Объемы егэ теория - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Куб		диагональ
Параллелепипед	$V=S_text{OCH}h, h -$ высота
Прямоугольный параллелепипед		$d=sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Призма	$V=S_text{OCH}h$	$S = 2S_text{OCH}+$
Пирамида	$V=frac{1}{3}S_text{OCH}h$	$S = S_text{OCH}+$

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача 1.Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

$P_text{OCH}=8+6+6+2+2+4=28.$

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

(больший квадрат), (маленький прямоугольник), $S_text{OCH}=36+8=44$

Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:

Ответ: 424.

Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

$P_text{OCH}=4+5+2+1+2+4=18.$

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

(большой прямоугольник), $S_text{OCH}=16+2=18$ (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности:

Ответ: 54

Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда $angle{ABC}=120^{circ}$

Из по теореме косинусов найдем ребро АС:

$AC^2=AB^2+BC^2-2cdot ABcdot BC cdot cos120^{circ}$

$AC^2=25+9-2cdot5cdot3cdotleft(-frac{1}{2}right)=47, ~AC = 7$

Отрезок АС – большая сторона , следовательно, большая боковая грань призмы.

Поэтому или откуда h=5.

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем , тогда (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.

– равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.

Из прямоугольного получим:

$AK=sqrt{AB^2-BK^2}=sqrt{13^2-5^2}=sqrt{169-25}=sqrt{144}=12.$

Из прямоугольного имеем:

$DK=sqrt{DA^2+AK^2}=sqrt{9^2+12^2}=sqrt{81+144}=sqrt{225}=15.$

(по двум катетам), тогда $S_{ADB}=S_{ADC},$ следовательно

$=2S_{ADB}+S_{BDC},$ $=2cdotfrac{1}{2}cdot13cdot9+frac{1}{2}cdot10cdot15=117+75=192.$

Ответ: 192

Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

где р – полупериметр основания, h — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.

Значит, полупериметр основания .

Апофему найдем по теореме Пифагора:

$h=sqrt{37^2-12^2}=sqrt{(37-12)(37+12)}=sqrt{25cdot49}=5cdot7=35$

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.

Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту:

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Ответ: 220.

Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Объем призмы равен $V=S_{OCH}cdot h$ , а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть h=6.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания

$S_{OCH}=frac{1}{2}cdot ab=frac{1}{2}cdot6cdot7=21.$

Ответ: 126

Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Объем призмы равен $V = S_{OCH}cdot h$

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, Так как высота воды h_2 должна быть в 81 раз меньше, чем h_1. Она равна (см).

Ответ: 4

Задача 12. Объем параллелепипеда Найдите объем треугольной пирамиды ABDA_1.

Решение.
Опустим из вершины A_1 высоту A_1H Н на основание ABCD.

$=S_{ABCD}cdot A_1H$

$=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H$

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно, $S_{ABD}=frac{1}{2}S_{ABCD}.$

Имеем:

$ABDA_1=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H=frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}S_{ABCD}cdot A_1H=frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=frac{1}{6}cdot21=3,5.$

Ответ: 3,5

Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна

Решение.
По формуле объема пирамиды, .

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна $S_{OCH}=frac{a^2sqrt{3}}{4}.$

$S_{OCH}=frac{8^2sqrt{3}}{4}=frac{64sqrt{3}}{4}=16sqrt{3}.$

Объем пирамиды $V=frac{1}{3}cdot16sqrt{3}cdot6sqrt{3}=16cdot6=96.$

Ответ: 96

Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.

Решение.

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть AD=x, тогда $S_{OCH}=x^2.$

Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то $DM=DK=frac{x}{2}.$

$S_{MDK}=frac{1}{2}MDcdot DK=frac{1}{2}cdotfrac{x}{2}cdotfrac{x}{2}=frac{1}{8}x^2.$

Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет $frac{1}{8}$ часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: $V=S_{OCH}cdot h$ , и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен 32:8=4.

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

$S=P_{perp}cdot l.$

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Площадь поверхности – это суммарная площадь всех поверхностей, которые составляют объемную фигуру.

Призма

1. Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) — равные (n)-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, остальные (n) граней (боковые) — параллелограммы. Призмы подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего.

2. Призма, у которой боковое ребро перпендикулярно основанию, называется прямой. Ее боковые грани — прямоугольники, и высота равна боковому ребру.
Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется правильной. Ее боковые грани, равные прямоугольники.

3. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований: (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}).

4. Объем произвольной призмы равен произведению площади основания на высоту: (V_{призмы}=S_{осн}cdot h).

Параллелепипед

5. Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм. Противоположные боковые грани параллелепипеда равны.
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно основанию.
Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда выражается через его измерения (ширину, длину и высоту) формулой (d^2=a^2+b^2+c^2).
Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты. Диагональ куба с ребром (a): (d=asqrt{3}).

Пирамида

6. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (основание) — (n)—угольник, а остальные (n) граней (боковые) — треугольники с общей вершиной. Пирамиды подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Тетраэдер – другое название треугольной пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание.

7. Пирамида называется правильной, если ее боковые ребра равны, а в основании лежит правильный многоугольник.
Основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром ее основания, углы наклона боковых ребер к основанию равны, двугранные углы при основании равны, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины к ребру основания.

8. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: (S_{полн} = S_{бок}+ S_{осн}).

9. Объем произвольной пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту: (V=frac{1}{3} S_{осн}cdot h).

Сфера и шар

10. Сфера — это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы.
Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с точкой на сфере, или длина этого отрезка.
Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки на сфере.
Диаметр сферы — это хорда, которая проходит через центр сферы. Диаметр сферы равен двум радиусам сферы.

11. Площадь сферы находится по формуле: (S_{сф}=4πR^2).

12. Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой, вместе с самой сферой и ее центром. Данная сфера называется поверхностью шара.
Сечение шара с радиусом (R) плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом шара. Радиус, хорда, диаметр шара те же, что и его сферы.

13. Объем шара находится по формуле (V_{шара}=frac{4}{3} πR^2).

Цилиндр

14. Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг прямой, проходящей через одну из его сторон.
Прямая вращения называется осью цилиндра.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами (2r) и (l), где (r) — радиус основания цилиндра, (l) — его образующая.
Образующая цилиндра — отрезок (обозначается (l) или (L)), перпендикулярный основаниям цилиндра и соединяющий точку окружности верхнего основания с точкой окружности нижнего основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (обозначается (h) или (H)).

15. Площадь боковой поверхности цилиндра: (S_{бок}=2πrh); (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}=2πrh+2πr^2).

16. Объем цилиндра (V_{цил}=S_{осн} h=πr^2 h).

Конус

17. Конусом называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.
Прямая вращения называется осью конуса.
Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым сечением. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник со стороной основания (2r) боковой стороной (l), где (r) — радиус основания конуса, (l) — его образующая.
Вершина осевого сечения является вершиной конуса.
Образующая конуса (обозначается (l) или (L)) — отрезок, соединяющий вершину конуса и точку окружности основания.
Высотой конуса называется расстояние от вершины конуса до плоскости основания (обозначается (h) или (H)). Высота конуса равна высоте осевого сечения, опущенной на основание.

18. Площадь боковой поверхности конуса: (S_{бок кон}=πrl), (S_{кон}=S_{бок}+S_{осн}=πrl+2πr^2).

19. Объем конуса: (V_{кон}=frac{1}{3}S_{осн}h=frac{1}{3}πr^2 h).

Источник

Объемы многогранников, теория ЕГЭ по математике

05.10.2015

Данный блок теории по математике посвящён теме «Объемы многогранников» и ориентирован на подготовку и успешную сдачу ЕГЭ по математике.

В настоящем пособии собрано более трехсот задач, в каждой из которых требуется построить общую часть двух заданных многогранников и найти ее объем.

Как показывает анализ результатов различных экзаменов, основная трудность при решении стереометрических задач связана не столько с недостатками, вызванными незнанием формул и теорем или неумением их применять, сколько с недостаточно развитыми пространственными представлениями, неумением правильно изобразить пространственную ситуацию, указанную в задаче.

Т.к. задания ЕГЭ по математике меняются почти каждый год, решено не привязывать теорию к заданиям, а выдавать тематическими разделами.

Автор: В.А. Смирнов и др.

СКАЧАТЬ PDF https://down.ctege.info/ege/obshee/matem/geometriya/matem-ege-geometriya05-obemy-mnogogrannikov.pdf

Другие темы из этого блока:

Расстояния и углы в пространстве
Сечения многогранников
Вписанные и описанные фигуры в пространстве
Объемы и площади поверхностей в пространстве
Объемы многогранников
Тела и поверхности вращения
Фигуры в пространстве
Графики

Сохранить ссылку:

Комментарии (0)
Добавить комментарий

Добавить комментарий

Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.

Имя (обязательное)

E-Mail

Подписаться на уведомления о новых комментариях

Отправить

Источник

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle H).

( displaystyle {{S}_{осн}}) – это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma ).

У нас «( displaystyle a)» – это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» – это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle H).

По теореме Пифагора для ( displaystyle Delta SOC)

( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}).

Чему же равно ( displaystyle OC)? Это радиус описанной окружности в ( displaystyle Delta ABC), потому что пирамидаправильная и, значит, ( displaystyle O) – центр ( displaystyle Delta ABC).

Найдем ( displaystyle OC) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

ravnostoronnij treugolnik piramida najti obyom

( displaystyle OC=frac{2}{3}CK), так как ( displaystyle O) – точка пересечения и медиан тоже.

( displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}) (теорема Пифагора для ( displaystyle Delta ACK))

( displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{4}=frac{3{{a}^{2}}}{4}); ( displaystyle CK=frac{asqrt{3}}{2})

Значит, ( displaystyle OC=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3})

Подставим ( displaystyle OC) в формулу для ( displaystyle H).

( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{left( frac{asqrt{3}}{3} right)}^{2}}={{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3})

И подставим все в формулу объема:

( displaystyle V=frac{1}{3}{{S}_{ABC}}cdot H=frac{1}{3}cdot frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}cdot sqrt{{{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3}})

( displaystyle V=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{12}sqrt{{{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3}}).

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ( displaystyle b=a)), то формула получается такой:

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{6sqrt{2}}).

Источник

Объемы тел. Основные формулы.

Объем пирамиды.

Формула

Рисунок

Расшифровка формулы

S_осн — площадь основания, h — высота.

Основание может быть n-угольником, где n=3; 4; 5; … .

h — высота усеченной пирамиды, S_ниж — площадь нижнего основания, S_верх — площадь верхнего основания.

Формула применима только для усеченной пирамиды.

Другой способ нахождения объема: из объема полной пирамиды вычесть объем ее отсеченной части.

Объем конуса.

Формула

Рисунок

Расшифровка формулы

R — радиус основания, H — высота конуса

R, r — радиусы оснований, Н — высота.

Формула применима только для усеченного конуса.

Другой способ нахождения объема: из объема полного конуса вычесть объем его отсеченной части.

Объем цилиндра.

Формула	Рисунок	Расшифровка формулы
		r — радиус, h — высота

Объем сферы, шара.

Объем параллелепипеда и куба.

Формула	Рисунок	Расшифровка формулы
		а, b — стороны основания, с — боковое ребро. Формула применяется для прямоугольного параллелепипеда.
		а, b — стороны основания, h — высота. Общая формула для нахождения объема параллелепипеда.
		а — сторона куба.

Источник

ГКОУ РД « Тельманская средняя общеобразовательная школа

Тляратинского района»

Тема урока: Обобщающий урок по геометрии в 11-м классе по теме «Объемы.
Подготовка к ЕГЭ».

Учитель:
Юсупов Абдурашид Магомедшапиевич

Класс:
11.

Дата
проведения урока: 2 апрель 2019 года

Цели урока:

Обучающая:

систематизировать
и обобщить знания учащихся по теме «Объемы».

Развивающая:

формирование
умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного,
анализировать условие задачи, составлять модель решения;
развитие
умений и навыков применять математические знания к решению практических
задач, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях.

Воспитательная:

формирование
информационной культуры, активности, мобильности, коммуникативности.

Задачи урока:

Выявление
уровня подготовки учащихся по геометрии по данной теме, систематизирование
полученных знаний с помощью приема «Кластер»;
Развитие
и реализация творческих способностей личности;
Применение
различных приемов организации интеллектуального труда;
Применение
навыков анализа, синтеза, выделения главного.

Технологии, применяемые на уроке:

·
Информационно-коммуникативные
(цивилизованное и осознанное выполнение поиска, отбора, преобразования,
передачи, представления, хранения любых видов информации);

·
Проблемный диалог (на уроке дети участвуют
в формулировке темы и целей урока; вырабатывают вместе с учителем алгоритмы
выполнения заданий; учатся оценивать и корректировать свою деятельность);

·
Прием «Кластер»
(разноуровневый подход к выполнению учащимися одинакового задания);

·
Оценивание учебных успехов (ученик
самостоятельно оценивает результат своих действий, избавляется от страха перед
школьным контролем, создается комфортная обстановка, сберегается его
психологическое здоровье).

План урока:

I. Организационный момент 1
мин.

II. Устная работа 8
мин.

III. Обобщение и коррекция опорных знаний по теме «Объемы
многогранников и тел вращения» 6
мин.

IV. Решение задач,
соответствующих уровню задач С2 из сборника заданий ЕГЭ 27
мин.

V. Подведение итогов урока 3
мин.

Ход урока

I. Организационный момент (1 мин).

II. Устная работа (8 мин).

В работе использованы задачи из сборника «ЕГЭ: 3000 задач по
математике. Все задания группы В.» авторов Семенова А. Л. и Ященко И. В. уровня
В4, В6, В9.

1)
Проверка знаний учащихся
по теме «Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике». (слайд)

2) Решение задач на готовых чертежах. (слайды)

Задача 1

Ответ
2,25

Задача 2

Ответ 8

Задача 3

Ответ 864

Задача 4

Ответ 120

Задача 5

Ответ 1728

Задача 6

Ответ 665,5

3) Какие формулы вы
использовали для решения этих задач?

III. Обобщение и коррекция опорных знаний по теме «Объемы
многогранников и тел вращения» (6 мин).

Учащимся
предлагается кластер по теме «Объемы».

Необходимо
записать виды многогранников и тел вращения, формулы для вычисления объемов
данных фигур.

Предполагается
разноуровневая индивидуальная работа учащихся с последующей самопроверкой. (слайд)

Рефлексия.

IV. Решение задач, соответствующих уровню задач С2 из сборника
заданий ЕГЭ (27 мин).

Задача 1

Решение:

Ответ:
.

Задача 2

Решение:

Объем
пирамиды равен .

(по 2 углам),
следовательно , следовательно .

Из
прямоугольного треугольника SGH: ; .

Сторона
квадрата АВ=2GH, АВ=;

Площадь
основания пирамиды равна ; , значит

Объем
пирамиды равен .

Ответ:
.

Задача 3

При выполнении домашнего задания к уроку использован
дифференцированный подход к учащимся. Двум учащимся это задание было предложено
для самостоятельного решения.

В
правильный октаэдр вписана сфера. Определите объем сферы, если площадь
поверхности октаэдра равна .

Решение:

;

Ответ: .

V. Подведение итогов урока (3 мин).

1) Домашнее
задание: Сборник под ред. Ященко и др. Вариант 6. Задачи В4, В6, В9, С2.

10.
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны
2, а объем равен √3.

11. Диагональ куба равна √12.
Найдите его объем.

12.
От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида
плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания.
Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

13.Основанием
пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости
основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом
60 градусов. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Комментарий к домашнему
заданию: Информацию для решения домашнего задания вы найдете в материалах
сегодняшнего урока.

2) Выставление
оценок.

Литература:

1.
Семенов А. Л., Ященко И. В. «ЕГЭ: 3000 задач по математике. Все задания группы
В»;

4.
Семенов А. Л., Ященко И. В. «ЕГЭ-2018. Типовые экзаменационные варианты».

Источник

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Призма

Параллелепипед

Пирамида

Сфера и шар

Цилиндр

Конус

Объемы многогранников, теория ЕГЭ по математике

Объем правильной треугольной пирамиды

Объемы тел. Основные формулы.

В работе использованы задачи из сборника «ЕГЭ: 3000 задач по математике. Все задания группы В.» авторов Семенова А. Л. и Ященко И. В. уровня В4, В6, В9.

В работе использованы задачи из сборника «ЕГЭ: 3000 задач по
математике. Все задания группы В.» авторов Семенова А. Л. и Ященко И. В. уровня
В4, В6, В9.