Анна Малкова
В этой статье мы расскажем, какие задачи встретились на ЕГЭ-2022 по математике под номером 18. Это последняя в варианте, самая сложная задача ЕГЭ. Тема – числа и их свойства.
В этом году они действительно были непростыми, нестандартными. Но есть и хорошая новость: в каждой из них пункт (а) решался за 3 минуты.
Начнем с наиболее стандартной из них, задачи 18 из московского варианта. Здесь мы можем ввести переменные и сделать «заготовку», то есть математическую модель для всех пунктов задачи.
1. ЕГЭ-2022, Москва.
С натуральным трехзначным числом проводят следующую операцию: из числа вычитают его сумму цифр и полученный результат делят на 3.
а) Может ли результатом выполнения операции быть число 201?
б) Может ли результатом выполнения быть число 251?
в) Сколько различных результатов можно получить, если применить данную операцию для всех трехзначных чисел от 600 до 999 включительно?
Решение:
Сделаем «заготовку» для всех пунктов задачи.
Запишем число А в виде: 
.
По условию, 
.
а) Да, может быть 
Подберем a и b.
Пусть 
. Заметим, что с – любое.
Пример: 
б) Нет, не может быть 
, так как 
а 251 не делится на 3, пришли к противоречию.
в) 
.
Выясним, какие значения может принимать m.
Так как a, b и с – цифры числа А, 
то есть 
то есть 
Значит, 
Числа m являются членами арифметической прогрессии, где
Найдем n – количество членов этой прогрессии.
Мы получили, что чисел вида 
не более 43, и они являются членами арифметической прогрессии 
где 
всего таких чисел не более 43.
Проверим, может ли быть 
возможно при 
любое.
Получаем числа 
всего 10 чисел, для которых 
Случай 
также возможен. Тогда 
11 a + b = 108, подходят а = 9, b = 9, с – любое.
Проверим, может ли m быть равным любому члену арифметической прогрессии 
Пусть 
. С другой стороны, 
Получим: 
По условию, 
, то есть 
.
Тогда 
и 
Пусть 
, где 
.
Так как b – цифра, 
Это значит, что k может делиться на 11 без остатка. Или давать остаток от 1 до 9 от деления на 11. Но k не может давать остаток 10 от деления на 11.
Раньше мы нашли, что 
Исключим числа, дающие остаток 10 от деления на 11. Это 10, 21, 33, всего 3 числа. Получаем, что m может принимать не более 43 – 3 = 40 различных значений. Это оценка.
Для каждого m можно подобрать такие a и b, что условие задачи выполняется. Так, как мы сделали для m = 198 и m= 324.
Ответ: а) да; б) нет; в) 40.
В следующей задаче нет ни переменных, ни уравнений. А решение – это текст, сочинение-рассуждение на заданную тему : -) Напомним, что если в каком-либо пункте задачи 18 ответ «да», то нужно написать: «Да, может, вот пример». Если ответ «нет» — надо привести доказательство, почему не может такого быть.
2. ЕГЭ-2022, Санкт-Петербург В трех коробках лежат камни: в первой 101 камень, во второй 102, в третьей 104, в четвертой коробке камней нет.
За 1 ход берут по 1 камню из любых трех коробок и кладут в оставшуюся.
а) Может ли в 1 коробке получиться 101 камень, во второй 102, в третьей 100, в четвертой 4 камня?
б) Может ли оказаться 306 камней в четвертой коробке через некоторое количество ходов?
в) какое наибольшее количество камней может оказаться в первой коробке?
Решение:
а) Да, может.
Сделаем следующие действия:
(101; 102; 104; 0);
(100; 101; 103; 3);
(99; 100; 102; 6);
(102; 99; 101; 5);
(101; 102; 100; 4).
б) Приведем решение И. В. Яковлева:
Такого случиться не может.
Допустим, такое произошло.
Всего камней 307. Если в четвертой коробке 306 камней, то значит, еще в какой-либо коробке находится 1 камень, и 2 коробки пустые.
После каждого хода четность числа камней в каждой коробке меняется на противоположную, поскольку либо в коробку добавляют 2 камня, либо убирают 1 камень.
Поэтому количества камней в коробках 1 и 2 не смогут стать равными (у них изначально была разная четность). Аналогично, не могут стать равными количества камней в коробках 1 и 3.
Значит, финальная ситуация обязательно 1, 0, 0, 306. Но после каждого хода количества камней в коробках 2 и 3 либо одновременно уменьшаются на 1, либо в одной из них -1, а в другой +3, так что количества камней в коробках 2 и 3 всегда отличаются не менее чем на 2. Противоречие.
Другой способ доказательства:
После каждого хода для количеств камней в любых двух коробках имеем -1, -1 или -1, +3. В обоих случаях остаётся неизменной разность остатков от деления этих чисел на 4. Исходно в первых трёх коробках эти остатки разные (а именно, 1, 2 и 0), то есть все три разности –- ненулевые. Значит, они будут ненулевыми после каждого хода, так что числа камней в первых трёх коробках всегда будут попарно различны. Следовательно, мы никогда не придём к ситуации, когда в двух из этих коробок нули (чтобы в четвёртой было 306).
в) Найдем наибольшее количество камней, которое может оказаться в первой коробке.
Все 307 камней не могут в ней оказаться, потому что тогда в остальных коробках будет 0 камней. В пункте (б) доказано, что это невозможно.
Предположим, что в 1-й коробке 306 камней. Тогда во 2-й коробке 1 камень, в 3-й и 4-й 0 камней. Другие случаи невозможны, поскольку только в 3-й и 4-й коробках количество камней изначально делилось на 4.
Но ситуация 306; 1; 0; 0 также невозможна, поскольку количества камней в коробках 2 и 3 всегда отличаются не менее чем на 2.
В первой коробке может быть 305 камней. Приведем пример, как это получить.
Первоначально в коробках: (101; 102; 104; 0).
Переложим 25 раз по одному камню из первых трех коробок в четвертую. Получим:
(76; 77; 79; 75). Следующие действия:
(75; 76; 78; 78);
(303; 0; 2; 2);
(302; 3; 1; 1);
(305; 2; 0; 0).
Ответ: а) да; б) нет; в) 305.
Еще одна задача, про числа на круге, была предложена на Дальнем Востоке и в других регионах России. Обратите внимание, что сюжеты задач разные, но во всех так или иначе используются понятия: делимость, четность, деление с остатком.
3. ЕГЭ-2022, Дальний Восток
По кругу расставлены N чисел так, что сумма трех последовательных чисел не делится на 3, а сумма четырех последовательных делится на 3.
а) Может ли N быть равно 240?
б) Может ли N быть равно 219?
в) Найдите наибольшее N, если числа различны и каждое меньше 340.
а) Да, может N = 240.
Например, по кругу расположены 60 четверок вида 1,1,2,2 или 1,2,1,2.
Сумма чисел в каждой тройке не делится на 3, а в каждой четверке делится на 3.
Возможен и такой вариант:
И в том, и в другом случае мы не ставим подряд три единицы или три двойки.
б)
Посмотрим, какие вообще числа могут находиться на круге.
Пусть а, b, с и d – последовательные числа на круге, такие
что а + b + с — не делится на 3. Тогда а + в + с при делении на 3 дает остаток 1 или 2.
Получим совокупность
, где 
Сумма 
делится на 3, тогда 
где 
Получаем систему 
Если из уравнения (3) вычесть уравнение (1), то получим 
– это означает, что при делении числа d на 3 получается остаток 2.
Если из уравнения (3) вычесть уравнение (2), то получим 
– это означает, что при делении числа d на 3 получается остаток 1.
Значит, число d при делении на 3 дает остаток 1 или 2.
Так как d – любое число на круге, то все числа на круге при делении на 3 дают остаток 1 или 2, то есть на круге все числа вида 3m + 1 или 3m + 2.
Так как по условию любые три подряд идущие числа не делятся на 3, значит, числа вида 3m + 1 не стоят три подряд, а стоят через одно или через два.
Аналогично, числа вида 3m + 2 не стоят три подряд, а стоят через одно или через два.
Обозначим числа, дающие при делении на 3 остаток 1, как (1).
Числа, дающие при делении на 3 остаток 2, обозначим как (2).
Получим варианты:
Других вариантов нет, так как сумма чисел в четверке должна быть кратна трем. Это значит, что если в ней 2 числа типа (1), то должно быть и 2 числа типа (2).
Предположим, что N = 129.
то есть на круге 32 четверки чисел и еще одно число, причем это может быть либо число типа (1), либо число типа (2). Где же оно может быть расположено?
А вот нигде не может!
Рассмотрим сначала первый вариант. Пусть наше число типа (1). Чтобы три числа типа (1) не стояли подряд, мы можем поставить его только между двумя числами типа (2). Но теперь вместе с тремя соседями слева или с тремя соседями справа оно дает четверку, в которой сумма не делится на 3.
Аналогично – если мы попытаемся добавить число типа (2).
Так же и во втором варианте. Куда бы мы ни добавили новое число, вместе с тремя соседями слева или с тремя соседями справа оно дает четверку, в которой сумма не делится на 3. Значит, 129 чисел на круге быть не может.
в) Найдем наибольшее количество чисел на круге при условии, что все они различны и не превосходят 340. Мы сказали, что это должны быть числа, которые при делении на 3 дают остаток 1 или остаток 2. В пункте (б) мы определили, как они должны быть расположены на круге.
Мы сказали также, что если N – количество чисел на круге, то N делится на 4.
Пусть n = 4р, то есть на круге р четверок чисел, в каждой из которых 2 числа типа (1) и 2 числа типа (2). Числа типа (1), которые при делении на 3 дают остаток 1, — это 1, 4, 7, 10 …
Числа типа (2), которые при делении на 3 дают остаток 2, — это 2, 5, 8, 11 …
Наибольшее число на круге – это число типа (2), и по условию, оно меньше 340. Числа типа (2) образуют арифметическую прогрессию
Так как 
, получим: 
, отсюда 
Значит, на круге не более 113 чисел типа (2). Но тогда и чисел типа (1) столько же, то есть тоже не более 113. Всего на круге не более 113 + 113 = 226 чисел. Это оценка.
Приведем пример для 226 различных чисел на круге.
Ответ: а) да; б) нет; в) 226.
И еще одна задача из Санкт-Петербурга.
4. ЕГЭ-2022, Санкт-Петербург
На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 27. Для каждых двух написанных чисел a и b таких, что а < b ни одно из написанных чисел не делится на b – а и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 4, 5, 6?
б) Среди написанных на доске чисел есть 5. Может ли N быть равным 7?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Нет, не может. Если на доске числа 4 и 5, то их разность равна 1. Но 5 делится на 1 – противоречие.
Аналогично, если на доске числа 5 и 6.
Если на доске числа 4 и 6, то их разность равна 2, но 4 делится на 2 – противоречие.
б) Если два числа дают одинаковые остатки при делении на число р, то их разность делится на р.
Остатки от деления на 5 – это 1, 2 … 4, всего 4 остатка. Поскольку на доске 7 чисел, среди них найдутся два, дающие одинаковые остатки от деления на 5. Их разность делится на 5, что противоречит условию.
в) Из пункта (а) мы получили, что среди чисел на доске не может быть подряд идущих (например, 4 и 5 не могут быть на доске).
Если на доске только нечетные числа, разность любых двух из них четна, и ни одно из них не делится на эту разность.
От 1 до 27 ровно 14 нечетных чисел.
Есть еще одно условие: разность любых двух из них не должна делиться ни на одно из этих чисел.
Пусть на доске не менее 14 нечетных чисел. Если на доске есть число а ≤ 9, то хотя бы два из написанных чисел дают одинаковый остаток при делении на а, следовательно, их разность делится на а – противоречие.
Аналогично, если на доске не менее 10 чисел.
Поскольку все числа не превосходят 27, среди этих 10 чисел должно быть число а ≤ 9.
Но тогда не менее двух чисел на доске дают одинаковые остатки от деления на а, значит, их разность делится на а – противоречие. Значит, на доске не более 9 чисел. Это оценка.
Приведем пример для 9 чисел на доске.
11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27.
Разность любых двух из них четна и не делится ни на одно из этих чисел. Также ни одно из чисел не делится на разность каких-либо двух из них.
Ответ: а) нет, не может; б) нет, не может; в) 9.
Подробно о том, как решать задачи на числа и их свойства, читайте здесь. Это целый раздел сайта, посвященный нестандартным задачам.
А если хотите сами так же легко их решать – приходите на мой онлайн-курс и я вас научу.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задача 18 на числа и их свойства на ЕГЭ-2022 по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.03.2023
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 
от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 
от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?
Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2012 года, основная волна.
2
Два игрока ходят по очереди. Перед началом игры у них есть поровну горошин. Ход состоит в передаче сопернику любого числа горошин. Не разрешается передавать такое количество горошин, которое до этого уже кто‐то в этой партии передавал. Ноль горошин тоже передавать нельзя. Тот, кто не может сделать очередной ход по правилам, — считается проигравшим. Начинающий или его соперник победит в этой игре, как бы ни играл партнёр?
Рассмотрите случаи:
а) у каждого по две горошины;
б) у каждого по три горошины;
в) у каждого по N горошин.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 41.
3
Трое друзей играли в шашки. Один из них сыграл 25 игр, а другой — 17 игр. Мог ли третий участник сыграть
а) 34;
б) 35;
в) 56 игр?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42.
4
Леша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу, то Леша отвечает «тепло»; в остальных случаях Леша отвечает «холодно». (Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услышит в ответ «тепло», а в остальных случаях услышит «холодно».)
а) Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.
б) Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Леша).
в) А за 22 попытки получится?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 45.
5
У Лены три набора, в каждом из которых одинаковое количество ручек (больше 1). У Юли несколько (больше 1) наборов ручек, по 5 штук в каждом.
а) При каком количестве наборов у Юли, количество всех ручек у Лены нечетно, если всего у девочек 105 ручек?
б) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в 12 наборов по 12 ручек в каждом?
в) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в k наборов по k ручек в каждом (k > 3)?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 4.
Пройти тестирование по этим заданиям
Всё варианты 18 задания математика ЕГЭ Профиль 2022
Скачать задания в формате pdf.
Задания 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2022 год
(числа и их свойства)
1) (28.03.2022 досрочная волна) Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть S – сумма четырёх получившихся чисел.
а) Может ли (S = 41frac{{11}}{{24}}?)
б) Может ли (S = 569frac{{29}}{{72}}?)
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?
ОТВЕТ: а) да, например 89, 90, 91, 92; б) нет; в) 478.
2) (28.03.2022 досрочная волна) Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну из его цифр, не равную нулю, а затем четыре полученных результата сложили.
а) Может ли полученная сумма равняться 386?
б) Может ли полученная сумма равняться 9,125?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 200 и не больше 699?
ОТВЕТ: а) Да, например, 109, 110, 111 и 112; б) нет; в) 2470.
3) (28.03.2022 досрочная волна) Каждое из четырех последовательных натуральных чисел, последняя цифра которых не равна нулю, разделили на его последнюю цифру. Полученные результаты сложили и назвали S.
а) Может ли (S = 16frac{5}{6}?)
б) Может ли (S = 369frac{{29}}{{126}}?)
в) Если числа были трехзначные, то какое наибольшее целое значение S могло получиться?
ОТВЕТ: а) Да, например, 12, 13, 14 и 15; б) нет; в) 2004.
4) (02.06.2022 основная волна) По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
а) Может ли N быть равным 280?
б) Может ли N быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение N.
ОТВЕТ: а) нет; б) нет; в) 212.
5) (02.06.2022 основная волна) Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третье — 103, а в четвёртой — 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
ОТВЕТ: а) да; б) нет; в) 303.
6) (02.06.2022 основная волна) Имеются три коробки: в первой — 97 камней, во второй — 104 камня, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.
а) Может ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 89, в третьей — 15?
б) Может ли в третьей коробке оказаться 201 камень?
в) Найдите наибольшее возможное количество камней в третьей коробке.
ОТВЕТ: а) да; б) нет; в) 200.
7) (02.06.2022 основная волна) С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?
ОТВЕТ: а) да; б) нет; в) 51.
(02.06.2022 основная волна) На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?
б) Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?
в) Найдите наибольшее значение N.
ОТВЕТ: а) нет; б) нет; в) 33.
9) (27.06.2022 резервная волна) У ювелира есть 47 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трем кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причем n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 105 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
ОТВЕТ: а) да; б) нет; в) 122.
10) (27.06.2022 резервная волна) На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,32 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,32, то получится целое число).
а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 20 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
ОТВЕТ: а) да; б) нет; в) 13,32.
За это задание ты можешь получить 4 балла. На решение дается около 40 минут. Уровень сложности: высокий.
Средний процент выполнения: 3.2%
Ответом к заданию 18 по математике (профильной) может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Разбор сложных заданий в тг-канале
Задачи для практики
Задача 1
На доске выписаны числа $7$ и $8$. За один ход надо заменить написанные на доске числа $a$ и $b$ числами $(2a+3)$ и $(2+a+b)$. Например, из чисел $7$ и $8$ можно получить либо числа $(17;17)$, либо числа $(19;17)$.
а) Может ли после нескольких ходов на доске появиться число $77$?
б) Может ли через $101$ ход на доске появиться число $20008$?
в) Может ли через $205$ ходов на доске появиться два одинаковых числа?
Решение
а) Да, может. Пусть после первого хода получили числа (17; 17), после второго хода: 2 · 17 + 3 = 37 и 2 + 17 + 17 = 36; после третьего хода: 2 · 37 + 3 = 77 и 2 + 36 + 37 = 75.
б) Если числа a и b — разной чётности, то число (2a + 3) — нечётное и (2 + a + b) — нечётное.
Если числа a и b — одной чётности, то число (2a + 3) — нечётное, а (2 + a + b) — чётное. Таким образом, после нечётного числа ходов оба выписанных числа — нечётные числа и число 20008 после 101 хода на доске появиться не может.
в) Если после k-го хода на доске выписаны два одинаковых числа — числа n, то после (k + 1)-го хода будет число (2n + 3) и (2 + n + n), то есть (2n + 3) и (2 + 2n); а после (k + 2) хода можно выписать на доске числа 2 · (2n + 3) + 3 = 4n + 9 и 2 + 2n + 3 + 2n + 2 = 4n + 7, либо числа 2(2n + 2) + 3 = 4n + 7 и 2 + 2n + 2 + 2n + 3 = 4n + 7. После первого хода можно получить равные числа (17; 17).
Таким образом, равные числа можно выписать на доске после 1-го, 3-го, 5-го и т.д. ходов, то есть после всех нечётных ходов. Значит, и после 205-го хода могут быть выписаны на доске одинаковые числа.
Ответ: a)да; б)нет; в)да
Задача 2
На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит $24$ и не равно $1$. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось $6$. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались не больше $1$, с доски стёрли. а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше $8{,}5$? б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше $9$, но меньше $10$? в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Решение
а) Пусть первоначально на доске было 15 чисел, равных 2, 5 чисел, равных 41. Их среднее арифметическое равно ${15 · 2 + 5 · 18}/{20} = 6$.
Среднее арифметическое получившихся чисел равно ${5 · 9}/{5} = 9 > 8.5$. Среднее арифметическое оставшихся на доске чисел могло быть больше $16.5$.
б) Пусть с доски было стёрто $k$ чисел, сумма оставшихся была равна $S$, а стала ${S}/{2}$. По условию оказались стёрты только числа получившиеся из 2, поэтому ${S + 2k}/{20} = 6$.
Отсюда, $S = 120 — 2k$.
Среднее арифметическое оставшихся чисел равно ${S}/{2(20 — k)}$. Тогда ${120-2k}/{2(20-k)}={60-k}/{20-k}; 9 < {60 — 2k}/{20 — k)} < 10; 180 — 9k < 60 — k < 200 — 10k$,
${table180 — 9k < 60 — k; 60 — k < 200 — 2k;$ ${table8k > 120; 9k < 140;$ ${tablek > 15; k < 15{5}/{9};$. Таких целых чисел $k$ нет.
Среднее арифметическое оставшихся на доске натуральных чисел не могло оказаться больше 9 и меньше 10.
в) Найдём наибольшее возможное значение среднего арифметического $A = {60 — k}/{20 — k}$ оставшихся чисел в зависимости от целочисленного аргумента $k$ — первоначального количества чисел 2 на доске.
Имеем $A = {60 — k}/{20 — k} = 1 + {40}/{20 — k}$.
Число $A$ будет наибольшим, если наибольшим будет значение аргумента $k$. Оценим это значение. Каждое из первоначально написанных на доске чисел было не более $24$, поэтому $120 — 2k ≤ 24(20 — k)$.
$22k ≤ 360, k ≤ 16{4}/{11}, k ∈ N , k ≤ 16$.
Тогда $A ≤ 1 + {40}/{20 — 16} = 11$.
Приведём пример, показывающий, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел действительно могло стать равным $11$. Пусть первоначально на доске было записано 16 чисел, равных 2, 4 числа, равных 22.
Их среднее арифметическое ${16 · 2 + 4 · 22}/{20} =6$.
Среднее арифметическое оставшихся чисел стало равно ${4 · 11}/{4} = 11$.
Ответ: а)да; б)нет; в)11
Задача 3
На доске было написано $30$ натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше $10$, но не превосходит $50$. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось $21$. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше $6$, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше $16{,}5$?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше $18$, но меньше $19$?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Решение
а) Пусть первоначально на доске было 20 чисел, равных 11, 10 чисел, равных 41. Их среднее арифметическое равно ${20 · 11 + 10 · 41}/{30} = 21$.
Среднее арифметическое получившихся чисел равно ${10 · 20.5}/{10} = 20.5$, $20.5 > 16.5$. Среднее арифметическое оставшихся на доске чисел могло быть больше $16.5$.
б) Пусть с доски было стёрто $k$ чисел, сумма оставшихся была равна $S$, а стала ${S}/{2}$. По условию оказались стёрты только числа получившиеся из 11, поэтому ${S + 11k}/{30} = 21$.
Отсюда, $S = 630 — 11k$.
Среднее арифметическое оставшихся чисел равно ${S}/{2(30 — k)}$. Тогда $18 < {630 — 11k}/{2(30 — k)} < 19; 1080 — 36k < 630 — 11k < 1140 — 38k$,
${table1080 — 36k < 630 — 11k; 1140 — 38k > 630 — 11k;$ ${table450 < 25k; 510 > 27k;$ ${tablek > 18; k < 18{24}/{27};$. Таких целых чисел $k$ нет.
Среднее арифметическое оставшихся на доске натуральных чисел не могло оказаться больше 18 и меньше 19.
в) Найдём наибольшее возможное значение среднего арифметического $A = {630 — 11k}/{2(30 — k)}$ оставшихся чисел в зависимости от целочисленного аргумента $k$ — первоначального количества чисел 18 на доске.
Имеем $A = {630 — 11k}/{2(30 — k)} = {11k — 630}/{2k — 60} = {{11}/{2}(2k — 60) — 300}/{2k — 60} = {11}/{2} — {300}/{2k — 60} = {11}/{2} + {150}/{30 — k}$.
Число $A$ будет наибольшим, если наибольшим будет значение аргумента $k$. Оценим это значение. Каждое из первоначально написанных на доске чисел было не более $50$, в конце на доске осталось $30 — k$ чисел, поэтому для суммы оставшихся чисел $S = 630 — 11k$ должно выполняться неравенство $630 — 11k ≤ 50(30 — k)$.
$39k ≤ 870, k ≤ {870}/{39} = 22{12}/{39}, k ∈ N , k ≤ 22$.
Тогда $A ≤ {11}/{2} + {150}/{30 — 22} = 24{1}/{4}$.
Приведём пример, показывающий, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел действительно могло стать равным $24{1}/{4}$. Пусть первоначально на доске было записано 22 числа, равных 11, 7 чисел, равных 50 и 1 число, равное 38.
Их среднее арифметическое ${22 · 11 + 7 · 50 + 38}/{30} = {242 + 350 + 38}/{30} = 21$.
Среднее арифметическое оставшихся чисел стало равно ${7 · {50}/{2} + {38}/{2}}/{8} = {388}/{16} = 24.25$.
Ответ: а)да; б)нет; в)24.25
Задача 4
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно $936$ и а) три; б) четыре; в) пять из них образуют геометрическую прогрессию?
Решение
Разложим число $936$ на простые множители (это может быть сделано единственным образом с точностью до порядка множителей). $936 = 2^3 · 3^2 · 13$.
а) Можно, например, $1, 2, 4, 9, 13$.
б) Предположим, что четыре из пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно $936$, составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Введём обозначения: $b_1 , b_2 = b_1 · q, b_3 = b_1 · q^2, b_4 = b_1 · q^3$, пятое число обозначим $b_5$.
Тогда $q = {b_2}/{b_1}$, причём $q$ — рациональное число, большее единицы. То гда $q = {m}/{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные взаимно простые числа, $m > n ≥ 1$.
Получим:
$936 = b_1 · b_2 · b_3 · b_4 · b_5 = b_1^4 · q^6 · b_5 = b_1^4 · ({m}/{n})^6 · b_5 = b_1^4 · {m^6}/{n^6} · b_5$.
Так как $m$ и $n$ — взаимно просты, то и $m^6$ и $n^6$ взаимно просты. Следовательно, всё произведение $b_1 · b_2 · b_3 · b_4 · b_5$ делится на $m^6$, это означает, что в разложении числа $936$ есть простой множитель в 6-ой степени, получили противоречие. Значит, нельзя.
в) Предположим, что пять различных натуральных чисел, произведение которых равно $936$, составляют геометрическую прогрессию, как и в пункте б) введём обозначения: $b_1, b_2 = b_1 · q, b_3 = b_1 · q^2 , b_4 = b_1 · q^3 , b_5 = b_1 · q^4$. Тогда $q = {b_2}/{b_1}$, причём $q$ — рациональное число, большее единицы.
Тогда $q = {m}/{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные взаимно простые числа, $m > n ≥ 1$.
Получим:
$936 = b_1 · b_2 · b_3 · b_4 · b_5 = b_1^5 · q^{10} = b_1^5 · ({m}/{n})^{10} = b_1^5 · {m^{10}}/{n^{10}}$.
Так как $m$ и $n$ — взаимно просты, то и $m^{10}$ и $n^{10}$ взаимно просты. Следовательно, $b_1^5$ делится на $n^{10}$, а всё произведение $b_1 ·b_2 ·b_3 ·b_4 ·b_5$ делится на $m^{10}$, это означает, что в разложении числа $936$ есть простой множитель в 10-ой степени, получили противоречие. Значит, нельзя.
Ответ: а)да; б)нет; в)нет
Задача 5
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 4725 и а) три; б) четыре; в) пять из них образуют геометрическую прогрессию?
Решение
Разложим число $4725$ на простые множители (это может быть сделано единственным образом с точностью до порядка множителей). $4725 = 3^3 · 5^2 · 7$.
а) Можно, например, $1, 3, 9, 25, 7$.
б) Предположим, что четыре из пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно $4725$, составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Введём обозначения: $b_1 , b_2 = b_1 · q, b_3 = b_1 · q^2, b_4 = b_1 · q^3$, пятое число обозначим $b_5$.
Тогда $q = {b_2}/{b_1}$, причём $q$ — рациональное число, большее единицы. То гда $q = {m}/{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные взаимно простые числа, $m > n ≥ 1$.
Получим:
$4725 = b_1 · b_2 · b_3 · b_4 · b_5 = b_1^4 · q^6 · b_5 = b_1^4 · ({m}/{n})^6 · b_5 = b_1^4 · {m^6}/{n^6} · b_5$.
Так как $m$ и $n$ — взаимно просты, то и $m^6$ и $n^6$ взаимно просты. Следовательно, всё произведение $b_1 · b_2 · b_3 · b_4 · b_5$ делится на $m^6$, это означает, что в разложении числа $4725$ есть простой множитель в 6-ой степени, получили противоречие. Значит, нельзя.
в) Предположим, что пять различных натуральных чисел, произведение которых равно $4725$, составляют геометрическую прогрессию, как и в пункте б) введём обозначения: $b_1, b_2 = b_1 · q, b_3 = b_1 · q^2 , b_4 = b_1 · q^3 , b_5 = b_1 · q^4$. Тогда $q = {b_2}/{b_1}$, причём $q$ — рациональное число, большее единицы.
Тогда $q = {m}/{n}$, где $m$ и $n$ — натуральные взаимно простые числа, $m > n ≥ 1$.
Получим:
$4725 = b_1 · b_2 · b_3 · b_4 · b_5 = b_1^5 · q^{10} = b_1^5 · ({m}/{n})^{10} = b_1^5 · {m^{10}}/{n^{10}}$.
Так как $m$ и $n$ — взаимно просты, то и $m^{10}$ и $n^{10}$ взаимно просты. Следовательно, $b_1^5$ делится на $n^{10}$, а всё произведение $b_1 ·b_2 ·b_3 ·b_4 ·b_5$ делится на $m^{10}$, это означает, что в разложении числа $4725$ есть простой множитель в 10-ой степени, получили противоречие. Значит, нельзя.
Ответ: а)да; б)нет; в)нет
Задача 6
На доске написано несколько натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $50$ и меньше $140$. а) Может ли на доске быть $6$ чисел? б) Может ли на доске быть $7$ чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Решение
а) Да. Например, на доске может быть написано шесть чисел 7, 8, 9, 10, 11, 12.
б) Заметим, что среди написанных чисел только одно число может быть больше 11, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, больших 11, больше 140. Аналогично среди написанных чисел только одно число может быть меньше 8, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, меньших 8, меньше 50. Таким образом, помимо наименьшего и наибольшего чисел, на доске могут быть написаны только числа 8, 9, 10, 11. Следовательно, на доске не может быть более шести чисел.
в) Пусть на доске написаны числа $a_1 , a_2 , a_3 , a_4$ , причём $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$. Тогда для выполнения условий задачи достаточно, чтобы выполнялись неравенства $a_1 · a_2 > 50, a_3 · a_4 < 140$.
В пункте «б» было доказано $8 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ 11$. Рассмотрим возможные случаи.
1. Если $a_2 = 8, a_3 = 9$, то $8a_1 > 50, 9a_4 < 140$, получаем $a_1 = 7, 10 ≤ a_4 ≤ 15$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 7, a_4 = 15, 7 + 8 + 9 + 15 = 39$.
2. Если $a_2 = 9, a_3 = 10$, то $9a_1 > 50, 10a_4 < 140$, получаем $6 ≤ a_1 ≤ 8, 11 ≤ a_4 ≤ 13$. В этом случае, наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 8, a_4 = 13, 8 + 9 + 10 + 13 = 40$.
3. Если $a_2 = 10, a_3 = 11$, то $10a_1 > 50, 11a_4 < 140$, получаем $6 ≤ a_1 ≤ 9, a_4 ≤ 12$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 9$ и $a_4 = 12, 9 + 10 + 11 + 12 = 42$.
4. Если $a_2 = 8, a_3 = 10$, то $8a_1 > 50, 10a_4 < 140$, получаем $a_1 = 7, 11 ≤ a_4 ≤ 13$. В этом случае, наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 7, a_4 = 13, 7 + 8 + 10 + 13 = 38$.
5. Если $a_2 = 8, a_3 = 11$, то $8a_1 > 50 a_4 = 12$, получаем $a_1 = 7, a_4 = 12$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы $7+8+11+12 = 38$.
6. Если $a_2 = 9, a_3 = 11$, то $9a_1 > 50, a_4 = 12$, получаем $6 ≤ a_1 ≤ 8, a_4 = 12$.
В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при $a_1 = 8, a_4 = 12, 8 + 9 + 11 + 12 = 40$.
Таким образом, наибольшее значение суммы равно $42$.
Ответ: а)да, б)нет, в)42
Задача 7
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $30$ и меньше $80$. а) Может ли на доске быть $4$ числа? б) Может ли на доске быть $5$ чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их три?
Решение
а) Да, например, на доске может быть написано 6, 7, 8, 9.
б) Заметим, что среди написанных чисел только одно число может быть больше 8, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, больших 8, больше 80. Аналогично, среди написанных чисел только одно число может быть меньше 7, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, меньших 7, не больше 30. Таким образом, помимо наибольшего и наименьшего чисел, на доске могут быть написаны только числа 7 или 8. Следовательно, на доске не может быть более четырёх чисел.
в) Пусть на доске написаны числа $a_1 , a_2 , a_3$, причём $a_1 < a_2 < a_3$. Тогда для выполнения условий задачи достаточно, чтобы выполнялись неравенства $a_1 · a_2 > 30, a_2 · a_3 < 80$.
В пункте «б» было доказано, что $a_2 = 7$ или $a_2 = 8$.
Разберём возможные случаи. Если $a_2 = 7$, то $7a_1 > 30, 7a_3 < 80$, откуда $a_1 = 5$ или $a_1 = 6, 8 ≤ a_3 ≤ 11$. В этом случае наибольшее значение достигается при $a_1 = 6, a_3 = 11$, равно $6 + 7 + 11 = 24$.
Если $a_2 = 8$, то $8a_1 > 30, 8a_3 < 80$, откуда $4 ≤ a_1 ≤ 7, a_3 = 9$.
В этом случае наибольшее значение при $a_1 = 7$ равно $7 + 8 + 9 = 24$.
Таким образом наибольшее значение суммы равно $24$.
Ответ: а)да, б)нет, в)24
Задача 8
Множество чисел назовём особенным, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел. а) Является ли множество ${750; 751; … , 949}$ особенным? б) Является ли множество ${9^2; 9^3; … . 9^{2018}}$ особенным? в) Сколько особенных четырёхэлементных подмножеств у множества ${2; 3; 6; 7; 15; 19; 25; 28}$?
Решение
а) Разобьём множество {750; 751; . . . ; 949} на 100 пар, сумма чисел в каждой из которых равна 1699: (750; 949), (751; 948), . . .
Множество {750; 751; . . . ; 949} можно разбить на два подмножества, в каждом из которых 50 таких пар. Значит, суммы чисел в этих двух подмножествах одинаковы и множество {750; 751; . . . ; 949} является особенным.
б) Заметим, что $9^{2018} > {9^{2018}− 81}/{8} = 9^2 + 9^3 + . . . + 9^{2017}$. Поэтому сумма чисел в подмножестве, содержащем $9^{2018}$, всегда больше суммы остальных чисел, следовательно, множество {$9^2; 9^3; . . . 9^{2018}$} не является особенным.
в) Заметим, что четырёхэлементное множество является особенным в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары с равными суммами. В первом случае возможны только следующие подмножества {2; 7; 19; 28}; {3; 6; 19; 28}; {6; 7; 15; 28}; {3; 7; 15; 25}; {2; 6; 7; 15}
Заметим, что сумма всех чисел особенного подмножества чётна. В исходном множестве три чётных числа, поэтому в особенное подмножество входят либо два из них, либо ни одного. Если входят числа 2 и 6, то либо сумма двух других чисел равна 8, либо их разность равна 4. Получаем особенные подмножества {2; 3; 6; 7}; {2; 6; 15; 19}. Если входят числа 2 и 28, то либо сумма двух других чисел равна 30, либо их разность равна 26. Таких подмножеств нет. Если входят числа 6 и 28, то либо сумма двух других чисел равна 34, либо их разность равна 22. Получаем особенные подмножества {3; 6; 25; 28}; {6; 15; 19; 28}. Если в особенном подмножестве нет чётных чисел, то особенное подмножество лежит во множестве {3; 7; 15; 19; 25}. Получаем следующее особенное подмножество (две пары с равными суммами): {3; 7; 15; 19}. Всего 10 особенных подмножеств.
Ответ: а)да; б)нет; в)10
Задача 9
Коля берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала находит среднее геометрическое первых двух чисел, затем — среднее геометрическое третьего числа и полученного результата, после — среднее геометрическое четвёртого числа и полученного результата, а затем — среднее геометрическое пятого числа и полученного результата. Полученный результат он обозначает через $K$. Затем Коля считает среднее геометрическое исходных чисел — число $P$. а) Возможно ли, что $K=P^5$? б) Возможно ли, что $K=P$? в) Для какого наибольшего целого числа $m$ возможно, что $K>P^m$?
Решение
а) Пусть Коля задумал различные натуральные числа $a, b, c d, e$. Тогда $K =√{e√{d√{c√{ab}}}} = a^{{1}/{16}}b^{{1}/{16}}c^{{1}/{8}}d^{{1}/{4}}e^{{1}/{2}}, P = √^5{abcde} = (abcde)^{{1}/{5}}$. Если $K = P^5$, то $a^{{1}/{16}}b^{{1}/{16}}c^{{1}/{8}}d^{{1}/{4}}e^{{1}/{2}} = abcde$, иными словами, $abc^2d^4e^8 = a^{16}b^{16}c^{16}d^{16}e^{16}$, отсюда $a^{15}b^{15}c^{14}d^{12}e^8 = 1$, что невозможно, так как числа $a, b, c d$ и $e$ — различные натуральные и среди них хотя бы 4 больше 1, а тогда $a^{15}b^{15}c^{14}d^{12}e^8 > 1$ и равенство $K = P^5$ невозможно.
б) Предположим, что $K = P$, тогда $a^{{1}/{16}}b^{{1}/{16}}c^{{1}/{8}}d^{{1}/{4}}e^{{1}/{2}} = (abcde)^{{1}/{5}}$, отсюда $a^5b^5c^{10}d^{20}e^{40} = (abcde)^{16}; d^4e^{24} = a^{11}b^{11}c^6$. Покажем, что это равенство может быть выполнено. Подберём пример, считая числа $a, b, c, d$ и $e$ различными степенями одного и того же числа, например 2. Пусть $a = 2^2, b = 2^4, c = 2^3, d = 2^{15}, e = 2$, требуемое достигается.
в) Пусть $K > P^m$, тогда $a^{{1}/{16}}b^{{1}/{16}}c^{{1}/{8}}d^{{1}/{4}}e^{{1}/{2}} > (abcde)^{{m}/{5}}; a^5b^5c^{10}d^{20}e^{40} > (abcde)^{16m}$ тогда $a^{(16m-5)}b^{(16m-5)}c^{(16m-10)}d^{(16m-20)}e^{(16m-40)} < 1$.
Это неравенство невозможно при $m ≥ 3$, так как при $m ≥ 3$ степени чисел $a, b, c, d$ и $e$ больше 1, а тогда и их произведение больше 1.
Приведём пример для $m = 2$. Тогда должно выполняться $a^{27}b^{27}c^{22}d^{12} < e^8$. Пусть $a = 2; b = 2^2, c = 2^3, d = 2^4, e = 2^{30}$, неравенство выполняется.
Ответ:
Задача 10
Маша задумала $6$ различных натуральных чисел и проделывает с ними такую операцию: сначала находит среднее арифметическое первых двух чисел, затем — среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, после — среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, затем — среднее арифметическое полученного числа и пятого числа, и наконец — среднее арифметическое полученного результата и шестого числа. Полученный результат она обозначает через $M$. Далее Маша находит число $A$ — среднее арифметическое исходных чисел.
а) Возможно ли, что $A=M$?
б) Возможно ли, что $M=6A$?
в) Найдите наибольшее натуральное значение $n$, для которого возможно, что $M=nA$.
Решение
а) Пусть Маша задумала числа $a, b, c, d, e$ и $f$. Тогда $M = {a + b + 2c + 4d + 8e + 16f}/{32}; A = {a + b + c + d + e + f}/{6}$.
$M = A$, тогда и только тогда, когда $3a + 3b + 6c + 12d + 24e + 48f = 16a + 16b + 16c + 16d + 16e + 16f; 8e + 32f = 13(a + b) + 10c + 4d$.
Пусть $a = 1, b = 3, c = 6, d = 4, e = 8, f = 2$. При этих значениях требуемое равенство выполнено.
б) Предположим, что $M = 6A$. Тогда ${a + b + 2c + 4d + 8e + 16f}/{32} = a + b + c + d + e + f, 31a + 31b + 30c + 28d + 24e + 16f = 0$.
Это равенство невозможно, так как $a, b, c, d, e$ и $f$ — натуральные числа.
в) Пусть $M = nA$, тогда $3a + 3b + 6c + 12d + 24e + 48f = 16n(a + b + c + d + e + f)$,
$(16n — 3)a + (16n — 3)b + (16n — 6)c + (16n — 12)d + (16n — 24)e +(16n — 48)f = 0$.
При $n ≥ 3$ это равенство невозможно, так как $a, b, c, d, e$ и $f$ — натуральные числа.
Приведём пример для $n = 2$. Тогда должно выполняться равенство $29(a + b) + 26c + 20d + 8e = 16f$.
Пусть $a = 1, b = 3, c = 2, d = 4, e = 5, f = 18$. При этих значениях равенство выполняется.
Ответ: а)да; б)нет; в)2
Задача 11
На окружности в случайном порядке были расположены натуральные числа от $1$ до $13$. Над каждой парой соседних чисел написали модуль их разности, после чего исходные числа стёрли.
а) Могла ли сумма оставшихся чисел равняться $30$?
б) Могла ли сумма оставшихся чисел равняться $14$?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы оставшихся чисел.
Решение
а) Да, могла. Пусть числа записаны в следующем порядке (считая по часовой стрелке): $1; 2; 5; 3; 4; 6; 7; 8; 13; 12; 11; 9; 10$. Сумма модулей рассматриваемых разностей равна 30.
б) Нет, не могла. Предположим противное. Модуль каждой разности — натуральное число, причём всего выписано 13 модулей разности. Их сумма равна 14, если одна из этих разностей равна 2, а 12 других равна 1. Это означает, что соседними с числом 1 могут быть только числа 2 и 3, при этом |3 — 1| = 2, то есть оставшиеся модули разностей должны равняться 1. Но тогда числа 2 и 3 не могут быть соседними. Значит вторым соседним числом с числом 2 будет число a ≥ 4. Но тогда |a-2| ≥ 2.Изначит, сумма всех модулей разности не меньше, чем |3-1|+|a-2|+11 ≥ 15. Получили противоречие. Следовательно, требуемое не возможно.
в) Пусть изначально на доске были выписаны числа в следующем порядке по часовой стрелке: $a_1, a_2, . . . , a_13$, где каждое $a_k$ — одно из натуральных чисел от 1 до 13. Заметим, что $|a_1 — a_2| + |a_2 — a_3| + |a_3 — a_4| + … + |a_12 — a_13| + |a_13 — a_1| = (x_1+x_2+x_3+…+x_13)-(y_1+y_2+y_3+… y_13)$. Каждый модуль $|a_i-a_{i+1}|$ (i = 1, 2, . . . 13) представлен в виде $x_i -y_i$, где $x_i$ — большее из чисел $a_i$ и $a_{i+1}$, $y_i$ — меньшее из них. Аналогично, $|a_{13} -a_1| = x_{13} -y_{13}$. Каждое $a_k$ встречается среди чисел $x_1, x_2, . . . , x_{13}, y_1, y_2, . . . , y_{13}$ ровно 2 раза. Тогда $x_1+x_2+x_3+…+x_{13} ≤ 2·13+2·12+2·11+2·10+2·9+2·8+7 = 133$, а $y_1+y_2+y_3+…+y_{13} ≥ 2·1+2·2+2·3+2·4+2·5+2·6+7 = 49$. Отсюда $(x_1 + x_2 + x_3 + … + x_{13}) — (y_1 + y_2 + y_3 + … + y_{13}) ≤ 133 — 49 = 84$, то есть сумма записанных модулей разностей не превышает 84. Приведём пример, в котором указанная сумма равна 84. Пусть на доске изначально числа в следующем порядке (по часовой стрелке): $1; 13; 2; 12; 3; 11; 4; 10; 5; 9; 6; 8; 7.$
Тогда $|1-13|+|13-2|+|2-12|+|12-3|+|3-11|+|11-4|+|4-10|+ +|10 — 5| + |5 — 9| + |9 — 6| + |6 — 8| + |8 — 7| + |7 — 1| = 84$.
Ответ: а)да; б)нет; в)84
Задача 12
На окружности в случайном порядке были расположены натуральные числа от $1$ до $16$. Над каждой парой соседних чисел написали модуль их разности, после чего исходные числа стёрли и посчитали сумму $s$ оставшихся модулей разностей. а) Могло ли оказаться, что $s=40$? б) Могло ли оказаться, что $s=41$? в) Найдите максимально возможное значение $s$.
Решение
а) Да, могло. Приведём пример. Пусть по часовой стрелке числа записаны в следующем порядке: $1$; $2$; $3$; $4$; $5$; $6$; $7$; $8$; $9$; $10$; $16$; $11$; $15$; $13$; $14$; $12$. Сумма модулей указанных разностей равна $40$. б) Нет, не могло. Пусть изначально на доске в порядке следования по часовой стрелке записаны числа $a_1$, $a_2$, $a_3$, … , $a_{16}$ — переставленные натуральные числа от $1$ до $16$. Заметим, что для произвольных натуральных чисел $m$ и $n$ числа $m-n$ и $n-m$ имеют одинаковую чётность, а значит $|m-n|$ имеет ту же чётность, что $m-n$. Но тогда сумма $|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_4|+ … +|a_{15}-a_{16}|+|a_{16}-a_1|$ будет
нечётной только в том случае, если сумма
$(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4)+ … +(a_{15}-a_{16})+(a_{16}-a_1)$ будет нечётной, но последняя сумма равна $0$, следовательно, чётна. Отсюда сумма $|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_4|+ … +|a_{15}-a_{16}|+|a_{16}-a_1|$ чётна и не может равняться $41$. в) Заметим, что $|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_4|+ … +|a_{15}-a_{16}|+|a_{16}-a_1|=$
$=(x_1+x_2+x_3+… +x_{16})-(y_1+y_2+y_3+… y_{16})$. Каждый модуль $|a_i-a_{i+1}|$ ($i=1, 2, … 15$) представлен в виде, $x_i-y_i$, где $x_1$ — большее из чисел $a_i$ и $a_{i+1}$, $y_i$ — меньшее из них. Аналогично $|a_{16}-a_1|=x_{16}-y_{16}$. Причём каждое $a_k$ встречается среди чисел $x_1$, $x_2$, …, $x_{16}$, $y_1$, $y_2$, …, $y_{16}$ ровно $2$ раза. Тогда $x_1+x_2+x_3+… +x_{16}⩽ 16+16+15+15+… +9+9=200$, а $y_1+y_2+y_3+… +y_{16}⩾ 1+1+2+2+… +8+8=72$. Отсюда $(x_1+x_2+x_3+… +x_{16})-(y_1+y_2+y_3+… +y_{16})⩽200-72=128$, то есть сумма записанных модулей разностей не превышает $128$. Приведём пример, в котором указанная сумма равна $128$. Пусть на доске изначально числа в следующем порядке (по часовой стрелке): $1$; $16$; $2$; $15$; $3$; $14$; $4$; $13$; $5$; $12$; $6$; $11$; $7$; $10$; $8$; $9$. Тогда $|1-16|+|16-2|+|2-15|+|15-3|+|3-14|+|14-4|+|4-13|+$
$+|13-5|+|5-12|+|12-6|+|6-11|+|11-7|+|7-10|+|10-8|+|8-9|+$
$+|9-1|=128$.
Ответ: а)да; б)нет; в)128
Задача 13
Два мастера на протяжении некоторого числа дней изготавливали одинаковые детали. Сергей Петрович в первый день изготовил $s$ деталей, а Пётр Сергеевич — $p$ деталей, $s$ и $p$ — натуральные числа. Каждый последующий день каждый из мастеров изготавливал на $10$ деталей больше, чем в предыдущий. Всего за эти дни Сергей Петрович изготовил на $2261$ деталь больше, чем Пётр Сергеевич. а) Могло ли это быть за $20$ дней? б) Могло ли это быть за $19$ дней, если Сергей Петрович за все дни изготовил не более $3000$ деталей? в) Какое наибольшее количество деталей мог изготовить Сергей Петрович, если Пётр Сергеевич в последний день изготовил менее $300$ деталей?
Решение
а) Каждый день Сергей Петрович изготавливает на (s — p) деталей больше, чем Пётр Сергеевич. Тогда за 20 дней Сергей Петрович изготовил на 20(s — p) деталей больше. Должно выполняться равенство 20(s-p) = 2261, но 2261 нацело не делится на 20. Следовательно, требуемое невозможно.
б) Если Сергей Петрович изготовил не более 3000 деталей, то Пётр Сергеевич не более 739 деталей. За 19 дней Сергей Петрович изготовил бы не менее, чем ${2 + 192}/{2}·19 = 1843$ деталей. Значит, требуемое не возможно.
в) Пусть рабочие делали детали в течение n дней, тогда $n(s — p) = 2261 = 7·17·19$. При этом в последний день Пётр Сергеевич изготовил p + 10(n — 1) деталей, p + 10(n — 1) < 300, 10(n — 1) < 300, n ≤ 60. Значит, n натуральный делитель числа 2261, не превосходящий 60. Таким образом n = 1, n = 7, n = 17 или n = 19. Пусть Пётр Сергеевич за все дни изготовил R деталей, тогда Сергей Петрович (R + 2261). Следовательно, наибольшее возможное количество деталей, изготовленных Сергеем Петровичем, будет при наибольшем количестве деталей, изготовленных Петром Сергеевичем. $R = {2p + 10(n — 1)}/{2}·n$ При каждом фиксированном значении n значение R тем больше, чем больше p, то есть R — наибольшее при p = 309 — 10n и $R = {608 — 10n}/{2}·n = 304n — 5n^2 = (304 — 5n)·n$. При n = 1 R = 299. При n = 7 R = 1883. При n = 17 R = 3723. При n = 19 R = 3971.
Наибольшее число деталей, изготовленных Сергеем Петровичем, равно 3971 + 2261 = 6232.
Ответ: а)нет; б)нет; в)6232
Задача 14
Две девочки делают фотографии во время туристической поездки. В первый день Катя сделала $k$ фотографий, а Маша — $m$ ($k⩾1$, $m⩾1$). Каждый последующий день каждая из девочек делает на $1$ фотографию больше, чем в предыдущий. Всего за время поездки Маша сделала на $715$ фотографий больше, чем Катя. а) Могло ли это произойти за $5$ дней? б) Могла ли Катя за $11$ дней сделать $1000$ фотографий? в) Определите максимальное количество фотографий, которое могла сделать Маша за все эти дни, если Катя в последний день поездки сделала меньше $35$ фотографий.
Решение
а) Да, возможно. Маша с первого по 5 день сделала бы в сумме m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3) + (m + 4) фотографии, а Катя k + (k + 1) + (k + 2) + (k + 3) + (k + 4) фотографий. Тогда (m+4)+(m+3)+(m+2)+(m+1)+m-(k+4)-(k+3)-(k+2)-(k+1)-k = = 5(m — k). Значит, должно выполняться равенство 5(m — k) = 715, m- k = 143. Пусть Катя в первый день сделала одну фотографию, а Маша 144. Тогда за 5 дней Маша сделает на 715 фотографий больше.
б) Нет, не может. Предположим, что это возможно. Тогда m+ (m+1)+ …+ (m+ 10) = 1000; 11m = 1000-55, но (1000- 55) не делится нацело на 11, значит получили противоречие.
в) Пусть девочки делали фотографии в течение n дней. Тогда Маша сделала на m + (m+ 1) + (m+ 2) + … (m + n — 1) — k — (k + 1) — … …-(k+n-1) = n(m-k) фотографий больше. Значит, n(m-k) = 715, n делитель числа 715. Но 715 = 5·11·13, все его натуральные делители это числа 1, 5, 11, 13, 55, 65, 143, 715. В последний день Катя сделала k + (n — 1) фотографий, k + (n — 1) < 35, но k ≥ 1, следовательно (n — 1) < 34, n < 35. Тогда n = 1, n = 5, n = 11 или 13. Так как за все дни Маша сделала на 715 фотографий больше, чем Катя, то большее количество фотографий, сделанных Машей, будет при наибольшем количестве фотографий, сделанных Катей. За n дней Катя сделала s = k + (k + 1) + … + (k + (n — 1)) = ${2k + n — 1}/{2}·n$ фотографий. При каждом фиксированном n это количество тем больше, чем больше k, но k + (n — 1) < 35, то есть k + n < 36, k < 36 — n. При n = 1 наибольшее k = 34 и s = ${2·34}/{2}$ = 34. При n = 5 наибольшее k = 30 и s = ${2·30 + 4}/{2}·5$ = 160. При n = 11 наибольшее k = 24 и s = ${2·24 + 10}/{2}·11$ = 319. При n = 13 наибольшее k = 22 и s = ${2·22 + 12}/{2}·13$ = 364. Тогда наибольшее количество Машиных фотографий равно 364 + 715 = 1079.
Ответ: а)да; б)нет; в)1079
Задача 15
Для $20$ студентов профессор подготовил две контрольные работы. Любой студент может написать только одну из них или обе. За каждую контрольную работу можно получить от $0$ до $30$ баллов. Средний балл за каждую из контрольных работ равен $24$. Каждый студент называет наивысший из полученных им баллов профессору. Если студент написал одну работу, то он называет балл за неё. а) Может ли среднее арифметическое всех поданных баллов быть меньше $24$? б) Может ли среднее арифметическое равняться $21$, если обе конт-
рольные написали только $2$ студента? в) Какое наименьшее количество студентов должно было написать обе контрольные, чтобы среднее арифметическое названных баллов равнялось $21$?
Решение
а) Пусть два человека написали обе контрольные, за каждую из них набрав по 30 баллов. И пусть 9 человек написали только первую контрольную (двое на — 18 баллов и семеро на — 24 балла). Аналогично, пусть только вторую контрольную написали 9 оставшихся студентов (двое на — 18 баллов и семеро на — 24 балла). Тогда средний балл за каждую контрольную равен ${30·2 + 18·2 + 7·24}/{11} = 24$. Среднее арифметическое названных баллов равно ${30·2 + 18·4 + 24·14}/{20} = 23.4 < 24$.
б) Нет, не может. Предположим противное. Тогда сумма названных баллов равна $21·20 = 420$. Всего написанных контрольных 22 и сумма набранных за них баллов равна $22·24 = 528$. При этом, 528 — 420 = 108, то есть 108 баллов из заработанных не были поданы профессору. Эти 108 баллов могли быть заработаны только двумя студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из них не назвал баллы за 1 контрольную, то есть не более 30 баллов. В сумме количество баллов, не поданных профессору, не превышает $2·30 = 60$. Но $108 > 60$, поэтому наше предположение не верно.
в) Пусть k студентов написали обе контрольные, тогда всего было написано (20 + k) работ и общее количество заработанных баллов равно 24(20 + k) = 480 + 24k. Сумма баллов, названных профессору, равна $21·20 = 420$. Тогда не поданными остались (480+ 24k — 420) = 60 + 24k баллов. Эти баллы могли быть получены только теми студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из этих студентов оставил не поданными не более 30 баллов (30 — максимальный балл за одну контрольную). Следовательно, всего осталось не поданными не более 30k баллов. Получим неравенство $60 + 24k ≤ 30k$, отсюда $k ≥ 10$.
Приведём пример для k = 10. Пусть 10 студентов написали обе контрольные на 30 баллов, 5 — только первую контрольную (каждый на 12 баллов), 5 — только вторую контрольную (каждый на 12 баллов). Тогда среднее арифметическое названных баллов равно ${30·10 + 12·10}/{20} = 21$.
Средний балл за каждую контрольную равен ${30·10 + 5·12}/{15} = 24$.
Ответ: а)да; б)нет; в)10
Задача 16
Для $52$ студентов профессор подготовил две контрольные работы. Любой студент может написать только одну из них или обе. За каждую контрольную работу можно получить от $0$ до $30$ баллов. Средний балл за каждую из контрольных работ равен $17$. Каждый студент называет наивысший из полученных им баллов профессору. Если студент написал одну работу, то он называет балл за неё.
а) Может ли среднее арифметическое всех названных баллов быть больше $17$?
б) Может ли среднее арифметическое равняться $13$, если обе контрольные написали ровно четыре студента?
в) Какое наименьшее количество студентов должно было написать обе контрольные, чтобы среднее арифметическое названных баллов могло равняться $13$?
Решение
а) Пусть два студента написали обе контрольные на $4$ балла, $25$ студентов написали только первую контрольную (двое — на $30$ баллов, $23$ — на $17$ баллов), $25$ студентов написали только вторую контрольную (двое — на $30$ баллов, $23$ — на $17$ баллов). Тогда средний балл за каждую контрольную равен ${2⋅ 4+2⋅ 30+23⋅17} / {27}=17$, а средний балл среди названных равен ${2⋅ 4+4⋅ 30+46⋅17} / {52}=17{,}5>17$.
б) Нет, не может. Предположим противное. Тогда сумма названных баллов равна $13⋅ 52=676$. Всего написанных контрольных $56$ и сумма набранных за них баллов равна $56⋅ 17=952$. При этом $952-676=276$, то есть $276$ баллов из числа заработанных не было подано профессору. Эти $276$ баллов могли быть заработаны только теми $4$ студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из них не назвал балл за $1$ контрольную, то есть не более $30$ баллов. В сумме количество баллов, не поданных профессору, не превышает $4⋅ 30=120$. Но $120<276$, поэтому наше предположение не верно.
в) Пусть $n$ студентов написали обе контрольные, тогда всего было написано $(52+n)$ работ и общее количество заработанных баллов равно $17(52+n)=884+17n$. Сумма баллов, поданных профессору, равна $52⋅ 13=676$. Тогда не поданными остались $(884+17n)-676$ баллов, то есть $208+17n$ баллов. Эти баллы могли быть получены только теми студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из этих студентов оставил не поданными не более $30$ баллов. Следовательно, всего остались не поданными не более $30n$ баллов. Получим неравенство $208+17n⩽30n$, $n⩾16$. Приведём пример для $n=16$. Пусть $16$ студентов написали обе контрольные на $30$ баллов, $18$ — только первую контрольную ($3$ — на $30$ баллов, $1$ — на $8$, остальные на $0$) и $18$ написали только вторую контрольную с теми же результатами.
Ответ: а)да; б)нет; в)16
Задача 17
На доске написаны $40$ натуральных чисел. Какие-то из них белые, а какие-то — зелёные. Белые числа кратны $9$, зелёные кратны $4$. Все белые числа отличаются друг от друга, все зелёные тоже отличаются друг от друга, среди чисел разных цветов могут быть одинаковые. а) Может ли сумма всех написанных чисел быть меньше $3280$, если все они зелёные? б) Может ли сумма всех чисел равняться $2453$, если только $1$ число белое? в) Найдите наименьшее количество белых чисел, если сумма всех чисел равна $2453$.
Решение
а) Нет, не может. Наименьшая сумма $40$ различных натуральных чисел, кратных $4$, равна $4·1+ 4·2+ . . .+ 4·40=4(1 + 2 + … + 40) = {4·41·40}/{2}= 3280$.
б) Нет, не может. Сумма $17$ чисел, оканчивающихся на $7$, не меньше, чем $7 + 17 + … + 167 = {7 + 167}/{2}·17 = 1479$. Значит, при $17$ числах с последней цифрой $7$ сумма всех выписанных чисел больше $840$.
б) Нет, не может. Если только $1$ число белое, то остальные $39$ чисел — зелёные и их сумма не меньше чем $4·1 + 4·2 + … + 4·39 = 4(1 + 2 + … 39) = 4·{40·39}/{2} = 3120$, а сумма всех чисел не меньше, чем $3120 + 9 = 3129$.
в) Пусть $m$ — количество белых чисел, тогда зелёных чисел выписано $(40 — m)$. Сумма всех выписанных чисел не меньше, чем $9(1+2+…+m)+4(1+2+…+40-m) = 9·{(m+ 1)m}/{2} +4·{(41 -m)(40 -m)}/{2}$. Должно выполняться неравенство ${9(m+ 1)m}/{2} + {4(41-m)(40 -m)}/{2} ≤ 2453, 13m^2 — 315m + 1654 ≤ 0$. Перебирая натуральные значения $m$, получаем, что наименьшее значение $m$, для которого выполнено это неравенство, равно $8$. Действительно, при $m ≤ 5, 315m < 1654$, следовательно, $13m^2 — 315m + 1654 > 0$. При $m = 6, 13m^2 > 360, 13m^2 + 1654 > 2000, 315m < 2000$. Аналогично, при $m = 7$ выполняется $13m^2-315m+1654 > 0$. При $m = 8$ выполняется $13m^2-315m+1654 < 0$. Построим пример для $m = 8$. Наименьшее значение суммы в этом случае равно $9·{9·8}/{2} +4·{33·32}/{2} = 2436$, что на $17$ меньше требуемой суммы.
Учитывая, что $17 = 9 + 4 + 4$, построим один из возможных примеров. Выписаны белые числа $9·1, 9·2, . . . , 9·6, 9·7$ и $9·9$ и зелёные числа $4·1, 4·2, . . . , 4·30, 4·31$ и $4·34$.
Ответ: а)нет; б)нет; в)8
Задача 18
На доске написано $30$ различных натуральных чисел, каждое из которых или оканчивается на $7$, или чётное. Сумма всех чисел равна $840$. а) Может ли на доске быть выписано ровно $28$ чётных чисел? б) Может ли быть на доске ровно $17$ чисел, оканчивающихся на $7$? в) Найдите наибольшее возможное количество чисел, оканчивающихся на $7$, среди выписанных.
Решение
а) Да, может. Пусть выписаны $2$ числа, оканчивающиеся на $7: 7, 17$ и $28$ чётных чисел: $2, 2·2, 2·3, 2·4, . . . 2·26, 2·27$, а так же число $60$.
б) Нет, не может. Сумма $17$ чисел, оканчивающихся на $7$, не меньше, чем $7 + 17 + … + 167 = {7 + 167}/{2}·17 = 1479$. Значит, при $17$ числах с последней цифрой $7$ сумма всех выписанных чисел больше $840$.
в) Пусть на доске $n$ чисел, оканчивающихся на $7$. Тогда остальные $(30 — n)$ чисел чётны. Значит, сумма всех выписанных чисел не меньше чем $7 + 17 + … (7 + (n — 1)·10) + 2·1 + 2·2 + … + 2(30 — n) = {14 + (n — 1)10}/{2}·n + {(30 — n)(31 — n)}/{2}·2 = 6n^2 — 59n + 930$.
Должно выполняться неравенство $6n^2 — 59n + 930 ≤ 840$, то есть $6n^2 — 59n + 90 ≤ 0$. Решим уравнение $6n^2 — 59n + 90 = 0$, получим $n_{1,2} = {59±√{1321}}/{12}$. Неравенство $6n^2 — 59n + 90 ≤ 0$ выполнено при ${59 — √{1321}}/{12} ≤ n ≤ {59 + √{1321}}/{12}$.
Тогда $n ≤ {59 + √{1321}}/{12} ≤ {59 + 37}/{12} = 8$. Так как $n$ натуральное число, то $n ≤ 7$. Количество чисел, оканчивающихся на $7$, должно быть чётным, иначе сумма всех выписанных чисел была бы нечетна. Приведём пример для $n = 6$. Пусть выписаны числа $7, 17, 27, 37, 47, 57$, а так же $21, . . . 2·23$ и число $96$.
Ответ: а)да; б)нет; в)6
Задача 19
На доске написано $30$ различных натуральных чисел, каждое из которых или оканчивается на $1$, или чётное. Сумма всех чисел равна $771$. а) Может ли на доске быть выписано ровно $4$ числа, оканчивающихся на $1$? б) Может ли быть выписано ровно $13$ чисел, оканчивающихся на $1$? в) Найдите наименьшее возможное количество чисел, оканчивающихся на $1$, среди выписанных.
Решение
а) Нет, не может. Сумма $4$ чисел, оканчивающихся на $1$, чётна, сумма $26$ чётных чисел — тоже чётна, следовательно, сумма $4$ чисел, оканчивающихся на $1$, и $26$ чётных чисел — чётна и не равна $771$. б) Нет. Если на доске выписаны $13$ разных чисел, оканчивающихся на $1$, то их сумма не меньше чем $1+11+… +111+121={122} / {2}⋅ 13=793>771$. Тогда сумма всех выписанных чисел тем более больше $771$. в) Пусть на доске $n$ чисел, оканчивающихся на $1$, тогда $(30-n)$ чисел — чётные. Следовательно, сумма всех чисел не меньше чем $1+11+…+(1+10(n-1))+2⋅ 1+2⋅ 2+… +2⋅ (30-n)=$ ${1+1+10(n-1)} / {2}⋅ n+{(30-n)(31-n)} / {2}⋅2=6n^2-65n+930$. Должно выполняться неравенство $6n^2-65n+930⩽771$, то есть $6n^2-65n+159⩽0$. Решим уравнение $6n^2-65n+159=0$, $ n_{1,2}={65±√ {409}} / {12}$. Неравенство $6n^2-65n+159⩽0$ выполняется при ${65-√ {409}} / {12}⩽ n⩽{65+√ {409}} / {12}$. Значит, $n⩾{65-√ {409}} / {12}>{65-21} / {12}>3$. Так как $n$ — натуральное число, то $n⩾4$. Но $n$ должно быть нечётным (иначе сумма всех чисел была бы чётной), значит, $n⩾5$. Приведём пример для $n=5$. Пусть выписаны числа $1$, $11$, $21$, $31$, $41$, а также $2⋅1$, $2⋅2$, $2⋅ 3$, … $2⋅ 24$ и число $66$.
Ответ: а)нет; б)нет; в)5
Задача 20
На доске выписаны числа $10$ и $11$. За один ход надо заменить написанные на доске числа $a$ и $b$ числами ($2a+1$) и ($a+b$). Например, из чисел $10$ и $11$ можно получить либо $21$ и $21$, либо числа $21$ и $23$. а) Может ли после нескольких ходов на доске появиться число $95$? б) Может ли после $1003$ ходов на доске появиться число $20018$? в) Укажите наибольшую разность чисел через $2018$ ходов.
Решение
а) Да, может. Пусть после первого хода получены числа 21 и 23, после второго 44 и 47, после третьего 91 и 95.
б) Если числа a и b разной чётности, то числа (2a + 1) и (a + b) нечётные, если числа a и b — одной чётности, то (2a + 1) — нечётно, а (a + b) — чётное. Таким образом, после нечётного числа ходов на доске выписаны два нечётных числа и число 20018 выписано быть не может.
в) Если выписаны числа a и b и a $≤$ b, то их разность b-a и следующим ходом будут выписаны числа 2b + 1 и a + b, их разность (b — a + 1) или числа 2a + 1 и a + b, их неотрицательная разность |b — a — 1|.
Таким образом, разность каждый раз изменяется на 1 и будет наибольшей, если каждый ход будет увеличивается на 1. Тогда её значение 1 + 2018 = 2019.
Ответ: а)да; б)нет; в)2019
Рекомендуемые курсы подготовки
Задание 18 ЕГЭ 2022 математика 11 класс профильный уровень 30 задач с ответами, тема числовые наборы на карточках и числах, практические задачи для тренировки с ответами для подготовки к ЕГЭ 2022. Решаем!
Скачать задачи ЕГЭ 2022 с ответами
1)Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10. б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22? в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.
2)На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных. а) Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел? б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел? в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Ответ: а) Может. Например, числа 1,2,3,5,7,…,2015; б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015; в) 4, например, 1, 2, 3, 2015.
3)На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стѐрли. а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось? б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34? в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Ответ: а) да; б) нет; в) 38 1/7
4)Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10. а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы? б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано? в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Ответ: а) −7, −4, 6; б) 5; в) нет.
5)На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.
6)На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме какихто двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.). а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012? б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63? в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?
Ответ: а) нет; б) да; в) 8 минут.
7)Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
8)Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
9)На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.
10)Из первых 22 натуральных чисел 1,2,…,22 выбрали 2 k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27. а) Может ли получиться так, что сумма всех 2 k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого? б) Может ли число k быть равным 11? в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 10.
11)На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается сумма, округлѐнная до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9, а вместо 3,3 и 5 записывается 8). а) Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел. б) Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7? в) На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?
Ответ: а) например, числа 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01 и любая последовательность ходов; б) нет; в) 5.
12)На проекте «Мисс Чистополь − 2019» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. При этом каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление Ангелины Курбановой все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок. а) Могут ли итоговые баллы, вычисленные по старой и новой системам оценивания, оказаться одинаковыми? б) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, оказаться равной 1 8 ? в) Найдите наибольшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5/6
13)На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71). а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел. б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел? в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Ответ: а) 17 и 16; б) нет; в) 1650.
14)Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2. а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц? б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц? в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.
Ответ: а) да; б) нет.
15)Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
16)На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Ответ: а) да; б) нет; в) 35.
17)На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза. а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47? б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94? в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?
Ответ: а) да; б) нет; в) 2 или 3.
18)Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36. а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945? в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.
Ответ: а) 2, 3, 3, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41.
19)Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36. а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150. б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550? в) Приведите все примеры пяти задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 91.
Ответ: а) 2, 3, 5, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 91 или 1, 1, 1, 7, 13.
20)Саша берѐт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвѐртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число A. а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел? б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз? в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?
Ответ: а) да, например: 1, 3, 8, 11, 2; б) нет; в) 2.
21)На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелѐные. Красные числа кратны 7, а зелѐные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелѐные. Но между красными и зелѐными могут быть одинаковые. а) Может ли сумма зелѐных чисел быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа? б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное? в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.
Ответ: а) Да; б) нет; в) 10.
22)На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелѐные. Красные числа кратны 8, а зелѐные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелѐные. Но между красными и зелѐными могут быть одинаковые. а) Может ли сумма зелѐных чисел быть меньше 1395 = 3 + 6 +…+ 90, если на доске написаны только кратные 3 числа? б) Может ли сумма чисел быть 1066, если только одно число красное? в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.
Ответ: а) Да; б) нет; в) 7.
23)На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100. а) Может ли быть записано число 250? б) Можно ли обойтись без числа 11? в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?
Ответ: а) Нет; б) нет; в) 6.
24)На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120. а) Может ли быть записано число 230? б) Можно ли обойтись без числа 14? в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?
Ответ: а) Нет; б) нет; в) 4.
25)На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810. а) Может ли быть 24 четных числа? б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7? в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?
Ответ: а) да; б) нет; в) 4.
26)На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое или оканчивается на 9, или четное, а сумма чисел равна 877. а) Может ли быть на доске 27 четных чисел? б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 9? в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 9 может быть на доске?
Ответ: а) да; б) нет; в) 3.
27)В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а) Может ли n быть больше 6? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Ответ: а) да, б) да, в) 34.
28)На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма: 1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147. а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60? б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80? в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?
Ответ: а) да, б) нет, в) 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.
29)На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4. а) Может ли сумма составлять 282? б) Может ли их сумма составлять 390? в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?
Ответ: а) да, б) нет, в) 9.
30)На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз? в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Ответ: а) да, б) нет, в) в 11,6 раза.
31)На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго. а) Может ли сумма этих чисел быть равна 420? б) Может ли сумма этих чисел быть равна 419? в) В тройке чисел первое число трѐхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
Ответ: а) да, б) нет, в) 85.
Смотрите также на нашем сайте:
Числа и их свойства 18 задание ЕГЭ 2022 профиль математика с ответами
Задание 15 ЕГЭ 2022 математика профиль задачи на вклады, кредиты, оптимизацию
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
Уважаемый посетитель!
Если у вас есть вопрос, предложение или жалоба, пожалуйста, заполните короткую форму и изложите суть обращения в текстовом поле ниже. Мы обязательно с ним ознакомимся и в 30-дневный срок ответим на указанный вами адрес электронной почты
Статус Абитуриент Студент Родитель Соискатель Сотрудник Другое
Филиал Абакан Актобе Алагир Алматы Алушта Анапа Ангарск Архангельск Армавир Асбест Астана Астрахань Атырау Баку Балхаш Барановичи Барнаул Белая Калитва Белгород Бельцы Берлин Бишкек Благовещенск Бобров Бобруйск Борисов Боровичи Бронницы Брянск Бузулук Чехов Челябинск Череповец Черкесск Дамаск Дербент Димитровград Дмитров Долгопрудный Домодедово Дубай Дубна Душанбе Екатеринбург Электросталь Елец Элиста Ереван Евпатория Гана Гомель Гродно Грозный Хабаровск Ханты-Мансийск Хива Худжанд Иркутск Истра Иваново Ижевск Калининград Карабулак Караганда Каракол Кашира Казань Кемерово Киев Кинешма Киров Кизляр Королев Кострома Красноармейск Краснодар Красногорск Красноярск Краснознаменск Курган Курск Кызыл Липецк Лобня Магадан Махачкала Майкоп Минеральные Воды Минск Могилев Москва Моздок Мозырь Мурманск Набережные Челны Нальчик Наро-Фоминск Нижневартовск Нижний Новгород Нижний Тагил Ногинск Норильск Новокузнецк Новосибирск Новоуральск Ноябрьск Обнинск Одинцово Омск Орехово-Зуево Орел Оренбург Ош Озёры Павлодар Пенза Пермь Петропавловск Подольск Полоцк Псков Пушкино Пятигорск Радужный Ростов-на-Дону Рязань Рыбинск Ржев Сальск Самара Самарканд Санкт-Петербург Саратов Сергиев Посад Серпухов Севастополь Северодвинск Щербинка Шымкент Слоним Смоленск Солигорск Солнечногорск Ставрополь Сургут Светлогорск Сыктывкар Сызрань Тамбов Ташкент Тбилиси Терек Тихорецк Тобольск Тольятти Томск Троицк Тула Тверь Тюмень Уфа Ухта Улан-Удэ Ульяновск Ургенч Усть-Каменогорск Вёшенская Видное Владимир Владивосток Волгодонск Волгоград Волжск Воркута Воронеж Якутск Ярославль Юдино Жлобин Жуковский Златоуст Зубова Поляна Звенигород
Тип обращения Вопрос Предложение Благодарность Жалоба
Тема обращения Поступление Трудоустройство Обучение Оплата Кадровый резерв Внеучебная деятельность Работа автоматических сервисов университета Другое
* Все поля обязательны для заполнения
Я даю согласие на обработку персональных данных, согласен на получение информационных рассылок от Университета «Синергия» и соглашаюсь c политикой конфиденциальности
Мы знаем, что в ЕГЭ по математике вторая часть кажется значительно сложнее первой. Но особенно много вопросов вызывает задание №18. Многие думают, что решить его под силам только олимпиадникам.
Но так ли это?
Давай попробуем разобраться, почему эта задача кажется такой необычной и сложной. А еще разберемся, как ее решать!
Формат задачи
По формату задача абсолютно стандартная. Она состоит из нескольких пунктов, за каждый из которых можно получить баллы. Давай посмотрим подробнее:
Пункт А
В этой части задачи в большинстве случаев надо дать ответ на вопрос о возможности или невозможности какой-то ситуации. Если ты отвечаешь, что ситуация возможна, значит, ты можешь подтвердить ее каким-то примером.
Кстати, чаще всего эта часть решается довольно легко. Найти пример не составит труда.
Главное — не торопиться и внимательно прочитать условие задачи!
Пункт Б
Этот пункт очень схож с пунктом А. Но очень часто решение пункта Б сводится к тому, что ситуация невозможна. И тебе остается только это доказать. Но не забудь, что невозможность ситуации доказывается в общем виде, а не на конкретном примере.
А как доказать? Обычно такое доказывается с помощью рассмотрения оценок, делимостей, ограничений и т.д.
Но это только звучит сложно и страшно. Если немного потренироваться, ты научишься очень быстро решать такие задачи.
Пункт В
Последний пункт чуть-чуть посложнее, но и получить за него можно 2 балла! С наибольшей вероятностью в пункте В нужно будет найти наименьшее или наибольшее значение величины, связанной с условием задачи.
Тебе нужно будет сделать оценку на искомую величину и привести пример, когда эта оценка выполняется. За каждый правильно выполненный шаг ты получишь по 1 баллу.
Алгоритм решения задачи
К сожалению, эту задачу не получится решить, подобрав типовой алгоритм. Тут придется поразмышлять. Но от этого интереснее!
Мы подготовили для тебя подборку тем, которые пригодятся тебе для решения №18.
Разбирая задание №18, ты потренируешь свой мозг и научишься решать нестандартные задачи.
Если ты переживаешь, оставь эту задачку напоследок. Решишь ее, когда останется время.
Ну а раз ты здесь, значит, ты хочешь получить высокие баллы и максимально в этом заинтересован!
И мы знаем, что у тебя все получится!
2022-03-21 17:59
ЕГЭ
Математика