Одз для 14 задания егэ по математике - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

^New

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Квадратичные неравенства

Метод интервалов

Уравнения и неравенства с модулем

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства

1. Решите неравенство:

$frac{{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 1}}{ +}frac{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 2}}{{ 0,5x}sqrt{{ 5}}{ -}{ 3}} geq { 2.}$

Сделаем замену

Тогда , а

Получим:

$frac{{ 2}}{{ t+1}}{ +}frac{{ t}}{{ t-1}} geq { 2};$

$frac{{ 2}{ t}{ -}{ 2+}{{ t}}^{{ 2}}{ +}{ t}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}}{ -}{ 2} geq{ 0};$

$frac{{{ t}}^{{ 2}}{ +3}{ t}{ -}{ 2-2}{{ t}}^{{ 2}}{ +2}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};$

$frac{{ 3}{ t}{ -}{{ t}}^{{ 2}}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} geq { 0};$

$frac{{ t}left({ t}{ -}{ 3}right)}{left({ t}{ -}{ 1}right)left({ t}{ +1}right)}le { 0}.$

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

$left[ begin{array}{c}{ -}{ 1 textless t}le { 0} \{ 1 textless t}le { 3} end{array}right..$

Вернемся к переменной x: $left[ begin{array}{c} -1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq0 \ 1 textless 0,5xsqrt{5}-2leq 3 end{array} right. .$

$left[ begin{array}{c} {{2}over{sqrt{5}}} textless xleq {{4}over{sqrt{5}}}\ {{6}over{sqrt{5}}} textless xleq {{10}over{sqrt{5}}} end{array} right. .$

Ответ: $xin left(frac{{ 2}}{sqrt{{ 5}}};frac{{ 4}}{sqrt{{ 5}}}right]cup left(frac{{ 6}}{sqrt{{ 5}}};{ 2}sqrt{{ 5}}right].$

Показательные неравенства

2. Решите неравенство $2^x+17cdot 2^{3-x}le 25.$

$2^x+17cdot frac{8}{2^x}le 25.$

Сделаем замену Получим:

$t+17cdot frac{8}{t}-25le 0.$ Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

$D={left(-25right)}^2-4cdot 136=625-544=81.$ Значит, корни этого уравнения: $left[ begin{array}{c}t_1=17 \t_2=8 end{array}.right.$

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

$2^3le 2^xle 2^{{{log }_2 17}};$

$3le xle {{log }_2 17};$

Ответ: $xin left[3;{{log }_2 17}right].$

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство $2^{2x-x^2-1}+frac{1}{2^{2x-x^2}-1}le 2.$

Сделаем замену $2^{2x-x^2}=t,t textgreater 0.$ Получим:

$frac{t}{2}+frac{1}{t-1}-2le 0;$

$frac{t^2-t+2-4t+4}{2left(t-1right)}le 0;$

$frac{t^2-5t+6}{t-1}le 0;$

$frac{left(t-2right)left(t-3right)}{t-1}le 0.$

$left[ begin{array}{c}t textless 1 \2le tle 3 end{array} .right.$

Вернемся к переменной $x:left[ begin{array}{c}2^{2x-x^2} textless 1 \{2le 2}^{2x-x^2}le 3 end{array}.right.$

Первое неравенство решим легко: С неравенством ${2le 2}^{2x-x^2}$ тоже все просто. Но что делать с неравенством $2^{2x-x^2}le 3$ ? Ведь $3 = 2^{{{log }_2 3}}.$ Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим $t=2^{2x-x^2}.$ Для этого рассмотрим функцию $tleft(xright)=2^{2x-x^2}.$

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда $2^{zleft(xright)}le 2$ , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Но если ${2le 2}^{2x-x^2}$ и $2^{2x-x^2}le 2$ , то $2^{2x-x^2}=2.$

Мы получили:

$left[ begin{array}{c} 2x-x^2 textless 0\ 2x-x^2=1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x(x-2) textgreater 0\ x^2-2x+1=0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\(x-1)^2=0end{array} right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x textless 0\ x textgreater 2\ x=1end{array}. right.$

Ответ:

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство $2{{log}_{frac{1}{2}} left(1-xright) textless {{log}_{frac{1}{2}} left(3x+1right)}}.$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

$2log_{{1}over{2}}(1-x) textless log_{{1}over{2}}(3x+1)Leftrightarrow left{begin{matrix} 1-x textgreater 0\3x+1 textgreater 0 \(1-x)^2 textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater -{{1}over{3}} \ 1+x^2-2x textgreater 3x+1 end{matrix}right.Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x^2-5x textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 1\ x textgreater {-{{1}over{3}}} \ x(x-5) textgreater 0 end{matrix} .right.$

Ответ: $xin left(-frac{1}{3};0right).$

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство $2{{{log}_2}^2 {{cos}^2 x+7{{log}_2 {cos x} geq 1}}}.$

$2{{{log }_2}^2 {{cos }^{{ 2}} x+7{{log }_2 {cos x} geq 1}}}.$

ОДЗ:

Замена ${{log }_2 {cos x}=t} Rightarrow {{log }_2 {{cos }^{{ 2}} x}}=2{{log }_2 {cos x=2t}}.$

$2cdot {left(2tright)}^2+7t-1 geq 0;$

$t_1=frac{-7-9}{16}=-1;$

$t_2=frac{-7+9}{16}=frac{1}{8}.$

$(t+1)(t-{{1}over{8}})geq 0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} t leq -1 \ t geq {{1}over{8}} end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{c} log_2,cosx leq-1 \ log_2,cosx geq {{1}over{8}} end{array} right.$
$Leftrightarrow left{begin{matrix} left[ begin{array}{c} cosxleq{{1}over{2}} \ cosxgeqsqrt[8]{2} end{array} right. \ cosx textgreater 0 end{matrix}right.Leftrightarrow 0 textless cosxleq{{1}over{2}}.$

Ответ: $xin left(-frac{pi }{2}+2pi k;left.-frac{pi }{3}+2pi kright]right.cup left[frac{pi }{3}+2pi k;left.frac{pi }{2}+2pi kright), kright.in Z.$

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство: ${{log }_{{ 3-x}} frac{{ x+4}}{{left({ x-3}right)}^{{ 2}}}} geq { -2}.$

$log_{3-x}frac{x+4}{(x-3)^2}geq-2Leftrightarrow left{begin{matrix} 3-x textgreater 0\3-xneq1 \ {x+4over (x-3)^2} textgreater 0 \ log_{3-x} {{x+4}over(x-3)^2}+2geq 0 end{matrix} .right.$

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что ${left({ a-b}right)}^{{ 2}}{ =}{left({ b-a}right)}^{{ 2}}{ }$ . Используем также условия

$left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x+4 textgreater 0 \ log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^2+2geq0 end{matrix}right. Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x textless 3\xneq2 \ x textgreater -4 \ log_{3-x}(x+4)geq0 end{matrix}.right.$

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, ${{log }_{{ a}} {left({ b}left({ x}right)right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ a}} left|{ b}left({ x}right)right|}}.$

Поскольку ${ 3-}{ x}{ textgreater 0,}{{ log}}_{{ 3-x}}{left({ 3-x}right)}^{{ 2}}{ =2}{{log }_{{ 3-x}} left|{ 3-x}right|{ =}}{ 2}{{log }_{{ 3-x}} left({ 3-x}right){ =2.}}$

Согласно методу замены множителя, выражение ${{ log}}_{{ 3-x}}left({ x+4}right)$ заменим на

Получим систему:

$left{ begin{array}{c}{ x}ne { 2} \{ -}{ 4}{ textless x textless 3} \left({ 2-x}right)left({ x+3}right) geq { 0} end{array}.right.$

Решить ее легко.

Ответ: .

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

${{log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 xleq 4}}.$

ОДЗ: $left{ begin{array}{c}x-5 textgreater 0 \x textgreater 0 end{array}Longleftrightarrow x textgreater 5.right.$

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

${{log }_2 left(9-5right)={{log }_2 4=2}};$

${{log }_3 9=2};$

${{log }_2 left(9-5right)+{{log }_3 9=4}}.$

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции ${{{ y=}log }_2 left(x-5right)+{{log }_3 x}}$ равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ: (5; 9].

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

14 задача ЕГЭ – это всегда неравенство. На реальных ЕГЭ бывают 3 вида неравенств: показательные, логарифмические и смешанные.

Что нужно знать?

Метод интервалов
Как решаются дробно-рациональные неравенства
Как делается замена и обратная замена в неравенствах
Как решаются показательные неравенства
Свойства логарифмов
Как решаются логарифмические неравенства
Метод рационализации

Задачи, которые были на экзамене за последние 7 лет с решениями на полный балл

2022:

Решение

2021:

Решение

2020:

Решение

2019:

Решение

2018:

Решение

2017:

Решение

2016:

Решение

2015:

Решение

Процент выполнения

А вот данные сколько процентов пишущих экзамен решили задачу на неравенство в разные годы:

Сколько процентов из тех, кто решал экзамен в 2021 году*, набрал в задаче хотя бы 1 балл:

* так как в 2022 году ЕГЭ был сильно скорректирован, то некоторые задачи изменили свой номер, какие-то исчезли совсем, а другие добавились. В таблице приведены данные 2021 года, приведенные к формату экзамена 2022 (поэтому, например, в задачах 9 и 10 стоят прочерки – это новые задачи)

Типичные ошибки

1. Ошибки по невнимательности

Если вы будете готовиться к 14 задаче ЕГЭ, то практически наверняка одной из главных проблем станут ошибки по невнимательности. Из всех задач профильного ЕГЭ эта задача, пожалуй, самая опасная в плане мелких ошибок. Как научиться не допускать их написано в этой статье.

Примеры таких ошибок по невнимательности выделены желтым

2. Неправильно использовать метод интервалов

Метод интервалов – это база для 14 задачи ЕГЭ. Поэтому если вы хотите научиться решать неравенства на ЕГЭ – первым делом освойте метод интервалов, чтоб ошибок не было. Вот как «косячат» в нем школьники на реальном экзамене.

3. Умножить/делить на выражение с переменной

Почему в общем случае неравенство нельзя умножать или делить на выражение с переменной? Все дело в том, что если мы неравенство умножаем (делим) на положительное число, то должны оставить знак сравнения тем же, а если на отрицательное – перевернуть его.

(2x>4) (-2x>4)
(x>2) (x<-2)

Но чаще всего мы не знаем положительно или отрицательно выражение, на которое собрались умножать (делить), потому что при разных значениях переменной знак выражения может меняться. То есть, возникает неясность — переворачивать знак сравнения или оставить тем же? Поэтому в неравенствах так не делают. В уравнении можно, в неравенстве нет.

Уравнение (можно и нужно умножать на икс)	Неравенство (нужно приводить к общему знаменателю)
(frac{1}{x}=1) \|(·x)	(frac{1}{x}>1)
(1=x)	(frac{1}{x}-1>0)
(x=1)	(frac{1-x}{x}>0) (\|·(-1))
	(frac{x-1}{x}<0)
	(x∈(0;1))

Хотя бывают исключения, когда знак выражения с иксом определен. Например, на (2^x) умножить или разделить неравенство можно, потому что (2^x) положительно всегда, независимо от значения (x).

(frac{2^x-1}{2^x} ≥0) (|cdot2^x)
(2^x-1≥0)

Также бывает, что выражение положительно не всегда, но мы знаем, что в данном конкретном неравенстве это так, поскольку, например, таковы требования ОДЗ.

(log_2⁡x+log_2⁡frac{1}{x^2}≥0)
(log_2⁡x frac{1}{x^2} ≥log_2⁡1)
(frac{1}{x}≥ 1) (|cdot x)
(1≥x)
(x≤1)

Огр. (begin{cases} x>0 \ frac{1}{x^2} >0 end{cases})

Несколько примеров с ошибками:

4. Неправильно привести к общему знаменателю

Чаще всего такую ошибку допускают те ученики, которые ленятся написать лишнюю строчку, делают два, а то и три действия за один ход: сразу и домножаем, и раскрываем скобки, и тут же в уме приводим подобные слагаемые. Вот, например, в примере внизу пропущен шаг домножения дробей на недостающие множители и раскрытие скобок. Подозреваю, что из-за этого и возникла ошибка.

Сравните с этим бланком, где выпускник все сделал постепенно, по шагам и закономерно получил верный ответ.

5. Не сделать обратную замену

Это вообще классика – сделать замену и забыть вернуться к исходной переменной. Вот пример.

6. Неправильно снять квадрат

Такая ошибка редко совершается на самом ЕГЭ, потому что так обычно ошибаются те, кто только начал проходить неравенства. Но зато в начале пути ее делают практически все, поэтому я внесла её в список.

Источник

В (14) задании ЕГЭ предлагается решить неравенство. За это задание можно получить (2) балла.

Алгоритм выполнения задания

1. Определи вид неравенства, выбери метод решения.

2. Найди ОДЗ неравенства или используй равносильные преобразования неравенств.

3. Реши неравенство, используя соответствующие виду неравенства свойства и правила. Все найденные решения должны принадлежать области определения неравенства.

4. Запиши все шаги решения на чистовик разборчиво и кратко.

5. Запиши ответ.

Если ход решения верный и обоснованно получен верный ответ, то решение оценивается в (2) балла. Если верна последовательность всех шагов решения, но допущена описка или вычислительная ошибка, и в результате получен неверный ответ, можно получить (1) балл. Если в ответ по ошибке не включена одна точка из правильного решения (в результате того, что поставлена круглая скобка вместо квадратной), то также можно получить (1) балл. При включении в ответ хотя бы одной точки, не входящей в ОДЗ, ставится (0) баллов.

Как решить задание из примера

log0,4(x2−6x+8)−log0,4(12−6x)≤−log0,4(x+3).

Неравенство является логарифмическим. Логарифмы имеют одинаковое основание.

Нам пригодится формула:

loga(b⋅c)=logab⋅logac.

Применение этой формулы может сузить ОДЗ, поэтому его лучше найти.

2. Найдём ОДЗ:

x2−6x+8>0,12−6x>0,x+3>0; (x−4)(x−2)>0,6x<12,x>−3; x>4,x<2,x<2,x>−3; x<2,x>−3; −3<x<2

3. Преобразуем неравенство:

log0,4((4−x)(2−x))−log0,4(6(2−x))≤−log0,4(x+3).

При

−3<x<2

неравенство примет вид:

log0,4(4−x)+log0,4(2−x)−log0,46−log0,4(2−x)+log0,4(x+3)≤0;

log0,4(4−x)−log0,46+log0,4(x+3)≤0;log0,4((4−x)(x+3))≤log0,46;(4−x)(x+3)≥6;−x2+x+12≥6;x2−x−6≤0;−2≤x<2.

4. Перепишем шаги решения в чистовик.

5. Запишем ответ.

Источник