Онлайн помощь на экзамене по теории вероятностей

Онлайн помощь по теории вероятности

Авторы команды МатБюро окажут вам консультацию по экзамену или контрольной по теории вероятностей. Теория вероятностей — наш профильный предмет, вот уже более 11 лет мы решаем задачи по этому предмету и сможем проконсультировать вас максимально быстро и качественно. Также поможем сдать математическую статистику онлайн — обращайтесь!

Почему стоит выбрать МатБюро

• Быстро: первое решение в течение 3-10 минут после отсылки задания, оперативное последующее выполнение задач (как оказывается онлайн помощь).
• Подробно: сможете разобраться в решении, ответить на вопросы преподавателя, защитить работу (примеры решений).
• Понятно: оформляем в печатном виде (или по согласованию с вами в рукописном), поэтому не будет описок или глупых ошибок из-за неясных/невидных символов (примеры решений).
• Удобно: передаем решение удобным для вас способом: электронная почта, ВКонтакте, WhatsApp и т.п. (как оказывается онлайн помощь).
• Качественно: гарантируем высокое качество решений от специалистов с многолетним опытом решения задач по теории вероятности (гарантии)
• Выгодно: цена онлайн помощи — от 1000 рублей. Это не выше, чем у частных лиц, плюс качество и надежность от компании МатБюро (отзывы других клиентов).

Подробнее об онлайн помощи по теории вероятностей

Стоимость работы определяется по совокупности факторов: сложность и количество задач, время на решение, дополнительные требования к решению, наличие вопросов по теории и т.п. Стоимость помощи на экзамене онлайн начинается от 1000 рублей.

Если вы решили заказать помощь в выполнении контрольной работы по теории вероятностей онлайн или сдаче зачета/экзамена, вам нужно будет только заполнить заявку (не позднее чем за 1-3 дня до экзамена), произвести оплату и действовать согласно договоренности (как происходит сдача экзамена онлайн).

Не забудьте взять на экзамен мобильный с камерой и включенным интернетом. Удачи!

Что важно знать:

• Как оказывается онлайн помощь на экзамене или контрольной
• Гарантии выполнения, риски, условия возврата оплаты

Примеры онлайн-решений по теории вероятности

Для вашего удобства мы выкладываем несколько файлов решений. Проверьте, как файлы скачиваются и читаются на телефоне, насколько подробно выполнено решение. В заявке на онлайн помощь по теории вероятности можно оговорить тип файла решения (doc, pdf, картинка, текст), подробность и т.п.

Формат решений

Печатное решение (показать/скрыть)

Рукописное решение (показать скрыть)

Пример решения одной и той же задачи в различных форматах (можете выбрать, какой вам будет удобнее):

• Формат doc (документ открывается в MS Word)
• Формат pdf (документ открывается в Arcobat Reader)
• Формат png (картинка открывается в графическом просмотрщике)

Файлы хода работы онлайн

• 1. Контрольная работа по теории вероятностей онлайн: 3 задания (классическая вероятность, формула Байеса, ряд распределения ДСВ).
• 2. Онлайн помощь по терверу: 6 заданий по теории вероятностей и математической статистике
• 3. Помощь на экзамене по теории вероятностей: МГИМО, 6 задач.
• 4. Онлайн-помощь по случайным процессам: 4 задания в билете
• 5. Экзамен по теории вероятностей, помощь-онлайн: ГУУ, 12 задач

Отзывы студентов

Ниже вы найдете некоторые отзывы от наших клиентов о помощи онлайн по теории вероятностей и математической статистике (орфография авторов сохранена). Это часть отзывов, остальные вы можете найти здесь.

• Андрей (2014) Оой, сделали все отлично))) быстро и самое главное правильно))) получил отлично за экзамен!!! Спасибо большое!!!
• Герман (2014) Спасибо большое за помочь, ручаюсь за МатБюро: всё очень профессионально и быстро. Крайне благодарен.
• Мария (2015) большое спасибо за онлайн помощь на экзамене по теории вероятности!!! сдала на 5!очень быстро отправила решение и теорию девушка Надежда,которая решала
• Лаура (2015) Безмерно благодарна за сданный экзамен по мат. статистике. Студенту-психологу такое самому не осилить. От момента обращения до момента получения «отлично» всего сутки прошли!
• Полина (2016) Спасибо за помощь! Работа действительно была выполнена верно (не было нареканий со стороны преподавателя, а он далеко не лояльный) и очень быстро. Заказывала онлайн помощь на экзамене, все задания были решены за полчаса и представлены в легковоспринимаемом виде.
• Юрий (2016) Спасибо за помощь.все было выполнено хорошо и быстро.
• Владислав (2017) Здравствуйте, дорогая администрация) Я заказывал онлайн помощь на экзамене по Теории вероятности. Мне все устроило. Особенно хочу отметить автора выполненной работы. Все сделала так, как нужно) Мне очень понравилось, то что было все так, как я просил. Автор очень внимательна, быстро и качественно решила все задания и помогла с теорией. Вообщем 5+. Результатом очень доволен. Буду рекомендовать автора и Ваш сайт всем знакомым. Спасибо огромное)
• Ольга (2017) Работа выполнена очень оперативно и подробно,очень быстрый и грамотный специалист,жду теперь ,когда скажут результаты,но думаю,что все хорошо)Огромная благодарность МатБюро и исполнителю Анне)
• Талгат (2017) Молодцы! Всё выполнено в сроки, а одна контрольная раньше срока 100%. Большое спасибо!!! ОТЛИЧНЫЙ МАТЕМАТИК АННА!!!
• Ирина (2018) Спасибо большое Анне,вовремя вышла на связь, выпросила работу без малейших нареканий. Спасибо, буду обращаться к вам ещё
• Аня (2018) Добрый день. Очень рада, что воспользовалась вашим сайтом. Автор Анна на отлично решила экзамен, так же отсучу, что этого она мне тоже решала. Автор прекрасно знает своё дело и очень приятно, что помогает другим. При работе с данным автором устроило все, начиная от стоимости, заканчивая решённым экзаменом на отлично.
  Так же хочу отметить, что автор все время была на связи и отвечала на все вопросы по поводу экзамена. Спасибо МатБюро за отличное настроение и оценку!!!

Помощь по теории вероятностей для школьников и студентов, проходящих обучение на любых специальностях университета.

Для студентов старших курсов математических и экономических факультетов изучение теории вероятностей является необходимым. Цель теории вероятностей- найти закономерности в случайных событиях. Для многих это трудная задача, за которую нужно получить кредит. Вы узнаете классическое определение вероятности. Вы сможете применять теоремы сложения и умножения вероятностей. Вы сможете рассчитать формулу Байеса для получения полной вероятности и правильно использовать метод Бернулли. Освоить элементы комбинаторики.

Если у вас нет времени на выполнение заданий по теории вероятности, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в whatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам — я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете «Теория вероятностей«, если у вас есть желание и много свободного времени!

Содержание:

1. Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:
2. Случайные события
3. Операции над событиями
4. Классическое определение вероятности
5. Геометрическое определение вероятности
6. Статистическое определение вероятности
7. Элементы комбинаторики и их применение в теории вероятностей
8. Формулы сложения и умножения вероятностей
9. Формула полной вероятности. Формула Байеса
10. Основные понятия комбинаторики
11. Случайные события. Вероятность событий
12. Действия над событиями и их вероятностями
13. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий
14. Теорема сложения вероятностей совместимых событий
15. Теорема умножения вероятностей независимых событий
16. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
17. Формула полной вероятности
18. Формула Бернулли
19. Дискретная случайная величина, и её основные характеристики
20. Закон больших чисел
21. Случайные события. Вероятность события
22. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики
23. Теоремы сложения и умножения
24. Формула полной вероятности. Формула Байеса
25. Повторение независимых опытов. Формула Бернулли
26. Случайная величина. Закон распределения и числовые характеристики
27. Основные свойства плотности распределения
28. Свойства дисперсии
29. Типовые законы распределения
30. Числовые характеристики биномиального распределения
31. Числовые характеристики равномерно распределенной СВ
32. Функция одного случайного аргумента
33. Векторные случайные величины
34. Свойства двухмерной функции распределения
35. Свойства двухмерной плотности
36. Оценка закона распределения. Точечные и интервальные оценки численных характеристик
37. При построении интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы

Случайные события

Обеспечение определённого комплекса, условий называют испытанием или опытом, а возможный результат исиытания — событием. Например, подбрасывание монеты — испытание, а выпадение «герба» или «номинала» — событие. События будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С.

Событие называют случайным, если оно может состояться или не состояться в данном испытании.

Достоверным называют событие, которое обязательно состоится в данном испытании.

Невозможным называют событие, которое точно не состоится в данном испытании.

Отметим, что любое событие связано с определённым испытанием.

Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Два события называют несовместимыми, если они не могут выполняться одновременно в одном и том же испытании.

• Попарно несовместимые случайные события образуют полную группу событий, если вследствие испытания одно из них обязательно состоится. Например, события «выигрыш», «проигрыш» и «ничья» (для определённого игрока) образуют полную группу событий в испытании — игре в шахматы двух соперников.

Элементарными событиями в определённом испытании называют все возможные результаты этого испытания, которые нельзя разложить на более простые. Множество всех возможных элементарных событий называют пространством элементарных событий, которое обозначают . Например, при подбрасывании игрального кубика пространство элементарных событий образуют события

= 1,2,3,4,5,6.

Элементарные события, при появлении которых происходит определённое событие, называют благоприятными для этого события. Например, при подбрасывании игрального кубика для события А = {выпадет нечётное число очков} благоприятными являются элементарные события

Каждое событие можно рассматривать как некоторое подмножество пространства, элементарных событий в данном испытании. В частности, событие А = — достоверное, а событие В = — невозможное.

Пример:

Монету подбрасывают дважды. Для данного исиытания описать пространство элементарных событий.

Решение:

При двукратном подбрасывании монеты возможны четыре элементарных исхода:

(А, А); (А, Р); (Р,А); (Р,Р),

где А — выпадение аверса (изображение «герба»); Р — выпадение реверса (изображение «номинала»). Очевидно, они образуют полную группу событий, поэтому

= {(А,А);(А,Р);(Р,А);(Р,Р)} —

пространство элементарных событий данного испытания.

Операции над событиями

Суммой двух случайных событий А и В называют такое событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий А или В. Эту операцию обозначают А+В (или A В).

Суммой случайных событий называют такое событие, которое состоит в появлении по крайней мере одного из этих событий (обозначается ).

Произведением двух случайных событий А и В называют такое событие, которое состоит в совместном появлении обоих событий А и В. Эту операцию обозначают А•В (или А В).

Произведением случайных событий называют такое событие, которое состоит в совместном появлении всех этих событий (обозначается ). Разностью двух случайных событий А и В называют событие, которое состоит в том, что происходит событие А и не происходит событие В. Эту операцию обозначают А — В (или АВ).

Событие называют противоположным к событию А в данном испытании экзамена, если оно происходит тогда., когда не происходит событие А, т. е. Очевидно, что противоположные события несовместимы и образуют полную группу событий.

Помошь с примером 1.

В ящике находятся шарики белого и чёрного цвета. Наугад из него вынимают один шарик. Событие А = {вынут шарик белого цвета}, событие В = {вынут шарик чёрного цвета}. Совместимы или несовместимы эти события?

Решение:

Эти события несовместимы, так как появление события А исключает возможность появления события В, и наоборот. В данном испытании события А к В являются противоположными:

Помошь с примером 2.

Подбрасывают два игральных кубика. Пусть события = {выпадет очков на первом кубике}, = 1,2,3,4,5,6, = {выпадет очков на втором кубике}, = 1,2,3,4,5,6. Выразить через такие события:

а) сумма очков на. двух кубиках равняется пяти;

б) выпадет в сумме хотя бы десять очков;

в) выпадет в сумме не более трёх очков.

Решение:

а) Пусть = {сумма очков на двух кубиках равняется пяти}. Это событие возможно лишь тогда, когда на. первом кубике выпадет очков, а. на. втором — очков так, чтобы , т. е. , или , или , или . Итак,

б) Обозначим = {выпадет в сумме хотя бы десять очков}. Событие состоится тогда, когда на двух кубиках в сумме выпадет или 10, или 11, или 12 очков, т. е. , или, или , или , или, или . Поэтому

в) Пусть = {выпадет в сумме не более трёх очков}. Поскольку наименьшее количество очков, которое может выпасть на каждом кубике, равняется единице, то событие возможно лишь тогда, когда, сумма, очков на. двух кубиках будет равняться или двум, или трём. Поэтому

Помошь с примером 3.

Два стрелка стреляют в мишень по одному разу. Событие А = {в мишень попал первый стрелок}, событие В = {в мишень попал второй стрелок}. Выразить через А и В такие события: С = {два попадания в мишень}, D = {ни одного попадания в мишень}, Е = {хотя бы одно попадание в мишень}, F = {лишь одно попадание в мишень}.

Решение:

Пространство элементарных событий состоит из четырёх событий:

Событие С состоится тогда, когда оба стрелка попадут в мишень. Поэтому оно является произведением двух событий А и В. Итак,

Событие D состоит в том, что в мишень не попадёт ни один стрелок, т. е. не попадёт ни первый (), ни второй (). Поэтому

Событие Е состоится тогда, когда, в мишень попадёт хотя бы один стрелок. Это может случиться тогда, когда или оба стрелка попадут в мишень, или первый попадёт, а второй не попадёт, или первый не попадёт, а второй попадёт. Поэтому

т. е.

Событие F состоит в том, что первый стрелок попадёт в мишень, а второй не попадёт или второй попадёт, а первый не попадёт. Поэтому

Классическое определение вероятности

Пусть все элементарные исходы равновозможны.

Вероятность события А равняется отношению количества, элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к количеству всех равновозможных элементарных исходов в данном испытании.

Вероятность события А обозначают , поэтому по определению

(1)

где — количество элементарных событий, благоприятствующих событию А; — количество всех элементарных событий в данном испытании.

Из классического определения вероятности вытекает, что

причем , когда А = 0 — невозможное событие, и , когда А = — достоверное событие.

Помошь с примером 4.

В урне находится 5 белых, 3 чёрных и 4 красных шара. Наугад вынимают один. Найти вероятность того, что наугад вынутый шар красный экзамен.

Решение:

Пусть событие А = {вынутый из урны шар красный}. Общее количество шаров в урне — 5 + 3 + 4 = 12, причём вынуть можно любой из них с одинаковой вероятностью. Поэтому в данном испытании есть 12 равновозможных исходов, т. е. = 12. Количество событий, которые благоприятствуют событию А, определяется количеством красных шаров, т. е. = 4. Итак, по определению (1) вероятность

Помошь с примером 5.

Найти вероятность того, что выбранное случайным образом двузначное число делится на:

а) 3;

б) 5.

Решение:

В данном случае испытание состоит в том, что выбирают случайным образом двузначное число. Исходом такого исиытания является одно из чисел от 10 до 99. Поскольку таких чисел 90, то = 90.

а) Пусть событие А = {выбранное двузначное число делится на 3}. Поскольку каждое третье с 90 двузначных чисел делится на 3, то благоприятными для события А являются 30 исходов, т. е. = 30. Тогда по формуле (1) вероятность события А

б) Пусть событие В = {выбранное двузначное число делится на 5}. Общее количество исходов испытания, как и в предыдущем случае, = 90. Определим количество чисел, которые делятся на. 5. Очевидно, что таких чисел будет = 18 (каждое пятое число делится на. 5). Итак,

Классическое определение вероятности предусматривает, что количество элементарных исходов конечное. Если множество всех элементарных исходов испытания бесконечное, применяют геометрическое определение вероятности.

Геометрическое определение вероятности

Пусть множество всех элементарных событий испытания бесконечно и образует некоторое множество , все элементарные события равновозможны, причём событию благоприятствуют те элементарные события, которые образуют множество . Тогда вероятность события равняется отношению меры множества. А к мере множества , т. е.

(2)

Мерой множества на прямой, плоскости, в пространстве является соответственно длина, площадь, объём геометрической фигуры, которую образует это множество.

Помошь с примером 6.

Два действительных числа случайным образом выбирают из интервала. [0;5]. Какая вероятность того, что:

а) сумма двух чисел меньше 4;

б) произведение двух чисел больше 5;

в) разность двух чисел меньше 2, а их произведение больше 3?

Решение:

Обозначим через первое число, выбранное случайным образом из интервала [0;5], а через — второе число. Тогда Вследствие бесконечного количества таких действительных чисел надо воспользоваться определением геометрической вероятности. В этом случае множеством всех возможных исходов исиытания является квадрат (рис. 1—3) со стороной 5, площадь которого равняется 25, т. е.

а) Пусть событие А = {сумма двух чисел меньше 4}. Тогда.

или

Итак, элементарные события испытания, которые благоприятствуют событию А, образуют фигуру (заштрихованную на рис. 1), площадь которой

Применяя формулу (2) для геометрической вероятности, получаем

б) Пусть событие В = {произведение двух чисел больше 5}. Тогда

или

Множеству всех событий, которым благоприятствует событие В отвечает фигура ABC, заштрихованная на. рис. 2, где линия АС — график функции. Вычислим площадь этой фигуры с помощью определённого интеграла:

Итак,

в) Пусть событие С = {разность двух чисел меньше 2, а. их произведение больше 3}, тогда

откуда получаем неравенства

Множество точек, координаты которых удовлетворяют указанным неравенствам, образует фигуру ABCDE (рис. 3). Прямая АЕ задана уравнением , прямая CD — уравнением , а линия MEDN — графиком функции . Абсциссу точки М определяем из равенства , т. е. . Ординату точки N находим из равенства, . Абсциссу точки Е как точки пересечения двух линий и определяем из уравнения , откуда имеем . Аналогично находим абсциссу точки D как точки пересечения двух линий и т.е. .

Для определения вероятности события С вычислим площадь области ABCDE. Очевидно, что

поскольку Тогда

Итак,

a

Помошь с примером 7.

Два студента назначили встречу в определённом месте между тремя и четырьмя часами дня. Тот, кто прийдёт первым, ждёт другого в течение 15 мин, после чего покидает место встречи. Найти вероятность того, что встреча, состоится.

Решение:

Обозначим через время прихода на место встречи первого студента, а. через — второго. Предположим также, что время, когда может состояться встреча, несущественно, т. е. студенты могут встретиться на протяжении одного часа. Тогда для и выполняются условия

и

Пусть событие А состоит в том, что встреча состоялась. Это возможно лишь тогда, когда разность между временем прихода на место встречи первого и второго студентов меньше 15 мин, или, т. е.

Отсюда получаем неравенства и Множество точек, координаты которых удовлетворяют этим неравенствам, образует фигуру ABCDOE, изображённую на рис. 4. Поскольку

причем

Итак, вероятность того, что встреча состоится,

Статистическое определение вероятности

Поскольку классическое определение вероятности предусматривает, что все элементарные исходы испытания равновозможны, что трудно обосновать, то рассматривают ещё и статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события А называют отношение количества испытаний, в которых событие А состоялось, к количеству всех проведенных испытаний. Относительную частоту события А обозначают . Тогда

где — количество испытаний, в которых состоялось событие А; — количество всех проведенных испытаний.

Число, вокруг которого группируется значение частоты события А при большом количестве испытаний, называют вероятностью события А:

Помошь с примером 8.

При проверке готовой продукции было выявлено 5 бракованных единиц товара из 200 проверенных. Найти относительную частоту бракованных единиц товара.

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что выявлена бракованная единица товара. Тогда относительная частота события А

Помошь с примером 9.

При стрельбе но мишени было выявлено, что относительная частота попаданий равняется 0,85. Проведено 100 выстрелов. Сколько выстрелов были точны?

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что выстрел был точным. Тогда по формуле для относительной частоты события А получаем, что количество точных выстрелов

Элементы комбинаторики и их применение в теории вероятностей

При определении вероятностей событий довольно часто нужно подсчитывать количество элементарных событий (благоприятных для некоторого события или всех возможных событий). В большинстве случаев это сопряжено со значительными трудностями, преодолеть которые помогает комбинаторика, изучающая способы подсчёта количества размещений, перестановок, сочетаний.

Прежде чем представить детали, напомним, что выражение читается «эн-факториал» и означает произведение всех натуральных чисел до :

причём считают, что 0! = 1.

Размещениями из элементов по называют множества из элементов, выбранных из элементов, которые могут различаться между собой как составом элементов, так и их порядком. Например, размещениями из трёх элементов по два будут такие множества: {1; 2}, {1; 3}, {2; 1}, {2;3}, {3; 1}, {3; 2}. Количество всех размещений из элементов по определяют по формуле

Перестановками из элементов называют множества из п элементов, которые различаются лишь их порядком. Например, перестановками из трёх элементов будут такие множества: {1;2;3},

{1; 3; 2}, {2; 1; 3}, {2;3;1}, {3; 1; 2}, {3;2;1}. Количество всех перестановок из п элементов определяют так:

(4)

Сочетаниями из элементов по называют множества из элементов, выбранных из элементов, которые различаются между собой только составом элементов. Например, сочетаниями из трёх элементов по два будут такие множества: {1;2}, {1;3}, {2;3}. Количество всех сочетаний из элементов по определяют по формуле

Между перечисленными понятиями существуют такие соотношения:

Помошь с примером 10.

Согласно учебному плану студенты на протяжении семестра изучают 10 дисциплин. На каждый день планируются 4 пары ио разным дисциплинам. Сколькими способами можно составить расписание занятий на один день?

Решение:

Все возможные расписания занятий на один день — это размещения из 10 элементов ио 4, поскольку они могут различаться дисциплинами или порядком. Поэтому количество способов составления расписания на один день определяется ио формуле (3), т. е.

Помошь с примером 11.

Сколько пятизначных чисел можно образовать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, если любая из них в числе встречается лишь один раз?

Решение:

Разные пятизначные числа, образованные с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, можно получить лишь перестановкой этих цифр в числе. Поэтому их количество определяется перестановкой из пяти элементов. Согласно формуле (4)

Помошь с примером 12.

В группе 15 студентов. Сколькими способами можно избрать:

а) студенческий совет в количестве трёх студентов;

б) председателя, заместителя и секретаря студенческого совета?

Решение:

а) В этом случае студенческий совет из трёх студентов, выбранных из 15 студентов группы, различается лишь составом. Порядок выбранных студентов не имеет значения. Поэтому количество возможных выборов определяется количеством сочетаний из 15 элементов ио 3, которое согласно формуле (5) равняется

б) В этом случае студенческий совет из трёх студентов, выбранных из 15 студентов группы, различается не только составом, но и тем, кто будет председателем, заместителем и секретарем. Порядок выбранных студентов имеет значение. Поэтому количество возможных выборов определяется количеством размещений из 15 элементов ио 3, которое согласно формуле (3) равняется

Помошь с примером 13.

В урне находится 8 чёрных и 5 белых шаров. Наугад вынимают 4 шара. Какая вероятность того, что вынули:

а) 4 чёрных шара;

б) 2 чёрных и 2 белых шара?

Решение:

а) Количество шаров в урне — 13. Определим, сколькими способами можно получить 4 шара из 13 (без возвращения их в урну). Поскольку при этом не имеет значения порядок вынутых шаров, количество сочетаний определяем по формуле (5), т. е. количество всех элементарных событий в данном испытании

Пусть событие А состоит в том, что вынуто 4 чёрных шара. Эти шары можно вынуть из урны, в которой находится восемь чёрных шаров. Поэтому количество событий, благоприятствующих событию А, определяем ио формуле (5), т. е.

Итак, вероятность того, что вынули 4 чёрных шара,

б) В этой задаче количество всех возможных событий такое же, как и в предыдущем пункте: = 715. Пусть событие В состоит в том, что вынуто 2 чёрных и 2 белых шара. Определим, сколькими способами это можно сделать. Два чёрных шара, можно вынуть из восьми шаров, которые находятся в урне,

способами, а два белых — из пяти белых, которые находятся в урне,

способами. Тогда 2 белых и 2 чёрных шара можно вынуть

способами. Поэтому количество событий, благоприятствующих событию В, = 280.

Итак, вероятность события В

Помошь с примером 14.

Шестнадцать вариантов контрольной работы написаны на отдельных карточках и распределяются случайным образом среди 14 студентов, которые сидят в одном ряду. Каждый студент получает одну карточку. Найти вероятность того, что:

а) варианты 1 и 2 не будут использованы;

б) варианты 1 и 2 выдадут студентам, которые сидят рядом.

Решение:

Имеем испытание — распределение 16 билетов среди 14 студентов. В этом случае события отличаются друг от друга не только номерами вариантов, которые распределяются среди студентов, но и порядком распределения. Поэтому такие соединения называют размещениями, а количество таких размещений определяется по формуле (3):

а) Обозначим через А событие, которое состоит в том, что варианты 1 и 2 останутся нераспределёнными. Тогда другие 14 билетов будут распределены среди 14 студентов. Такие соединения называют перестановками, а их количество определяют по формуле (4):

Итак, применив классическую формулу вероятности (1), получим

б) Пусть событие В состоит в том, что варианты 1 и 2 выданы студентам, которые сидят рядом. В ряду из 14 мест есть 13 пар соседних мест, причём в каждой паре варианты могут быть распределены двумя способами:

Другие 14 вариантов билетов распределяются между 12 студентами

способами. Поэтому событию В благоприятствуют

событий.

Итак, вероятность события В

Помошь с примером 15.

Комплект состоит из восьми разных изделий, 3 из которых стоят ио 4 грн, ещё 3 — по 5 грн и 2 остальных — ио 3 грн. Найти вероятность того, что взятые наугад 2 изделия стоят 7 грн.

Решение:

Выбор двух изделий из восьми является сочетанием, количество сочетаний

Это общее количество событий в испытании — выборе двух изделий из восьми.

Пусть событие А состоит в том, что стоимость двух выбранных изделий составляет 7 грн. Это возможно лишь тогда, когда одно изделие стбит 4 грн, а другое — 3 грн. Поскольку изделий стоимостью 4 грн в комплекте три, а изделий стоимостью 3 грн — два, то выбрать два изделия стоимостью 7 грн можно = 32 = 6 способами. Итак,

Помошь с примером 16.

В группе 10 парней и 5 девушек, среди которых выбирают двух студентов для участия в конференции. Какая вероятность того, что:

а) выберут двух парней;

б) выберут парня и девушку?

Решение:

В группе 15 студентов, среди которых 10 парней и 5 девушек. Выбор двух студентов из 15 является сочетанием, количество сочетаний

Это общее количество событий в испытании — выборе двух студентов из 15.

а) Пусть событие А = {выбрали двух парней}. Общее количество событий, которые благоприятствуют событию А, определяется количеством выборов двух парней из 10:

Итак,

б) Пусть событие В = {выбрали парня и девушку}. Это возможноспособами.

Следовательно,

Формулы сложения и умножения вероятностей

Вероятность суммы двух произвольных случайных событий А и В равняется сумме их вероятностей минус вероятность их произведения, т. е.

Если события А и В несовместимы, то. Тогда

Если случайные события попарно несовместимы, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равняется сумме их вероятностей:

Сумма вероятностей случайных событий , образующих полную группу, равняется единице, т. е.

В частности, для противоположных событий А и выполняется равенство

Случайные события А и В называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления другого. В противном случае события А и В называются независимыми.

Вероятность события В рассчитанную при условии появления события А, называют условной вероятностью события В (при условии появления события А) и обозначают или .

Если события А и В независимы, то , и наоборот, .

Вероятность произведения двух случайных событий А и В равняется произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого события при условии, что первое событие состоялось, т. е.

Если события независимы, то

Пусть есть п независимых случайных событий . Вероятность появления хотя бы одного из этих событий определяется ио формуле

Помошь с примером 17.

Мишень состоит из трех областей. Вероятность попадания стрелком в первую область мишени равняется 0,45, во вторую — 0,35, в третью — 0,15. Какая вероятность того, что при одном выстреле стрелок:

а) попадёт в первую или во вторую область;

б) не попадёт в мишень?

Решение:

Введем обозначения:

событие = {попадание в первую область};

событие = {попадание во вторую область};

событие = {попадание в третью область};

событие = {непопадание в мишень}.

Тогда

а) При одном выстреле события несовместимы. Поэтому

б) События попарно несовместимы и образуют полную группу случайных событий. Поэтому

Итак,

Помошь с примером 18.

Для выполнения работы заказчик обратился к двум исполнителям. Вероятность того, что первый исполнитель выполнит заказ, равняется 0,8, а второй — 0,9. Найти вероятность того, что заказ будет выполнен.

Решение:

Обозначим событие А = {заказ будет выполнен}; = {заказ выполнит первый исполнитель}; = {заказ выполнит второй исполнитель}. Тогда

Поскольку выполнение заказа первым исполнителем не исключает выполнения этого же заказа вторым, события совместимы. Тогда

Однако события и независимы, так как вероятность выполнения заказа первым исполнителем не зависит от того, выполнит ли этот заказ второй исполнитель. Поэтому

Итак,

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Если случайное событие А может произойти только совместно с одним из несовместимых между собою событий , образующих полную группу, то вероятность появления события А определяется ио формуле полной вероятности

(6)

В условиях теоремы неизвестно, с каким из несовместимых событий состоится событие А. Поэтому появление любого из этих событий можно считать гипотезой, а — вероятностью -й гипотезы.

Если в результате проведенного испытания состоялось событие А, то условная вероятность может не равняться . Чтобы получить условную вероятность, используют формулу Байеса:

Помошь с примером 19.

В нервом ящике 30 деталей, из которых 20 стандартных. Во втором — 15 деталей, из которых 10 стандартных. Из второго ящика берут наугад одну деталь и перекладывают её в первый ящик.

а) Найти вероятность того, что наугад взятая после этого деталь из первого ящика стандартная.

б) Пусть известно, что из первого ящика взята стандартная деталь. Найти вероятность того, что в первый ящик переложили:

• стандартную деталь;

• нестандартную деталь.

Решение:

Введем такие события: А = {из первого ящика взята стандартная деталь}; = {из второго ящика переложили в первый стандартную деталь}; = {из второго ящика переложили в первый нестандартную деталь}.

а) По условию задачи из первого ящика деталь берут лишь после того, как в него положат деталь, взятую из второго ящика, т. е. событие А состоится лишь тогда, когда состоится событие или событие . Эти события несовместимы, а событие А может состояться только совместно с одним из них. Поэтому для определения вероятности события А можно воспользоваться формулой полной вероятности (6):

Найдем нужные вероятности:

Итак,

б) Если событие А уже состоялось, то условная вероятность того, что в первый ящик переложена стандартная деталь,

а если деталь нестандартная, то

Помошь с примером 20.

В урне 10 шаров — 3 белых и 7 чёрных. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар оказался чёрным, если:

а) первый шар возвращали в урну;

б) первый шар не возвращали в урну.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что в -й раз взят белый шар, а событие — в -й раз взят чёрный шар.

а) Если шар, взятый первым, возвращают в урну, то вероятность появления второго чёрного шара не зависит от того, какой шар взят первым. Поэтому

б) Если первый шар не возвращать, то вероятность появления второго чёрного шара уже зависит от того, какой шар был взят первым. Если первым взяли белый шар, то в урне осталось 2 белых и 7 чёрных шаров. Поэтому

Если первым взяли чёрный шар, то

Вероятность того, что первым взяли белый шар,

чёрный шар —

Поскольку события и несовместимы и образуют полную группу, то ио формуле полной вероятности (6) получаем

Помошь с примером 21.

Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их стандартности к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к первому контролёру, равняется 0,6, ко второму — 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана. стандартной первым контролёром, равняется 0,94, вторым — 0,98. Годная деталь при проверке признана стандартной. Найти вероятность того, что деталь проверял:

• первый контролёр;

• второй контролёр.

Решение:

Обозначим такие события:

= {годная деталь признана стандартной};

= {деталь проверял первый контролёр};

= {деталь проверял второй контролёр}. Тогда в соответствии с условием задачи

Основные понятия комбинаторики

Комбинаторика — это раздел математики, в котором рассматривают разные комбинации конечного количества элементов и вычисляют число всех возможных таких комбинаций. 

К основным понятиям комбинаторики принадлежат понятия размещения, комбинации (соединения) и перестановки.

Перестановкой n элементов называют установленный в конечном n-элементном множестве порядок. Число всех возможных перестановок с n элементов обозначают Р_n и вычисляют по формуле

Размещение. Множество, в котором задан порядок размещения его элементов называется упорядоченным. Рассмотрим конечное множество с n элементов. Всякое его упорядоченное m-элементное подмножество  называется размещением с n элементов по m. Число всех возможных m-элементных размещений для множества с n элементов (число всех возможных размещений с n элементов по m) вычисляются по формуле:

 

Считают, что .

Комбинацией (соединением) называют m-элементное подмножество n-элементного множества, или просто подмножество с n элементов по m.

Подмножества, которые отличаются друг от друга порядком размещения элементов, не считаются разными.

Число всех возможных подмножеств по m элементов в каждой, для множества с n элементов, то есть число сочетаний с n элементов по m элементов в каждом, обозначают  и вычисляют по формуле:

Число сочетаний имеет такие свойства:

Например,

Пример 1. Перед выпуском группа учеников из 30 человек обменялись фотографиями. Сколько всего было роздано фотографий?

Решение: Передача фотографий одним учеником другому является размещением из 30 элементов по два элемента. Искомое число фотографий равна числу размещений из 30 элементов по два элемента в каждом:

 

Пример 2. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений?

Решение: По условию дано множество сиз четырёх элементов, которые необходимо разместить в определённом порядке. Значит, необходимо найти количество перестановок из четырёх элементов:

То есть, из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 24 четырёхзначных числа (без повторений цифр).

Пример 3. Сколькими способами можно разместить 10 гостей на десяти местах за праздничным столом?

Решение: Искомое число способов равно числу перестановок из десяти элементов:

Пример 4. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в одном чемпионате?

Решение: Потому, что игра любой команды А с командой В совпадает с игрой команды В с командой А, то каждая игра является сочетанием из 20 элементов по 2. Искомое число всех игр равно числу сочетаний из 20 элементов по 2 элемента в каждом:

Пример 5.Сколькими способами можно распределить 12 людей по бригадам, если в каждой бригаде 6 человек?

Решение: Состав каждой бригады является 6-элементным подмножеством множества из 12 элементов. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом:

Случайные события. Вероятность событий

Теория вероятности изучает закономерности в случайных событиях. Основными понятиями теории вероятности являются испытания и события.

Под испытанием (опытом) понимают реализацию комплекса условий, в следствии которого непременно происходит какое-нибудь событие.

Например: бросание монеты — испытание; появление герба или цифры — событие.

Случайным событием называют событие, связанное с данным испытанием, которое при совершении испытания может состояться, а может и не состояться. Слово «случайное»  для краткости часто опускают и говорят просто событие. Например, выстрел по мишени — это опыт,  случайные события в этом опыте — попадание в цель или промах.

Событие называется вероятным, если в результате опыта оно обязательно состоится и невозможной, если оно не может состояться. Например: выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости — вероятное событие; выпадение десяти очков при бросании одной игральной кости — невозможное событие.

События называются несовместимыми, если никакие два из них не могут состояться одновременно.

Например: попадание и промах при одном выстреле — это несовместимое событие.

Говорят, что несколько событий в данном опыте создают полную систему событий, если в результате опыта непременно должно случиться хотя бы одно из них. Например: при бросании игральной кости события, которые заключаются в выпадении одного, двух, трёх, четырёх, пяти и шести очков, создают полную систему событий.

События называют равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другое. Например при бросании монеты выпадение герба или числа — события равновозможные.

Каждое событие имеет какую-то степень возможности. Числовая мера степени объективной возможности события — это вероятность события.

Вероятность события А обозначается Р(А).

Пусть из системы n-несовместимых равновозможных последствий испытаний m-последствий способствуют событию А. Тогда вероятность события вычисляется по формуле:

Эта формула носит название классического обозначения вероятности.

Если В — вероятное событие, то m=n, следовательно Р(В)=1;

Если С — невозможное событие, то m=0, следовательно Р(С)=0;

Если А — случайное событие, то , следовательно ;

Поэтому вероятность события находится в границах.

Рассмотрим примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 6. Игральную кость бросают один раз.

Найти вероятность события: А — появления чётного числа очков; В — появления не менее пяти очков; С — появления не более пяти очков.

Решение: опят имеет шесть равновозможных независимых последствий (появление одного, двух, трёх, четырёх, пяти и шести очков), которые образуют полную систему.

Событию А способствуют три последствия (выпадение трёх, четырёх и шести очков) поэтому Р(А)=3/6=1/2;  событию В — два последствия (выпадение пяти и шести очков) поэтому Р(В)=2/6=1/3; событию С — пять последствий (выпадение пяти, одного, двух, трёх, четырёх очков), поэтому Р(С)=5/6.

При вычислении вероятности события часто приходится использовать формулы комбинаторики. 

Пример 7. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Найдите вероятность того, что оба шара красные (событие А).

Решение: Число равновозможных независимых последствий равно:

Событию А способствуют  последствий.

Следовательно, .

Пример 8. В партии из 24 деталей пять бракованных. Из партии выбирают наугад 6 деталей. Найдите вероятность того, что среди этих 6 деталей окажется 2 бракованные (событие В).   

Решение: Число равновозможных независимых событий равно

Подсчитаем число последствий, способствующих событию В. Среди 6 деталей взятых наугад должно быть 2 бракованные и 4 стандартные. Две бракованные детали из пяти можно выбрать  способами, а 4 стандартные детали из 19 стандартных деталей можно выбрать  способами.

Каждая комбинация бракованных деталей может сообщаться с каждой комбинацией стандартных деталей, поэтому   

Следовательно,

Пример 9. Девять разных книг расположено наугад на одной полке. Найти вероятность того, что четыре книги окажутся стоящими рядом (событие С).

Решение: Здесь числом равновозможных независимых последствий является n=P₉=9! Представим себе, что четыре определённых книги связаны вместе, тогда эту связь можно расположить на полке Р₆=6! способами (связку лучше добавить к остальным пяти книгам). В середине связки четыре книги можно переставить Р₄=4! способами. При этом каждая комбинация в середине связки может сообщаться с каждым Р₆ из способов создания связок, то есть m=6!*4!.

Следовательно,

Действия над событиями и их вероятностями

Более сложные случайные события можно представить как набор нескольких более простых. Например, выпадение чётного числа очков на игральной кости (событие А) может быть представлено как набор событий  где

А₁ — выпадение двух очков;

А₂ — выпадение четырёх очков;

А₃ — выпадение шести очков.

Для представления сложного события через более простые события вводят понятия сложения и умножения событий.

Суммой (объединением) двух событий А и В называют событие С, которое заключается в совершении хотя бы одного из событий А или В (рис. 1).

Символическая запись:

 С=А*В, или 

Произведением (сечением) двух событий А и В называют событие С, которое заключается в одновременном совершении и события А, и события В (рис. 2).

Символическая запись:

С=А*В, или 

Пример 10. Найти сумму событий А — «появление одного очка при бросании игральной кости» и В — «появление двух очков при бросании игральной кости».

Решение: Суммой А+В является событие С — «появление не более двух очков при бросании игральной кости», поэтому А+В=С.

Пример 11. Найти произведение события А — «студент на экзамене вытягивает билет с чётным номером» и В — «студент вытягивает билет с номером, который кратный пяти».

Решение: Произведением А*В является событие С — «студент вытянул билет, который кратный десяти», поэтому А*В=С.

Введённые действия имеют следующие свойства:

где  событие противоположное событию А,

U — вероятное событие,

V — невозможное событие.

Вероятность произведения и суммы событий определяют с помощью соответствующих теорем.

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий равно сумме вероятности этих событий.

Теорема сложения вероятностей совместимых событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместимых событий равно сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Перед тем, как сформулировать теоремы умножения, введём понятие условной вероятности события, и независимых событий.

Условной вероятностью события А при условии В называют вероятность наступления события А, вычисленную в допущении, что событие В происходит и обозначают Р_В(А) или Р(А/В).

События А, В, С, … называют независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением, или не наступлением других событий.

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению этих событий.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из событий на условную вероятность второго события.

Пример 12. В ящике лежат 20 деталей, причём 5 из них стандартные. Работник берёт 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них стандартная (событие А).

Решение: Пусть В — событие, которое заключается в том, что одна взятая деталь стандартная, а две — нестандартные; С — событие, которое заключается в том, что две взятые детали стандартные, а одна — нестандартная; D — событие, которое заключается в том, что все три детали стандартные.

Очевидно, что событие А происходит если происходит хот бы одно из событий В, С, D.

Следовательно, событие А можно записать как сумму событий  События В, С, D — несовместимые, следовательно

Данную задачу можно решить проще, если ввести событие  — ни одна из взятых трёх  деталей не будет стандартной. Тогда

а найдя вероятность события 

Пример 13. Найти вероятность того, что наугад выбранное двузначное число будет кратно либо 3, либо 5, либо обоим сразу.

Решение: Пусть А — событие, которое заключается в том, что выбранное число кратно 3, В — в том, что выбранное число кратно 5. Найдём Р(А+В). Поскольку А, В — совместимые события, то 

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Вычислим: Р(А)=30/90 (среди чисел от 10 до 99 именно 30 кратно 3), Р(В)=18/90 (чисел кратных 5 среди двузначных 18), Р(АВ)=6/90 (числа 15, 30, 45, 60, 90, 75 кратны и 3 и 5), следовательно

 

Пример 14. В ящике 12 деталей, среди них 8 бракованных. Работник берёт за один раз 2 детали, а потом за второй раз ещё 2 детали. Какая вероятность, что взятые детали стандартные?

Решение: Пусть событие А — заключается в том, что первый раз взятые детали стандартные; событие В — заключается в том, что за второй раз взятые детали стандартные.

Потому, что А, В — зависимые события, то

Пример 15. В одной урне 5 белых и 3 чёрных шара, а в другой — 6 белых и 4 чёрных шара. Какая вероятность, что из обоих урн возьмут чёрный шар?

Решение: Пусть А — событие, которое заключается в том, что чёрный шар взяли из первой урны; В — чёрный шар взяли из второй урны; 

Потому что события А, В — независимы, то

Формула полной вероятности

Видим, что вероятность события можно вычислить как сумму или произведение вероятностей элементарных событий, причём процесс установления вероятности значительно упрощается. Именно этой цели служит формула полной вероятности.

Пусть  событие, которое создают полную группу, то есть исчерпывают все возможные случаи данного эксперимента. Событие А может происходить с наступлением каждого из событий  с некоторой вероятностью .

Тогда вероятность события А вычисляют по формуле

где 

События  называют гипотезами.

Пример 16. Пусть детали изготовляют на трёх станках. На первом изготовлено 40% всех деталей, на втором — 35%, и на третьем — 25%. На первом 90% деталей были I сорта, на втором 80%, и на третьем — 70%. Какая вероятность, что взятая деталь I сорта.

Решение: Составим гипотезы:

 деталь изготовлена на I станке,

 деталь изготовлена на II станке,

 деталь изготовлена на III станке.

Событие А — взять деталь первого сорта, может произойти одновременно с каждой из гипотез .

Тогда

По условию задачи видно, что

Следовательно, 

Если событие А может наступить только при условии появления одной из гипотез , то вероятность гипотез можно переоценить по формуле Бейеса.

 

где  вероятность каждой из гипотез после испытания, в результате которого наступило событие А;

 условная вероятность события А после совершения события H_i;

Р(А) — вероятность события А, найденная по формуле полной вероятности.

Пример 17. В первом ящике 8 белых; 6 чёрных шаров, а во втором — 10 белых, 4 чёрных. Наугад выбирают и ящик и шар. Известно, что вынутый шар чёрный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик.

Решение: Введём обозначения: Н₁ — был выбран первый ящик; Н₂ — был выбран второй ящик; А — при проведении двух последовательных испытаний выбора ящика и выбора шара был вынут чёрный шар.

Тогда Р(Н₁₎=1/2; Р(Н₂)=1/2. Вероятность извлечения чёрного шара после того, как выбран первый ящик, составляет Р_Н1 (А) = 6/14=3/7. Вероятность извлечения чёрного шара после того, как выбран второй ящик, составляет Р_Н2(А) =4/14=2/7. По формуле полной вероятности находим вероятность того, что вынутый шар был чёрным

Вероятность того, что чёрный шар был вынут из первого ящика, вычисляем по формуле Байеса 

Формула Бернулли

Пусть происходит n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что происходит событие А равна р. Тогда вероятность того, что при n испытаний событие А произойдёт ровно k раз вычисляется по формуле Бернулли.

Действительно, случай, когда событие А происходит в каждом из первых k испытаний, и не происходит в других n-k испытаниях можно представить как произведение событий А и :

Согласно условию, все испытания независимы, поэтому

Событие А может произойти k раз при n испытаний и в другой последовательности, например:

но вероятность останется неизменной, так как от перестановки множителей произведение не меняется. Число всех возможных последовательностей, в которых происходят события А и  равно . Добавив все возможные случаи, по теореме сложения вероятностей несовместимых событий получим формулу Бернулли.

Пример 18. Вероятность попадания в цель с одного выстрела 0,8. Какая вероятность попасть в цель 7 раз из 10 выстрелов?

Решение: Общее число испытаний n=10; число попаданий k=7. Следовательно, вероятность попасть 7 раз из 10 выстрелов согласно формуле Бернулли равна:

Пример 19. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 чёрных. Из урны последовательно берут 5 шаров, причём каждый взятый шар возвращают в урну перед следующей попыткой. Найти вероятность того, что из 5 шаров 2 будут белыми.

Решение: Вероятность достать белый шар в каждой попытке равна , а чёрный — . По формуле Бернулли найдём:

Дискретная случайная величина, и её основные характеристики

Случайной величиной называют переменную Х, которая в результате испытания может принять одно и только одно значение, неизвестное ранее и такое, которое зависит от последствий испытания. Можно пояснить, что величина будет случайной, если она принимает в данном испытании разные значения.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Мы рассмотрим дискретные случайные величины.

Величину Х называют дискретной случайной величиной, если множество её возможных значений является конечной или бесконечной последовательностью чисел  где каждое соотношение  является элементарным случайным событием и имеет определённую вероятность .

Поскольку, каждое значение дискретной случайной величины имеет определённую вероятность, то данные наблюдений удобно заносить в таблицу: (табл. 1)

Данная таблица носит название таблица закона распределения дискретной случайной величины. Закон распределения можно задать также в виде уравнения или графически.

Следовательно, законом распределения дискретной случайной величины Х называют соотношение между возможными значениями  и их вероятностью 

Если случайная величина Х может приобретать конечное число разных значений  то элементарные события ,  создают полную группу и поэтому сумма их вероятностей равна единицы, то есть

Важной характеристикой дискретной случайной величины Х является математическое ожидание.

Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех её возможных значений  на их вероятности :

Свойства математического ожидания.

— Математическое ожидание постоянной величины равно этой же постоянной

М(С)=С.

— Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий произведений:

М(Х+Y)=М(Х)+М(Y).

— Математическое ожидание произведения независимых случайных событий равно произведению математических ожиданий этих величин:

М(Х*Y)=М(Х)*М(Y).

— постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)=СМ(Х).

Пример: Найти математическое ожидание величин Х и Y, если известны законы их распределения

Решение: Найдём математические ожидания:

Мы получили интересный результат: законы распределения величин X и Y разные, а их математические ожидания одинаковые.

Из рисунка я видно, что значения величины Y сосредоточены возле математического ожидания М(Y) (рис. 1б), а значения

величины Х разбросаны (рассеяны) дальше от математического ожидания М(Х) (рис. 1а).

Основной числовой характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины Х является дисперсия D(X), которая вычисляется по формуле:

Величину  называют средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Свойства дисперсии:

— Дисперсия постоянной величины, очевидно, равна нулю: D(C)=0.

— Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

— Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат её математического ожидания:

Если ко всем значениям случайной величины прибавить (вычесть) постоянное число, то дисперсия её не изменится:

Пример 20. Дискретная случайная величина распределена по закону:

Найти D(X).

Решение: Сначала найдём:

а далее

Найдём дисперсию:

Закон больших чисел

Допустим, что происходит n наблюдений случайной величины. Обозначим возможные значения случайной величины, которые она принимает в наблюдениях (совокупность результатов наблюдений назовём случайной выборкой), через  где индексы означают номера наблюдений.

Средняя арифметическая возможных результатов n наблюдений

будет называться средней выборкой.

Когда случайная величина приобретает только неотъемлемое значение, математическое ожидание, в определённой степени, характеризует её закон распределения. Большинство величин с которыми приходится работать в действительности, являются неотъемлемыми. 

Возникает вопрос, можно ли оценить вероятность отклонения положительной случайной величины от её математического ожидания.

Рассмотрим пример: Средняя продолжительность разговора по телефону на одной из АТС по данным ряда наблюдений определена равной  Можно ли получить любую информацию о том, что среди разговоров на этой АТС будут иметь место разговоры с продолжительностью х, которая превышает среднюю продолжительность в k=6 или более раз. Максимально возможная чистота разговора  с продолжительностью  и более при средней продолжительности 600 сек., а другие только — 0 сек. Поэтому в этом случаи  можно вычислить из соотношения:

или в общем случаи

Находим :

или в общем случаи:

Таким образом, максимально возможная частота  разговоров с продолжительностью, которая в 6 раз превышает среднюю продолжительность равна 1/6. Это значит, что часть  будет только равна или меньше 1/6 (но не больше)

В общем виде:

Последнее неравенство называют неравенством Чебышева.

Применим неравенство Чебышева к квадрату отклонения средней выборочной:

от её математического ожидания М(Х).

Получим, что

Как бы ни была мала постоянная величина  вероятность того, что разница между выборочной средней х и её математическим ожиданием М(Х) по абсолютной величине превысит  будет стремится к 0 при . Данное неравенство носит название закон больших чисел.

Рассмотрим пример применения неравенства Чебышева.

Пусть вероятность того, что на АТС состоялся телефонный разговор равный р, а если этот телефонный разговор не состоялся, то р-1.

Запишем значения случайной величины: 1 — разговор состоялся, 0 — разговор не состоялся.

Составим закон распределения для нашей случайной величины:

Запишем математические ожидания:

Найдём дисперсию, используя формулу  Запишем значения 

Вычислим дисперсию:

Если учесть, что вероятность того, что разговор состоялся р=0,5; то 1-р=0,5, тогда дисперсия

D(X)= 0,5(1-0,5)=0,25.

Учтём, что при достаточно большом количестве телефонных разговоров на АТС средняя выборочная запишется как

где n — число всех наблюдений за разговорами,

m — число наблюдений, где разговор состоялся.

Подставим значения  математического ожидания М(х)=р; дисперсия D(Х)=0,25 в неравенство Чебышева

 

Это выражение означает, что как бы ни была мала постоянная  вероятность р того, что разница между средней выборочной  и вероятностью р превышает  делается близкой к нулю при достаточном числе наблюдений n.

Случайные события. Вероятность события

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Достоверным называется событие , которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие , которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий А и В (обозначается ) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т. е. А или В, или оба одновременно.

Противоположным событию А называется такое событие , которое заключается в том, что событие А не происходит.

События образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

Свойства операций над событиями:

Задачи с решением

Задача 1.1:

Два шахматиста играют подряд две партии. Под исходом опыта будем понимать выигрыш одного из них в -й партии или ничью. Построить пространство элементарных исходов.

Решение:

Обозначим события — в -й партии выиграл первый игрок, — второй, — ничья. Тогда возможные исходы игры:

1. Обе партии выиграл первый игрок . 2. Обе партии выиграл второй игрок . 3. Обе партии закончились вничью 4. В первой партии выиграл первый игрок, во второй — второй 5. В первой выиграл первый игрок, во второй — ничья 6. В первой партии победа второго игрока, во второй — первого 7. В первой — победа второго игрока, во второй — ничья 8. В первой — ничья, во второй — победа первого игрока 9. В первой — ничья, во второй — победа второго игрока

Ответ:

Задача 1.2:

Пусть А, В, С — три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:

1. Произошло только А.

2. Произошли А и В, но С не произошло.

3. Все три события произошли.

4. Произошло, по крайней мере, одно из событий.

5. Произошли, по крайней мере, два события.

6. Произошло одно и только одно событие.

7. Произошли два и только два события.

8. Ни одно событие не произошло.

9. Произошло не более двух событий.

Решение:

1. Обозначим и , что события В и С не произошли, тогда событие «произошло только А » можно записать в виде . 2. 3. . 4. Событие произошло, по крайней мере, одно из событий можно представить как сумму этих событий: . 5. Произошли, по крайней мере, два события — это сумма . 6. Произошло одно и только одно событие — это сумма событий . 7. Произошли два и только два события — это можно записать в виде 8. 9. , т. е. три события одновременно не произошли.

Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики

Классическое определение вероятности: вероятность случайного события А определяется по формуле

(2.1)

где — число равновозможных исходов данного опыта;— число равновозможных исходов, приводящих к появлению события. Геометрическое определение вероятности. Пусть в некоторую область случайным образом попадает точка Т, причем все точки области равноправны в отношении попадания точки Т. Тогда за вероятность попадания точки Т в область А принимается отношение

(2.2)

где и геометрические меры (длина, площадь, объем и т. д.) областей А и соответственно.

Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядок следования элементов. Если каждый элемент множества может извлекаться несколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями.

Число упорядоченных -выборок (размещений) с повторениями и без повторений равно

(2.5)

Пустое множество можно упорядочить только одним способом:

Число неупорядоченных -выборок (сочетаний) с повторениями и без повторений равно Число различных разбиений множества из элементов на непересекающихся подмножеств (причем в первом подмножестве элементов, во втором элементов и т. д., а ) равно

Задача 2.1:

Бросают 2 игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А — сумма числа очков не превосходит 5; В — произведение числа очков не превосходит 4; С — произведение числа очков делится на 8.

Решение:

Определим общее число исходов: поскольку в случае подбрасывания одной кости имеем 6 исходов, то в случае подбрасывания двух костей имеем исходов. Найдем число благоприятных исходов.

Множество исходов, благоприятных событию А, состоит из 10 исходов: {(1, 1), (1, 2), (I, 3), (1,4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}.

Соответственно, вероятность того, что сумма числа очков не превосходит 5 равна

Множество исходов, благоприятных событию С , состоит из 8 исходов: {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)}.

Соответственно, вероятность того, что произведение числа очков не превосходит 4 равна

Множество исходов, благоприятных событию С, состоит из 5 исходов: {(2,4), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 4)}.

Соответственно, вероятность того, что произведение числа очков делится на 8 равна

Теоремы сложения и умножения

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:

Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по следующей формуле:

Вероятность суммы п событий равна

С учетом того, что , вероятность суммы событий (если ) удобнее вычислять по формуле

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.

Для независимых событий

Вероятность произведения п событий равна где — вероятность появления события , при условии, что события в данном опыте произошли.

В случае независимых событий данная формула упрощается:

Задача 3.1:

В ящике находится 10 деталей, из которых только 4 окрашены. Наудачу извлекают 3 детали. Определить вероятность, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что изъята хотя бы одна окрашенная деталь. Тогда — ни одна из изъятых деталей не окрашена. Воспользуемся утверждением

По классическому определению вероятности определим

Рассчитаем количество благоприятных исходов (изъято 3 детали из неокрашенных деталей):

Далее определим количество всевозможных исходов (общее количество вариантов для изъятия 3 деталей из 10 возможных):

Отсюда получаем, что

А подставляя в , получаем, что

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Допустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можно сделать п исключающих друг друга предположений (гипотез): , при

Событие может появляться совместно с одной из гипотез . Тогда полная вероятность события равна

(4.1)

Если опыт произведен и произошло некоторое событие , то определить вероятность гипотезы с учетом того, что произошло событие можно по формуле Байеса:

Задача 4.1:

В первой урне находится 7 черных и 3 белых шара, а во второй урне — 4 черных и 6 белых шаров. Из наудачу взятой урны достали один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар был вынут из первой урны?

Решение:

Предварительно вычислим вероятность события (вынутый наудачу шар — белый) по формуле полной вероятности:

Здесь — вероятность того, что шар извлечен из первой урны; — вероятность того, что шар извлечен из второй урны; — условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; — условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.

Тогда

Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:

Повторение независимых опытов. Формула Бернулли

Пусть производится независимых одинаковых опытов. В результате каждого опыта событие появляется с вероятностью . Вероятность того, что в последовательности из опытов событие произойдет ровно раз (формула Бернулли), равна

где — вероятность того, что событие не произойдет в одном опыте.

Вычисление вероятностей при больших значениях по формуле Бернулли проблематично. Поэтому вычисление соответствующих вероятностей проводится с помощью следующих приближенных формул:

1) Если количество испытаний велико , а вероятность события мала , так что и , то используется формула Пуассона

2) Если количество испытаний велико, вероятности и не малы, так что выполняются следующие условия:

то применяются приближенные формулы Муавра — Лапласа:

(5.3) — локальная

где — интегральная

где — функция Лапласа.

Функции и табулированы (прил. 1, 2). При использовании таблиц следует помнить, что является четной , а функция Лапласа — нечетной ().

Пусть производится серия из независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться одно из событий с вероятностями соответственно.

Вероятность того, что в серии из испытаний событие наступит ровно раз, событие раз, …, событие раз равна

Наивероятнейшее число наступления события — вычисляется по формуле

Задача 5.1:

В среднем 70 % студентов группы сдают зачет с первого раза. Определить вероятность того, что из 5 человек, сдававших зачет, с первого раза сдадут ровно 3 студента.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли:

Задача 5.2:

Банк выдал шесть кредитов. Вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, равна 0,2. Определить вероятность того, что в срок не будут погашены четыре кредита.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли:

Случайная величина. Закон распределения и числовые характеристики

Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, причем, заранее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайные величины в зависимости от вида множества значений могут быть дискретными (ДСВ) или непрерывными (НСВ).

Закон распределения случайной величины — это любая функция, таблица, правило и т. п., устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и вероятностями ее наступления.

Функцией распределения случайной величины называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции :

(6.1)

Свойства функции распределения:

Рядом распределения дискретной СВ называется таблица, в верхней строке которой перечислены все возможные значения СВ а в нижней — вероятности их появления Так как события несовместны и образуют полную группу, то справедливо контрольное соотношение

(6.3)

• Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений:

(6.4)

Плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения:

Основные свойства плотности распределения

1. Плотность распределения неотрицательна:

2. Условие нормировки: (6.6)

3. Вероятность попадания случайной величины на произвольный участок равна

4. Функция распределения случайной величины выражается через ее плотность:

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и определяется по формуле:

Свойства математического ожидания:

Начальный момент -то порядка СВ есть математическое ожидание -й степени этой случайной величины:

Центрированной случайной величиной называется СВ, математическое ожидание которой находится в начале координат (в центре числовой оси)

Операция центрирования (переход от нецентрированной величины к центрированной ) имеет вид

Центральный момент порядка СВ есть математическое ожидание -й степени центрированной случайной величины :

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по формуле:

Свойства дисперсии

Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ называется характеристика

(6.13)

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Правило Практически все значения СВ находятся в интервале

(6.14)

Модой (Мо) случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т. е. то значение, для которого вероятность (для дискретной СВ) или (для непрерывных СВ) достигает максимума.

Медианой (Ме) случайной величины называется такое ее значение, для которого выполняется условие . Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин.

Задача 6.1:

В коробке 7 шаров, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекают 3 шара. Найти закон распределения случайной величины , равной числу красных шаров в выборке.

Решение:

В выборке из трех шаров может не оказаться ни одного красного шара, может появиться один, два или три красных шара. Следовательно, случайная величина может принимать только четыре значения:

Найдем вероятности этих значений.

Первый способ.

Второй способ.

Обозначим событие — появление красного шара, следовательно -появление не красного.

Следовательно, данная случайная величина имеет следующий закон распределения:

Проверка:

Задача 6.2:

Вероятность того, что в магазине будет в наличии необходимая студенту книга, равна 0,3. Составить закон распределения числа посещенных магазинов, которые последовательно посетит студент, чтобы купить книгу, если в городе 3 магазина. Найти числовые характеристики случайной величины

Решение:

В качестве случайной величины выступает количество магазинов, которые посетит студент, чтобы купить книгу. Возможные значения, которые примет случайная величина : 1, 2, 3.

Обозначим через событие — в первом магазине есть книга, — книга есть во второй, — в третьей. Тогда . Вероятность противоположного события, что книга занята

Для составления закона распределения рассчитаем соответствующие вероятности:

Проверка: Запишем закон распределения в виде таблицы.

Вычислим математическое ожидание случайной величины и ее дисперсию:

Задача 6.3:

Случайная величина распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида

Определить константу , функцию распределения , математическое ожидание, дисперсию величины а также вероятность ее попадания в интервал [-0,5; 1,5).

Решение:

Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки. Так как в точке -1 обращается в нуль, то на интервале [-3;-1) функция раскрывается со знаком «-», а на [—1;3] — со знаком «+».

Из условия нормировки следует, что

Плотность вероятности примет вид

Определим функцию распределения . Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную — функцию распределения — для каждого интервала определим в отдельности.

Окончательно имеем

График функции распределения имеет вид, приведенный на рис. 6.1:

Вычислим вероятность

20 20 10 Вычислим математическое ожидание случайной величины:

Вычислим дисперсию случайной величины:

Типовые законы распределения

Дискретная СВ имеет геометрическое распределение, если она принимает значения с вероятностями

где — параметр распределения

Числовые характеристики геометрического распределения:

Дискретная СВ имеет биномиальное распределение, если она принимает значения со следующими вероятностями:

где — параметры распределения

Числовые характеристики биномиального распределения

Дискретная СВ имеет распределение Пуассона, если она принимает значения со следующими вероятностями:

(7.3)

где — параметр распределения

Числовые характеристики пуассоновской СВ: Непрерывная СВ имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале постоянна, т. е. если все значения этом интервале равновероятны:

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ

Непрерывная СВ , принимающая только положительные значения, имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

где — параметр распределения . Числовые характеристики экспоненциальной СВ: Непрерывная СВ имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

где параметры распределения функция Лапласа. Значения функции Лапласа приведены в прил. 2. При использовании таблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что

Числовые характеристики нормальной СВ:

Функция одного случайного аргумента

Если — непрерывная случайная величина, то плотность вероятности величины определяется по формуле

где — плотность вероятности величины ; — функции, обратные функции ; — число обратных функций для данного

Числовые характеристики функции одного случайного аргумента Xопределяются по следующим формулам: — начальные моменты: — математическое ожидание: — центральные моменты: — дисперсия:

Задача 8.1:

Случайная величина задана плотностью распределения:

Определить плотность распределения случайной величины , математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение:

Определим плотность распределения, воспользовавшись формулой (8.1).

Для этого построим график на интервале (-1; 2) и определим количество обратных функций на интервалах.

Из графика видно, что на интервале (0; 1) у существует две обратные функции, на участке (1; 4) — одна. На оставшихся промежутках обратных функций не существует.

Мы определили плотность распределения случайной величины

Далее определим математическое ожидание, начальный момент второго порядка и дисперсию случайной величины

Векторные случайные величины

Функцией распределения двухмерной случайной величины называется вероятность совместного выполнения двух событий и

(9.1)

Свойства двухмерной функции распределения

Функция распределения может задаваться для непрерывных и дискретных случайных величин.

Для непрерывной двухмерной случайной величины существует двухмерная плотность распределения:

Свойства двухмерной плотности

1.

2.

3.

4. Условие нормировки

5.

Для дискретных случайных величин закон распределения задается матрицей распределения, содержащей вероятности появления всех возможных пар значений

удовлетворяющих условию

Одномерные ряды вероятностей, составляющих определяются по формулам:

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условные плотности для непрерывных составляющих и определяются по следующим формулам:

Условные ряды распределения для дискретных составляющих и определяются по следующим формулам:

Величина независима от величины , если ее закон распределения не зависит от того, какое значение приняла величина . Для независимых величин выполняются следующие соотношения:

Смешанный начальный момент порядка равен математическому ожиданию произведения и :

Смешанный центральный момент порядка равен математическому ожиданию произведения центрированных величин и :

где — элементы матрицы вероятностей дискретной величины ;

— совместная плотность вероятности непрерывной величины . Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные моменты:

(9.20)

Корреляционный момент характеризует степень тесноты линейной зависимости величин и и рассеивание относительно точки

(9.22)

Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости величин:

Для любых случайных величин Если величины и независимы, то

Задача 9.1:

Плотность вероятности двумерной случайной величины равна:

Определить функцию распределения случайной величины и коэффициент корреляции случайных величин и .

Решение:

Определим функцию распределения двумерной случайной величины по формуле (9.3):

Далее определим математические ожидания составляющих вектора случайных величин по формуле (9.18):

Математическое ожидание вычисляется аналогично, т. е.

Определим дисперсии составляющих вектора случайных величин по формуле (9.19):

Таким образом,

Далее определим смешенный начальный момент (1, 1) порядка по (9.18):

По формуле (22) получим ковариацию:

Отсюда по формуле (9.23) получим коэффициент корреляции двух случайных величин и :

Оценка закона распределения. Точечные и интервальные оценки численных характеристик

Генеральной совокупностью называется множество объектов, из которых производится выборка. Каждый из объектов задает фиксированное значение случайной величины.

Выборка — множество случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности.

Объемом выборки называется число входящих в нее объектов.

Вариационным рядом называется выборка, полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения называются вариантами.

Эмпирическая функция распределения определяется формулой

Эмпирическая функция распределения является наилучшей оценкой функции распределения (несмещенной, состоятельной, эффективной).

Если анализируемая СВ является дискретной с известным множеством значений }, то по исходной выборке объемом п определяется статист ический ряд распределения вероятностей:

где — частота появления-го значения

— число значений , в выборке.

Если анализируемая СВ является непрерывной, то по исходной выборке

где— номер интервала;

М — число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений :

где — целая часть числа (желательно, чтобыбез остатка делилось на М); — левая и правая границы-го интервала , причем

— длина -го интервала;

— количество чисел в выборке, попадающих в-й интервал;

— частота попадания в-й интервал;

— статистическая плотность вероятности в -м интервале.

При построении интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы

1) равноинтервальный, т. е. все интервалы одинаковой длинны:

2) равновероятностный, т. е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы без остатка делилось на М):

Гистограмма — статистический аналог графика плотности вероятностиСВ и она строится по интервальному статистическому ряду.

Гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах статистического ряда с высотой, равной статистической плотности вероятности в соответствующем интервале. Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного метода — одинаковую площадь. Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна единице.

Статистической оценкой параметра распределения называется приближенное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке).

Точечной называется оценка, определяемая одним числом.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки п она сходится по вероятности к значению параметра :

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание точно равно параметру для любого объема выборки:

Несмещенная оценка является эффективной, если ее дисперсия минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра.

Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания, называемая выборочным средним , вычисляется по формуле

Числовые характеристики Состоятельная несмещенная оценка дисперсии равна

Числовые характеристики

Состоятельная несмещенная оценка среднего квадратического отклонения:

Состоятельная оценка начального момента -го порядка определяется по формуле

Состоятельная оценка центрального момента -го порядка равна

Несмещенная состоятельная и эффективная оценка вероятности случайного события в схеме независимых опытов Бернулли:

где — число опытов, в которых произошло событие ; — число проведенных опытов.

Числовые характеристики

Доверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью (надежностью) попадают значения параметра . Вероятность выбирается близкой к единице: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Доверительный интервал надежностью для математического ожидания случайной величины с неизвестным законом распределения:

где — значение аргумента функции Лапласа

Доверительный интервал надежностью для математического ожидания нормально распределенной случайной величины :

(10.14)

где — значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента.

Доверительный интервал надежностью у для дисперсии случайной величины с неизвестным законом распределения:

(10.15)

где — значение аргумента функции Лапласа

Доверительный интервал надежностью у для дисперсии нормально распределенной случайной величины :

где значения, взятые из таблицы распределения (прил. 4).

Доверительный интервал надежностью у для вероятности события в схеме независимых опытов Бернулли:

(10.17)

где — частота появления события в п опытах

— число опытов, в которых произошло событие ; — число проведенных опытов.

Задача 10.1:

С помощью измерительного прибора, практически не имеющего систематический ошибки, было сделано восемь независимых измерений некоторой величины. Результаты замеров приведены в таб. 10.1:

Определить несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины .

Решение:

Для определения несмещенной оценки математического ожидания воспользуемся формулой (10.7):

Для расчета несмещенной оценки дисперсии воспользуемся формулой (10.8):

Задача 10.2:

В отделе ОТК были измерены диаметры 300 шариков, изготовленных станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала приведены в табл. 10.2:

Определить несмещенные оценки и доверительные интервалы надежностью 96 % для математического ожидания и дисперсии случайной величины. Построить гистограмму.

Решение:

На основании полученной информации построим интервальный статистический ряд вероятностей (таблица 10.3).

На основании построенного интервального ряда построим статистический аналог графика плотности распределения случайной величины , отобразим значения на рис. 10.1:

Далее по формулам (10.7) и (10.8) определим несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии:

Далее по формуле (10.13) определим доверительный интервал надежностью 96% для математического ожидания:

Определим , которое вычисляется как

Аналогично, по формуле (10.15) определим доверительный интервал для дисперсии:

Услуги:

1. Заказать теорию вероятности помощь в учёбе
2. Решение задач по теории вероятностей
3. Контрольная работа по теории вероятности заказать
4. Курсовая работа по теории вероятности заказать готовую онлайн
5. РГР по теории вероятности расчетно графическая работа

Пример выполненной задачи

Отзывы на выполненные задачи

111 433

отзыва

4.97

средняя оценка

Благодарю Автора! Задание выполнены идеально, все решено и оформлено в лучшем виде! мой заказ был принят и выполнен в праздничный день, без проволочек и в лучшем виде! Моя благодарность и наилучшие пожелания Автору! Благодарю!!!

Финансовый менеджмент

Удивлен, задачи выполнены в течении часа после оформления заказа, аргументация каждого ответа со ссылками на действующее законодательство. Спасибо огромное, однозначно при необходимости буду обращаться к этому автору

Социальное право

хочу выразить огромную благодарность исполнителю.Автор молодец,выполнил работу качественно и в срок,дополнил подробными обьяснениями,да такими, что я сама немного поняла как это решать.Отдельно хочу выделить невысокую цену за работу,если вы студент для вас это вполне доступно

Юридическая логика

Спасибо огромное! По моей вине было неправильно выполнено задание(я не отправила дополнительные сведения о задании). Исполнитель все исправил и работу наконец засчитали!!! Спасибо большое еще раз. Буду обращаться еще)

Финансы

Я довольна проделанной работой, всё в срок! Комментарий преподавателя: «Благодарю за полный, аргументированный ответ с опорой на теоретический материал.
Ставлю максимальный балл».
Спасибо ещё раз! Рекомендую данного специалиста!

Патопсихология

Вы самая лучшая! Спасибо вам огромное за помощь! Каждое задание оформлено очень качественно и подробно. Очень быстро и вежливо отвечает на вопросы, готова помочь в любое время. Уже много раз вы меня спасали! Спасибо вам большое!

Математический анализ

Исполнитель просто находка! Самый лучший с кем приходилось работать! Выручил в самый критический момент. Профессионализм, вежливое общение, доброжелательность — все есть в этом исполнителе. Однозначно рекомендую обращаться за помощью!

Психология

Отличный исполнитель, всегда на связи, работа выполнена качественно и без замечаний. Взялся за трудную задачу, которую долго никто не хотел брать. Обязательно обращусь ещё. Однозначно рекомендую данного автора!)

Основы программирования

Нужно было провести анализ по бизнес-аналите. Срок выполнения был меньше семи часов. Я максимально довольна результатом, все четко, лаконично и понятно. Сделаны свои выводы, которые не скопированы из интернета. В общем, очень хорошая работа!

Экономика

ОООООЧЕНЬ грамотный автор! Спасибо огромное за хорошую работу. От сотрудничества остались самые хорошие впечатления! Жаль, что заказов по Вашему предмету у меня практически не бывает. С удовольствием работала бы с Вами дальше.

Химия

Все отзывы

Преимущества

Гарантия на заказ — 1 год

Все доработки в течение этого срока будут бесплатными

Цену на заказ вы назначаете сами

Вы сами решаете, сколько готовы заплатить за работу

4.97 — средний балл оценки наших работ

В восторге не только студенты, но и преподаватели, которые принимают работу

За 13 лет мы выполнили 471 838 задач

Наши эксперты ежедневно помогают сотням студентов с заданиями

Квалифицированные специалисты

С нами сотрудничают 68 964 автора студенческих работ

Процесс заказа работы

1. Размещаете
задачу

Заполните форму заказа и опубликуйте его в ленте.

2. Выбираете исполнителя

Выберите автора, учитывая отзывы и рейтинг.

3. Получаете результат

Оплатите и скачайте работу, когда автор ее выполнит.

Разместить заказ

Помощь с решением задач по теории вероятностей и математической статистике

Решение задач по теории вероятностей и мат.статистике на заказ

Студенты многих технических вузов часто встречаются со сложностями в решении задач по многим дисциплинам. Одно из подобных непростых испытаний – задания по теории вероятностей и математической статистике. Если срок сдачи уже приступил, а задачи так и не решены, обратитесь за помощью на Студворк.

Сколько стоит решение задач

Для экономящих на многом студентов финансовая сторона вопроса особенно важна. На нашем сайте вы сможете заказать решение задач за относительно небольшую сумму. Регистрируйтесь на сайте и размещайте свой первый заказ. Уже через 10 минут на него откликнутся первые эксперты. Ваша задача – лишь выбрать одного из них.

Предложения и гарантии сервиса

Нашему онлайн-сервису на протяжении долгих лет доверяют многие студенты. Эксперты, работающие на сайте, имеют огромный опыт в решении задач по многим предметам. Их не остановят ни сложные задания, ни сжатые сроки выполнения. Разумные цены и качество расчетов гарантированы!

Разместить заказ

Популярные вопросы

После размещения заказа в ленте, вам начнут поступать предложения от экспертов с вопросами, комментариями и стоимостью.
Чтобы не ошибиться с выбором специалиста, зайдите в его профиль. Посмотрите, как он заполнен, что автор пишет о себе, добавил ли он портфолио. Обратите особое внимание на отзывы.
Затем обговорите все условия с понравившимся экспертом и, если вас все устроит, нажмите кнопку «Выбрать исполнителя».

Сколько времени займет у авторов решение задач по теории вероятностей и математической статистике?

Сроки решения зависят от темы, дисциплины, сложности, объема, необходимой литературы, требований к оформлению и других факторов. Наши эксперты стараются максимально быстро выполнять заказы, чтобы вы успели сдать работу точно в срок.

Есть ли гарантии на работу?

После выполнения работы заказчик может подать заявку на корректировку, если его что-то не устраивает. Гарантия заказа равна одному календарному году. Автор обязан исправить работу, даже если срок блокировки заказа уже прошел, но при условии, что задание не изменялось.

Возможны доработки или дополнительные консультации? Это бесплатно?

Все исправления, доработки текста, корректировки оформления в рамках заказа выполняются экспертами бесплатно.

Сколько будет стоить решение задач по теории вероятностей и математической статистике?

Цена работы будет зависеть от сложности темы, объема и многих других факторов. Для того, чтобы узнать точную стоимость, разместите заказ на сайте и ждите первых откликов. Они появятся уже в течение 10 минут.

На сайте действует система промокодов. Вы можете получить скидку от 10% на заказ, воспользовавшись ими. Следите за обновлениями на сайте и в соцсетях, чтобы не пропустить новые акции.

Задачи по предметам

Доверьтесь экспертам

Экспертов онлайн

Наша система отправит ваш заказ на оценку

68 964

авторам.

Первые отклики появятся уже в течение 10 минут.

Разместить заказ

Теория вероятностей — решение контрольных работ на заказ

Если по каким-либо причинам не справляетесь с освоением теории вероятностей — на сайте можно получить платную помощь
по всем разделам этого достаточно сложного предмета, оставив заявку на решение отдельных задач или на выполнение контрольной работы к необходимому сроку.

Готовая работа будет выслана в виде файла Word и его копии в формате pdf (для удобного просмотра на телефоне или планшете).
Решение будет с развернутыми вычислениями и комментариями.
Посмотреть оформление задач можно в разделе Задачи с решением по теории вероятностей.

Доработка работы, если все-таки были допущены ошибки, от которых никто не застрахован, производится быстро и бесплатно —
в этом случае потребуется только фото замечаний и исправлений преподавателя по ходу работы. Подробнее в разделе сайта Отзывы и гарантии.

Стоимость работ сугубо индивидуальна — нельзя назвать точную стоимость работы, не видя условий задач.

Оплата осуществляется на карту Сбербанка или с помощью платежных систем (Яндекс-деньги, Киви), поэтому сделать заказ можно, находясь в любой географической точке.

Как заказать решение задач по теории вероятностей

---

Оставить заявку можно через ВКонтакте, WhatsApp, Telegram или на электронную почту, заполнив форму заказа на сайте.
В заявке вышлите условие задач и напишите, к какому сроку вам нужна работа.

Время ответа на ваше сообщение от трех минут до часа в рабочее время по Москве.

После вашего окончательного решения о заказе задач необходимо сделать предоплату в размере 50% любым, удобным вам способом оплаты.
Если работа маленькая (и сумма соответственно также маленькая), очень срочная, или вы договариваетесь о помощи онлайн (см. ниже), то предоплата делается в размере 100%.

Как только задачи по теории вероятностей будут полностью решены — вам высылается половина решенных задач в счет предполаты.
Вторую половину вы получите сразу после окончательного расчета.

---

Срочное решение задач по теории вероятностей и математической статистике

Обычный срок выполнения — 3-4 суток с момента внесения предоплаты, однако очень часто получается и быстрее.
Выполнение заказов в гарантированные ограниченные сроки возможно только при наличии свободного времени и увеличивает стоимость работы.
Имейте ввиду, что за срочность решения берется дополнительная оплата — лучше не откладывайте решение сделать заказ.

Онлайн-помощь на экзамене/зачете/самостоятельной

---

В случае помощи в онлайн-режиме решение высылается по мере выполнения частями — для экономии времени на ожидание.

Решение будет напечатано в Word и отправлено в чат мессенджера картинкой (скриншотом экрана) — это гораздо удобнее, чем пересылка решения файлом, и значительно экономит время.

При предварительной договоренности, если время экзамена (контрольной) перенесли — обязательно сообщите об этом.

Если вам не удалось выслать фото — деньги возвращаются за вычетом комиссии платежных систем.
Если время работы перенесли на другой день — работа считается оплаченной и второй раз платить не надо.

Онлайн-помощь осуществляется через ВКонтакте, WhatsApp или Telegram.

Посмотри видео, почему нам стоит доверять

Последние выполненные

решенные задачи

по теории вероятности

Видео-отзывы

Оставь заявку и выбери лучшего автора на основании отзывов

Готовые работы, которые можно купить

Нужно сэкономить? Зарегистрируйся и скачай готовую работу

Помощь в решении задач по теории вероятностей

Являясь самостоятельным разделом математики, данная дисциплина своим появлением обязана антинаучным интересам. Азартные игры, получившие широкое распространение в Средневековье, стали толчком для поиска путей определения вероятности везения игроков. В свете популяризации идеи о возможности предопределения исхода в ситуациях с большим количеством переменных, изучение законов случайных явлений стало представлять интерес в научных кругах общества. Первоначальным объектом исследования в рамках развития теории вероятностей стали игральные кости, позже — и другие атрибуты и явления. Впоследствии это течение положило начало целому ряду научных экспериментов, инициаторам которых стали наиболее выдающиеся исследователи со всех уголков земного шара.

Множество однотипных заданий, призванных упрочить в сознании студентов полученные знания, составляют предмет головной боли учеников высших учебных заведений любого профиля. “Повторение — мать ученья” — народная мудрость несет в себе рациональное зерно, однако, все хорошо в меру. Прорешать несколько задачек на занятии — одно дело, а вот посвящать им все свободное время — это уже совсем другое. К сожалению, внеаудиторная академическая нагрузка современных студентов настолько высока, что просто не оставляет молодежи шансов совмещать образовательную деятельность с работой, спортивными мероприятиями и увлечениями. Электронная биржа авторов ставит перед собой задачу по содействию будущим специалистам в стремлении иметь полноценную студенческую жизнь и высокую академическую успеваемость.

Наш сервис предоставляет возможность не только заказать и недорого купить решение задач по теории вероятностей, но и получить оперативную и качественную помощь от квалифицированных специалистов.

Услуги авторов:

• решение задач по теории вероятностей — “под ключ”;
• срочная доработка решений, выполненных студентом;
• написание аналитической части для уже готовых решений;
• консультации по предмету со специалистами и профессорами;
• проверка качества готовой работы.

Сомнения, где лучше заказать решение задач по теории вероятностей?

• Мы помогли решить задачи по теории вероятностей уже более 1500 студентам по всей России и ежедневно к нам обращаются по рекомендациям друзей более 100 новых клиентов;
• Каждый из 10000 зарегистрированных в системе авторов прошел строгую аттестацию и смог начать работу только после подтверждения высокого уровня своих знаний.

Сколько стоит?

Решение задач по теории вероятностей на заказ доступно каждому. Стоимость работы зависит от рейтинга выбранного студентом автора и ставки. Таким образом, система позволяет сохранить баланс цены и качества в рамках бюджета заказчика.

Другие предметы

Другие типы работ

Дисциплина «Теория вероятностей» изучает случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

В 19 и 20 столетиях теория вероятностей проникла сперва в науку (астрономию, физику, биологию), потом в практику (сельское хозяйство, промышленность, медицину), и наконец, после изобретения компьютеров, в повседневную жизнь любого человека, пользующегося современными средствами получения и передачи информации.

Решение задач по теории вероятности на заказ

Теория вероятностей – раздел математики, который изучает взаимосвязи в результате возникновения неких событий или происшествий, выявляет характеристики и процессы, повторение которых носит системный характер. Задачи, которые предстоит решать студентам по этому непростому предмету, довольно специфические и вникнуть во все детали – под силу не каждому ученику.

Когда дело доходит до проверочных работ по учебному плану, большинство студентов понимают, что самостоятельно справиться с работой они не смогут. Виной тому пропущенные лекции и отсутствие внимания на занятиях. Хватает 5 минут, чтобы «выпасть» из темы.

В этой ситуации велика вероятность, что лучше обратиться за помощью к тем, кто не пропускал уроки и усвоил на отлично весь объем материала. Таких экспертов в поддержку студентам предоставляет наша компания. Они справятся с любой задачей, будь то комбинаторика или задания по случайным величинам, в срок, а вы получите отличную оценку в зачетку.

Как выйти из сложившегося положения?

Мы поможем, когда возникают сложности по дисциплине:

• с написанием курсовых, контрольных работ, решением заданий по теории вероятности;
• поддержим на экзамене в режиме реального времени.

Когда выход найден, и вы заказали решение задач по теории вероятности у наших экспертов, можно оставить все переживания и сомнения позади. Наши специалисты без труда осилят:

• задачи на случайные события с непрерывными случайными величинами;
• сложные задания, используя формулу Бернулли, которая избавляет от большого числа расчетов;
• задания, где нужно найти вероятность интересующего события при помощи формулы полной вероятности.

Что получает студент вместе с решением?

При покупке готового варианта задачи по теории вероятностей вы получите квалифицированное выполнение заказа быстро и с полным, подробным объяснением процесса, алгоритма и списком формул. Эксперты по решению задач на вероятность ежедневно онлайн и офлайн делают аналогичную работу, их практический опыт и знания гарантируют 100% выполнение.

Сколько стоит решение

Для определения цены за сложные задачи по теории вероятности при заказе работы удобно воспользоваться онлайн-калькулятором на нашем сайте. В форму нужно ввести предмет, вид помощи и число заданий. Такой расчет является примерным, окончательная стоимость зависит от сроков выполнения, объема и сложности работы (подойдет фото) и определяется уже при контакте с менеджером.

Как заказать?

Для оформления заявки нужно заполнить форму, в которой предлагается описать задачу и оставить контактный номер телефона, и далее нажать кнопку «найти эксперта».

Если сдать работу нужно было вчера, то после оплаты вы получите готовый ответ в течение 20 минут со всеми деталями выполнения.

В случае, когда идет речь о конкретной дате решения, можно забронировать время эксперта. После оплаты дата фиксируется в графике, и специалист будет ждать в назначенное время.

В любом случае вы получаете гарантированную помощь в назначенный день.