Каталог заданий.
Шар
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д13 № 27059 
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Аналоги к заданию № 27059: 72765 5049 27185 72719 72721 72723 72725 72727 72729 72731 … Все
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
2
Задания Д13 № 27072
Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
Аналоги к заданию № 27072: 73287 5075 26551 73243 73245 73247 73249 73251 73253 73255 … Все
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
3
Задания Д13 № 27097
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
Аналоги к заданию № 27097: 74403 74405 74407 74409 74411 74413 74415 Все
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
4
Задания Д13 № 27162
Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Аналоги к заданию № 27162: 76355 76349 76351 76353 76357 76359 Все
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
5
Задания Д13 № 324449
Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.
Аналоги к заданию № 324449: 325025 325027 325029 325031 325033 325035 325037 325039 325041 325043 … Все
Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 2.
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
08
Сен 2013
Категория: 02 Стереометрия
02. Шар
2013-09-08
2022-09-11
Задача 1. Объем шара равен 12348
. Найдите площадь его поверхности, деленную на 
Решение: + показать
Задача 2. Площадь большого круга шара равна 
Найдите площадь поверхности шара.
Решение: + показать
Задача 3. Площадь поверхности шара равна 
Найдите площадь большого круга шара.
Решение: + показать
Задача 4. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 
раз?
Решение: + показать
Задача 5. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в пять раз?
Решение: + показать
Задача 6. Объем первого шара в 
раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Решение: + показать
Задача 7. Радиусы двух шаров равны 
и 
Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Решение: + показать
Задача 8. Радиусы трех шаров равны 
, 
и 
Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест
Автор: egeMax |
комментариев 7
1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
2. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
4. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
|
5. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
|
|
6. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на
|
7. Объем шара равен 288 
. Найдите площадь его поверхности, деленную на .
8. Около куба с ребром 
описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .
9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его радиус увеличить в два раза?
|
10. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
|
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи по теме «Сфера и шар»
(blacktriangleright) Сфера – это множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки (O) (называемой центром сферы).
(blacktriangleright) Шар – это сфера вместе со своей внутренностью.
Основные формулы (где (R) – радиус сферы или шара):
(blacktriangleright) площадь сферы ({large{S=4pi R^2}})
(blacktriangleright) объем шара ({large{V=dfrac{4}{3}pi R^3}})
Задание
1
#1878
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Объем шара равен (displaystyle frac{36}{sqrtpi}). Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на (displaystyle frac{6}{sqrtpi})?
(displaystyle V_{text{шара}} = frac{4}{3}pi R^3 = frac{36}{sqrtpi}) (Rightarrow) (displaystyle R = frac{3}{sqrtpi}). Радиус нового шара равен: (displaystyle R_{text{нов.}} = R + frac{6}{sqrtpi} = frac{9}{sqrtpi}). Тогда найдем площадь поверхности: (displaystyle {S_{text{пов.}} = 4pi R_{text{нов.}}^2 = 4pi left(frac{9}{sqrtpi}right)^2 = 4pifrac{81}{pi} = 324}.)
Ответ: 324
Задание
2
#1877
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Во сколько раз объем шара больше объема сегмента, высота которого равна половине радиуса?
Необходимо объем шара разделить на объем соответствующего сегмента, высота которого равна (H = frac{1}{2}R)
[frac{V_{text{шара}}}{V_{text{сегм.}}} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{pi left(frac{1}{2}Rright)^2left(R — frac{1}{3}left(frac{1}{2}Rright)right)} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{frac{5}{24}pi R^3} = frac{4}{3} cdot frac{24}{5} = frac{32}{5} = 6,4.]
Ответ: 6,4
Задание
3
#2674
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Имеются две сферы (S_1) и (S_2), про которые известно, что радиус первой сферы в (2) раза больше, чем радиус второй сферы. Кроме того, сфера (S_2) целиком находится внутри сферы (S_1). Пусть объём шара, ограниченного второй сферой, равен (V_2), а объём тела, заключённого между сферами, равен (V). Найдите (V : V_2).
Пусть (V_1) – объём шара, ограниченного первой сферой. Так как радиус (S_1) в два раза больше, чем радиус (S_2), то (V_1 : V_2 = 
.
[V = V_1 — V_2 = 8V_2 — V_2 = 7V_2,,] следовательно, (V : V_2 = 7).
Ответ: 7
Задание
4
#2306
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Площадь поверхности шара равна (frac{37}{pi}). На расстоянии (frac1{2pi}) от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.
Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то
[4pi R^2=dfrac{37}{pi} quad Rightarrow quad R^2=dfrac{37}{4pi^2}]
По условию задачи (OQ=frac1{2pi}). Рассмотрим (triangle OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.
Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{37}{4pi^2}-dfrac1{4pi^2}=dfrac{9}{pi^2}
quad Rightarrow quad r=dfrac3{pi}]
Таким образом, длина окружности сечения равна [C=2pi
r=2picdotfrac3{pi}=6.]
Ответ: 6
Задание
5
#2307
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Площадь поверхности шара равна (64). На расстоянии (frac3{2sqrt{pi}}) от центра шара проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.
Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то
[4pi R^2=64 quad Rightarrow quad R^2=dfrac{64}{4pi}]
По условию задачи (OQ=frac3{2sqrt{pi}}). Рассмотрим (triangle
OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.
Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{64}{4pi}-dfrac9{4pi}=dfrac{55}{4pi}]
Таким образом, площадь сечения равна
[S=picdot r^2=picdot dfrac{55}{4pi}=dfrac{55}4=13,75.]
Ответ: 13,75
Задание
6
#951
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Центр большего основания усечённого конуса совпадает с центром сферы, а окружность его меньшего основания лежит на сфере. Отрезки (BC) и (AD) – диаметры меньшего и большего оснований этого усечённого конуса соответственно, (BCparallel AD), [S_{ABCD} = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},qquadqquad dfrac{r}{R} = dfrac{1}{sqrt{15}},] где (R) и (r) – радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, (angle ADC = 45^circ). Найдите объём шара, ограниченного данной сферой.
Рассмотрим (ABCD): т.к. (BCparallel AD), то (ABCD) – трапеция. Так как (AB) и (CD) – образующие усечённого конуса, то (AB = CD) и трапеция (ABCD) – равнобедренная.
Построим (CHperp AD). Так как (angle ADC = 45^circ), то (triangle CHD) – равнобедренный и (CH = HD).
[HD = dfrac{AD — BC}{2} = R — r,qquadqquad S_{ABCD} = dfrac{BC + AD}{2}cdot CH = (R + r)(R — r) = R^2 — r^2 = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},] но (r = dfrac{R}{sqrt{15}}), тогда [R^2left(1-dfrac{1}{15}right) = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}}qquadRightarrowqquad R = dfrac{15}{sqrt[3]{pi}}qquadRightarrowqquad V_{text{шара}} = dfrac{4}{3}pi R^3 = dfrac{4}{3}cdotpicdotdfrac{15^3}{pi} = 4500.]
Ответ: 4500
Задание
7
#3114
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дан шар, диаметр которого равен (9). Плоскость (alpha) пересекает диаметр (SZ) шара под углом (90^circ) и делит его точкой пересечения в отношении (1:2), считая от вершины (S). Найдите объем пирамиды с вершиной в точке (S), в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью (alpha).
Пусть (O) – центр шара, (Q) – точка пересечения (SZ) и плоскости (alpha). Пусть (SABCD) – пирамида, объем которой нужно найти.
Рассмотрим сечение шара плоскостью (ASC).
Так как (SQ:QZ=1:2), то (SQ:SZ=1:3), следовательно, (SQ:SO=2:3), следовательно, (OQ:SO=1:3). Тогда [AQ=sqrt{AO^2-OQ^2}=sqrt{AO^2-left(dfrac13AOright)^2}=dfrac{2sqrt2}3AO
=dfrac{2sqrt2}3cdot dfrac92=3sqrt2] Следовательно, (AC=6sqrt2). Следовательно, (AB=AC:sqrt2=6).
Также [SQ=dfrac23SO=dfrac23cdot dfrac92=3] Заметим, что (SQ) – высота пирамиды, так как (SQperp alpha). Следовательно, [V=dfrac13cdot SQcdot AB^2=36.]
Ответ: 36
Задачи по стереометрии, в которых требуется произвести расчет объема сферы и измерение других неизвестных параметров, встречаются в ЕГЭ каждый год. Это означает, что знать основные формулы и уметь оперативно находить правильный ответ должны выпускники с разным уровнем подготовки. Понимая принцип решения задач ЕГЭ, в которых требуется вычислить объем или, к примеру, площадь сферы, старшеклассники смогут выполнять упражнения с любым количеством действий и при этом получить достаточно высокие баллы по итогам прохождения экзаменационного испытания.
Базовая информация
- Сферой называется поверхность, которая состоит из множества точек пространства. Все они располагаются на одинаковом расстоянии от точки О. Она является центром сферы.
- Геометрическое тело, которое ограничено сферой, называется шаром. Его осевое сечение представляет собой круг. Радиус последнего равен радиусу шара.
- Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в n2 раз, а объем — в n3 раз.
Занимайтесь с образовательным порталом «Школково» для качественной подготовки к экзамену!
Проблема поиска необходимой информации встает перед старшеклассниками достаточно остро. Не всегда школьный учебник оказывается под рукой. А поиск базовых формул для вычисления площади, объема шара и других неизвестных параметров бывает достаточно трудоемким даже в онлайн-режиме.
Наш образовательный проект поможет сэкономить время и эффективно подготовиться к сдаче экзаменационного испытания. Мы предлагаем учащимся и их преподавателям выстроить процесс подготовки к ЕГЭ от простого к сложному. Такой подход позволит старшеклассникам понять, какие темы требуют более детального изучения, и улучшить имеющиеся знания.
Базовая информация, которую стоит повторить еще до выполнения задач на нахождение объема шара, представлена в разделе «Теоретическая справка». Материал, подготовленный опытными преподавателями «Школково», поможет вам восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.
Чтобы задачи ЕГЭ по теме «Шар» или, например, по теме «Цилиндр», не вызывали затруднений, мы предлагаем также потренироваться в выполнении соответствующих упражнений. Множество заданий разной степени сложности вы найдете в разделе «Каталог». Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения. Попрактиковавшись в режиме онлайн и поняв принцип нахождения правильного ответа, школьники смогут без труда вычислить объем сферы.
При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему.
Выполнять онлайн-задания на нахождение площади боковой сферы могут не только школьники из столицы, но и выпускники из других российских городов.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Инфоурок
›
Геометрия
›Презентации›Решение задач по теме: «Объем шара и площадь сферы»
Решение задач по теме: «Объем шара и площадь сферы»
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 128 человек из 47 регионов
- Сейчас обучается 630 человек из 77 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
«Объем шара и площадь сферы»
27 декабря 2021г
Составила:
Пименова Мария Юрьевна,
Учитель математики первой категории
МБОУ «Шалинской СОШ №45» -
2 слайд
Объём шара радиуса R
V = -
3 слайд
Задача №1
Пусть V – объем шара радиуса R, а S – площадь его поверхности.
Найдите R и V, если S = 64π см2 -
4 слайд
Задача №1. Решение
S = 64π см2
𝑆=4𝜋 𝑅 2 →𝑅= 𝑆 4𝜋 = 64𝜋 4𝜋 = 16 =4см
𝑉= 4 3 𝜋 𝑅 3 = 4 3 𝜋 ∙4 3 = 256𝜋 3 с м 3 -
5 слайд
Задача №2
В шаре на расстоянии 3см от центра проведено сечение, радиус которого 4см. Найдите объём шара. -
6 слайд
Задача №2. Решение
О
3 см
4 см
О1
А -
7 слайд
Задача №2. Решение
По Т. Пифагора находим АО = 5см, следовательно, радиус шара равен 5см.
𝑉= 4 3 𝜋 𝑅 3 = 4 3 𝜋∙ 5 3 = 500𝜋 3 с м 3О
3 см
4 см
О1
А -
8 слайд
Задача №3
Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 4𝜋 с м 2 .
Найдите объём шара. -
9 слайд
Задача №3. Решение
О
А -
10 слайд
Задача №3. Решение
Радиус сечения равен радиусу шара, следовательно,
𝑉= 4 3 𝜋 𝑅 3 = 4 3 𝜋 ∙2 3 = 32𝜋 3 с м 3
О
А -
11 слайд
Задача №4
Площадь поверхности сферы равна 16𝜋с м 2 .
Вычислите объём соответствующего шара. -
12 слайд
Задача №4. Решение
𝑆=4𝜋 𝑅 2 →𝑅= 𝑆 4𝜋 = 16𝜋 4𝜋 = 4 =2см
𝑉= 4 3 𝜋 𝑅 3 = 4 3 𝜋 ∙2 3 = 32𝜋 3 с м 3 -
13 слайд
Задача №5
Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания.
Найдите объём шара, если АВ=21см, ВО=29см. -
14 слайд
Задача №5. Решение
Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания.
Найдите объём шара, если АВ=21см, ВО=29см.О
А
В
α
21 см
29 см -
15 слайд
Задача №5. Решение
По Т. Пифагора находим АО=20см, далее
𝑉= 4 3 𝜋 𝑅 3 = 4 3 𝜋 ∙20 3 = 32000𝜋 3 с м 3О
А
В
α
21 см
29 см -
16 слайд
Домашнее задание №1
Объём шара равен 36𝜋с м 3 . Найдите площадь поверхности шара. -
17 слайд
Домашнее задание №2
Радиусы трех шаров 3 см, 4 см и 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов. -
18 слайд
Домашнее задание №3
Плоскость проходит на расстоянии 8 см от центра шара. Радиус сечения равен 15 см. Найдите площадь поверхности шара.О
8 см
15 см
О1
А -
19 слайд
Домашнее задание №4
Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см плоскостью, проведённой на расстоянии 29 см от центра шара.
О
29 см
41 см
О1
А -
20 слайд
Домашнее задание №1. Решение
Объём шара равен 36𝜋с м 3 . Найдите площадь поверхности шара.
𝑆=4𝜋 𝑅 2 и 𝑉= 4 3 𝜋 𝑅 3
Следовательно, 𝑅= 3 3𝑉 4𝜋 = 3 3∙36𝜋 4𝜋 = 3 27 =3см
𝑆=4𝜋 𝑅 2 =36𝜋 с м 2 -
21 слайд
Домашнее задание №2. Решение
Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
1) Находим сумму объемов:
𝑉= 4 3 𝜋 𝑅 1 3 + 𝑅 2 3 + 𝑅 3 3 = 4 3 𝜋 27+64+125 = 4 3 ∙216𝜋с м 3
2) Так как 𝑉= 4 3 𝜋 𝑅 3 ⇒ 𝑅 3 =216 см ⇒ 𝑅=6 см -
22 слайд
Домашнее задание №3. Решение
Находим радиус шара по Т. Пифагора:
𝐴𝑂= 15 2 + 8 2 = 289 =17 см
Следовательно,
𝑆=4𝜋 𝑅 2 =4∙ 17 2 𝜋=1156𝜋 с м 2О
8 см
15 см
О1
А -
23 слайд
Домашнее задание №4. Решение
Находим радиус сечения по Т. Пифагора:
𝐴 𝑂 1 = 41 2 − 29 2 = 840 см
Площадь сечения шара равна:
𝜋 𝑅 2 =840𝜋 с м 2
О
29 см
41 см
О1
А
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 154 748 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Материал подходит для УМК
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Педагогическая риторика в условиях реализации ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС медицинских направлений подготовки»
-
Курс повышения квалификации «Правовое регулирование рекламной и PR-деятельности»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности помощника-референта руководителя со знанием иностранных языков»
-
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»
-
Курс профессиональной переподготовки «Управление информационной средой на основе инноваций»
-
Курс профессиональной переподготовки «Гражданско-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Скачать материал
-
21.01.2022
2312
-
PPTX
1.3 мбайт -
195
скачиваний -
Оцените материал:
-
-
Настоящий материал опубликован пользователем Пименова Мария Юрьевна. Инфоурок является
информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайтЕсли Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.Удалить материал
-
- На сайте: 5 лет и 6 месяцев
- Подписчики: 1
- Всего просмотров: 24163
-
Всего материалов:
53
Зачет по теме «Объем шара» Вариант1
1. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
Зачет по теме «Объем шара» Вариант2
1.Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в пять раз?
2. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
2. Радиусы трех шаров равны 1, 6 и 8. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
3. В куб с ребром 18 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π.
3. В куб с ребром 21 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π.
4. Около куба с ребром 
описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π.
4Около куба с ребром 
описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π.
5. Объем одного шара в 1331 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
5. Объем одного шара в 2197 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
6. Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на π.
6. Объем шара равен 972 . Найдите площадь его поверхности, деленную на π.
7. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 27. Найдите объем шара.
7. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 12. Найдите объем шара.
8.Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите объем шара.
8. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 4, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,44. Найдите объем шара.
Геометрия 10-11 класс. Объём шара
Скачать файл в формате pdf.
Геометрия 10-11 класс. Объём шара
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии от данной точки, не большем данного положительного числа. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара. Шаровой поверхностью или сферой шара называется множество всех точек пространства, находящихся на равном положительном расстоянии от некоторой точки. Эта точка называется центром сферы, а данное расстояние радиусом сферы. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром.
Площадь поверхности шара находится по формуле: (S = 4,pi ,{R^2}); объем шара находится по формуле: (V = frac{4}{3}pi ,{R^3}), где R – радиус шара.
Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровой сегмент можно получить, вращая круговой сегмент вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде.
Площадь сегментной поверхности находится по формуле: (S = 2,pi ,R,H); объем шарового сегмента находится по формуле: (V = pi ,{H^2},left( {,R — frac{H}{3},} right)), где H – высота сегмента; R – радиус шара.
Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то он дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.
Объем шарового сектора находится по формуле: (V = frac{2}{3}pi ,{R^2}H); площадь полной поверхности шарового сектора складывается из площади сегментной поверхности и площади боковой поверхности конуса и находится по формуле:({S_{{text{шар}}{text{.}};{text{сект}}}} = {S_{{text{шар}}{text{.}};{text{сегм}}}} + {S_{{text{б}}{text{.}};{text{п}}{text{.}};{text{кон}}}} = 2,pi ,R,H + pi ,R,sqrt {,2,R,H — {H^2}} ), где H – высота соответствующего шарового сегмента; R – радиус шара.
Задачи для самостоятельного решения
| Задача 1. Из центра сферы провели два радиуса, угол между которыми ({90^circ }). Расстояние между концами радиусов равно (3sqrt 2 ). Найдите объём шара, деленный на π. |
| Задача 2. Диаметр сечения шара равен 8, расстояние от центра шара до его сечения равно (2sqrt 5 ). Найдите объём шара, деленный на π. |
| Задача 3. В сечение шара вписан треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно (sqrt {11} .) Найдите объём шара, деленный на π. |
| Задача 4. В шаре проведено сечение площадью 4π. Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно (sqrt 5 .) Найдите объём шара, деленный на π. |
| Задача 5. В куб с ребром, равным (frac{6}{{sqrt[3]{pi }}}), вписан шар. Найдите объём шара. |
| Задача 6. Около куба с ребром, равным (frac{{sqrt 3 }}{{sqrt[3]{pi }}}), описан шар. Найдите объём шара. |
| Задача 7. В правильную треугольную призму со стороной основания, равной (6sqrt 3 ), вписан шар. Найдите объём шара, деленный на π. |