Объемы на егэ профиль 2022

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №13. Объем многогранника

Объем параллелепипеда находится по формуле:   (V = S cdot H),   где S – площадь основания; H – длина высоты параллелепипеда.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и ({d^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}), где d – длина диагонали; a, b, c – длины трех ребер, выходящих из одной вершины прямого параллелепипеда (измерения прямоугольного параллелепипеда). Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:    (V = a,b,c).

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. При этом   (d = asqrt 3 ),  (V = {a^3}),  ({S_{text{пов}}} = 6,{a^2}),    где  d – диагональ куба,  a – его ребро.

Объем призмы находится по формуле:   (V = S cdot H),   где S – площадь основания; H – длина высоты призмы.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:  (V = frac{1}{3}S,H),   где S – площадь основания; H – длина высоты пирамиды.

Если у пирамиды все боковые ребра равны между собой или наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).

Если у пирамиды боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис углов в основании пирамиды).

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:    (V = frac{1}{3}Hleft( {,{S_1} + {S_2} + sqrt {,{S_1} cdot {S_2}} ,} right)), где H – высота усеченной пирамиды; ({S_1}) и ({S_2}) – площади ее оснований.

---

1В. В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при ребрах AD и BC равны, AB = BD = DC = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Найдите объём пирамиды, если двугранные углы равны при рёбрах AD и BC равны ({60^ circ }).

---

2В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 30, а боковое ребро SA равно 28. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

---

3В. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 1 : 2, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

---

4В. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB₁.

---

5В. Есть правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A₁B₁ так, что В₁L = 5. Точка М — середина A₁C₁. Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.

а) Доказать, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.

б) Найти объем пирамиды с вершиной в точке В и у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

---

6В. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.

б)* Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

---

7В. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA₁D₁D и CC₁D₁D соответственно.

а) Докажите, что B₁KLM — правильная пирамида.

б) Найдите объём B₁KLM.

---

8В. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней AA₁B₁B и BB₁C₁C равны 15 и 9 соответственно, AB = 13.

а) Докажите, что треугольник BA₁C₁ прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды AA₁C₁B.

---

9В. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.

а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.

---

10В. Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а PK = 12.

---

11В. В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, (cos angle ,PBA = frac{{48}}{{65}}). Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды PABC.

---

12В. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, AB = AA₁.

а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.

б) Найдите объем призмы, если A₁C = BD = 2.

---

13В. В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB = 13, (SC = 3sqrt {17} ). Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите объём пирамиды SABC.

---

14В. Диагональ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 13, а диагонали двух соседних граней равны (4sqrt {10} ) и (3sqrt {17} ).

а) Докажите, что треугольник AC₁D₁ прямоугольный.

б) Найдите объём параллелепипеда.

---

15В. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна (4sqrt 2 ) и образует с боковыми гранями углы ({30^ circ }) и ({45^ circ }).

а) Докажите, что одна из этих граней — квадрат.

б) Найдите объём параллелепипеда.

---

16В. Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 6, а площадь сечения, проходящего через ребро AB и середину бокового ребра CD, равна (6sqrt 6 ).

а) Докажите, что плоскость сечения образует с плоскостью основания угол ({45^ circ }).

б) Найдите объём пирамиды ABCD.

---

17В. Сторона основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равна 4, а площадь сечения, проходящего через прямую CF и середину бокового ребра SD, равна (10sqrt 3 ).

а) Докажите, что плоскость сечения образует с плоскостью основания угол ({60^ circ }).

б) Найдите объём пирамиды SABCDEF.

---

18В. Точки M и N — середины рёбер соответственно CC₁ и B₁C₁ треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ с основаниями ABC и A₁B₁C₁.

а) Докажите, что плоскость BA₁M делит отрезок AN в отношении 4 : 3, считая от точки A.

б) В каком отношении плоскость BA₁M делит объём призмы?

---

19В. Точка P — середина медианы BK основания ABC треугольной пирамиды ABCD.

а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точку B и середины рёбер AD и CD, делит отрезок DP в отношении 2 : 1, считая от вершины D.

б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости ?, если объём пирамиды ABCD равен 16, а площадь её сечения плоскостью α равна 3.

---

20В. Высота SH правильной треугольной пирамиды SABC относится к высоте основания ABC как 4 : 9. Плоскость α проходит через ребро AB и делит пополам двугранный угол пирамиды при этом ребре.

а) Докажите, что плоскость α делит высоту пирамиды в отношении 3 : 5, считая от точки H.

б) Найдите объём меньшей из частей, на которые пирамида разбивается плоскостью α, если сторона основания пирамиды равна 6.

---

21В. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Апофема пирамиды вдвое больше стороны основания. Плоскость α проходит через ребро AB и делит пополам двугранный угол пирамиды при этом ребре.

а) Докажите, что плоскость α делит высоту пирамиды в отношении 4 : 1, считая от вершины S.

б) Найдите объём большей из частей, на которые пирамида разбивается плоскостью α, если сторона основания пирамиды равна (sqrt {15} ).

---

22В. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. На лучах AB, AD и AA₁ отмечены точки K, L и M соответственно, причём  (AK = frac{5}{2}AB,;;AL = frac{5}{2}AD) и (AM = frac{5}{2}A{A_1}.)

а) Докажите, что плоскость KLM делит ребро B₁C₁ пополам.

б) В каком отношении плоскость KLM делит объём параллелепипеда?

---

23В. На диагонали BD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка M, причём BM : MD₁ = 1 : 3. Через точку M проведена плоскость α, параллельная прямым AB₁ и CB₁.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.

б) В каком отношении плоскость α делит объём параллелепипеда?

---

24В. Точка M — середина ребра B₁C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ с основаниями ABC и A₁B₁C₁. Прямые BA₁ и CB₁ перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник BMA₁ равнобедренный.

б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми BA₁ и CB₁ равно 2.

---

25В. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ грань ABCD — квадрат. Точка M лежит на ребре BC, причём CM : MB = 1 : 2. Известно, что диагональ DB₁ параллелепипеда перпендикулярна отрезку C₁M.

а) Докажите, что угол между прямой CB₁ и плоскостью A₁B₁C₁ равен (30^circ ).

б) Найдите объём параллелепипеда, если расстояние между прямыми DB₁ и C₁M равно (frac{{sqrt {21} }}{7}).

---

26В. Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 к 3.

а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен  45°.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 4.

---

27В. В правильной треугольной усеченной пирамиде ABCA₁B₁C₁ площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A₁B₁C₁. Через ребро AB проведена плоскость α, которая пересекает ребро СС₁ в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка N делит ребро СС₁ в отношении 5 : 13, считая от вершины С₁.

б) Найдите площадь сечения усеченной пирамиды плоскостью α, если высота этой пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

---

28В. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем  АM = 2,  SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM.

---

29В. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD из точки В опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.

а) Докажите, что ∠ AHC = 90°.

б) Найдите объём пирамиды, если (HA = sqrt 2 )  и  HC = 4.