Одз в логарифмических неравенствах егэ

“Логарифмические” и “неравенства”. Оба слова тебе знакомы по отдельности?

Я очень надеюсь, что да. Иначе я настоятельно рекомендую (очень-очень прошу!) прочитать и освоить следующие разделы:

• Логарифмы
• Свойства степени
• Решение логарифмических уравнений
• Решение линейных неравенств
• Метод интервалов

Эти материалы очень важны для сдачи ЕГЭ по математике на максимум и поступления в ВУЗ мечты! Учти это!

Ну что, весь материал улегся в голове? Теперь ты легко сможешь ответить на вопрос, скажем, чему равен ( lo{{g}_{3}}81), ведь ясно, что это ( 4), правда?

А почему?

Да потому, что ( {{3}^{4}}=81), а логарифм – это и есть та степень, в которую нужно возвести маленькое число снизу (в данном случае ( 3)), чтобы получить большое число сверху (то есть ( 81)).

А вот ты знаешь, чему в точности равно ( lo{{g}_{2}}3)? Нет? И я нет, и никто не знает. (Для меня с такого постулата началась математика, что никто и ничего не знает)

А все почему?

Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем. Факт есть факт.

То есть логарифм, можно сказать, обобщает понятие степени.

Ну что я все про логарифмы да про логарифмы… Ты ведь мне пообещал, что прочитаешь все материалы по ним самостоятельно, и я тебе в этом вопросе полностью доверяю.

Ты ведь грамотный читатель и тебе не надо лишний раз напоминать, что

При делении (или умножении) на положительное число знак неравенства не меняется, а при умножении на отрицательное – меняется на противоположный?

Еще раз очень прошу тебя, если мои слова тебе мало что говорят, то срочно, прямо сейчас перечитай методы решения простейших линейных неравенств.

Азов нам пока что хватит.

Ну все, теперь, я думаю, самое время переходить к внешнему виду логарифма. Давай посмотрим на него повнимательнее.

ОДЗ логарифмического неравенства

Для логарифма (из его определения) следует, что ( 2x+4~>~0) (сейчас ( 2x+4~) выступает в роли ( b) в определении логарифма).

А как мы помним, это число обязано быть положительным (еще раз посмотри на определение логарифмического неравенства), я предупреждал, что это очень важно.

Это неравенство ты без труда решишь и скажешь, что ( x) обязан быть больше ( -2.)

Ну вот, с ОДЗ мы разобрались, время переходить непосредственно к решению неравенства ( log{{~}_{2}}left( 2x+4 right)~>~log{{~}_{2}}3).

Однако решение примера изменится от этого кардинально.

О нет, ОДЗ не изменится, куда уж ему деться. Тут все по-прежнему. ОДЗ: ( displaystyle text{x}>~-2).

А вот само неравенство, которое равносильно исходному, преобразится: из ( displaystyle lo{{g}_{0.2}}~left( 2x+4 right)>~lo{{g}_{0.2}}~3) у нас теперь будет следовать, что ( displaystyle 2x+4<3).

Отчего же это произошло? Кто виноват?

А виновато основание, и только оно.

Ничего, как только мы решим до конца этот пример, я сформулирую соответствующее простое правило.

А пока что решим простейшее неравенство: ( displaystyle 2x+4< 3 Rightarrow x<-frac{1}{2}).

Тогда исходное неравенство равносильно вот такой системе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}x>~-2\x<~-frac{1}{2}end{array} right.)

И ее решением будет промежуток: ( displaystyle xin left( -2;-frac{1}{2} right).)

Все еще под впечатлением?

Изменилось ведь всего ничего (основание такое маленькое, что иногда и незаметно вовсе), а решение стало совсем другим.

Решение логарифмических неравенств

Если основание логарифма в неравенстве больше единицы, то знак неравенства сохраняется и для ( displaystyle fleft( x right)) и ( displaystyle gleft( x right)), если же основание логарифма больше нуля и меньше единицы, то знак между ( displaystyle fleft( x right)) и ( displaystyle gleft( x right)) заменяется на противоположный.

Теперь ты понял, почему так сильно отличались решения очень похожих неравенств?

Вся собака зарыта в основаниях!

Теперь ты во всеоружии можешь решать самые разнообразные примеры, щелкая их как орешки (хотя не все орешки имеют мягкую скорлупу).

Во-первых ( displaystyle {{x}^{2}}+6x+8>0).

Как называется метод, который позволяет решать такие неравенства?

Да! Метод интервалов.

Я просил или нет, повторить его? Кажется, просил. И не зря. Тебя предупреждали, что он может пригодиться в самом неожиданном месте.

Ну ладно, я еще раз напомню, но в первый и последний раз делаю тебе маленькую поблажку.

Первое, что тебе нужно сделать, это найти корни уравнения ( displaystyle {{x}^{2}}+6x+8=0), как понимаешь, они равны ( displaystyle x1=-4,text{ }x2=-2.)

Нанесем их на координатную прямую и разобьем ее на три интервала. Найдем знак нашего выражения на каждом из интервалов.

Для этого, как помнишь, я должен выбрать число из какого-нибудь промежутка и подставить его в исходное выражение.

Мне нравится подставлять ноль (не правда ли, удобно?), то есть я найду таким образом знак на крайне правом промежутке.

Выражение в нуле равно восьми, значит знак положительный. Ставлю плюсик. Далее чередую. Получу картинку:

Плюсики меня и интересуют, тогда ОДЗ первого выражения будет множество ( displaystyle xin left( -infty ;-4 right)mathop{cup }^{}left( -2;+infty right).)

Второе ОДЗ проще: ( displaystyle 5x+10>0). Тут ты и сам справишься и запишешь, что ( displaystyle x>-2).

Тогда я пересекаю первое ОДЗ со вторым, получу:

Тогда мое окончательное ОДЗ – есть та область, над которой проходят две дужки – это промежуток ( displaystyle left( -2;+infty right).)

Ответом будет голубой холмик, который ты видишь на картинке.

Ответ: ( xin left( -2;1 right).)

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Теперь давай сформулируем основной алгоритм решения простейших логарифмических неравенств вида ( lo{{g}_{a}}~fleft( x right)~>~lo{{g}_{a}}~gleft( x right).~).

• Находим ОДЗ: ( left{ begin{array}{l}fleft( x right)>0\gleft( x right)>0end{array} right.) (я напомню, что знак системы (фигурная скобка) означает, что должны выполняться одновременно оба неравенства;
• Смотрим на основание: если ( a>1), то решаем неравенство ( fleft( x right)>gleft( x right).) Если же ( 0<a<1), то решаем ( fleft( x right)<gleft( x right));
•  Совмещаем полученное решение неравенства из пункта 2 с нашим ОДЗ из пункта 1; 

Те же самые правила применимы и к трем другим видам логарифмических неравенств.

Но ты заметил, что я немного «кривил душой»? Во-первых, кто сказал, что всегда ясно однозначно, какое значение принимает основание. Никто этого не говорил…

Основание также может быть переменным, например, ( a=2x+1). И тогда нам нужно уже рассматривать отдельно 2 случая: когда оно больше единицы и когда лежит между нулем и единицей.

Однако этому «сложному» случаю будет посвящена следующая статья, где он рассматривается отдельно.

В общем случае, внешний вид логарифмических неравенств может существенно отличаться от простейших. В таком случае что мы с тобой должны сделать вначале?

Верно, привести неравенство к виду простейшего. И мы обязательно будем это делать, но самую малость попозже.

А пока давай немного потренируемся в решении самых базовых логарифмических неравенств.

Кстати, обрати пристальное внимание на первый пример (хотя и на второй тоже). Посмотри, тебя ничего не смущает?

Видишь, что решение неравенства ( {{x}^{2}}+2{x} -2>0) никак не вошло в наш окончательный ответ? И это неслучайно.

Поскольку исходное неравенство равносильно тому, что ( x+4<{{x}^{2}}+2{x} -2,~) но при этом ( x+4>0), то второе выражение и подавно автоматически будет больше нуля, так как по условию оно строго больше.

После того как ты разобрался в решении этих трех примеров, я думаю, что ты готов к осознанию некоторого более сложного правила решения логарифмических неравенств.

Правило, позволяющее экономить время при решении логарифмических неравенств

Решение логарифмического неравенства вида ( lo{{g}_{a}}~fleft( x right)<lo{{g}_{a}}~gleft( x right)) равносильно решению следующих систем:

Но для использования данного правила тебе нужно быть еще более внимательным.

Ничего страшного, если ты сразу не научишься применять его на практике!

Ты всегда можешь следовать уже «отлаженной» схемой, которую я разбирал выше, а потом, когда почувствуешь себя увереннее, сможешь пользоваться и этим правилом!

Теперь давай перейдем к более общему случаю логарифмических неравенств.

Общий случай логарифмических неравенств

…когда его левая или правая часть (или может так выйти, что и обе разом) не приведены сразу к виду простейшего логарифмического неравенства.

Например:

( displaystyle lo{{g}_{2}}left( {{x}^{2}}+4x+3 right)>3)

Мы с тобой видим, что с левой частью все в порядке – она представляет собой логарифмическое выражение. Не в порядке у нас правая часть – она есть просто число три.

Что же нам теперь делать?

Ну, во-первых, не отчаиваться. А, во-вторых, ты не представляешь, насколько может быть продуктивным такое на первый взгляд бесполезное действие, как умножение на единицу.

( displaystyle 3=3cdot 1).

Зачем я это сделал, как ты думаешь? А вот зачем: я (и ты тоже) помню, что для любого положительного числа ( displaystyle a) имеет место равенство:

( displaystyle lo{{g}_{a}}a=1)

Тебе, я надеюсь, очевидно, почему это так? Да все потому, что а нужно возвести в первую степень, чтобы само а и получить в итоге. Тогда я запишу, что

( displaystyle 3=3cdot lo{{g}_{2}}2.)

Сам подумай, почему я выбрал два в качестве основания логарифма. Теперь я воспользуюсь простым свойством:

( displaystyle rcdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{a}}{{b}^{r}})

И получу, что: ( displaystyle 3=3cdot lo{{g}_{2}}2=lo{{g}_{2}}{{2}^{3}}=lo{{g}_{2}}8.)

И наше неравенство превратилось в стандартное

( displaystyle lo{{g}_{2}}left( {{x}^{2}}+4x+3 right)>lo{{g}_{2}}8)

Которое ты и без моей помощи сам прекрасно решишь. Давай сверим ответы. У меня получилось, что ( displaystyle xin left( -infty ;-5 right)mathop{cup }^{}left( 1;+infty right)), а у тебя?

Вот видишь, каким волшебным может быть обычное умножение на единицу!!

Давай решим еще примеры на логарифмические неравенства.

Пример №4

( displaystyle 2+lo{{g}_{2}}sqrt{x+1}>1-lo{{g}_{frac{1}{2}}}sqrt{4-{{x}^{2}}}).

Решение:

Я опять представлю число ( displaystyle 2) как ( displaystyle 2cdot lo{{g}_{2}}2=lo{{g}_{2}}4), единицу как ( displaystyle lo{{g}_{2}}2), а в выражении ( displaystyle lo{{g}_{1/2}}sqrt{4-{{x}^{2}}}) воспользуюсь тем, что

( displaystyle 1/rcdot lo{{g}_{a}}b=lo{{g}_{{{a}^{r}}}}b) (все те же пресловутые свойства логарифмов!!)

Так как ( displaystyle frac{1}{2}={{2}^{-1}}) (свойства степени!!), то исходное неравенство преобразуется вот к такому:

( displaystyle lo{{g}_{2}}4+lo{{g}_{2}}sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2-left( frac{1}{-1} right)lo{{g}_{2}}sqrt{4-{{x}^{2}}}) или

( displaystyle lo{{g}_{2}}4+lo{{g}_{2}}sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2+lo{{g}_{2}}sqrt{4-{{x}^{2}}})

Теперь я воспользуюсь тем, что

( displaystyle lo{{g}_{a}}b+lo{{g}_{a}}c=lo{{g}_{a}}left( bc right)), тогда я получу:

( displaystyle lo{{g}_{2}}4sqrt{x+1}>lo{{g}_{2}}2sqrt{4-{{x}^{2}}})

Вы позволите мне воспользоваться нашим новым правилом решения логарифмических неравенств?

Ясно, что так как ( displaystyle 2>1), то наше неравенство будет равносильно такому:

( displaystyle 4sqrt{x+1}>2sqrt{4-{{x}^{2}}})

Из того, что ( displaystyle 2sqrt{4-{{x}^{2}}}>0) и из того, что это выражение меньше, чем ( displaystyle 4sqrt{x+1}), будет автоматически следовать, что и подавно ( displaystyle 4sqrt{x+1}>0) и нам не надо учитывать это в ОДЗ.

Еще раз!!!

Если тебе не очень пока понятно это утверждение, ты всегда можешь воспользоваться построением «полного» ОДЗ, результат будет тоже правильным!

Тогда мое исходное неравенство будет равносильно следующей системе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}sqrt{4-{{x}^{2}}}>0\4sqrt{x+1}>2sqrt{4-{{x}^{2}}}end{array} right.)

Первое имеет решение: ( displaystyle xin left( -2;2 right))

А второе: ( displaystyle xin left( -infty ;-4 right)mathop{cup }^{}left( 0;+infty right))

Пересекая первое решение со вторым пишу ответ: ( displaystyle xin left( 0;2 right))

Пример №5

Теперь я усложню тебе задачу: каждый раз я буду сводить неравенство к простейшему виду, а уже решать будешь ты сам.

Готов? Начнем!

( displaystyle lg{{left( x+1 right)}^{2}}>0)

Решение:

Во-первых, что за зверь такой ( displaystyle lg)? Слышал о нем раньше? ( displaystyle lgleft( x right)) – это десятичный логарифм, то есть логарифм с основанием ( displaystyle 10). Иначе его можно написать в следующем виде: ( displaystyle lgleft( x right)=lo{{g}_{10}}x).

Во-вторых, что нам делать с нулем справа? А нужно всего лишь вспомнить, что

( displaystyle lo{{g}_{a}}1=0) для любого ( displaystyle a>0)!!!!

Попробуй сам объяснить, почему это так.

Теперь я перехожу от исходного неравенства к простейшему:

Средний уровень

В начальном уровне теории мы с тобой разобрали, как решать простейшие логарифмические неравенства вида:

( displaystyle {{log }_{a}}f(x)<{{log }_{a}}g(x))

Мы сформулировали основное правило их решения, которое гласит, что:

решение логарифмического неравенства вида ( displaystyle {{log }_{a}}f(x)<{{log }_{a}}g(x))

равносильно решению следующих систем:

• ( displaystyle 0<a<1:left{ begin{array}{l}f(x)>g(x)\g(x)>0end{array} right.)
• ( displaystyle a>1:left{ begin{array}{l}f(x)<g(x)\g(x)>0end{array} right.)

Неравенство ( displaystyle {{log }_{a}}f(x)>{{log }_{a}}g(x)) в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

• ( displaystyle 0<a<1:left{ begin{array}{l}f(x)<g(x)\g(x)>0end{array} right.)
• ( displaystyle a>1:left{ begin{array}{l}f(x)>g(x)\g(x)<0end{array} right.)

Также мы привели несколько примеров таких неравенств, которые некоторыми (не очень обременительными) процедурами приводятся к простейшему виду.

Так что при изложении дальнейшего материала в этой статье, я буду уже предполагать, что с базовыми навыками решения логарифмических неравенств ты знаком.

Однако за бортом у нас осталось несколько случаев…

Более сложные логарифмические неравенства

• А что, если неравенство нельзя привести к простейшему виду, описанному выше?
• А что, если основание у логарифма не постоянное число, а некоторая функция, зависящая от переменной ( displaystyle x)?
• А что, если основания в логарифмических неравенствах разные?

Ответы на эти вопросы дадут нам с тобой ключи, необходимые для решения более сложных логарифмических неравенств, нежели простейшие.

Я начну с первого метода, который мы используем не только при решении неравенств, но также и при отыскании корней некоторых уравнений: метод замены переменной.

Давай рассмотрим следующий пример:

( displaystyle {{log }_{2}}^{2}x+{{log }_{0,5}}x > 12)

Что мне видно сразу? А то, что ( displaystyle 0,5={{2}^{-1}}), и поскольку

( displaystyle frac{1}{r}cdot {{log }_{a}}b={{log }_{{{a}^{r}}}}b),

То я перейду к равносильному неравенству вида:

( displaystyle {{log }_{2}}^{2}x-{{log }_{2}}x>12)

Мы с тобой видим, что такое неравенство уже нельзя назвать элементарным. Почему? Да потому, что логарифм в него входит во второй степени.

А разве такие неравенства мы называли элементарными? Вот и я думаю, что нет. Как же нам поступить?

Логарифмическое неравенство с переменным основанием

( displaystyle {{log }_{h(x)}}f(x)V{{log }_{h(x)}}g(x)) (1)

где ( displaystyle h(x),g(x),f(x)) – некоторые функции, зависящие от ( displaystyle x), а ( displaystyle V) – один из знаков: ( displaystyle >,<,le ,ge ). Хитрые математики, когда видят логарифмы, сразу же стараются от них избавиться, переходя к равносильным неравенствам.

В частности для неравенства выше равносильным будет вот такое:

( displaystyle left{ begin{array}{l}(f(x)-g(x))cdot (h(x)-1)V0\f(x)>0\g(x)>0\h(x)>0\h(x)ne 1end{array} right.)

Бывают еще более печальные случаи, когда неравенство имеет вид:

( displaystyle {{log }_{f(x)}}h(x)V{{log }_{g(x)}}h(x)), (2)

то есть представляет собой логарифмическое неравенство с РАЗНЫМИ основаниями, но одинаковыми выражениями «сверху». Для него равносильной системой будет следующая:

( displaystyle left{ begin{array}{l}(f(x)-1)(g(x)-1)cdot (h(x)-1)(g(x)-f(x))V0\f(x)>0\g(x)>0\h(x)>0\g(x)ne 1\f(x)ne 1end{array} right.)

Все становится все ужаснее и ужаснее, правда? Но ничего, скоро мы перейдем к примерам (очень важным!) и все встанет на свои места!

Вот последний вид «сложного» неравенства:

( displaystyle text{lo}{{text{g}}_{text{t}left( text{x} right)}}text{f}left( text{x} right)cdot text{lo}{{text{g}}_{text{h}left( text{x} right)}}text{g}left( text{x} right)text{V }!!~!!text{ }0) (3)

Ему равносильна следующая система:

( displaystyle left{ begin{array}{l}(f(x)-1)(t(x)-1)cdot (h(x)-1)(g(x)-1)V0\f(x)>0\g(x)>0\h(x)>0\t(x)>0\t(x)ne 1\h(x)ne 1end{array} right.)

Представленный метод решения неравенств (1), (2), (3) говорит нам о том, как от сложного логарифмического неравенства (но одного!) перейти к простым неравенствам (но к целой системе!).

По сути этот метод позволяет одно сложное свести к системе простых. Этот метод получил название..

Метод декомпозиции (рационализации)

На самом деле, можно и не запоминать все формулы в каждой системе. Все, кроме первой – это просто-напросто ОДЗ (ну в самом деле, просто взгляни на них), а первое – это так называемое условие сохранения знака.

К нему ты всегда можешь прийти, рассматривая случаи, когда ( displaystyle 0<hleft( x right)<1) и когда ( displaystyle hleft( x right)>1).

В частности, если ( displaystyle 0<hleft( x right)<1), то неравенство ( displaystyle lo{{g}_{hleft( x right)}}fleft( x right)>~lo{{g}_{hleft( x right)}}gleft( x right)) влечет за собой ( displaystyle fleft( x right)<gleft( x right)).

С другой стороны, так как ( displaystyle hleft( x right)-1<0) неравенство ( displaystyle left( fleft( x right)-gleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) имеет место только тогда, когда ( displaystyle fleft( x right)-gleft( x right)<0) или ( displaystyle fleft( x right)<gleft( x right)).

Получили, что при ( displaystyle 0<hleft( x right)<1) неравенства ( displaystyle lo{{g}_{hleft( x right)}}fleft( x right)>~lo{{g}_{hleft( x right)}}gleft( x right)) и ( displaystyle left( fleft( x right)-gleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) равносильны (учитывая, конечно, ОДЗ). Аналогично ты можешь получить, что эти же неравенства будут равносильны и при ( displaystyle hleft( x right)>1).

Но если ты и эту формулу забыл, то ничего страшного, просто придется дольше поработать. Ты всегда можешь решить логарифмическое неравенство, опираясь только на определение логарифмической функции. В частности, неравенство

( displaystyle lo{{g}_{hleft( x right)}}fleft( x right)>~lo{{g}_{hleft( x right)}}gleft( x right))

Равносильно следующей системе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}f(x)>g(x)\h(x)>1end{array} right.\left{ begin{array}{l}f(x)<g(x)\0<h(x)<1end{array} right.end{array} right.\f(x)>0\g(x)>0\h(x)>0\h(x)ne 0end{array} right.)

Где сложное условие ( displaystyle left( fleft( x right)-gleft( x right) right)left( hleft( x right)-1 right)>0) я заменил совокупностью из двух систем.

Решение любого сложного логарифмического уравнения я рекомендую начинать с ОДЗ.

В некоторых случаях это позволит тебе не решать одну из двух систем, поскольку будет заведомо известно, что ее решение не лежит в ОДЗ.

Ты уже в трепете перед этими сложными формулами? Я тебя понимаю. Однако, все, что я могу сказать: аппетит приходит во время еды.

И большинство «монструозных» задач сложного уровня, имеющих в своем составе логарифмы, сводятся в конечном счете к одному из неравенств вида (1)-(3), либо решаются при помощи некоторой замены переменной.

Я не хочу быть более голословным, поэтому перейду к примерам прямо сейчас. Обрати внимание, все следущие примеры взяты из ЕГЭ предыдущих лет!

Пример из ЕГЭ предыдущих лет №1 (на хорошую замену)

( displaystyle lo{{g}_{x}}3+2lo{{g}_{3x}}3-6lo{{g}_{9x}}3le 0)

Решение:

Во многих случаях, при решении «сложных» неравенств, может полезной оказаться одна из следующих формул:

( displaystyle lo{{g}_{a}}b=frac{lo{{g}_{c}}b}{lo{{g}_{c}}a}), ( displaystyle lo{{g}_{a}}b=frac{1}{lo{{g}_{b}}a}).

В данном случае мне удобно воспользоваться второй формулой. Понимаешь, почему? Да все потому, что все три логарифма содержат в себе тройку «наверху»!!

Если я преобразую исходное неравенство, то у меня получится:

Пример из ЕГЭ предыдущих лет №2 (на “сложную” замену переменной)

( displaystyle frac{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}49}{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}left( -49x right)}le frac{1}{lo{{g}_{7}}lo{{g}_{frac{1}{7}}}{{7}^{x}}})

Решение:

Вначале найдем ОДЗ:

( displaystyle left{ begin{array}{l}xne -1\xne -frac{1}{49}\xne -3\x<0end{array} right.)

Вы можете оспорить второе выражение системы. В самом деле, откуда оно берется?

А во всем виновато соотношение: ( displaystyle lo{{g}_{a}}b=frac{lo{{g}_{c}}b}{lo{{g}_{c}}a}), которое применимо к нашему случаю даст:

( displaystyle frac{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}49}{lo{{g}_{{{7}^{x+3}}}}left( -49x right)}=lo{{g}_{left( -49x right)}}49=frac{1}{lo{{g}_{49}}left( -49x right)}=frac{1}{1+lo{{g}_{49}}left( -x right)}=frac{2}{2+lo{{g}_{7}}left( -x right)})

Второе выражение преобразуем вот так:

( displaystyle frac{1}{lo{{g}_{7}}lo{{g}_{frac{1}{7}}}{{7}^{x}}}=frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -lo{{g}_{7}}{{7}^{x}} right)}=frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -xlo{{g}_{7}}7 right)}=frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -x right)}.)

Тогда наше неравенство преобразуется к вот такому виду:

( displaystyle frac{2}{2+lo{{g}_{7}}left( -x right)}le frac{1}{lo{{g}_{7}}left( -x right)}.)

Ага, теперь замена напрашивается сама собой!!

Пример из ЕГЭ предыдущих лет №4

( displaystyle lo{{g}_{12{{x}^{2}}-41x+35}}left( 3-x right)le lo{{g}_{2{{x}^{2}}-5x+3}}left( 3-x right))

Решение:

Данное неравенство имеет вид (2). Значит перейдем к равносильной ему системе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}left( 12{{x}^{2}}-41x+34 right)left( 2-x right)left( 2{{x}^{2}}-5x+2 right)left( 10{{x}^{2}}-36x+32 right)le 0\12{{x}^{2}}-41x+35>0\2{{x}^{2}}-5x+3>0\3-x>0\12{{x}^{2}}-41x+35ne 1\2{{x}^{2}}-5x+3ne 1end{array} right.)

Теперь твоя цель – решить методом интервалов каждое из указанных в системе неравенств, а затем найти область их пересечения. Я самоустраняюсь от этой (хоть и тривиальной, но достаточно трудоемкой) задачи, и доверяю ее тебе. Окончательный ответ будет вот таким:

( displaystyle left( -infty;frac{1}{2}right)mathop{cup }^{}left(frac{3}{2}; frac{8}{5}right])

Итак….

В данной статье я постарался объяснить тебе подходы к решению одних из самых трудных задач, встречающихся в школьном курсе – решению логарифмических неравенств.

Я надеюсь, чтение и разбор примеров оказались для тебя полезными и время ты потратил не зря. Опять-таки повторюсь: чтобы освоить методы решения, тебе нужно совсем немного: всего три вещи: практика, практика и практика.

Мини-максный метод решения логарифмических неравенств

В дополнение к уже изложенному материалу (который, увы, не охватывает и не может охватывать весь спектр способов решения логарифмических неравенств), я рассмотрю еще один способ, который может быть полезен там, где ничего больше не помогает (но опять-таки, я сразу оговорюсь, что изложенный метод не является панацеей).

Данный метод будет основан на некоторых свойствах логарифмической функции: на ее монотонности и на наибольших и наименьших значениях на интервале ее существования.

Прежде чем приступать к рассмотрению метода, я напомню тебе, что такое монотонность функции:

Определение монотонности функции:

( displaystyle fleft( x right)) монотонно возрастает на ( displaystyle left[ a,b right]), если для любых ( displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}) из этого промежутка из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)) и наоборот, из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right).)

Определение:

( displaystyle fleft( x right)) монотонно убывает на ( displaystyle left[ a,b right]), если для любых ( displaystyle {{x}_{1}},~{{x}_{2}}) из этого промежутка из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right)) и наоборот, из того, что ( displaystyle {{x}_{1}}>{{x}_{2}}) следует, что ( displaystyle fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right).)

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

Функция на рисунке слева – монотонно возрастающая, а справа – монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции ( displaystyle f(x)=lo{{g}_{a}}x4), известно, что выполняется следующая:

Теорема: если ( displaystyle a>1), то функция ( displaystyle fleft( x right)=~lo{{g}_{a}}x) является монотонно возрастающей, если ( displaystyle 0<a<1), то функция ( displaystyle fleft( x right)=~lo{{g}_{a}}x) является монотонно убывающей.

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции. Теперь я могу приступать к рассмотрению одного из приемов решения логарифмических неравенств.

Рассмотренный здесь метод называется мини-максным. 

Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

( displaystyle left{ begin{array}{l}fleft( x right)le gleft( x right)\fleft( x right)ge A\gleft( x right)le Aend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=gleft( x right)\fleft( x right)ge A\gleft( x right)le Aend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}fleft( x right)=A\gleft( x right)=Aend{array} right.)

Иногда данный метод позволяет решать на первый взгляд «безнадежные» неравенства вроде

( displaystyle lo{{g}_{2}}left( 6x-{{x}^{2}}-7 right)ge {{7}^{left| x-3 right|}})

Давай введем в рассмотрение две функции

( displaystyle fleft( x right)=~lo{{g}_{2}}left( 6x-{{x}^{2}}-7 right)), ( displaystyle gleft( x right)=~{{7}^{left| x-3 right|}})

Найдем для каждой из них область значений ( displaystyle Eleft( f right),Eleft( g right)):

Пусть ( displaystyle t=6x-{{x}^{2}}-7)

( displaystyle 6x-{{x}^{2}}-7=-{{left( x-3 right)}^{2}}+2,~) то есть ( displaystyle tle 2), с другой стороны, по определению логарифма ( displaystyle t>0).

Так как ( displaystyle y=fleft( t right)) возрастает на ( displaystyle left( 0;2 right]).

Причем, при ( displaystyle t) стремящемся к нулю, ( displaystyle fleft( t right)) стремится к минус бесконечности (смотри рисунок выше), а при ( displaystyle t=2,~fleft( t right)=fleft( 2 right)=1).

Таким образом, область значений ( displaystyle f(x)) есть множество:

( displaystyle Eleft( f right)=left( -infty ;1 right].)

Теперь найдем область значений ( displaystyle g(x)): вновь введем замену ( displaystyle z=left| x-3 right|,) ( displaystyle zge 0) (по определению модуля), так как ( displaystyle gleft( z right)={{7}^{z}}) возрастает на всей числовой прямой, то наименьшее значение ( displaystyle gleft( z right)) при ( displaystyle zge 0) достигается при ( displaystyle z=0), ( displaystyle gleft( 0 right)=1), ( displaystyle gleft( z right)>1) при ( displaystyle z>0). Таким образом:

( displaystyle Eleft( g right)=left[ 1;+infty right).)

Воспользуемся мини-максным методом: он говорит нам о том, что решение неравенства может иметь место только при

( displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)=A). В нашем случае ( displaystyle A=1.)

Тогда ( displaystyle fleft( x right)=1) эквивалентно: ( displaystyle lo{{g}_{2}}left( 6x-{{x}^{2}}-7 right)=1) а из ( displaystyle gleft( x right)=1) получится ( displaystyle {{7}^{left| x-3 right|}}=1.) Первое уравнение имеет корень: ( displaystyle x=3), это же число является и корнем второго уравнения. Тогда наше исходное неравенство имеет место только при ( displaystyle x=3).

Вот такой пример (позаковырестее) я предлагаю решить тебе самому:

( displaystyle left{ begin{array}{l}lo{{g}_{frac{1}{3}}}left( 3+left| sinx right| right)ge {{2}^{left| x right|}}-2\lo{{g}_{left( x+2.5 right)}}{{left( frac{x-5}{2x-3} right)}^{2}}>0end{array} right.)

Давай посмотрим, что у нас получилось:

Я начну с анализа первого неравенства: Слева у меня стоит монотонно убывающая функция, а справа – монотонно возрастающая. Вначале мы разберемся с ( displaystyle fleft( x right)=lo{{g}_{frac{1}{3}}}left( 3+left| sinx right| right)), пусть ( displaystyle t=3+left| sinx right|), тогда из того, что ( displaystyle 0le left| sinx right|le 1), следует, что ( displaystyle 3le tle 4).

Функция ( displaystyle fleft( t right)) является монотонно убывающей при ( displaystyle 3le tle 4), тогда своего наибольшего значения она достигает при ( displaystyle t=3), а наименьшего – при ( displaystyle t=4).

Тогда:

( displaystyle -lo{{g}_{3}}4le fleft( t right)le -1)

Теперь рассмотрим ( displaystyle gleft( x right)={{2}^{left| x right|}}-2), сделаем замену ( displaystyle t=left| x right|,~tge 0). Тогда ( displaystyle gleft( t right)={{2}^{t}}-2) монотонно возрастает и наименьшего значения достигает при ( displaystyle t=0.) Это значение будет равно ( displaystyle gleft( 0 right)=-1.) При ( displaystyle t>0~gleft( t right)>-1.)

Вновь воспользуемся мини-максным методом. В данном случае первое неравенство может иметь место только при ( displaystyle fleft( x right)=gleft( x right)=-1). Ясно, что первое уравнение имеет бесконечное количество корней, задаваемых формулой

( displaystyle x=pi n,~nin Z.)

Тогда как второе имеет только один корень ( displaystyle x=0). Ясно, что при подстановке ( displaystyle n=0) в формулу корней первого уравнения, я получу, что ( displaystyle x=0). Тогда первое неравенство выполняется только при ( displaystyle x=0).

Что же теперь? Нужно ли нам решать второе неравенство? А смысл? Ведь если оно и имеет решение, то нам нужно будет его пересекать с тривиальным решением первого неравенства. Так не проще ли нам подставить во второе неравенство ( displaystyle 0) и проверить, имеет ли оно при этом место? Я думаю, что это не представляет никакого труда.

( displaystyle lo{{g}_{left( 0+2.5 right)}}{{left( frac{0-5}{2*0-3} right)}^{2}}=lo{{g}_{2.5}}left( frac{25}{9} right)>lo{{g}_{2.5}}1>0)

Тогда с чистой совестью записываю ответ: ( displaystyle x=0).

Конечно, мини-максный метод является не единственным методом решения сложных логарифмических неравенств, однако он в полной мере демонстрирует мощь «функционального» подхода к решению неравенств (кстати, и уравнений тоже).

Как решать логарифмические неравенства?

Решение неравенств с логарифмами похоже на решение обычных логарифмических уравнений. Но есть несколько моментов, которые необходимо учитывать.

Для начала вспомним, что такое логарифм (log_{a}b) — это в какую степень нужно возвести число (a), чтобы получить (b). Кстати, число (a) называют основанием логарифма, а число (b) — аргументом. Например:
$$log_{3}(27)=3;$$
$$log_{frac{1}{3}}(9)=log_{frac{1}{3}}((frac{1}{3})^{-2})=-2;$$
$$log_{2}(sqrt{2})=log_{2}(2^{frac{1}{2}})=frac{1}{2};$$

Если у вас возникают сложности с вычислением логарифмов настоятельно рекомендую сначала почитать про логарифмы и их свойства.

При этом нужно помнить про ограничения, которые накладываются на логарифм (log_{a}b):
$$ begin{cases}
b>0, \
a>0, \
a neq 1.
end{cases}$$

Начнем изучение неравенств с небольшого примера:
$$log_{2}x>log_{2}4;$$
Сравниваются два логарифма с ОДИНАКОВЫМ основанием, значит вполне логично предположить, что (log_{2}x) будет больше (log_{2}4), при условии, что (x>4). Это и будет решением нашего простого неравенства.

Действительно, согласно определению логарифма, чем больше (х), тем в бОльшую степень нужно возвести (2-ку) в основании логарифма, а значит, и тем больше будет сам логарифм. Подставим в неравенство (х=16) — число большее (4):
$$log_{2}16>log_{2}4;$$
Посчитаем получившиеся логарифмы:
$$4>2;$$
Получили верное неравенство.

И подставляя любые числа большие (4), вы всегда будете получать верное неравенство. Некоторые логарифмы мы не можем посчитать, как например (log_{2}15), но логика сохраняется, если подставлять (x>4), неравенство будет верным. Кстати, калькулятор вам любезно подскажет, что (log_{2}15=3,907>log_{2}4), что нас устраивает.

Ответ: (x>4).

Теперь рассмотрим другой пример:
$$log_{frac{1}{2}}(x)>log_{frac{1}{2}}(4);$$
Обратите внимание, я поменял основания на (frac{1}{2}). Интересно, изменится ли логика рассуждений? Подставим (х=16>4):
$$log_{frac{1}{2}}(16)>log_{frac{1}{2}}(4);$$
$$log_{frac{1}{2}}(2^4)>log_{frac{1}{2}}(2^2);$$
$$log_{frac{1}{2}}((frac{1}{2})^{-4})>log_{frac{1}{2}}((frac{1}{2})^{-2});$$
Посчитаем логарифмы слева и справа:
$$-4>-2;$$

Опа! Получилось неверное неравенство! (-4) конечно же не больше (-2). Мы подставили под левый логарифм число большее, чем у правого, но получили, что значение логарифма меньше.
Другими словами, если основание логарифма будет меньше единицы, то чем бОльший аргумент мы подставляем, тем меньший логарифм будем получать.

Оказывается, если основание у логарифма больше единицы, то логарифм будет возрастающей функцией: чем БОЛЬШЕЕ значение аргумента, тем БОЛЬШЕ сам логарифм. Если основание логарифма меньше единицы, то логарифм будет убывающей функцией: чем БОЛЬШЕЕ значение аргумента, тем МЕНЬШЕ значение логарифма.

Для примера на рисунке показан график логарифмов (log_{2}(x)) с основанием 2 (красным цветом) — возрастающая функция. И (log_{frac{1}{2}}(x)) с основанием 0,5 — синим цветом (убывающая функция).

Находим пересечение указанных областей. И видим, что все (x>8) удовлетворяют ОДЗ, записываем ответ.

Ответ: (x>8.)

Пример 2
$$log_{3}(x+3)>log_{3}(2x-4);$$

Любой пример начинаем с ОДЗ:
$$ begin{cases}
x+3>0, \
2x-4>0. \
end{cases}$$
$$ begin{cases}
x>-3, \
x>2. \
end{cases}$$
Итого ОДЗ получается (x>2).
Теперь приступаем к решению самого неравенства. Слева и справа стоят логарифмы с одинаковыми основаниями большими единицы. Значит просто избавляемся от логарифмов:
$$x+3>2x-4;$$
$$x-2x>-4-3;$$
$$-x>-7;$$
$$x lt 7.$$
Сверяем с ОДЗ ((x>2)) — получается (хin(2;7)).

Ответ: (xin(2;7)).

В примере 2 был важный момент в ОДЗ, на который стоит отдельно обратить внимание. Мы накладывали условия, что оба выражения под логарифмами должны быть больше нуля:
$$ begin{cases}
x+3>0, \
2x-4>0. \
end{cases}$$
Но на самом деле, в этом случае в ОДЗ можно рассмотреть только (2x-4>0). А условие (x+3>0) необязательно! Это следует из простой логики, что если (2x-4>0), то (x+3>0) выполняется автоматически, так как, когда при решении примера избавляемся от логарифмов, мы ищем такие значения (х), при которых (x+3>2x-4>0).

Конкретно в этом примере это не критично, но дальше, когда будут гораздо более сложные примеры, решение дополнительных неравенств в ОДЗ может существенно усложнить жизнь. Особенно это касается заданий с параметром. Настоятельно рекомендую думать, а не просто по схеме накладывать ОДЗ на все подряд.

Пример 3
$$ log_{0,1}(x^2-x-2)>log_{0,1}(3-x);$$
ОДЗ:
$$ begin{cases}
x^2-x-2>0, \
3-x>0. \
end{cases}$$

Для того, чтобы решить первое неравенство в ОДЗ, необходим метод интервалов. Через дискриминант или по теореме Виета (как кому удобно) находим корни квадратного многочлена:
$$D=1-4*(-2)=9;$$
$$x_1=frac{1+3}{2}=2;$$
$$x_2=frac{1-3}{2}=-1;$$
Раскладываем на множители по формуле:
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2);$$
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1);$$
$$(x-2)(x+1)>0;$$
Рисуем ось (х), расставляем знаки, отмечаем подходящие промежутки и на этой же оси отмечаем решение второго неравенства в ОДЗ:
$$3-х>0;$$
$$x lt 3;$$

Метод замены переменной в неравенствах с логарифмом

Еще один очень популярный тип неравенств — это неравенства, которые решаются при помощи замены переменной. Как всегда, проще разобраться с этим на примерах:

Пример 5
$$log_{3}^{2}(x)+2>3log_{3}(x);$$
Сперва найдем ОДЗ, здесь оно крайне простое:
$$x>0.$$
Очень легкий пример, который решается при помощи замены. Действительно, обратите внимание, что логарифмы в неравенстве абсолютно одинаковые. Заменим их на какую-нибудь переменную (t):
$$Пусть t=log_{3}(x)$$
Тогда неравенство примет вид:
$$t^2+2>3t;$$
$$t^2-3t+2>0;$$
Получили обыкновенное квадратное неравенство, только относительно переменной не (х), а (t).
Находим корни (t), раскладываем на множители и решаем методом интервалов:
$$(t-1)(t-2)>0;$$
$$tin(-infty;1)cup(2;+infty);$$
То же самое можно переписать в виде совокупности неравенств, смысл остается такой же:
$$left[
begin{gathered}
t lt 1, \
t gt 2. \
end{gathered}
right.$$
Не путайте совокупность и систему! Знак системы используется, когда нужно найти значения (х), удовлетворяющие ОДНОВРЕМЕННО всем неравенствам, входящим в систему.

А знак совокупности используется, когда нужно объединить решение каждого неравенства — то есть решением совокупности будут все корни, полученные в каждом неравенстве по отдельности.

В данном примере мы используем совокупность, так как нас устраивают и (t<1), и (t>2). И то, и то является решением нашего неравенства.

Понимание разницы между совокупностью и системой — принципиальный момент при решении логарифмических и показательных неравенств. С совокупностью мы познакомились в этом примере, а когда используется система, поговорим чуть позже.

Итак, у нас совокупность из двух неравенств относительно переменной (t). Время сделать обратную замену — вместо (t) подставляем выражение, на которое мы его заменяли. Напоминаю (t=log_{3}(x)):
$$left[
begin{gathered}
log_{3}(x) lt 1, \
log_{3}(x) gt 2. \
end{gathered}
right.$$
Ну вот, перед нами два простеньких логарифмических неравенства, которые мы уже научились решать выше:
$$log_{3}(x)<1;$$
$$log_{3}(x)<log_{3}(3);$$
$$x<3.$$

$$log_{3}(x)>2;$$
$$log_{3}(x)>log_{3}(3^2);$$
$$x>9.$$
С учетом ОДЗ ((x>0)), и не забыв про совокупность, получаем:
Ответ: (xin(0;3),cup ,(9;+infty)).

Пример 6
$$frac{log_{4}(64x)}{log_{4}(x)-3}+frac{log_{4}(x)-3}{log_{4}(64x)}geqfrac{log_{4}(x^4)+16}{log_{4}^{2}(x)-9}.$$
Неравенство, на первый взгляд, выглядит немного страшно. Но именно такой пример был на ЕГЭ 2017 года, да и на самом деле оно совсем не страшное.

Запишем ОДЗ:
$$ begin{cases}
x>0, \
log_{4}(x)-3neq 0, \
log_{4}(64x)neq 0, \
log_{4}^{2}(x)-9 neq 0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x>0, \
log_{4}(x)neq log_{4}(4^3), \
log_{4}(64x)neq log_{4}(4^0), \
(log_{4}(x)-3)(log_{4}(x)+3) neq 0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x>0, \
log_{4}(x)neq log_{4}(4^3), \
log_{4}(64x)neq log_{4}(4^0), \
log_{4}(x)neq log_{4}({4}^{-3}).
end{cases}$$

В итоге, ОДЗ получается: (xin (0;frac{1}{64}) , cup , (frac{1}{64};64) , cup , (64;+infty).)

Главное помнить про правило: мы должны стараться сделать так, чтобы все логарифмы были с одинаковым основанием, и, по возможности, привести их к одинаковым аргументам.
Здесь у каждого логарифма основание (4) — с этим тут все в порядке. А вот подлогарифмические функции постараемся сделать одинаковыми, воспользовавшись свойствами логарифмов. А именно, нам понадобятся следующие формулы:

$$a=log_{b}(b^a);$$
$$log_{a}(bc)=log_{a}(b)+log_{a}(c);$$
$$log_{a}(b^n)=n*log_{a}(b);$$

Воспользуемся ими для преобразования логарифмов в неравенстве:
$$frac{log_{4}(64)+log_{4}(x)}{log_{4}(x)-3}+frac{log_{4}(x)-3}{log_{4}(64)+log_{4}(x)}geqfrac{4*log_{4}(x)+16}{log_{4}^{2}(x)-9};$$

Заметим, что (log_{4}(64)=3)
$$frac{3+log_{4}(x)}{log_{4}(x)-3}+frac{log_{4}(x)-3}{3+log_{4}(x)}geqfrac{4*log_{4}(x)+16}{log_{4}^{2}(x)-9};$$
Теперь у нас везде одинаковые логарифмы, можно сделать замену. Пусть (t=log_{4}(x):)
$$frac{3+t}{t-3}+frac{t-3}{3+t}geqfrac{4*t+16}{t^2-9};$$
Получилось обыкновенное неравенство из 9-го класса, которое решается методом интервалов. Для этого перекинем все налево, приведем к общему знаменателю, приведем подобные и разложим на множители:
$$frac{3+t}{t-3}+frac{t-3}{3+t}geqfrac{4*t+16}{(t-3)(t+3)};$$
$$frac{(3+t)(t+3)}{(t-3)(t+3)}+frac{(t-3)(t-3)}{(t+3)(t-3)}-frac{4*t+16}{(t-3)(t+3)}geq0;$$
$$frac{9+6t+t^2+t^2-6t+9-4t-16}{(t-3)(t+3)}geq 0;$$
$$frac{2*t^2-4t+2}{(t-3)(t+3)}geq 0;$$
$$frac{2(t-1)^2}{(t-3)(t+3)}geq 0;$$
Воспользуемся методом интервалов, для этого нарисуем ось (х) и расставим знаки:

Обратите внимание, на точку (t=1), она нас устраивает, ведь при этом значении (t) все выражение равно нулю. В ЕГЭ очень часто попадаются отдельные точки, про которые надо не забыть.

$$left[
begin{gathered}
t lt -3, \
t=1, \
t gt 3.\
end{gathered}
right.$$

Сделаем обратную замену (t=log_{4}(x)):
$$left[
begin{gathered}
log_{4}(x)<-3, \
log_{4}(x)=1, \
log_{4}(x)>3. \
end{gathered}
right.$$
Решаем получившиеся простенькие логарифмические неравенства и, неожиданно, одно уравнение. Обратите внимание, что мы решаем опять не систему, а совокупность. Нас устраивают все решения, полученные в каждом уравнениинеравенстве по отдельности.

$$log_{4}(x)<log_{4}({4}^{-3});$$
$$x<{4}^{-3};$$
$$x<frac{1}{64}.$$

$$log_{4}(x)=1;$$
$$log_{4}(x)=log_{4}(4^1);$$
$$x=4.$$

$$log_{4}(x)>3;$$
$$log_{4}(x)>log_{4}(4^3);$$
$$x>64.$$

C учетом ОДЗ записываем ответ:
Ответ: (xin(-infty;frac{1}{64}) , cup , [1] , cup , (64;+infty).)

С основными стандартными типами логарифмических неравенств мы познакомились. Теперь обсудим «подводные камни», которые часто встречаются при решении логарифмических неравенств.

ОДЗ в логарифмических неравенствах. Как сделать проще?

Иногда можно немного упростить себе жизнь при поиске ОДЗ в неравенствах. Для этого нам понадобится немного логики. Разберем на примере:

Пример 7
$$1+log_{6}(4-x)leqlog_{6}(16-x^2).$$
Выпишем ОДЗ, но не будем его решать — да, так можно делать!

ОДЗ:
$$ begin{cases}
4-x>0, \
16-x^2>0.
end{cases}$$

ОДЗ выписали, теперь преобразуем исходное неравенство. Для этого (1) представим в виде логарифма с основанием (6): (1=log_{6}(6)). И воспользуемся формулой:
$$log_{a}(bc)=log_{a}(b)+log_{a}(c).$$
$$log_{6}(6)+log_{6}(4-x)leqlog_{6}(16-x^2).$$
$$log_{6}(6*(4-x))leqlog_{6}(16-x^2).$$
Сравниваются два логарифма с одинаковым основанием, можем смело избавляться от логарифмов, сохраняя знак неравенства:
$$6*(4-x)leq16-x^2;$$

И вот здесь остановимся и поговорим.
Согласно ОДЗ
$$begin{cases}
4-x>0, \
16-x^2>0.
end{cases}$$
Обратите внимание! Что если: (6*(4-x)geq0), то и (16-x^2) будем больше (0) автоматически, так как мы решаем неравенство (6*(4-x)leq16-x^2).

Для нас это означает радостную новость — оказывается необязательно решать все ОДЗ. В данном примере достаточно соблюдать условие (6*(4-x)geq0), а все остальное ОДЗ будет выполняться автоматически, исходя из логики примера. Таким образом, наш пример сводится к решению системы:
$$ begin{cases}
6*(4-x)leq16-x^2, \
6*(4-x)>0.
end{cases}$$

Что избавляет нас от необходимости решать (16-x^2>0), это будет лишним действием.
Конкретно в этом примере нет большой трудности решить все условия из ОДЗ и не думать. Но часто встречаются примеры, в которых выше представленная логика поможет вам не запутаться, ведь иногда это спасает от необходимости решения очень сложных неравенств. Особенно это касается решения заданий с параметрами в профильном ЕГЭ по математике. Вот там каждое лишнее условие в разы увеличивает объем работы.

Дорешаем пример:
$$ begin{cases}
6*(4-x)leq16-x^2, \
6*(4-x)>0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
24-6xleq16-x^2, \
4-x>0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x^2-6x+8leq0, \
x>4.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
2 leq x leq 4, \
4-x>0.
end{cases}$$

Ответ: (x in [2;4).)

Запишем эти правила в общем виде:

$$log_{a}(f(x)>log_{a}(g(x));$$
Эквивалентно
При (a>1):

$$ begin{cases}
f(x)>g(x), \
g(x)>0.
end{cases}$$

При (0 lt a lt 1:)

$$ begin{cases}
f(x) lt g(x), \
f(x) gt 0.
end{cases}$$

Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Что, если в основании логарифма будет стоять не положительное число, а некоторое выражение, зависящее от (х — log_{g(x)}(f(x)))? Такие логарифмы называются логарифмами с переменным основанием.

Разберемся, как решать, на примере:

Пример 8
$$ log_{frac{x}{3}}(3x^2-2x+1) ge 0);$$

Начнем решение с ОДЗ. Обратите внимание, что условия накладываются еще и на основание логарифма — оно должно быть больше нуля и не равно единице:
$$ begin{cases}
3x^2-2x+1>0;, \
frac{х}{3}>0; ,\
frac{x}{3}neq1.
end{cases}$$

Заметим, что данный квадратный многочлен больше нуля при любых значениях (х). Второе неравенство имеет решения при (х>0). А третье дает нам (xneq 1).
Объединяя все решения, получаем итоговое ОДЗ:
$$xin(0;3)cup(3;+infty);$$

Приступим к решению.
Мы знаем, чтобы решить неравенство, нужно представить (0) справа в виде логарифма с таким же основанием. Но проблема в том, что основание логарифма слева не число, а выражение, зависящее от (х). Нас не должно это смущать, продолжаем решать точно так же, как если бы в основании было число, то есть, приводим к одинаковому основанию:
$$ log_{frac{x}{3}}(3x^2-2x+1) ge log_{frac{x}{3}}((frac{x}{3})^0);$$
$$ log_{frac{x}{3}}(3x^2-2x+1) ge log_{frac{x}{3}}(1);$$

Получилось, что сравниваются два логарифма с одинаковым основанием. Вот только это основание может быть совершенно любым. Это важно, если вспомнить, как решать классические логарифмические неравенства: знак неравенства должен меняться, если в основании логарифмов стоит число от нуля до единицы, и оставаться таким же, если основание больше единицы. У нас в основании стоит (frac{x}{3}) — выражение, зависящее от (х). Оно может принимать значения, как больше единицы, так и меньше. Поэтому логично было бы рассмотреть два случая, когда основание больше (1), и когда от (0) до (1).

Рассмотрим первый случай:

$$ frac{x}{3}>1;$$
$$ frac{x}{3}-1>0;$$
$$frac{x-3}{3}>0;$$
$$x>3.$$

То есть при (х>3) основание будет больше (1) и знак неравенства должен сохраняться:

$$ begin{cases}
3x^2-2x+1 ge 1, \
х>3.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
3x^2-2x ge 0, \
х>3.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x(3x-2) ge 0, \
х>3.
end{cases}$$

Решаем методом интервалов первое неравенство в системе и находим пересечения с условием (x>3):

Метод сужения ОДЗ в логарифмических неравенствах

Эта неприятная штука часто встречается в ЕГЭ по профильной математике и приводит к множеству ошибок и потерянным баллам.

Оказывается, при решении логарифмических неравенств не всегда можно применять формулы из свойств логарифмов (вынесение степени, логарифм от произведения или частного и т.д.). Это связано с изменением области определения логарифмов.

Что это все значит? Проще обсудить на примерах. Рассмотрим простое неравенство с логарифмом:

Пример 11
$$log_{3}(x^2)>4;$$

Как обычно, начинаем с ОДЗ:
$$x^2>0;$$
$$x neq 0.$$

Решаем сам пример, для этого представим (4)-ку справа в виде логарифма с основанием (3).
$$log_{3}(x^2)>log_{3}(3^4);$$
$$x^2>3^4;$$
Разложим в разность квадратов и методом интервалов решим:
$$(x-9)(x+9)>0;$$
$$xin(-infty;-9)cup(9;+infty);$$

А теперь обратите внимание, что этот же самый пример можно было решить по-другому. Согласно формуле вынесения степени из-под логарифма (log_{a}(b^n)=n*log_{a}(b)), можно вынести 2-ю степень. Сделаем это и посмотрим, к чему все это приведет.

$$log_{3}(x^2)>4;$$
$$2*log_{3}(x)>4;$$
Сократим на (2):
$$log_{3}(x)>2;$$
Отдельно обратим внимание на то, как изменилось ОДЗ неравенства после вынесения степени.
$$ОДЗ: x>0;$$
Продолжаем решать неравенство:
$$log_{3}(x)>log_{3}(3^2);$$
$$x>9;$$

Итак, мы решили одно и то же неравенство двумя способами, но ответ получился разный. Как вы думаете, почему? Какое из решений будет верным?

На самом деле, все очень просто. Напоминаю, что логарифм существует только от положительных чисел. Значит, когда под логарифмом стоит (x^2), то вместо (x) можно подставлять любые значения, кроме 0. Вторая степень будет превращать подлогарифмическое выражение в положительное, что нас устраивает. Поэтому могут существовать отрицательные значения (x), при подстановке которых ничего не нарушается. Собственно говоря, у нас так и получилось в первом случае: (xin(-infty;-9)cup(9;+infty)). Есть отрицательные корни, которые удовлетворяют ОДЗ.

А во втором случае, как только мы вынесли из-под логарифма четную степень, отрицательные корни (x) больше не подходят, ведь логарифм не будет существовать, и положительные корни — единственные, которые могут получиться. Другими словами, наше ОДЗ СУЗИЛОСЬ!
И, как мы увидели, ответ получился другой, без отрицательных промежутков. Что, разумеется, неправильно.

Очень важное общее правило. Нельзя с логарифмами производить такие преобразования, при которых происходит сужение области допустимых значений ВСЕГО ПРИМЕРА. Если ОДЗ после преобразования остается прежним или увеличивается, то такое преобразование разрешено.

Отдельная очень важная оговорка про то, что ОДЗ не должно сужаться у всего примера. Посмотрите еще раз на разобранный выше пример 6. Там в одном из логарифмов была четная четвертая степень, которую мы не постеснялись вынести, и ни про какое сужение ОДЗ даже речи не было. Неужели неправильно решили пример? Нет, все абсолютно верно, ведь ОДЗ всего неравенства не сузилось, а значит, можно было пользоваться формулой.

Кстати, все эти размышления касаются не только формул вынесения степени, а всех свойств логарифма (суммы, разности и т.д.), нужно быть внимательными! Но чаще всего встречаются ловушки, связанные с вынесением четной степени.

Пример 12
$$9*log_{7}(x^2+x-2)leq10+log_{7}left(frac{(x-1)^9}{x+2}right).$$
Найдем ОДЗ:
$$ begin{cases}
x^2+x-2>0, \
frac{(x-1)^9}{x+2}>0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
(x+2)(x-1)>0, \
frac{(x-1)^9}{x+2}>0.
end{cases}$$

Решаем методом интервалов:

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

При этом

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log₅(15 + 3x) > log₅2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче логарифмическое неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

Ответ:

5. Решите неравенство

ОДЗ:

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Сделаем замену

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ:

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Итак,

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

Ответ:

9. Решите неравенство:

Выражение 5^—x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (5⁹ · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)².

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Запишем ОДЗ:

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:

Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x — 18)²=(18 — x)². Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

— не удовлетворяет ОДЗ;

Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Логарифмические неравенства повышенной сложности