Однородные показательные уравнения егэ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 353    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 353    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Однородные уравнение – подробнее

Что такое однородные уравнения? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида ( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0) с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которых одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Пример №1

( {{a}^{2}}-4ab+3{{b}^{2}}=0)

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Однородные уравнения – это уравнения вида ( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0)…

Стоп! Давай все-таки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

( {{k}_{0}}{{x}^{n}})

На первом месте должна идти первая переменная в степени ( n) с некоторым коэффициентом. В нашем случае это ( 1cdot {{a}^{2}}, k=1, x=a, n=2)

( {{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y)

Дальше идет первая переменная в степени ( n-1) и вторая переменная в первой степени.

В нашем случае это ( -4ab).

Как мы выяснили, ( n=2), значит здесь степень ( n-1=1) при первой переменной ( left( a right)) – сходится.

И вторая переменная ( left( b right)) в первой степени – на месте. Коэффициент ( k=)( -4).

( {{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}})

У нас это ( 3{{b}^{2}}).

Первая переменная ( left( a right)) в степени ( n-2=0), и вторая переменная ( left( b right)) в квадрате, с коэффициентом ( left( 3 right)). Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

…с двумя неизвестными, в каждом из слагаемых которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

У нас две неизвестные ( (a) и ( b)). Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

( {{a}^{2}}) – сумма степеней равна ( 2).

( -4ab) – сумма степеней равна ( 2) (( 1) при ( a) и ( 1) при ( b)).

( 3{{b}^{2}}) – сумма степеней равна ( 2).

Как видишь, все сходится! Это однородное уравнение.

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

Пример №9

На примере этой задачи повторим, что такое однородные уравнения и как их решать.

Найдите ( displaystyle frac{a}{b}), если ( {{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0).

Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на ( {{b}^{2}}), получим:

( displaystyle {{a}^{2}}-3ab+2{{b}^{2}}=0text{ }left| :{{b}^{2}}text{ }Leftrightarrow text{ }frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}-frac{3ab}{{{b}^{2}}}+frac{2{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}}=0text{ }Leftrightarrow text{ } right.{{left( frac{a}{b} right)}^{2}}-3cdot left( frac{a}{b} right)+2=0).

То есть, теперь нет отдельных ( a) и ( b), – теперь переменной в уравнении является искомая величина ( frac{a}{b}). И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно ( 2), а сумма ( 3) – это числа ( 2) и ( 1).

Ответ: ( 1;text{ }2.)

Уравнения вида

( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0)

называется однородным.

То есть это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна ( 2).

Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

( {{k}_{0}}{{x}^{n}}+{{k}_{1}}{{x}^{n-1}}y+{{k}_{2}}{{x}^{n-2}}{{y}^{2}}+…+{{k}_{n-1}}x{{y}^{n-1}}+{{k}_{n}}{{y}^{n}}=0text{ }left| :{{y}^{n}}text{ } right.Leftrightarrow )( {{k}_{0}}{{left( frac{x}{y} right)}^{n}}+{{k}_{1}}{{left( frac{x}{y} right)}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{left( frac{x}{y} right)}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}left( frac{x}{y} right)+{{k}_{n}}=0),

И последующей заменой переменных: ( t=frac{x}{y}). Таким образом получаем уравнение ( n) степени с одной неизвестной ( t):

( {{k}_{0}}{{t}^{n}}+{{k}_{1}}{{t}^{n-1}}+{{k}_{2}}{{t}^{n-2}}+…+{{k}_{n-1}}t+{{k}_{n}}=0).

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю!

Например, если нас просят найти ( displaystyle frac{x}{y}), сразу понимаем, что ( yne 0), поскольку на ( 0) делить нельзя.

В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите уравнение ( {{sin }^{2}}x+3sin xcdot cos x+2{{cos }^{2}}x=0).

Решения (краткое описание):

Пример 11

( displaystyle 3{{x}^{2}}+7xy+4{{y}^{2}}=0text{ }left| :{{y}^{2}}ne 0text{ }Leftrightarrow text{ 3}{{left( frac{x}{y} right)}^{2}}+7frac{x}{y} right.+4=0text{ }underset{t=frac{x}{y}}{mathop{Leftrightarrow }},)

( displaystyle Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+7t+4=0);

( D=49-48=1)

( displaystyle {{t}_{1,2}}=frac{-7pm 1}{6}text{ }Rightarrow text{ }left[ begin{array}{l}t=-1\t=-frac{4}{3}end{array} right.text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}frac{x}{y}=-1\frac{x}{y}=-frac{4}{3}end{array} right.)

Ответ: ( -frac{4}{3};text{ }-1).

Пример 12

А здесь надо не делить, а умножать:

( displaystyle 2{{x}^{2}}+5frac{x}{y}+frac{3}{{{y}^{2}}}=0text{ }left| times {{y}^{2}}ne 0 right.text{ }Leftrightarrow text{ }2{{left( xy right)}^{2}}+5xy+3=0text{ }Leftrightarrow text{ }left[ begin{array}{l}xy=1\xy=frac{3}{2}.end{array} right.)

Ответ: ( 1;text{ }1,5.)

Пример 13

Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.

Так как здесь нам нужно делить на ( {{cos }^{2}}x), убедимся сперва, сто он не равен нулю:

( {{cos }^{2}}x=0text{ }Rightarrow text{ }{{sin }^{2}}x=0text{ }Rightarrow text{ }{{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x=0), а это невозможно.

Значит, ( {{cos }^{2}}xne 0).

( displaystyle {{sin }^{2}}x-sin xcdot cos x-2{{cos }^{2}}x=0text{ }left| :{{cos }^{2}}xne 0 right.Leftrightarrow )

( displaystyle Leftrightarrow text{t}{{text{g}}^{2}}x-tgx-2=0text{ }Leftrightarrow left[ begin{array}{l}tg x=2\tg x=-1end{array} right.text{ }Leftrightarrow )

( displaystyle left[ begin{array}{l}x=arctg2+pi k\x=-frac{pi }{4}+pi nend{array} right.text{ }k,nin mathbb{Z}.)

Ответ: ( arctg2+pi k;text{ }-frac{pi }{4}+pi n,text{ }k,nin mathbb{Z}).

Показательные уравнения

Рассмотрим уравнение 2^x = 8. В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8? Ясно, что в степень 3.

Более того, x = 3 — единственное решение данного уравнения. Почему? Это легко понять, посмотрев на график показательной функции y = 2^x: данная функция монотонно возрастает и потому каждое своё значение принимает ровно один раз. Иными словами, не существует других значений x, кроме 3, таких, что 2^x = 8.

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида

где a > 1 или 0 < a < 1.

Если b > 0, то уравнение (1) имеет решение, и притом единственное. Действительно, при a > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 — монотонно убывает; в любом случае она принимает каждое своё значение ровно один раз.

А вот если b ⩽ 0, то уравнение (1) не имеет решений: ведь показательная функция может принимать только положительные значения.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших.

В задачах достаточно представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием.

1.

Вспоминаем, что 125 = 5³. Уравнение приобретает вид: 5^x−7 = 5⁻³.

В силу монотонности показательной функции показатели степени равны: x − 7 = −3, откуда x = 4.

2.
Поскольку  , уравнение можно записать в виде:
Дальнейшее ясно:
Теперь рассмотрим более сложные уравнения.

3.

Здесь лучше всего вынести за скобку двойку в наименьшей степени:

4.

Делаем замену

Тогда   и относительно t мы получаем квадратное уравнение: Его корни: и

В первом случае имеем: откуда

Во втором случае: решений нет.

Ответ: 3.

5.

Замечаем, что а :

Делим обе части на положительную величину :

Делаем замену:
Полученное квадратное уравнение имеет корни −1 и  .

В случае
решений нет.

В случае

имеем единственный корень

Ответ:

Вообще, показательные уравнения вида

называются однородными. Для них существует стандартный приём решения — деление обеих частей на  (эта величина не равна нулю, так как показательная функция может принимать только положительные значения). Именно этим приёмом мы в данной задаче и воспользовались.

С однородными уравнениями, кстати, мы уже встречались — в тригонометрии. Это были уравнения вида
Их мы решали похожим приёмом — делением на

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Он поможет решить задания №4, 12 и 14 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей уравнений – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие степеней и переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

$$ a^{f(x)}=b^{g(x)}; $$

Где (a) и (b) — некоторые числа, а (f(x)) и (g(x)) — какие-то выражения, зависящие от (x). Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

$$2^x=8;$$
$$ 2^x=2^{2x+1};$$
$$3^{x^2}=2^{x^2-2x+3};$$

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

$$ 7x+2=16;$$
$$x^2-4x+5=0;$$

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Пример 1
$$ 2^x=8;$$

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

$$ 2^3=2*2*2=8; $$

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь по-сложнее.

Пример 2
$$ 3^{4x-1}=frac{1}{9};$$

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

$$frac{1}{9}=frac{1}{3^2}=3^{-2};$$

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

$$ a^{-n}=frac{1}{a^n};$$

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

$$ 3^{4x-1}=3^{-2};$$

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

$$ 4x-1=-2;$$

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

$$4х=-2+1;$$
$$4x=-1;$$
$$x=-frac{1}{4}.$$

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Пример 3
$$125^x=25;$$

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

$$ (5^3)^x=5^2;$$

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^{n*m}):

$$ 5^{3*x}=5^2;$$

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

$$ 3*x=2;$$
$$ x=frac{2}{3};$$

И еще один пример:

Пример 4
$$2^x=-4;$$

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

$$ a^x=b;$$

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0)).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

$$ a^x=a^m;$$

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

$$x=m.$$

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Пример 5
$$2^x=16;$$

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

$$2^x=2^4$$

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$

Пример 6
$$5^{-x}=125 Rightarrow 5^{-x}=5*5*5 Rightarrow 5^{-x}=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$

Пример 7
$$9^{4x}=81 Rightarrow (3*3)^{4x}=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^{4x}=3^4 Rightarrow 3^{8x}=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac{1}{2}.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

Пример 8
$$ 3^x=2;$$

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

$$ b=a^{log_{a}(b)};$$

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

$$ 2=3^{log_{3}(2)};$$

Подставим данное преобразование в наш пример:

$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

$$x=log_{3}(2).$$

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Пример 9
$$ 7^{2x}=5;$$
$$ 7^{2x}=7^{log_{7}(5)};$$
$$2x=log_{7}(5);$$
$$x=frac{1}{2}*log_{7}(5).$$

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

$$ x=frac{1}{2}*log_{7}(5)=log_{7}(5^{frac{1}{2}})=log_{7}(sqrt{5});$$

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Рассмотрим уравнение:

Пример 10
$$ 9^x-5*3^x+6=0;$$

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^{n*m}). Подставим:

$$(3^x)^2-5*3^x+6=0;$$

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию — (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

$$t^2-5t+6=0;$$

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

$$D=5^2-4*6=25-24=1; Rightarrow t_{1}=frac{5+sqrt{1}}{2}=3; Rightarrow t_{2}=frac{5-sqrt{1}}{2}=2;$$

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

$$ 3^x=3;$$
$$3^x=3^1;$$
$$x=1.$$

И второй корень:

$$ 3^x=2;$$
$$3^x=3^{log_{3}(2)};$$
$$x=log_{3}(2).$$

Ответ: (x_{1}=1; ; x_{2}=log_{3}(2).)

И еще один пример на замену:

Пример 11
$$3^{4x^2-6x+3}-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Преобразуем первое слагаемое. Если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

$$ 3^{4x^2-6x+3}=3^{4x^2-6x+2+1}=3^{2(2x^2-3x+1)+1}=3^{2*(2x^2-3x+1)}*3^1=3*(3^{2x^2-3x+1})^2;$$

Подставим в исходное уравнение:

$$3*(3^{2x^2-3x+1})^2-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

$$t=3^{2x^2-3x+1}; ; t>0;$$
$$3*t^2-10t+3=0;$$
$$D=100-36=64; Rightarrow t_{1}=3; t_{2}=frac{1}{3};$$

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

$$ 3^{2x^2-3x+1}=3;$$
$$ 2x^2-3x+1=1;$$
$$x(2x-3)=0;$$
$$x=0; ; x=frac{3}{2}.$$

И второе значение (t):

$$3^{2x^2-3x+1}=frac{1}{3};$$
$$3^{2x^2-3x+1}=3^{-1};$$
$$2x^2-3x+1=-1;$$
$$2x^2-3x+2=0;$$
$$D=9-16=-7<0;$$

Раз дискриминант получился меньше нуля, то вторая ветка решений нам корней не дает.

Ответ: (x_{1}=0; ; x_{2}=frac{3}{2}.)

Однородные показательные уравнения

Иногда встречаются такие показательные уравнения, в которых не сразу видно, как сделать одинаковые функции, а именно одинаковые основания, чтобы произвести замену. Посмотрим на такой пример:

Пример 12
$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x};$$

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

$$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x} ; ; :3^x$$
$$ frac{7^{x+1}}{3^x}+frac{3*7^{x}}{3^x}=frac{3^{x+2}}{3^x}+frac{3^{x}}{3^x};$$

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

$$frac{a^n}{a^m}=a^{n-m};$$
$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$ frac{a^n}{b^n}=(frac{a}{b})^n;$$

Разберем каждое слагаемое:

$$ frac{7^{x+1}}{3^x}=frac{7*7^x}{3^x}=7*frac{7^x}{3^x}=7*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3*7^{x}}{3^x}=3*frac{7^x}{3^x}=3*(frac{7}{3})^x;$$
$$ frac{3^{x+2}}{3^x}=3^2*frac{3^x}{3^x}=3^2*1=9;$$
$$ frac{3^{x}}{3^x}=1;$$

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

$$ 7*(frac{7}{3})^x+3*(frac{7}{3})^x=9+1;$$

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac{7}{3})^x):

$$7t+3t=10;$$
$$10t=10;$$
$$t=1;$$

Сделаем обратную замену:

$$(frac{7}{3})^x=1;$$

Вспоминаем, что (1=(frac{7}{3})^0):

$$(frac{7}{3})^x=(frac{7}{3})^0;$$
$$x=0.$$

Ответ: (x=0).

И последний пример на замену:

Пример 13
$$2^{x+2}+0,5^{-x-1}+4*2^{x+1}=28;$$

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

$$ a^n*a^m=a^{n+m};$$
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
$${(a^n)}^m=a^{n*m};$$

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

$$2^{x+2}=2^x*2^2=4*2^x;$$

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

$$0,5^{-x-1}=0,5^{-(x+1)}={(frac{1}{2})}^{-(x+1)}={(2^{-1})}^{-(x+1)}=2^{x+1}=2^x*2^1=2*2^x;$$

И последнее слагаемое со степенью:

$$ 4*2^{x+1}=4*2^x*2^1=8*2^x;$$

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

$$4*2^x+2*2^x+8*2^x=28;$$

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

$$2^x*(4+2+8)=28;$$
$$14*2^x=28;$$
$$2^x=frac{28}{14}=2;$$
$$2^x=2^1;$$
$$x=1.$$

Ответ: (x=1.)

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера.
Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Пример 14
$$2^{x+1}*5^x=10^{x+1}*5^{x+2};$$

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

$$2^{x+1}*5^x=(2*5)^{x+1}*5^{x+2};$$

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

$$ 2^{x+1}*5^x=2^{x+1}*5^{x+1}*5^{x+2};$$

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

$$frac{2^{x+1}}{2^{x+1}}=frac{5^{x+1}*5^{x+2}}{5^x};$$

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^{n+m}) и (frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}):

$$1=frac{5^{x+1+x+2}}{5^x};$$
$$1=frac{5^{2x+3}}{5^x};$$
$$1=5^{2x+3-x};$$
$$1=5^{x+3};$$
$$5^0=5^{x+3};$$
$$x+3=0;$$
$$x=-3.$$
Ответ: (x=-3).

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

ЕГЭ Профиль №13. Показательные уравненияadmin2018-09-29T19:55:18+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Однородные уравнения

На этом уроке мы рассмотрим довольно сложные уравнения, которые называются однородными на примерах тригонометрических и показательных уравнений.

Знакомство с однородными уравнениями мы начнем с рассмотрения следующих примеров:

(4^{x} — 3^{x} = 0)

(5sin x + 3cos x = 0)

Подобные уравнения называют однородными.

Однородное уравнение – это уравнение с двумя переменными без свободного коэффициента, а в каждом из слагаемых наблюдается одинаковая сумма степеней.

Способ решения – деление на одну из функций с учетом, что она не равна нулю.

(fleft( x right) + g(x) = 0/:f(x) neq 0)

Посмотрим на данное тригонометрическое уравнение.

Задание №1.

(2sin x + 3cos x = 0)

Решение.

Давайте его проанализируем. Имеем две разные тригонометрические функции.

Чтобы решить уравнение, мы должны свести его к одной функции. Существует множество формул, позволяющие комбинировать разные типы функций между собой, но нам они не понадобятся, так как будем пользоваться особым способом: поделим левую и правую часть уравнения на одну из этих функций, например, на косинус.

(2sin x + 3cos x = 0 /:cosx neq 0)

Но давайте поразмыслим, почему мы можем взять и поделить на косинус, ведь исходя из равносильности преобразований, мы не можем делить на выражения, содержащие переменную. Предположим, что косинус равен нулю, и подставим в уравнение ноль.

(2sin x + 3 bullet 0 = 0)

(2sin x = 0)

Получим, что синус будет равен тоже нулю. Но такое невозможно, так как одновременно и косинус, и синус при одном значении угла равны нулю. В таком случае Основное тригонометрическое тождество не выполняется.

Поэтому мы в данном случае и можем делить на одну из функций.

Продолжим, синус, деленный на косинус, это тангенс.

(frac{2sin x}{cosx} + frac{3cos x}{cosx} = 0)

Во втором слагаемом косинусы сокращаются, получаем просто тройку. Заметим, что теперь у нас фигурирует только тангенс, то есть мы свели к одной тригонометрической функции.

(2text{tg}x + 3 = 0 )

Имеем значение тангенса, поэтому найдем угол, воспользовавшись обратной функцией. И запишем ответ

(text{tg}x = — frac{3}{2} )

(x = arctgleft( — frac{3}{2} right) + pi n, nepsilon Z)

Ответ: (x = arctgleft( — frac{3}{2} right) + pi n, nepsilon Z).

Подобные тригонометрические уравнения, в которых есть 2 разные функции в первой степени и которые не имеют свободного коэффициента, называются однородными первой степени.

Метод решения однородных тригонометрических уравнений – деление на одну из функций, к примеру косинус. Не забываем добавлять, что косинус не равен нулю.

(asin x + bcos x = 0)

(asin x + bcos x = 0 /:cosx neq 0)

Далее рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение, но уже второй степени. Однородные уравнения второй степени содержат 3 слагаемых, два из которых – это – 2 разные функции во второй степени, а третье – произведение этих разных функций первой степени, то есть в итоге каждое слагаемое будет иметь вторую степень.

Способ решения точно такой же – делим уравнение, но уже на квадрат функции.

(f^{2}(x) + fleft( x right) bullet g(x) + g^{2}(x) = 0/:f^{2}(x) neq 0)

Рассмотрим следующее задание.

Задание №2.

(sin^{2}x + 3sin xcos x + 2cos^{2}x = 0)

Решение.

Теперь у нас первое и третье слагаемое второй степени, а второе содержит синус и косинус первой степени. В такой ситуации поступают почти аналогичным образом – делят на косинус, но уже во второй степени, который не равен нулю.

(sin^{2}x + 3sin xcos x + 2cos^{2}x = 0 /:cos^{2}x neq 0)

Заметим, что у нас получится снова уравнение, содержащее только одну функцию – тангенс. Правда, если мы произведем замену и введем новую переменную вместо тангенса, то получим квадратное уравнение относительно переменной, например, t.

(frac{sin^{2}x}{cos^{2}x} + frac{3sin xcos x}{cos^{2}x} + frac{2cos^{2}x}{cos^{2}x} = 0)

(text{tg}^{2}x + 3text{tg}x + 2 = 0)

(t^{2} + 3t + 2 = 0)

(text{tg}x = t)

Решить квадратное уравнение нам поможет второе следствие из теоремы Виета, которое гласит, что если сумма коэффициентов a и c равна коэффициенту b, то первый корень равен -1, а второй минус c, деленный на a. Таким образом значения тангенса будут -1 и -2.

(text{tg}x = — 1 и tgx = — 2)

Осталось найти сами корни:

(x = — frac{pi}{4} + pi n, nepsilon Z и x = arctg( — 2) + pi n, nepsilon Z)

Вот и вся работа! Вместо большого и сложного уравнения мы решили квадратное и два простейших тригонометрических. Хотя однородные уравнения и могут выглядеть неприятно на первый взгляд, но решать их легко, если знать как.

Ответ: (x = — frac{pi}{4} + pi n, nepsilon Z и x = arctg( — 2) + pi n, nepsilon Z)

Продолжим работу с похожими, но уже показательными однородными уравнениями.

Задание №3.

(3 bullet 16^{x} — 5 bullet 36^{x} + 2 bullet 81^{x} = 0)

Решение.

Проблема данного показательного уравнения состоит в том, что мы теперь не можем поделить до красивого сокращения, как делали в тригонометрии ранее, поскольку результат деления нам даст три разных слагаемых, и не получится единый вид.

(3 bullet frac{16^{x}}{16^{x}} — 5 bullet frac{36^{x}}{16^{x}} + 2 bullet frac{81^{x}}{16^{x}} = 0)

Значит, нам следует изначально преобразовать исходное уравнение. Пользуясь свойствами степеней, мы способны изменить каждое слагаемое и привести к новому виду:

(3 bullet 4^{2x} — 5 bullet 4^{x} bullet 9^{x} + 2 bullet 9^{2x} = 0)

Показательная функция не равняется нулю, значит мы сейчас можем поделить на (4^{2x}) или (9^{2x}) , при этом корни мы не потеряем.

(3 bullet 4^{2x} — 5 bullet 4^{x} bullet 9^{x} + 2 bullet 9^{2x} = 0/: 4^{2x})

Получим следующий вид:

(3 bullet frac{4^{2x}}{4^{2x}} — 5 bullet 4^{x} bullet frac{9^{x}}{4^{2x}} + 2 bullet frac{9^{2x}}{4^{2x}} = 0)

(3 — 5 bullet frac{9^{x}}{4^{x}} + 2 bullet frac{9^{2x}}{4^{2x}} = 0)

Теперь произведем стандартный прием замены.

({(frac{9}{4})}^{x} = t, t > 0)

И получим обыкновенное квадратное уравнение.

(2 bullet t^{2} — 5 bullet t + 3 = 0)

Решив уравнение, получим (t = frac{3}{2} и t = 1). Оба корня подходят под ограничения.

Проводим обратную замену для обоих значений.

({(frac{9}{4})}^{x} = frac{3}{2} и {(frac{9}{4})}^{x} = 1)

Решаем показательные простейшие уравнения

({(frac{3}{2})}^{2x} = frac{3}{2} и x = 0)

(2x = 1 и x = 0)

(x = 0,5 и x = 0)

На это решение однородного показательного уравнения закончилось, и мы получили ответ. Сначала мы чуть-чуть преобразовали исходное уравнение, затем поделили на функцию и произвели замену, а далее все стандартно.

Ответ:( x = 0,5 x = 0).

Подведем итог, в данном разделе мы рассмотрели, что же такое однородное уравнение; основные признаки однородных уравнений: в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями (то есть две разные функции), все одночлены имеют одинаковую степень (для этого считаем сумму слагаемых), а свободный член равен нулю; разобрали 2 вида уравнений: тригонометрические и показательные. Основная идея решения таких уравнений – деление на функции, при этом не теряя корней, об этом не стоит забывать!