Подготовка к егэ интеграл

10
Авг 2013

Категория: Справочные материалы

Первообразная. Интеграл

2013-08-10
2018-12-01

Автор: egeMax |

комментария 4

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$

Таблица первообразных

Первообразная нуля равна $С$

Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$

Правила вычисления первообразных:

1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ — первообразная для $f(x)+g(x)$.
2. Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
3. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx+b)$ — это первообразная для $f(kx+b)$.

Связь между графиками функции и ее первообразной:

1. Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
2. Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
3. Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Неопределенный интеграл

Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x)+С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:

$∫f(x)dx$

Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)

$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ — пределы интегрирования

Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной

Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле

$S=∫_a^bf(x)dx$ 

Формула Ньютона — Лейбница

Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство

$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$

Предварительный просмотр:

• Мне нравится 

Сайты, меню, вход, новости

Напомним, что функция  называется первообразной для функции  на некотором промежутке, если для всех  из этого промежутка .

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием.
Обратную ей операцию – нахождение первообразной – называют интегрированием.

Вспомним основное свойство первообразных. Каждая
первообразная для функции  на некотором промежутке может быть
записана в виде , где  – одна из этих первообразных для функции  на том же промежутке, а  – произвольная постоянная.

На следующем слайде приведена таблица первообразных.

Отметим, что множество всех первообразных функции  называют неопределённым интегралом этой функции и
обозначают так:

.

То есть, если  – первообразная для функции , а  – произвольная постоянная, то .

Вспомним правила нахождения первообразных.

Если функции  и  – первообразные соответственно для функций  и  на некотором промежутке, то функция  является первообразной для функции .

Если функция  – первообразная для функции , а  – постоянная, то функция  является первообразной для функции .

Если функция  – первообразная для функции , а  и  – постоянные, причём , то функция  является первообразной для функции .

Теперь вспомним, как вычислить площадь фигуры, ограниченной
графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке  функции , осью  и прямыми , . Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Итак, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по
формуле

,

где  – любая первообразная функции .

Разность  называют интегралом функции  на отрезке  и обозначают .

То есть . Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.

На практике формулу записывают следующим образом: .

Запись вида  называют определённым интегралом. Числа
 и  называют соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования, функцию  – подынтегральной функцией, переменную  – переменной интегрирования.

Напомним два свойства определённого интеграла.

1.

2.

Геометрический смысл определённого интеграла заключается в том, что площадь криволинейной трапеции вычисляется
по формуле .

Физический смысл определённого интеграла. При прямолинейном движении перемещение  за промежуток времени от  до  вычисляется по формуле , где  – скорость движения.

Ещё одно физическое истолкование определённого интеграла. Масса  прямолинейного неоднородного стержня с плотностью  вычисляется по формуле , где  – координата начала стержня,  – координата конца стержня.

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к
практической части занятия.

Задание первое. Найдите все
первообразные функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение.

Задание второе. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Решение.

Задание третье. Вычислите интегралы:

а) . б)  в)

Решение.

Задание четвёртое. Найдите
площадь фигуры, ограниченной осью  и параболой .

Решение.

Задание пятое. Найдите площадь фигуры,
ограниченной осью , прямыми ,  и графиком функции .

Решение.

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.