Пцр тест вероятность математика егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Спрятать решение

Решение.

Пусть событие A  — пациент болен, событие B  — тест выявляет наличие заболевания. Тогда P(A)  =  x  — вероятность того, что пациент болен. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев, значит, вероятность того, что пациент болен и тест подтверждает это, равна P(AB)  =  x · 0,86. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в 94% случаев, значит, вероятность того, что пациент не болен, а тест дал положительный результат, равна (1 − x) · (1 − 0,94). Тогда вероятность того, что тест окажется положительным, равна Отсюда выразим x:

Тогда вероятность того, что человек, у которого тест оказался положительным, действительно имеет заболевание, равна

Ответ: 0,43.

Приведем другое решение (автор Виталий Вяликов).

Пусть x  — число больных пациентов и y  — число здоровых. Тогда всего имеется x + y пациентов.

Общее число положительных ПЦР-тестов по условию равно 0,1(x + y), из которых 0,86x тестов приходится на больных пациентов и 0,06y тестов  — на здоровых. Тогда

Поэтому вероятность того, что положительный ПЦР-тест был взят у больного пациента, равна

Источник

Автор материала — Анна Малкова

На этой странице – решения новых задач из Открытого Банка заданий, из которого формируется Банк заданий ФИПИ. Вы знаете, что в Проекте ЕГЭ-2022 в варианте Профильного ЕГЭ по математике не одна задача на теорию вероятностей, а две, причем вторая – повышенной сложности. Покажем, какие задачи могут вам встретиться на ЕГЭ-2022. Проект пока не утвержден, возможны изменения, но ясно одно – теория вероятностей на ЕГЭ будет на более серьезном уровне, чем раньше. Раздел будет дополняться, так что заходите на наш сайт почаще!

1. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Решение:

Выпишем возможные варианты получения 8 очков в сумме:

Подходит только вариант 5; 3. Вероятность этого события равна 1 : 5 = 0,2 (один случай из 5 возможных).

Ответ: 0,2.

2. В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение:

Благоприятными будут следующие исходы:

Первый раз – вытащили красный фломастер,

И второй раз – красный,

А третий раз – синий.

Вероятность вытащить красный фломастер (которых в ящике 4) равна $displaystyle frac{4}{6}=frac{2}{3}.$

После этого в ящике остается 5 фломастеров, из них 3 красных, вероятность вытащить красный равна $displaystyle frac{3}{5}.$

Наконец, когда осталось 4 фломастера и из них 2 синих, вероятность вытащить синий равна $displaystyle frac{1}{2}.$

Вероятность события {красный – красный – синий } равна произведению этих вероятностей, то есть $displaystyle frac{2}{3}cdot frac{3}{5}cdot frac{1}{2}=frac{1}{5}=0,2.$

Ответ: 0,2.

3. В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение:

Всего в коробке 25 фломастеров.
В условии не сказано, какой из фломастеров вытащили первым – красный или синий.

Предположим, что первым вытащили красный фломастер. Вероятность этого $displaystyle frac{9}{25},$ в коробке остается 24 фломастера, и вероятность вытащить вторым синий равна $displaystyle frac{10}{24}.$ Вероятность того, что первым вытащили красный, а вторым синий, равна $displaystyle frac{9}{25} cdot frac{10}{24} = frac{3}{5} cdot frac{1}{4} = frac{3}{20}.$

А если первым вытащили синий фломастер? Вероятность этого события равна $displaystyle frac{10}{25}=frac{2}{5}.$ Вероятность после этого вытащить красный равна $displaystyle frac{9}{24}=frac{3}{8},$ вероятность того, что синий и красный вытащили один за другим, равна $displaystyle frac{2}{5}cdot frac{3}{8} = frac{3}{20}.$

Значит, вероятность вытащить первым красный, вторым синий или первым синий, вторым красный равна $displaystyle frac{3}{20} + frac{3}{20} =0,3.$

А если их доставали из коробки не один за другим, а одновременно? Вероятность остается такой же: 0,3. Потому что она не зависит от того, вытащили мы фломастеры один за другим, или с интервалом в 2 секунды, или с интервалом в 0,5 секунды… или одновременно!
Ответ: 0,3.

4. При подозрение на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.

Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение:

Задача похожа на уже знакомую тем, кто готовится к ЕГЭ (про гепатит), однако вопрос здесь другой.
Уточним условие: «Какова вероятность того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание?». В такой формулировке множество возможных исходов — это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста, причем только часть из них действительно заболевшие.

Пациент приходит к врачу и делает ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью х. Тогда с вероятностью 1 – х он этим заболеванием не болен.

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
а) пациент болеет заболеванием, которое нельзя называть, его анализ верен; событие А,
б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный, событие В.
Это несовместные события, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.

Имеем:

Мы составили уравнение, решив которое, найдем вероятность

Что такое вероятность х? Это вероятность того, что пациент, пришедший к доктору, действительно болен. Здесь множество возможных исходов — это количество всех пациентов, пришедших к доктору.

Нам же нужно найти вероятность z того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание. Вероятность этого события равна (пациент болен и ПЦР-тест выявил заболевание, произведение событий). С другой стороны, эта вероятность равна (у пациента положительный результат ПЦР-теста, и при выполнении этого условия он действительно болен).

Получим: отсюда z = 0,43.
Ответ: 0,43.

Вероятность того, что пациент с положительным результатом ПЦР-теста действительно болен, меньше половины!
Кстати, это реальная проблема для диагностики в медицине, то есть в задаче отражена вполне жизненная ситуация.

5. Телефон передает sms-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой следующей попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше 2 попыток.

Решение:

Здесь все просто. Либо сообщение удалось передать с первой попытки, либо со второй.
Вероятность того, что сообщение удалось передать с первой попытки, равна 0,4.
С вероятностью 0,6 с первой попытки передать не получилось. Если при этом получилось со второй, то вероятность этого события равна
Значит, вероятность того, что для передачи сообщения потребовалось не более 2 попыток, равна

Ответ: 0,64.

6. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

А это более сложная задача. Можно, как и в предыдущих, пользоваться определением вероятности и понятиями суммы и произведения событий. А можно применить формулу Бернулли.

Формула Бернулли:

– Вероятность P_n^m того, что в независимых испытаниях некоторое случайное событие наступит ровно раз, равна:

$P_n^m=C_n^m p^m q^{n-m},$ где:

– вероятность появления события в каждом испытании;
q=1-p – вероятность непоявления события в каждом испытании.

Коэффициент C_n^m часто называют биномиальным коэффициентом.

О том, что это такое, расскажем с следующих статьях на нашем сайте. Чтобы не пропустить – подписывайтесь на нашу рассылку.

А пока скажем просто, как их вычислять.

$displaystyle C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$

Нет, это не заклинание. Не нужно громко кричать: Эн!!!! Поделить на эм! И на эн минус эм! 🙂 То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки. Это факториалы.
На самом деле все просто: n! (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до n. Например,

Пусть вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна $displaystyle frac{1}{2},$ вероятность решки тоже $displaystyle frac{1}{2}.$ Давайте посчитаем вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов.

$displaystyle P_1=C_{10}^5 cdot left ( frac{1}{2} right )^5 cdot left ( frac{1}{2} right )^5 =frac{10!}{5!cdot 5!}cdot frac{1}{2^{10}}.$

Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна

$displaystyle P_2=C_{10}^4 cdot left ( frac{1}{2} right )^4 cdot left ( frac{1}{2} right )^6 =frac{10!}{4!cdot 6!}cdot frac{1}{2^{10}}.$

Найдем, во сколько раз P_1 больше, чем P_2.

$displaystyle frac{P_1}{P_2}=frac{10!cdot 4!cdot 6!cdot 2^{10}}{5!cdot 5!cdot 2^{10}cdot 10!}=frac{4!}{5!}=frac{1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 1cdot 2cdot 3 cdot 4cdot 5cdot 6}{1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5 cdot 1cdot 2cdot 3 cdot 4cdot 5}=$

$displaystyle =frac{6}{5}=1,2.$

Ответ: 1,2.

7. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

Решение:

Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела.

Вероятность поразить мишень равна

Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна

Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:

$displaystyle P_2={C_5}^4 cdot 0,84^4 cdot 0,16 = frac{5!}{4!}cdot 0,84^4 cdot 0,16 = 5cdot 0,84^4 cdot 0,16 ;$

$displaystyle frac{P_1}{P_2}=frac{0,84^5}{5cdot 0,84^4 cdot 0,16} = frac{0,84}{0,8} = 1,05.$

8. В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно 2 игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Решение:

Ресторан «Шеш-Беш» должен сказать составителям задачи спасибо: теперь популярность вырастет во много раз
Заметим, что условие не вполне корректно. Например, я бросаю кости и при первом броске получаю 5 и 6 очков. Надо ли мне бросать второй раз? Могу ли я получить 2 десерта, если дважды выброшу комбинацию из 5 и 6 очков?

Поэтому уточним условие. Если при первом броске получилась комбинация из 5 и 6 очков, то больше кости я не бросаю и забираю свой десерт (или кофе).

Если первый раз не получилось – у меня есть вторая попытка.

Решим задачу с учетом этих условий.

При броске одной игральной кости возможны 6 исходов, при броске 2 костей – 36 исходов. Только два из них благоприятны: это 5; 6 и 6; 5, вероятность каждого из них равна $displaystyle frac{1}{36}.$ Вероятность выбросить 5 и 6 при первом броске равна $displaystyle frac{1}{36} + frac{1}{36}=frac{2}{36}=frac{1}{18}.$

Вероятность того, что с первой попытки не получилось, равна $displaystyle 1- frac{1}{18}=frac{17}{18}.$

Если в первый раз не получилось выбросить 5 и 6, а во второй раз получилось – вероятность этого события равна $displaystyle frac{17}{18}cdot frac{1}{18}.$

Вероятность выбросить 5 и 6 с первой или со второй попытки равна $displaystyle frac{1}{18}+ frac{1}{18} cdot frac{17}{18}= frac{1}{18} cdot frac{35}{18} = frac{35}{324}approx 0,11.$

9. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых.

Решение:

Рассмотрим возможные варианты. Игральную кость могли бросить:
1 раз, выпало 4 очка. Вероятность этого события равна $displaystyle frac{1}{6}$ (1 благоприятный исход из 6 возможных). При этом, если получили 4 очка, кость больше не бросаем.

2 раза, выпало 3 и 1 или 1 и 3 или 2 и 2. При этом, если получили 4 очка, больше не бросаем кость. Для 2 бросков: всего 36 возможны исходов, из них 3 благоприятных, вероятность получить 4 очка равна $displaystyle frac{3}{36}.$

3 раза, выпало 1, 1, 2 или 1, 2, 1 или 2, 1, 1. Если получили 4 очка – больше не бросаем кость. Для 3 бросков: всего возможны исходов, из них 3 благоприятных, вероятность получить 4 очка равна $displaystyle frac{3}{216}.$

4 раза, каждый раз по 1 очку. Вероятность этого события равна $displaystyle frac{1}{6^4}.$

Вероятность получить 4 очка равна

$displaystyle P=frac{1}{6}+frac{3}{6^2}+frac{3}{6^3}+frac{1}{6^4}=frac{1}{6}left ( 1+frac{3}{6}+frac{3}{6^2}+frac{1}{6^3} right )=$

$displaystyle =frac{1}{6}left ( 1+frac{1}{6} right )^3=frac{1}{6}cdot frac{7^3}{6^3}=frac{7^3}{6^4}.$

Воспользуемся формулой условной вероятности.

Пусть P_1 — вероятность получить 4 очка, сделав 1 бросок; $displaystyle P_1=frac{1}{6}$ (для одного броска: 6 возможных исходов, 1 благоприятный);

— вероятность получить 4 очка с одной или нескольких попыток, $displaystyle P=frac{7^3}{6^4};$

P_2 — вероятность, что при этом был сделан только один бросок;

$displaystyle frac{1}{6}=frac{1}{6}cdot frac{7^3}{6^3}cdot P_2;$

$displaystyle P_2=frac{6^3}{7^3}=frac{216}{343}approx 0,63.$

Ответ: 0,63.

10. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды.

Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трех играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет следующий раунд?

Решение:

Пусть силы команд равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
В трех раундах участвуют 4 команды, то есть выбирается 4 числа из 6 и среди этих четырех находится наибольшее.
Выпишем в порядке возрастания, какие 4 команды могли участвовать в первых трех раундах:

1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456 — всего 15 вариантов.

Среди этих 15 групп есть только одна, в которой 4 — наибольшее число. Это группа 1234. Однако, если команда 4 победила команды 1, 2 и 3, то у нее нет шансов выиграть в следующем раунде у команды 5 или 6.

Есть также 4 группы, в которых 5 — наибольшее число. Вероятность того, что команда 5 победила в трех первых раундах, равна $displaystyle frac{4}{15}.$ В следующем туре команда 5 встретится либо с командой 6 (и проиграет), либо с командой 1, 2, 3 или 4 и выиграет, то есть в четвертом раунде команда 5 побеждает с вероятностью $displaystyle frac{1}{2}.$

Есть также 10 групп, где 6 — наибольшее число. Вероятность того, что команда 6 победила в трех первых раундах, равна $displaystyle frac{10}{15}.$ В четвертом туре команда 6 побеждает с вероятностью 1 (она самая сильная). Соответственно, в следующем туре команда 6 побеждает с вероятностью 1.
Получается $displaystyle frac{4}{15} cdot frac{1}{2} + frac{10}{15} cdot 1 = frac{12}{15} = frac{4}{5}$ — вероятность команды, победившей в 3 первых турах, победить в четвертном.

Ответ: $displaystyle frac{4}{5}.$

И наконец, хитроумная задача, совсем не похожая на школьную теорию вероятностей. В математике ее называют «задачей о разорении игрока». Это уже крутейший теорвер! Будем надеяться, что в варианты ЕГЭ ее все-таки включать не будут.

11. Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью р = 0,8 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 – р меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен – 1?

Решение:

Кошмар, что и говорить, и точно не задача из Части 1 ЕГЭ. Будем разбираться.
Вначале мы находимся в точке 0, из нее можем попасть в точку с координатой 1 или в точку с координатой -1. Дальше возможно увеличение или уменьшение координаты на каждом шаге, а найти надо вероятность того, что когда-либо попадем в точку -1.

Обозначим P_1 – вероятность когда-либо попасть в точку -1, если сейчас мы находимся в точке 0,
P_i – вероятность когда-либо попасть в точку -1, если сейчас мы находимся в точке i.

Из точки 0 можно пойти вверх или вниз. Если мы идем вниз (с вероятностью q=1 – р) – мы сразу попадаем в точку -1.

Поскольку из точки 0 можно пойти вверх или вниз, и эти события несовместны, получим:

где P_2 – вероятность попасть когда-нибудь в точку -1, находясь в данный момент в точке 1.
А из точки 1 в точку – 1 можно попасть следующим образом: сначала в точку 0, потом в точку – 1; вероятность каждого из этих событий равна P_1.
Да, это сложно воспринять! Но давайте вернемся к обозначениям: Р1 – вероятность когда-либо попасть в точку -1, если сейчас мы находимся в точке 0. И она точно такая же, как вероятность когда-либо попасть в точку 0, если сейчас мы находимся в точке 1.
Значит, вероятность попадания из точки 1 в точку – 1 равна ${P_1}^2 .$ Мы получаем квадратное уравнение: $P_1 = q +p cdot {P_1}^2 .$

По условию, Тогда $0,8cdot{P_1}^2 - P_1 + 0,2 = 0;$
$4 cdot {P_1}^2 - 5P_1 + 1 = 0.$ Корни этого уравнения: или $displaystyle P_1 = frac{1}{4} = frac{q}{p}.$

Какой из этих корней выбрать? Оказывается, если по условию $displaystyle frac{q}{p} textgreater 1,$ то в ответе получится 1 (всегда попадем в точку -1).
А если, как в нашем случае, $displaystyle frac{q}{p} textless 1,$ то ответ $displaystyle frac{q}{p} ,$ то есть 0,25.
Ответ: 0,25.

А теперь представим себе, что будет, если эту задачи все-таки включат в курс подготовки к ЕГЭ. Учителя будут говорить ученикам: если тебе надо попасть из 0 в точку – 1, вероятность перехода вверх равна р, вероятность перехода вниз равна q, и если то в ответе будет $displaystyle frac{q}{p},$ а если то в ответе будет 1. Бессмысленная зубрежка, короче говоря.

Задачи, разобранные в этой статье, взяты из Открытого Банка заданий ЕГЭ по математике: mathege.ru

Будут ли эти задачи — и особенно последние — на ЕГЭ-2022? Вот официальный ответ ФИПИ:

«Открытость и прозрачность ЕГЭ, наличие открытых банков, дает возможность развивать различные ресурсы, способствующие повышению качества образования.

При этом вся официальная информация, спецификации, демонстрационные варианты, открытые банки, содержатся только на сайте ФИПИ. Типы заданий, которые будут включены в ЕГЭ по математике в 2022 году прошли широкое обсуждение и апробацию в регионах, соответствуют ФГОС.

ФИПИ не комментирует содержание других ресурсов».
Ждем, когда на сайте ФИПИ появятся подборки задач №10 ЕГЭ-2022.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Новые задачи по теории вероятностей из Открытого Банка заданий ЕГЭ, 2021-2022 год» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Решение:

Пусть некоторый пациент имеет заболевание с вероятностью х, тогда не имеет это заболевание с вероятностью 1 – х.
Положительный результат анализа может быть в 2-х случаях:
1) Пациент имеет заболевание и получает положительный результат, вероятность этого события (86% = 0,86):

х·0,86

2) Пациент не имеет это заболевание, тест дал ложный результат, вероятность (94% = 0,94):

(1 – х)·(1 – 0,94)

Зная, что тест в среднем оказывается положительным у 10% = 0,1 пациентов, составим уравнение:

х·0,86 + (1 – х)·(1 – 0,94) = 0,1
х·0,86 + (1 – х)·0,06 = 0,1
х·0,86 + 0,06 – 0,06х = 0,1
х·0,80 = 0,1 – 0,06
х·0,8 = 0,04
x=frac{0,04}{0,8}=0,05

Вероятность того, что пациент болен, при условии, что тест уже оказался положительным, называется условной вероятностью и находится по формуле:

P(A|B)=frac{P(AB)}{P(B)}, где

Р(В) – вероятность того, что тест оказался положительным;
Р(АВ) – вероятность, что пациент болен и тест положительный;

P(A|B)=frac{0,05cdot 0,86}{0,1}=0,43

Ответ: 0,43.

Источник

Решение:

Пусть х — вероятность того, что человек здоров, тогда (1 — х) — вероятность того, что человек болен.

Получить отрицательный результат можно в двух случаях: если человек здоров (95% = 0,95) ИЛИ если человек болен (100% — 85% = 15% = 0,15).

На математическом языке запись будет выглядеть так (союз ИЛИ — логическое сложение):

0,95х + 0,15(1 — х)

В поликлинике отрицательный тест выпадает с вероятностью 38% = 0,38. Составим уравнение:

0,95х + 0,15(1-х) = 0,38;

0,95х + 0,15 — 0,15х = 0,38;

0,8х = 0,23;

х = 0,2875 — вероятность того, что человек здоров.

Найдем отношение числа здоровых людей (0,2875) с отрицательным тестом (0,95) к числу всех людей, получивших отрицательный тест (0,38):

Ответ: 0,72.

Возможно, тебе понадобится формула Байеса для нахождения условной вероятности.

#917

Источник

Рассмотрим решение новых задач по теории вероятностей, которые появятся в ЕГЭ по математике в 2022 году.

Вы можете попробовать решить задачи самостоятельно, а потом сверить свое решение с предложенным.

1. № 508755

Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков.

Решение. показать

2. № 508769

Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

Решение. показать

3. № 508781

Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение. показать

4. № 508791

В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Решение. показать

5. № 508793

Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что потребовалось сделать три броска? Результат округлите до сотых.

Решение. показать

6. № 508798

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось 3 броска? Ответ округлите до сотых.

Решение. показать

7. № 508809

Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,2. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Решение. показать

8. № 508820

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.

Решение. показать

9. № 508831

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,5?

Решение. показать

10. № 508843

В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение. показать

11. №508851

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени».

Решение. показать

12. № 508868

В викторине участвуют 10 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых шести играх победила команда А. Какова вероятность, что эта команда выиграет седьмой раунд.

Решение. показать

13. № 508871

Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 8 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?

Решение. показать

14. № 508887

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет четных чисел, а нечетные числа встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность, что бросали второй кубик?

Решение. показать

15. № 509078

Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придется купить еще 2 или 3 шоколадных яйца?

Решение. показать

15. № 508885

Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятность на единицу больше предыдущего и с вероятность на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?

Решение. показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Источник

10 задание ЕГЭ (математика
профиль)

1.На экзамене по геометрии
школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,15.
Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вопросов,
которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность
того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Вероятность
суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
0,15 + 0,3 = 0,45.

Ответ: 0,45.

2.В магазине стоят два платёжных автомата.
Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого
автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Событие А —
неисправны оба автомата

Эти события независимые, вероятность их
произведения равна произведению вероятностей этих событий

p(А)= 0,05 · 0,05 = 0,0025

Событие, состоящее в том, что исправен
хотя бы один автомат, противоположное событию А.Следовательно, его вероятность
равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

3.Биатлонист пять раз стреляет по мишеням.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите
вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние
два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение: Поскольку
биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с
вероятностью 1 − 0,8 = 0,2.

Cобытия попасть или промахнуться при
каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна
произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал,
попал, промахнулся, промахнулся» равна

Ответ: 0,02.

4.В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная,
причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно,
что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3
июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в
Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО)=0,8∙0,8∙0,2+0,8∙0,2∙0,8+
+0,2∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392

Ответ:0,392

5.Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40%
яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго
хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35%
яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется
из первого хозяйства.

Решение:

А ₁ — яйцо куплено в 1 хозяйстве, А
₂-яйцо куплено во 2 хозяйстве

Д-яйцо высшей категории

P∙0,4+(1-p)∙0,2=0,35

0,2p=0,15

p=0,75

Ответ:0,75

6.Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны.
Первая фабрика выпускает 30% всех телефонов этой марки, а вторая- остальные
телефоны. Известно, что из всех телефонов, выпускаемых первой фабрикой,1% имеют
скрытые дефекты, а у выпускаемых второй фабрикой-1,5%.Найдите вероятность того,
что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.

Решение:

А ₁-телефон выпущен на 1 фабрике

А ₂-телефон выпущен на 2 фабрике

Д-телефон имеет дефект

0,3∙0,01+0,7∙0,015=0,003+0,0105=0,0135

Ответ:0,0135

7.Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар.
Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика
выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того,
что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

А ₁-стекла выпущены 1 фабрикой

А₂— стекла выпущены 2 фабрикой

Д-стекла имеют брак

0,45∙0,03+0,55∙0,01=0,0135+0,0055=0,019

Ответ:0,019

8 задача

Решение:

Вероятность
того, что из магазина А. не доставят товар, равна 1-0,92=0,08, а вероятность
того, что из магазина Б. не доставят товар, равна 1-0,85=0,15. Так как магазины
работают независимо друг от друга, вероятность того, что товар не доставят ни
из магазина А, ни из магазина Б., равна:

P=0,08∙0,15=0,012

Ответ: 0,012

9 задача

Решение:

Вероятность
того, что из магазина А. не доставят товар, равна 1-0,8=0,2, а вероятность
того, что из магазина Б. не доставят товар, равна 1-0,85=0,15. Так как магазины
работают независимо друг от друга, вероятность того, что товар не доставят ни
из магазина А, ни из магазина Б., равна:

P=0,2∙0,15=0,03

Ответ: 0,03

10 задача

Решение:

Пусть завод произвел x тарелок. Качественных тарелок 0,7x
(70% от общего числа), они поступят в продажу. Дефектных тарелок 0,3x, из них в
продажу поступает 50%, то есть 0,3 ∙ 0,5x = 0,15x

Всего в продажу поступило
0,7x + 0,15x = 0,85x тарелок. Вероятность купить качественную тарелку равна:

Ответ:0,82

11.Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если
стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного
револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10
револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху,
наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите
вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

Событие А –Джон возьмет пристрелянный револьвер

Событие В –Джон возьмет не пристрелянный револьвер

р(А)=0,4 р(В)=0,6

0,4∙0,1+0,6∙0,8=0,52

Ответ: 0,52

12.Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того,
что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка
проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную
батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует
исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно
выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение:

0,02∙0,99+0,98∙0,01=0,0296

Ответ:0,0296

13.Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы
определить , какая из команд начнет игру с мячом . Команда «Физик» играет три
матча с разными командами . Найдите вероятность того , что в этих играх «Физик»
выиграет жребий ровно два раза

Решение:

Перевести на монеты Так как 3 матча ,то три раза бросается монета
.

Событие А — орел выпадет 2 раза(в играх «Физик» выиграет жребий
ровно два раза)

Случаи ООО,ОРО,РОО

р(А)=

Ответ:0,375

14 задача

Решение:

Команда А победила в шести играх,
следовательно, она сыграла 6 матчей с шестью командами и оказалась самой
сильной из них. В этих матчах приняло участие 7 команд.

Рассмотрим команды, которые уже
сыграли. Присвоим каждой команде номер в зависимости от ее силы. Самая сильная
команда имеет больший номер. Пусть, например, в нашем случае у команды А будет
номер номер 7, а у проигравших команд будут номера от 1 до 6. Вероятность
того, что команда А выиграет у всех остальных команд равна вероятности
того, из 7 различных чисел у команды А номер 7. Эта вероятность
равна .

Теперь нам нужно найти
вероятность того, что команда А выиграет седьмой раунд. В седьмом раунде
добавится еще одна команда. То есть мы будем иметь уже 8 команд, участвующих в
викторине. Теперь у нас уже есть как бы набор из восьми различных
чисел, характеризующих силу каждой команды. Найдем вероятность противоположного
события: «команда А проиграет седьмой раунд».
Это значит, что восьмая команда окажется сильнее, чем команда А. Это
произойдет в том случае если из 8 различных неравных чисел у числа,
характеризующего силу восьмой команды будет самое большое
значение. Вероятность этого события равна .

Отсюда вероятность того, что
команда А выиграет седьмой раунд равна 1-==0,875

В общем случае получаем, что
если команда выиграла в n раундах, то вероятность выиграть
в n+1-м равна1-.

Ответ: 0,875.

15 задача

Решение:

Для решения этой
задачи подойдёт представленная ниже формула

====0,45

Ответ:0,45

16.Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской
системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в
каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где
встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в
турнире участвует 16 игроков,
все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша
и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и
Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся
сыграть друг с другом?

Решение:

Так как всего в турнире 16 игроков и
каждая команда из 2 человек ,тогда в каждом туре участвуют:

1тур)16 человек

2тур)8 человек

3тур) 4 человека

4тур)2 человека

Событие А1- Иван и Алексей попадутся в первом туре p(A1)=

(Иван и Алексей могут сыграть в первом
туре. В первом туре соперником Ивана может быть один из 15 игроков,
то есть вероятность того, что это Алексей, равна

Значит, вероятность того,
что Иван и Алексей сыграли в первом туре равна )

Событие А2- Иван
и Алексей не играли в первом туре, но попались во втором ,т.е оба матчей в
первом туре они выиграли

Если Иван и
Алексей не сыграли в первом туре, то они могут сыграть во втором. Для
начала они должны выйти во второй тур. Для этого должны быть выполнены два
условия: 1) они не сыграли друг с другом в первом туре (вероятность этого
события 1-) И 2) оба победили
каждый в своей партии.

Вероятность того, что
они выйдут во второй тур равна ∙=

Во второй тур выходят 8 человек,
значит, при условии, что Иван и Алексей вышли во второй тур, вероятность
сыграть друг с другом равна .

Таким образом, вероятность того,
что Иван и Алексей вышли во второй тур И сыграли друг с другом равна .

P(A2)=∙=

Событие А3-не играли в первом и втором
туре ,но попались в 3 туре ,т.е они выиграли предыдущие два тура

В третий тур выходят 4 человека,
значит, при условии, что Иван и Алексей вышли в третий тур, вероятность
сыграть друг с другом равна .

P(A3)=∙∙∙ ∙ ∙∙=

Событие А4-встретились в 4 туре, выиграли
предыдущие 3 тура

P(A4)=∙∙∙ ∙ ∙∙∙∙∙1=

P(A1+A2+A3+A4)= P(A1)+p(A2)+p(A3)+p(A4)=+++=0,125

Ответ:0,125

17.В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в
каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде
встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая
команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим
случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила
команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет
четвёртый раунд?

Решение:

Выучи формулу для
решения такого типа задач

=0,8

Ответ: 0,8

18 задача

Решение:

Выучи формулу для
решения такого типа задач

=0,9

Ответ: 0,9

19 задача

Решение:

Так
как на каждую мишень тратится по 2 выстрела с вероятностью поразить ее p=0,8 ,
то вероятность поражения цели при двух выстрелах можно вычислить как:

P=1-(1-0,8)²=0,96=

Следовательно,
вероятность поражения трех мишеней из пяти (в произвольном порядке), равна (по
формуле Бернулли):

где —
число сочетаний из n по k. Имеем:

P₃= (==

А
вероятность поражения четырёх мишеней из пяти, равна:

P₄=p⁴(1-p)= =5∙

=5∙ :===12

Ответ: 12

20 задача

Решение:

Вероятность
поразить мишень равна 0,5

Вероятность не
поразить мишень 1-0,5=0,5

Стрелок поражает мишень с первого или со
второго выстрела;
Вероятность поразить мишень равна:

0,5+0,50,5=0,5+0,25=0,75=

Вероятность
поражения трех мишеней из пяти (в произвольном порядке), равна (по формуле
Бернулли):

где —
число сочетаний из n по k. Имеем:

P₃= (==

Вероятность
поражения две мишеней из пяти (в произвольном порядке), равна (по формуле
Бернулли):

P₂=p²(1-p)^5-2

где —
число сочетаний из n по k. Имеем:

P₂= ()² ()³==

=: =3

Ответ:3

21.Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит
её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном
выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с
вероятностью не менее 0,6?

Решение:

Поразил цель с вероятностью не менее
0,6,т.е с вероятностью0,6

Если стрелок попадает в цель с
вероятностью 0,2, то с вероятностью 0,8 он промахивается. Если стрелок
промахивается, то он делает следующий выстрел.

Нарисуем дерево вероятностей:

На рисунке изображен результат 5-х
выстрелов, но их может быть больше. Вероятность попасть в цель в результате
одного выстрела равна 0,2.

Вероятность попасть в цель в
результате двух выстрелов равна 0,2+0,8∙0,2=0,36.

(Выполняем дальше, нам нужно ,чтобы
вероятность была 0,6)

Вероятность попасть в цель в результате трех
выстрелов равна 0,36+∙0,8∙0,8∙0,2=0,488

Вероятность попасть в цель в
результате четырех выстрелов равна 0,488+0,8∙0,8∙0,8∙0,2=0,5904

Вероятность попасть в цель в
результате пяти выстрелов равна 0,5904+0,8∙0,8∙0,8∙0,8∙0,2=0,67232>0,6

2 способ

Похожие задачи были в Банке заданий ФИПИ
и раньше. Пусть у стрелка есть n патронов. Стрелок может поразить цель первым,
вторым … n-ным выстрелом, и все эти исходы для нас благоприятны. Не подходит
только один исход – когда стрелок n раз стрелял и каждый раз был промах.

Вероятность промаха при одном выстреле
равна 1 – 0,2 = 0,8.

Вероятность n промахов (из n выстрелов)
равна 0,8ⁿ, а вероятность попасть с первого
раза или сто второго … или с n-ого выстрела равна 1-0,8ⁿ

По условию, 1-0,8ⁿ0,6

0,8ⁿ0,4

Если n=1
0,80,4(неверно)

Если n=2
0,640,4(неверно)

Если n=3
0,5120,4(неверно)

Если n=4
0,40960,4(неверно)

Если n=5
0,327680,4(верно)

Хватит 5 патронов

Ответ: 5.

22.Симметричную монету бросают 10 раз. Во
сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности
события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

число испытаний: n=10

вероятность появления орла: p=0,5

число наступления событий: k₁=5; k₂=4

По формуле Бернулли:

=∙∙

23.Игральную кость бросили один или несколько
раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того,
что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых.

Решение:

q=1-p=1-0,5=0,5

Воспользуемся
формулой Бернулли. Найдем вероятность события А, состоящего в том, что при
десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при
десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:

Тогда

Ответ: 1,2

24.Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что
сумма всех выпавших очков равна 4.

Решение:

Вероятность появлении 4 очков при одном броске (m=1,n=6)

Вероятность появления суммы «4»очков при двух бросках есть сумма
вероятностей

При первом броске 1,при втором 3очка

При первом броске 3,при втором 1очка

При первом броске 2,при втором 2очка

∙+∙+∙=

Вероятность появления суммы «4»очков при трёх бросках

При первом броске 1 ,при втором броске 1,при третьем броске 2

При первом броске 1 ,при втором броске 2,при третьем броске 1

При первом броске 2 ,при втором броске 1,при третьем броске 1

∙∙+∙+∙=

Вероятность появления суммы «4»очков при четырёх бросках

При первом броске 1 ,при втором броске 1,при третьем броске 1,при
четвёртом броске 1

∙∙∙=

Вероятность появления суммы 4 очков +++==

Вероятность того ,что был сделан один бросок :=0,63

Ответ: 0,63.

25 задача

Решение:

Найдём вероятность, что при первом броске
выпало число 1 равна

Теперь нам нужно, чтобы выпало такое число
очков, чтобы в сумме с единицей оно дало число >2 (это 2,3,4,5,6), т.е.
Вероятность этого

Рассмотрим случай, когда в первый раз
выпала 2, это . Тогда, чтобы не выпало на кубике второй раз, в сумме будет число
>2, значит вероятность 1.

Найдём вероятность, что нам потребовалось
2 броска: ∙+∙1=≈0,31

Ответ:0,31

26
задача

Решение:

Ровно
три броска мы можем получить в двух случаях:

1.
При первых двух бросках выпала одна из комбинаций: 1,2 или 2,1. Вероятность
этого события равна =

2.
При первых двух бросках выпали две единицы, а при третьем — любое число очков,
которое больше единицы. Вероятность этого события равна ∙ =

Так
как события — несовместные, мы можем их сложить, тогда получаем:

P = + = ≈ 0,078 ≈ 0,08.

Продемонстрируем
проведенные рассуждения рисунком:

Ответ:
0,08

27.Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших
очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого
потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Решение:

Изобразим
с помощью дерева возможные исходы. Зелёным цветом отмечены исходы,
удовлетворяющие условию «Сумма очков превысила число 3 ровно за два броска».
Красным цветом отмечены исходы, неудовлетворяющие этому.

В первом броске нас устраивает только очки
:1,2,3,если будет больше ,то бросать перестаем.

Событие А1 –если при первом броске выпало
1,то нас устраивает во втором броске 3,4,5,6 ,чтобы перестать бросать дальше.

Событие А2- если при первом броске выпало
2,то нас устраивает во втором броске 2,3,4,5,6

Событие А3-если при первом броске выпало
3,то нас устраивает во втором броске 1,2,3,4,5,6

Искомая вероятность равна

Округляя до сотых, получаем 0,42.

Ответ: 0,42.

28 задача

Решение:

1)1 кубик обычный
на нем очки 1,2,3,4,5,6

Если кубик бросают
два раза ,то выпало 5 и 6 очков ,или 6 и 5 очков с вероятностью

∙ +∙==

2)2 кубик
необычный на нем числа 5 и 6 встречаются по три раза. На нем очки 5,5,5,6,6,6

Выпало 5 и 6 очков
,или 6 и 5 очков с вероятностью ∙+∙=

3)Найдем
вероятность того, что бросали второй кубик

==0,9

Ответ:
0,9

29
задача

Решение:

1)1 кубик обычный
на нем очки 1,2,3,4,5,6

Если кубик бросают
два раза ,то выпало 1 и 2 очков ,или 2 и 1 очков с вероятностью

∙ +∙==

2)2 кубик
необычный на нем числа 1 и 2 встречаются по три раза. На нем очки 1,1,1,2,2,2

Выпало 1 и 2 очков
,или 2 и 1 очков с вероятностью ∙+∙=

3)Найдем
вероятность того, что бросали первый кубик

==0,1

Ответ:
0,1

30
задача

Решение:

1)1 кубик обычный
на нем очки 1,2,3,4,5,6

Если кубик бросают
два раза ,то выпало 4 и 6 очков ,или 6 и 4 очков с вероятностью

∙ +∙==

2)2 кубик
необычный на нем нет нечетных чисел ,а чётные числа 2,4 и 6 встречаются по два
раза . 2,2,4,4,6,6

Выпало 4 и 6 очков
,или 6 и 4 очков с вероятностью ∙+∙==

3)Найдем
вероятность того, что бросали второй кубик

==0,8

Ответ:
0,8

Дополнительно
,если вопрос ,что вероятность ,что бросали первый кубик

==0,2

31 задача

Решение:

Вероятность того,
что сообщение передано, равна 0,4,тогда вероятность того, что сообщение не
передано, равна 1-0,4=0,6

Сообщение может
отправится с первого раза 0,4 или не оправится
0,6 и отправится со второго раза (0,4)

Союз «и»заменяет
умножение, а союз «или» сложение

0,4+0,6∙0,4=
0,4+0,24=0,64

Ответ:0,64

32
задача

Решение:

Вероятность
выпадения одной принцессы равна 0,1 (согласно первому предложению задачи)

Так как у Маши
есть 7 принцесс, то вероятность в новом яйце будет равна 0,7 ,а вероятность
выпадения нужных принцесс 0,3

Маша желает
получить новую принцессу максимум во втором яйце, т.е нужная принцесса может
выпасть в 1 –ом яйце или (не выпасть в 1-ом и выпасть во втором)

0,3+0,7∙0,3=0,3+0,21=0,51

Ответ:0,51

33
задача

Решение
:

В коллекции 10
принцесс. Вероятность выпадения одной принцессы равна 0,1

У Маши есть шесть
разные (старые)принцессы ,а 4 других(новые)принцесс нет

Вероятность
выпадения старой принцессы

6∙0,1=0,6

Вероятность
выпадения новой принцессы

4∙0,1=0,4

Вероятность того,
что для получения новой принцессы придётся купить 2 шоколадных яйца

старая
новая=0,6∙0,4=0,24

Вероятность того,
что для получения новой принцессы придётся купить 3 шоколадных яйца

старая старая
новая=0,6∙0,6∙0,4=0,144

Вероятность того
,что придется купить 2 или 3 яйца

0,24+0,144=0,384

Ответ:0,384

34.Всем
пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет
гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных
гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9.
Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный
результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с
подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность
того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на
гепатит, будет положительным

Решение:

Событие А-пациент
болеет гепатитом

Событие В- пациент
не болеет гепатитом

0,05∙0,9+0,95∙0,01=0,0545

Ответ:0,0545

35.При подозрении на наличие некоторого
заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно
есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет
отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест
оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач
направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность
того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение:

В такой формулировке множество
возможных исходов — это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста,
причем только часть из них действительно заболевшие.

Пациент приходит к врачу и делает
ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью х. Тогда с
вероятностью 1 – х он этим заболеванием не болен.

Анализ пациента может быть положительным
по двум причинам:
а) пациент болеет заболеванием, которое нельзя называть, его анализ верен;
событие А,
б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный, событие
В.
Это несовместные события, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих
событий.

Имеем:

P(A)=0,86 х

P(B)=0,06(1-х)

P(A+B)=p(A)+p(B)= 0,86х+0,06(1-х)=0,1

0,86х+0,06(1-х)=0,1

0,86х+0,06-0,06х=0,1

0,86х-0,06х=0,1-0,06

0,8х=0,04

х=0,04: 0,8

х=0,05

Что такое вероятность х? Это вероятность
того, что пациент, пришедший к доктору, действительно болен. Здесь множество
возможных исходов — это количество всех пациентов, пришедших к доктору.

Нам же нужно найти вероятность z того,
что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это
заболевание. Вероятность этого события равна (пациент
болен и ПЦР-тест выявил заболевание, произведение событий). С другой стороны,
эта вероятность равна (у пациента положительный
результат ПЦР-теста, и при выполнении этого условия он действительно болен).

Получим:

0,043=0,1z

z=0,043:0,1

z=0,43

Ответ: 0,43

Источник

№10 профильного ЕГЭ. Презентация на урок.

nz-tv.pdf
nz-tv.pptx

Задачи

1. В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер достанут третьим по счёту?

2. В кофейне «Восток» администратор предлагает гостям сыграть в следующую игру: за одну попытку гость бросает одновременно две игральные кости. Всего у него есть две попытки. Если в результате хотя бы одной из попыток на обоих костях оказывается одно и тоже число очков, клиент получает чашку кофе латте в подарок. Какова вероятность выиграть чашку латте?

3. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 64 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Социология», нужно набрать не менее 64 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 64 баллов по математике, равна 0,5, по русскому языку — 0,9, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,9.
Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

4. При бросании двух игральных костей в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность, что хотя бы раз выпало два очка?

5. Игральную кость подбросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность того, что «сумма выпавших очков окажется равна 4

6. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых.

7. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 6. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

8. В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

9. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть шесть разных принцесс из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 1 или 2 шоколадных яйца?

10. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечетных чисел, а четные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

11. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.

12. Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 8 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность проигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?

13. Симметричную монету бросают 3 раза. Найти вероятность того, что орёл выпал два раза.

14. Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

15. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

16. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,4?

Источник