20 февраля 2022
В закладки
Обсудить
Жалоба
Объёмы тел вращения
В данной методической разработке приведены формулы и разобраны примеры решения традиционных задач на вычисление объёмов тел вращения.
obemy-tel-vraschenija.docx
obemy-tel-vraschenija.pdf
Задача №1
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 36 см3.
Задача №2
Высота одного цилиндра вдвое больше высоты второго цилиндра, но его радиус в два раза меньше радиуса второго цилиндра. Найти отношение их объёмов
Задача №3
Найти объем 25м цилиндрической трубы (полого цилиндра), если внешний радиус равен 50см, диаметр стенок равен 10см.
Задача №4
Объём конуса равен 36, а его высота равна 12. Найдите радиус основания конуса.
Задача №5
Объём конуса равен 24 см3. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.
Задача №6
Диаметр основания конуса равен 16, а длина образующей — 17. Найдите объем конуса.
Задача №7
Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 и 12, а образующая равна 10. Вычислить объем усечённого конуса.
Задача №8
Внутренний диаметр полого шара равен 8 см, а толщина стенок равна 2 см. Найдите объем материала, из которого сделан шар.
Задача №9
Прямоугольная трапеция с основаниями 11см и 17 см и высотой 12 см вращается около прямой, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям. Hайдите объем полученного тела вращения.
Задача №10
Прямоугольный треугольник с катетами 20 см и 15 см вращается вокруг гипотенузы . Найти объём полученного тела вращения.
Задания для самостоятельного решения.
1. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?
2. Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.
3. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 см. Найдите объём конуса.
4. Найти объем тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, если катеты равны 3см и 4 см.
5. Прямоугольная трапеция с основанием 5 см и 8 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения.
Автор: Барсукова Наталья Александровна.
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
2
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 
раза больше первого? Ответ дайте в сантиметрах.
3
В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
4
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 
высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.
5
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?
Источник: Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 120911., ЕГЭ по базовой математике 26.03.2015. Досрочная волна
Пройти тестирование по этим заданиям
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Решение задач по теме: «Тела вращения
Цели урока:
• систематизировать знания учащихся;
• обобщить изученный материал;
• рассмотреть задачи на комбинацию тел;
• проверить умения и навыки при решении задач на нахождение объемов тел …
Задачи к уроку по теме «Тела вращения»
При обучении геометрии большое значение имеет умение решать задачи, требующее установление соотношений между данными и искомыми. При решении таких задач проявляется уровень математического развит…
Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар
Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.
Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.
Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.
Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.
Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.
Например, такой важный факт:
Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем — в 8 раз.
(ведь 
, 
).
Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.
1. Объем конуса равен 
. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Очевидно, что объем меньшего конуса в 
раз меньше объема большого и равен двум.
Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.
Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.
2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в 
раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в 
раза больше.
Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.
Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или 
у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться! Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».
А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы тоже расскажем о ней.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
ЕГЭ Профиль №13. Фигуры вращения: цилиндр, конус, шар
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №13. Фигуры вращения: цилиндр, конус, шар
Цилиндр
Прямым круговым цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две его стороны – образующие цилиндра, а две другие – параллельные хорды оснований. В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.
Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле: ({S_{{text{б}}{text{.п}}{text{.}}}} = 2,pi ,R,H); площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле: (S = 2,pi ,R,H + 2pi ,{R^2}); объем цилиндра находится по формуле: (V = pi ,{R^2},H), где R – радиус основания; H – длина высоты цилиндра.
Конус
Прямым круговым конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет. Другой катет треугольника, вращаясь вокруг этой же оси, дает круг, который называется основанием. При вращении вокруг этой оси гипотенузы получается фигура, называемая боковой поверхностью конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Осью конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса.
Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле: ({S_{{text{б}}{text{.п}}{text{.}}}} = pi ,R,L,); площадь полной поверхности конуса находится по формуле: (S = pi ,R,L, + pi ,{R^2}); объем конуса находится по формуле: (V = frac{1}{3}pi ,{R^2},H), где R – радиус основания; L – длина образующей; H – длина высоты конуса.
Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле:({S_{{text{б}}{text{.п}}}} = pi ,left( {,{R_1} + {R_2},} right),L); объем усеченного конуса находится по формуле:(V = frac{1}{3}pi ,H,left( {,R_1^2 + {R_1} cdot {R_2} + R_2^2,} right)), где ({R_1}) и ({R_2}) – радиусы оснований; L – длина образующей; H – длина высоты конуса.
Шар
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии от данной точки, не большем данного положительного числа. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара. Шаровой поверхностью или сферой шара называется множество всех точек пространства, находящихся на равном положительном расстоянии от некоторой точки. Эта точка называется центром сферы, а данное расстояние радиусом сферы. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром.
Площадь поверхности шара находится по формуле: (S = 4,pi ,{R^2}); объем шара находится по формуле: (V = frac{4}{3}pi ,{R^3}), где R – радиус шара.
Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровой сегмент можно получить, вращая круговой сегмент вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде.
Площадь сегментной поверхности находится по формуле: (S = 2,pi ,R,H); объем шарового сегмента находится по формуле: (V = pi ,{H^2},left( {,R — frac{H}{3},} right)), где H – высота сегмента; R – радиус шара.
Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то он дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.
Объем шарового сектора находится по формуле: (V = frac{2}{3}pi ,{R^2}H); площадь полной поверхности шарового сектора складывается из площади сегментной поверхности и площади боковой поверхности конуса и находится по формуле:({S_{{text{шар}}{text{.}};{text{сект}}}} = {S_{{text{шар}}{text{.}};{text{сегм}}}} + {S_{{text{б}}{text{.}};{text{п}}{text{.}};{text{кон}}}} = 2,pi ,R,H + pi ,R,sqrt {,2,R,H — {H^2}} ), где H – высота соответствующего шарового сегмента; R – радиус шара.
1В. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что (angle ,ACB = 30^circ ,;;AB = sqrt 2 ,) (C{C_1} = 2.)
а) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен (45^circ ).
б) Найдите объём цилиндра.
2В. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ = 6, ВВ1 = 15, В1С1 = 8.
ОТВЕТ: ({rm{arctg}}frac{2}{3}).
3В. В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.
а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.
б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.
4В. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно (sqrt {730} ).
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
ОТВЕТ: ({rm{arctg}}frac{{21}}{{17}}).
5В. Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен (sqrt 2 ).
6В. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
ОТВЕТ: (64 + 32sqrt 3 ).
7В. Отрезок AB — диаметр верхнего основания цилиндра, CD — диаметр нижнего, причём отрезки AB и CD не лежат на параллельных прямых.
а) Докажите, что у тетраэдра ABCD скрещивающиеся рёбра попарно равны.
б) Найдите объём этого тетраэдра, если AC = 6, AD = 8, а радиус цилиндра равен 3.
ОТВЕТ: (frac{{64}}{3}).
8В. Высота конуса равна 6, а радиус основания равен 8.
а) Докажите, что наибольшая площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину, равна 50.
б) Найдите расстояние от центра основания конуса до этой плоскости.
ОТВЕТ: (frac{{6sqrt 7 }}{5}.)
9В. Проведены две параллельные плоскости по одну сторону от центра сферы на расстоянии 3 друг от друга. Эти плоскости дают в сечении две окружности, длины которых равны 18π и 24π.
а) Точка H — ортогональная проекция произвольной точки меньшей окружности на плоскость большей. Докажите, что точка H делит проходящий через неё диаметр большей окружности в отношении 1 : 7.
б) Найдите объём шара, ограниченного данной сферой.
ОТВЕТ: (4500{rm{pi }}).
10В. Плоскость α проходит через диаметр AB сферы. Через произвольную точку M, лежащую на сфере, но не лежащую в плоскости α, проведена плоскость β, перпендикулярная прямой AB. Отрезок CD — общая хорда окружностей сечений сферы плоскостями α и β.
а) Докажите, что (angle ,CMD = 90^circ ).
б) Вершина конуса совпадает с точкой A, а окружность основания — с окружностью сечения сферы плоскостью β. Найдите объём конуса, если диаметр сферы равен 15, а (MB = 3sqrt 5 ).
ОТВЕТ: (144{rm{pi }}).
11В. На окружности основания конуса с вершиной P выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 2.
а) Пусть MN — диаметр окружности основания, перпендикулярный хорде AB. Докажите, что объём одной из пирамид PABN и PABM втрое больше объёма другой.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP, если радиус основания конуса равен 6, а длина его образующей равна 7.
12В. Угол при вершине осевого сечения конуса равен (arccos frac{7}{8}).
а) Докажите, что площадь полной поверхности конуса в пять раз больше площади его основания.
б) Найдите угол в развёртке боковой поверхности.
13В. Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания О равен 13, а его высота равна (3sqrt {41} ). Точки А и В – концы образующих, М – середина SA, N – точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.
а) Докажите, что угол ANO – прямой.
б) Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью основания конуса, если АВ = 10.
14В. Два конуса имеют общее основание, причем один из них находится внутри другого. Образующие этих конусов составляют с плоскостью основания углы ({60^ circ }) и ({30^ circ }).
а) Докажите, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении (2:1), считая от вершины большего конуса.
б) Найдите объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, если известно, что сумма высот обоих конусов равна 4.
15В. В конус вписан шар.
а) Докажите, что отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно отношению их объемов.
б) Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания конуса, если отношение объема конуса к объему вписанного шара равно (frac{9}{4}), а отношение радиуса шара к радиусу основания конуса меньше (frac{3}{5}).
16В. Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем А и С диаметрально противоположны. Точка М – середина ВС.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ = 6, ВС = 8 и (SC = 5sqrt 2 .)
ОТВЕТ: (arcsin frac{{3sqrt {17} }}{{17}}.)
17В. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С1, причем СС1 – образующая цилиндра, а АС – диаметр основания. Известно, что (angle ACB = {45^ circ },,,,AB = 3sqrt 2 ,,,,C{C_1} = 6.)
а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен (60^circ ).
б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1.
ОТВЕТ: (frac{{3sqrt 6 }}{2}.)
18В. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту.
а) Докажите, что объем части полушара, лежащей вне конуса равен объему конуса.
б) Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, если радиус полушара равен 4.
19В. На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и С так, что AB = BC. Медиана АМ треугольника ACS пересекает высоту конуса.
а) Точка N – середина отрезка АС. Докажите, что угол MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми АМ и SB, если (AS = 2,,,,AC = sqrt 6 .)
ОТВЕТ: (arccos frac{5}{{16}}.)
20В. Трапеция ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AD — диаметр нижнего основания цилиндра, а точки C и B лежат на окружности верхнего основания и хорда CB равна радиусу основания. Прямая AB образует с плоскостью основания цилиндра угол равный (arccos frac{2}{3}.)
а) Докажите, что в трапецию ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью ABCD.
ОТВЕТ: (arccos frac{{sqrt 6 }}{4}.)
21В. Прямоугольник ABCD является осевым сечением цилиндра (AB и CD — образующие). Диаметры AD и KM пересекаются в точке О под прямым углом и (DO = CD.)
а) Докажите, что площадь поверхности цилиндра относится к площади описанной около этого цилиндра сферы как 4 : 5.
б) Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через точки K, M и B, если (AB = 
.
ОТВЕТ: (32sqrt 2 {rm{pi }}.)
Задание 16 ЕГЭ 2015.Тела вращения.
Иванова Е.Н.
МБОУ СОШ №8 г. Каменск-Шахтинский
Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c , параллельной этому отрезку и отстоящей от него на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью вращения является боковая поверхность цилиндра, радиус основания которого равен 2, образующая равна 1. Площадь этой поверхности равна 4 .
Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c , перпендикулярной этому отрезку и отстоящей от ближайшего его конца A на расстояние, равное 2 (прямые AB и с лежат в одной плоскости). Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является кольцо, внутренний радиус которого равен 2, а внешний – 3. Площадь этого кольца равна 5 .
Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 1. Его площадь равна .
Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , перпендикулярной этому отрезку и проходящей через точку A . Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 2. Его площадь равна 4 .
Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , перпендикулярной этому отрезку и проходящей через точку C , делящей этот отрезок в отношении 1:2. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 2. Его площадь равна 4 .
Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку A и образующей с этим отрезком угол 30 о . Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность конуса, образующая которого равна 2, радиус основания равен 1. Ее площадь равна 2 .
Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку A и отстоящей от точки B на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность конуса, образующая которого равна 3, радиус основания равен 2. Ее площадь равна 6 .
Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , проходящей через середину этого отрезка и образующей с ним угол 30 о . Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомая поверхность составлена из двух боковых поверхностей конусов, образующие которых равны 1, а радиусы оснований – 0,5. Ее площадь равна .
Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку C , делящей этот отрезок в отношении 1:2 и образующей с ним угол 30 о . Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомая поверхность составлена из двух боковых поверхностей конусов, образующие которых равны 2 и 1, а радиусы оснований равны соответственно 1 и 0,5. Ее площадь равна 2,5 .
Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , лежащей с ним в одной плоскости и отстоящей от концов A и B соответственно на расстояния 1 и 2. Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность усеченного конуса, образующая которого равна 3, радиусы оснований равны 1 и 2. Ее площадь равна 9 .
Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , лежащей с ним в одной плоскости, отстоящей от ближайшего конца A на расстояние, равное 1, и образующей с этим отрезком угол 30 о . Найдите площадь поверхности вращения.
Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность усеченного конуса, образующая которого равна 2, радиусы оснований равны 1 и 2. Ее площадь равна 6 .
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AD .
Ответ. Искомый цилиндр изображен на рисунке. Радиус его основания и образующая равны 1. Площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 2 .
Найдите площадь поверхности вращения прямоугольника ABCD со сторонами AB = 4, BC = 3 вокруг прямой, проходящей через середины сторон AB и CD .
Ответ. Искомым телом является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а образующая равна 3. Его площадь поверхности равна 20 .
Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AC .
Ответ. Искомым телом вращения является объединение двух конусов, радиусы оснований которого и высоты равны . Его площадь поверхности равна .
Найдите площадь поверхности тела , полученного вращением прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = BC = 1 вокруг прямой AC .
Ответ. Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 1, а образующая равна . Площадь поверхности этого конуса равна .
Найдите площадь полной поверхности тела, полученного вращением равностороннего треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой, содержащей биссектрису CD этого треугольника.
Ответ. Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 0,5, а образующая равна 1. Площадь полной поверхности этого конуса равна 3 /4.
Найдите площадь поверхности вращения равностороннего треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой AB .
Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием, радиус которого равен , а высоты – 0,5. Его площадь поверхности равна .
Найдите объем тела вращения равнобедренной трапеции ABCD с боковыми сторонами AD и BC , равными 1, и основаниями AB и CD , равными соответственно 2 и 1, вокруг прямой AB .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой 1, на основаниях которого достроены конусы, высотой 0,5. Его объем равен .
Найдите объем тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD , равными соответственно 2 и 1, меньшей боковой стороной, равной 1, вокруг прямой AB .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой, равными 1, на основании которого достроен конус, высотой 1. Его объем равен .
Найдите объем тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 вокруг прямой AD .
Ответ. Искомое тело вращения состоит из цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 1 и двух конусов с основаниями радиуса и высотой 0,5. Его объем равен .
Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEF , изображенного на рисунке и составленного из трех единичных квадратов, вокруг прямой AF .
Ответ. Искомое тело вращения состоит из двух цилиндров с основаниями радиусов 2 и 1, высотой 1. Его объем равен 5 .
Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH , изображенного на рисунке и составленного из четырех единичных квадратов, вокруг прямой c , проходящей через середины сторон AB и EF .
Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров высотой 1 и радиусами оснований 1,5 и 0,5. Его объем равен 2,5 .
Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH , изображенного на рисунке и составленного из пяти единичных квадратов, вокруг прямой c , проходящей через середины сторон AB и EF .
Ответ. 1. Искомое тело вращения является цилиндром с радиусом основания 1,5 и высотой 2, из которого вырезан цилиндр с радиусом основания 0,5 и высотой 1. Его объем равен 4,25 .
Найдите объем тела вращения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 вокруг прямой AA 1 .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 1. Его объем равен 2 .
Найдите объем тела вращения правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, вокруг прямой AA 1 .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1. Его объем равен .
Найдите объем тела вращения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1, вокруг прямой AA 1 .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а высота равна 1. Его объем равен 4 .
Найдите объем тела вращения правильной четырехугольной пирамиды SABCD , все ребра которой равны 1, вокруг прямой с , содержащей высоту SH этой пирамиды.
Ответ. Искомым телом вращения является конус, радиус основания и высота которого равны .
Его объем равен .
Найдите объем тела вращения единичного тетраэдра ABCD вокруг ребра AB .
Ответ. 1. Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием радиуса и высотой 0,5. Его объем равен 0,25 .
Найдите объем тела вращения единичного правильного октаэдра S’ABCDS” вокруг прямой S’S” .
Ответ. Искомое тело вращения состоит из двух конусов с общим основанием радиуса и высотами, равными . Его объем равен .
Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем тела вращения этого многогранника вокруг прямой AD .
Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2. Его объем равен 10 .
07
Май 2013
Категория: Справочные материалыСтереометрия
Тела вращения. Формулы объема и площади поверхности
Елена Репина
2013-05-07
2021-07-02
В частности,
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Печать страницы
комментариев 6
-
Анатолий 2014-02-18 в 13:07
Есть вероятность что на ЕГЭ понадобятся формулы усечённого конуса?
[ Ответить ]
-
egeMax
2014-02-18 в 13:18
C2. Но можно же и самому их получить!.. Я бы не стала заучивать…
[ Ответить ]
-
Анатолий
2014-02-18 в 13:36
в таком случае, напишите в статье как это сделать
[ Ответить ]
-
egeMax
2014-02-18 в 13:57
Постараюсь сделать позже… Объем усеченного конуса – разность объемов исходного и отсеченного. Тот же принцип с площадью бок.поверхности. Это было бы хорошей задачей для самостоятельной работы
[ Ответить ]
-
Анатолий
2014-02-18 в 14:03
ладно ладно…
[ Ответить ]
-
egeMax
2014-02-18 в 14:09
[ Ответить ]
-
-
-
-
Добавить комментарий
- Материалы для подготовки к ЕГЭ
-
- Рубрики
- 01 Геометрия (13)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
- II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
- Дружественные сайты
Сайт А. Ларина
ЕгэТренер – О. Себедаш
Математика?Легко!
Егэ? Ок! – И. Фельдман
- Свежие записи
- Тест «Гиперболы»
- Тест. Графики функций. Комбинированные задачи
- 10. Графики функций. Комбинированные задачи
- Тест. Тригонометрические функции
- 10. Тригонометрическая функция
- Тест. Кусочно-линейная функция
- 10. Кусочно-линейная функция
- Архивы Архивы
