Свойства логарифмов (формулы) таблица шпаргалка
Основный свойства и формулы логарифмов
Логарифм единицы
1. loga1 = 0 ⇔ a>0, a≠1
Логарифм основания
2. logaa = 1 ⇔ a>0, a≠1
Логарифм произведения
3. loga(b⋅c) = loga b + loga c ⇔ a>0, b>0, c>0,a≠1
${log _6}2 + {log _6}3 ={log _6}(2⋅3) ={log _6}6=1$
Логарифм частного
4. ${text{lo}}{{text{g}}_a}frac{b}{c} = {log _a}b — {log _a}c$ ⇔ a>0, b>0, c>0,a≠1
${log _2}frac{2}{5} = {log _2}2 — {log _2}5 = 1 — {log _2}5$
Логарифм степени
5. logabn = n⋅loga b ⇔ a>0, b>0, a≠1
${text{3lo}}{{text{g}}_8}4 = {log _8}{4^3} = {log _8}64 = 2$
Формула перехода от одного основания логарифма к другому
6. ${text{lo}}{{text{g}}_a}b = frac{{{{log }_c}b}}{{{{log }_c}a}}$
${text{lo}}{{text{g}}_{text{4}}}3 = frac{{{{log }_3}3}}{{{{log }_3}4}} = frac{1}{{{{log }_3}4}}$
7. ${text{lo}}{{text{g}}_a}b = frac{1}{{{{log }_b}a}}$ ⇔ a>0, b>0, a≠1, b≠1
${text{lo}}{{text{g}}_{125}}5 = frac{1}{{{{log }_5}125}} = frac{{text{1}}}{{text{3}}}$
Логарифм степени
8. ${text{lo}}{{text{g}}_{{a^n}}}b = frac{1}{n}{text{lo}}{{text{g}}_a}b$ ⇔ a>0, b>0, a≠1, n≠0
${text{lo}}{{text{g}}_{25}}5 = {log _{{5^2}}}5 = frac{{text{1}}}{{text{2}}}{log _5}5 = frac{1}{2}$
9. ${text{lo}}{{text{g}}_{{a^{frac{{text{n}}}{{text{m}}}}}}}b = frac{m}{n} cdot {text{lo}}{{text{g}}_a}b$ ⇔ a>0, b>0, a≠1
${text{lo}}{{text{g}}_{{{text{2}}^{frac{{text{3}}}{{text{4}}}}}}}2 = frac{4}{3}{log _2}2 = frac{4}{3}$
10. ${a^{{{log }_с}b}} = {b^{{{log }_c}a}}$ ⇔ a>0, b>0, c>0, a≠1, b≠1, c≠1
${8^{{{log }_2}5}} = {5^{{{log }_2}8}} = {{text{5}}^{text{3}}} = {text{125}}$
Основное логарифмическое тождество (подробно см. здесь.)
11. aloga b = b ⇔ a>0, b>0, a≠1
Дополнительные свойства логарифма:
$log_ax^{2m}=2m log_a|x|,x≠0,m∈N$
$log_ax=log_{a^n}x^n, x>0,n∈R,a≠1,a>0$
$log_{a^k} x^m=frac{m}{k}log_ax, x>0,m∈R,k∈R,k≠0,a≠1,a>0$
Логарифмы
Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2x = 8. Там всё было ясно: x = 3.
А теперь рассмотрим уравнение 2x = 7.
По графику функции y = 2x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.
Ясно, что этот корень — не целое число (так как 22 = 4, 23 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.
Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два»). Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107…
Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.
Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).
Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
Иными словами,
Например:
так как 
;
, так как 
;
так как 
;
, так как 
.
Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.
Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.
Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.
Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.
Основные формулы
По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:
Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:
logaax=x.
Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.
Логарифм произведения — это сумма логарифмов:
| loga(bc) = logab + logac. | (2) |
Логарифм частного — это разность логарифмов:
 . |
(3) |
Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:
 |
(4) |
Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:
 |
(5) |
Формулы (4) и (5) вместе дают:
 . |
(6) |
В частности, если m = n, мы получаем формулу:
 . |
(7) |
Например, 
.
Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:
 . |
(8) |
В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:
 . |
(9) |
Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. 
(применили формулу (2) суммы логарифмов).
2. 
(применили основное логарифмическое тождество(1)).
3. 
(применили формулу (4)).
4. 
(применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).
5. 
(применили формулу (3) разности логарифмов).
Немного истории
Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?
Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.
Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?
Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.
В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.
Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.
Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).
А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.
Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.
Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Логарифмы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию а, где $a>0$, $a≠1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.
Пример:
$log_{2}8=3$, т.к. $2^{3}=8;$
$log_{3}{1}/{27}=-3$, т.к $3^{-3}={1}/{27}$
Особенно можно выделить три формулы:
$log_{a}a=1;$
$log_{a}1=0;$
$log_{a}a^b=b.$
Основное логарифмическое тождество:
$a^{log_{a}b}=b$
Это равенство справедливо при $b>0, a>0, a≠1$
Пример:
$4^{log_{4}5}=5;$
$3^{-2log_{3}5}={3^{log_{3}5^{-2}}}=5^{-2}={1}/{25}$
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $10$ и пишут $lgb$ вместо $log_{10}b$.
Пример:
$lg100000=lg10^5=5$
Ответ: $5$
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $е$, где $е$ – иррациональное число, приближенно равное $2.7$. При этом пишут $lnb$, вместо $log_{e}b$
Свойства логарифмов.
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a>0, a≠1, b>0, c>0, m$ – любое действительное число.
1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:
$log{_а}b^m=mlog_{a}b;$
$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$
$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$
Пример:
$log_{3}3^{10}=10log_{3}3=10;$
$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$
$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$
2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.
$log_{a}(bc)=log_{a}b+log_{a}c$
Пример:
Вычислить $log_{12}2+log_{12}72$
Применим второе свойство наоборот: сумма логарифмов по одинаковому основанию равна логарифму произведения подлогарифмических выражений
$log_{12}2+log_{12}72=log_{12}2·72=log_{12}144=2$
Ответ: $2$
3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию
$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$
Пример:
Вычислить $log_{5}75-log_{5}3$
Решение:
Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного подлогарифмических выражений
$log_{5}75-log_{5}3=log_{5}{75}/{3}=log_{5}25=2$
Ответ: $2$
4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания
$log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$, если $a$, $b$, $c$, $d>0$, $a≠1$, $b≠1.$
5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}c}$, где $а, b, c>0, a≠1$
6. Формула перехода к новому основанию
$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$
7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение
$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$
Пример:
Найдите значение выражения: ${log_{2}∜{13}}/{log_{2}13}$
Решение:
В выражении видим, что был произведен переход к новому основанию $2$. Нам необходимо вернуться к старому основанию $13$.
${log_{2}∜{13}}/{log_{2}13}=log_{13}∜{13}$
Далее вычислим получившийся логарифм, для этого подлогарифмическое выражение необходимо представить в виде степени. Любой корень можно выразить в виде степени с дробным показателем, в знаменателе показателя будет находиться показатель корня
$∜{13}=13^{{1}/{4}}$
$log_{13}∜{13}=log_{13}13^{{1}/{4}}={1}/{4}=0.25$
Ответ: $0.25$