Однозначное декодирование информатика егэ как решать

Привет! Сегодня узнаем, как решать 4 задание из ЕГЭ по информатике нового формата 2021.

Четвёртое задание из ЕГЭ по информатике раскрывает тему кодирование информации. Одним из центральных приёмов при решении задач подобного типа является построение дерева Фано. Рассмотрим на примерах этот метод.

Задача (стандартная)

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только шесть букв: А, B, C, D, E, F. Для передачи используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв A, B, C используются такие кодовые слова: А — 11, B — 101, C — 0. Укажите кодовое слово наименьшей возможной длины, которое можно использовать для буквы F. Если таких слов несколько, укажите то из них, которое соответствует наименьшему возможному двоичному числу.

Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова. Коды, удовлетворяющие условию Фано, допускают однозначное декодирование

Решение:

Т.к. код букв должен удовлетворять условию Фано (т.е. однозначно декодироваться), то
расположим буквы, которые уже имеют код (A, B, C), на Дереве Фано.

Дерево Фано для двоичного кодирования начинается с двух направлений, которые означают 0(ноль) и 1(единицу) (цифры двоичного кодирования).

От каждого направления можно также рисовать только два направления: 0(ноль) и 1(единицу) и т.д. Для удобства будем рисовать 1(единицу) только вправо, а 0(ноль) только влево.

Получается структура похожая на дерево!

В конце каждой ветки можно располагать букву, которую мы хотим закодировать, но если мы расположили букву, от этой ветки больше нельзя делать новых ответвлений.

Такой подход позволяет однозначно декодировать сообщение, состоящее из этих букв.

Буква C заблокировала левую ветку, поэтому будем работать с правой частью нашего дерева.

Если мы расположим какую-нибудь букву на оставшуюся ветку (100), то эта ветка заблокируется, и нам некуда будет писать остальные 2 буквы. Поэтому продолжаем ветку (100) дальше.

Теперь свободно уже две ветки, а нам нужно закодировать ещё три буквы. Поэтому должны ещё раз продолжить дерево от какой-нибудь ветки.

Но уже видно, что букве F будет правильно присвоить код 1000, т.к. нам в условии сказано, что код буквы F должен соответствовать наименьшему возможному двоичному числу. Как расположить буквы D и E в данной задаче не принципиально.

Ответ: 1000.

Ещё один важный тип задания 4 из ЕГЭ по информатике нового формата 2021.

Задача (стандартная)

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, И, К, Л, С, Ц. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: Б — 00, К — 010, Л — 111. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова АБСЦИССА?

Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.

Решение:

Коды букв должны удовлетворять условию Фано. Некоторые буквы уже имеют заданные коды (Б, К, Л). Нам нужно, чтобы слово АБСЦИССА имело как можно меньше двоичных знаков. Заметим, что буква C встречается три раза, а буква A два раза, значит, этим буквам стараемся присвоить как можно меньшую длину!

Отметим на дереве Фано уже известные буквы (Б, К, Л).

У нас осталось 4 (четыре) буквы, а свободных веток 3(три), поэтому мы должны продолжить дерево. но какую ветку продолжить ?

1 вариант

Если продолжить линию 1-0, то получится такая картина :

Теперь получились 4(четыре) свободные ветки равной длины (3(трём) двоичным символам). Т.к. ветки равной длины, то не важно на какую ветку какую букву расположим.

Посчитаем общую длину слова АБСЦИССА.

3 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 23.

2 вариант

С мы присваиваем 1-0, т.к. это буква повторяется в сообщении самое большое количество раз, значит, ей присваиваем самый маленький код, чтобы всё сообщение имело наименьшую длину.

Из этих же соображений букве А присваиваем код из трёх двоичных символов 0-1-1.

Подсчитаем общее количество символов в сообщении.

3 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 2 + 3 = 22

Длина получилась меньше, чем в первом варианте. Других вариантов нет, поэтому ответ будет 22.

Ответ: 22.

Задача (не сложная)

Для передачи по каналу связи сообщения, состоящего только из символов А, Б, В и Г, используется неравномерный (по длине) код: А-10, Б-11, В-110, Г-0. Через канал связи передаётся сообщение: ВАГБААГВ. Закодируйте сообщение данным кодом. Полученное двоичное число переведите в восьмеричный вид.

Решение:

В этой задаче ничего не сказано про условие Фано. Здесь уже все буквы закодированы, осталось написать сам код.

Задача сводится к переводу из двоичной системы в восьмеричную систему. На эту тему был урок на моём сайте.

Ответ: 151646.

На этом всё! Увидимся на следующих занятиях по подготовке к ЕГЭ по информатике.

Всего: 34    1–20 | 21–34

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 34    1–20 | 21–34

Кодирование – это перевод информации, представленной символами первичного алфавита, в последовательность кодов.
Декодирование (операция, обратная кодированию) – перевод кодов в набор символов первичного алфавита.
Кодирование может быть равномерное и неравномерное. При равномерном кодировании каждый символ исходного алфавита заменяется кодом одинаковой длины. При неравномерном кодировании разные символы исходного алфавита могут заменяться кодами разной длины.

Задача 1

Для кодирования букв О, В, Д, П, А решили использовать двоичное представление
чисел 0, 1, 2, 3 и 4 соответственно (с сохранением одного незначащего нуля в случае одноразрядного представления). Если закодировать последовательность букв ВОДОПАД таким способом и результат записать восьмеричным кодом, то получится
1) 22162
2) 1020342
3) 2131453
4) 34017

Решение:
Представим коды указанных букв в дво­ич­ном коде, добавив незначащий нуль для одноразрядных чисел:

О	В	Д	П	А
0	1	2	3	4
00	01	10	11	100

Закодируем по­сле­до­ва­тель­ность букв: ВО­ДО­ПАД — 010010001110010.
Разобьём это пред­став­ле­ние на трой­ки спра­ва на­ле­во и пе­ре­ведём каждую тройку в восьмеричное число.
010 010 001 110 010 — 22162.
Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.
Ответ: 1

Задача 2

Для пе­ре­да­чи по ка­на­лу связи со­об­ще­ния, со­сто­я­ще­го толь­ко из сим­во­лов А, Б, В и Г, ис­поль­зу­ет­ся по­сим­воль­ное ко­ди­ро­ва­ние: А-10, Б-11, В-110, Г-0. Через канал связи пе­ре­даётся со­об­ще­ние: ВАГ­БА­А­ГВ. За­ко­ди­руй­те со­об­ще­ние дан­ным кодом. По­лу­чен­ное дво­ич­ное число пе­ре­ве­ди­те в шест­на­дца­те­рич­ный вид.
1) D3A6
2) 62032206
3) 6A3D
4) CADBAADC

Решение:
За­ко­ди­ру­ем по­сле­до­ва­тель­ность букв: ВАГ­БА­А­ГВ — 1101001110100110. Разобьем это пред­став­ле­ние на четвёрки спра­ва на­ле­во и пе­ре­ведём каждую четверку в шестнадцатеричное число:
1101 0011 1010 01102 = D3A6₁₆
Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.
Ответ: 1

Задача 3
Для 5 букв ла­тин­ско­го ал­фа­ви­та за­да­ны их дво­ич­ные коды (для не­ко­то­рых букв – из двух бит, для не­ко­то­рых – из трех). Эти коды пред­став­ле­ны в таб­ли­це:

a	b	c	d	e
100	110	011	01	10

Опре­де­ли­те, какой набор букв за­ко­ди­ро­ван дво­ич­ной стро­кой 1000110110110, если из­вест­но, что все буквы в по­сле­до­ва­тель­но­сти – раз­ные:
1) cbade
2) acdeb
3) acbed
4) bacde

Решение:
Мы видим, что усло­вия Фано и об­рат­ное усло­вие Фано не вы­пол­ня­ют­ся, зна­чит код можно рас­ко­ди­ро­вать не­од­но­знач­но.
Значит, будем перебирать варианты, пока не получим подходящее слово :
1) 100 011 01 10 110
Пер­вая буква опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но, её код 100: a.
Пусть вто­рая буква — с, тогда сле­ду­ю­щая буква — d, потом — e и b.
Такой ва­ри­ант удо­вле­тво­ряет усло­вию, зна­чит, окон­ча­тель­но по­лу­чи­ли ответ: acdeb.
Ответ: 2

Задача 4

Для передачи чисел по каналу с помехами используется код проверки четности. Каждая его цифра записывается в двоичном представлении, с добавлением ведущих нулей до длины 4, и к получившейся последовательности дописывается сумма её элементов по модулю 2 (например, если передаём 23, то получим последовательность 0010100110). Определите, какое число передавалось по каналу в виде 01010100100111100011?
1) 59143 2) 5971 3) 102153 4) 10273

Решение:
При кодировании под саму цифру отводится 4 разряда, и еще один под код проверки четности (т.е. всего под цифру отводится 5 разрядов).
Разобьем заданную последовательность на группы по 5 бит в каждой:
01010, 10010, 01111, 00011.
отбросим пятый (последний) бит в каждой группе:
0101, 1001, 0111, 0001.
это и есть двоичные коды передаваемых чисел:
01012 = 5, 10012 = 9, 01112 = 7, 00012 = 1.
таким образом, были переданы числа 5, 9, 7, 1 или число 5971.
Ответ: 2

Задача 5

По ка­на­лу связи пе­ре­да­ют­ся со­об­ще­ния, со­дер­жа­щие толь­ко 4 буквы — П, О, Р, Т. Для ко­ди­ро­ва­ния букв ис­поль­зу­ют­ся 5-би­то­вые ко­до­вые слова:
П — 11111, О — 11000, Р — 00100, Т — 00011.
Для этого на­бо­ра ко­до­вых слов вы­пол­не­но такое свой­ство: любые два слова из на­бо­ра от­ли­ча­ют­ся не менее чем в трёх по­зи­ци­ях.
Это свой­ство важно для рас­шиф­ров­ки со­об­ще­ний при на­ли­чии помех (в пред­по­ло­же­нии, что пе­ре­да­ва­е­мые биты могут ис­ка­жать­ся, но не про­па­да­ют). За­ко­ди­ро­ван­ное со­об­ще­ние счи­та­ет­ся при­ня­тым кор­рект­но, если его длина крат­на 5 и каж­дая пятёрка от­ли­ча­ет­ся от не­ко­то­ро­го ко­до­во­го слова не более чем в одной по­зи­ции; при этом счи­та­ет­ся, что пятёрка ко­ди­ру­ет со­от­вет­ству­ю­щую букву. На­при­мер, если при­ня­та пя­тер­ка 00000, то счи­та­ет­ся, что пе­ре­да­ва­лась буква Р.

Среди при­ведённых ниже со­об­ще­ний най­ди­те то, ко­то­рое при­ня­то кор­рект­но, и ука­жи­те его рас­шиф­ров­ку (про­бе­лы не­су­ще­ствен­ны).
11011 11100 00011 11000 01110
00111 11100 11110 11000 00000

1) ПОТОП
2) РОТОР
3) ТОПОР
4) ни одно из со­об­ще­ний не при­ня­то кор­рект­но

Решение:
Длина обоих со­об­ще­ний крат­на пяти.
Ана­ли­зи­руя пер­вое со­об­ще­ние «11011 11100 00011 11000 01110», при­хо­дим к вы­во­ду, что оно при­ня­то не­кор­рект­но, по­сколь­ку нет та­ко­го слова, ко­то­рое бы от­ли­ча­лось от слова «01110» толь­ко в одной по­зи­ции.
Рас­смот­рим вто­рое со­об­ще­ние. Учи­ты­вая, что каж­дая пятёрка от­ли­ча­ет­ся от не­ко­то­ро­го ко­до­во­го слова не более чем в одной по­зи­ции, его воз­мож­но рас­шиф­ро­вать толь­ко как «ТОПОР».
Ответ: 3

Задача 6

Для пе­ре­да­чи дан­ных по ка­на­лу связи ис­поль­зу­ет­ся 5-би­то­вый код. Со­об­ще­ние со­дер­жит толь­ко буквы А, Б и В, ко­то­рые ко­ди­ру­ют­ся сле­ду­ю­щи­ми ко­до­вы­ми сло­ва­ми: А — 11010, Б — 10111, В — 01101.
При пе­ре­да­че воз­мож­ны по­ме­хи. Од­на­ко не­ко­то­рые ошиб­ки можно по­пы­тать­ся ис­пра­вить. Любые два из этих трёх ко­до­вых слов от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее чем в трёх по­зи­ци­ях. По­это­му если при пе­ре­да­че слова про­изо­шла ошиб­ка не более чем в одной по­зи­ции, то можно сде­лать обос­но­ван­ное пред­по­ло­же­ние о том, какая буква пе­ре­да­ва­лась. (Го­во­рят, что «код ис­прав­ля­ет одну ошиб­ку».) На­при­мер, если по­лу­че­но ко­до­вое слово 10110, счи­та­ет­ся, что пе­ре­да­ва­лась буква Б. (От­ли­чие от ко­до­во­го слова для Б толь­ко в одной по­зи­ции, для осталь­ных ко­до­вых слов от­ли­чий боль­ше.) Если при­ня­тое ко­до­вое слово от­ли­ча­ет­ся от ко­до­вых слов для букв А, Б, В более чем в одной по­зи­ции, то счи­та­ет­ся, что про­изо­шла ошиб­ка (она обо­зна­ча­ет­ся ‘х’).

По­лу­че­но со­об­ще­ние 11000 11101 10001 11111. Де­ко­ди­руй­те это со­об­ще­ние — вы­бе­ри­те пра­виль­ный ва­ри­ант.

1) АххБ
2) АВхБ
3) хххх
4) АВББ

Решение:
Де­ко­ди­ру­ем каж­дое слово со­об­ще­ния. Пер­вое слово: 11000 от­ли­ча­ет­ся от буквы А толь­ко одной по­зи­ци­ей. Вто­рое слово: 11101 от­ли­ча­ет­ся от буквы В толь­ко одной по­зи­ци­ей. Тре­тье слово: 10001 от­ли­ча­ет­ся от любой буквы более чем одной по­зи­ци­ей. Четвёртое слово: 11111 от­ли­ча­ет­ся от буквы Б толь­ко одной по­зи­ци­ей.
Таким об­ра­зом, ответ: АВхБ.
Ответ: 2

Однозначное декодирование. Условие Фано

Код называется однозначно декодируемым, если любое сообщение, составленное из кодовых слов, можно декодировать единственным способом.
Равномерное кодирование всегда однозначно декодируемо.
Для неравномерных кодов существует следующее достаточное (но не необходимое) условие однозначного декодирования:
Сообщение однозначно декодируемо с начала, если выполняется условие Фано: никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова.
Сообщение однозначно декодируемо с конца, если выполняется обратное условие Фано: никакое кодовое слово не является окончанием другого кодового слова.

Задача 7

Для пе­ре­да­чи по ка­на­лу связи со­об­ще­ния, со­сто­я­ще­го толь­ко из букв А, Б, В, Г, ре­ши­ли ис­поль­зо­вать не­рав­но­мер­ный по длине код: A=1, Б=01, В=001. Как нужно за­ко­ди­ро­вать букву Г, чтобы длина кода была ми­ни­маль­ной и до­пус­ка­лось од­но­знач­ное раз­би­е­ние ко­ди­ро­ван­но­го со­об­ще­ния на буквы?
1) 0001
2) 000
3) 11
4) 101

Решение:
Для анализа соблюдения условия однозначного декодирования (условия Фано) изобразим коды в виде дерева. Тогда однозначность выполняется, если каждая буква является листом дерева:

Видим, что ближайший от корня дерева свободный лист (т.е. код с минимальной длиной) имеет код 000.
Ответ: 2

Задача 8

Для ко­ди­ро­ва­ния не­ко­то­рой по­сле­до­ва­тель­но­сти, со­сто­я­щей из букв У, Ч, Е, Н, И и К, ис­поль­зу­ет­ся не­рав­но­мер­ный дво­ич­ный пре­фикс­ный код. Вот этот код: У — 000, Ч — 001, Е — 010, Н — 100, И — 011, К — 11. Можно ли со­кра­тить для одной из букв длину ко­до­во­го слова так, чтобы код по-преж­не­му остал­ся пре­фикс­ным? Коды осталь­ных букв ме­нять­ся не долж­ны.
Вы­бе­ри­те пра­виль­ный ва­ри­ант от­ве­та.
При­ме­ча­ние. Пре­фикс­ный код — это код, в ко­то­ром ни одно ко­до­вое слово не яв­ля­ет­ся на­ча­лом дру­го­го; такие коды поз­во­ля­ют од­но­знач­но де­ко­ди­ро­вать по­лу­чен­ную дво­ич­ную по­сле­до­ва­тель­ность.
1) ко­до­вое слово для буквы Е можно со­кра­тить до 01
2) ко­до­вое слово для буквы К можно со­кра­тить до 1
3) ко­до­вое слово для буквы Н можно со­кра­тить до 10
4) это не­воз­мож­но

Решение:
Для анализа соблюдения условия однозначного декодирования (условия Фано) изобразим коды в виде дерева. Тогда однозначность выполняется, если каждая буква является листом дерева:

Легко заметить, что если букву Н перенести в вершину 10, она останется листом. Т.е. ко­до­вое слово для буквы Н можно со­кра­тить до 10.
Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.
Ответ: 3

Задача 9

Для ко­ди­ро­ва­ния не­ко­то­рой по­сле­до­ва­тель­но­сти, со­сто­я­щей из букв К, Л, М, Н, ре­ши­ли ис­поль­зо­вать не­рав­но­мер­ный дво­ич­ный код, удо­вле­тво­ря­ю­щий усло­вию Фано. Для буквы Н ис­поль­зо­ва­ли ко­до­вое слово 0, для буквы К — ко­до­вое слово 110. Ка­ко­ва наи­мень­шая воз­мож­ная сум­мар­ная длина всех четырёх ко­до­вых слов?
1) 7
2) 8
3) 9
4) 10
При­ме­ча­ние. Усло­вие Фано озна­ча­ет, что ни­ка­кое ко­до­вое слово не яв­ля­ет­ся на­ча­лом дру­го­го ко­до­во­го слова. Это обес­пе­чи­ва­ет воз­мож­ность од­но­знач­ной рас­шиф­ров­ки за­ко­ди­ро­ван­ных со­об­ще­ний.

Решение:
Для анализа соблюдения условия однозначного декодирования (условия Фано) изобразим коды в виде дерева. Тогда однозначность выполняется, если каждая буква является листом дерева:

Легко заметить, что ближайшие от корня свободные листы (т.е. свободные коды с наименьшей длиной) – это 10 и 111. Таким об­ра­зом, наи­мень­шая воз­мож­ная сум­мар­ная длина всех четырёх ко­до­вых слов будет 1 + 3 + 2 + 3 = 9.
Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.
Ответ: 3

Задача 10

По ка­на­лу связи пе­ре­да­ют­ся со­об­ще­ния, со­дер­жа­щие толь­ко че­ты­ре буквы: П, О, С, Т; для пе­ре­да­чи ис­поль­зу­ет­ся дво­ич­ный код, до­пус­ка­ю­щий од­но­знач­ное де­ко­ди­ро­ва­ние. Для букв Т, О, П ис­поль­зу­ют­ся такие ко­до­вые слова: Т: 111, О: 0, П: 100.
Ука­жи­те крат­чай­шее ко­до­вое слово для буквы С, при ко­то­ром код будет до­пус­кать од­но­знач­ное де­ко­ди­ро­ва­ние. Если таких кодов не­сколь­ко, ука­жи­те код с наи­мень­шим чис­ло­вым зна­че­ни­ем.

Решение:
Для анализа соблюдения условия однозначного декодирования (условия Фано) изобразим коды в виде дерева. Тогда однозначность выполняется, если каждая буква является листом дерева:

Легко заметить, что ближайшие от корня свободные листы (т.е. свободные коды с наименьшей длиной) – это 101 и 110. Наименьшее числовое значение имеет код 101.
Ответ: 101

На этой странице вы узнаете

• Как закодировать сообщение “КУРЛЫК” правильно?
• Что такое равномерное кодирование?
• Так как кодировать сообщения максимально эффективно?

Понятие однозначного декодирования

Вы любите шпионов? А готовы почувствовать себя в их шкуре?

Нам нужно передать секретное сообщение на базу, а раз оно секретное, никто не должен понять, что мы передаем. Для этого надо представить наше сообщение в каком-то новом виде, который на первый взгляд будет бессмысленным, но мы будем знать, как его расшифровать.

Главное — чтобы расшифровать было возможно.

Мы уже знаем, что для компьютера информацию надо представить в двоичномкоде — подробнее об этом рассказано в статье «Основные понятия об информации». Но сам процесс кодирования информации — не такая простая вещь. Есть несколько факторов, которые нужно соблюсти, чтобы кодирование прошло хорошо.

Но чтобы научиться делать что-то правильно, сначала надо разобраться, как сделать неправильно. Давайте попробуем произвольным образом закодировать буквы К, У, Р, Л, Ы, чтобы составлять из них сообщения.

Каждой букве в табличке сопоставлено несколько символов, в нашем случае цифр. Эти символы — кодовое слово буквы, позволяющее отличить ее от других букв в закодированном сообщении.

С помощью кодовых слов каждой отдельной буквы закодируем сообщение КУРЛЫК, для этого на место каждой буквы будем подставлять соответствующее ей кодовое слово:

С проблемой мы столкнемся при попытке расшифровать сообщение. Чтобы это сделать, надо выделить в коде сообщения отдельные кодовые слова и подставить на их место соответствующие буквы. Но при расшифровке этого кода можно получить другой вариант:

Равномерное кодирование

Но как можно соблюдать это условие? Или еще круче — как строить кодовые слова, которые заранее будут этому условию удовлетворять?

И такой подход действительно спасает ситуацию. Если каждое кодовое слово будет иметь одинаковую длину, и при этом все они будут различны, выделять в зашифрованном сообщении отдельные кодовые слова не составит труда, как и сопоставлять их с соответствующими им буквами.

Кодируем сообщение КУРЛЫК:

И при попытке декодирования, поочередно выделяя кодовые слова одинаковой длины, мы не имеем никаких проблем с сопоставлением и получаем исходное сообщение без альтернативных вариантов.

Такой метод действительно прост и в освоении, и при составлении кодовых слов, и при расшифровке. Но есть один минус — он не всегда эффективен.

Выбирая длину одного кодового слова, мы можем заранее определить количество возможных кодов: так как на каждой позиции может быть либо 0, либо 1, количество возможных кодов N длины i будет равно

(N = 2^i).

Выбрав длину 3 для наших кодовых слов, мы имеем 8 различных кодов, хотя кодируем всего 5 букв.

В других ситуациях потери могут быть плачевнее: для кодирования, например, 33 букв русского алфавита длина кодового слова должна быть не меньше 6 (если выберем 5, получим максимум 2⁵ = 32 кодового слова, но тогда 1 буква останется незакодированной).

Но имея 2⁶ = 64 кодовых слова для 33-х букв алфавита, мы явно взяли кодов больше, чем нужно.

Почему это плохо? Рассмотрим следующую ситуацию.
Вася собирает вещи для переезда и ему надо упаковать какой-то набор вещей в коробку. Если в ней много свободного места — это плохо, потому что Вася может взять коробку поменьше и ему будет легче нести маленькую коробку. Также и здесь, если в нашей кодировке много неиспользованных кодов — это плохо, потому что можно оптимальнее перекодировать необходимый набор символов, и зашифрованные сообщения станут занимать меньше места на компьютере или быстрее передаваться по интернету.

Естественно, равномерное кодирование — все еще возможный вариант, при котором код будет однозначно декодируемым, но нет ли более рационального подхода?

Условие Фано и дерево вариантов

Условие Фано гласит: «ни одно кодовое слово не должно быть началом другого кодового слова».

В составленных нами в самом начале статьи кодовых словах это условие нарушалось — код буквы К (010) начинался с кода буквы У (01), а код Ы (001) — с кода Р (00). Из-за этого мы не могли быть точно уверены, где закончилось кодовое слово, а где оно продолжается.

Очень просто строить код, который будет удовлетворять условию Фано, с помощью дерева вариантов — структуры, в нашем случае помогающей получить кодовые слова максимально просто и понятно. Принцип работы дерева состоит в том, что в его узлах будут находиться кодовые слова, а из узла могут выходить два ребра, соответствующие добавлению в конец кодового слова 0 и 1, таким образом заменяя одно кодовое слово на два новых, которые длиннее на один символ.

Давайте попробуем таким образом получить ровно 5 кодовых слов, чтобы закодировать наши буквы К, У, Р, Л, Ы.

1. Первые два кодовых слова, которые мы можем получить из ничего — 0 и 1.
   Чтобы продолжить построение дерева, выбираем любой из конечных узлов и также добавляем ему 0 и 1 в конец.

1. Допустим, мы добавим 0 и 1 к кодовому слову 1, и вместо него теперь получим два новых — 10 и 11. Теперь кодовых слов у нас уже три — 0, 10 и 11.
   Все еще мало, продолжаем построение дерева.

1. Мы проделали ту же операцию с кодовым словом 0, заменив его на 2 новых — 00 и 01.
   Кодовых слов стало 4, этого все еще мало, нужно продолжить построение дерева.

1.  Из конечных узлов можно выбрать любой для продолжения построения, например — 01, продолжив это кодовое слово, получаем два новых — 010 и 011.

В итоге мы имеем 5 конечных узлов В них находятся кодовые слова, которые можно распределить любым удобным или необходимым способом между кодируемыми буквами. Например, так:

Такой код будет однозначно декодируемым, так как ни одно слово не заканчивается посередине другого, и мы всегда можем быть уверены, что одно кодовое слово закончилось и началось новое.

Так, код 010110010011010 мы можем однозначно декодировать, читая его слева направо:

И код 010110001110010 будет читаться уже в другую сторону – из конца в начало:

Практика

В жизни чаще всего используются равномерные кодировки в силу многих причин, таких как:

1. Большая устойчивость. 

Представим, что мы передаем слово КУРЛЫК разными вариантами, но при передаче допускаем ошибку в четвертом бите (в четвертом символе нашего кода). Посмотрим, что получится в итоге.

Выводы: 

• В первом случае из-за одного неправильного бита сломалась половина символов текста, и даже поменялось количество этих символов.
• Во втором случае текст отличается от первоначального только тем символом, на который влиял сломанный бит.

Таким образом, мы видим большую устойчивость равномерного кодирования.

2. Простота расширения. 

Мы обсуждали, что проблема равномерного кодирования — в большом количестве «пустых мест». Но эти пустые места могут быть полезны. Например, захочет разработчик добавить в код несколько новых эмодзи. У него как раз есть незанятые коды для этих символов. Согласитесь, это удобнее, чем переписывать всю кодировку целиком. 

Неравномерные же кодировки часто применялись еще до появления компьютеров. Например, одной из самых известных неравномерных кодировок являлась азбука Морзе, применявшаяся в работе телеграфов, передаче радиосигналов и других способах передачи информации.

Также применение неравномерной кодировки есть в 4 задаче ЕГЭ и во 2 задаче ОГЭ.

Разберем задачу №4 ЕГЭ:

По каналу связи передаются закодированные сообщения о состоянии системы, состоящие из пяти символов: A, B, C, D, E. При передаче сообщений используется двоичный код, при этом он допускает однозначное декодирование. Для символов A, B, C используются эти кодовые слова: 1, 010 и 001 (соответственно).

В ответе нужно указать наименьшее по длине кодовое слово для буквы D. Если таких кодов несколько, то в ответе укажите наименьший по значению.

Решение.

Шаг 1. Построим дерево вариантов кодовых слов и отметим на нем уже известные коды букв:

Шаг 2. Заметим, что раз для символа A кодовое слово 1, то в дальнейшем нам не подойдут любые коды, начинающиеся с 1, так как для них и символа A не будет выполняться условие однозначного декодирования.

Шаг 3. Начнем разбирать по возрастанию кодовые слова, начинающиеся с 0:

• 0 — не подойдет, будет началом для кодовых слов 001 и 010.
• 00 — не подойдет, будет началом слова 001.
• 01 — не подойдет, будет началом слова 010.
• 000 — подойдет.
• 001 — не подойдет, буква C.
• 010 — не подойдет, буква B.
• 011 — подойдет.

Шаг 4. Получаем два недостающих кодовых слова равной длины: 000 и 011. Значит, можем использовать их для букв Е и D, при этом сохранив однозначное декодирование. Для D нужно слово, меньшее по значению, тогда верным ответом будет 000.

Ответ: 000
В этой статье мы познакомились с условием Фано и научились правильно кодировать и декодировать сообщения. Но различные виды информации требуют собственных уникальных подходов. Приглашаем вас продолжить изучение темы в статьях «Кодирование изображения» и «Кодирование звука».

Фактчек

• Условие однозначного декодирования необходимо для того, чтобы у закодированного сообщения был ровно один вариант расшифровки — исходный.
• Однозначное декодирование может давать равномерное кодирование, при котором все кодовые слова имеют одинаковую длину, или кодовые слова, составленные по условию Фано, которое гласит: «ни одно кодовое слово не должно совпадать с началом другого кодового слова».
• Существует другая вариация этого условия — обратное условие Фано, оно гласит: «ни одно кодовое слово не должно совпадать с окончанием другого кодового слова».
• Для составления кодовых слов, удовлетворяющих условию Фано, используется дерево вариантов.

Проверь себя

Задание 1.
Для чего необходимо условие однозначного декодирования?

1. Для более удобной шифровки сообщений.
2. Для построения минимально возможных кодовых слов.
3. Для сохранения возможности абсолютно точно получить исходное сообщение из закодированного.
4. Для красоты.

Задание 2.
Выберите верные утверждения:

1. При равномерном кодировании все кодовые слова имеют одну длину.
2. При равномерном кодировании кодовые слова не могут начинаться на один и тот же символ.
3. Для соблюдения условия Фано необходимо, чтобы ни одно кодовое слово не совпадало с окончанием другого кодового слова.
4. Обратное условие Фано не гарантирует однозначное декодирование.
5. Для составления кодовых слов, удовлетворяющих обратному условию Фано, используется дерево вариантов.

Задание 3.
Выберите наборы кодовых слов, которые удовлетворяют условию однозначного декодирования по любому из критериев, описанных в статье:

1. 1, 11, 111, 1111, 11111, 0.
2. 01, 001, 0001, 00001, 1
3. 000, 111, 100, 001
4. 10, 11, 00, 1001
5. 10, 100, 1000, 10000

Задание 4.
Для передачи сообщений используются буквы А, Б, В, Г, Д. Известны некоторые кодовые слова: А = 01, Б = 111, В = 00, Г = 110. Какое кодовое слово может соответствовать кодовому слову для буквы Д, чтобы весь код удовлетворял условию Фано?

1. 0
2. 11
3. 101
4. 1100

Ответы: 1. — 3; 2. — 1, 5; 3. — 2, 3, 4, 5; 4. — 3.

ЕГЭ – 2021, задание 4. Кодирование и декодирование информации

Для передачи, обработки и хранения информации необходимо ее зафиксировать с помощью определенной знаковой системы (алфавита), т. е. закодировать.

Кодирование – это процесс представления информации в виде последовательности условных обозначений. Декодирование – это процесс, обратный кодированию.

Кодирование информации всегда происходит по определенным правилам. Правило кодирования называется кодом.

Последовательность символов известной длины из конечного набора знаков (алфавита) используемых для кодирования, называется кодовым словом (например, кодовое слово для буквы «O» в азбуке Морзе имеет длину равную трем и представляет последовательность из трех символов тире «— — —»).

Способы кодирования информации зависят от конкретной задачи.

Для решения таких задач полезно знать и использовать условия Фано, выполнение которых служит достаточными для однозначного декодирования заданного сообщения, то есть перебора различных вариантов при декодировании не потребуется. Это позволяет избежать ошибок и сэкономить время для решения задачи.

Прямое условие Фано гласит, что ни одно кодовое слово не может служить началом другого кодового слова.

Обратное условие Фано гласит, что ни одно кодовое слово не может служить концом другого кодового слова.

Например, в кодовых словах 01, 011, 010, 110, 100 нарушено прямое условие Фано, так как кодовое слово 01 является началом кодового слова 011. Обратное условие не нарушено, поэтому задачу по раскодированию с такими кодовыми словами рекомендуется решать с конца сообщения, что обеспечит его однозначное декодирование.

В кодовых словах 01, 001, 100, 101, 110 нарушено обратное условие Фано, так как кодовое слово 01 является концом кодовых слов 001 и 101. Прямое условие не нарушено, поэтому задачу с такими заданными кодовыми словами для однозначного декодирования рекомендуется решать с начала сообщения.

В кодовых словах 01, 001, 010, 100, 110 нарушены оба условия Фано, так как кодовое слово 01 служит началом кодового слова 010 и концом кодового слова 001. Тогда при решении такой задачи однозначное декодирование невозможно, решать можно с любой стороны – все равно придется перебирать варианты.

Один символ исходного сообщения может заменяться одним символом нового кода или несколькими символами, а может быть и наоборот – несколько символов исходного сообщения заменяются одним символом в новом коде (китайские иероглифы обозначают целые слова и понятия)

Кодирование может быть равномерное и неравномерное;

• при равномерном кодировании все символы кодируются кодами равной длины;

• при неравномерном кодировании разные символы могут кодироваться кодами разной длины, это затрудняет декодирование

При решении задач по декодированию достаточно умения логически мыслить и строить кодовые деревья, быть внимательным и аккуратным – и все получится!

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1 (демо-2021)

Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв Л, М, Н, П, Р, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это условие обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений. Для букв Л, М, Н использовали соответственно кодовые слова 00, 01, 11. Для двух оставшихся букв – П и Р – кодовые слова неизвестны. Укажите кратчайшее возможное кодовое слово для буквы П, при котором код будет удовлетворять указанному условию. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.

Решение.

При решении задачи нужно учесть, что хотя в ответе нужно привести код одной буквы П, но неизвестными по условию остаются два кодовых слова — для букв П и Р, поэтому в данной задаче ищем два доступных кодовых слова, а в ответе выбираем из них код с меньшим числовым значением. При этом из двух бит можно построить всего 4 кода, а нам задано пять букв, то есть искомый код должен быть трехзначным. Из двузначных кодов не занят код 10, тогда из него можно построить два трехзначных кода, не нарушающих условие Фано – 100 и 101. Тогда ответом будет меньшее число – 100.

Самое наглядное решение таких задач — это построение кодовых деревьев, хотя можно обойтись и записью последовательно получаемых кодов или простыми рассуждениями. В данном случае мы так и поступили.

Ответ: 100

Задача 2.

Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д, Е, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв А, Б, В, Г использовали соответственно кодовые слова 000, 001, 10, 11. Укажите кратчайшее возможное кодовое слово для буквы Д, при котором код будет допускать однозначное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.

Решение.

При решении задачи нужно учесть, что хотя в ответе нужно привести код одной буквы Д, но неизвестными по условию остаются два кодовых слова — для букв Д и Е, поэтому в данной задаче ищем два доступных кодовых слова, а в ответе выбираем из них код с меньшим числовым значением. При этом здесь используется неравномерное кодирование, причем условия Фано не нарушены. Из двузначных кодов свободны 00 и 01, при этом 00 нарушает и начало, и конец, поэтому использоваться не может. Тогда остается только один двузначный код – 10 и возможность использовать трехзначные коды: 010, 011, 100, 101, 110. Выбираем из них наименьшее число – 010.

Ответ: 010

Задача 3.

По каналу связи с помощью равномерного двоичного кода передаются сообщения, содержащие только 4 буквы: X, Y, Z, W; для кодировки букв используются кодовые слова длины 5. При этом для набора кодовых слов выполнено такое свойство: любые два слова из набора отличаются не менее чем в трёх позициях. Это свойство важно для расшифровки сообщений при наличии помех. Для кодирования букв X, Y, Z используются 5-битовые кодовые слова: X: 01111, Y: 00001, Z: 11000. Определите 5-битовое кодовое слово для буквы W, если известно, что оно начинается с 1 и заканчивается 0.

Решение.

Из заданного условия имеем один код буквы Z в требуемом диапазоне – 11000. Тогда для получения кода, который отличается тремя позициями (две остаются на месте, и больше трех их отличий быть не может) достаточно поменять оставшиеся три бита на противоположные, получим код 10110. При этом отличия с заданными буквами: Х – 3, Y – 4.

Ответ: 10110

Задача 4.

Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д, Е, решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для буквы А использовали кодовое слово 0; для буквы Б – кодовое слово 10. Какова наименьшая возможная сумма длин всех шести кодовых слов?

Примечание. Условие Фано означает, что никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной расшифровки закодированных сообщений.

Решение.

В двух заданных кодах нарушено обратное условие Фано, поэтому будем составлять коды, не нарушая начала. Запишем подряд все возможные коды и вычеркнем из них не подходящие нам, получим: 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111. Тогда здесь подходят только четыре последних кода, и сумма длин всех шести кодов будет равна 1 + 2 + 4 *4 = 19.

Ответ: 19

Задача 5.

По каналу связи передаются сообщения, каждое из которых содержит 16 букв А, 8 букв Б, 4 буквы В и 4 буквы Г (других букв в сообщениях нет). Каждую букву кодируют двоичной последовательностью. При выборе кода учитывались два требования:

а) ни одно кодовое слово не является началом другого (это нужно, чтобы код допускал однозначное декодирование);

б) общая длина закодированного сообщения должна быть как можно меньше.

Какой код из приведённых ниже следует выбрать для кодирования букв А, Б, В и Г?

1) А:0, Б:10, В:110, Г:111

2) А:0, Б:10, В:01, Г:11

3) А:1, Б:01, В:011, Г:001

4) А:00, Б:01, В:10, Г:11

Решение.

Варианты ответов 2 и 3 отпадают, так как в них нарушено заданное условие Фано (буквы А:0, В:01 и Б:01, В:011 соответственно).

В варианте 1 получаем последовательность длиной 16*1 + 8*2 + 4*3 + 4*3 = 56 бит,

в варианте 4 – (16 + 8 + 4*2) * 2 = 64 бита, тогда верный ответ – 1.

Ответ: 1

Задача 6.

В любом сообщении больше всего букв А, следующая по частоте буква – С, затем – И. Буква Т встречается реже, чем любая другая. Для передачи сообщений нужно использовать неравномерный двоичный код, допускающий однозначное декодирование; при этом сообщения должны быть как можно короче. Шифровальщик может использовать один из перечисленных ниже кодов. Какой код ему следует выбрать?

1) А – 0, И – 1, С – 00, Т – 11                      2) С – 1, И – 0, А – 01, Т – 10

3) А – 1, И – 01, С – 001, Т – 000                4) С – 0, И – 11, А – 101, Т – 100

Решение.

Варианты ответов 1 и 2 отпадают, так как в них нарушены оба условия Фано.

Из первого условия задачи о частоте встречающихся букв подходит вариант 3.

Ответ: 3

Задача 7.

Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв – из двух бит, для некоторых – из трех). Эти коды представлены в таблице:

A	B	C	D	E
000	01	100	10	011

Определить, какой набор букв закодирован двоичной строкой 0110100011000.

Решение.

Из таблицы видим, что нарушено начало кодов (буквы В и Е, с и D), тогда декодирование строки следует начинать с конца. Однозначно получаем:

01 10 100 011 000 — ВDСЕА

Ответ: ВDСЕА

Задача 7.

Для передачи чисел по каналу с помехами используется код проверки четности. Каждая его цифра записывается в двоичном представлении, с добавлением ведущих нулей до длины 4, и к получившейся последовательности дописывается сумма её элементов по модулю 2 (например, если передаём 23, то получим последовательность 0010100110).

Определите, какое число передавалось по каналу в виде 01010100100111100011.

Решение.

Разобьем заданную последовательность по 5 бит, удалим каждый пятый бит и получим последовательность

01010100100111100011 = 01010 10010 01111 00011
что соответствует цифрам 5, 9, 7 и 1.

Ответ: 5971

Слайд 1

Однозначное декодирование Прямое и обратное условие Фано Учитель информатики и ИКТ МБОУ СОШ № 7 г. Оха Сахалинской области Сергиенко Татьяна Геннадьевна

Слайд 2

Задача 1 Пусть для кодирования фразы «Доброе утро» выбран такой код: Д О Б Р Е У Т Пробел 111 000 00 1 01 0 10 11

Слайд 3

Коды букв «сцепляются» в единую битовую строку и передаются, например, по сети: Доброе утро→ 11100000100001110101000 В пункте назначения возникает проблема – как восстановить исходное сообщение, и возможно ли это.

Слайд 4

11100000100001110101000 Раскодировать данное сообщение можно разными способами. В том числе предположим, что оно состоит только из букв Р – 1 и У – 0. Тогда получим РРРУУУУУРУУУУРРРУРУРУУУ, т.е. бессмысленный набор букв .

Слайд 5

Код называется однозначно декодируемым , если любое кодовое сообщение можно расшифровать единственным способом (однозначно ).

Слайд 6

Значит, код не является однозначно декодируемым.

Слайд 7

Задача 2 Равномерные коды. Для той же фразы используем равномерный код: Д О Б Р Е У Т Пробел 111 000 001 101 011 010 100 110

Слайд 8

Равномерные коды неэкономичны – гораздо длиннее неравномерных. Это приводит к усложнению кодирования, но при этом они раскодируются однозначно, что, естественно, облегчает задачу.

Слайд 9

Задача 3 Чтобы сократить длину сообщения, можно попробовать применить неравномерный код, т.е. код, в котором кодовые слова, соответствующие разным символам исходного алфавита, могут иметь разную длину, от одного до нескольких символов.

Слайд 10

Используем следующий код: 0100101110000101011111101111010000 Эта битовая цепочка декодируется однозначно. Д О Б Р Е У Т Пробел 01 00 1011 100 1010 1101 1110 1111

Слайд 11

Первая буква — Д (код 01), т.к. ни одно другое кодовое слово не начинается с 01. Вторая буква – О (код 00). Никакое другое слово не начинается с 00. Это же свойство, которое называется условием Фано , выполняется и для кодовых слов других букв.

Слайд 12

УСЛОВИЕ ФАНО Никакое кодовое слово не совпадает с началом другого кодового слова. Такие коды называются префиксными (раскодируются с начала сообщения) и декодируются однозначно.

Слайд 13

Задача 4 Рассмотрим ещё один код: Он не является префиксным, т.к. код буквы Д (10 ) совпадает с началом кода буквы Б (1011), У(1000) и код буквы О(00) совпадает с началом кода буквы Р (001 ). Д О Б Р Е У Т Пробел 10 00 1011 001 0101 1000 0111 1111

Слайд 14

Закодируем наше сообщение: ДОБРОЕ УТРО→ 10 00 1011 001 00 0101 1111 1000 0111 001 00 Начнём раскодировать с начала. Первая – Д, или У, а дальше идут вообще разные варианты : Р или Б… Т.е. надо «заглядывать» вперёд, что очень неудобно.

Слайд 15

Попробуем раскодировать сообщение с конца – оно однозначно декодируется! Выполняется обратное условие Фано : никакое кодовое слово не совпадает с окончанием другого кодового слова.

Слайд 16

Коды , для которых выполняется обратное условие Фано , называются постфиксными.

Слайд 17

Сделаем вывод: Сообщение декодируется однозначно, если для используемого кода выполняется прямое или обратное условие Фано .

Слайд 18

Условие Фано — это достаточное, но не необходимое условие однозначной декодируемости Это значит, что: — для однозначной декодируемости достаточно выполнения хотя бы одного из двух условий — прямого или обратного. — могут существовать коды, для которых не выполняется ни прямое, ни обратное условие Фано , но тем не менее обеспечивается однозначное декодирование, т.к. иначе теряется смысл выражения.

Слайд 19

Задача 5 Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д используется неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать полученную двоичную последовательность. Вот этот код: А – 00, Б – 01, В – 100, Г – 101, Д – 110.

Слайд 20

Можно ли сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по-прежнему можно было декодировать однозначно? Коды остальных букв меняться не должны. Выберите правильный вариант ответа: 1) для буквы Д -11 2) это невозможно 3) для буквы Г — 10 4) для буквы Д -10

Слайд 21

РЕШЕНИЕ: Исходный код – префиксный. Для него выполняется условие Фано – ни один из трёхбитных кодов не начинается ни с 00 (А), ни с 01 (Б). (При этом обратное условие Фано не выполняется – код А (00) совпадает с окончанием В (100), а код Б (01) совпадает с окончанием Г (101 ).)

Слайд 22

Теперь проверим ответы. Сократим Д до 11. Если полученный код нарушит прямое условие Фано , то свойство однозначного декодирования будет нарушено. Но этого не произошло, нет других кодов, начинающихся с 11. Это и есть верное решение. Проверим остальные варианты.

Слайд 23

Вариант 2 сразу не рассматриваем – ответ у нас найден. Вариант 3 нарушает прямое условие Фано – с 10 начинается код буквы В (101). Вариант 4 – так же нарушает прямое условие Фано . Т.е. ответ однозначный, других вариантов нет.

Слайд 24

Спасибо за внимание!