Пирамида теория для егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Виды пирамид

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Видео

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Смотрите также таблицу «Объемы пирамиды и призмы. Площадь поверхности пирамиды и призмы».

Источник

Пирамида, подготовка к ЕГЭ по математике

22.12.2017

Таблицы с теорией на тему: «Пирамида» для подготовки к ЕГЭ по математике. В кратком содержании изложена вся необходимая теория для этой темы.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

Сохранить ссылку:

Комментарии (0)
Добавить комментарий

Добавить комментарий

Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.

Имя (обязательное)

E-Mail

Подписаться на уведомления о новых комментариях

Отправить

Источник

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle H).

( displaystyle {{S}_{осн}}) – это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

Вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma )

У нас «( displaystyle a)» – это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» – это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2})

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle H).

По теореме Пифагора для ( displaystyle Delta SOC)

( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}})

Чему же равно ( displaystyle OC)?

Это радиус описанной окружности в ( displaystyle Delta ABC), потому что пирамида правильная и, значит, ( displaystyle O) – центр ( displaystyle Delta ABC)

Найдем ( displaystyle OC) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

( displaystyle OC=frac{2}{3}CK), так как ( displaystyle O) – точка пересечения и медиан тоже.

( displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}) (теорема Пифагора для ( displaystyle Delta ACK))

( displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{4}=frac{3{{a}^{2}}}{4}); ( displaystyle CK=frac{asqrt{3}}{2})

Значит, ( displaystyle OC=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3})

Подставим ( displaystyle OC) в формулу для ( displaystyle H).

( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{left( frac{asqrt{3}}{3} right)}^{2}}={{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3})

И подставим все в формулу объема:

( displaystyle V=frac{1}{3}{{S}_{ABC}}cdot H=frac{1}{3}cdot frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}cdot sqrt{{{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3}})

( displaystyle V=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{12}sqrt{{{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3}}).

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ( displaystyle b=a)), то формула получается такой:

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{6sqrt{2}}).

Источник

Определение

Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника (A_1A_2…A_n) и (n) треугольников с общей вершиной (P) (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: (PA_1A_2…A_n).
Пример: пятиугольная пирамида (PA_1A_2A_3A_4A_5).

Треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки (PA_1, PA_2) и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник (A_1A_2A_3A_4A_5) – основанием, точка (P) – вершиной.

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

((a)) боковые ребра пирамиды равны;

((b)) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

((c)) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

((d)) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

Теорема

Условия ((a), (b), (c), (d)) эквивалентны.

Доказательство

Проведем высоту пирамиды (PH). Пусть (alpha) – плоскость основания пирамиды.

1) Докажем, что из ((a)) следует ((b)). Пусть (PA_1=PA_2=PA_3=…=PA_n).

Т.к. (PHperp alpha), то (PH) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H,…,
PA_nH) – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету (PH) и гипотенузам (PA_1=PA_2=PA_3=…=PA_n). Значит, (A_1H=A_2H=…=A_nH). Значит, точки (A_1, A_2, …, A_n) находятся на одинаковом расстоянии от точки (H), следовательно, лежат на одной окружности с радиусом (A_1H). Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника (A_1A_2…A_n).

2) Докажем, что из ((b)) следует ((c)).

Аналогично первому пункту треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H,…,
PA_nH) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, (angle PA_1H=angle PA_2H=…=angle PA_nH).

3) Докажем, что из ((c)) следует ((a)).

Аналогично первому пункту треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H,…,
PA_nH) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть (PA_1=PA_2=PA_3=…=PA_n).

4) Докажем, что из ((b)) следует ((d)).

Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то (H) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки (H) на стороны основания: (HK_1,
HK_2) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП ((PH) – перпендикуляр на плоскость, (HK_1, HK_2) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные (PK_1, PK_2) и т.д. перпендикулярны сторонам (A_1A_2, A_2A_3) и т.д. соответственно. Значит, по определению (angle PK_1H, angle PK_2H) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники (PK_1H, PK_2H, …) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы (angle PK_1H, angle PK_2H, …) равны.

5) Докажем, что из ((d)) следует ((b)).

Аналогично четвертому пункту треугольники (PK_1H, PK_2H, …) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки (HK_1=HK_2=…=HK_n). Значит, по определению, (H) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то (H) – центр описанной окружности. Чтд.

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.

Определение

Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть (SR) – высота.

2. Т.к. (SR) перпендикулярно любой прямой из основания, то (triangle SRM, triangle SRP) – прямоугольные треугольники.

3. Треугольники (triangle SRN, triangle SRK) – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.

[{Large{text{Объем и площадь поверхности пирамиды}}}]

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: [V_{text{пирамиды}}=dfrac13 S_{text{осн}}cdot h]

Следствия

Пусть (a) – сторона основания, (h) – высота пирамиды.

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен (V_{text{прав.треуг.пир.}}=dfrac{sqrt3}{12}a^2h),

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен (V_{text{прав.четыр.пир.}}=dfrac13a^2h).

3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен (V_{text{прав.шест.пир.}}=dfrac{sqrt3}{2}a^2h).

4. Объем правильного тетраэдра равен (V_{text{прав.тетр.}}=dfrac{sqrt3}{12}a^3).

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.

[{Large{text{Усеченная пирамида}}}]

Определение

Рассмотрим произвольную пирамиду (PA_1A_2A_3…A_n). Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида ((PB_1B_2…B_n)), а другой называется усеченная пирамида ((A_1A_2…A_nB_1B_2…B_n)).

Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники (A_1A_2…A_n) и (B_1B_2…B_n), которые подобны друг другу.

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.

Важные замечания

1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.

Источник

Определение

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пусть (displaystyle a=1) – сторона основания правильной пирамиды, (displaystyle h=sqrt{3}) – высота данной пирамиды.

Воспользуемся формулой для вычисления объема пирамиды.

Правило

Объём пирамиды

Объём пирамиды (displaystyle V) равен одной трети произведения площади основания на высоту.

(displaystyle V=frac{1}{3}S_{осн} cdot h { small ,} )

где (displaystyle S_{осн} ) – площадь основания,

(displaystyle h) – высота пирамиды.

(displaystyle S_{осн}=frac{sqrt{3}}{4} )

Подставим (displaystyle S_{осн}) и (displaystyle h) в формулу для объема пирамиды:

(displaystyle V=frac{1}{3}S_{осн} cdot h =frac{1}{3}cdot frac{sqrt{3}}{4} cdot sqrt{3} =frac{1}{3}cdot frac{3}{4}=frac{1}{4}=0{,}25{small .})

Ответ: (displaystyle 0{,}25{small .})

Источник

Пирамида — объёмная фигура, обладающая характеристиками, которые позволяют легко рассчитать основные параметры: площадь поверхности граней и занимаемый ей объём пространства.

Пирамида является одной из основных фигур в геометрии. О её особенностях рассказано в статье.

Определение пирамиды в геометрии

Эта стереометрическая фигура включает в себя часть пространства, отделённую плоскими многоугольниками: произвольным в основании и гранями — треугольниками, содержащими общую вершину и отрезок в виде общей стороны с ним.

Элементы пирамиды

Элементами этой геометрической фигуры являются:

Место, куда сходятся все боковые грани фигуры, является вершиной.
Многоугольник, от каждой стороны которого отходят треугольные грани, носит название основания. Например, оно может быть шестиугольным.
Треугольники, соединяющиеся у вершины, с общей стороной с основанием, носят название боковых граней. У них противоположная вершина совпадает с точкой вершины пирамиды.
Высота фигуры представляет собой вертикальный отрезок, ограниченный многоугольником основания и вершиной.
На каждом треугольнике боковой стороны можно указать апофему. Она опускается от вершины по грани до ребра основания, будучи к нему перпендикулярной.
Боковыми ребрами называют те отрезки, которые соединяют соседние боковые грани.
У пирамиды может быть несколько диагональных сечений. Они включают в себя диагональ многоугольника вместе с вершиной пирамиды.

Виды пирамид

Такие фигуры могут относиться к различным видам, в зависимости от типа основания и расположения вершины.

Можно указать следующие разновидности пирамид:

Правильной она будет в том случае, если в основании лежит правильный многоугольник. Проекция вершины на многоугольник основания должна приходиться на центр. Тетраэдр рассматривается как одна из разновидностей правильной пирамиды.
У прямоугольной фигуры одна из граней находится в плоскости, перпендикулярной многоугольнику, лежащему в основании.
Усеченная — это часть фигуры, находящаяся между пересекающей плоскостью и многоугольником основания. Причём эта плоскость должна располагаться горизонтально.

Свойства пирамиды

У этой объёмной геометрической фигуры имеются следующие свойства при условии равенства боковых рёбер:

круг возможно описать вокруг многоугольника основания;
угол, под которым наклонены боковые грани, будет таким же.

В том случае, когда треугольные грани имеют одни и те же углы с основанием, возможно сделать вывод о том, что их рёбра одинаковы.

Свойства правильной пирамиды

У такой фигуры можно отметить особые свойства.

Вот их список:

У правильной пирамиды все боковые треугольники одинаковы.
Каждая из них является равнобедренным треугольником.
Внутрь любой такого типа пирамиды можно вписать сферу. При этом она будет касаться основания и всех граней, имея с каждой из этих сторон по одной общей точке.
Снаружи возможна сфера, касающаяся всех вершин.
Нетрудно вычислить площадь поверхности такой фигуры. Для этого надо умножить длину периметра многоугольника, находящегося в её основании, на половину длины апофемы.
Особым случаем является ситуация, когда у вписанной и описанной сфер центры совпадают. В этом случае можно утверждать, что если сложить все плоские углы у боковых граней, то их сумма будет равна числу «Пи». При этом, для того чтобы узнать величину каждого из них, достаточно эту величину разделить на количество граней.

Формулы объема и площади поверхности пирамиды с примерами расчета

Вычислить объём можно с использованием следующей формулы.

V = (S * h) / 3,

где используются такие обозначения:

V – объём;
S – площадь основания;
h – высота фигуры.

Полную площадь поверхности можно вычислить как сумму площадей основания и всех боковых треугольников.

Пример решения задачи

Если стороны основания составляют 3 см, а боковые рёбра — 4 см, то по теореме Пифагора можно определить высоту фигуры.

Сначала по теореме Пифагора находят длину половины диагонали. Она будет равна корню квадратному из 18 (4,25 см), так как является диагональю квадрата.

Здесь рассматривается четырехугольная пирамида.

По теореме Пифагора находим высоту. Она будет равна примерно 4,5 см.

Площадь основания составляет 3 * 3 = 9 кв. см. Нужно учесть, что это квадрат со стороной 3 см. Подставив значения в формулу для объёма, получим следующее.

V = (1 / 3) * 9 * 4,5 = 13,5 куб. см.

Для расчёта площади поверхности надо узнать площадь квадратного основания и треугольных боковых сторон. Для этого сначала по теореме Пифагора находят длину апофемы. Она будет равна 4,27 см.

Каждая боковая сторона имеет площадь 12,81 кв. см, а основание — 9 кв. см. Сложив площади всех граней, получим 60,24 кв. см. Посчитать площадь поверхности можно, рассмотрев развертку фигуры.

Источник

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость alpha , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA

Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:
1) $V=frac{1}{3} cdot S_{OCH} cdot h$ , где $S_{OCH}$ – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) $V=frac{1}{3} cdot r cdot S_{0}$ , где – радиус вписанного шара, а S_0 – площадь полной поверхности пирамиды.
3) $V= frac{2}{3} cdot MN cdot S_0$ , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а S_0 – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны implies все проекции боковых ребер будет равны implies P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:
Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней $S=S_{OCH}+S_1+S_2+...+S_n$ .
Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней .
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,
репетитор по математике в Москве. Строгино

Источник