Объемы фигур формулы егэ математика профиль - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Подготовка к ЕГЭ по математике не может обойтись без изучения геометрии. Задачи на расчет площади и объема фигур, нахождение углов и длин сторон встречаются и в первой, и во второй части. В базовой математике ЕГЭ формулы на объем и площадь представлены в справочных материалах. Тем, кто сдает профильную, придется выучить их. Рассмотрим основную теорию.

Площадь — величина, которая есть у плоских фигур. Ее можно посчитать для квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции, круга. Объем присущ трехмерным объектам, таким как куб, шар, параллелепипед, призма, пирамида, конус. Объемные тела условно делят на многогранники (состоят из нескольких многоугольников) и поверхности вращения (есть условная линия, вдоль которой вращается плоская фигура). На вычисление объема это не влияет.

В таблицах представлены основные формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Мы советуем сохранить их себе, чтобы пользоваться при подготовке к ЕГЭ и быстро повторить теорию перед экзаменом.

Источник

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Куб		диагональ
Параллелепипед	$V=S_text{OCH}h, h -$ высота
Прямоугольный параллелепипед		$d=sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Призма	$V=S_text{OCH}h$	$S = 2S_text{OCH}+$
Пирамида	$V=frac{1}{3}S_text{OCH}h$	$S = S_text{OCH}+$

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача 1.Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

$P_text{OCH}=8+6+6+2+2+4=28.$

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

(больший квадрат), (маленький прямоугольник), $S_text{OCH}=36+8=44$

Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:

Ответ: 424.

Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

$P_text{OCH}=4+5+2+1+2+4=18.$

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

(большой прямоугольник), $S_text{OCH}=16+2=18$ (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности:

Ответ: 54

Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда $angle{ABC}=120^{circ}$

Из по теореме косинусов найдем ребро АС:

$AC^2=AB^2+BC^2-2cdot ABcdot BC cdot cos120^{circ}$

$AC^2=25+9-2cdot5cdot3cdotleft(-frac{1}{2}right)=47, ~AC = 7$

Отрезок АС – большая сторона , следовательно, большая боковая грань призмы.

Поэтому или откуда h=5.

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем , тогда (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.

– равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.

Из прямоугольного получим:

$AK=sqrt{AB^2-BK^2}=sqrt{13^2-5^2}=sqrt{169-25}=sqrt{144}=12.$

Из прямоугольного имеем:

$DK=sqrt{DA^2+AK^2}=sqrt{9^2+12^2}=sqrt{81+144}=sqrt{225}=15.$

(по двум катетам), тогда $S_{ADB}=S_{ADC},$ следовательно

$=2S_{ADB}+S_{BDC},$ $=2cdotfrac{1}{2}cdot13cdot9+frac{1}{2}cdot10cdot15=117+75=192.$

Ответ: 192

Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

где р – полупериметр основания, h — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.

Значит, полупериметр основания .

Апофему найдем по теореме Пифагора:

$h=sqrt{37^2-12^2}=sqrt{(37-12)(37+12)}=sqrt{25cdot49}=5cdot7=35$

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.

Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту:

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Ответ: 220.

Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Объем призмы равен $V=S_{OCH}cdot h$ , а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть h=6.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания

$S_{OCH}=frac{1}{2}cdot ab=frac{1}{2}cdot6cdot7=21.$

Ответ: 126

Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Объем призмы равен $V = S_{OCH}cdot h$

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, Так как высота воды h_2 должна быть в 81 раз меньше, чем h_1. Она равна (см).

Ответ: 4

Задача 12. Объем параллелепипеда Найдите объем треугольной пирамиды ABDA_1.

Решение.
Опустим из вершины A_1 высоту A_1H Н на основание ABCD.

$=S_{ABCD}cdot A_1H$

$=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H$

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно, $S_{ABD}=frac{1}{2}S_{ABCD}.$

Имеем:

$ABDA_1=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H=frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}S_{ABCD}cdot A_1H=frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=frac{1}{6}cdot21=3,5.$

Ответ: 3,5

Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна

Решение.
По формуле объема пирамиды, .

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна $S_{OCH}=frac{a^2sqrt{3}}{4}.$

$S_{OCH}=frac{8^2sqrt{3}}{4}=frac{64sqrt{3}}{4}=16sqrt{3}.$

Объем пирамиды $V=frac{1}{3}cdot16sqrt{3}cdot6sqrt{3}=16cdot6=96.$

Ответ: 96

Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.

Решение.

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть AD=x, тогда $S_{OCH}=x^2.$

Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то $DM=DK=frac{x}{2}.$

$S_{MDK}=frac{1}{2}MDcdot DK=frac{1}{2}cdotfrac{x}{2}cdotfrac{x}{2}=frac{1}{8}x^2.$

Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет $frac{1}{8}$ часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: $V=S_{OCH}cdot h$ , и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен 32:8=4.

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

$S=P_{perp}cdot l.$

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Формулы для профильного ЕГЭ-2022 по математике

Формулы сокращённого умножения
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Вероятность
Свойства степеней
Свойства логарифмов
Тригонометрия
Производные
Первообразные
Геометрия

Формулы сокращённого умножения

`(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2`
`(a − b)^2=a^2 − 2ab + b^2`
`a^2 − b^2=(a + b)(a − b)`

`a^3 + b^3=(a + b)(a^2 − ab + b^2)`
`a^3 − b^3=(a − b)(a^2 + ab + b^2)`

`(a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3`
`(a − b)^3=a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3`

Прогрессии

Арифметическая прогрессия:

`a_n=a_(n-1)+d`

`a_n=a_1+(n-1)*d`

`S_n=((a_1+a_n)*n)/2`

Геометрическая прогрессия:

`b_n=b_(n-1)*q`

`b_n=b_1*q^(n-1)`

`S_n=((q^n-1)*b_1)/(q-1)`

Бесконечно убывающая: `S=b_1/(1-q)`

Вероятность

Вероятность события A:	`P(A)=m/n`

События происходят A и B происходят одновременно	`A*B`
Независимые события:	`P(AB)=P(A)P(B)`
Зависимые события:	`P(AB)=P(A)P(B\|A)`

Происходит или событие A, или B	`A+B`
Несовместные события:	`P(A+B)=P(A)+P(B)`
Совместные события:	`P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)`

Свойства степеней

`a^0=1`	`a^1=a`
`a^(-1)=1/a`	`a^(-n)=1/a^n`
`a^(1/2)=sqrt(a)`	`a^(1/n)=root(n)(a)`
`a^m*a^n=a^(m+n)`	`a^m/a^n=a^(m-n)`
`(ab)^n=a^nb^n`	`(a/b)^n=a^n/b^n`
`(a^m)^n=a^(m*n)`	`a^(m/n)=root(n)(a^m)`

Свойства логарифмов

`log_ab=c``a^c=b`
`log_a1=0`
`log_aa=1`
`log_a(b*c)=log_ab+log_ac`
`log_a(b/c)=log_ab-log_ac`
`log_ab^n=n*log_ab`
`log_(a^m)b=1/m*log_ab`
`log_ab=1/(log_ba)`
`log_ab=(log_cb)/(log_ca)`
`a^(log_cb)=b^(log_ca)`
`a^(log_ab)=b`

Тригонометрия

`alpha`	`0`	`pi/6`	`pi/4`	`pi/3`	`pi/2`	`pi`	`(3pi)/2`	`2pi`
`0^circ`	`30^circ`	`45^circ`	`60^circ`	`90^circ`	`180^circ`	`270^circ`	`360^circ`
`sinalpha`	`0`	`1/2`	`sqrt(2)/2`	`sqrt(3)/2`	`1`	`0`	`-1`	`0`
`cosalpha`	`1`	`sqrt(3)/2`	`sqrt(2)/2`	`1/2`	`0`	`-1`	`0`	`1`
`text(tg)alpha`	`0`	`sqrt(3)/3`	`1`	`sqrt(3)`	`infty`	`0`	`infty`	`0`
`text(ctg)alpha`	`infty`	`sqrt(3)`	`1`	`sqrt(3)/3`	`0`	`infty`	`0`	`infty`

Основные соотношения

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`
`text(tg)alpha=sinalpha/cosalpha=1/(text(ctg)alpha)`

Формулы двойного угла

`cos2alpha={(cos^2alpha-sin^2alpha),(1-2sin^2alpha),(2cos^2alpha-1):}`
`sin2alpha=2sinalphacosalpha`
`text(tg)2alpha=(2text(tg)alpha)/(1-text(tg)^2alpha)`

Формулы суммы и разности аргументов

`sin(alpha+-beta)=sinalphacosbeta+-cosalphasinbeta`

`cos(alpha+-beta)=cosalphacosbeta∓sinalphasinbeta`

`text(tg)(alpha+-beta)=(text(tg)alpha+-text(tg)beta)/(1∓text(tg)alpha*text(tg)beta)`

Преобразование суммы и разности в произведение

`sinalpha+-sinbeta=2sin((alpha+-beta)/2)cos((alpha∓beta)/2)`

`cosalpha+cosbeta=2cos((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)`

`cosalpha-cosbeta=-2sin((alpha+beta)/2)sin((alpha-beta)/2)`

Формулы половинного аргумента

`sin(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/2)`
`cos(alpha/2)=+-sqrt((1+cosalpha)/2)`
`text(tg)(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/(1+cosalpha))=(1-cosalpha)/sinalpha=sinalpha/(1+cosalpha)`

Обратные тригонометрические функции

`sinx=A`	`x=(-1)^k*arcsinA + pik` или `{(x=arcsinA + 2pik),(x=pi-arcsinA+2pik):}`	`kinZZ`
`cosx=A`	`x=±arccosA + 2pik`	`kinZZ`
`tg x=A`	`x=text(arctg) A + pik`	`kinZZ`
`ctg x=A`	`x=text(arcctg) A + pik`	`kinZZ`

Также некоторые тригонометрические соотношения смотрите в разделе Геометрия.

Производные

Основные правила дифференцирования

`(u+-v)’=u’+-v’`
`(uv)’=u’v+u*v’`
`(u/v)^’=(u’v-uv’)/v^2`
`[f(g(x))]’=f'(g(x))*g'(x)`

Уравнение касательной

`y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)`

Производные элементарных функций

`C’=0`	`(C*x)’=C`
`(x^m)’=mx^(m-1)`	`(sqrtx)’=1/(2sqrtx)`
`(1/x)^’=-1/x^2`
`(e^x)’=e^x`	`(lnx)’=1/x`
`(a^x)’=a^x*lna`	`(log_ax)’=1/(xlna)`
`(sinx)’=cosx`	`(cosx)’=-sinx`
`(text(tg)x)’=1/cos^2x`	`(text(ctg)x)’=-1/sin^2x`
`(arcsinx)’=1/sqrt(1-x^2)`	`(arccosx)’=-1/sqrt(1-x^2)`
`(text(arctg))=1/(1+x^2)’`	`(text(arcctg))’=-1/(1+x^2)`

Также некоторые сведения про производные смотрите в описании задач
№14 (база), №7 (профиль), №12 (профиль).

Первообразные

Первообразная:	`F'(x)=f(x)`
Неопределённый интеграл:	`intf(x)dx=F(x)+C`
Определённый интеграл (формула Ньютона-Лейбница):	`int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)`

Таблица первообразных

`f(x)`	`F(x)`	`f(x)`	`F(x)`
`a`	`ax`
`x^n`	`x^(n+1)/(n+1)`	`1/x`	`lnx`
`e^x`	`e^x`	`a^x`	`a^x/lna`
`sinx`	`-cosx`	`cosx`	`sinx`
`1/cos^2x`	`text(tg)x`	`1/sin^2x`	`-text(ctg)x`
`1/(x^2+a^2)`	`1/atext(arctg)x/a`	`1/(x^2-a^2)`	`1/(2a)ln\|(x-a)/(x+a)\|`
`1/sqrt(a^2-x^2)`	`text(arcsin)x/a`	`1/sqrt(x^2+a)`	`ln\|x+sqrt(x^2+a)\|`

Геометрия

Планиметрия (2D)

Площади фигур:

Окружность:	`S=pir^2`
Треугольник:	`S=1/2ah`
Параллелограмм:	`S=ah`
Четырёхугольник:	`S=1/2d_1d_2sinvarphi`
Трапеция:	`S=(a+b)/2*h`

Стереометрия (3D)

Призма:	`V=S_(осн)h`
Пирамида:	`V=1/3S_(осн)h`
Конус:	`V=1/3S_(осн)h`
	`S_(бок)=pirl`
Цилиндр:	`V=pir^2h`
	`S_(бок)=2pirh`
Шар:	`V=4/3pir^3`
	`S=4pir^2`

Полный сборник красиво оформленных школьных формул по алгебре и геометрии.

В пособии содержатся все разделы школьной математики, все формулы и даны подробные описания к каждому из них.

Смотреть в PDF: Скачайте pdf файл.

Можете записаться на занятия к репетитору математики, если что-то не понятно.

По разделам:

Степени и корни:

Сокращенное умножение

Квадратный трехчлен: квадратное уравнение, формулы Виета, разложение на множители:

Логарифмы:

Формулы тригонометрии, тождества:

Тригонометрические уравнения:

Значения тригонометрических функций:

Формулы приведения:

Сумма и разность углов:

Формулы двойного и тройного аргумента:

Формулы половинного аргумента:

Сумма и разность тригонометрических функций:

Произведение тригонометрических функций:

Производная: признаки возрастания, убывания, минимума функции:

Дифференциальное исчисление:

Геометрия: формулы площадей. Прямоугольники, окружности, трапеции:

Стереометрия: объёмы, площади поверхностей:

Обратиться к репетитору по математике.

В данной теме выложены вспомогательные картинки для учеников и студентов с формулами площадей и объемов фигур. Ниже расположены основные формулы, которые потребуются при решении задач по геометрии на нахождение объемов и площадей поверхности таких фигур, как квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, треугольник, прямоугольный треугольник, трапеция, круг, куб, параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус и шар.

Удержать в голове абсолютно все изученные в курсе алгебры и геометрии формулы к моменту сдачи ЕГЭ по математике практически невозможно. Поэтому, чтобы подойти к экзамену во всеоружии, стоит «вычислить» и запомнить те из них, которые могут понадобиться для решения типовых заданий КИМов.

Формулы по базовой математике для ЕГЭ

Разработчики КИМ считают, что для решения задач математики ЕГЭ базового уровня достаточно знания формул, представленных в справочных материалах – они выдаются на экзамене в индивидуальном комплекте вместе с КИМ. В «официальную шпаргалку», которой можно пользоваться во время проведения ЕГЭ, входят:

таблица квадратных чисел от 0 до 99;
свойства арифметического квадратного корня;
формулы сокращенного умножения;
корни квадратного уравнения;
свойства степени и логарифма;
теорема Пифагора;
формула расчета длины окружности и площади круга;
расчет средней линии треугольника и трапеции;
радиус вписанной и описанной окружности правильного треугольника;
формулы расчета площади планиметрических фигур;
вычисление поверхностей и объемов тел;
основные тригонометрические функции и тождества;
график линейной функции;
геометрический смысл производной.

Понять, нужны ли еще какие-то формулы для ЕГЭ по математике, поможет решение тренировочных тестов, например, содержащихся в открытом банке заданий на сайте ФИПИ. Для подстраховки можно изучить КЭС (кодификатор элементов содержания), актуальный в текущем учебном году. В нем перечислены все темы, которые выносятся на экзамен.

Основные формулы для профильного ЕГЭ

Выпускники, планирующие сдавать профиль, ставятся в более жесткие условия, чем те, кто выбрал базовый уровень. Учитывая то, что они видят перспективу своего дальнейшего обучения по направлениям, тесно или напрямую связанным с математикой, к их знаниям предъявляются повышенные требования. В частности, на официальные справочные материалы особенно рассчитывать не приходится. Все, что в них есть, это 5 тригонометрических тождеств.

Естественно, чтобы сдать профильную математику, для ЕГЭ потребуется запомнить намного больше формул. Выяснить, на какие темы нужно обратить внимание, можно по тому же алгоритму, что и для базы (из КЭС или, решая тренировочные задания).

Основываясь на данных, опубликованных на сайте ФИПИ, с большой долей вероятности потребуется знание следующих формул для сдачи ЕГЭ по профильной математике:

правила сокращенного умножения;
арифметическая и геометрическая прогрессии;
основы вероятностной теории;
свойства степеней и логарифмов;
азы тригонометрии (формулы двойного угла, суммы и разности аргументов; алгоритм преобразования разности и суммы в произведение; обратные функции);
производная (правила дифференцирования, элементарнее функции и уравнение касательной);
первообразная;
двухмерная планиметрия;
правила нахождения площадей геометрических фигур;
трехмерная стереометрия.

Опытные учителя и репетиторы собрали все формулы по математике, которые приходилось использовать на ЕГЭ в последние три года:

ЕГЭ по математике – формулы для алгебры и начал анализа
Формулы ЕГЭ – математика, раздел геометрия

Материалы для скачивания – в формате pdf.

Выученные назубок формулы к ЕГЭ по математике – это только часть пути к успешной сдаче, надо еще научиться правильно применять их. Хорошую практику даст решение сложных задач.

Математика

+27
баллов
к ЕГЭ

Курсы подготовки к ЕГЭ по математике

Русский язык

+30
баллов
к ЕГЭ

Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языку

Обществознание

+25
баллов
к ЕГЭ

Курсы подготовки к ЕГЭ по обществознанию

Физика

+31
балл
к ЕГЭ

Курсы подготовки к ЕГЭ по физике

Английский язык

+24
балла
к ЕГЭ

Курсы подготовки к ЕГЭ по английскому языку

Биология

+29
баллов
к ЕГЭ

Курсы подготовки к ЕГЭ по биологии

Источник

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle H).

( displaystyle {{S}_{осн}}) – это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma ).

У нас «( displaystyle a)» – это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» – это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle H).

По теореме Пифагора для ( displaystyle Delta SOC)

( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}).

Чему же равно ( displaystyle OC)? Это радиус описанной окружности в ( displaystyle Delta ABC), потому что пирамидаправильная и, значит, ( displaystyle O) – центр ( displaystyle Delta ABC).

Найдем ( displaystyle OC) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

ravnostoronnij treugolnik piramida najti obyom

( displaystyle OC=frac{2}{3}CK), так как ( displaystyle O) – точка пересечения и медиан тоже.

( displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}) (теорема Пифагора для ( displaystyle Delta ACK))

( displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{4}=frac{3{{a}^{2}}}{4}); ( displaystyle CK=frac{asqrt{3}}{2})

Значит, ( displaystyle OC=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3})

Подставим ( displaystyle OC) в формулу для ( displaystyle H).

( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{left( frac{asqrt{3}}{3} right)}^{2}}={{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3})

И подставим все в формулу объема:

( displaystyle V=frac{1}{3}{{S}_{ABC}}cdot H=frac{1}{3}cdot frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}cdot sqrt{{{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3}})

( displaystyle V=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{12}sqrt{{{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3}}).

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ( displaystyle b=a)), то формула получается такой:

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{6sqrt{2}}).

Источник

Площади фигур егэ математика профиль

Формулы площадей и объёмов геометрических фигур

Формулы площадей и объёмов геометрических фигур.

Vopvet. ru

17.06.2019 14:52:38

2019-06-17 14:52:38

Источники:

Https://vopvet. ru/news/formuly_ploshhadej_i_objomov_geometricheskikh_figur/2015-09-13-1863

Подборка теории по ОБЪЕМУ ФИГУР для подготовки. | Математика ЕГЭ 100БАЛЛОВ | ВКонтакте » /> » /> .keyword { color: red; } Площади фигур егэ математика профиль

Площади фигур егэ математика профиль

Математика ЕГЭ 100БАЛЛОВ запись закреплена

Подборка теории по ОБЪЕМУ ФИГУР для подготовки к ЕГЭ

Площади фигур егэ математика профиль.

Vk. com

19.01.2017 12:47:03

2017-01-19 12:47:03

Источники:

Https://vk. com/wall-40390806_1095404

Задание 5 ЕГЭ по математике профильного уровня 2022: теория и практика » /> » /> .keyword { color: red; } Площади фигур егэ математика профиль

Задание 5. Стереометрия. ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: Базовый.
Средний процент выполнения: 66.7%
Ответом к заданию 5 по математике (профильной) может быть Целое число или конечная десятичная дробь.

Задачи для практики

Задача 1

Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания $07$ и боковым ребром $1$. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры (cм. рис.).