вариант 7

Данную задачу удобно решать через вершину
параболы, а затем подставить полученные данные и спокойно решить поставленную
задачу.

p*xq
=
p*x-2 —5*x-10
= сгруппируем подобные =

-2+x*(p-5)-10
-графиком является парабола, находим х как вершину параболы.

=
 теперь подставляем вместо х значение
полученное выше

                                                   
p>=29

Ответ: 29

Вариант 8 (задание аналогичное, выполните
самостоятельно)

Вариант 9

Задача данного варианта решается
аналогично задаче варианта №1, единственное сумма столбца ПЛАТЕЖИ это и есть
общая сумма выплат, т.е составляете таблицу и находите сумму всех членов данной
таблицы. Помните, что % меняется, и соответственно надо будет таблицу разделить
на две части используя соответствующий %.

Вариант10
(выполняете самостоятельно, опираясь на решении в варианте 1).

Вариант 11

Для решения данной задачи составляем
таблицу и обязательно учитываем условие, что долг 23,24,25 годов остается
равным 1050 тыс. рублей

Обозначим через S = 1050
тыс. рублей начальную сумму долга. Каждый январь следующего года сумма долга
увеличивается на 10% (100+10=110%, в долях это 1,1), то есть, становится равной
1,1S тыс. рублей. В следующие три года (2023, 2024 и 2025) выплаты делаются
так, что долг остается равным S = 1050 тыс. руб, то есть:

2023: ;

2024: ;

2025: .

Получаем равные выплаты в
размере

 тыс. рублей

Затем, в 2026 и 2027
годах делаются равные выплаты k тыс. руб. так, что долг полностью гасится:

Здесь виден аннуитет

Год

Сумма

Сумма +%

Платеж

2026

S

1.1S

1.1*S-k

2027

1.1*S-k

(1.1*S-k)*1.1

(1.1*S-k)*1.1-k

И после этого платежа
сумма долга станет равной 0

Таким образом, последний
платеж будет равен 605 тыс. р., зная первый платеж легко найти ответ к задаче. Получаем
разницу между первой и последней выплатами:

605 000 – 105 000 = 500 000 рублей

Ответ: 500 000

Вариант 12

Обозначим через S = 220
тыс. рублей начальную сумму долга. Каждый январь следующего года сумма долга
увеличивается на r %, то есть, становится равной  тыс. рублей. Обозначим
через .
В следующие три года (2023, 2024 и 2025) выплаты делаются так, что долг остается
равным S = 220 тыс. руб, то есть, выплаты равны:

откуда

Затем, в 2026 и 2027
годах делаются равные выплаты k тыс. руб. так, что долг полностью гасится:

откуда

По условию задания сумма
всех выплат равна 420 тыс. рублей, то есть:

Найдем t. Умножим обе
части уравнения на 1+t, получим:

Подставим вместо S = 220,
получим:

Имеем один положительный
корень, следовательно

и

%

Ответ: 20

За это задание ты можешь получить 3 балла. На решение дается около 25 минут. Уровень сложности: повышенный.
Средний процент выполнения: 2.7%
Ответом к заданию 15 по математике (профильной) может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Что нужно знать, чтобы решить задание 15:

Необходимо свести сложное неравенство к простейшему. Для этого нужно знать метод замены показательных и тригонометрических функций, помня про ограничения. Знать метод интервалов и метод рационализации для логарифмических, показательных и содержащих модуль неравенств.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

Окружность с центром $O_1$ радиусом $9$ вписана в треугольник $ABC$. Окружности с центрами $O_2$ и $O_3$ и радиусами ${81} / {25}$ и $1$, которые вписаны в углы треугольника $A$ и $C$ соответственно, касаются первой окружности внешним образом.

а) Докажите, что $∠ C=π-arctg {24} / {7}$.

б) Найдите площадь треугольника $AO_1O_3$.

Решение

a) Обозначим радиусы окружностей $r_1 = 9, r_2 = {81}/{25}, r_3 = 1$, а центры этих окружностей $O_1, O_2, O_3$ соответственно, и проведём радиусы $O_1E, O_2D, O_3F$ к точкам касания со стороной $AC$. Эти радиусы перпендикулярны касательной $AC$.

По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, они образуют одинаковые углы с прямой, проходящей через центр окружности, то есть центры $O_1, O_2$ лежат на биссектрисе угла $A$, а центры $O_1, O_3$ — на биссектрисе угла $C$. Обозначим величину угла $C$ через $2β$. Тогда угол треугольника $O_1CA$ равен $β$.

Проведём $O_3N ⊥O_1E$, тогда $O_3N ‖ FE$ и $O_3N EF$ прямоугольник, $EN = r_3, O_1N = O_1E — EN = r_1 — r_3 = 8. ∠O_1CA = ∠O_1O_3N = β$ как соответственные при $O_3N ‖ AC$, секущая $CO_1$.

Треугольник $O_1O_3N$ прямоугольный, $O_3O_1= r_1 + r_3 = 10, O_3N = √{O_3O_1^2 — O_1N^2} = 6, tgβ = {O_1N}/{O_3N} = {8}/{6} = {4}/{3}$,

$tg 2β = {2 tg β}/{1 — tg^2 β} = {2 · {4}/{3}}/{1 — ({4}/{3})^2} = -{24}/{7}$.

Получили, что угол $C$ тупой. $∠C = π − arctg{24}/{7}$.

б) 1) $tg β = {O_1E}/{EC}, EC = r_1 : tg β = 9 : {4}/{3} = {27}/{4}$.

Обозначим величину угла $O_1AC$ треугольника через $α$. Найдём $EA = r_1 : tg α$.

Проведём $O_2M ⊥O_1E$, тогда аналогично пункту а) $EM = r_2$,

$O_1M = O_1E — EM = r_1 — r_2 = {144}/{25}, O_1O_2= r_1 + r_2 = {306}/{25}$.

$O_2M= √{O_1O_2^2 — O_1M^2} = {270}/{25}, tg α = {O_1M}/{O_2M} = {8}/{15}, AE = r_1 : tg α = 9 : {8}/{15} = {135}/{8}$.

$AC = AE + EC = {189}/{8}$.

$S_{AO_1O_3} = S_{AO_1C}-S_{ACO_3}={1}/{2}r_1· AC-{1}/{2}r_3·AC = {1}/{2}(r_1-r_3) ·AC = 94.5$.

Ответ: 94.5

Задача 2

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$, отличной от $A$. Лучи $AO$ и $AD$ вторично пересекают б’ольшую окружность в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AN$ большей окружности, не содержащей точку $M$.
а) Докажите, что прямые $MN$ и $BC$ параллельны.
б) Известно, что $sin ∠ AOC = {2√ {2}} / {3}$. Прямые $MC$ и $AN$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $NK:KA$.

Решение

а) По условию задачи выполним чертёж.

Угол $ANM$ опирается на диаметр $AM$ большей окружности, следовательно, он — прямой. Угол $ADO$ опирается на диаметр $AO$ меньшей окружности, поэтому он тоже прямой. Таким образом, прямые $MN$ и $BC$ перпендикулярны прямой $AN$, значит, они параллельны.

б) Углы $AOC$ и $AMN$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN , BC$ и секущей $AM$. Диаметр $BC$ большей окружности перпендикулярен хорде $AN$. Значит, точка $C$ — середина дуги $AN$ (в равнобедренном треугольнике $AON$ высота $OD$ является одновременно медианой и биссектриссой). Следовательно, луч $MC$ является биссектрисой угла $AMN$ прямоугольного треугольника $AMN$, поэтому

${NK}/{KA} = {MN}/{MA} = cos∠AM N = cos∠AOC = √{1-sin^2 ∠AOC} = {1}/{3}$.

Ответ: 1:3

Задача 3

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$, отличной от $A$. Лучи $AO$ и $AD$ вторично пересекают большую окружность в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AN$ большей окружности, не содержащей точку $M$.
а) Докажите, что прямые $MN$ и $BC$ параллельны.
б) Известно, что $sin ∠ AOC = {√ {5}} / {3}$. Прямые $MC$ и $AN$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $NK:KA$.

Решение

а) По условию задачи выполним чертёж (см. рис.).

Угол $ANM$ опирается на диаметр $AM$ большей окружности, следовательно, он — прямой. Угол $ADO$ опирается на диаметр $AO$ меньшей окружности, поэтому он тоже прямой. Таким образом, прямые $MN$ и $BC$ перпендикулярны прямой $AN$, значит, они параллельны. б) Углы $AOC$ и $AMN$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN$, $BC$ и секущей $AM$. Диаметр $BC$ большей окружности перпендикулярен хорде $AN$. Значит, точка $C$ — середина дуги $AN$ (в равнобедренном треугольнике $AON$ высота $OD$ является одновременно медианой и биссектриссой). Следовательно, луч $MC$ является биссектрисой угла $AMN$ прямоугольного треугольника $AMN$, поэтому
${NK} / {KA} = {MN} / {MA} = cos ∠ AMN = cos ∠ AOC = √ {1 — sin^2 ∠ AOC} = {2} / {3}$.

Ответ: 2:3

Задача 4

В треугольнике $EKP$, в котором все углы острые, проведены высоты $KB$ и $PA$. Из точек $A$ и $B$ на $KB$ и $PA$ опущены перпендикуляры $AM$ и $BN$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $MN$ и $KP$ параллельны.
б) Найдите отношение $MN:KP$, если угол $KEP$ равен $45^°$.

Решение

а) $△POB ∼ △KOA$ по первому признаку подобия: $∠PBO = ∠OAK = 90°, ∠BOP = ∠AOK$ как вертикальные.

Учитывая, что в подобных треугольниках пропорциональны сходственные стороны и высоты, к ним проведённые, получим ${OP}/{OK} = {BN}/{AM}$ (1).

$△ONB ∼ △AOM$ по первому признаку подобия: $∠BNO = ∠AMO = 90°, ∠BON = ∠AOM$ как вертикальные, отсюда ${ON}/{OM} = {BN}/{AM}$ (2).

Из 1) и 2) следует ${OP}/{OK} = {ON}/{OM}$.

Следовательно, $△OPK ∼ △ONM$ по второму признаку подобия: $∠POK$ — общий, ${OP}/{ON} = {OK}/{OM}$.

Из подобия следует $∠OPK = ∠ONM$ . Углы $OPK$ и $ONM$ соответственные при прямых $PK$ и $NM$ и секущей $OP$ . Следовательно, $PK ‖ MN$ по признаку параллельности прямых.

б) В четырехугольнике $AEBO ∠AEB = 45°$ (по условию) $∠AOB=360°-(∠A +∠B +∠E ) = 360° — 225° = 135°$. В $△AOM ∠AMO = 90°, ∠AOM = 180°-135°=45°, AM=MO$.

Обозначим $OM = x$, тогда $AM = x, AO=OM√2=x√2$.

В $△OAK ∠OAK = 90°, ∠AOM = 45°$, то есть $AO = AK, AO=x√2, KO=AO√2=x√2·√2=2x$.

По доказанному в пункте а) $△OPK ∼ △ONM$, значит, ${MN}/{KP} = {OM}/{OK}$.

Пусть $OM = x, OK = 2x$.

${MN}/{KP}={x}/{2x}=1:2$

Ответ: 1:2

Задача 5

В треугольнике $MNP$, в котором все углы острые, проведены высоты $ME$ и $PF$. Из точек $F$ и $E$ на $ME$ и $PF$ опущены перпендикуляры $FK$ и $EH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KH$ и $MP$ параллельны.
б) Найдите отношение $MP:KH$, если угол $MNP$ равен $60^°$.

Решение

а) $O$ — точка пересечения высот $ME$ и $PF$. $△POE ∼ △MFO$ по первому признаку подобия: $∠PEO = ∠OFM = 90°, ∠EOP = ∠FOM$ как вертикальные.

Учитывая, что в подобных треугольниках пропорциональны сходственные стороны и высоты, к ним проведённые, получим ${OP}/{OM} = {EH}/{FK}$ (1).

$△OHE ∼ △FOK$ по первому признаку подобия: $∠EHO = ∠FKO = 90°, ∠EOH = ∠FOK$ как вертикальные, отсюда ${OH}/{OK} = {EH}/{FK}$ (2).

Из 1) и 2) следует ${OP}/{OM} = {OH}/{OK}$.

Следовательно, $△OP M ∼ △OH K$ по второму признаку подобия: $∠P OM$ — общий, ${OP}/{OH} = {OM}/{OK}$.

Из подобия следует $∠OP M = ∠OH K$ . Углы $OP M$ и $OH K$ соответственные при прямых $M P$ и $K H$ и секущей $OP$ . Следовательно, $M P ‖ K H$ по признаку параллельности прямых.

б) В четырехугольнике $N FOE ∠FOE = 360° -(∠90° +∠90° +∠N ) = 360° — 240° = 120°$. В $△FOK ∠FKO = 90°, ∠FOK = 60°$, как смежный с $∠FOE = 120°$, тогда $∠OF K = 30°$.

Обозначим $OK = x$, тогда $FO = 2x$.

В $△OFM ∠M FO = 90°, ∠FOM = 60°, ∠F M O = 30°$, то есть $FO = {1}/{2}M O$, значит, $2x = {1}/{2}M O, M O = 4x$.

По доказанному в пункте а) $△OM P ∼ △OK H$, значит, ${MP}/{K H} = {M O}/{OK} $, но $M O = 4x, OK = x$, следовательно, ${M P}/{K H} = {4x}/{x} = 4 : 1$

Ответ: 4:1

Задача 6

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $P$ и $K$ — середины катета $BC$ и гипотенузы $AB$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $KP$ в точке $R$.

а) Докажите, что точки $A$, $B$, $C$ и $R$ лежат на одной окружности.

б) Найдите отношение площадей треугольников $AKR$ и $BCR$, если $sin ∠ BAC={15} / {17}$.

Решение

а) Отрезок, соединяющий вершину прямого угла и середину гипотенузы, равен половине длины гипотенузы, то есть $AK = K B = K C. AR$ — биссектриса угла $BAC$, значит $∠CAR =∠BAR = α$.

$K P$ — средняя линия $△ABC$, значит, $K P ‖ AC$.

Накрест лежащие углы $CAR$ и $ARK$ равны (секущая $AR$).

В треугольнике $AK R$ равны углы $K AR$ и $K RA$, значит $AK = K R$.

Получим $AK = K B = K C = K R$, значит точки $A, B, C$ и $R$ лежат на окружности с центром $K$.

б) $∠CBR =∠CAR$ и $∠BAR =∠BCR$ (опираются на дуги $C R$ и $BR$ соответственно), таким образом, треугольники $AK R$ и $BC R$ подобны по двум углам. По теореме синусов для треугольника $ABR$ получим ${BR}/{sin ∠RAB} = 2r$, где $r$ — радиус описанной окружности, то есть $2r = AB$. Получили ${BR}/{AB} = sin ∠RAB = sin α$.

Но коэффициент подобия треугольников $AK R$ и $BC R$ равен ${AK}/{BR} = {2AK}/{2BR} = {AB}/{2BR} = {1}/{2 sin α}$.

По условию $sin ∠BAC = sin 2α = {15}/{17}$.

Тогда $cos 2α = √{1 — ({15}/{17})^2} = {8}/{17}$,

$cos 2α = 1 — 2 sin^2 α = {8}/{17}, 2 sin^2 α = {9}/{17}$.

Площади треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому ${S_{AKR}}/{S_{BCR}} = ({1}/{2sin α})^2 = {1}/{2 · {9}/{17}} = {17}/{18}$.

Ответ: 17:18

Задача 7

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опустили перпендикуляр $AE$. На стороне $AB$ отмечена точка $F$ так, что прямые $BE$ и $FD$ параллельны.

а) Докажите, что прямые $FC$ и $CD$ перпендикулярны.

б) Найдите отношение $BE:FD$, если угол $BCD$ равен $120°$.

Решение

Продолжим боковые стороны трапеции $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $S$. Ясно, что $BC$ — меньшее основание, иначе перпендикуляр $AE$ будет падать на продолжение $CD$, а не на саму сторону, что противоречит условию.

а) Для доказательства перпендикулярности прямых $FC$ и $CD$ достаточно доказать подобие треугольников $SFC$ и $SAE$.

Заметим, что $△SBC ∼ △SAD$ по двум углам ($∠SBC = ∠SAD = 90°, ∠S$ — общий). Тогда ${SB}/{SA} = {SC}/{SD}$, то есть $SB·SD = SA · SC$.

С другой стороны, $△SBE ∼ △SFD$ по двум углам: $∠SBE = ∠SFD$ как соответственные углы при параллельных прямых $BE$ и $FD$ и секущей $SA, ∠S$ — общий.

Тогда ${SB}/{SF} = {SE}/{SD}$, отсюда $SB · SD = SF · SE$.

Следовательно, $SA · SC = SB · SD = SF · SE$.

Тогда $SA · SC = SF · SE, {SA}/{SF} = {SE}/{SC}$.

Отсюда $△SAE ∼ △SFC$ по второму признаку.

Тогда $∠SCF = ∠SEA = 90°, FC ⊥ SD$, что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников $SBE$ и $SFD$ следует ${BE}/{FD} = {SB}/{SF}$.

$∠BCS = 180° — ∠BCD = 60°, SB = SC sin 60° = {√3}/{2}SC. ∠CSF = 90° — ∠BCS = 30°$. Из $△SFC$ следует, что $CS = SF cos 30° = SF {√3}/{2}$. Тогда $SB = {√3}/{2}SC ={√3}/{2}·{√3}/{2}SF; {SB}/{SF} = {3}/{4} = 0.75$.

Ответ: 0.75

Задача 8

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опустили перпендикуляр $AE$. На стороне $AB$ отмечена точка $F$ так, что прямые $CD$ и $CF$ перпендикулярны. а) Докажите, что прямые $BE$ и $FD$ параллельны. б) Найдите отношение $BE:FD$, если угол $BCD$ равен $150°$.

Решение

Продолжим боковые стороны трапеции $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $S$. а) Для доказательства параллельности прямых $BE$ и $FD$ достаточно доказать, что треугольники $SBE$ и $SFD$ подобны (см. рис.). Ясно, что $BC$ — меньшее основание, иначе перпендикуляр $AE$ будет опускаться на продолжение $CD$, а не на саму сторону, что противоречит условию. По условию $FC⊥ CD$ и $AE⊥ CD$, отсюда $FC∥ AE$. Заметим: в прямоугольных треугольниках $SCB$, $SFC$, $SAE$ и $SDA$ угол $S$ общий, значит, $∠ SCB=∠ SFC=∠ SAE=∠ SDA=α$. В каждом из рассматриваемых треугольников выразим $sin α$. $▵ SCB$: $sin α={SB} / {SC}$ (1) $▵ SFC$: $sin α={SC} / {SF}$ (2) $▵ SAE$: $sin α={SE} / {SA}$ (3) $▵ SDA$: $sin α={SA} / {SD}$ (4) Перемножив (1) на (2) и (3) на (4), получим ${SB} / {SC}⋅ {SC} / {SF}=sin^2 α$, ${SB} / {SF}=sin^2α$, ${SE} / {SA}⋅ {SA} / {SD}=sin^2α$, ${SE} / {SD}=sin^2α$. Отсюда ${SB} / {SF}={SE} / {SD}$. Имеем: две стороны $▵ SBE$ пропорциональны двум сторонам $▵ SFD$ и между ними угол $S$ — общий, значит, $▵ SBE∼ ▵ SFD$ по второму признаку подобия. Из подобия следует равенство соответственных углов $SEB$ и $SDF$ при прямых $BE$, $FD$ и секущей $SD$, следовательно, по признаку параллельности прямых $BE∥ FD$. б) Из подобия треугольников $SBE$ и $SFD$ следует ${BE} / {FD}={SB} / {SF}$. В пункте а) доказано ${SB} / {SF}=sin^2 α$, $∠ BCD+α=180°$, $α=180°-150°=30°$. ${BE} / {FD}={SB} / {SF}=sin^2 30°=0{,}5^2=0{,}25$.

Ответ: 0.25

Задача 9

В треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$ и медиана $AM$. $AB=2$, $AC=√ {21}$, $AM=2{,}5$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Вычислите $HM$.

Решение

а) Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, как показано на рисунке.

По свойству параллелограмма, верно равенство $2(AB^2 + AC^2) = AD^2 + BC^2$, или $2(AB^2 + AC^2) = (2AM)^2 + BC^2$. Так как по условию $AB = 2, AC = √{21}, AM = 2.5$, то $2(22 + √{21}^2) = (2 · 2.5)^2 + BC^2$, откуда $BC = 5$. Если диагонали параллелограмма равны, то он — прямоугольник, значит, $∠BAC = 90°$ и $△ABC$ прямоугольный.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ выразим площадь двумя способами: $2S = AB · AC, 2S = BC · AH$, приравнивая правые части этих равенств, находим $AH = {AB·AC}/{BC} = {2 · √21}/{5}$. Катет $HM$ найдём из прямоугольного треугольника $AHM$ по теореме Пифагора: $HM = √{AM^2 − AH^2} = √{2.5^2 −({2 · √21}/{5})^2} = √{{25}/{4} − {84}/{25}} = √{{625 − 336}/{100}} = {17}/{10} = 1.7$.

Ответ: 1.7

Задача 10

В треугольнике $ABC$ точки $K$, $N$, $F$ — середины сторон $AC$, $AB$ и $BC$ соответственно. $AH$ — высота треугольника $ABC$, $∠ CAB=60^°$, $∠ ACB=15^°$.

а) Докажите, что точки $K$, $N$, $F$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $FH$, если $BC=4√ 3$.

Решение

а) $∠ABC = 180° — (60° + 15°) = 105°$.

$NH$ — медиана в прямоугольном треугольнике $AHB$, отсюда $NH = NB = AN$.

$∠ABH = 75°, ∠BHN = ∠NBH$ как углы при основании равнобедренного треугольника $NBH , ∠NBH = 75°$.

$FK = {1}/{2}AB, NK = {1}/{2}BC , FN = {1}/{2}AC$ по свойству средней линии треугольника, тогда $△FKN ∼ △ABC$ по трём пропорциональным сторонам, следовательно, $∠NKF = ∠ABC = 105°$.

В четырёхугольнике $NHFK$ найдём сумму противоположных углов: $∠FKN + ∠FHN = 105° + 75° = 180°$, значит, около этого четырёхугольника можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) По теореме синусов для $△NFK: {NK}/{sin∠NFK} = 2R$, где $R$ — радиус окружности, проходящей через точки $K , N , F$ и $H$. Так как $NK = {1}/{2}BC$, то ${BC}/{2sin60°} = 2R = {4√3}/{2} : {√3}/{2} = 4$.

В равнобедренном треугольнике $HNB$ $∠N = 180° — 75°· 2 = 30°$. $∠BNF = ∠BAC = 60°$ как соответственные углы при параллельных прямых $NF$ и $AC$ и секущей $AB$.

В $△HNF ∠HNF = ∠HNB + ∠BNF = 30° + 60° = 90°$, значит $HF$ — диаметр описанной окружности, $HF = 2R = 4$.

Ответ: 4

Задача 11

Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь $▵ AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны $8$ и $2$.

Решение

а) Общая касательная, проведенная к окружностям в точке $K$, пересекает $AB$ в точке $M$. По свойству касательных, проведенных из одной точки, $AM = K M$ и $K M = BM$. Треугольник $AK B$, у которого медиана $K M$ равна половине стороны $AB$, к которой она проведена, прямоугольный, $∠AK B = 90°$. Вписанный угол $AK D$ прямой, поэтому он опирается на диаметр $AD$, значит, $AD ⊥ AB$. Аналогично, получаем, что $BC ⊥ AB$. Следовательно, прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть первая окружность имеет радиус $8$, а вторая — радиус $2$.

Проведём $O_2H ⊥ AD$, тогда $O_2HAB$ — прямоугольник и $AH = O_2 B = 2, AB = O_2 H$. Из $△O_1O_2H$ получим $O_2 H^2 = O_1O_2^2 — O_1H^2 = (2 + 8)^2 — (8 — 2)^2 = 64, O_2 H = 8 = AB$.

$△O_2PB ∼ △O_1O_2H$ (по двум углам), ${O_2B}/{O_2P} = {O_1H}/{O_1O_2}; {2}/{O_2P} = {8 — 2}/{8 + 2}; O_2P = {10}/{3}$.

Проведём высоту $KE$ в $△AKB$, получим, что $△O_2BP ∼ △KEP$ (по двум углам). ${KE}/{O_2B} = {KP}/{O_2P}; {KE}/{2} = {2 + {10}/{3}}/{{10}/{3}}; KE = 1.6 · 2 = 3.2$.

$S_{AKB} = {1}/{2}AB · KE = {1}/{2} · 8 · 3.2 = 12.8$.

Ответ: 12.8

Задача 12

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$, причём точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $MN$. Продолжение диаметра $AM$ первой окружности и хорды $AN$ этой же окружности пересекают вторую окружность в точках $C$ и $B$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ANC$ и $O_1MO_2$ подобны.

б) Найдите $MC$, если угол $CMB$ равен углу $NMA$, а радиус второй окружности в $1{,}5$ раза больше радиуса первой и $MN=3$.

Решение

а) $O_1O_2 ⊥ MN, O_1O_2$ делит хорду $MN$ и дугу $MN$ второй окружности пополам.

$∠MO_2O_1 = {1}/{2} ︶ MN; ∠ACN = ∠MCN = {1}/{2} ︶ MN = ∠MO_2O_1. ∠ANM = 90°$ как угол, опирающийся на диаметр, поэтому $AN ⊥ MN, O_1O_2 ⊥ MN$, значит, $AN‖ O_1O_2$, откуда $∠MO_1O_2 = ∠MAN$. Итак, $△ACN∼△MO_1O_2$ по двум углам.

б) Введём обозначения: $r$ — радиус меньшей окружности, тогда $1.5r$ -радиус большей окружности.

$∠MNB = 180° — ∠MNA = 90°$, тогда $MB$ — диаметр окружности (проходит через $O_2$). $∠MCB = 90°$, как вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Значит, $△AMN∼△BCM$ по двум углам.

Значит, ${MC}/{MN} = {MB}/{AM}={2⋅3r}/{2⋅2r} =1.5.$

$MC= 1.5·3 = 4.5$.

Ответ:

Задача 13

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$, причём точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $MN$. Продолжение диаметра $AM$ первой окружности и хорды $AN$ этой же окружности пересекают вторую окружность в точках $C$ и $B$ соответственно.
а) Докажите, что треугольники $ANC$ и $O_1MO_2$ подобны.
б) Найдите $MC$, если угол $CMB$ равен углу $NMA$, а радиус второй окружности в $2{,}5$ раза больше радиуса первой и $MN=2$.

Решение

а) $O_1O_2 ⊥ MN, O_1O_2$ делит хорду $MN$ и дугу $MN$ второй окружности пополам.

$∠MO_2O_1 = {1}/{2} ︶ MN; ∠ACN = ∠MCN = {1}/{2} ︶ MN = ∠MO_2O_1. ∠ANM = 90°$ как угол, опирающийся на диаметр, поэтому $AN ⊥ MN, O_1O2 ⊥ MN$, значит, $AN‖ O_1O_2$, откуда $∠MO_1O_2 = ∠MAN$. Итак, $△ACN∼△MO_1O_2$ по двум углам.

б) Введём обозначения: $r$ — радиус меньшей окружности, тогда $2.5r$ -радиус большей окружности.

$∠MNB = 180° — ∠ANM = 90°$, тогда $MB$ — диаметр второй окружности (проходит через $O_2$). $∠MCB = 90°$, как вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Значит, $△AMN∼△BCM$ по двум углам ($∠ANM = ∠MCB = 90°, ∠AMN = ∠CMB$)

${MC}/{MN} = {MB}/{AM}$, но ${MB}/{AM} = {2·2.5r}/{2r} = 2.5$.

$MC = 2.5·MN = 5$.

Ответ: 5

Задача 14

Основания трапеции равны $7$ и $34$, а её диагонали равны $9$ и $40$.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

Решение

а) Проведём $CE ‖ BD$. $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $CE$. $BCED$ — параллелограмм: $BC ‖ DE$ как прямые, содержащие основания трапеции, $BD ‖ CE$ по построению. $BC = DE = 7$, тогда $AE = AD + DE = 34 + 7 = 41$. Заметим, что для треугольника $ACE$ выполнена теорема Пифагора: $AC^2 + CE^2 = AE^2$, следовательно, $AC ⊥ CE$, а так как $CE ‖ BD$, то $BD ⊥ AC$.

б) Проведём высоту $CH$ трапеции. $CH$ также является высотой треугольника $ACE. CH = {AC·CE}/{AE} = {9·40}/{41}. S_{ABCD} = {AD + BC}/{2}·CH = {34 + 7}/{2}·{9·40}/{41} = 9·20 = 180$.

Ответ: 180

Задача 15

Основания трапеции равны $6$ и $19$, а её диагонали равны $7$ и $24$.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

Решение

а) Проведём $CE ‖ BD$. $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $CE$. $BCED$ — параллелограмм: $BC ‖ DE$ как прямые, содержащие основания трапеции, $BD ‖ CE$ по построению. $BC = DE = 6$, тогда $AE = AD + DE = 19 + 6 = 25$. Заметим, что для треугольника $ACE$ выполнена теорема Пифагора: $AC^2 + CE^2 = AE^2$, следовательно, $AC ⊥ CE$, а так как $CE ‖ BD$, то $BD ⊥ AC$.

б) Проведём высоту $CH$ трапеции. $CH$ также является высотой треугольника $ACE. CH = {AC·CE}/{AE} = {7·24}/{25}. S_{ABCD} = {AD + BC}/{2}·CH = {19 + 6}/{2}·{7·24}/{25} = 7·12 = 84$.

Ответ: 84

Задача 16

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $AB$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $C$, отличной от $K$. Лучи $KO$ и $KC$ вторично пересекают большую окружность в точках $D$ и $E$ соответственно. Точка $B$ лежит на дуге $EK$ большей окружности, не содержащей точку $D$.

а) Докажите, что прямые $DE$ и $AB$ параллельны.

б) Известно, что $sin∠ KOB = {√ {15}} / {8}$. Прямые $DB$ и $EK$ пересекаются в точке $L$. Найдите отношение $EL:LK$.

Решение

а) $KD$ — диаметр большей окружности ($O ∈ KD$), $O_1$ — центр меньшей окружности, $l$ — общая касательная двух окружностей, проходящая через точку $K$ (см. рис.). $O_1 ∈ KD$. Действительно, $OK⊥ l$, $O_1K⊥ l$ как радиусы, проведённые в точку касания, значит, точки $O$, $K$, $O_1$ лежат на луче $KO$. $∠ DEK=∠ OCK=90°$ как вписанные углы, опирающиеся на диаметры $DK$ и $OK$ соответственно. $C∈ EK$, следовательно, $DE∥ AB$ как два перпендикуляра к одной прямой.

б) Так как диаметр $AB$, перпендикулярный хорде $EK$, делит её пополам, то $CE=CK$, следовательно, $⌣ KB=⌣ BE$ (см. рис.). Угол $EDK$ вписанный, опирается на дугу $EK$, а угол $BOK$ — центральный, опирается на половину дуги $EK$, следовательно, $∠ EDK=∠ BOK=α$; $∠ EDB=∠ BDK$ как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, тогда $DL$ — биссектриса треугольника $DEK$, а по свойству биссектрисы ${EL} / {LK}={DE} / {DK}=cos α=√ {1-sin^2 α}$.

${EL} / {LK}=√ {1-{15} / {64}}={7} / {8}$.

Ответ: fsm78

Задача 17

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно. а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны. б) Найдите отношение $EH$ к $AC$, если $cos ∠ ABC = {√ {2}} / {4}$.

Решение

а) По условию задачи выполним чертёж.

Рассмотрим треугольники $KOH$ и $KOC$. Они подобны как прямоугольные треугольники с общим острым углом $∠KOC$. Значит, ${OH}/{OK} = {OK}/{OC} = sin(90° — ∠ABC) = cos∠ABC = k$. Отсюда следует, что $OH = {OK^2}/{OC} = ({OK}/{OC})^2·OC = k^2·OC$. Следовательно, ${OH}/{OC} = k^2$.

Аналогично, треугольник $MOE$ подобен треугольнику $MOA$. Тогда ${OE}/{OM} = {OM}/{OA} = sin(90° — ∠ABC) = cos∠ABC = k$. Отсюда следует, что $OE = {OM^2}/{OA} = ({OM}/{OA})^2·OA = k^2·OA$. Следовательно, ${OE}/{OA} = k^2$.

Треугольники $OEH$ и $OAC$ подобны, так как $∠AOC$ — общий и ${OH}/{OC} = {OE}/{OA}$. Тогда $∠OEH = ∠OAC$, эти углы являются соответственными при прямых $EH$ и $AC$ и секущей $AO$, значит $EH || AC$.

б) Из подобия $OEH$ и $OAC$ следует, что ${EH}/{AC} = {OH}/{OC} = {OE}/{OA} = k^2$. Тогда ${EH}/{AC} = cos^2∠ABC = {2}/{16} ={1}/{8}$. Таким образом, $EH : AC = 1 : 8$.

Ответ: 1:8

Задача 18

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно. а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны. б) Найдите отношение $EH$ к $AC$, если $sin ∠ ABC = {√ {3}} / {3}$.

Решение

а) По условию задачи выполним чертёж.

Рассмотрим треугольники $KOH$ и $KOC$. Они подобны как прямоугольные треугольники с общим острым углом $∠KOC$. Значит, ${OH}/{OK} = {OK}/{OC} = sin(90° — ∠ABC) = cos∠ABC = k$. Отсюда следует, что $OH = {OK^2}/{OC} = ({OK}/{OC})^2·OC = k^2·OC$. Следовательно, ${OH}/{OC} = k^2$.

Аналогично, треугольник $MOE$ подобен треугольнику $MOA$. Тогда ${OE}/{OM} = {OM}/{OA} = sin(90° — ∠ABC) = cos∠ABC = k$. Отсюда следует, что $OE = {OM^2}/{OA} = ({OM}/{OA})^2·OA = k^2·OA$. Следовательно, ${OE}/{OA} = k^2$.

Треугольники $OEH$ и $OAC$ подобны, так как $∠AOC$ — общий и ${OH}/{OC} = {OE}/{OA}$. Тогда $∠OEH = ∠OAC$, эти углы являются соответственными при прямых $EH$ и $AC$ и секущей $AO$, значит $EH || AC$.

б) Из подобия $OEH$ и $OAC$ следует, что ${EH}/{AC} = {OH}/{OC} = {OE}/{OA} = k^2$. Тогда ${EH}/{AC} = cos^2∠ABC = 1-sin^2∠ABC = 1-{1}/{3} ={2}/{3}$. Таким образом, $EH : AC = 2 : 3$.

Ответ: 2:3

Задача 19

Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, делит его площадь пополам, а другой — в отношении ${6} / {7}$. а) Докажите, что данный четырёхугольник есть трапеция. б) Укажите отношение двух оснований этой трапеции (меньшего к большему).

Решение

а) Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть M — середина AB, N — середина CD, причём $S_{AMND} = S_{MBCN}$. Проведём AN и BN. Заметим, что $S_{AMN} = {1}/{2}AM · MNsin∠AMN ={1}/{2}MB · MNsin∠BMN = S_{BMN}$, так как $AM = MB, sin∠AMN = sin(180° — ∠AMN) = sin∠BMN$.

Отсюда $S_{AND} = S_{BNC}(S_{AND} = S_{AMND} — S_{AMN}, S_{BNC} = S_{MBCN} — S_{MBN})$.

Опустим в $△AND$ высоту AH, в $△BNC$ — высоту BK.

Получим ${1}/{2}DN·AH = {1}/{2}NC·BK$, при этом $DN = NC$. Следовательно, $AH = BK$. Но тогда в четырёхугольник $AHKB ∠AHK = ∠BKH = 90°, AH = BK$, то есть $AHKB$ — прямоугольник. Значит, $AB ‖ HK, AB ‖ DC$.

Для доказательства того, что ABCD — трапеция, необходимо доказать, что две другие стороны не параллельны, то есть AD не параллельна BC. Предположим противное. Тогда ABCD — параллелограмм, но тогда отрезок, соединяющий середины AD и BC, делит площадь ABCD пополам, что противоречит условию, так как отношение полученных площадей должно равняться 6 : 7. Отсюда верно ABCD — трапеция.

б) По условию EF делит площадь ABCD на площади, отношение которых равно 6 : 7, а именно $S_{ABFE} : S_{EFCD} = 6 : 7$.

$EF$ — средняя линия, $EF = {AB + CD}/{2}$.

Надо найти AB : CD.

$S_{ABFE} = {AB + EF}/{2}·h_1, S_{EFCD} = {EF + CD}/{2}·h_2$, где $h_1$ — высота $ABFE$, $h_2$ — высота $EFCD$.

Учитывая, что $AB ‖ CD$, а $EF$ — средняя линия и $EF ‖ AB$ и $EF ‖ CD$, то расстояние от $EF$ до $AB$ и от $EF$ до $CD$ равны, то есть $h_1 = h_2$.

Следовательно, ${S_{ABFE}}/{S_{EFCD}} = {{AB + EF}/{2}}/{{EF + CD}/{2}} = {AB + EF}/{EF + CD} = {AB + {AB + CD}/{2}}/{{AB + CD}/{2} + CD} = {3AB + CD}/{3CD + AB}, {3AB + CD}/{3CD + AB} = {6}/{7}, 21AB + 7CD = 18CD + 6AB, 15AB = 11CD, {AB}/{CD} = {11}/{15}$.

$AB : CD = 11 : 15$.

Ответ: 11:15

Задача 20

В выпуклом четырёхугольнике середины противоположных сторон соединены отрезками, причём один из них делит этот четырёхугольник на две равновеликие фигуры, а другой делит площадь в отношении $9:13$. а) Доказать, что данный четырёхугольник является трапецией. б) Найти отношение меньшего основания этой трапеции к большему.

Решение

а) Рассмотрим выпуклый четырёхугольник $QMNP$ (см. рис.). Пусть $E$ — середина $MQ$, $F$ — середина $NP$, причём $S_{MNFE}=S_{EFPQ}$.

Проведём отрезки $EN$ и $EP$. Заметим, что
$S_{▵ EFN}={1} / {2} EF⋅ FNsin ∠ EFN={1} / {2} EF⋅ FP sin ∠ EFP=S_{▵ EFP}$, так как $NF=FP$ и $sin ∠ EFN=sin (180°-∠ EFN)=sin ∠ EFP$. Отсюда $S_{▵ MNE}=S_{▵ EPQ}$ ($S_{▵ MNE}=S_{MNFE}-S_{▵ EFN}$, $S_{▵ EPQ}=S_{EFPQ}-S_{▵ EFP}$). Опустим в $▵ MNE$ высоту $NN_1$, в $▵ EPQ$ — высоту $PP_1$. Получим: ${1} / {2} ME⋅ NN_1={1} / {2} EQ⋅ PP_1$. Но $ME=EQ$, следовательно, $NN_1=PP_1$. Но тогда в четырёхугольнике $N_1NPP_1$ $∠ NN_1P_1=∠ N_1P_1P=90°$, $NN_1=PP_1$, то есть $N_1NPP_1$ — прямоугольник. Значит, $N_1P_1∥ NP$, $MQ∥ NP$. Из предположения о том, что $MN∥ QP$, следует, что отрезок, соединяющий середины сторон $MN$ и $QP$, делит параллелограмм $MNPQ$ на две равновеликие фигуры. Но по условию это не так. Значит, $MN ∦ QP$. Следовательно, $MNPQ$ — трапеция. б) По условию второй отрезок $AB$ делит четырёхугольник так, что площадь $ANPB$ относится к площади $ABQM$ как $9:13$ (см. рис.).

$S_{ANPB}:S_{ABQM}=9:13$. $AB$ — средняя линия трапеции, $AB={NP+MQ} / {2}$. $S_{ANPB}={AB+NP} / {2}⋅ h_1$; $S_{ABQM}={AB+MQ} / {2}⋅ h_2$, где $h_1$ — высота трапеции $ANPB$; $h_2$ — высота трапеции $ABQM$. Так как $NP∥ MQ$, а $AB$ — средняя линия и $AB∥ NP$ и $AB∥ MQ$, то расстояния от $AB$ до $NP$ и от $AB$ до $MQ$ равны, то есть $h_1=h_2$. Отсюда, ${S_{ANPB}} / {S_{ABQM}}={{NP+AB} / {2}} / {{AB+MQ} / {2}}={NP+{NP+MQ} / {2}} / {{NP+MQ} / {2}+MQ}={3NP+MQ} / {3MQ+NP}$, ${3NP+MQ} / {3MQ+NP}={9} / {13}$, $39NP+13MQ=27MQ+9NP$, $30NP=14MQ$, ${NP} / {MQ}={14} / {30}={7} / {15}$.

Ответ: 7:15

Рекомендуемые курсы подготовки

В задании 14 в ЕГЭ 2023 г. профильного уровня проверяется умение решать неравенства и их системы.

Эксперт, проверяющий выполнение этого задания, выставляет баллы в строгом соответствии с критериями, приведёнными в таблице:

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением конечного числа точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 2

Плюс в том, что вы сами выбираете метод решения и форму записи, и этот выбор не влияет на оценивание.

Оценивается математическая грамотность, обоснованность и полнота приведённого решения и ответа, а также отсутствие или наличие вычислительных ошибок.

Полнота и правильность приведённого решения и ответа определяются:

  1. Выбором метода решения уравнения.
  2. Соответствием выбранному методу верной последовательности всех необходимых шагов решения.
  3. Обоснованием основных моментов решения неравенства.
  4. Правильным применением формул, выполнением преобразований и вычислений.
  5. Верным ответом и его соответствием условию задачи.

Что нужно знать для успешного решения задания 14?

Разбор 14 задания ЕГЭ математика профильный уровень (с примерами решения)

Для того чтобы знать как правильно решать 15 задание ЕГЭ по математике профильного уровня в 2023 году, полезно ознакомится с подробным разбором решений данного вида заданий для ЕГЭ за прошлые годы.

Пример 1. 

Решите неравенство

Решение. Находим ОДЗ: . В левой части неравенства применяем свойство логарифмов:

В правой – формулу квадрата разности и свойство логарифмов:

Исходное неравенство равносильно неравенству

преобразовывая которое получим

пример-1-4.jpg

Воспользуемся методом интервалов (см. рис.):

С помощью кривой знаков получаем

Ответ. пример-1-7.jpg

Лайфхак

Знаки выражений совпадают на ОДЗ, поэтому неравенства пример-1-9.jpg и  равносильны при

Пример 2. 

Решите неравенство

Решение. Пусть . Неравенство примет вид

Решая последнее неравенство методом интервалов (см. рис.) и учитывая, что , получим .

Возвращаемся к переменной

Функция возрастающая, поэтому пример-1-17.jpg.

Ответ.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТОВАРЫ

Решите неравенство

!!! Смотрите также подборку задач С3 (с ответами) для подготовки к ЕГЭ !!!

Список всех неравенств (С3), разобранных на сайте:   


-11. (Реальный ЕГЭ, 2021) Решите неравенство:

(9^x-3^{x+1})^2+8cdot 3^{x+1}<8cdot 9^x+20.

Ответ: (-infty;0)cup (log_32;log_35). Решение


-10. (Реальный ЕГЭ, 2021) Решите неравенство: 16^{frac{1}{x}-1}-4^{frac{1}{x}-1}-2geq 0.

Ответ: (0;frac{2}{3}]. Решение


-9. (Демо ЕГЭ, 2020) Решите неравенство

log_{11}(8x^2+7)-log_{11}(x^2+x+1)geq log_{11}(frac{x}{x+5}+7).

Ответ: (-infty;-12]cup (-frac{35}{8};0].  Видеорешение New*


-8. (Реальный ЕГЭ, 2019) Решите неравенство

log_{frac{1}{3}}(18-9x)<log_{frac{1}{3}}(x^2-6x+5)+ log_{frac{1}{3}}(x+2).

Ответ: (-2;1). Решение Видеорешение New*


-7. (Реальный ЕГЭ, 2019) Решите неравенство log_4(6-6x)<log_4(x^2-5x+4)+ log_4(x+3).

Ответ: (-2;1). Решение


-6. (Реальный ЕГЭ, 2018) Решите неравенство

log_7(2x^2+12)-log_7(x^2-x+12)geq log_7(2-frac{1}{x}).

Ответ: (frac{1}{2};frac{4}{3}]cup [3;+infty). Решение  Видеорешение New*


-5. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) Решите неравенство  frac{6^x-4cdot 3^x}{xcdot 2^x-5cdot 2^x-4x+20}leq frac{1}{x-5}.

Ответ: [0;2)cup (2;5). Решение Видеорешение New*


-4. (Досрочный ЕГЭ, 2018) Решите неравенство 3^{x^2}cdot 5^{x-1}geq 3.

Ответ: (-infty;-1-log_35]cup [1;+infty). Решение Видеорешение New*


-3. (Резервный ЕГЭ, 2017) Решите неравенство frac{1}{3^x-1}+frac{9^{x+frac{1}{2}}-3^{x+3}+3}{3^x-9}geq 3^{x+1}.

Ответ: (0;1]cup (2;+infty). Решение


-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) Решить неравенство 9^{4x-x^2-1}-36cdot 3^{4x-x^2-1}+243geq 0.

Ответ: (-infty;1]cup {2}cup[3;+infty). Решение Видеорешение New*


-1. (Реальный ЕГЭ, 2017) Решить неравенство frac{log_2(4x^2)+35}{log_2^2x-36}geq -1.

Ответ: (0;frac{1}{64})cup{frac{1}{2}}cup (64;+infty). Решение


0. (Реальный ЕГЭ, 2017) Решить неравенство frac{log_4(64x)}{log_4x-3}+frac{log_4x-3}{log_4(64x)}geq frac{log_4x^4+16}{log_4^2x-9}.

Ответ: (0;frac{1}{64})cup{4}cup (64;+infty). Решение


1. (Досрочн. ЕГЭ, 2017) Решите неравенство log_2^2(25-x^2)-7log_2(25-x^2)+12geq 0.

 Ответ: (-5;-sqrt{17}]cup [-3;3]cup [sqrt{17};5). Решение  Видеорешение New*


2. (Резервн. ЕГЭ, 2016) Решите неравенство

frac{9^x-3^{x+1}-19}{3^x-6}+frac{9^{x+1}-3^{x+4}+2}{3^x-9}leq 10cdot 3^x+3.

Ответ: (-infty;1]cup (log_36;2).  Решение Видеорешение New*


 3. (ЕГЭ, 2016) Решите неравенство

frac{25^x-5^{x+2}+26}{5^x-1}+frac{25^x-7cdot 5^{x}+1}{5^x-7}leq 2cdot 5^x-24.

Ответ: (-infty;0)cup [1;log_57).  Решение


 4. (Т/Р, 2016) Решите неравенство

2^{frac{x}{x+1}}-2^{frac{5x+3}{x+1}}+8leq 2^{frac{2x}{x+1}}.

Ответ: (-infty;-1)cup [0;+infty). Решение


 5. (Досрочн. ЕГЭ, 2016) Решите неравенство

(5x-13)log_{2x-5}(x^2-6x+10)geq 0.

Ответ: (2,5;2,6]cup (3;+infty). Решение Видеорешение New*


 6. (ЕГЭ, 2015) Решите неравенство

frac{3}{(2^{2-x^2}-1)^2}-frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1geq 0.

Ответ: (-infty;-sqrt2)cup (-sqrt2;-1]cup{0}cup [1;sqrt2)cup(sqrt2;+infty). Решение


7. (Т/Р 2013) Решите систему неравенств

begin{cases} 9^x-5cdot 3^x+4geq 0,;(1)& &log_{frac{3x^2+4x+1}{4x+1}}|frac{x}{2}|leq 0;;(2) end{cases}

Ответ: (-frac{1}{3};0)cup[log_53;1]. Решение


8. (Т/Р 2013) Решите систему неравенств

begin{cases} 1-frac{2}{|x|}leq frac{23}{x^2},;(1)& & frac{2-(x-5)^{-1}}{2(x-5)^{-1}-1}leq -0,5;;(2) end{cases}

Ответ: [2-2sqrt6;0 )cup (0;6). Решение


9. (Т/Р 2013) Решите систему неравенств

 begin{cases} log_{6x^2-x-1}(2x^2-5x+3)geq 0,& & frac{12x^2-31x+14}{4x^2+3x-1}leq 0; end{cases}

Ответ: (-2;-1)cup [frac{1}{10};frac{1}{6})cup{frac{3}{2}}. Решение


10. (ДЕМО 2014) Решите систему неравенств

begin{cases} 4^xle9cdot 2^x+22,& & log_3(x^2-x-2)le1+log_3frac{x+1}{x-2}; end{cases}

Ответ: (2;log_211]. Решение


11. (ЕГЭ 2013) Решите систему неравенств

begin{cases}log_{6-x}frac{x+5}{(x-6)^{12}}ge  - 12,& & x^3+7x^2+frac{30x^2+7x-42}{x-6}le 7;& end{cases}

Ответ: {-4;0}cup [3;5). Решение


12. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_4(x^2-4)^2+log_2(frac{x-1}{x^2-4})>0.

Ответ: (-2;0)cup (2;+infty). Решение


13. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_5(2+x)(x-5)>log_{25}(x-5)^2.

Ответ: (-infty;-3)cup (5;+infty). Решение


14. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

 sqrt{7-log_2x^2}+log_2x^4>4.

Ответ: [-8sqrt2;-sqrt[8]{8})cup (sqrt[8]{8};8sqrt2]. Решение


15. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{1}{2}log_{x-1}(x^2-8x+16)+log_{4-x}(-x^2+5x-4)>3.

Ответ: (2;2,5)cup (2,5;3). Решение Видеорешение  


16. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_2(5-x)log_2(x+1)leq log_2frac{(x^2-4x-5)^2}{16}.

Ответ: (-1;1]cup [3;5). Решение


17. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{x^4-2x^2+1}{2x^2-x-6}geq frac{1-2x^2+x^4}{2x^2-7x+6}.

Ответ: (-infty;-1,5)cup{-1;1}cup(1,5;2). Решение


18. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{(3^x-3)^3}{2cdot 3^x-4}leq frac{27^x-2cdot 3^{2x+1}+3^{x+2}}{3^x-9^x+2}.

Ответ: [frac{1}{2};log_32)cup{1}. Решение


19. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_x(log_2(4^x-6))leq 1.

Ответ: (log_47;log_23]. Решение


20. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{4^{x^2-2x}-16cdot 2^{(x-1)^2}+35}{1-2^{(x-1)^2}}leq 4^xcdot 2^{(x-2)^2}.

Ответ: (-infty;1)cup (1;+infty). Решение


21. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{log_{x+0,5}(4^x-3cdot 2^{x+1}+8)}{log_{sqrt{x+0,5}}2}leq x.

Ответ: [2-log_23;0,5)cup (0,5;1)cup (2;+infty). Решение


22. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

sqrt{1+x^2}-xleq frac{5}{2sqrt{1+x^2}}.

Ответ: [-frac{3}{4};+infty). Решение


23. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{1}{2}log_{134+tg^2(frac{x}{2})}(21x+16)<log_{134+tg^2(frac{x}{2})}(20+sqrt{x-4}).

Ответ: [4;3pi)cup (3pi;5pi)cup (5pi;7pi)cup (7pi;9pi)cup (9pi;29). Решение


24. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_2(log_3(log_4(log_5^2(133-2x)+7)+25)-1)leq 1.

Ответ: [4;66,496]. Решение


25. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{x^3-18x^2+89x-132}{(sqrt x-2)(5^x-25)(|x|-1)}leq 0.

Ответ: (1;2)cup [3;4)cup(4;11]. Решение


26. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

2sqrt{x+131}-frac{5}{sqrt{x+131}-3}leq 15.

Ответ: [-131;-124,75]cup (-122;-67]. Решение


27. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

x^2+xsqrt{3-3x^2}geq 0,5+x.

Ответ: [-1;-sinfrac{5pi}{18}]cup [frac{1}{2};sinfrac{7pi}{18}]. Решение


28. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_{x+1}2leq log_{3-x}2.

Ответ: (-1;0)cup [1;2). Решение


29. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

 frac{2x^2}{x+3}+frac{x+3}{x^2}leq 3.

Ответ: (-infty;-3)cup [frac{1-sqrt{13}}{2};-1]cup [frac{3}{2};frac{1+sqrt{13}}{2}]. Решение


30. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_{2x}(x+4)cdot log_x(2-x)leq 0.

Ответ: (0,5;1)cup (1;2). Решение


31. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

 log_{(x-2)^2}frac{5-x}{4-x}leq 1+log_{(2-x)^2}frac{1}{x^2-9x+20}.

Ответ: (1;2)cup (2;3)cup [3,5;4)cup (5;+infty). Решение


33. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{2sqrt{x+3}}{x+1}leq frac{3sqrt{x+3}}{x+2}.

Ответ: {-3}cup (-2;-1)cup [1;+infty). Решение


34. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_{9x}27leq frac{1}{log_3x}.

Ответ: (0;frac{1}{9})cup(1;3]. Решение


35. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{7-71cdot 3^{-x}}{3^x+10cdot 3^{-x}-11}leq 1.

Ответ: (-infty;0)cup{2}cup (log_310;+infty). Решение


36. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_x512leq log_2frac{64}{x}.

Ответ: (0;1)cup{8}. Решение


37. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

xsqrt x+2sqrt x+3leq frac{6}{2-sqrt x}.

Ответ: {0}cup [1;4). Решение


38. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_x(11x-2x^2)+log_{11-2x}x^4leq 5.

Ответ: (0;1)cup{-1+2sqrt3}(5;5,5).  Решение


39. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{log_{(-36x)}6^{x+2}}{log_{36}6^{x+2}}leq log_{x^2}36.

Ответ: [-36;-2)cup (-2;-1)cup (-frac{1}{36};0). Решение


40. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log^2_2frac{x-5}{x+2}-log_2(x-5)^2cdot log_{(x-5)^2}frac{x-5}{x+2}geq 0.

Ответ: [-9;-2)cup (5;6)cup (6;+infty). Решение


41. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_x(1-2x)leq 3-log_{(frac{1}{x}-2)}x.

Ответ: (0;frac{1}{3})cup{sqrt2-1}. Решение


42. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_3(x+1,5)-log_{sqrt2}(3,5-x)+log_{x+1,5}3cdot log_2^2(3,5-x)leq 0.

Ответ: (-1,5;-0,5)cup {1,5}. Решение


43. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{log_{3-x}sqrt x}{1-log_{x^2}(3-x)}leq 1.

Ответ: (0;1)cup (1;frac{sqrt{13}-1}{2})cup{1,5}cup(2;3). Решение


44. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

|6-7^x|leq (7^x-6)cdot log_6(x+1).

Ответ: (-1;-frac{5}{6}]cup{log_76}[5;+infty). Решение


45. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

(x+3)(x+1)+3(x+3)sqrt{frac{x+1}{x+3}}+2leq 0.

Ответ: [-2-sqrt5;-2-sqrt2]. Решение


46. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_{5-x}(5+9x-2x^2)+log_{1+2x}(x^2-10x+25)^2leq 5.

Ответ: (-0,5;0)cup{6-2sqrt3}cup (4;5). Решение


47. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_2(x^2-8x+6)geq 2+frac{1}{2}log_2(2x-1).

Ответ: (frac{1}{2};2-sqrt2]cup [6+sqrt{10};+infty). Решение


48. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{sqrt{2x-1}+sqrt{x-3}-3x+10}{sqrt{2x^2-7x+3}}>2.

Ответ: (3;25-6sqrt{13}). Решение


49. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{6-3x+sqrt{2x^2-5x+2}}{3x-sqrt{2x^2-5x+2}}geq frac{1-x}{x}.

Ответ: [-1;0)cup (frac{2}{7};frac{1}{2}]cup [2;+infty). Решение


50. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_{4x}2x-log_{2x^2}4x^2geq -frac{3}{2}.

Ответ: (0;frac{1}{4})cup [frac{1}{sqrt8};frac{1}{sqrt2})cup [1;+infty). Решение


51. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{log_2(2cdot 4^x-11cdot 2^x+9)}{x+3}leq 1.

Ответ: (-infty;-3)cup [-1;0)cup (2log_23-1;2log_23]. Решение


52. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x(x^2-7x+12)+1geq 0.

Ответ: (0;1)cup (1;1,5]cup [2;3). Решение


53. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{sqrt{6+x-x^2}}{log_2(5-2x)}leq frac{sqrt{6+x-x^2}}{log_2(x+4)}.

Ответ: [-2;frac{1}{3}]cup (2;2,5). Решение


54. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_3(x^2-4x+5)leq frac{2x}{log_{x^2-4x+5}(9^x+3^x-12)}.

Ответ: (log_3frac{-1+sqrt{53}}{2};2)cup (2;log_312]. Решение


55. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_x(frac{100}{x})leq sqrt{log_x(100x^5)}.

Ответ: (0;frac{1}{sqrt[5]100}]cup [sqrt{10};+infty). Решение


56. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_{2x^2-x}(3x-1)cdot log_{2x-x^2}(3-2x)geq 0.

Ответ:  [frac{2}{3};1)cup (1;1,5). Решение


57. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_{2x}(x-4)log_{x-1}(6-x)<0.

Ответ: (4;5)cup (5;6). Решение


58. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

 log_3(x+6)leq (1-log_{9x}(6-x))cdot log_3(9x).

Ответ: [3;6). Решение


59. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

sqrt{1-log_5(x^2-2x+2)}<frac{1}{2}log_{sqrt5}(5x^2-10x+10).

Ответ: [-1;1)cup (1;3]. Решение


60. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_xlog_2(3-4^{x-1})leq 1.

Ответ: (0;1)cup (1;1,5). Решение


61. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{log_5(x^2-4x-11)^2-log_{11}(x^2-4x-11)^3}{2-5x-3x^2}geq 0.

Ответ: (-infty;-2)cup (-2;2-sqrt{15})cup [6;+infty). Решение


62. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{log_{2^{x+3}}4}{log_{2^{x+3}}(-4x)}leq frac{1}{log_2(log_{frac{1}{2}}2^x)}.

Ответ: [-4;-3)cup (-3;-1)cup (-frac{1}{4};0). Решение


63. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_x(1-2x)leq 3-log _{frac{1}{x}-2}x.

Ответ:  (0;frac{1}{3})cup{-1+sqrt2}. Решение


64. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_2(5-x)cdot log_{x+1}frac{1}{8}geq -6.

Ответ: (-1;0)cup [1;5). Решение


65. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{log_712}{log_7(x^2-9)}geq frac{log_5(x^2+8x+12)}{log_5(x^2-9)}.

Ответ: [-8;-6)cup (3;sqrt{10}). Решение


66. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

4log_2x+log_2frac{x^2}{8(x-1)}leq 4-log_2(x-1)-log^2_2x.

Ответ: (1;2]. Решение


67. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

sqrt{1-log_5(x^2-2x+2)}<log_5(5x^2-10x+10).

Ответ: [-1;1)cup(1;3]. Решение 


68. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_{frac{x^2-18x+91}{90}}(5x-frac{3}{10})leq0.

Ответ: [frac{13}{50};9+4sqrt5). Решение


69. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_{cosx^2}(frac{3}{x}-2x)<log_{cosx^2}(2x-1).

Ответ: (frac{1}{2};1). Решение


70. (Т/Р А. Ларина) Решите систему неравенств

begin{cases} log_2(5-x)(2-x)>log_4(x-2)^2,& &frac{2^x-2^{2-x}-3}{2^x-2}geq 0; end{cases}

Ответ: (-infty;1)cup(6;+infty). Решение


71. (Т/Р А. Ларина) Решите систему неравенств

begin{cases} 4^{x+1}-33cdot 2^x+8leq 0,& & 2log_2frac{x-1}{x+1,3}+log_2(x+1,3)^2geq 2. end{cases}

Ответ:

Показать скрытое содержание
{-4}cup (3,7;4] Решение


72. (Т/Р А. Ларина) Решите систему неравенств

begin{cases} frac{|x-5|-1}{2|x-6|-4}leq 1,& & frac{1}{4}log_2(x-2)-frac{1}{2}leq log_{frac{1}{4}}sqrt{x-5}. end{cases}

Ответ: (5;6]. Решение


73. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство

frac{x^2-x+1}{x-1}+frac{x^2-3x-1}{x-3}leq 2x+2.

Ответ: (-infty;1)cup{2}cup (3;+infty). Решение


 74. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство

frac{2^{cosx}-1}{3cdot 2^{cosx}-1}leq 2^{1+cosx}-2.

Ответ: [-frac{pi}{2}+2pi n;frac{pi}{2}+2pi n]cup{pi+2pi n}, nin Z. Решение


75. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство

frac{5(x-6sqrt x+8)}{x-16}leq sqrt x-2.

Ответ: [0;1]cup [4;16)cup (16;+infty). Решение


76. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство

frac{2^{x+1}sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-15}leq frac{sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-8}.

Ответ: {-1}cup [0;log_215-1]cup (3;log_215). Решение


77. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{4^{x}-3cdot 2^x+3}{2^x-2}+frac{4^{x}-5cdot 2^x+3}{2^x-4}leq 2^{x+1}.

Ответ: (-infty;1)cup{log_23}cup (2;+infty). Решение


78. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство

log_{6x-x^2-8}(5-x)geq log_{6x-x^2-8}(4x^2-17x+20).

Ответ: [2,5;3)cup (3;4). Решение


79. (Т/Р А. Ларина) Найдите область определения функции y=sqrt{1-frac{2^{x+1}-14}{4^x-2^{x+2}-5}}.

Ответ: {log_23}cup (log_25;+infty). Решение


80. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство |3^{x+1}-9^x|+|9^x-5cdot 3^x+6|leq 6-2cdot 3^x.

Ответ: (-infty;log_32)cup{1}. Решение


81. (Т/Р А. Ларина)   Решите неравенство frac{9}{3+log_3xcdot log_3frac{9}{x}}leq log_3^2x-log_3frac{x^2}{27}.

Ответ: (0;frac{1}{3})cup{1;9}cup (27;+infty). Решение


82. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство frac{8^x-3cdot 2^{2x+1}+2^{x+3}+1}{4^x-3cdot 2^{x+1}+8}geq 2^x-1.

Ответ: (-infty;1)cup{log_23}cup (2;+infty). Решение


83. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство frac{(2^x-2)^3}{2^{x+2}-12}geq frac{8^x-4^{x+1}+2^{x+2}}{9-4^x}.

Ответ: (-infty;0]cup{1}cup (log_23;+infty). Решение


84. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство sqrt{4sqrt3 sinfrac{pi x}{3}-4sin^2frac{pi x}{3}-3}cdot (log_{frac{2}{3}}frac{3x+22}{14-x})leq 0.

Ответ:  {-5;-4;1;2;7;8;13}. Решение


85. (Т/Р, 2017)  Решите неравенство 3^{|x|}-8-frac{3^{|x|}+9}{9^{|x|}-4cdot 3^{|x|}+3}leq frac{5}{3^{|x|}-1}.

Ответ: [-2;-1)cup [-log_32;0)cup (0;log_32]cup (1;2]. Решение


86. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство

frac{sqrt{(x-1)(x-2)log_{x^2}frac{2}{x^2}}}{|x+2|}>frac{x^2-3x+1+log_{|x|}sqrt2}{x+2}.

Ответ: [sqrt2;2]. Решение


87. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

3sqrt{x^2+6x+9}-(sqrt{3x+7})^2-2|x-1|leq 0.

Ответ: [-frac{7}{3};0]cup[2;+infty). Решение


88. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство

2^{1+2x-x^2}-3geq frac{3}{2^{2x-x^2}-2}.

Ответ: [1-sqrt2;1)cup (1;1+sqrt2]. Решение


89. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство

frac{log_2(|x|-1)log_2(frac{|x|-1}{16})+3}{sqrt{log_2(7-|x+4|)}}geq 0.

Ответ: (-10;-9]cup[-3;-1)cup (1;2). Решение


90. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство

frac{4^{sqrt{x-1}}-5cdot 2^{sqrt{x-1}}+4}{log^2_2(7-x)}}geq 0.

Ответ: {1}cup [5;6)cup (6;7). Решение


91. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{2^{x+1}-7}{4^x-2^{x+1}-3}leq 1.

Ответ: {1}cup (log_23;+infty). Решение


92. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{5-7log_x3}{log_3x-log_x3}geq 1.

Ответ: (frac{1}{3};1)cup(1;3)cup [9;27]. Решение


93. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{x+6sqrt x+28}{120}leq frac{2-sqrt x}{x-6sqrt x+8}.

Ответ: [0;4)cup (4;16). Решение


94. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{9}{log_2(4x)}leq 4-log_2x.

Ответ: (0;0,25)cup left { 2 right }. Решение


 95. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{1}{log_3(2x-1)cdot log_{x-1}9}< frac{log_3sqrt{2x-1}}{log_3(x-1)}.

Ответ: (1;1,5)cup (2;+infty). Решение


96. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_{frac{5-x}{4}}(x-2)cdot log_{x-2}(6x-x^2)geq log_{frac{5-x}{4}}(3x^2-10x+15).

Ответ: [2,5;3)cup (3;5). Решение


97. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

log_3(2^x+1)+log_{2^x+1}3geq 2,5.

Ответ: (-infty;log_2(sqrt3-1)]cup [3;+infty). Решение


98. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

frac{83-17cdot 2^{x+1}}{4^x-2^{x+2}+3}leq 4^x+3cdot 2^{x+1}+17.

Ответ: [0;1,5)cup(log_23;+infty). Решение


99. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

xlog_2frac{x}{2}+log_x4leq 2.

Ответ: (0;1)cup {2}. Решение


100. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

(3^x-2^x)(6^{x+1}+1)+6^xgeq 3^{2x+1}-2^{2x+1}.

Ответ: {-1}cup [0;+infty). Решение


 101. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

2sqrt{sin^2x-sinx-1}geq cos^2x+sinx+3.

Ответ: -frac{pi}{2}+2pi n,nin Z. Решение


102. (Т/Р А. Ларина)  Решите неравенство

frac{log_8x}{log_2(1+2x)}leq frac{log_2sqrt[3]{1+2x}}{log_2x}.

Ответ: (0;0,5]cup (1;+infty).  Решение


103. (Т/Р А. Ларина) Решите неравенство

-3log_{(x-1)}frac{1}{3}+log_{frac{1}{3}}(x-1)>2|log_{frac{1}{3}}(x-1)|.

Ответ: (2;4). Решение


104. (Т/Р 283 А. Ларина) Решите неравенство

log_{sqrt3-1}(9^{|x|}-2cdot 3^{|x|})leq log_{sqrt3-1}(2cdot 3^{|x|-3).

Ответ: (-infty;-1]cup [1;+infty) Видеорешение


Неравенства


В задании №15 профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить неравенство. Чаще всего неравенство связано с логарифмами или степенными выражениями. Для успешного выполнения необходимо хорошо оперировать данными выражениями.


Разбор типовых вариантов заданий №15 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Решите неравенство:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

Алгоритм решения:
  1. Вводим подстановку.
  2. Записываем выражение неравенства в ином виде.
  3. Решаем неравенство.
  4. Возвращаемся к подстановке.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Вводим замену  t = 3x . Тогда исходное неравенство примет вид:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

2. Преобразуем его:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

3. Отсюда получаем решение t ≤ 3; 5 < t < 9.

4. Возвратимся к переменной х.

При t ≤ 3 получим: 3x ≤ 3 , следовательно x ≤ 1

При 5 < t < 9 получим: 5 < 3x < 9, следовательно log35 < x < 2.

5. Решение исходного неравенства:  x ≤ 1 и log35 < x < 2.

Ответ: (-∞;1] (log35;2)


Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Решите неравенство http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_15.files/image001.gif .

Алгоритм решения задания:
  1. Вводим замену.
  2. Записываем неравенство в новом виде.
  3. Решаем неравенство.
  4. Возвращаемся к переменной х.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Вводим замену t = 3x.

2. Тогда неравенство примет вид:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

3. Решаем его:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

Отсюда t < 0; t = 2; t> 3.

4. Возвращаемся к переменной х.

При t < 0 получаем:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня ,

откуда 0 < x < 1.

При t = 2 получаем:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня ,

откуда x = 9.

При t > 3 получаем:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня ,

откуда x > 27.

5. Решения исходного неравенства:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Ответ: Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня.


Третий вариант (Ященко, № 5)

Решите неравенство http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image001.gif

Алгоритм решения:
  1. Находим ОДЗ выражения в неравенстве.
  2. Преобразуем неравенство к иному виду.
  3. Вводим замену и решаем новое неравенство.
  4. Возвращаемся к переменной х.
  5. Записываем ответ.
Решение:

1. Запишем ОДЗ: Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня .

log2х-5≠0, log2х≠5, х≠32

2. Преобразуем неравенство:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

или

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

Получаем новое неравенство:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня.

Вводим замену Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня , тогда неравенство принимает новый вид. И его легко решить:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

Размещаем полученные решения на числовую ось:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image009.jpg

Возвращаемся к переменной х. Рассмотрим два случая:

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня
Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня
http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/5_15.files/image012.jpg

Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

Ответ:Задание №15 ЕГЭ по математике профильного уровня

ЕГЭ по математике профиль

Прототипы задания №15 ЕГЭ по математике профильного уровня — финансовая математика. Практический материал для подготовки к экзамену в 11 классе.

Для успешного выполнения задания №15 необходимо уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Практика

Примеры заданий:

Дмитрий мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн руб. Дмитрий может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Дмитрию придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого Дмитрий может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды—15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько лет в этом случае Дмитрий сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится?

***

Сергей мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Сергей может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Сергею придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 260% превышающую исходную. Вместо этого Сергей может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды—14 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Сергей сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится?

***

Ольга хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет Ольга может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24 000 рублей?

***

Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 1.1, 2.1.12

Уровень сложности задания — повышенный.

Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне (в мин.) — 25

Связанные страницы:

Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи в разделе контакты

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Номенклатура по географии для егэ сдачи
  • Номенклатура органических соединений тест егэ
  • Номенклатура органических соединений задания егэ
  • Номенклатура органических соединений для егэ химия
  • Номенклатура неорганических веществ для егэ по химии