Объемы тел для егэ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 129    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 129    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар

Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.
Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.

Например, такой важный факт:

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем — в 8 раз. 

(ведь , ).

Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.

1. Объем конуса равен . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Очевидно, что объем меньшего конуса в раз меньше объема большого и равен двум.

Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться! Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы тоже расскажем о ней.

---

1)Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 80 см × 30 см ×  40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

2)Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 5.

3)Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5,
а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

4)Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка

в четыре раза ниже второй, а вторая

в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки больше объёма первой?

5)Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а высота этой призмы равна 4. Найдите объём призмы АВСА1В1С1

6)Объём  конуса равен  24π, а  его  высота равна 8. Найдите радиус основания конуса.

7)Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h= 80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте

в сантиметрах.

8)В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды

в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

9)Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6,

а второго — 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

10)Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 2, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

11)В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды

в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре

1000 кубических сантиметров.

12)Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 5,

а второго — 5 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого

13)Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

14)В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 120 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

15)

15)Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

16)Объём конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса

ГКОУ РД  « Тельманская средняя общеобразовательная     школа

                                
Тляратинского района»

Тема урока: Обобщающий урок по геометрии в 11-м классе по теме «Объемы.
Подготовка к ЕГЭ».

Учитель:
Юсупов Абдурашид Магомедшапиевич

Класс:
11.

Дата
проведения урока: 2 апрель 2019 года

Цели урока:

• Обучающая:
• систематизировать
  и обобщить знания учащихся по теме «Объемы».
• Развивающая:
• формирование
  умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного,
  анализировать условие задачи, составлять модель решения;
• развитие
  умений и навыков применять математические знания к решению практических
  задач, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях.
• Воспитательная:
• формирование
  информационной культуры, активности, мобильности, коммуникативности.

Задачи урока:

• Выявление
  уровня подготовки учащихся по геометрии по данной теме, систематизирование
  полученных знаний с помощью приема «Кластер»;
• Развитие
  и реализация творческих способностей личности;
• Применение
  различных приемов организации интеллектуального труда;
• Применение
  навыков анализа, синтеза, выделения главного.

Технологии, применяемые на уроке:

·        
Информационно-коммуникативные
(цивилизованное и осознанное выполнение поиска, отбора, преобразования,
передачи, представления, хранения любых видов информации);

·        
Проблемный диалог (на уроке дети участвуют
в формулировке темы и целей урока; вырабатывают вместе с учителем алгоритмы
выполнения заданий; учатся оценивать и корректировать свою деятельность);

·        
Прием «Кластер»
(разноуровневый подход к выполнению учащимися одинакового задания);

·        
Оценивание учебных успехов (ученик
самостоятельно оценивает результат своих действий, избавляется от страха перед
школьным контролем, создается комфортная обстановка, сберегается его
психологическое здоровье).

План урока:

I.     Организационный момент                                                                1
мин.

II.    Устная работа                                                                                   8
мин.

III.   Обобщение и коррекция  опорных знаний по теме «Объемы
многогранников и тел вращения»                                                    6
мин.                            

IV.   Решение задач,
соответствующих уровню задач С2 из сборника заданий ЕГЭ                                                                                          27
мин.              

V.    Подведение итогов урока                                                                3
мин.

Ход урока

I. Организационный момент (1 мин).

II. Устная работа (8 мин).

В работе использованы задачи из сборника «ЕГЭ: 3000 задач по
математике. Все задания группы В.» авторов Семенова А. Л. и Ященко И. В. уровня
В4, В6, В9.

1)  
Проверка знаний учащихся
по теме «Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике». (слайд)

                       2) Решение задач на готовых чертежах. (слайды)

Задача 1

                                                                Ответ
2,25

Задача 2

                                                Ответ 8

Задача 3

                                  
                                           Ответ  864

Задача 4

                                              Ответ  120

Задача 5

                                         Ответ   1728

Задача 6

                     Ответ  665,5

3) Какие формулы вы
использовали для решения этих задач?

III. Обобщение и коррекция  опорных знаний по теме «Объемы
многогранников и тел вращения» (6 мин).

Учащимся
предлагается кластер по теме «Объемы».

Необходимо
записать виды многогранников и тел вращения, формулы для вычисления объемов
данных фигур.

Предполагается
разноуровневая индивидуальная работа учащихся с последующей самопроверкой. (слайд)

Рефлексия.

IV. Решение задач, соответствующих уровню задач С2 из сборника
заданий ЕГЭ (27 мин).

Задача 1

Решение:

Ответ:
.

Задача 2

Решение:

Объем
пирамиды равен .

(по 2 углам),
следовательно , следовательно .

Из
прямоугольного треугольника SGH: ; .

Сторона
квадрата АВ=2GH, АВ=;

Площадь
основания пирамиды равна ; , значит

Объем
пирамиды равен .

Ответ:
.

Задача 3

При выполнении домашнего задания к уроку использован
дифференцированный подход к учащимся. Двум учащимся это задание было предложено
для самостоятельного решения.

В
правильный октаэдр вписана сфера. Определите объем сферы, если площадь
поверхности октаэдра равна .

Решение:

     ;

     ;

     .

Ответ: .

V. Подведение итогов урока (3 мин).

1) Домашнее
задание: Сборник под ред. Ященко и др. Вариант 6. Задачи В4, В6, В9, С2.

10.
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны
2, а объем равен √3.

 11. Диагональ куба равна √12.
Найдите его объем.

12.
От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида
плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания.
Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

13.Основанием
пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости
основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом
60 градусов. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Комментарий к домашнему
заданию: Информацию для решения домашнего задания вы найдете в материалах
сегодняшнего урока.

2) Выставление
оценок.

Литература:

1.
Семенов А. Л., Ященко И. В. «ЕГЭ: 3000 задач по математике. Все задания группы
В»;

4.
Семенов А. Л., Ященко И. В. «ЕГЭ-2018. Типовые экзаменационные варианты».

11 февраля 2016

В закладки

Обсудить

Жалоба

Задачи на нахождение объёмов тел

Задание №8 профильного уровня ЕГЭ по математике (бывшее B11).

В данной разработке представлены задачи от самых простых до более сложных. К задачам представлено подробное решение.

Задание 8. Из спецификации к демоверсии:

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

Автор: Тихончук Людмила Юрьевна, учитель математики.

8obemi.docx

ЕГЭ по математике база

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle H).

( displaystyle {{S}_{осн}}) – это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma ).

У нас «( displaystyle a)» – это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» – это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle H).

По теореме Пифагора для ( displaystyle Delta SOC)

( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}).

Чему же равно ( displaystyle OC)? Это радиус описанной окружности в ( displaystyle Delta ABC), потому что пирамидаправильная и, значит, ( displaystyle O) – центр ( displaystyle Delta ABC).

Найдем ( displaystyle OC) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

( displaystyle OC=frac{2}{3}CK), так как ( displaystyle O) – точка пересечения и медиан тоже.

Подставим ( displaystyle OC) в формулу для ( displaystyle H).

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{6sqrt{2}}).