Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Отлично
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Отлично
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отлично
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает — и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Отлично
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Хорошо
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Отлично
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Отлично
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отлично
Отзыв о системе «Студизба»
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Хорошо
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Отлично
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Отлично
-
Понятие
о функциях и способах их задания:
у
наз.ф-цией от х , если каж.рассматр знач-ю
х соотв.опред.знач-е величины у
х-аргумент,у-ф-ция.
Способы задания:а)аналитический
б)графический в)табличный
-
Классификация
функций
Заданные
аналитически:1)алгебраические-получены
в рез-те алгебраич.действий над знач-ми
аргумента(многочлен) 2)неалгебраические(логафифм,
тригонометрические)
Обратные
ф-ции-получ.ф-ной зависимостью у=f(х)
но у-аргумент, х-ф-ция
-
Пределы.
Понятия о пределах послед-тей и ф-ций
-
Непрерывность
и разрыв ф-ций
-
Бесконечно
малые ф-ции
-
Теоремы
о пределах
-
Замечательные
пределы
Рассмотрим
сектор АОС
Sкр=πr^2=π
(т.к r
=1)→2π радиан, Sсек=у
→х радиан
У=Sсек=πх/2π=х/2
SАOC<SсекАОС<SBOC
1/2*1*sinx≤x/2≤1/2*1*1*tgx
(*)1<x/sinx<1/cosx,х
є (0;2π) х=-у след-но у є (-π/2;0) 1<-y/sin(-y)
< 1/cos(-y)
1<y/siny<1/cosy
y
є(-π/2; 0)
Отсюда
с учетом нер-ва(*) получаем (**)
1<x/sinx<1/cosx,х
є (-π/2;0)υ(0;π/2). Т.к 1/cosx
стремится к 1/cosx=1,то
из нер-ва(**) по теореме о пределе пром
ф-ии limx→0
x/sinx=1
-
Понятие
о производной.Механич. и геометрич.смыслы
-
Теоремы
о произв.пост.величины,суммы, произвед,дроби
(10,11,12,13,14,15,16,17)
18.
Производные высших порядков ф-ций с
одной переменной
19.
Теорема о корнях производных(Ролля)
20.
Теорема о конечном приращении
ф-ции(Лагранжа)
21
Правило Лопиталя
22.
max
и min
ф-ций
23.
Необходимое условие существования
экстремума ф-ции с одной перем.
24.
Достаточное условие существования
экстремума ф-ции с одной перем.
25.
Асимптоты
26.
Дифференциал ф-ции с одной переменной
27.
Функции многих переменных. Частные и
полные приращения(28)
29.
Частные производные высших порядков
30.
Дифференциал ф-ции многих переменных
31.
Экстремум ф-ции многих перем. Необходимое
условие существования
32.
Достаточное условие экстремума ф-ции
многих переменных
все
частные производные равны 0
33.Условный
экстремум. Ф-ция Лагранжа
34.
Метод наименьших квадратов
35.
Первообразная и неопределённый интеграл.
Таблица интегралов.
36.
Метод замены переменных при интегрировании
37.
Интегрирование по частям
38.
Интегрирование тригонометрических
функций
39.
Интегрирование рациональных дробей
40.
Определённый интеграл как предел
интегральной суммы. Формула Ньютона-Лейбница.
41.
Вычисление площадей плоских фигур с
пом.опред.интеграла
42.
Вычисление объёмов тел вращения
43.
Вычисление длины кривой
44.
Приближённые методы вычисления
определённого интеграла
45.
Несобственные интегралы
46.
Кратные интегралы
9
Соседние файлы в предмете Математический анализ
- #
- #
- #
03.10.201322.36 Кб7Гетман Рыклин лаб 3.xlsx
- #
- #
03.10.201327.36 Кб13множетсвенная регрессия Друж.xlsx
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Тема: Ответы по матанализу на экзаменационные вопросы
Раздел: Бесплатные рефераты по математическому анализу
Тип: Шпаргалка | Размер: 299.04K | Скачано: 382 | Добавлен 09.11.14 в 23:34 | Рейтинг: +1 | Еще Шпаргалки
Вопрос 1. Числовая последовательность. Примеры.
Вопрос 2. Ограниченная последовательность.
Вопрос 3. Предел числовой последовательности.
Вопрос 4. Единственность предела сходящейся последовательности.
Вопрос 5. Ограниченность сходящейся последовательности.
Вопрос 6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями (для последовательности)
Вопрос 7. Переход к пределу в неравенствах
Вопрос 8. Теорема о двух милиционерах
Вопрос 9.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
Вопрос 10. Монотонные последовательности. Число «е».
Вопрос 11. Предел функции в точке
Вопрос 12. Свойства предела, связанного с арифметическими действиями( для функций)
Вопрос 13. Односторонние пределы
Вопрос 14. Пределы бесконечности. Бесконечные пределы.
Вопрос 15. Первый и второй замечательные пределы
Вопрос 16. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые и таблица.
Вопрос 17. Непрерывность функции в точке. Различные определения.
Вопрос 19. Непрерывность элементарной функции в области определения.
Вопрос 20. Непрерывность функции справа и слева в точке разрыва функции и их классификации.
Вопрос 21. Теорема о сохранении знаков непрерывной функции.
Вопрос 22. Теорема о нуле непрерывной функции и промежуточном значении.
Вопрос 23. Теорема об ограниченной функции на отрезке.
Вопрос 24. Теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений функции.
Вопрос 25. Понятие производной функции в точке + таблица производных.
Вопрос 26. Физический и геометрический смысл производной
Вопрос 27. Уравнение касательной
Вопрос 28. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
Вопрос 29. Применение производной для приближенных вычислений.
Вопрос 31. Теорема Лагранжа.
Вопрос 32. Правило Лопиталя.
Вопрос 33. Производные высших порядков
Вопрос 34. Формула Тейлора для ех,sinx,cosx, .
Вопрос 35. Исследование функции на монотонность.
Вопрос 36. Экстремум функции.
Вопрос 37. Необходимое и достаточное условие экстремума.
Вопрос 38. Исследование функции на выпуклость.
Вопрос 39. Асимптоты графика функции.
Вопрос 40. Исследование функции и построение графика.
Вопрос 41. Функции двух переменных. Область определения.
Вопрос 42. Частные производные
Вопрос 43.Вторые частные производные.
Вопрос 44. Локальный экстремум функции 2х переменных.
Вопрос 45. Первообразная и неопределенный интеграл.
Вопрос 46. Свойства неопределенного интеграла.
Вопрос 47. Таблица интегралов.
Вопрос 48.Интегрировани по частям.
Вопрос 49. Метод замены переменной
Вопрос 50. Интегрирование дробно-рациональной функции.
Вопрос 51. Определение определенного интеграла
Вопрос 52.Свойства неопределенного интеграла
Вопрос 54. Интеграл с переменным верхним пределом
Вопрос 55. Существование первообразной для непрерывной функции.
Вопрос 56.Формула Ньютона-Лейбница
Вопрос 57. Замена переменной в определенном интеграле.
Вопрос 58.Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Вопрос 59.Геометрические приложения определенного интеграла(вычисление площади, вычисление длины дуги кривой)
Вопрос 60.Числовые ряды
Вопрос 61. Сумма числового ряда
Вопрос 62.Сходимость числового ряда
Вопрос 63.Необходимое условие сходимости
Вопрос 64. Признаки сходимости положительных рядов(признаки сравнения Коши,Даламбера)
Вопрос 65. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Вопрос 66. Абсолютная и относительная сходимость рядов.
Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы
Бесплатная оценка
+1
Понравилось? Нажмите на кнопочку ниже. Вам не сложно, а нам приятно).
Чтобы скачать бесплатно Шпаргалки на максимальной скорости, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.
Важно! Все представленные Шпаргалки для бесплатного скачивания предназначены для составления плана или основы собственных научных трудов.
Друзья! У вас есть уникальная возможность помочь таким же студентам как и вы! Если наш сайт помог вам найти нужную работу, то вы, безусловно, понимаете как добавленная вами работа может облегчить труд другим.
Добавить работу
Если Шпаргалка, по Вашему мнению, плохого качества, или эту работу Вы уже встречали, сообщите об этом нам.
Добавление отзыва к работе
Добавить отзыв могут только зарегистрированные пользователи.
Похожие работы
- Ответы к экзамену по Математическому анализу
- Шпора по математическому анализу
Курс лекций для студентов 1 курса по математическому анализу любых форм обучения. Я собрала теорию и примеры с решениями к каждой теме, чтобы вы смогли подготовиться к экзамену или освежить память перед контрольной работой!
Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!
Введение в математический анализ
Математический анализ — совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.
Функция. Предел функции
Математический анализ — раздел математики, в котором изучаются функции. В экономическом анализе часто исследуют, например, зависимости спроса и предложения от цены (функции спроса и предложения), зависимость издержек производства от объема продукции (функцию издержек) и др. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , обозначаемый . При этом элементы называются независимыми переменными (или аргументами), а элементы называются зависимыми переменными (или значениями функции). Множество X называют областью определения функции, а множество У — областью значений функции. Функция называется сложной (или композицией функций, или функцией от функций), если ее аргумент в свою очередь является функцией другой переменной: .
В школьном курсе изучались следующие функции: постоянная , степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические и обратные тригонометрические Все эти функции называются основными элементарными функциями. Функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий и образования сложных функций над основными элементарными функциями называются элементарными. Это класс функций, с которыми мы будем работать на протяжении всего курса.
Возможно эта страница вам будет полезна:
Одним из основных понятий математического анализа является предел. Примерами применения понятия предела могут служить окружность как предел вписанных и описанных многоугольников при бесконечном увеличении числа сторон или касательная как предельное положение секущей при сближении точек пересечения. Говорят, что функция имеет предел А при х стремящемся к , если значения функции сколь угодно близко приближаются к числу А, когда значения переменной х сколь угодно близко приближаются к числу .
Используя логические символы: — «для любого», — «существует», символ равносильности — «тогда и только тогда, когда», символ следствия — «следует, что», и символ : — «такое, что», определение предела можно записать в виде:
Внимание! Определение предела не требует существования функции в самой предельной точке , т.к. рассматривает значения в некоторой окрестности точки .
Если функция определена в некоторой точке и в некоторой ее окрестности существует предел функции при , равный значению функции в этой точке:
то функция называется непрерывной в точке . Говорят, что функция непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Следовательно, в случае непрерывных функций очень просто находятся пределы в любой точке области определения: для этого достаточно вычислить значение функции в данной точке.
Утверждение 1. Любая элементарная функция непрерывна в области определения.
Утверждение 2. Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:
Пример №1
Вычислить предел
Решение:
Данная функция элементарная, т.к. получена из основных элементарных функций (постоянной и степенной) с помощью конечного числа арифметических действий. Поскольку принадлежит области определения функции, то ее предел в точке равен значению функции в этой точке, т.е.
Заметим, что не всякий производственный процесс непрерывен во времени. Аргумент функции может изменяться лишь в отдельные моменты. Так, приняв за область определения функции множество натуральных чисел , получим функцию натурального аргумента, которую называют числовой последовательностью. Число называют общим членом числовой последовательности. Например, арифметическая или геометрическая прогрессии — числовые последовательности.
Число А называется пределом числовой последовательности , если для любой окрестности точки А все члены последовательности, начиная с некоторого номера N, принадлежат этой окрестности. Обозначение: .
(Символ означает «бесконечно большую величину».)
С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции на бесконечности, которое на языке логических символов имеет вид:
Замечание. Переменная может неограниченно стремиться либо в сторону отрицательных значений: , либо в сторону положительных значений: . Символ ос является объединением двух символов: . Очевидно, что
В общем случае если при стремлении переменная принимает лишь значения, меньшие , и при этом функция стремится к некоторому числу, то говорят о пределе функции слева:
И наоборот, если при стремлении переменная х принимает лишь значения, большие , и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу, то говорят о пределе функции справа:
(При на практике вместо 0-0 пишут -0, а вместо 0+0 — +0.)
Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции в данной точке. Следовательно,
В следующем параграфе мы познакомимся с основными правилами вычисления пределов при х—»хо(ос).
Основные теоремы о пределах
Внимание! Если предел существует, то он единственный.
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной: .
Теорема 2. Пусть . Тогда:
1) предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций:
2) предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
в частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:
3) предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю:
Возможно эта страница вам будет полезна:
Пример №2
Вычислить предел
Решение:
Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы и произведения, получим
Пример №3
Вычислить предел последовательности
Решение:
Теорему о пределе суммы конечного числа функций здесь применить нельзя. Заметим, что является суммой n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом . Следовательно,
Тогда по теоремам о пределах функций имеем:
Рассмотрим соотношения пределов суммы, произведения, частного, распространенные на случай бесконечного предела функции.
Если вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям вида , необходимо провести дополнительные исследования, т.е. «раскрыть неопределенность».
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенностей вида . Пусть .
1. Если — рациональная дробь, то числитель и знаменатель дроби раскладывают на множители.
Пример №4
Вычислить предел
Решение:
Числитель и знаменатель дроби при обращаются в нуль. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, а затем применим теоремы о пределах частного, суммы и произведения:
2. Если — дробь, содержащая иррациональные выражения, то выделение множителей вида достигается переводом иррациональностей в числитель или знаменатель.
Пример №5
Вычислить предел .
Решение:
Имеем неопределенность вида . Избавимся от иррациональности в числителе, умножив и разделив дробь на сопряженное к числителю выражение . Получим:
3. В остальных случаях для раскрытия неопределенности вида используют первый замечательный предел (см. п. 3.4) или эквивалентные бесконечно малые функции (см. п. 3.5).
Раскрытие неопределенностей вида . Пусть
Если — рациональная дробь или дробь, содержащая иррациональности, то числитель и знаменатель делят на х в старшей степени.
Пример №6
Вычислить предел , если 1) а=2; 2) а— 1; 3) а=4.
Решение:
Числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень (в первом и втором случаях на , во третьем — на ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:
Вывод. Предел рациональной дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях, если эти степени совпадают, нулю — если показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя и бесконечности в противном случае.
Замечание. Для раскрытия неопределенностей вида используют также правило Лопиталя (см. п. 3.8).
Раскрытие неопределенностей вида . Неопределенное выражение вида преобразуется к неопределенности вида или . Методику раскрытия такой неопределенности покажем на примерах.
Пример №7
Вычислить предел .
Решение:
Имеем неопределенность вида которая преобразуется к неопределенности вида приведением функции к общему знаменателю:
Пример №8
Вычислить предел последовательности
Решение:
Для раскрытия неопределенности вида умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное:
Получили неопределенность вида . Раскроем ее, разделив все члены полученного выражения на n:
Раскрытие неопределенностей вида . Неопределенное выражение вида получается при нахождении пределов вида , где , и сводится к неопределенности вида или следующим образом:
Замечание. При вычислении пределов показательно-степенных функций могут получиться неопределенности вида , для раскрытия которых используют второй замечательный предел или правило Ло-питаля.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:
Следовательно,
(аналогично).
Возможно эта страница вам будет полезна:
Пример №9
Найти
Решение:
Применим первый замечательный предел:
Второй замечательный предел. Числом е называется предел функции при :
(Для запоминания: — год рождения Л.Н. Толстого) Следовательно,
Задача о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно годовых. Необходимо найти размер вклада через лет.
Решение:
Размер вклада будет увеличиваться ежегодно в раз и через лет составит . Если же начислять проценты n раз в году, то будущая сумма составит . Предположим, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие , ежеквартально , ежемесячно , каждый день , каждый час и, наконец, непрерывно . Тогда за год размер вклада составит:
а за лет:
Пример №10
Найти
Решение:
Т.к. , имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дроби целую часть:
Пример №11
Найти .
Решение:
Преобразуя выражение и используя непрерывность показательно-степенной функции, получим:
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Математическая интерпретация явления часто заключается в том, что практически очень малые величины принимаются за бесконечно малые. Так, рассматривая годовое производство, мы можем отдельный день представить себе как бесконечно малую частицу годового периода и получать при этом практически верные результаты.
Функция называется бесконечно малой при , если ее предел равен нулю: .
Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности: .
Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует связь: если — бесконечно малая функция при , то бесконечно большая функция при и наоборот.
Теорема 1. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция при .
Теорема 2. Произведение бесконечно малой при функции на ограниченную есть бесконечно малая функция при .
Возможно эта страница вам будет полезна:
Пример №12
Найти .
Решение:
Т.к. — ограниченная функция для любых , а — бесконечно малая функция при — бесконечно малая функция при , т.е. .
Если и — бесконечно малые функции при , то может быть равен либо нулю, либо бесконечности, либо какому-нибудь числу, отличному от нуля; наконец, предел может не существовать.
Если не существует, то и называют несравнимыми бесконечно малыми при .
Если , то функция стремится к нулю быстрее, чем при . Говорят, что — бесконечно малая более высокого порядка, чем при и пишут: (читается « есть о малое от при ).
Если , то называют бесконечно малой более низкого порядка, чем при и пишут: .
Если , то и называют бесконечно малыми одного порядка при и пишут: .
Особенно важен частный случай, когда . Тогда и называют эквивалентными бесконечно малыми при и пишут: , .
Пример №13
Показать, что при .
Решение:
Функции и являются бесконечно малыми . Найдем предел их отношения при :
что и требовалось доказать.
Переход к пределу под символом логарифма возможен, т.к. логарифмическая функция непрерывна.
Утверждение. Если , то при следующие функции эквивалентны:
Данная цепочка эквивалентностей используется при нахождении пределов.
Теорема 3. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.
Пример №14
Вычислить предел .
Решение:
Для нахождения предела используем свойства эквивалентности бесконечно малых функций:
Пример №15
Вычислить предел .
Решение:
Используя теорему об эквивалентных бесконечно малых, получаем:
Точки разрыва и их классификация
Непрерывность или разрыв функции может зависеть от конкретных условий, в которых рассматривается задача. Рассмотрим, например, численность населения земного шара как функцию времени. Она увеличивается на 1 в момент рождения каждого человека и уменьшается на 1 в момент смерти. Но рождения и смерти следуют друг за другом через бесконечно малые интервалы времени и изменение численности населения планеты на 1 настолько мало его меняет, что практически функцию можно рассматривать непрерывной. Но стоит перейти от численности населения земного шара к численности населения одной квартиры, как рождение или смерть отдельного ее жителя будут так заметно менять ее численность, что функцию нельзя будет рассматривать как непрерывную.
Если хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке (см. п. 3.1) не выполнено, то в данной точке функция терпит разрыв. Различают три вида точек разрыва непрерывной функции.
1. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел при существует, но не равен значению функции в данной точке, т.е.
Чтобы устранить разрыв в точке достаточно положить . В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывной в точке .
2. Точка Хо называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные пределы слева и справа , не равные друг другу:
При этом величина называется скачком функции в точке .
3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то называется точкой разрыва второго рода функции .
Пример №16
Исследовать функции на непрерывность. В случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной.
Решение:
1. Данная функция элементарная, т.к. получена с помощью конечного числа арифметических действий над основными элементарными функциями: экспоненциальной, постоянной и степенной. Следовательно, она непрерывна в области определения . При функция не определена и поэтому разрывна. Исследуем характер точки разрыва. Так как
тo — точка устранимого разрыва.
Если положить , то функция
будет непрерывной для всех х.
2. Функция является элементарной как композиция основных элементарных функций. Следовательно, она непрерывна в области определения — точка разрыва. Для исследования характера точки разрыва найдем односторонние пределы:
Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то -точка разрыва второго рода.
Пример №17
Исследовать функцию на непрерывность. Построить схематично график функции.
Решение:
Область определения этой функции — вся числовая прямая: . Однако функция является составной. Составляющие ее функции непрерывны на множестве действительных чисел как элементарные. Поскольку функция задана различными аналитическими выражениями, то проверить на непрерывность нужно точки «стыка» . Исследуем точку :
Так как — точка разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен .
Исследуем точку :
Поскольку , то в точке функция непрерывна. Следовательно, искомая функция непрерывна для всех .
Построим график функции.
Дифференциальное исчисление
Производная функции, ее геометрический и физический смыслы
При изучении различных экономических процессов, описываемых функциями, существенную роль играют скорость роста процесса, ускорение роста, оптимальный режим и другие характеристики, которые исследуются с помощью производной.
Рассмотрим геометрическую задачу о проведении касательной к плоской кривой. Пусть на плоскости дана непрерывная кривая . Необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке . Уравнение прямой, проходящей через точку , имеет вид:
Касательной называется прямая, к которой стремится секущая при стремлении второй точки секущей к первой. Дадим аргументу приращение и перейдем на кривой от точки к точке . Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей может быть найден по формуле:
Тогда угловой коэффициент касательной
Это и есть производная функции в точке . Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению ее производной в точке касания (геометрический смысл производной).
Производная функции имеет несколько обозначений:
Следовательно, уравнение касательной к кривой в точке можно записать в виде:
Нахождение мгновенной скорости прямолинейно движущейся точки. Пусть точка М движется прямолинейно и — путь, проходимый ею за время . Средней скоростью прямолинейного движения за время называется от-ношение пройденного пути к затраченному времени: . Если существует предел , то он называется (мгновенной) скоростью в некоторый момент времени . В этом состоит физический смысл производной.
Если — функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени , то (мгновенное) ускорение материальной точки в фиксированный момент времени есть производная от скорости по времени: .
Вывод. Производная есть предел отношения приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента.
Важно отметить, что запись имеет не только символическое значение как способ написания производной, но и смысловое: производная функции есть отношение ее дифференциала к дифференциалу аргумента .
Дифференциалом функции одной переменной называется произведение ее производной на приращение аргумента: . Для функции получаем . Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Отсюда (подробнее см. литературу).
Нахождение для заданной функции ее производной называется дифференцированием данной функции. А учение о производной и ее приложениях является предметом дифференциального исчисления. Фундамент дифференциального исчисления составляют основные правила и формулы дифференцирования функций. Используя их, можно найти производную и дифференциал любой элементарной функции.
Основные правила дифференцирования
Внимание! Для существования производной в некоторой точке необходимо, чтобы функция была непрерывна в этой точке. Однако не всякая непрерывная в точке функция имеет в ней производную.
Теорема 1. Производная постоянной равна нулю: .
Теорема 2. Пусть — дифференцируемые функции. Тогда:
1) производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:
2) производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:
в частности, постоянный множитель можно выносить за знак производной:
3) производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:
Теорема 3. Производная сложной функции равна ее производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента.
Действительно, пусть задана сложная функция . Тогда
Теорема 4. Производная обратной функции есть величина, обратная производной прямой функции.
Так, если — взаимно обратные функции и , то
Таблица производных
Приведем основные формулы дифференцирования функций. Пусть ~ дифференцируемая функция. Тогда
Выведем производные некоторых функций.
1. Если , то
Используя формулу разности синусов
получим
Так как любую тригонометрическую функцию можно вывести через синус, то нетрудно найти производные остальных тригонометрических функций.
2. Пусть . Тогда по теореме о производной сложной функции
3. Для функции воспользуемся правилом дифференцирования частного:
4. Представим как степенную функцию от тангенса. Тогда
5. Вычислим производную , где . Обратная функция имеет вид . Причем , если теореме дифференцирования обратной функции
и при производная не существует.
6. Производную получим из соотношения Следовательно,
Предельный анализ в экономике
Задача о производительности труда. Пусть функция выражает количество произведенной продукции у за время и необходимо найти производительность труда в момент времени . Очевидно, за период времени от до количество произведенной продукции изменится от и составит .
Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е.
Производительность труда в момент времени можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при , т.е.
Возможно эта страница вам будет полезна:
Пример №18
Объем продукции хлебобулочных изделий, произведенных бригадой пекарей в течение смены, может быть описан функцией
где — время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы.
Решение:
Производительность труда выражается производной
В заданный момент времени соответственно имеем:
Задача о предельных издержках производства. Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции . Тогда — приращение издержек производства с увеличением объема произведенной продукции на . Среднее приращение издержек производства на единицу продукции есть . Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.
Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельная полезность и другие предельные величины.
Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса во времени или относительно исследуемого фактора.
Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной, если приращение переменной стремится к нулю:
Эластичность дает приближенный процентный прирост функции при изменении независимой переменой на 1%. Например, эластичность спроса у относительно цены х показывает приближенно, на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%. Если эластичность спроса по абсолютной величине больше единицы , то спрос считают эластичным, если — нейтральным, если — неэластичным относительно цены.
Пример №19
Опытным путем установлены функции спроса и предложения , где — количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, — цена товара. Найти:
1) равновесную цену, при которой спрос и предложение совпадают;
2) эластичность спроса и предложения для этой цены;
3) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.
Решение:
1) равновесная цепа определяется из условия :
откуда ден. ед.
2) найдем эластичности спроса и предложения:
Для равновесной цены имеем:
T.к. полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше 1, то спрос и предложение данного товара при рыночной цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. А именно, при увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0.3%, предложение увеличится на 0.8%.
3) при увеличении цены на 5% относительно равновесной спрос уменьшится па (5-0.3)%= 1.5%, и, следовательно, доход возрастет па 3.5%.
Пример №20
Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции выражается функцией . Требуется:
1) определить средние и предельные издержки при объеме продукции условных единиц;
2) найти эластичность издержек при выпуске продукции, равном и условных единиц.
Решение:
1) функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением
При средние издержки равны
Функция предельных издержек выражается производной
При предельные издержки составят
что вдвое меньше средних издержек.
2) эластичность издержек у относительно объема выпускаемой продукции х рассчитывается по формуле:
При . Это означает, что при увеличении количества произведенной продукции на 1% (с 1 до 1.01) издержки уменьшатся на 1%.
При , т.е. с увеличением количества произведенной продукции на 1% (с 3 до 3.01) затраты уменьшатся на 17%.
Уравнение нормали к плоской кривой
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Если касательная в точке к графику непрерывной функции имеет вид (см. п. 4.1), то перпендикулярная к ней прямая имеет угловой коэффициент
Таким образом, при уравнение нормали в точке имеет вид
Если же , то нормаль параллельна оси :
Задача. Показать, что для гиперболы площадь треугольника, образованного координатными осями и касательной в точке , равна квадрату полуоси гиперболы.
Решение:
В общем курсе аналитической геометрии давалось каноническое уравнение гиперболы. «Школьная» гипербола получается из уравнения преобразованием поворота, которое нашей программой не предусмотрено. Полуось гиперболы определим как расстояние между вершиной и центром симметрии гиперболы. Очевидно, вершины гиперболы находятся в точках , а центр симметрии совпадает с началом координат. Тогда полуось гиперболы равна . Следовательно, квадрат полуоси гиперболы равен 2.
Составим уравнение касательной к гиперболе в вершине . Общее уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
В нашем случае
Искомое уравнение касательной имеет вид:
Найдем точки пересечения касательной с осями координат:
Тогда треугольник, образованный координатными осями и касательной, будет иметь вершины . Т.к. треугольник прямоугольный, то его площадь равна
2=2. Задача решена.
Производные высших порядков
До сих пор мы рассматривали производную от функции , называемую производной первого порядка. Но производная сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной второго порядка называется производная от производной первого порядка и обозначается и т.д. В общем случае, производной n-го порядка называется производная от производной -ro порядка (для обозначения производных выше третьего порядка используются арабские цифры в скобках): .
Ранее было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону (где s — путь, t — время), то представляет скорость изменения пути в момент . Следовательно, ускорение точки в момент есть вторая производная пути по времени:
В этом состоит механический смысл второй производной.
Задача. Известно, что траекторией брошенного камня является парабола. Найти его скорость и ускорение.
Решение:
Запишем уравнение траектории брошенного камня :
— парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вниз, — гравитационная постоянная.
Тогда — скорость камня;
— его ускорение, что согласуется с известным физическим законом: всякое брошенное тело испытывает постоянное ускорение свободного падения.
Производная неявной функции
Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных формулой , правая часть которых не содержала зависимой переменной. Если же функция задана уравнением не разрешенным относительно зависимой переменной, то говорят, что функция у задана неявно.
Внимание! Не всякое уравнение определяет неявную функцию. Например, уравнение в действительной области не определяет никакой функции. Иногда одно уравнение такого вида может определять несколько функций. Например, уравнение определяет две функции: и .
Часто разрешить уравнение относительно переменной затруднительно. В таком случае функцию приходится изучать, пользуясь непосредственно уравнением, определяющим ее. Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением .
Для нахождения производной функции , заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от . Затем из полученного уравнения найти производную .
Пример №21
Покажите, что функция , заданная неявно выражением , удовлетворяет уравнению .
Решение:
Найдем первую производную данной функции. Для этого продифференцируем обе части уравнения , используя формулы и правила дифференцирования:
Найдем вторую производную:
Подставим найденные выражения в дифференциальное уравнение:
Правило Лопиталя
С помощью производной можно находить многие пределы. Следующее утверждение позволит свести предел отношения двух функций с случае неопределенностей вида к пределу отношения производных, который очень часто вычисляется проще.
Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если этот предел существует:
Внимание! В правой части формул берется отношение производных, а не производная отношения.
Пример №22
Вычислить предел
Решение:
Имеем неопределенность вида . Т.к. числитель и знаменатель дроби непрерывны и дифференцируемы, то можно применить правило Лопиталя:
Замечание Правило Лопиталя можно применять повторно, если вновь приходим к соотношению неопределенностей вида .
Пример №23
Вычислить предел
Решение:
Числитель и знаменатель дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к бесконечности. Следовательно, можно применить правило Лопиталя (в данном примере мы воспользовались им дважды):
Замечание. Другие неопределенности раскрываются по правилу Лопиталя, если их предварительно свести к основному виду с помощью тождественных преобразований.
Пример №24
Найти .
Решение:
Преобразуя выражение и используя непрерывность показательной функции, получим:
Оптимизация
В этом параграфе оптимизацию будем понимать как процесс нахождения экстремума (максимума или минимума) экономических функций, т.е. выбор наилучшего варианта из множества возможных. Говорят, что в точке функция имеет (локальный) максимум, если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполнено условие . Аналогично, функция в точке имеет (локальный) минимум, если существует такая окрестность точки , что для всех х из этой окрестности выполнено условие . Точки (локальных) максимума и минимума называются точками (локального) экстремума, а значение функции в них — (локальными) экстремумами функции.
Внимание! Не следует путать понятие локального экстремума функции с ее наибольшим или наименьшим значением (так называемым глобальным максимумом или минимумом). На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем минимум может оказаться больше максимума подобно тому, как впадина в горах может иметь большую отметку над уровнем моря, чем невысокая вершина. А наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции может достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка.
Геометрически в точке экстремума касательная к графику функции либо горизонтальна, либо не существует.
Следовательно, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функции равна пулю или не существует (необходимое условие экстремума). Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими. (Иногда точки, в которых производная обращается в нуль, называют стационарными.)
Замечание. Критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Это лишь точка возможного экстремума функции.
Достаточное условие экстремума. Если в критической точке вторая производная положительна, то это точка минимума, а если отрицательна — точка максимума.
Для запоминания этой теоремы предлагаем мнемоническое правило: если плюс — котелок наполняется, если минус — опустошается.
Пример №25
Пусть в краткосрочном плане производственная функция зависит только от численности персонала и имеет вид
где у — выпуск продукции, а n — число работающих. Определить численность персонала, при которой выпуск у достигает максимального значения.
Решение:
Выпуск продукции — функция натурального аргумента. Для решения задачи рассмотрим обобщенную функцию действительного аргумента . Новая функция везде непрерывна и дифференцируема. Найдем стационарные точки, для чего вычислим производную и приравняем ее к нулю:
Решая квадратное уравнение, легко находим . Вычисляем вторую производную:
При имеем
следовательно, в данной точке имеется минимум. Это естественно, т.к. нет выпуска продукции, если нет рабочих. Для второй точки
Поэтому в точке максимум. Соответствующий выпуск продукции
Исследование функции на монотонность
С помощью производной можно найти промежутки возрастания и убывания функции. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции:
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
Достаточное условие монотонности. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она возрастает (убывает) на этом промежутке:
Таким образом, если при переходе через критическую точку производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то это точка (локального) максимума, а если с минуса на плюс — точка (локального) минимума (достаточное условие экстремума):
Если изменение знака производной не происходит, то экстремума нет.
Пример №26
Исследовать функцию па монотонность.
Решение:
Область определения функции . С помощью первой производной найдем точки возможного экстремума:
Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в таблице.
Итак, функция убывает на интервалах и возрастает на интервале ; в точке — имеем минимум:
а точка максимума:
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
График дифференцируемой функции называется выпуклым (выпуклым вверх) в точке , если он расположен ниже касательной в некоторой окрестности этой точки. Аналогично, график дифференцируемой функции называется вогнутым (выпуклым вниз) в точке х0, если он расположен выше касательной в некоторой окрестности этой точки. Однако могут существовать точки, слева от которых в некоторой в достаточно малой окрестности график лежит по одну сторону от касательной, а справа — по другую. Точки графика, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.
Достаточное условие направления выпуклости. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции отрицательна [положительна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла (вогнута) на этом промежутке:
Следовательно, если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, то это точка перегиба (достаточное условие перегиба):
точка перегиба или точка перегиба .
Отсюда вытекает необходимое условие перегиба: вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю или не существует.
Замечание. Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то это точка перегиба.
Пример №27
Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.
Решение:
Область определения функции . С помощью второй производной найдем точки возможного перегиба:
Эти точки разбивают область определения функции на интервалы, в которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты удобно представить в таблице.
Кривая, изображающая график функции, выпукла на интервалах и вогнута на интервалах . В точках , имеем перегиб:
Асимптоты графика функции
При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва часто оказывается, что расстояние между точками графика функции и точками некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точек графика от начала координат. Прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке, называется асимптотой графика. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности: . Такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода.
Внимание! Непрерывные на множестве действительных чисел функции вертикальных асимптот на имеют.
Для того чтобы график функции имел наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота.
Пример №28
Найти асимптоты графика функции .
Решение:
Функция непрерывна в области определения как элементарная. Следовательно, вертикальных асимптот пет. Найдем наклонные асимптоты :
Получаем горизонтальную асимптоту .
Кстати теория из учебников по математическому анализу тут.
Общее исследование функции и построение графика
С помощью производной функции можно провести ее полное исследование и построить график этой функции. При этом рекомендуется использовать следующую схему.
- Найти область определения функции
- Исследовать функцию на четность ; нечетность ; периодичность .
- Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
- Найти асимптоты графика функции.
- Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума.
- Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции.
- Используя результаты проведенного исследования, построить график функции (можно вычислить координаты точек пересечения с осями координат).
Пример №29
Провести полное исследование функции и построить ее график.
Решение:
- Область определения функции — вся числовая прямая: .
- Функция непериодическая. Она нечетная, т.к. область определения симметрична относительно начала координат и :
Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию для .
3. Функция непрерывна в области определения как композиция основных элементарных функций. Поскольку , точек разрыва нет.
4. Строим график функции, используя результаты исследования.
Ответы на вопросы к экзамену по матану — файл n1.doc
приобрести
Ответы на вопросы к экзамену по матану
скачать (5036.5 kb.)
Доступные файлы (1):
- Смотрите также:
- Шпаргалка — Краткие ответы к экзамену (Шпаргалка)
- Ответы на вопросы к экзамену по антропологии (Шпаргалка)
- Ответы к экзамену по инфекционным болезням (Шпаргалка)
- Ответы к экзамену по психофизиологии (Шпаргалка)
- Ответы на вопросы к экзамену по Организации производства на предприятиях отрасли (Шпаргалка)
- Ответы на вопросы к экзамену по экономики машиностроения. Преподаватель Мамаева Ю.Г (Шпаргалка)
- Ответы на билеты к Гос экзамену по специальности Реклама (Шпаргалка)
- Вопросы и ответы по специальности журналистика (Вопрос)
- Вопросы и ответы к экзамену по дисциплине Основы коммерческой деятельности (Вопрос)
- Экзамен ФСФР 1.0. Вопросы и ответы (Документ)
- Ревзина О.Г. Некоторые вопросы и некоторые ответы к экзамену по стилистике (Документ)
- Ответы к экзамену по экспериментальной психологии (МГУ им Ломоносова) (Шпаргалка)
n1.doc
- основные понятия теория множеств
- операции над множествами
- функция, ее область определения, способы задания
- сложные и обратные функции
- предел функции
- бесконечно малые функции, их свойства
- бесконечно большие функции
- сравнение бесконечно малых функций, их эквивалентность
- основные теоремы о пределах
- замечательные пределы
- раскрытие неопределенности
- непрерывность функции
- точки разрыва, их классификация
- асимптоты
- производная, ее геометрический, физический, экономический смысл
- правила дифференцирования
- производные основных элементарных функций
- дифференцирование сложных функций
- дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически
- дифференциал функции, его свойства
- производные и дифференциалы высших порядков
- теорема ферма
- теоремы роля, коши, Лагранжа
- правило лопиталя
- признаки монотонности функции
- экстремумы(локальные)функции
- наибольшее и наименьшее значение функции
- признаки вогнутости и выпуклости графиков, точки перегиба
- неопределенный интерграл, свойства
- основная таблица интегралов
- метод непосредственного интегрирования
- интегрирование по частям
- замена переменной в неопределенном интеграле
- интегральная сумма определенный интеграл, его геометрический смысл
- свойства определенного интеграла
- формула ньютона-лейбница
- интегрирование по частям и замена переменной в опр. Интеграле
- несобственные интегралы
- дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение
- задача коши, теорема сущ. Единственности решения задачи коши
- уравнения с разделяющимися переменными
- линейные уравнения первого порядка
- дифф. Уравнения высших порядков, их общее и частной решение,задача коши
- линейные диффер. Уравнения н-ого порядка,структура решения
- линейные однородные дифф уравнения с постоянными коэф. Метод Эйлера
- линейные неоднородные диф уравнения с правой частью специального вида. Метод неопр. Коэф
- определение функции нескольких переменных, геометрическая интерпретация в возможных случаях предел и непрерывность
- частное и полное приращение функции
- частные производные
- полный дифференциал
- производная по направлению
- градиент
- локальный экстремум
- абсолютный экстремум а хрен знает
- условный экстремум
- основные понятия теория множеств
- операции над множествами
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ? В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ? B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ? В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ? В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А ? В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А ? В = (АВ) ? (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А ? В = {1,2} ? {5,6} = {1,2,5,6}
- функция, ее область определения, способы задания
Понятие функции одной переменной
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу .
Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, она называется параметром.
Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении: , где — путь, — время, — параметр.
Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то тогда говорят, что на множестве задана функция .
При этом называется независимой переменной (или аргументом), — зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.
Множество называется областью определения (или существования) функции, а множество — областью значений функции.
Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т.е. множество таких значений , при которых функция вообще имеет смысл.
Способы задания функций:
а)
Аналитический способ
, если функция задана формулой вида . Этот способ наиболее часто встречается на практике.
Например, функция задана аналитически. Не следует, однако, смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция имеет два аналитических выражения: (при ) и (при ).
б)
Табличный способ
состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции , например, таблица логарифмов, гармонические функции и т.д.
, , .
в)
Графический способ
состоит в изображении графика функции — множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции .
г)
Словесный способ
, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: , если — иррационально.
- сложные и обратные функции
Сложная функция, функция от функции.
Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х. Если же, например, у = , u = sinx, то у = , причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin і 0, то есть для , где k = 0, ± 1, ± 2,…
Производная С. ф. равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на С. ф. с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами: если у = f (u1), u1 = j(u2),…, uk-1 = jk-1(uk), uk = jk (x), то
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
- предел функции
Предел функции в бесконечности и в точке
Предел функции в бесконечности:
С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.
Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство:
.
Это предел функции обозначается: или при .
Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что , а во втором – для всех таких, что .
Предел функции в точке:
Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .
Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Это предел функции обозначается: или при .
Если при стремлении к переменная принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения большие , и при этом функция стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа .
Признаки существования предела
Теорема 1. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при (или ), то функция имеет тот же предел .
Пусть при , .
Это означает, что для любого найдется такое число , что для всех и удовлетворяющих условию будут верны одновременно неравенства:
(1.1)
или
Т.к. по условию функция заключена между двумя функциями, т.е.:
, то из неравенств (1.1) следует, что , т.е.:
.
А это и означает, что
- бесконечно малые функции, их свойства
Бесконечно малые величины
Определение. Функция называется бесконечно малой величиной при или при , если ее предел равен нулю:
.
Связь бесконечно малых величин с пределами функций
Теорема 1. Если функция имеет при () предел, равный , то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой при (), т.е.
.
Теорема 2. Если функцию можно представить как сумму числа и бесконечно малой при (), то число есть предел этой функции при (), т.е.
.
Свойства бесконечно малых величин
- Алгебраическая сумма конечного числа бесконечного малых величин есть величина бесконечно малая.
По условию и — бесконечно малые величины при . Это означает, что для любого найдутся такие числа , что для всех и удовлетворяющих условиям:
и (1.1)
выполняются соответствующие неравенства:
и . (1.2)
Если взять в качестве числа минимальное из чисел и , т.е. , то неравенству будут удовлетворять решения обоих неравенств (1.1) , а, следовательно, одновременно будут верны неравенства (1.2). Складывая почленно неравенства (1.2), получим, что;
.
Используя свойство абсолютных величин, т.е. , придем к более сильному неравенству:
(1.3)
Итак, для любого существует такое , что для всех и удовлетворяющих условию верно неравенство (1.3). А это означает, что функция есть величина бесконечно малая.
- Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в т.ч. на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.
- Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Отношение двух бесконечно малых (неопределенность вида ) в зависимости от характера изменения переменных в числителе и знаменателе может оказаться или числом, или бесконечно малой или бесконечностью.
- бесконечно большие функции
Бесконечно большие величины
Определение. Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности:
.
Свойства бесконечно больших величин
- Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
- Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.
- Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.
Об отношении или разности двух бесконечно больших функций никакого общего заключения сделать нельзя. В этих случаях говорят о неопределенностях вида или . В зависимости от характера изменения бесконечно больших величин их отношение или разность может оказаться или числом, или бесконечно малой, или бесконечно большой.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами
Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при (), то функция является бесконечно большой при (). И, наоборот, если функция бесконечно большая при (), то функция есть величина бесконечно малая при ().
- сравнение бесконечно малых функций, их эквивалентность
Основные эквивалентности.
ex-1 – бесконечно малое при х0. lim (ex-1)/x=1, то есть ex-1 ~ x при x0
x0
1-cosx – бесконечно малое при х0. lim (1-cos x)/(x2/2)=lim{2sin(2x/2)]/[x2/2]=lim [2(x/2)2]/[x2/2]=1,
то есть
1-cos(x) ~ x2/2 при х0 и (1+x)p-1 ~ px при х0
- основные теоремы о пределах
Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
Пусть и — функции, для которых существуют пределы при (): , .
Сформулируем основные теоремы о пределах:
- Функция не может иметь более одного предела.
Предположим противное, т.е. что функция имеет 2 предела А и D, . Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и — бесконечно малые величины при (). Вычитая почленно эти равенства, получим: , откуда . Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства 1 бесконечно малых это величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.
- Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.
.
- Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.
.
По условию и , следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и — бесконечно малые величины при (). Перемножая почленно оба равенства, получим:
.
На основании свойств бесконечно малых последние три слагаемые представляют величину, бесконечно малую при ().
Итак, функция представляет сумму постоянного числа и бесконечного малой . На основании обратной теоремы о связи бесконечно малых с пределами функции это означает, что .
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
.
- Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.
, .
- Если , , то предел сложной функции
.
- Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то
.
- замечательные пределы
На чтение 11 мин. Просмотров 1.1k. Опубликовано 24.05.2013
Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету математический анализ.
Полностью взято тут.
Укажите область определения функции
Какая поверхность называется графиком функции n переменных?
n-мерная гиперповерхность в пространстве , точки которой имеют вид
Найдите область определения функции
Какая функция у = f(x) называется возрастающей на промежутке X?
если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции
Какая функция называется явной?
если функция задана формулой y = f(x), в которой правая часть не содержит зависимой переменной
Найдите область определения функции
Укажите область определения функции
Укажите область определения функции
Укажите область определения функции
Укажите область определения функции
Укажите область определения функции
Какова область определения функции ?
f(x) ≠ 0
Укажите область определения функции
Какая функция называется четной?
если для любых значений х из области определения
Укажите область определения функции
На каком из рисунков изображена область определения функции ?
Укажите область определения функции
Какая из перечисленных функций не относится к трансцендентным функциям?
дробно-рациональная функция
Укажите область определения функции
Какая из перечисленных функций не относится к алгебраическим функциям?
логарифмическая функция
На каком из рисунков изображена область определения функции ?
В каком из перечисленных случаев величина называется параметром?
если она сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса
Укажите область определения функции
Относительно чего симметричен график нечетной функции?
относительно начала координат
График какой функции симметричен относительно оси ординат?
четной функции
Найдите интервал сходимости ряда , не исследуя концов интервала
Разложите в степенной ряд f(x) = sin 2x
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Найдите радиус сходимости ряда
R = 2
Найдите интервал сходимости ряда
Найдите интервал сходимости ряда, не исследуя концов интервала
Разложите в степенной ряд f(x) = arctg 3x
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Какой ряд называется знакопеременным рядом?
числовой ряд, члены которого имеют различные знаки
Исследуйте ряд на сходимость
расходится
Укажите необходимый признак сходимости ряда
eсли ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Исследуйте ряд на сходимость
сходится
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Найдите радиус сходимости ряда
R = 1
Исследуйте сходимость ряда
сходится
Исследуйте сходимость ряда
расходится
Найдите интервал сходимости ряда
Найдите радиус сходимости ряда
R = 1
Найдите предел
0,1
Найдите предел
Найдите предел
Найдите предел
∞
Найдите предел
e-1
Найдите предел
5
Найдите предел
Найдите
4
Найдите предел
1
Найдите предел
5
Найдите предел
32
Найдите предел
18
Найдите предел
Найдите предел
Найдите предел
∞
Найдите предел
Найдите предел
0
Найдите предел
Найдите предел
Найдите предел
1,5
Найдите предел
Найдите предел
∞
Найдите предел
Найдите предел
Найдите предел функции при
0
Найдите частные производные функции двух переменных
Найдите полный дифференциал функции
Найдите частные производные второго порядка функции z = xy + xsin y
Дана функция . Решите уравнение
Найдите производную функции
Дана функция . Найдите y′(36)
Найдите частные производные функции трех переменных
Вычислите предел по правилу Лопиталя
Найдите производную функции f(t) = ln(2cos t)
Чему, согласно правилу Лопиталя, равен предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, если последний существует?
пределу отношения производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций
Вычислите предел по правилу Лопиталя
0
Найдите производную функции
Найдите частные производные функции двух переменных z = xsin y + ysin x
Найдите полный дифференциал функции
dz = (y cosxy + 2xy2) dx + (x cosxy + 2yx2) dy
Найдите производную функции
Вычислите предел по правилу Лопиталя
Найдите производную функции
Найдите производную функции
Вычислите предел по правилу Лопиталя
1
Найдите производную функции
Чему равна производная постоянной функции?
0
Найдите частные производные второго порядка функции
Укажите формулу для производной произведения функций u и v, если они дифференцируемы в некоторой точке, и их произведение также дифференцируемо в этой точке
Найдите среднюю скорость движения тела, совершаемого по закону , для промежутка времени от
12
Вычислите предел по правилу Лопиталя
4
Найдите промежутки возрастания или убывания функции
возрастает при и убывает при
В каких точках выпукла или вогнута кривая
выпукла во всех точках
В каких точках выпукла или вогнута кривая
вогнута во всех точках
Каково необходимое условие возрастания функции?
если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a; b), то для всех x из этого интервала
Найдите вертикальные асимптоты к графику функции
х = 0 и х = 1
Найдите точки максимума (минимума) функции
(2; 4) — точка максимума
Что называется асимптотой кривой?
прямая l, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность
Какая кривая y = f(x) называется выпуклой на интервале (a, b)?
если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале
Найдите точку перегиба кривой
Найдите точку перегиба кривой
(0; 0)
Определите поведение функции
возрастает
Найдите промежутки возрастания или убывания функции
убывает при , возрастает при
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0; 3]
Что называется критическими точками второго рода?
точки области определения, в которых вторая производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует
Исследуйте функцию на экстремумы
максимум в точке ; минимум в точке 0
Найдите промежутки возрастания или убывания функции
убывает при x > 2, возрастает x < 2
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке
Исследуйте функцию на монотонность и экстремум
— промежуток возрастания, — промежуток убывания, x = 0 — точка максимума
Найдите точки максимума (минимума) функции
— точка максимума
Вертикальные асимптоты к графику функции имеют вид
x = 4, x = 0
Укажите необходимое условие экстремума
в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f'(x) = 0), либо не существует
Определите поведение функции
убывает
Определите поведение функции при x = 0
возрастает
Число называется наибольшим значением функции на отрезке [a; b], если
для всех x из этого отрезка выполняется неравенство
Найдите точки максимума (минимума) функции
— точка минимума, (1; 0,5) — точка максимума
Найдите интеграл
Найдите
Чему равен неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций?
алгебраической сумме интегралов от этих функций
Найдите
Найдите первообразную для функции
Найдите интеграл
Найдите
Найдите
Найдите
Найдите
Найдите интеграл
Найдите
Найдите
Найдите
Укажите формулу интегрирования по частям
Найдите
Найдите интеграл
Найдите первообразную функции
Сколько первообразных может иметь каждая функция?
бесконечно много первообразных
Найдите первообразную для функции
Найдите
Найдите
Найдите
Найдите
Найдите
Вычислите определенный интеграл
2
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
8
Вычислите определенный интеграл
0,24
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Укажите какая из сумм является интегральной
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
0,25
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
0,5
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
0,4
Вычислите определенный интеграл
2
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл
45
Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 5x, x = 2 и осью Ox
10
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами:
9
Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: и y = 0
Сила в 6 кГ растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?
0,24 кГм
Найдите площадь области, ограниченной прямыми и осью Ox
10
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0, x = 0, x = 2
14/3
Найдите площадь фигуры, заключенной между кривой , прямыми , x = 2 и осью Ox
Тело движется прямолинейно со скоростью м/с. Найдите путь, пройденный точкой за первые 5 с от начала движения
140 м
Какую работу совершает сила в 8 H при растяжении пружины на 6 см?
0,24 Дж
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
Вычислите силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20 м и высота 5 м, считая шлюз доверху заполненным водой
2,45 МН
Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми y = 4x — 5, x = -3, x=-2 и осью Ox
15
Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезком оси Ox, графиком функции y = cosx, отрезками прямых и x = π
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0
8
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 4x, x = 4 и осью Ox
32
Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: , y = 0, ,
1
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0
36
Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле v = 9,8t м/сек. Какой путь пройдет тело за первые 10 секунд падения?
490 м
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , y = 0
Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Вычислите путь, пройденный точкой за 3 с от начала движения
48 м
Найдите площадь области, ограниченной кривой , прямыми , x = 2 и осью Ox
17
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , x = 2 и отрезком оси Ox
6
Вычислите силу давления воды на одну из стенок аквариума имеющего длину 30 см и высоту 20 см
58,8 Н (6 кГ)
Найдите общее решение уравнения (x + y)dx + xdy = 0
Среди перечисленных уравнений укажите однородные уравнения:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6.
1, 4, 5
Что называется порядком дифференциального уравнения?
наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение
Найдите частное решение уравнения 2(z + 3)dt = (t + 2)dz, если при
z = — (t + 2)2— 3
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с разделяющимися переменными
Даны дифференциальные уравнения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Укажите среди них однородные уравнения
1, 3, 5
Найдите общее решение уравнения
Найдите частное решение уравнения 2sdt = tds, если при t = 1 s = 2
Найдите общее решение уравнения y′′ = cos x
Как называется решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных?
частным решением
Найдите частное решение уравнения , если при t = 0 s = 0
Найдите общее решение уравнения
Найдите частное решение уравнения xdx = dy, если при x = 1 y = 0
Найдите общее решение уравнения (3x + 2)dy + (y + 2)dx = 0
–
Укажите общее решение дифференциального уравнения
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения y′ = sin x + 2
y = — cosx + 2x + C1
Найдите общее решение уравнения
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнения с разделяющимися переменными:
1. ;
2. ;
3.
4.
5. ;
6.
2, 3, 5
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите однородное уравнение
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с разделяющимися переменными
y′ + ycos x = 0
Какое уравнение называется дифференциальным уравнением?
уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков
Какую подстановку используют при решении уравнений Бернулли?
y = u ∙ v
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите линейное уравнение
Среди перечисленных дифференциальных уравнений указать уравнение Бернулли:
1. ;
2. ;
3. ;
4.
3
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Среди перечисленных уравнений укажите линейные уравнения первого порядка:
1. ;
2. ;
3. ;
4.
2, 4
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Решите уравнение
Укажите частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4 удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение Бернулли
Найдите общее решение уравнения
Даны дифференциальные уравнения:
1.
2.
3.
4.
Укажите среди них линейные уравнения
1, 3
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
Найдите общее решение уравнения
y = C1e-x + C2ex
Найдите общее решение уравнения
Решите уравнение y″ — 6y′ + 9y = 0
Найдите частное решение дифференциального уравнения y′ + 4y = 2, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 6
При решении каких уравнений используют подстановку ?
при решении однородных уравнений
Укажите общее решение уравнения
y = x (tg x + C)
Решите уравнение
Укажите общее решение уравнения
Всего 47 файлов:
Расширенный поиск
МЭИ, ИРЭ, ВМ-1, Книга, 1 курс, 1 семестр, *.pdf
Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т. А. Высшая математика (2001) МЭИ, ИРЭ, ВМ-1, Книга, 1 курс, 1 семестр, *.pdf халява проверен
Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т. А. Высшая математика. — 2-е изд., испр. — М.: Физико-математическая литература, 2001. — 368 с. (Решебник.) — ISBN 5-9221-0126-9.
Книга содержит примеры решения почти всех типовых задач по высшей математике. Каждой задаче отведен отдельный раздел, содержащ
МЭИ, ИРЭ, ВМ-1, Книга, 1 курс, 1 семестр, *.pdf
МЭИ, ИЭТЭ (ИЭТ), ВМ-1, Книга, 1 курс, 1 семестр, *.pdf
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Книга, 1 курс, 1 семестр, *.pdf
Конспект лекции по высшей математике, Письменный Д.Т. (2006) МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Книга, 1 курс, 1 семестр, *.pdf халява проверен
Один из самых полезных конспектов лекций по которому читают на 1м курсе, лекции содержат примеры задач из экзамена с решением и ответами
Письменный, Д. Т.
П34 Конспект лекций по высшей математике: полный курс /
Д. Т. Письменный. — 4-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2006.-
608 с.: ил. — (Высшее образо
МЭИ, ИЭТЭ (ИЭТ), ВМ-1, Экзамен, 1 курс, 1 семестр, *.rar
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Экзамен, 1 курс, 1 семестр, *.rar
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Лекции, 1 курс, 1 семестр, *.pdf
МЭИ, ЭнМИ, ВМ-1, Книга, 1 курс, 1 семестр, *.djvu
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Книга, 1 курс, 1 семестр, *.pdf
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Лекции, 1 курс, 1 семестр, *.docx
Лекции по линейной алгебре (Бободжанов) (2016) МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Лекции, 1 курс, 1 семестр, *.docx проверен
Лекции по Линейной алгебре в ворде., Бободжанов Абдухафиз Абдурасулович
Лекция 1. Пространство геометрических векторов. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их вычисление в координатной форме и геометрический смысл
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Лекции, 1 курс, 1 семестр, *.pdf
Лекции по мат. анализу (Бободжанов) (2016) МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Лекции, 1 курс, 1 семестр, *.pdf проверен
Лекции по мат. анализу, Бободжанов Абдухафиз Абдурасулович
Лекции в пдф файле с возможностью копирования, вместе с теоретическими заданиями и типовыми расчётами
Лекция 1. Предел функции в точке и при x → ±∞.Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквив
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Шпоры, 1 курс, 1 семестр, *.doc
Шпоры по мат.анализу в ворде (2009) МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Шпоры, 1 курс, 1 семестр, *.doc проверен
Шпоры отформатированы под печать.
1. Предел функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел. Связь функции, имеющей предел, и бесконечно малой функции.
2. Свойства бесконечно малых функций. Предел суммы, произведения и частного. Переход к пределу в неравенствах, предел промежуточной функции.
3. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
МЭИ, ИЭЭ, ВМ-1, Шпоры, 1 курс, 1 семестр, *.docx
Шпоры в ворде по ВМ -1 семестр (2016) МЭИ, ИЭЭ, ВМ-1, Шпоры, 1 курс, 1 семестр, *.docx проверен
ОТВЕТЫ НА ЭКЗАМЕН ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. 1 семестр ИЭЭ
Шпоры подготовлены к печати.1. Предел функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел. Связь функции, имеющей предел, и бесконечно малой функции.
2. Свойства бесконечно малых функций. Предел суммы, произведен
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Решения, 1 курс, 1 семестр, *.pdf
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Шпоры, 1 курс, 1 семестр, *.doc
Шпоры по матанализу МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Шпоры, 1 курс, 1 семестр, *.doc не проверен
Формат Word. шпоры под нарезку (ответы идут не по порядку)
1. Предел функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел. Связь функции, имеющей предел, и бесконечно малой функции.
2. Свойства бесконечно малых функций. Предел суммы, произведения и частного. Переход к пред
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Экзамен, 1 курс, 1 семестр, *.docx
МЭИ, ИВТИ (АВТИ), ВМ-1, Лекции, 1 курс, 1 семестр, *.zip
МЭИ, ЭнМИ, ВМ-1, Экзамен, 1 курс, 1 семестр, *.docx
Список тем на экзамене 15/16 год (ЭнМИ, Попов) (2015) МЭИ, ЭнМИ, ВМ-1, Экзамен, 1 курс, 1 семестр, *.docx халява проверен
Темы 15/16 год
1) Предел функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей
предел.
2) Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой
функции
3) Бесконечно малые функции, их свойства. Предел суммы, произведения и частного.
4) Переход к пр
МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Лекции, 1 курс, 1 семестр, *.djvu
Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков — Лекции по математическому анализу ВШ (1999) МЭИ, ИТАЭ (ИТТФ, ТЭФ), ВМ-1, Лекции, 1 курс, 1 семестр, *.djvu халява проверен
Книга, 695 стр.
1. Введение (лекции 1-4)
2. Предел последовательности (лекции 5-8)
3. Предел функции в точке (лекции 9-11)
4. Непрерывность функции в точке (лекции 12-15)
5. Дифференцирование функции одной переменной (лекции 16-27)
6. Неопределенный интеграл (28-30)Часть 2 Интеграл Римана
МЭИ, ИЭВТ (ИПЭЭф), ВМ-1, 1 курс, 1 семестр, *.zip
Полные ответы к билетам по матану для телефона МЭИ, ИЭВТ (ИПЭЭф), ВМ-1, 1 курс, 1 семестр, *.zip не проверен
Дополненные мной ответы почти на все вопросы всех билетов по ВМ1 (по крайней мере, ИЭТ и ИПЭЭФ точно, ну у остальных всё то же, уверен), сделаны в jpg, чтобы было удобно открыть на экзамене. Выручили многих в первую сессию)