Нужно ли доказывать теорему вариньона на егэ

Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net Текущее время: 11 мар 2023, 18:39 Часовой пояс: UTC + 3 часа Сообщения без ответов | Активные темы    Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ] На страницу 1, 2  След. Начать новую тему»> Ответить Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?    Для печати  Предыдущая тема | Следующая тема  Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ? Автор Сообщение Заголовок сообщения: Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?  Добавлено: 23 фев 2015, 17:42  Центр пользователя Зарегистрирован: 20 мар 2013, 13:26 Сообщений: 16 Можно ли пользоваться теоремой Вариньона, теоремой Менелая, формулой Стюарта, частными случаями формулой Стюарта без доказательства или же все это нужно доказывать на ЕГЭ? Можно ли пользоваться формулой для длины отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции на ЕГЭ без доказательства? Можно ли пользоваться формулами метода координат в пространстве через определители для определения углов и расстояний без доказательства?   uStas Заголовок сообщения: Re: Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?  Добавлено: 23 фев 2015, 17:46  Центр пользователя Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35 Сообщений: 6126 Откуда: Воронеж Стесняюсь спросить, а без теоремы Вариньона никак? Зачем придумывать страсти?   integral Заголовок сообщения: Re: Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?  Добавлено: 23 фев 2015, 17:56  Центр пользователя Зарегистрирован: 20 мар 2013, 13:26 Сообщений: 16 uStas писал(а): Стесняюсь спросить, а без теоремы Вариньона никак? Зачем придумывать страсти? Ясно дело, что ее можно попутно доказать «сполпинка», но ученики сильных физмат школ могут думать, что это по теореме, которую они изучали, потому ее можно использовать и не обосновывать подробно. Потому и спрашиваю. Нужно ведь знать — чем можно пользоваться без доказательства, а чем — нет? Можно тогда скатиться к тому, что нужно доказывать теорему о трех перпендикулярах. Ясно дело ,что если все доказать, то вопросов возникнуть не должно. Но если человек забыл доказательство теоремы и не знает — стоит ли его повторять перед ЕГЭ? Еще попутно, можно ли сразу пользоваться тем, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих?   uStas Заголовок сообщения: Re: Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?  Добавлено: 23 фев 2015, 18:05  Центр пользователя Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35 Сообщений: 6126 Откуда: Воронеж integral писал(а): uStas писал(а): Стесняюсь спросить, а без теоремы Вариньона никак? Зачем придумывать страсти? Ясно дело, что ее можно попутно доказать «сполпинка», но ученики сильных физмат школ могут думать, что это по теореме, которую они изучали, потому ее можно использовать и не обосновывать подробно. Потому и спрашиваю. Нужно ведь знать — чем можно пользоваться без доказательства, а чем — нет? Можно тогда скатиться к тому, что нужно доказывать теорему о трех перпендикулярах. Ясно дело ,что если все доказать, то вопросов возникнуть не должно. Но если человек забыл доказательство теоремы и не знает — стоит ли его повторять перед ЕГЭ? Еще попутно, можно ли сразу пользоваться тем, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих? Да не берите Вы всё это в свою голову! Пишите свои решения задачек с форума, народ оценит Ваши решения. Были тут уже «герои», задававшие вопросы типа: «А если бы у бабушки были известные произведения Фаберже, кем бы она тогда была?»   integral Заголовок сообщения: Re: Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?  Добавлено: 23 фев 2015, 18:32  Центр пользователя Зарегистрирован: 20 мар 2013, 13:26 Сообщений: 16 uStas писал(а): integral писал(а): uStas писал(а): Стесняюсь спросить, а без теоремы Вариньона никак? Зачем придумывать страсти? Ясно дело, что ее можно попутно доказать «сполпинка», но ученики сильных физмат школ могут думать, что это по теореме, которую они изучали, потому ее можно использовать и не обосновывать подробно. Потому и спрашиваю. Нужно ведь знать — чем можно пользоваться без доказательства, а чем — нет? Можно тогда скатиться к тому, что нужно доказывать теорему о трех перпендикулярах. Ясно дело ,что если все доказать, то вопросов возникнуть не должно. Но если человек забыл доказательство теоремы и не знает — стоит ли его повторять перед ЕГЭ? Еще попутно, можно ли сразу пользоваться тем, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих? Да не берите Вы всё это в свою голову! Пишите свои решения задачек с форума, народ оценит Ваши решения. Были тут уже «герои», задававшие вопросы типа: «А если бы у бабушки были известные произведения Фаберже, кем бы она тогда была?» Я не для себя интересуюсь, а для своих учеников (мне не нужно сдавать ЕГЭ), они такие вопросы задают.   uStas Заголовок сообщения: Re: Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?  Добавлено: 23 фев 2015, 18:43  Центр пользователя Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35 Сообщений: 6126 Откуда: Воронеж Исчо раз, не берите в голову, задачки ЕГЭ решаются без участия Вариньона.   integral Заголовок сообщения: Re: Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?  Добавлено: 23 фев 2015, 19:12  Центр пользователя Зарегистрирован: 20 мар 2013, 13:26 Сообщений: 16 uStas писал(а): Исчо раз, не берите в голову, задачки ЕГЭ решаются без участия Вариньона. Например, Вася Пупкин решает вот эту задачу http://reshuege.ru/problem?id=505410 . Вася Пупкин хорошо помнит теорему Вариньона, но напрочь забыл про ее доказательство. Спрашивается, если он в первом пункте напишет: По теореме Вариньона этот четырехугольник — параллелограмм, а в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся попалам. Чтд. Зачтут ли ему задачу? У меня уже так два ученика решили эту задачу, потому интересуюсь. А не просто фантазии, есть факты   uStas Заголовок сообщения: Re: Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?  Добавлено: 23 фев 2015, 19:20  Центр пользователя Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35 Сообщений: 6126 Откуда: Воронеж Утомили Вы меня, Вы и Ваш Вася Пупкин. Я не психиатр, ничем Вам помочь не смогу.   egetrener Заголовок сообщения: Re: Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?  Добавлено: 23 фев 2015, 19:21  Центр пользователя Зарегистрирован: 17 авг 2010, 21:40 Сообщений: 2582 integral писал(а): Вася Пупкин хорошо помнит теорему Вариньона, но напрочь забыл про ее доказательство. Что значит — забыл? Забыл и не может доказать такую простую вещь? И почему Вася претендует на то, чтобы ему засчитали задачу 18?   admin Заголовок сообщения: Re: Можно ли пользоваться следующими теоремами на ЕГЭ?  Добавлено: 23 фев 2015, 19:57  Администратор Центр пользователя Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00 Сообщений: 6119 Уважаемый integral, здесь важна исключительно официальная точка зрения организаторов ЕГЭ во главе с Гуру. А она, если не ошибаюсь, такова: можно использовать без доказательства любые факты и теоремы, которые имеются в школьных учебниках. Поскольку литературы рекомендованной, утвержденной и включенной во всякие чиновничьи списки, у нас — как грязи, то никто не скажет стопудово, может теорема Вариньона и содержится в какой-нибудь книженции, рекомендованной минобром. Где-то, когда-то, для кого-то и т.п. И если на апелляции хлопнуть ей об стол, то после долгих словоизвержений, скорее всего все зачтут. Но это все неважно. Непосредственно по заданному вопросу — что говорить ученикам. Я бы говорил — доказывать.   Показать сообщения за:  Сортировать по:    Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ] На страницу 1, 2  След. Текущее время: 11 мар 2023, 18:39 | Часовой пояс: UTC + 3 часа Удалить cookies форума | Наша команда | Вернуться наверх Кто сейчас на форуме Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2     Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения Найти: Перейти:

5 февраля 2018

В закладки

Обсудить

Жалоба

Какие геометрические факты можно использовать на ЕГЭ без доказательства?

Начнём с того, что для ЕГЭ не нужны сколько-нибудь редкие теоремы, особенно где-нибудь на шпаргалке.

Нужно уметь применять всем знакомые факты, видеть рисунок и решать больше задач. Но вопрос из заголовка задают очень часто, и ответить на него нужно. Естественно, все сотни признаков и свойств, что есть в вашем школьном учебнике можно использовать. Но как насчет более редких фактов: что можно применять без доказательства, а что нет? Точный ответ: любые факты из школьных учебников, рекомендованных минобром на 2017-2018 год.

Ну а вот заветный список того, что мне все-таки удалось обнаружить в соответствующих учебниках:

→ Теорема Менелая (Атанасян. Геометрия 7-9 классы)
→ Теорема Чевы (Атанасян. Геометрия 7-9 классы)
→ Теорема Птолемея (Мерзляк. Геометрия 8 класс)
→ Прямая Эйлера (Мерзляк. Геометрия 8 класс)
→ Теорема об окружности Эйлера (Бутузов. Геометрия 8 класс)
→ Формула медианы треугольника (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)
→ Формула биссектрисы треугольника (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)
→ Теорема о четырех замечательных точках трапеции (Шарыгин. Геометрия 7-9 классы)

Формулу радиуса вневписанной окружности используйте. Каноническое уравнение эллипса — да пожалуйста! Ключевые формулы метода координат для задачи №14, опять же, есть

Но если здесь есть коллеги по цеху, которые могут уточнить еще несколько популярных вопросов насчет непопулярной теории — черкните, буду признателен! Вот интересующие факты: формула Брахмагупты, теорема Стюарта, формула Эйлера для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностями треугольника, понятие определителя квадратной матрицы.

Ну и еще раз в заключение. Вероятность того, что задача ЕГЭ не решается без экзотики, равна нулю (такие события называются невозможными). Вероятность того, что вам вообще попадется конфигурация, для которой актуальна, например, теорема о девяти точках окружности, приблизительно равна 0,015. Вероятность того, что школьник в целом знает что-то «запрещенное», приблизительно равна, не кидайтесь камнями, 0,000037.

Источник: vk.com/wildmathing

Автор Сообщение

vyv2

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург

 

alex123

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1915

 

OlG

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6463
Откуда: Москва

 

alex123

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1915

 

OlG

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6463
Откуда: Москва

 

OlG

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6463
Откуда: Москва

 

alex123

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1915

 

OlG

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6463
Откуда: Москва

 

alex123

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1915

 

OlG

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6463
Откуда: Москва

 

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

Применение теоремы Вариньона к решению задач

2. 2. Применение теоремы Вариньона к решению задач.

Рассмотрим применение теоремы Вариньона к решению планиметрических задач повышенной трудности. Дело в том, что планиметрические задачи на олимпиадах встречаются значительно чаще.

Мы будем называть параллелограмм KLMN параллелограммом Вариньона, а отрезки КМ и LN, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника АВСD — средними линиями этого четырёхугольника.

Задача 1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё.

Решение: отрежем четырёхугольник ABCD и пусть Р-середина AD, тогда по теореме Вариньона A1B1C1P – параллелограмм, А1С1 – его диагональ и К – середина А1С1, значит, К – середина и второй

диагонали параллелограмма В1Р. Значит, KL – средняя линия треугольника PB1D1, поэтому KL||PD1 и KL=1/2 PD1, но PD1 – средняя линия треугольника ADE, значит, PD1||AE и PD1=1/2AE, поэтому KL||AE и KL=1/4 AE.

Задача 2. Верно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии треугольника и отрезков, вдвое меньших его диагоналей?

Решение: верно, так как параллелограмм Вариньона существует для любого выпуклого четырёхугольника. Например, условию задачи удовлетворяют треугольники KLM и LMN на рис. 10. рис. 10

Задача 3. Средние линии четырёхугольника ABCD равны a и b, а угол между ними 60˚. Найдите диагонали четырёхугольника.

Решение: пусть KM=a, LN=b, (рис. 10). Тогда NM=, а LT=.

Из треугольника LTM по теореме косинусов . Но LM= BD, поэтому , откуда BD=. Аналогично из треугольника TNM найдём MN, потом вычислим AC: AC=.

Ответ: ;

Задача 4. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

Доказательство: в параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов рис. 11 диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т. е. Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD (рис. 11), получим: KM2+LN2=1/2(AC2+BD2), AC2+BD2=2(KM2+LN2).

Задача 5. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.

Доказательство: (рис. 12).

Учитывая, что , KL=1/2 AC и KN=1/2 BD, получим: рис. 12

.

Задача 6. Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины

Доказательство: действительно, для всех таких четырёхугольников определён один и тот же параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников (задача 5), тем самым их равновеликость доказана.

Задача 7. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Доказательство: в случае равенства диагоналей AC и BD параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом (рис. 13), а рис. 13

площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

, тогда .

Задача 8. Диагонали четырёхугольника ABCD равны d1 и d2, а средние линии равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение: из условия задачи следует, что в параллелограмме Вариньона диагонали KM и LN равны (рис. 12). Значит, KLMN – прямоугольник и SKLMN=1/2 d1d2, а с другой стороны, SKLMN=1/2 SABCD, следовательно, SABCD=1/2d1d2.

Ответ: SABCD=1/2d1d2.

Задача 9. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Доказательство: согласно рис. 14 необходимо доказать, рис. 14

что . Треугольник KLN представляет собой половину параллелограмма Вариньона. (). Так как KL=1/2AC, то , значит, , а с другой стороны, (см. задачу 8), тогда .

Задача 10. Докажите, что сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середину его диагоналей.

Доказательство: согласно рис. 11 надо доказать, что. Для медианы ET треугольника ELN имеем: , где , , откуда . Аналогично, выразив медиану FT треугольника KFM и учитывая, что и , получим: .

Кроме того, (задача 7).

Итак, получаем: , откуда:

Задача 11. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Решение: пусть в трапеции ABCD, которую необходимо построить, известны длины диагоналей AC и BD, отрезка LN и величина угла А (рис. 15).

Поскольку и , нетрудно построить по трём рис. 15

сторонам треугольник KLN. Далее построим его до параллелограмма Вариньона. Затем на отрезке KN построим сегмент, вмещающий угол А, и проведём через точку N параллельно KM прямую, она пересечёт сегмент в точке А. Дальнейшее построение очевидно.

В ходе работы мы прорешали более двадцати пяти задач, формулировки и решения наиболее интересных из них дополнительно приведены в приложении. Мы убедились в том, что теорема Вариньона помогает красиво, оригинально решать задачи, открывать и доказывать новые свойства четырёхугольников.

Исследовательская работа по математике «Теорема Вариньона», 9 класс

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение города Абакана «Средняя общеобразовательная школа №26 с углубленным изучением отдельных предметов»

Секция «Мир моих математических исследований»

Применение теоремы Вариньона при решении планиметрических задач .

Тетервова Ирина Вадимовна

Ученица 9 класса В.

Ширяева Нина Анатольевна

Цель работы. Гипотеза.

Основные теоретические сведения.

Теорема Вариньона и ее применение. Практическая часть.

Изучить теорему Вариньона

Научиться использовать теорему Вариньона на практике

Рассмотреть задачи из ЕГЭ.

Развить умение исследовать

Рассмотреть разные методы решения задач.

Сравнить решения одной и той же задачи, применяя теорему Вариньона и традиционный подход.

Применение теоремы Вариньона по сравнению с традиционным решением задач по геометрии упрощает процесс доказательства, вычислений и экономит время, затраченное на решение задачи.

Планиметрия — раздел евклидовой геометрии , изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры , то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости : треугольники, окружности, параллелограммы и т.п. Одной из знаменитых теорем планиметрии является теорема Вариньона, описывающая удивительный феномен.

Эта теорема иллюстрирует два важных принципа: во-первых, доказательство, которое не объясняет явление, не является достаточным, во-вторых, цель творческого подхода в математике заключается в том, чтобы понять явление, а для этого необходимо всестороннее доказательство. Иными словами, иногда «доказать» не означает «объяснить».

Пьер Вариньон ( фр. Pierre Varignon , Кан , 1654 — 23 декабря , 1722 , Париж )— французский математик и механик , член Парижской Академии наук , профессор математики коллежа Мазарини ( 1688 ), профессор Коллеж де Франс (с 1704). Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане , где стал магистром в 1682 году .

Вариньон был другом Ньютона , Лейбница и Бернулли . Основной вклад Вариньон совершил в статику и механику ; кроме того, труды Вариньона посвящены анализу бесконечно малых ( Анализ бесконечно малых — историческое название математического анализа , раздела высшей математики ), геометрии , гидромеханике . За исключением Лопиталя , Вариньон был самым первым пропагандистом дифференциального исчисления во Франции. В 1687 году дал точную формулировку закона параллелограмма сил , развил понятие момента сил и вывел теорему , получившую имя Вариньона. В 1725 Вариньон дал систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и о правилах оперирования ими.

Четырехугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырехугольника, площадь которого равна половине площади данного четырехугольника.

Дано: Доказательство:

ABCD – выпуклый четырехугольник

1) KLMN – параллелограмм;

2) S _KLMN = S _ABCD

К L средняя линия ∆АВС, NM средняя линия ∆А D С

KL II AC MN II KL , NK II ML следовательно KLMN параллелограмм.

Учитывая, что , KL =1/2 AC и KN =1/2 BD , получим:

. ч.т.д.

Основные теоретические сведения.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Следствия из теоремы Вариньона:

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны

б) бимедианы перпендикулярны.

А) Дано: Доказательство:

ABCD – четырехугольник

KLMN – параллелограмм Вариньона

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом. ч.т.д.

Б) Дано: Доказательство:

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Доказать: KLMN – ромб

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба). ч.т.д.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны

б) бимедианы равны

А) Дано: Доказательство:

ABCD четырехугольник

KLMN – параллелограмм Вариньона

AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. ч.т.д.

Б) Дано: Доказательство:

KLMN – параллелограмм Вариньона;

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника). ч.т.д.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны и перпендикулярны

б) бимедианы равны и перпендикулярны

А) Дано: Доказательство:

ABCD четырехугольник

KLMN – параллелограмм Вариньона;

AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом. ч.т.д.

Б) Дано: Доказательство:

KLMN – параллелограмм Вариньона

бимедианы KM и LN – перпендикулярны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата). ч.т.д.

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Пусть KM и LN – бимедианы,

PQ – отрезок, соединяющий АС и BD.

Отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам

То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам.

Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:

Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. ч.т.д.

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть .

Дано:

BD и AC диагонали

EF – отрезок, соединяющий АС и BD

Для медианы ET треугольника ELN имеем: , где , , откуда . Аналогично, выразив медиану FT треугольника KFM и учитывая, что и , получим: .

Кроме того, .

Итак, получаем: , откуда:

AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 =AC 2 +BD 2 +4EF 2 . ч.т.д.

Следствие 6. (теорема о бабочках).

Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.

ABCD четырехугольник

LN и KM бимедианы

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

.ч.т.д.

Теорема Вариньона и ее применение.

Задача 1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё.

Отрежем четырёхугольник ABCD и пусть Р — середина AD, тогда по теореме Вариньона A1B1C1P – параллелограмм, А1С1 – его диагональ и К – середина А1С1, значит, К – середина и второй диагонали параллелограмма В1Р.

Значит, KL – средняя линия треугольника PB1D1, поэтому KL||PD1 и KL=1/2 PD1.

Но PD1 – средняя линия треугольника ADE, значит, PD1||AE и PD1=1/2AE, поэтому KL||AE и KL=1/4 AE.

Задача 2. Средние линии четырёхугольника ABCD равны a и b , а угол между ними 60˚. Найдите диагонали четырёхугольника.

Пусть KM = a , LN = b , (рис. из задачи 2). Тогда NM = , а LT = .

Из треугольника LTM по теореме косинусов . Но LM = BD , поэтому , откуда BD = . Аналогично из треугольника TNM найдём MN , потом вычислим AC : AC =.

Ответ: ;

Задача 3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

В параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т.е. Учитывая, что KL =1/2 AC и LM = 1/2 BD ( см. рис. в условии задачи), получим: KM 2 + LN 2 =1/2( AC 2 + BD 2 ), AC 2 + BD 2 =2( KM 2 + LN 2 ).

Задача 4. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

В случае равенства диагоналей AC и BD параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом (рис.), а площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

, тогда .

Задача 5. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними. Доказательство:

Согласно рис. необходимо доказать, что . Треугольник KLN представляет собой половину параллелограмма Вариньона. (). Так как KL =1/2 AC , то , значит, , а с другой стороны, , тогда .

Задача 6. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Пусть в трапеции ABCD , которую необходимо построить, известны длины диагоналей AC и BD , отрезка LN и величина угла А (рис.).

Поскольку и , нетрудно построить по трём сторонам треугольник KLN . Далее построим его до параллелограмма Вариньона. Затем на отрезке KN построим сегмент, вмещающий угол А, и проведём через точку N параллельно KM прямую, она пересечёт сегмент в точке А. Дальнейшее построение очевидно.

Задача 7. (ЕГЭ 2013г.) Медианы АА ₁ и ВВ ₁ и CC ₁ треугольника ABC пересекаются в точке М . Точки А ₂ , В ₂ и С ₂ — середины отрезков MA , MB и МС соответственно.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 6, ВС = 11 и АС = 12.

а) Площадь треугольника А ₁ МВ ₂ в два раза меньше площади треугольника А ₁ МВ , поскольку MB = 2 MB ₂ , а высота, проведённая из вершины А ₁ у этих треугольников общая: S _{A 1 MB} = 2 SA ₁ MB ₁ .

Аналогично получаем еще 5 равенств:

Складывая эти равенства почленно, получаем

б) Обозначим длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC через а, b, с .

Докажем, что квадрат медианы AA ₁ равен

Для доказательства на продолжении отрезка AA ₁ за точку А ₁ отложим отрезок А ₁ Р = AA ₁ . Получим параллелограмм АСРВ со сторонами АС = РВ = b и АВ = CP = с и диагоналями ВС = а и АР =2 AA ₁ . Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон:

Аналогично доказывается, что a

Отрезок C ₁ A ₂ — средняя линия треугольника АВМ , значит,

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC : Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC , получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Ответ:

Задача 8. (ЕГЭ 2014) Дан четырёхугольник ABCD.

а) Докажите, что отрезки LN и KM , соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если

а) 1 способ ( традиционное доказательство )Пусть K , L , M и N — середины сторон AB , BC , CD и AD четырёхугольника ABCD соответственно. Тогда KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC . Значит, и KL || AC || MN , поэтому KLMN — параллелограмм. Его диагонали KM и LN делят друг друга пополам, что и требовалось доказать.

2 способ (теорема Вариньона) По теореме Вариньона KLMN –параллелограмм, KM и LN диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Ч.т.д.

б) 1 способ ( традиционный ) В треугольнике KLM имеем:

Значит, Тогда KM 2 = KL 2 + LM 2 , поэтому треугольник KLM прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине L. Четырёхугольник KLMN — прямоугольник, поэтому

Пусть искомая площадь четырёхугольника ABCD равна S . Отрезок KL является средней линией треугольника ABC, поэтому Аналогично

Где — искомая площадь четырёхугольника Аналогично

Поэтому Следовательно,

2 способ (теорема Вариньона) По теореме Вариньона S _ABCD = 2 S _KLMN , S _KLMN =2 S _{LMK .} S _LMK = = , следовательно S _ABCD = 24.

Ответ:

В ходе исследовательской работы я достигла целей, поставленных в начале работы. Я изучила теорему Вариньона и рассмотрела интересующие меня задачи.

Изучение этой теоремы дало мне новые знания о четырехугольниках, которые могут пригодиться мне в 11 классе. Рассматривая задания ЕГЭ 2 части, я поняла, что это полезные знания. Решая планиметрические задачи, связанных с четырехугольниками теорема Вариньона помогает сэкономить время при решении и доказательстве задач.

Теорема Вариньона и её применение к решению задач

В математике самыми трудными считаются геометрические задачи. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. Надо подумать, какие нужно сделать дополнительные построения, какими воспользоваться теоремами, при этом очень непросто из их огромного количества выбрать ту, которая наилучшим образом поможет в решении.

Скачать:

Вложение	Размер
Теорема Вариньона и её применение к решению задач	498.69 КБ

Предварительный просмотр:

Министерство образования и науки РБ

МОУ «Иволгинская средняя общеобразовательная школа»

Республиканская научно- практическая конференция «Шаг в будущее»

Направление : преобразование фигур

и её применение к решению задач.

ученица 10 класса.

Минеева Ирина Анатольевна,

конт.тел. 8 950 382 7857

Глава 1. Пьер Вариньон и его теорема……………………………………….4

1. 2. Доказательство теоремы Вариньона…………………………………….4

Глава 2. Применение теоремы Вариньона……………………………………6

2. 1. Применение теоремы Вариньона к доказательству основного

свойства медиан треугольника……………………………………………. 6

2. 2. Применение теоремы Вариньона к решению задач………………….7

Список использованной литературы………………………………………..11

Крупное научное открытие даёт

решение крупной проблемы,

но и в решении любой задачи

присутствует крупица открытия.

Д. Пойа, венгерский математик

В математике самыми трудными считаются геометрические задачи. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. Надо подумать, какие нужно сделать дополнительные построения, какими воспользоваться теоремами, при этом очень непросто из их огромного количества выбрать ту, которая наилучшим образом поможет в решении.

Цель работы: показать, что теорема Вариньона — надёжный помощник в решении геометрических задач.

Актуальность и новизна работы состоит в том, что область применения теоремы Вариньона не раскрыта в школьных учебниках и не показана её роль в решении задач.

1. Рассмотреть доказательство теоремы Вариньона для различных видов четырёхугольников (выпуклого, вогнутого, пространственного);

2. Продемонстрировать применение теоремы Вариньона для решения важных планиметрических задач.

1. Анализ, систематизация и обобщение данных из различных источников информации (основные источники информации – статьи из периодических изданий по математике (журналы: «Квант», «Математика в школе», «Математика»), энциклопедии, Интернет);

2. Самостоятельное решение задач.

Практическая и теоретическая значимость работы состоит в том, что данное исследование можно использовать при проведении уроков, кружков, факультативов, подготовке к олимпиадам и экзаменам. Решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект.

1. Пьер Вариньон и его теорема.

1. 1. Историческая справка.

Окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой,

истинной, безупречной в наших глазах. Всё вокруг – геометрия.

Пьер Вариньон, руководивший «Журналом учёных» в Париже и написавший учебник по элементарной геометрии, по-видимому, первым заострил внимание на, казалось бы, довольно очевидном факте: середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Пьер Вариньон (1654 — 22.12.1722), французский механик и математик, родился в г. Каенне во Франции. Изучал философию и математику. Работал профессором математики в коллеже Мазарини с 1688 г., с 1704 г. – в Коллеже де Франс, член Парижской Академии наук с 1688 г. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике. Наибольшее значение имеют работы Вариньона по геометрической статике. В 1687 г. в работе «Проект новой механики. » Вариньон дал чёткую формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил и вывел, так называемую, теорему Вариньона .

1. 2. Доказательство теоремы Вариньона.

Теорема Вариньона вытекает из теоремы о средней линии треугольника (средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны) и гласит: середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырёхугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей.

Четырёхугольник — это многоугольник , содержащий четыре вершины и четыре стороны ( многоугольник – простая замкнутая ломаная). Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.

Рассмотрим доказательство теоремы для выпуклого четырёхугольника.

Четырёхугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

1) К и L – середины сторон АD и AB, значит КL – средняя линия треугольника

АВD, поэтому отрезок КL параллелен диагонали BD и равен её половине.

2) M и N – середины сторон BC и CD, значит MN – средняя линия треугольника BDС , поэтому отрезок MN параллелен диагонали BD и равен её половине.

3) Таким образом, MN || KL и KL = MN , значит четырехугольник KLMN –

параллелограмм по признаку. Теорема доказана.

Следствие. В любом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.

Действительно, в этих отрезках можно увидеть диагонали параллелограмма, а в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам (эта точка – центр симметрии параллелограмма).

1) Если ABCD – прямоугольник, то KLMN – ромб;

2) Если ABCD — ромб, то KLMN – прямоугольник;

3) Если ABCD — квадрат, то KLMN — квадрат;

4) Если ABCD – равнобедренная трапеция, то KLMN — ромб.

Однако обратные утверждения нельзя считать верными.

Справедливость теоремы Вариньона не зависит от выпуклости четырёхугольника. Теорема Вариньона и следствие из неё остаются верными и для невыпуклого четырехугольника, и для самопересекающейся четырехугольной замкнутой ломаной (рис. 3, 4); в последнем случае может оказаться, что параллелограмм KLMN «вырожденный» — точки K, L, M, N лежат на одной прямой) (доказательство аналогично рассмотренному выше).

Оказывается, что даже не обязательно, чтобы исходный четырёхугольник был плоский, т. е. его вершины не обязаны попадать в одну плоскость, а теорема Вариньона всё равно верна! (рис. 5). Четырёхугольник, вершины которого не лежат в одной плоскости, называют пространственным.

Пространственный четырёхугольник можно получить, вырезав из бумаги четырёхугольник ABCD и согнув его по диагонали под некоторым углом. при этом ясно, что средние линии KL и MN треугольников ABC и ADC остаются по-прежнему их средними линиями и будут параллельны отрезку АС и равны АС/2 (здесь используется тот факт, что для пространства остаётся верным основное свойство параллельных прямых: если две прямые KL и MN параллельны третьей прямой AC, то KL и MN лежат в одной плоскости и параллельны между собой ).

Таким образом, точки K, L, M, N – вершины параллелограмма; тем самым отрезки KM и LN пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Вместо четырехугольника здесь можно говорить о тетраэдре — треугольной пирамиде АВСD: середины К, L, М, N его ребер АВ, АС, СD и DА всегда лежат в одной плоскости. Разрезав тетраэдр по этой плоскости (рис. 6), получается параллелограмм KLMN, две стороны которого параллельны ребру АС и равны AC/2, а две другие — параллельны ребру ВD и равны BD/2.

Такой же параллелограмм – «среднее сечение» тетраэдра – можно построить и для других пар противоположных рёбер. Каждые два из этих трёх параллелограммов имеют общую диагональ. При этом середины диагоналей совпадают.

Таким образом, получаем интересное свойство тетраэдра: в тетраэдре 3 отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам (на чертеже отрезки KM, LN и PQ).

Итак, мы показали, что теорема Вариньона верна для выпуклого, невыпуклого, пространственного четырёхугольников, а также для самопересекающейся четырехугольной замкнутой ломаной и тетраэдра.

2. Применение теоремы Вариньона.

2. 1. Применение теоремы Вариньона к доказательству основного свойства медиан треугольника.

Продемонстрируем применение теоремы Вариньона к доказательству теоремы об основном свойстве медиан треугольника.

Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство: проведём две медианы AK и BL треугольника ABC . Пусть О – точка их пересечения. Середины сторон невыпуклого четырехугольника АCBО – точки K, L, M и N (рис. 8а) – вершины параллелограмма, причем точкой пересечения его диагоналей KM и LN для этой конфигурации будет точка пересечения медиан О. Итак, AM = MO = OK и BN = NO = OL , т.е. точка О делит каждую из медиан AK и BL в отношении 2:1.

Аналогично доказывается для медианы, проведённой из вершины С.

Для сравнения рассмотрим доказательство этой теоремы, использованное в учебнике геометрии Атанасяна Л.С.

Доказательство: рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 8б). Обозначим буквой О точку пересечения его медиан AА 1 и ВВ 1 и проведём среднюю линию А 1 В 1 этого треугольника. Отрезок А 1 В 1 параллелен стороне АВ, поэтому и как накрест лежащие при пересечении

рис. 8б

параллельных прямых АВ и А 1 В 1 секущими АА 1 и ВВ 1 . Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: .

Но АВ=2А 1 В 1 , поэтому АО=2А 1 О и ВО=2В 1 О. Таким образом, точка О пересечения медиан АА 1 и ВВ 1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ 1 и СС 1 делит каждую из них в отношении 2:1 считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Теорема доказана.

На наш взгляд, доказательство с помощью теоремы Вариньона проще.

2. 2. Применение теоремы Вариньона к решению задач.

Рассмотрим применение теоремы Вариньона к решению планиметрических задач повышенной трудности. Дело в том, что планиметрические задачи на олимпиадах встречаются значительно чаще.

Мы будем называть параллелограмм KLMN параллелограммом Вариньона , а отрезки КМ и LN, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника АВСD — средними линиями этого четырёхугольника.

Задача 1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё.

Решение: отрежем четырёхугольник ABCD и пусть Р-середина AD, тогда по теореме Вариньона A 1 B 1 C 1 P – параллелограмм, А 1 С 1 – его диагональ и К – середина А 1 С 1 , значит, К – середина и второй

диагонали параллелограмма В 1 Р. Значит, KL – средняя линия треугольника PB 1 D 1 , поэтому KL||PD 1 и KL=1/2 PD 1 , но PD 1 –

рис. 9

средняя линия треугольника ADE, значит, PD1||AE и PD 1 =1/2AE, поэтому KL||AE и KL=1/4 AE.

Задача 2. Верно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии треугольника и отрезков, вдвое меньших его диагоналей?

Решение: верно, так как параллелограмм Вариньона существует для любого выпуклого четырёхугольника. Например, условию задачи удовлетворяют треугольники KLM и LMN на рис. 10.

Задача 3. Средние линии четырёхугольника ABCD равны a и b, а угол между ними 60˚. Найдите диагонали четырёхугольника.

Решение: пусть KM=a, LN=b, (рис. 10). Тогда NM= , а LT= .

Из треугольника LTM по теореме косинусов . Но LM= BD, поэтому , откуда BD= . Аналогично из треугольника TNM найдём MN, потом вычислим AC: AC= .

Ответ: ;

Задача 4. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

Доказательство: в параллелограмме Вариньона, как и в

любом другом параллелограмме, сумма квадратов рис. 11 диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т.е. Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD (рис. 11), получим: KM 2 +LN 2 =1/2(AC 2 +BD 2 ), AC 2 +BD 2 =2(KM 2 +LN 2 ).

Задача 5. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.

Доказательство:

Учитывая, что , KL=1/2 AC и KN=1/2 BD, получим : рис. 12

.

Задача 6. Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины

Доказательство: действительно, для всех таких четырёхугольников определён один и тот же параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников (задача 5), тем самым их равновеликость доказана.

Задача 7. Докажите , что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Доказательство: в случае равенства диагоналей AC и BD параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом (рис. 13), а

площадь ромба равна половине произведения диагоналей: рис. 13

, тогда .

Задача 8. Диагонали четырёхугольника ABCD равны d 1 и d 2 , а средние линии равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение: из условия задачи следует, что в параллелограмме Вариньона диагонали KM и LN равны (рис. 12). Значит, KLMN – прямоугольник и S KLMN = d 1 d 2, а с другой стороны, S KLMN =1/2 S ABCD , следовательно, S ABCD = d 1 d 2 .

Ответ: S ABCD = d 1 d 2 .

Задача 9. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Доказательство: согласно рис. 14 необходимо доказать, рис. 14

что . Треугольник KLN представляет собой половину параллелограмма Вариньона. ( ). Так как KL=1/2AC, то , значит, , а с другой стороны, (см. задачу 8), тогда .

Задача 10. Докажите, что сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середину его диагоналей.

Доказательство: согласно рис. 11 надо доказать, что . Для медианы ET треугольника ELN имеем: , где , , откуда . Аналогично, выразив медиану FT треугольника KFM и учитывая, что и , получим: .

Кроме того, (задача 7).

Итак, получаем: , откуда:

AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 =AC 2 +BD 2 +4EF 2 .

Задача 11. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Решение: пусть в трапеции ABCD, которую необходимо построить, известны длины диагоналей AC и BD, отрезка LN и величина угла А (рис. 15). Поскольку и , нетрудно построить

по трём сторонам треугольник KLN. Далее построим его до параллелограмма рис. 15

Вариньона. Затем на отрезке KN построим сегмент, вмещающий угол А, и проведём через точку N параллельно KM прямую, она пересечёт сегмент в точке А. Дальнейшее построение очевидно.

В ходе работы мы прорешали более двадцати пяти задач, формулировки и решения наиболее интересных из них дополнительно приведены в приложении. Мы убедились в том, что теорема Вариньона помогает красиво, оригинально решать задачи, открывать и доказывать новые свойства четырёхугольников.

В процессе исследования мы узнали о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрели доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников; показали, что справедливость теоремы не зависит от выпуклости четырёхугольника, продемонстрировали применение теоремы; убедились в том, что параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности, узнали много нового и интересного о свойствах геометрических фигур. Таким образом, мы считаем, что цель работы достигнута.

Наше исследование поможет систематизировать и углубить теоретические и практические знания учащихся по геометрии. Работа перспективна, т.к. геометрия не остановилась в своём развитии, а играет всё большую роль в познании мира.

Список использованной литературы.

1. Атанасян Л.С. Геометрия, 7-9: учебник. – М.: Просвещение, 2002.

2. Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11: учебник. – М.: Просвещение, 2003.

3. Атанасян Л.С. Геометрия. Доп. главы к школьному учебнику 8 кл.: учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. – М.: Вита-Пресс, 2002.

4. Атанасян Л.С. Геометрия. Доп. главы к школьному учебнику 9 кл.: учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. – М.: Вита-Пресс, 2002.

5. Вагутен В.Н. Средние линии// Журнал «Квант». – 1989. – № 6.

6. Глейзер Г.И. История математики в школе, 9-10 кл. – М.: Просвещение, 1983.

7. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 кл. – СПб: АКАЦИЯ, 1995.

8. Ильин В. Применение теоремы о средней линии треугольника к решению задач// Газета «Математика». Объединение педагогических изданий «1 сентября». – 1998. – № 48.

9. Куланин Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1997.

10. Филипповский Г.Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи// Журнал «Математика в школе». – 2006. – № 4.

11. Шарыгин И.Ф. Решение задач. Пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.

12. Энциклопедический словарь юного математика// Сост. Савин А.П. –

М.: Педагогика, 1985.

13. Энциклопедия. Т.11. Математика. – М.: Аванта +, 2000.

ЗАДАЧИ, КОТОРЫЕ РЕШАЮТСЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ

Задача 1. В выпуклом шестиугольнике середины сторон соединены через одну. Доказать, что центры тяжести двух образовавшихся треугольников совпадают.

Задача 2. Докажите, что периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей четырёхугольника ABCD.

Задача 3. Докажите, что средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Задача 4. Верно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии четырёхугольника и отрезков, вдвое меньших его диагоналей? (Ответ: верно).

Задача 5. Средние линии четырёхугольника ABCD равны a и b, а угол между ними 60°. Найдите диагонали четырёхугольника. (Ответ: ).

Задача 6. Постройте ромб с вершинами на сторонах прямоугольника ABCD.

Задача 7. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

Задача 8. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.

Задача 9. Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.

Задача 10. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Задача 11. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Задача 12. В четырёхугольник ABCD вписывают всевозможные параллелограммы, стороны которых параллельны диагоналям четырёхугольника. Какой из этих параллелограммов имеет наибольшую площадь? (Ответ: параллелограмм Вариньона).

Задача 13. Внутри четырёхугольника ABCD, имеющего площадь S, берётся точка E и отражается относительно середин всех его сторон. Получается новый четырёхугольник A 1 B 1 C 1 D 1 . Докажите, что SA 1 B 1 C 1 D 1 =2S .

Задача 14. В четырёхугольнике ABCD отмечены точки E и F – середины диагоналей AC и BD соответственно. Докажите, что S ELFN ABCD

Задача 15. Докажите, что средние линии четырёхугольника ABCD и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Задача 16. Докажите, что сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Задача 17. Восстановите пятиугольник по серединам его сторон.

Задача 18. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Задача 19. Восстановите параллелограмм по серединам его сторон.

Задача 20. Докажите, что точка пересечения средних линий четырёхугольника есть центроид системы четырёх точек, лежащих в его вершинах.

Задача 21. При последовательном соединении середин сторон трапеции получился квадрат со стороной а. Найдите площадь трапеции (Ответ: 2а 2 ).

Задача 22. Даны трапеция ABCD и точка Е на её средней линии. С помощью одной линейки постройте параллелограмм Вариньона для трапеции ABCD.

Задача 23. Вершины четырёхугольника являются серединами сторон ромба со стороной, равной 4, и углом 120°. Определите вид четырёхугольника и найдите его площадь. (S= ).

Задача 24. Восстановите (2n+1)-угольник по серединам его сторон.

РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.

Задача 13. Внутри четырёхугольника ABCD, имеющего площадь S, берётся точка E и отражается относительно середин всех его сторон. Получается новый четырёхугольник A 1 B 1 C 1 D 1 . Докажите, что SA 1 B 1 C 1 D 1 =2S .

Доказательство: стороны параллелограмма Вариньона и параллелограмма A 1 B 1 C 1 D 1 соответственно параллельны (рис. 16), KL= A 1 B 1 , KN= A 1 D 1 (по свойству средней линии треугольника), тогда .

Задача 14. В четырёхугольнике ABCD отмечены точки E и F – середины диагоналей AC и BD соответственно. Докажите, что S ELFN S ABCD .

Доказательство: так как S KLMN = S ABCD , достаточно доказать, что точки E и F находятся строго внутри параллелограмма KLMN.

Очевидно, что ТТ 1 =KL= AC и AE=EC= AC. Допустим, что точка Е совпадает с G и находится вне KLMN, тогда GC= AC >T 1 T 2 , но это противоречит равенству Т 1 Т 2 = АС. Если же точка Е совпадает с Т 1 , то Т 1 С= АС=Т 1 Т 2 , чего так же быть не может. Значит, точка Е находится внутри параллелограмма Вариньона. Аналогично можно показать, что и точка F находится внутри KLMN. Тогда

S ELFN KLMN = S ABCD.

Задача 15. Докажите, что средние линии четырёхугольника ABCD и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство: заметим, что отрезок LN является диагональю и в параллелограмме Вариньона, и в параллелограмме ELFN (см. рис. к задаче 18). Пусть точка Т—середина диагонали LN, тогда в этой точке пересекаются отрезки LN и КМ, а также LN и EF и каждый из них, будучи диагональю параллелограмма, делится точкой T пополам.

Задача 21. При последовательном соединении середин сторон трапеции получился квадрат со стороной а. Найдите площадь трапеции.

Решение: четырёхугольник KLMN-параллелограмм Вариньона (квадрат). (AD+BC)/2=KM (средняя линия трапеции). Треугольник KLM прямоугольник KM= . KM||AD||BC, и LN диагонали квадрата, следовательно, LN , LN—высота трапеции. Площадь ABCD равна 2а 2 . Ответ: 2а²

Задача 23. Вершины четырёхугольника являются серединами сторон ромба со стороной, равной 4, и углом 120˚. Определите вид четырёхугольника и его площадь.

Решение: Параллелограмм Вариньона KLMN—прямоугольник, так как диагонали ромба AC и BD пересекаются под прямым углом, а значит и параллельные им стороны KN и KL. S KLMN = S ABCD (см. задачу 5). S KLMN = AB 2 sin ABC. Площадь KLMN равна

.

Ответ:

Параллелограмм Вариньона

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

1. Введение.

Цель: исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее.

Задачи:

1.Изучить теорему Вариньона.

2.Сравнить решение планиметрических задач ,применяя теорему Вариньона и традиционный способ решения.

3.Сравнить затраченные временные ресурсы на решение задач с помощью теоремы Вариньона и обычным способом.

4.Практически применить в решении олимпиадных задач и задач ОГЭ и ЕГЭ теоремы Вариньона.

Гипотеза: решать планиметрические задачи с помощью теоремы Вариньона намного эффективнее по сравнению с традиционным способом.

Актуальность: новейшие технологии в математический дисциплинах требуют применения прогрессивных и эффективных способов решения задач.

Объект исследования: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и ее свойства

Предмет исследования: планиметрические задачи

Методы исследования:

1.Анализ, систематизация и обобщение данных из различных источников информации.

2.Самостоятельное решение задач.

В математике самыми трудными считаются геометрические задачи. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. Надо подумать, какие нужно сделать дополнительные построения, какими воспользоваться теоремами, при этом очень непросто из их огромного количества выбрать ту, которая наилучшим образом поможет в решении.

2.Теорема Вариньона и её доказательство.

Пьер Вариньон— французский математик и механик. Обучался в иезуитском колледже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Основной вклад Вариньон совершил в статику и механику. В 1687 году в своей работе «Проект новой механики…» Вариньон дал точную формулировку закона параллелограмма сил, развил понятие момента сил и вывел теорему, получившую имя Вариньона.

Пьер Вариньон

Теорема Вариньона

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Дано:

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

Доказать:

1) KLMN – параллелограмм;

2) S KLMN = S ABCD:2

Доказательство:

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL – средняя линия треугольника ABC (по определению),следовательно, KL ∥ AC. Аналогично, так как MN – средняя линия треугольника ADC,то MN ∥ AC. Так как KL ∥ AC и MN ∥ AC следовательно, KL ∥ NM и KL=MN=AC:2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.

2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,

3. т.е. S KBL = S ABC:4, S MDN=S ADS:4. Следовательно, S 1+S 3=S ABCD:4. Аналогично, S 2+S 4= S ABCD:4. Следовательно, S 1+S 3 + S 2+S 4 = S ABCD :4 + S ABCD:4 = S ABCD:2.

Т.е., S KLMN = S ABCD:2. Что и требовалось доказать.

3. Свойства параллелограмма Вариньона :

1. Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали в исходном четырехугольнике.

2. Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали в исходном четырехугольнике, к которому он параллелен.

3. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит.

4. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.

5. Диагонали параллелограмма Вариньона — это бимедианы исходного четырехугольника.

Определение: Бимедианы четырехугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

4. Следствия из теоремы Вариньона.

Следствие 1: Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; AC=BD

Доказать: KLMN – ромб

Доказательство: Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Следствие 2: Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

Дано: четырехугольник ABCD; KLMN – параллелограмм Вариньона; диагонали AC и BD – перпендикулярны

Доказать: KLMN – прямоугольник

Доказательство: Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Следствие 3: Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны

Дано: четырехугольник ABCD; KLMN – параллелограмм Вариньона; диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

Доказать: KLMN – квадрат

Доказательство : Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

5. Основная часть работы. Применение теоремы Вариньона при решении задач.

Эффективность и удобство применения теоремы Вариньона рассмотрю на задачах , которые я составила сама и подобрала из сборников ОГЭ прошлых лет.

Задача 1.

Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий .

Дано: ABCD – четырехугольник; AC = BD

Доказать: S ABCD = KM*LN

Доказательство: Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Что и требовалось доказать.

Задача 2

Найдите площадь четырехугольника ABCD ,если его диагонали равны 12 см и 14 см , а его бимедиана равняется 9 см

Дано:AC–диагональ=12см

BD-диагональ=14см

KP=9см

Найти:SABCD

Решение: 1)построим внутри ABCD параллелограмм Вариньона — MKNP

По теореме Вариньона SMKNP= 0,5SABCD

Т.к. бимедиана является диагональю параллелорамма MKNP =) она разделяет параллелограмм на 2 треугольника- PMK и PNK =)

SMKNP=SPMK + SPNK

2)MK = 0,5 BD т.к. BD является средней линией треугольника DAB = 7см

PM = 0,5 AC т.к. является средней линией треугольника ADC = 6см

3) По теореме Герона S=√p(p-a)(p-b)(p-c),где p=a+b+c/2- полупериметр треугольника =11см

SMKNP = √11(11-7)(11-6)(11-9)=√11*4*5*2=√440=2√110*2 =4√110 =)

SABCD = 4√110*2=8√110см

Ответ :SABCD =8√110см

Задача 3

Докажите , что площадь параллелограмма ,образованного прямыми , проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям , в два раза больше площади исходного четырехугольника

Решение:

SABCD=SLMNK+SLKD+SALM+SBMN+SKNC

Так как AMOL,MONB,CKON,DKOL-параллелограммы , то

SALM=SMOL,SMBN=SMON,SNCK=SKON,SLKD=SLOK

Отсюда получаем , что SABCD=2SKLMN,что и требовалось доказать.

Задача 4

В четырехугольнике ABCD обозначены точки E и F – середины диагоналей AC и BD соответственно. Докажите , что SELFN<0,5SABCD

Доказательство :

1) Достаточно доказать, что точки E и F лежат строго внутри параллелограмма Вариньона KLMN, поскольку SKLMN=0,5SABCD.

Очевидно , что T1T2=KL=0,5AC и AE=EC=0,5AC .

2) Пусть точка Е совпадает с точкой G и лежит вне KLMN. Но тогда GC=0,5AC>T1T2 ,

А T1T2=0,5AC- противоречие

Если же E=T1,то T1С=0,5AC=T1T2 , чего также быть не может.

3) Значит, точка Е лежит внутри KLMN .

Аналогично показываем , что точка F лежит внутри параллелограмма KLMN.

Тогда SELFN<SKLMN=0,5SABCD , что и требовалось доказать .

Задача 5

Докажите , что 1)середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот , 2 )середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство:

1)Диагонали прямоугольника равны , поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба( из следствия 1);

стороны прямоугольника перпендикулярны , поэтому бимедианы перпендикулярны , тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

2) Диагонали ромба перпендикулярны , поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника ( из следствия 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Задача 6

В выпуклом четырехугольнике ABCD отмечены середины противоположных сторон BC и AD — точки L и N соответственно . Диагональ AC проходит через середину отрезка LN . Найдите площадь четырехугольника ABCD , если площадь треугольника ACD равна S .

Решение : 1) Пусть K и M – середины сторон AB и CD. Тогда KNLM — параллелограмм Вариньона , поэтому отрезок KM содержит середину O отрезка LN. Стороны треугольника KOL – средние линии треугольника ACD , поэтому

SKOL=1/4SACD=1/4S.

Аналогично, SMON= 1/4SABC, а так как треугольники KOL и MON равны , то SADC=4SKOL=4SMON=SACD=S.

Следовательно, SABCD = SABC+SACD=S+S=2S

Ответ : SABCD=2S

Задача 7

Одна из средних линий четырехугольника ABCD равна а . Его диагонали равны 3/2а и 5/2а. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Решение : 1)Пусть в четырехугольнике ABCD LN =a, AC=3/2a,BD=5/2a.

Тогда , KL=1/2AC=3/4a и KN=1/2BD=5/4a

2) По формуле Герона площадь треугольника KLN = √3/2a*a/2*3a/4*a/4=3a²/8

Значит , SABCD=4SKLN=3a²/2

Ответ : SABCD=3a²/2

Задача 8

В четырехугольнике отрезки , соединяющие середины противоположных сторон , равны. Докажите , что диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны.

Доказательство: для доказательства будем использовать теорему Вариньона

1) ▲ BEF ~ ▲BAC и ▲DHG ~ ▲DAC =) EF||HG||AC. Аналогично со сторонами EH и FG

2) Т.к. EG=FH, то из этого следует , что четырехугольник EFGH является параллелограммом Вариньона и прямоугольником (следствие2) =) EF⊥EH, FG⊥GH

3) Т.к. ▲ BEF ~ ▲BAC =) EF||AC и ▲AEH~ ▲ABD =)BD||EH

Поэтому EF⊥EH и AC⊥BD ч.т.д.

Задача 9

Докажите , что сумма длин двух отрезков , соединяющих середины противоположных сторон произвольного четырехугольника , меньше суммы длин его диагоналей

Доказательство:

1) Рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD , где точки K,L,M,N – середины сторон AB,BC,CD,AD

2) NM является средней линией для▲ADC ,а LK средняя линия для▲ABC =)NM||CA||LK . Аналогично с ▲CDB и ▲ADB =) ML||DB||NK

3) NM=LK=1/2CA и ML=NK=1/2DB(по свойству средней линии ▲) =)

KLMN-параллелограмм Вариньона

4) т.к. сторона должна быть меньше суммы двух других=) KM<KL+LM и LN<LM+MN=) KM+LN<2NM+2LM=)KM+LN<AC+BD ч.т.д.

Задача 10

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Найдите площадь ABCD , если KL=6,KM=4√3 , ∠MKL=30°

Решение:1)Пусть точки K , L , M и N – середины AВ , BC , CD и AD, тогда получившийся четырехугольник KLMN – параллелограмм Вариньона =) SABCD=2SKLMN

2) Проведем высоту MF к основанию KL, тогда SKLMN = KL*MF

▲KMF – прямоугольный и имеет ∠MKL=30° =) катет , лежащий против ∠=30° равен половине гипотенузы =) ML=0,5KM=2√3

SKLMN=6*2√3=12√3

SABCD=12√3*2=24√3

Ответ:SABCD=24√3

6. Заключение.

В процессе исследования я узнала о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрела доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников. Я убедились в том, что теорема Вариньона помогает быстро и оригинально решать задачи, открывать и доказывать новые свойства четырёхугольников, что параллелограмм Вариньона может быть использован при решении геометрических задач различной сложности.

Таким образом, выдвинутая гипотеза: с помощью теоремы Вариньона решать планиметрические задачи будет намного легче и быстрее мною подтверждена, и цель работы: «Исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее» была достигнута.

Проведенное исследование помогло мне систематизировать и углубить теоретические и практические знания по геометрии. Считаю выбранную тему актуальной и перспективной, т.к. геометрия важна в различных областях науки, а полученные знания могут быть применимы на олимпиадах, ОГЭ и ЕГЭ по математике, пользуясь теоремой Вариньона можно значительно сэкономить время на решение. В дальнейшем планирую поработать над утверждениями, обратными теореме Вариньона для различных видов четырёхугольников и изучить применение теоремы Вариньона при решении физических задач по теме «Механика».

7. Список использованных источников и литературы.

1. Атанасян, Л. С. Геометрия 7– 9 : учебник / Л .С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2016. – 384 с.

2. Вавилов, В. Бимедианы четырехугольника//Математика / В. Вавилов, П. Красников.- 2006 — №22.

3. Зив, Б. Г. Задачи к урокам геометрии 7-11 кл / Б .Г. Зив. – СПб. : Изд-во АКАЦИЯ, 1995. – 624 с.

4. Глейзер, Г.И. История математики в школе 9-10 кл / Г.И.Глейзер. – М.: Просвещение, 1983. –351 с.

5. Ильин, В. Применение теоремы о средней линии треугольника к решению задач / В. Ильин // Газета Математика /. Объединение педагогических изданий 1 сентября. – 1998. – № 48.

6. Коксетер, Г. С. Новые встречи с геометрией / Г. С. Коксетр , С. Л. Грейтцер . – М.: Наука,1978.

7. Куланин, Е. Д. 3000 конкурсных задач по математике / Е .Д. Куланин. – М.: Рольф, 1997. – 608 с.

8. Нагибин, Ф.Ф. Математическая шкатулка / Ф. Ф. Нагибин , Е.С. Канин. – М.: Дрофа, 2006. – 270 с.

9. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии / В. В. Просолов. – М.: Наука, 1995.-Т.1,2.

10. Фарков, А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5-11 кл. / А. В. Фарков – М.: Айрис-пресс, 2006. – 128 с.

11. Филипповский, Г.Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи Г. Б. Филипповский // Журнал Математика в школе. – 2006. – № 4. – с. 45-49.

12. Энциклопедия Математика. – М.: Изд-во Аванта +, 2000.- Т.11. – 688 с.

13. Geretschlager, R. Kalinowski Jozef, Svrcek Jaroslav A Central European Olympiad, The Mathematical Duel [ электронный ресурс] / R. Geretschlager , J. Kalinowski , J. Svrcek .-2018.- Vol. 7. – Режим доступа : https://books.google.com. –Загл. с экрана.

14. Bits of Math [Электронныйресурс]. — community blogs ,2015-.- Режим доступа : https://artofproblemsolving.com, свободный.- Загл.с экрана.

15. Russia 2004 problem [Электронныйресурс]. — community blogs ,2011-.­- Режим доступа : https://artofproblemsolving.com, свободный.- Загл.с экрана.

Просмотров работы: 2380